Wstępna analiza numeryczna i doświadczalna rozkładu odkształceń i naprężeń w koronie zęba przedtrzonowego

Transkrypt

1 Czas. Stomat., 2005, LVIII, 7 Wstępna analiza numeryczna i doświadczalna rozkładu odkształceń i naprężeń w koronie zęba przedtrzonowego Preliminary numerical and experimental analysis of stress and strain distribution in the premolar crown Wojciech Grzebieluch 1, Krzysztof Ścigała 2, Romuald Będziński 2, Urszula Kaczmarek 1 Z Katedry i Zakładu Stomatologii Zachowawczej i Dziecięcej AM we Wrocławiu 1 Kierownik: prof. dr hab. U. Kaczmarek Z Instytutu Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Politechniki Wrocławskiej 2 Kierownik: prof. dr hab. R. Będziński Streszczenie W złożonych układach mechanicznych do analizy stanu naprężeń i odkształceń stosowana jest w wielu przypadkach metoda elementów skończonych (MES). Umożliwia ona przestrzenną analizę rozkładów naprężeń i przemieszczeń wywołanych pod wpływem obciążeń. Celem tej pracy jest opracowanie dla zęba przedtrzonowego modelu numerycznego, przeznaczonego do analizy rozkładów naprężeń i odkształceń w koronie zęba oraz jego doświadczalna weryfikacja. Rozkłady naprężeń w koronie zęba przedtrzonowego zostały poddane analizie z użyciem metody elementów skończonych (MES) i metodą eksperymentalną (metoda elastooptyczna). Model geometryczny do badań MES zbudowano na podstawie pomiarów zęba przedtrzonowego. Do badań doświadczalnych wykorzystano epoksydowe repliki zęba przedtrzonowego. W badaniu numerycznym i doświadczalnym zęby były mocowane w okolicy korzenia, a do powierzchni żującej przykładano identyczną siłę za pośrednictwem stalowej kulki. Wyniki badań eksperymentalnych posłużyły do weryfikacji modelu MES. Wykazano dużą korelację danych otrzymanych numerycznie i doświadczalnie, co potwierdza poprawne funkcjonowanie modelu matematycznego. Summary The finite element system (FEM) is often used in complex mechanical systems in order to analyse stress and strain distribution. This method makes it possible to analyse the 3-D distribution of strain and stress caused by loading. The aim of this study is to create a finite element model of the premolar tooth, to examine stress and strain distribution in the tooth crown and to verify the finite element model experimentally. Stress distribution in the crown of the premolar was analysed using numerical analysis (FEM) and the experimental method (photoelasticity method). A geometrical model for FEM analysis was designed based on measurements of the premolar tooth. For the experimental investigations epoxy-resin replicas of the premolar tooth were used. Teeth were fixed at the root for the numerical and experimental investigation, and an identical force was applied to the occlusal surface using a steel ball. The results of the experimental data served to verify the FEM model. A high correlation was found between data obtained by numerical and experimental means, confirming correct functioning of the mathematical model. HASŁA INDEKSOWE: metoda elementów skończonych, ząb, rozkład naprężeń i odkształceń, elastooptyka KEYWORDS: finite element method, tooth, stress and strain distribution, photoelasticity 473

