=, gdzie N L! oznacza W N! N! ! N

Transkrypt

1 Wydział T; kierunek: Inż. Biomedyczna. ista nr 1 do kursu Fizyka. Rok. ak. 014/15 Studentka/student jest zobligowana/y do rzynoszenia na zajęcia ortfolio, w którym owinny znaleźć się: wydrukowane tabele wzorów fizycznych i matematycznych, notatki z wykładów, wszystkie listy zadań it. ista nr 1 ma na celu zdobycie rzez studentów wiedzy matematyczno-fizycznej oraz nabycie umiejętności rozwiązywania zadań dotyczących II zasady termodynamiki fenomenologicznej i elementów termodynamiki statystycznej z wykorzystaniem dotychczas zdobytych kometencji. Zadania nie rozwiązane na zajęciach lub krótko omówione mogą być treściami srawdzianów. 87. orawny wzór określający bezwzględną wartość entroii n moli gazu doskonałego o temeraturze T zajmującego objętość V zadaje wzór,, = ln + ln +, gdzie cieło molowe rzy stałej objętości, a S 0 stała wartość entroii w temeraturze zera bezwzględnego. A) W naczyniu o objętości 4 dm 3 znajdują się 4 mole tlenu o temeraturze 310 K. Jak zmieni się entroia tego gazu, gdy naczynie to odzielimy na dwie równe co do objętości części? B) Naczynie o objętości 4 dm 3 odzielona rzegrodą na dwie równe co do objętości części. W jednej z nich znajdują się mole a w drugiej 3 mole tlenu; temeratury gazów są takie same. Jak zmieni się entroia układu, gdy rzegroda zostanie usunięta? Ws-ka: atrz notatki do wykładów. 88. A) Oszacuj jaka część cząsteczek φ tlenu w temeraturze T = 300K ma rędkości zawarte w rzedziale (199 01) m/s. W obliczeniach osłużyć się rzybliżonym wzorem φ =4 ex dz, gdzie z = (199+01)/(v ), dz = (01 199)/v, ( ) v = k T m = RT N m = RT µ rędkość najbardziej rawdoodobna. B) Niechaj B 0 A 0 x = v v ; korzystając z wartości całki odanych w tabeli obok wyznacz, jaka część wszystkich cząsteczek jednego mola gazu idealnego znajdującego się w zbiorniku ma rędkości z rzedziału od v do v? Ile cząsteczek tego gazu ma rędkości z rzedziału od v do v? 89. Rozważmy zbiornik o objętości V, w którym znajduje się N = 100 cząsteczek gazu idealnego. Tabela obok rerezentuje, w ierwszych dwóch kolumnach, liczby cząsteczek odowiednio w lewej ołowie N oraz w rawej ołowie N zbiornika. ara liczb (N ; N ) określa dany makrostan rozatrywanego układu, n. makrostan (60;40) oznacza, że w lewej ołowie objętości znajduje się 60 a w rawej 40 cząsteczek tego gazu. Trzecia kolumna odaje liczby W mikrostanów realizujących dany makrostan określony arą liczb (N ; N ), rzy czym N! W N! N! =, gdzie N! oznacza funkcję silni. Ostatnia, czwarta kolumna, zawiera wartości rawdoodobieństw realizacji makrostanu, które zostało wyznaczone ze wzoru W 1 N! ( N ; N ) =. N N = N! N! Uwaga: Standardowy kieszonkowy kalkulator zawodzi, gdy chcemy oliczyć wartość 100! = 9, i otrzymujemy zazwyczaj komunikat OVERFOW lub Math ERROR. Dla bardzo dużych N, rzędu liczby Avogadra, możemy osługiwać się rzybliżeniem Stirlinga ln N! N(ln N ) N. Uzasadnij stwierdzenia: a) całkowita liczba mikrostanów wynosi N ; ws-ka: wyobraź sobie, że dodajesz rozróżnialne cząstki do zbiornika, jedną możesz rozmieścić na sosoby ( 1, tj. albo w lewej albo w rawej), dodając jednocześnie możesz rozmieścić je na 4 sosoby ( ; rzedstaw na rysunku te sosoby rozkładu) itd; b) liczba mikrostanów o zadanych liczbach N i N jest równa ( ) W = N! N! N!. W termodynamice statystycznej nadaje się entroii interretację mikroskoową za omocą definicji entroii Boltzmanna S = kb lnw, gdzie kb R NA 1 =, rzy czym W nazywa się często rawdoodobieństwem termodynamicznym lub arametrem nieuorządkowania. W rozatrywanym tutaj zagadnieniu S k B ln ( N! ( N! N!)) tabeli obliczając wartości S ( N N ) W ( N N ) B =. Samodzielnie uzuełnij dane w ; = k ln ;, wyniki zamieścić należy w ortfolio. Wyznacz zmianę entroii S w nastęujących rzyadkach: c) układ rzechodzi od oczątkowego makrostanu (60;40) do końcowego (50;50); d) układ rzechodzi od oczątkowego makrostanu (50;50) do końcowego (0;100).

