Streszczenie W niniejszej pracy został przedstawiony sposób obliczania charakterystyki częstotliwościowej i fazowej dla przykładowego czwórnika.

Transkrypt

1 Streszczenie W niniejszej pracy został przedstawiony sposób obliczania charakterystyki częstotliwościowej i fazowej dla przykładowego czwórnika. Wszystkie obliczenia zostały wykonane krok po kroku, a wszystkie kroki omówione. Mam nadzieję, że poniższe opracowanie choć trochę pomoże w przygotowaniach do ćwiczeń.

2 Czwórniki dla opornych: Charakterystyka częstotliwościowa i fazowa. Dariusz Kędzierski 0 września 2007 Wstęp Zadania projektowe dotyczące czwórników, nawet te najprostsze, sprawiają studentom najwięcej problemów. Głównie ze względu na to, że jest to pierwszy z tematów, z ktorym studenci spotykają się na zajęciach z elektroniki. Drugim powodem jest czasem żmudność obliczeniowa z jaką spotykamy się rozważając zagadnienie czwórników. Ta praca ma na celu, chociaż częściowo, pomóc w rozwiazywaniu problemów projektowych. 2 Zadanie Na rys. przedstawiony został schemat prostego czwónika RC. Proszę obliczyć charakterystykę częstotliwosciową i fazową tego układu, oraz tak dobrać pojemność C, by dla częstotliwości f 0 khz wpółczynnik przenoszenia K 0.5. Rysunek : Schemat czwórnika rozważanego w zadaniu. dkedzierski@uni.opole.pl 2

3 Rozważania ogólne Przed wykreśleniem charakterystyk częstotliwościowej i fazowej musimy poczynić kilka obliczeń przygotowawczych. Zapiszmy wyrażenie opisujące napięcie na wejściu i wyjściu dla naszego układu: Û we IR + I Û wy I (2) Jak można łatwo zauważyc równanie () jak i (2) ma postać zespoloną. Jeżeli zdefniujemy wspólczynnik przenoszenia K(ω) jako: () K(ω) Ûwy Û we () to łatwo można dojść do wniosku że ma on także postać liczby zespolonej. Podstawmy zatem równania () i (2) do równania () i przekształćmy w ten sposób, by uzyskać liczbę zespoloną postaci Ẑ a + ib. K(ω) Ûwy Û we I IR + I R + + iωrc + ω 2 R 2 C 2 } {{ } a I I iωrc + R + iωrc iωrc iωrc i ωrc + ω 2 R 2 C } {{ 2 } b + ω 2 R 2 C 2 R + + iωrc (4) Po przekształceniach, otrzymujemy zatem nastepujące wyrażenie na zespoloną postać współczynnika przenoszenia. K(ω) + ω 2 R 2 C } {{ 2 } a i ωrc + ω 2 R 2 C } {{ 2 } b 4 Charakterystyka częstotliwościowa Charakterystyka częstotliwościowa obwodu to funkcja przedstawiająca zmiany wspóczynnika przenoszenia K(ω) wraz ze zmianą częstotliwości sygnału podawanego na wejście tego układu. W naszym przypadku funkcję przedstawiającą charakterystykę częstotliwosciową układu przestawionego na rys. otrzymamy liczac moduł K(ω). (5) K(ω) a 2 + b 2 (6)

4 Podstawiamy i wykonujemy odpowiednie obliczenia: K(ω) ( + ω 2 R 2 C 2 ) 2 + ω 2 R 2 C 2 ( + ω 2 R 2 C 2 ) 2 (7) + ω 2 R 2 C 2 ( + ω 2 R 2 C 2 ) 2 + ω 2 R 2 C 2 Zatem ostateczny wzór na charakterytykę częstotliwościową ma postać: K(ω) + ω 2 R 2 C 2 (8) Mając do dyspozycji powyższe równanie możemy przewidzieć w dość prosty sposób jej ogólny przebieg. Oczywiście można się pokusić o pełną analizę, ale w dobie wszelkich narzędzi wizualizacyjnych nie ma potrzeby ani sensu tego robić. Wracąjac do zgrubnej oceny przebiegu charakterystyki obliczmy dwie granice. lim K(ω) ω 0 lim ω 0 + ω 2 R 2 C 2 (9) lim K(ω) ω lim ω + ω 2 R 2 C 0 2 (0) Mając do dyspozycji powyższe równania oraz wiedząc, że funkcja K(ω) jest malejąca możemy się pokusić o szkic jej przebiegu. Taki szkic przedstawiony jest na rys. 2. Korzystając z programu do wykreślania funkcji (w tym Rysunek 2: Szkic charakterystyki częstotliwościowej. przypadku gnuplot) możemy wykreślić dokładną charakterystykę częstotliwościową, jest ona pokazana na rys.. Wykres został wykreślony przy założeniu, że R 0 kω i C 20 nf. 4

5 K(omega) omega Rysunek : Charakterystyka częstotliwościowa wykreślona za pomocą programu gnuplot 5 Charakterystyka fazowa Charakterystyka fazowa to funkcja przedstawiająca zmiany przesunięcia fazowego pomiędzy napięciem na wejściu układu a napięciem na jego wyjściu wraz ze zmianą częstotliwości sygnału podawanego na wejście tego układu. Funkcję obrazującą charakterystykę fazową można obliczyć z bardzo prostej zależnosci: φ(ω) arc tg b () a Po podstawieniu za a i b odpowiednich wielkości dostajemy: φ(ω) arc tg b ( ωrc( + ω 2 a arc tg R 2 C 2 ) ) + ω 2 R 2 C 2 arc tg ωrc (2) Podobnie jak w przypadku charakerystyki częstotliwościowej najpierw spróbujemy przewidzieć i naszkicować ogólny kształt charakterystyki fazowej, a później wykreślimy tą zależność za pomocą gnuplota. Obliczmy zatem dwie granice. lim φ(ω) lim arc tg ωrc 0 () ω 0 ω 0 lim φ(ω) lim arc tg ωrc π ω ω 2 (4) Podobnie jak w przypadku charakterystyki częstotliwościowej możemy wykreślić szkic charakterystyki fazowej, szkic jest przedstawiony na rys. 4. Korzystając z programu do wykreślania funkcji (w tym przypadku gnuplot), możemy wykreślić dokładną charakterystykę fazową, jest ona pokazana na 5

6 Rysunek 4: Szkic charakterystki fazowej. rys. 5. Wykres został wykreślony przy założeniu, że R 0 kω i C 20 nf fi(omega) omega Rysunek 5: Charakterystyka fazowa wykreślona za pomocą programu gnuplot. 6 Rozwiązanie zadania Po wykonaniu obliczeń w powyższych punktach rozwiązanie zadania jest rzeczą trywialną. Mamy warunek, że K(ω) 0.5. Wykonajmy odpowiednie podstawienia i obliczenia. K(ω) ω 2 R 2 C

7 + ω 2 R 2 C ω 2 R 2 C 2 4 ω 2 R 2 C 2 ωrc C ωr [F ] C C 2πfR [F ] 2 π 0000[Hz] 0000[Ω] [F ] C [F ] 2.75[nF ] Zatem współczynnik przenoszenia dla f 0 khz bedzie równy 0.5, gdy pojemność C 2.75 nf. 7