2 W. Grzebieluch i in. Czas. Stomat., W złożonych układach mechanicznych do analizy stanu naprężeń i odkształceń stosowana jest w wielu przypadkach metoda elementów skończonych (MES). Umożliwia ona przestrzenną analizę rozkładów naprężeń i przemieszczeń wywołanych pod wpływem obciążeń. Metoda ta znajduje w stomatologii szerokie zastosowanie do oceny zjawisk związanych z patologią narządu żucia i leczeniem. W piśmiennictwie można spotkać prace określające rozkłady naprężeń w zębach leczonych endodontycznie (8), posiadających wypełnienia ceramiczne (13), amalgamatowe (1, 14, 15) lub z materiałów złożonych (7, 14, 16). C e l e m p r a c y jest opracowanie dla zęba przedtrzonowego modelu numerycznego przeznaczonego do analizy wpływu leczenia ubytków na rozkłady naprężeń i odkształceń w tkankach zęba oraz jego doświadczalna weryfikacja. Materiał i metody B a d a n i e n u m e r y c z n e Rozkłady naprężeń w koronie zęba przedtrzonowego zostały poddane analizie z użyciem metody elementów skończonych (oprogramowanie Ansys 5.6). Model geometryczny został zbudowany na podstawie pomiarów zęba przedtrzonowego usuniętego ze wskazań ortodontycznych. Skomplikowany kształt powierzchni żującej został wymodelowany na podstawie pomiarów jej kształtu wykonanych z dokładnością 0,01 mm z użyciem profilografu (ryc. 1). W następnym etapie na podstawie pomiarów powierzchni wymodelowano pozostałe części zęba (ryc. 2a). Uwzględniając złożony kształt modelu zęba, do budowy siatki elementów skończonych użyto elementów typu Tetra. Element ten ma 10 węzłów o trzech stopniach swobody trzy translacje (ryc. 2b). Gotowy model składał się z elementów i był na tym etapie badań homogenny, tj. wszystkim tkankom nadano właściwości materiałowe charakterystyczne dla żywicy epoksydowej: moduł Younga (E) 4000 MPa, współczynnik Poissona (υ) 0,36 (2). Do przekazywania siły obciążającej użyto sfery o właściwościach mechanicznych stali (E MPa; υ 0,3) (4). Taki sposób modelowania jest konieczny do porównania wyników analizy numerycznej z wynikami doświadczalnymi i do weryfikacji modelu numerycznego. B a d a n i e d o ś w i a d c z a l n e Do pomiarów naprężeń na drodze doświadczalnej zastosowano metodę elastooptyczną. Metoda ta jest oparta na efekcie dwójłomności wymuszonej niektórych materiałów, m.in. żywic epoksydowych i poliuretanów (4, 5, 12). W badaniach wykorzystano repliki epoksydowe tego samego zęba, który został użyty przy budowie modelu do badań MES (ryc. 3A). W trakcie badania repliki zęba mocowano w układzie obciążającym przedstawionym na rycinie 3 i obciążano osiową siłą o wartości 1,5 N przekazywaną za pośrednictwem kulki stalowej na powierzchnię żującą (ryc. 3B). W celu wykonania analizy trójosiowego stanu naprężeń powstałych w replice, układ obciążający umieszczano w specjalnym piecu. Ryc. 1. Pomiary profilometryczne powierzchni zęba-a i wymodelowana powierzchnia żująca-b. 474

3 2005, LVIII, 7 Analiza numeryczna naprężeń w koronie zęba przedtrzonowego Ryc. 2. Model zęba, korona z siatką elementów skończonych (A), element typu tetra (B), F siła. Ryc. 3. Replika zęba wykonana z żywicy epoksydowej (A), replika zęba w układzie obciążającym (B). Przez 4 godziny próbki były rozgrzewane do temperatury 105 o C (378 K), którą utrzymywano przez 2 godziny, a następnie powolnie schładzano przez 6 godzin do temperatury pokojowej. W celu przeprowadzenia analizy quasi płaskiego stanu naprężeń, ze środkowej części korony repliki wycinano próbki o grubości 2 mm. Otrzymane preparaty analizowano z użyciem polaryskopu transmisyjnego, a uzyskane obrazy izochrom całkowitych i połówkowych rejestrowano fotograficznie. Wartości różnicy naprężeń głównych wyznaczono na podstawie równania elastooptyki: σ 1 σ 2 = m K [1] gdzie: m rząd izochromy, K elastooptyczna stała modelowa Elastooptyczna stała modelowa [1], [2] zależy od właściwości materiału modelu oraz jego grubości, dlatego wzór 1 przekształcono do postaci: 475