2 B 90. Zasada andauera (1961): Nieodwracalne zaisanie w temeraturze T rzez cyfrowy komuter jednego bitu informacji w dwustanowej komórce amięci komutera owoduje wydzielenie do otoczenia energii cielnej w ilości Q = k T ln. Odkrycie Rolfa andauera jest fizyczną zasadą dotyczącą najniższej teoretycznej wartości energetycznego kosztu rzetwarzania informacji rzez cyfrowy komuter. recyzyjniejsze sformułowanie tej fizycznej zasady (003, Charles Bennett): Z każdym rocesem nieodwracalnego rzetwarzanie informacji logicznej, jak wymazanie bitu informacji, jest związany wzrost entroii elementów komutera lub wzrost entroii jego otoczenia. Uzasadnij zasadę andauera. Ws-ka: Komórkę amięci komuterowej lus jej bezośrednie otoczenie można modelowo otraktować jako izolowany układ termodynamiczny; komórka amięci to termodynamiczny odukład o dwóch umownych stanach: ZERO i JEDEN; nieodwracalny zais jednego bitu informacji owoduje, że komórka oddana jest rzemianie termodynamicznej od oczątkowych dwóch stanów ZERO lub JEDEN do jednego ze stanów, n. JEDEN; wyznaczmy teraz zmianę entroii Boltzmanna dla naszego odukładu (dwustanowa komórka amięci cyfrowego komutera): S S ( N ) S ( N ) 1 = = 1 = = kb ln1 k B ln = kb ln, widzimy, że lokalnie w naszym izolowanym układzie entroia komórki amięci zmalała, ale układ jest zamknięty, więc (II zasada termodynamika) entroia otoczenia wzrasta o co najmniej kb ln. 91. Energia mechaniczna cząsteczki gazu o masie m wchodzącego w skład owietrza na owierzchni Ziemi wynosi! "#$%. = G () * + * + (,- =./ 0 + (,-, gdzie R Z romień Ziemi. Uzasadnij ten wzór. Wyznacz temeraturę owietrza, rzy której cząsteczkowy wodór, azot, tlen mogą uciec z ola grawitacyjnego Ziemi. Ws-ka: rzyjąć za v rędkość średnią kwadratową. Jakie konsekwencje mają otrzymane wyniki dla składu atmosfery ziemskiej. Czy z uływem wieków skład atmosfer ziemskiej będzie zmieniał się? Jeśli tak, to w jaki sosób? 9. Średnia wartość kwadratu rędkości cząstki mugolonu, tworzącego hiotetyczny gaz idealny mugolonów, wynosi <v > = αkt /m 0, gdzie m 0 masa jednego mugolonu i α stała ottera. Korzystając z toku rozumowania zastosowanego na wykładzie do otrzymania równania Claeyrona stanu gazu doskonałego, okaż, że równanie stanu swobodnych mugolonów ma ostać 1 = /3. Wykreśl: a) izotermy gazu mugolonów w zmiennych -V, V-T i -T; b) izobary w zmiennych V-T, -V i -T; c) izochory w zmiennych V-T, -V i -T. 93. Swobodne rozrężanie gazu rys. obok. Jest to roces adiabatyczny, w którym nie ma wymiany cieła z otoczeniem ani nie jest rzez gaz wykonywana raca. Dlatego Q = W = 0. Zatem ierwsza zasada termodynamiki wymaga, aby nie zmieniała się energia wewnętrzna, tj. U = 0. Otwarcie zaworu (stocock) owoduje swobodną eksansję gazu, który wyełni całą objętość dwukrotnie większą od oczątkowej. Takie zjawisko różnie się komletnie od innych rzemian, onieważ odbywa się gwałtownie, a nie kwazistatycznie (a więc bardzo, bardzo owoli, a gaz rzechodzi łynnie od jednego stanu równowagi do kolejnego) w kontrolowany sosób. odczas swobodnego rozrężania się gaz nie znajduje się w stanie równowagi cielnej, a jego ciśnienie nie jest jednorodne w objętości zbiornika. Nie jest więc możliwe sorządzenie ciągłego wykresu -V dla tego rocesu. Jeden mol tlenu (gaz idealny) rozręża się izotermicznie w tem. 310 K od objętości V 1 = 1 dm 3 do V =4 dm 3. Uzasadnij, że w tych warunkach energia wewnętrzna gazu nie ulega zmianie, raca gazu i cieło wymienione z otoczeniem są sobie równe i wynoszą Q W T ( V V ) ( V V ) 1 = = R ln, a zmiana (wzrost) entroii jest równa S = R ln = R ln. Jaka będzie temeratura i ciśnienie końcowe, jeśli oisany roces rozrężania będzie adiabatycznym? Ws-ka: Zastosuj VT -1 = const. Jaka będzie temeratura i ciśnienie końcowe, jeśli oisany roces rozrężania będzie rocesem swobodnego rozrężania? W tym rzyadku sorządź wykres tej δq dv dt rzemiany w zmiennych -V i T-V. Korzystając ze wzoru ds = = R + CV okaż, że zmiana entroii T V T 1 w rocesie swobodnego rozrężania gazu wynosi S R ln ( V V ) =, co wskazuje, że roces jest nieodwracalny. Inne odejście do tego roblemu rzedstawiono w zad. 89, którego treść tutaj rzytaczamy. W termodynamice statystycznej nadaje się entroii interretację mikroskoową za omocą definicji entroii Boltzmanna S = kb lnw, gdzie kb = R NA, W nazywa się rawdoodobieństwem termodynamicznym lub arametrem nieuorządkowania i definiuje on liczbę mikrostanów realizujących dany makrostan układu 1

3 termodynamicznego. W rozatrywanym rzyadku makrostan oczątkowy odowiada stanowi, w którym w jednej ołowie zbiornika znajdują się wszystkie N A cząsteczek tlenu. Makrostan końcowy odowiada sytuacji, gdy cząsteczki tlenu są rozłożone równomiernie w zbiorniku, tj. N A / znajduje się w lewej ołowie i tyle samo w rawej ołowie. Zmiana entroii Boltzmanna S = k ln ( W W ), gdzie W, W 1 to odowiednio 3 1 B 1 arametry nieuorządkowania stanu końcowego i oczątkowego. iczba W określa ile mikrostanów realizuje N! dany makrostan zadany arą liczb (N ; N ), rzy czym W =, gdzie symbol! oznacza silnię, zaś N N! N! i N określają liczbę cząsteczek gazu odowiednio w lewej i rawej ołowie zbiornika. Rozważmy swobodne rozrężanie jednego mola gazu idealnego (n. tlenu) jako rzejście od stanu (100;0), dla którego 100! N A! W 1 = = 1, do stanów odowiadających (50;50), dla którego W =. Wartość entroii 100!0! N! N! ( A ) ( A ) Boltzmanna dla stanu (100;0) wynosi S k ln ( W ) 0. S ( W ) N! A = kb ln = kb ln. ( NA )!( NA )! osługiwać się rzybliżeniem Stirlinga ln N! N(ln N ) N. = = Dla stanów (50;50) 1 B 1 Dla bardzo dużych N, rzędu liczby Avogadra, możemy okaż, że S ( W W ) = k ln = R ln. 1 B 1 N A! Ws-ka: ln = ln N A! ln (( NA )!) ; do tej równości należy teraz zastosować ( NA )!( NA )! rzybliżenie Stirlinga. 94. Silnik Stirlinga jest nieco odobny do silnika Otto (benzynowego) chociaż komresja i rozrężanie zachodzi izotermicznie a nie adiabatycznie. Jest to silnik zewnętrznego salania, onieważ w jego wnętrzu nie zachodzi salanie się mieszanki aliwowej. Do działania silnika wystarcza różnica stworzenie różnicy temeratur między substancją roboczą i otoczeniem. Może to być wywołane rzez światło słoneczne, wody geotermalne, różnica temeratur między wodą mórz/oceanów, ogrzewanie silnika łomieniem ze źródła. Cieło jest obierane z zewnątrz ze salanego oza silnikiem aliwa. Dlatego jest to bardzo cichy silnik, w orównaniu z silnikiem Otto onieważ nie jest salana mieszanka wybuchowa. Jednak nie znalazł na razie owszechnego zastosowania w samochodach ze względu na rozmiary, masę i mniejszą srawność niż silnik Otto i Diesla. Zamknięty cykl składa się z 4 rzemian: a b rzemiana izotermiczna w temeraturze T 1, której stoień komresji wynosi r; b c rzemiana izochoryczna, w której temeratura rośnie do T ; c d rzemiana izotermiczna w temeraturze T ; d a rzemiana izochoryczna, która obniża temeraturę do T 1. Załóżmy, że n moli gazu idealnego o danej wartości cieła molowego C V jest ośrodkiem roboczym. Wyznacz Q, W, U dla wszystkich rzemian odwracalnego cyklu zamkniętego. okaz, że teoretyczna srawność silnika Sterlinga jest równa η = 1 6. Ws-ki: Uzasadnij, że: a) cieła obrane rzez gaz idealny w rzemianach izochorycznych w sumie są równe zeru; b) całkowita raca wykonana rzez gaz w rzemianach izotermicznych wynosi 78 $9ł;<=>?9 = R 6 lna; c) cieło jest dostarczane układowi tylko w rzemianie c d w ilości ΔD = R lna. Silnik ma szanse być wsółcześnie zastosowany w samochodach, ojazdach kosmicznych i łodziach odwodnych! 95. Jak energia wewnętrzna i molowe cieła C V dowolnego gazu idealnego zależą od stoni swobody jego cząsteczek. Należy rozważyć wszystkie stonie swobody związane z ruchem ostęowym, obrotowym i drgającym. W. Salejda Wrocław, 5 stycznia 015