4 W. Grzebieluch i in. Czas. Stomat., σ 1 σ 2 = m K 0,01 /g [2] gdzie: K 0,01 = 0,017 [MN/m rz.iz.], g = 0,002 m grubość próbki MN mega Newton; m metr; rz.iz. rząd izochromy Zarówno Model MES, jak i epoksydowe repliki zęba umocowywano sztywno w okolicy korzeni przed obciążeniem siłą. Wyniki Rozkłady odkształceń i naprężeń zredukowanych według hipotezy Hubera-Misesa otrzymanych metodą MES w przekroju zęba przedstawiono na rycinie 4. Maksymalne wartości naprężeń zaobserwowano na powierzchni żującej oraz w warstwie pod tą powierzchnią, na guzku podniebiennym (do 83 MPa) i policzkowym (do 191 MPa). Analogicznie jak w przypadku naprężeń najwyższe wartości odkształceń występują w okolicy miejsca przyłożenia siły, przy czym większe wartości zaobserwowano w policzkowej części korony. Przykładowe obrazy izochrom całkowitych i połówkowych będące wynikiem badań doświadczalnych przedstawiono na rysunku 5. Uzyskane obrazy izochrom posłużyły do zestawienia zbiorczych rozkładów izochrom, a następnie do opracowania wykresów rozkładów różnicy naprężeń głównych (ryc. 5, 6). Obliczone wartości różnicy naprężeń głównych ilustruje rycina 6. Najwyższe wartości różnicy naprężeń głównych obserwujemy w rejonie powierzchni kontaktu sfery przekazującej siłę z powierzchnią repliki zęba. Wartości maksymalne obserwujemy na stoku guzka policzkowego do 35 MPa w miejscu izochromy rzędu czwartego. Wartość ta została obliczona dla rzeczywistej tkanki zęba, stosując zasady podobieństwa modelowego, przy założeniu, iż tkanka jest ciałem izotropowym (5, 12). Porównanie wyników doświadczalnych i numerycznych wskazuje na ich dużą zgodność zarówno pod względem rozkładów jak i wartości (ryc. 7). Porównując wyniki stwierdzono, iż maksymalne różnice wartości nie przekraczają 8% (ryc. 8). W obu przypadkach obserwujemy większe obciążenie policzkowej strony korony. Zaobserwowane różnice w wartości naprężeń po stronie policzkowej i językowej można wiązać ze sposobem przekazywania siły na powierzchnię żującą zęba. Dyskusja W wielu pracach dotyczących zastosowania MES w modelowaniu elementów narządu żucia dominują modele obarczone pewnymi uproszczeniami jak np. brak uwzględnienia w mode- Ryc. 4. Wyniki badania MES: rozkłady odkształceń (A) i naprężeń (B) zredukowanych według hipotezy Hubera- Misesa. 476

5 2005, LVIII, 7 Analiza numeryczna naprężeń w koronie zęba przedtrzonowego Ryc. 5. Przykładowe obrazy izochrom w próbce wyciętej ze środka korony repliki zęba: całkowite (A) i połówkowe (B). lu takich szczegółów jak anizotropia szkliwa (2, 5, 13) czy trójwymiarowości (3, 5, 8, 15). Dokładność wyników zależy w dużym stopniu od dokładności odwzorowania geometrii i struktury badanego obiektu oraz określenia odpowiednich właściwości materiałowych. W opisywanym modelu numerycznym istotnym uproszczeniem było sztywne umocowanie modelu w okolicy korzeni bez uwzględnienia właściwości kości i ozębnej. Tak przyjęte warunki brzegowe oczywiście odbiegają od rzeczywistości i mają wpływ na uzyskiwane wyniki. Biorąc jednak pod uwagę niewielką grubość ozębnej można szacować, iż wpływ takiego sposobu modelowania na uzyskane wyniki jest niewielki. Dodatkowo należy podkreślić, że w dostępnym piśmiennictwie publikowane są znacznie różniące się między sobą wartości właściwości mechanicznych ozębnej (6, 7, 10). Również z tego powodu zdecydowano, iż lepszym rozwiązaniem jest opracowanie modelu bez ozębnej niż modelowanie materiału, którego charak- Ryc. 6. Wyniki badania doświadczalnego (elastooptycznego): wykresy różnicy naprężeń głównych dla repliki epoksydowej. 477