4 Zadania do samodzielnego rozwiązania 1. orawny wzór określający bezwzględną wartość entroii n moli gazu doskonałego o temeraturze T zajmującego objętość V zadaje wzór,, = ln + ln +, gdzie cieło molowe rzy stałej objętości, a S 0 stała wartość entroii w temeraturze zera bezwzględnego. A) W naczyniu o objętości 4 dm 3 znajdują się 4 mole tlenu o temeraturze 310 K. Jak zmieni się entroia tego gazu, gdy naczynie to odzielimy na dwie równe co do objętości części, a jak gdy zostanie odzielone na dwie części o objętościach 1 dm 3 i 3 dm 3? B) W naczyniu o objętości 4 dm 3 odzielonego rzegrodą na dwie równe co do objętości części znajdują się 4 mole tlenu o temeraturze 310 K. Jak zmieni się entroia tego gazu, gdy zostanie usunięta rzegroda? C) Naczynie o objętości 4 dm 3 odzielona rzegrodą na dwie równe co do objętości części. W jednej z nich znajdują się mole a w drugiej 3 mole tlenu; temeratury gazów są takie same. Jak zmieni się entroia układu, gdy rzegroda zostanie usunięta? Ws-ka: atrz notatki do wykładów.. Tlen, który w temeraturze 40 o C od ciśnieniem 1, a zajmuje objętość 1000 cm 3, rozręża się do 1500 cm 3, czemu towarzyszy wzrost ciśnienia do wartości 1, a. Wyznacz: a) liczby moli i cząsteczek gazowego tlenu, b) temeraturę końcową tlenu. 3. Zbiornik A z rys. oniżej wyełnia gaz idealny od znanym ciśnieniem A i o znanej temeraturze T A i nieznanej objętości V. Zbiornik ten jest ołączony cienką rurką cienką rurką z zaworem ze zbiornikiem B o objętości 3V, który wyełnia ten sam gaz doskonały od ciśnieniem B = A /3 i o temeraturze T B = 1,5ˑT A. W ewnej chwili otworzono zawór, co sowodowało wyrównanie się ciśnień w obu zbiornikach, w których gaz jest utrzymywany w temeraturach oczątkowych. Wyznacz ciśnienie w ołączonych zbiornikach. Ws-ka: Uzasadnij, że warunek zadania można zaisać w ostaci 1ˑ F = F G R F,1ˑ H = H + G R H, gdzie założono, że G jest liczba moli gazu, które ubyły ze zbiornika A; G może mieć wartość dodatnią lub ujemną. 4. W zbiorniku znajduje się jeden mol gazu idealnego o temeraturze 0 o C od ciśnieniem 10 5 a. odaj wzór określający liczbę cząsteczek (ale nie obliczaj) tego gazu, których wartości rędkości są większe od rędkości dźwięku w tym gazie. 5. Cieło właściwe gazu argonu 0,075 cal/(gˑk). Wyznacz masę molową argonu oraz masę jednego atomu tego gazu. 6. Wykres obok rerezentuje hiotetyczny rozkład rędkości cząsteczek gazu w zbiorniku zawierającym danych N cząsteczek gazu, rzy czym rawdoodobieństwo znalezienia cząsteczek o rędkości większej od danej v 0 wynosi zero, tj. (v > v 0 ) = 0. Jak arametr a zależy od v 0? Ile cząsteczek ma rędkości z rzedziału <1,5v 0 ; v 0 >? Wyznacz rędkość średnią cząsteczek oraz rędkość, średnią kwadratową. Ws-ka: I JKdK = 1, zauważ, że wartość tej całki jest równa owierzchni od wykresem (v); otrzebne całki znajdź samodzielnie w tabeli wzorów matematycznych. 7. W zbiorniku znajduje się 10 moli tlenu o temeraturze 300 K. Jaka liczba cząsteczek tlenu o masie molowej µ = 0,03 kg/mol ma rędkości w rzedziale od 599 m/s do 601 m/s? Uzasadnij, że szukany ułamek należy wyznaczyć 3/ ze wzoru µ µ v 4π v 10 N A ex v, gdzie v = m/s. Od. 1, π RT RT 8. Rysunek obok rerezentuje rozkład rędkości cząsteczek hiotetycznego gazu, rzy α czym ( v) = v dla v v 0 i ( v ) = 0 dla v > v 0. Wyznacz: a) α ; b) wartość rędkości średniej, c) rędkość średnią kwadratową. 9. Gęstość ewnego gazu o temeraturze 73 K od ciśnieniem 10 3 a wynosi 1,4ˑ10-5 g/cm 3. Wyznacz rędkość średnią kwadratową cząsteczek oraz masę jednej cząstki tego gazu. Ile wynosi średnia energia kinetyczna ruchu ostęowego cząsteczek tego gazu? 10. A) okaż, że odczas adiabatycznego rozrężania gazu idealnego jego temeratura maleje. B) Gaz idealny o wykładniku adiabaty 1,4 od ciśnieniem oczątkowym 0 = 1,ˑ 10 5 a o temeraturze T 0 = 310 K zajmował objętość V 0 = 0,76 dm 3. Nastęnie gaz ten adiabatycznie rozrężono do objętości V 1 = 4,3 dm 3. B1) Oblicz temeraturę końcową T 1 gazu. B) okaż, że raca tego gazu odczas oisanego rozrężania adiabatycznego wyraża się wzorem nˑc V (T 0 T 1 ), gdzie = 1 /R, C V = 5R/. 4

5 11. Tabela określa liczbę cząsteczek gazu o odanych rędkościach. Oblicz rędkość: a) średnią cząsteczek, b) średnią kwadratową cząsteczek. okaż, że obie rędkości średnie cząsteczek gazu będą sobie równe, od warunkiem, że wszystkie wartości rędkości są takie same. iczba cząsteczek rędkości [m/s] Cztery mole tlenu, którego cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym i drgającym ogrzano o 40 K od stałym ciśnieniem. Ile cieła dostarczono do gazu? O ile wzrosła energia wewnętrzna gazu? Jaką racę wykonał gaz? O ile wzrosła energia kinetyczna ruchu ostęowego cząsteczek tego gazu idealnego? 13. Jeden mol gazu idealnego oddano cyklicznej rzemianie okazanej na rys. obok. rzemiana 3 jest adiabatyczna; T 1 = 300 K, 1 = 10 5 a, T = 600 K, T 3 = 455K, R = 8,3 J/(molˑK). Oblicz cieło, racę oraz zmianę energii wewnętrznej dla każdej z tych rzemian osobno oraz dla całego cyklu zamkniętego. 14. Dwa mole gazu idealnego odlega odwracalnej rzemianie rzedstawionej na wykresie obok. A) Ile energii w ostaci cieła obrał gaz? B) Ile wyniosła zmiana energii wewnętrznej gazu? C) Jaka racę wykonał gaz odczas tej rzemiany? Stan oczątkowy ma arametry (T 0 = 400 K; S 0 = 5 J/K), (T k = 00 K; S k = 0 J/K), Ws-ka: Q = TˑdS i orównaj to ze sosobem obliczania racy W = ˑdV. 15. Oblicz ilość cieła dostarczonego róbce gazu idealnego, jeżeli jego entroia w wyniku odwracalnego rozrężania izotermicznego w temeraturze 140 o C wzrosła o 50 J/K. 16. Dwuatomowy gaz doskonały, którego cząsteczki uczestniczą w ruchu obrotowym, ale nie wykonują drgań, oddano rocesowi cyklicznemu z rysunku obok. rzyjmując za dane 1, V 1 i T 1 oraz R oblicz: A) 3, V 3 i T 3 ; B) racę W, Q, U, S w rzeliczeniu na mol gazu we wszystkich 3 rzemianach cyklu; C) Ile wynosi srawność takiej maszyny cielnej? 17. Załóżmy, że jeden mol jednocząsteczkowego gazu rzerowadzono od stanu oczątkowego ( 1,V 1 ) do stanu końcowego ( 1,V 1 ) oddając go dwóm różnym rzemianom: (I) gaz izotermicznie rozręża się do objętości V 1 a nastęnie jest izochorycznie srężane do 1. (II) Gaz jest izotermicznie srężany aż jego ciśnienie wzrośnie dwukrotnie o czym jest izochorycznie rozrężany do objętości V 1. A) rzedstaw każdą z rzemian w zmiennych -V. B) Dla rzemian (I) i (II) wyznacz Q/( 1ˑV 1 ) dla każdego z etaów rzemian. C) racę wykonaną W/( 1ˑV 1 ) dla każdego z etaów rzemian. D) Ile wynosi dla (I) i (II) rzemian U/( 1ˑV 1 ) a ile S? 18. Cykl odwrotny Carnota rerezentują oniższe diagramy w zmiennych -V ( ) i T-S (C D A B C na środkowym diagramie; na rawym). W tym odwracalnym cyklu zamkniętym (cykl rzebiega odwrotnie do ruchu wskazówek zegara), gaz idealny obiera cieło w ilości Q 3 = Q od układu o niższej temeraturze T (chłodnicy) i rzekazuje cieło w ilości Q 1 4 = Q H, układowi o wyższej temeraturze (grzejnicy) kosztem wykonania racy W. Srawność tego cyklu definiuje wsółczynnik wydajności M = O. Korzystając z odwracalności cyklu, I zasady termodynamiki i zmiany entroii ( U = 0 i S = 0), okaż, Q że wydajność tego cyklu wynosi M = O = R STR Q. Ws-ki: Uzasadnij, że: a) całkowita ilość cieła wymieniona w jednym cyklu z otoczeniem Q = Q Q H ; b) raca wykonana rzez gaz na rzecz otoczenia W = Q; c) sełniona Q R Q jest równość Q R Q S R S = 0. 5