6 W. Grzebieluch i in. Czas. Stomat., Ryc. 7. Porównanie rozkładów izochrom dla modelu numerycznego (A) i doświadczalnego replika (B) Ryc. 8. Porównanie wartości różnicy naprężeń σ 1 σ 2 dla modelu elastooptycznego i numerycznego. terystyka nie jest w pełni poznana. Ponadto wg Milewskiego (11) przyjęcie sztywnych utwierdzeń we wskazanych miejscach jest uproszczeniem w stosunku do warunków rzeczywistych, jednakże zastosowanie takich założeń w obu modelach pozwala na zakwalifikowanie ich jako błąd systematyczny, bez istotnego wpływu na wyniki. Obecnie większość opisywanych w piśmiennictwie modeli zębów, podobnie jak model prezentowany w tej pracy to modele trójwymiarowe. Geometria modeli powstaje na podstawie pomiarów (2) lub wykorzystywania danych ze skanera mikro-ct (3). Dokładność odwzorowania geometrycznego jest zatem w większości przypadków wysoka, a jej wpływ na wyniki obliczeń niewielki w przypadku użycia precyzyjnych metod pomiarowych. Istotne znaczenie dla wyników ma również postać i gęstość siatki elementów skończonych. Milewski (11) badał zmianę wyników MES przy różnych gęstościach siatki oraz porównywał wyniki badań doświadczalnych z wynikami obliczeń MES. Stwierdził, że chociaż w przypadku szkliwa trzykrotne zagęszczenie siatki zmienia wyniki zaledwie o 3%, to w przypadku wkładu koronowo-korzeniowego, aż o 10%. Obserwacje te autor tłumaczy występowaniem ostrych krawędzi w przypadku wkładu i zaleca w takich rejonach zagęszczanie siatki. Duże znaczenie dla uzyskanych wyników ma również postać siatki, a szczególnie jej odpowiednie przygotowanie do opracowania modeli o ortotropowych właściwościach tkanek. Określenie prawidłowych wartości właściwości mechanicznych tkanek zęba stanowi jeden z podstawowych problemów modelowania numerycznego tkanek. Zaproponowany w pracy model jest modelem o wysokiej dokładności odwzorowania geometrycznego, wysokiej gęstości siatki oraz uproszczonym modelu materiału zęba. Niemniej wykonane badania doświadczalne stanowią podstawę do weryfikacji modelu MES. Na wysoką skuteczność tego sposobu postępowania wskazują również prace innych autorów (2, 16). Podobieństwo wyników otrzymanych w tej pracy drogą numeryczną i doświadczalną jest 478

7 2005, LVIII, 7 Analiza numeryczna naprężeń w koronie zęba przedtrzonowego dowodem na poprawne funkcjonowanie modelu. Prezentowany model jest homogenny, niemniej w dalszym etapie badań zostanie uwzględniona struktura tkankowa. Piśmiennictwo 1. Arola D., Huang M. P., Sultan M. B.: The failure of amalgam dental restorations due to cyclic fatigue crack growth. J. Mat. Sci.: Materials in medicine, 1999, 10, 6, Ausiello P., Apicella A., Davidson C. L., Rengo S.: 3D-finite element analyses of cusp movements in a human upper premolar, restored with adhesive resin-based composites. J. Biomech., 2001, 34, 10, Barink M., Van der Mark P. C., Fennis W. M., Kuijs R. H., Kreulen C. M., Verdonschot N.: A tree-dimensional finite element model of the polymerization process in dental restorations. Biomat., 2003, 24, 8, Będziński R.: Biomechanika inżynierska. Zagadnienia wybrane. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1997, Będziński R., Chomiak Ł., Dudek K.: Pomiary naprężeń metodą elastooptyczną, Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1975, Cattaneo P. M., Dalstra M., Melsen B.: The Finite Element Method: a Tool to Study Orthodontic Tooth Movement. J. Dent. Res., 2005, 84, 5, Dlastra M.: Principles of orthodontic biomechanics. Acta Bioeng. Biomech., 2002, 4, Suppl., 1, Kierklo A.: Stan naprężeń w zębach leczonych endodontycznie i w tkankach otaczających. Czas. Stomat., 1995, XLVII, 6, Katona T. R., Winkler M. W.: Stress analysis of a bulk-filled class V light-cured composite restaurations. J. Dent. Res., 1994, 73, 8, Melsen B., Dalstra M., Cattaneo P. M.: Osseous reaction of orthodontic tooth movement. J. Paradont. & Impl. Orale, 2001, 20, Milewski G.: Wytrzymałościowe aspekty interakcji biomechanicznej tkanka twarda implant w stomatologii. Zeszyty Naukowe Politechniki Krakowskiej. Kraków 2002, Orłoś Z.: Doświadczalna analiza odkształceń i naprężeń. PWN, Warszawa 1977, Peters M. C. R. B., De Vree J. H. P., Brekelmans W. A. M.: Distributed crack analysis of ceramic inlays. J. Dent. Res., 1993, 72, 11, Toparli M., Gokay N., Aksoy T.: Analysis of restored maxillary second premolar tooth by using three dimensional finite element method. J. Oral Rehabil., 1999, 26, 2, Toparli M., Gökay N., Aksoy T.: An investigation of the stress values on a tooth restored by amalgam. J. Oral Rehabil., 1999, 26, 3, Winkler M. M., Katona T. R., Paydar N. H.: Finite element stress analysis of theree filling techniqes for class V light-cured composite restorations. J. Dent. Res., 1996, 75, 7, Otrzymano: dnia 31.III.2004 r. Adres autorów: ; Wrocław, ul. Kuźnicza 43/