6 19. okaż, że srawność cyklu Carnota wynosi ( T T ) T ( ) η = H H = ε 1 ε, gdzie ε jest wsółczynnikiem wydajności cyklu odwrotnego. 0. Jeden mol jednoatomowego gazu doskonałego został oddany rzemianie cyklicznej rzedstawionej na rys, obok w zmiennych -V. rzyjmijmy, że = 0, V = V 0, gdzie 0 = 10 5 a, V 0 = 0,05 m 3.. Oblicz: a) racę wykonaną odczas cyklu; b) cieło dostarczone w rocesie a b c, c) srawność cyklu; d) ile wynosiłaby srawność silnika Carnota racującego omiędzy najwyższą i najniższą temeraturą tego cyklu? 1. Masa m wodoru rozszerza się izobarycznie, dwukrotnie owiększając objętość. Znaleźć zmianę entroii w tym rocesie. Dane są: masa cząsteczkowa wodoru µ i cieło właściwe rzy stałym ciśnieniu c.. Cztery mole gazu doskonałego oddano izotermicznemu rzy T = 400K odwracalnemu rozrężaniu od V 1 do V = V 1. Obliczyć racę wykonaną rzez gaz oraz zmianę entroii gazu. 3. W dwóch naczyniach o ojemnościach V 1 i V znajdują się masy m 1 i m gazów o masach cząsteczkowych odowiednio µ 1 i µ. Obliczyć ciśnienie mieszaniny gazów owstałej o ołączeniu tych naczyń rzewodem o omijalnej objętości oraz zmianę entroii w tym rocesie. Temeratura mieszających się gazów jest stała i wynosi T. 4. Dwa odukłady o temeraturach oczątkowych T 1 i T > T 1 oraz ojemnościach cielnych odowiednio C 1 i C zetknięto ze sobą, ozwalając na wyrównanie się temeratur. Znaleźć zmianę entroii układu w całym rocesie. 5. Znaleźć zmianę entroii rzy zamianie masy m lodu o temeraturze T 1 w arę o temeraturze T. Dane są cieła właściwe lodu, wody, ary wodnej oraz cieła tonienia lodu i arowania wody. 6. ierwszy stoień dwustoniowego silnika Carnota obiera z grzejnika o temeraturze T 1 energię w ostaci cieła Q 1, wykonuje racę W 1 i oddaje do chłodnicy o temeraturze T energię w ostaci cieła Q. Drugi stoień obiera energię Q, wykonuje racę W i oddaje do chłodnicy o jeszcze niższej temeraturze T 3 energię Q 3. Udowodnij, że srawność dwustoniowego silnika Carnota jest równa (T 1 T 3 )/T Jeden mol gazu doskonałego o nieznanej liczbie stoni swobody oraz ciełach molowych użyto jako substancji roboczej w silniku wysokorężnym (silnik Diesla) racującym według nastęującego cyklu zamkniętego okazanego na diagramie obok w zmiennych -V: (1) (1 ) załon od ( 1,V 1 ) do ( = 1,V = V 1 ); () ( 3) suw bez wymiany cieła z otoczeniem od (,V ) do ( 3 = 1 /3,V 3 = 16V 1 ); (3) (3 4) od ( 3,V 3 ) do ( 4 = 3,V 4 = 8V 1 ); (4) suw (4 1) bez wymiany cieła z otoczeniem od ( 4,V 4 ) do ( 1,V 1 ). Wyznacz wykładnik adiabaty oraz liczbę stoni swobody tego gazu. Obliczyć: a) Temeratury na oczątku i końcu każdej z rzemian; b) Srawność silnika. Ws-ki: Cieło jest wymieniane z otoczeniem tylko w rzemianach izobarycznych; temeratury w unktach 1,, 3 i 4 wykresu należy wyznaczyć z równania stanu gazu doskonałego. 8. Jeden zamknięty cykl silnika benzynowego składa się z 4 nastęujących rzemian; atrz diagram obok w zmiennych -V: (1) (1 ) załon od ( 1,V 1 ) do ( = 3 1,V 1 ); () ( 3) suw bez wymiany cieła z otoczeniem od (,V 1 ) do ( 3,V 3 ); (3) (3 4) ssanie od ( 3,V 3 ) do ( 4,4V 1 ); (4) (4 1) suw bez wymiany cieła z otoczeniem od ( 4,4V 1 ) do ( 1,V 1 ). Traktując mieszaninę benzyna-owietrze jako gaz idealny o znanym wykładniku adiabaty obliczyć: a) Ciśnienie i temeraturę na oczątku i końcu rzemian; b) srawność silnika. Ws-ki: okaż najierw, że równanie adiabaty w zmiennych V-T ma ostać VT6 ; nastęnie wykorzystując równania adiabat i izobar okaż, że Q 1 = C V T 1 i Q 3 4 = Q 1 /(4) a) Chłodziarka Carnota wymaga 300 J racy, aby obrać 800 J cieła z komory chłodzenia. Ile wynosi jej wsółczynnik srawność? Ile cieła jest odrowadzane na zewnątrz rzez chłodziarkę? b) Klimatyzator obiera energię cielna z okoju o temeraturze t Z = 1 o C i odrowadza ją do otoczenia o temeraturze t 0G = 3 o C. Ile wynosi jej wsółczynnik wydajności? Ile dżuli energii obranej z okoju rzyada na jeden dżul energii elektrycznej dostarczonej klimatyzatorowi? Ile wyniesie wydajność chłodziarki, jeśli temeratura otoczenia wzrośnie do 3t 0G, a otem do 10t 0G? 30. Dwa ręty, z miedzi i z aluminium, o rzewodnościach cielnych odowiednio 394 i 18W/(mK), długości 50 cm każdy i romieniu 1 cm są ołączone szeregowo. Ich owierzchnie boczne są izolowane cielnie. Wolny koniec ręta 6

7 miedzianego znajduje się w temeraturze 80 C, a aluminiowego w temeraturze 10 C. (a) Jaka jest temeratura na złączu? (b) Jaka jest szybkość rzeływu cieła rzez ręty? 31. Oblicz strumień cieła uciekającego z organizmu narciarza rzez jego ubranie, jeżeli rzyjmie się nastęujące dane: ole owierzchni ciała 1,8m, grubość ubrania 1 cm, temeratura skory 33 C, temeratura owietrza 1 C i rzewodność cielna właściwa ubrania 0,04W/(mK). Jak zmieniłby się ten wynik, jeżeli w wyniku uadku kombinezon narciarza nasiąkłby wodą, której rzewodność cielna właściwa wynosi 0,6W/(mK)? 3. Kulę o romieniu 0,5m, temeraturze 7 C i zdolności emisyjnej 0,85 umieszczono w otoczeniu o temeraturze 77 C. Z jaką szybkością kula: (a) emituje; (b) ochłania romieniowanie cielne? (c) Jaka jest wyadkowa szybkość wymiany energii rzez kulę? 33. Uzasadnij, że ciśnienie (h) w gazie o stałej temeraturze T oddanym działaniu ola grawitacyjnego Ziemi na wysokości h ma wartość (h) = 0 ex[ µgh/(rt)] = 0 ex[ m 0 gh/(kt)], gdzie 0 ciśnienie na oziomie morza, µ masa molowa, m 0 masa jednej cząstki gazu doskonałego. Twoim zadaniem jest wykonanie kalibracji okojowych barometrów, które umieszczone są w miastach znajdujących się na różnych wysokościach h nad oziomem morza (nazwy miasta/miejsc oraz wartości średnich wysokości nad oziomem morza (n..m.) zestawiono w tabeli). Widoczny na fotografii obok fragment barometru jest wykalibrowany w ewnym mieście na ciśnienie unormowane 74,5 cm Hg, na co wskazuje ustawienie miedzianej wskazówki tego barometru. Wzór ( ) = µ ( ) h 0 ex gh / RT określa unormowane ciśnienie atmosferyczne anujące na wysokości h nad oziomem morza; µ masa molowa owietrza, 0 = 760 mm Hg (1013,5 ha) ciśnienie atmosferyczne na oziomie morza. rzyjmując, że dla owietrza µ = 9 g/mol, a jego temeratura T = 300 K jest stała, uzuełnij oniższą tabelę (wyniki kalibracji odaj z dokładnością do 1 mm Hg). Miasto Wysokość h n..m. [m] Wrocław 108 Świdnica 50 Wałbrzych 475 Karacz 700 Wskaż źródła możliwych niedokładności obliczonych i zamieszczonych w tabeli wartości unormowanych ciśnień. 34. Samolot leci na wysokości 8,3 km. W kabinie asażerów utrzymywane jest ciśnienie odowiadające ciśnieniu owietrza na wysokości,7 km. Oszacować: a) stosunek gęstości owietrza w kabinie, gdzie temeratura wynosi +0 C, do gęstości owietrza otoczenia o temeraturze 0 C; b) różnicę ciśnień między wnętrzem i otoczeniem. Masa molowa owietrza 9 g/mol. 35. okaż, że równanie rzemiany adiabatycznej w zmiennych T-V ma ostać VT6 = WXY 6 i V 1 6TV = WXY w zmiennych -T. 36. ( Odmrażanie stoni swobody ). a) Obliczyć energię ruchu cielnego oraz molową ojemność cielną C V gazu idealnego o temeraturze T oraz i stoniach swobody korzystając z zasady ekwiartycji energii cielnej. b) rzy dostatecznie wysokich temeraturach cząsteczka gazu dwuatomowego wykonuje w rzestrzeni obroty (sztywna dwuatomowa molekuła wiruje w rzestrzeni) o średniej energii k B T. Ile wynosi w tych warunkach ojemność molowa C (1) V? (Gaz cząsteczek H w rzedziale temeratur od 350K do około 800K ma C V = C (1) V.). c) rzy jeszcze wyższych temeraturach wzbudzane są wibracyjne stonie swobody cząstki dwuatomowej (atomy wykonują ruch drgający wzdłuż linii łączącej je), rzy czym średnia energia takiego ruchu wynosi kt. Obliczyć ojemność C () V rzy bardzo wysokich temeraturach. (Gaz cząsteczek H o temeraturze owyżej 5000K wykazuje C V = C () V.) 37. rędkość najbardziej rawdoodobna v odowiada wartości maksymalnej funkcji rozkładu Maxwella Z ) K = [WXY K ex. K ] H. okaż, że: a) K^ = _`R v, tj. v ( = kbt m0 ; b) jeśli rzyjąć nową zmienną x =, v to Z ) K = [WXY K ex. K ] H dk = 4 a ex a da. 7 Ciśnienie unormowane [mmhg]

8 38. A) Stacja meteorologiczna jest umieszczona na wysokości 350m. Oszacować ciśnienie owietrza na tej wysokości. rzyjąć: temeraturę owietrza 5 C, masę molową owietrza 9 g/mol, ciśnienie na oziomie morza 0 = 1000 ha. B) Na jakiej wysokości ciśnienie owietrza stanowi 75% ciśnienia na oziomie morza? Masa molowa owietrza 9 g/mol. C) Załóżmy, że atmosfera Ziemi jest złożona tylko z atomów: azotu, lub tlenu albo wodoru. Oszacować ciśnienie takiej atmosfery na wysokości 1 km. rzyjąć: temeraturę atmosfery 5 C, ciśnienie na oziomie morza 0 = 1000 ha. 39. Ile waży 1m 3 owietrza: A) na owierzchni Ziemi; B) na wysokości 4 km nad owierzchnią? rzyjąć temeraturę owietrza za 0 C. Ciśnienie na oziomie morza 0 = 1000 ha. 40. Diagramy obok rzedstawiają cykl zamknięty silnika salinowego (cykl Otta): 1 suw adiabatycznego zasysania mieszanki aliwowej; 3 załon mieszanki aliwowej w rzemianie izochorycznej; 3 4 adiabatyczny suw racy (rozrężanie); 4 1 rzemiana izochoryczna usuwania salin do otoczenia. okaż, że srawność takiego cyklu wynosi 1 6 b cde, gdzie A = e - jest wsółczynnikiem srężania w rzemianie 1. Ws-ka: atrz htts:// 41. Diagramy obok rerezentują cykl zamknięty racy modelu silnika Diesla. rzemiana adiabatyczna 1 (a b) to srężanie owietrza (bez aliwa); w unkcie (b) nastęuje wtrysk aliwa od wysokim ciśnieniem i załon mieszaniny bez iskry; generacja i transfer cieła do srężonego owietrza rzybliżamy rzemianą izobaryczną 3 (b c); suw racy 3 4 (c d) modelujemy rzemianą adiabatyczną; o otwarciu zaworu i dwóch dodatkowych suwach gorące owietrze i rodukty salania są zastęowane w rzemianie izochorycznej 4 1 (d a) rzez świeże owietrze. Załóżmy, ze substancją roboczą jest gaz idealny o znanych ciełach molowych. okaż, że wsółczynnik srawności tego cyklu można wyrazić za omocą temeratur T a, T b, T c, T d związki dla rzemian adiabatycznych T V oraz wykładnik adiabaty i wynosi on = T V i T V 1 1 a a b b 1 1 c c d d 1 1 V c V b Tc Tb Vd Va η = 1. 1 Td Ta η = 1. T T = T V oraz równość V a = V b, okaż, że ( T T ) c b c b Nastęnie wykorzystując 4. Diagramy oniżej rezentują cykl zamknięty racy modelu silnika Diesla. rzemiana adiabatyczna 1 (a b) to srężanie owietrza (bez aliwa); w unkcie (b) nastęuje wtrysk aliwa od wysokim ciśnieniem i załon mieszaniny bez iskry; generacja i transfer cieła do srężonego owietrza rzybliżamy rzemianą izobaryczną 3 (b c); suw racy 3 4 (c d) modelujemy rzemianą adiabatyczną; o otwarciu zaworu i dwóch dodatkowych suwach gorące owietrze i rodukty salania są zastęowane w rzemianie izochorycznej 4 1 (d a) rzez świeże owietrze. Załóżmy, ze substancją roboczą jest gaz idealny o znanych ciełach molowych. okaż, że wsółczynnik srawności T T T 1 1 α 1 η = = , 1 T T3 T 1 r ( α 1) htts:// gdzie r=v 1 /V i = R f R - = f -. Ws-ka: atrz 8

9 43. Rysunki obok rzedstawiają zamknięty cykl Braytona racy silników turbin gazowych stosowanych w generatorach rądu elektrycznego, w samolotach i rakietach. Na odcinku 1 (A B) owietrze o ciśnieniu atmosferycznym min = 1, temeraturze T 1 jest oddawane adiabatycznemu srężaniu, co odnosi jego ciśnienie do max = i temeraturę do T, onieważ nad owietrzem jest wykonywana raca. Nastęnie gorące owietrze trafia do komory salania (combustion chamber), gdzie jest mieszane z aliwem i mieszanka ulega wybuchowemu salaniu 3 (B C), co odnosi temeraturę mieszaniny do T 3 od stałym ciśnieniem max =. Mieszanina gazowa wykonuje eta racy (naędza turbinę) 3 4 (C D), rozrężając się adiabatycznie do ciśnienia atmosferycznego min = 1 = 4, osiągając temeraturę T 4. Ostatni eta cyklu 4 1 (D A), olega na izobarycznym ochłodzeniu salin do temeratury T 1 i usunięciu ich na zewnątrz silnika. okaż, że srawność T4 T1 tego silnika, jeśli substancją robocza jest gaz idealny w ilości n moli, wynosi η = 1. Ws-ka: Cieło T T jest obierane w rzemianie 3 (B C) w ilości Q nc ( T T ) 9 H 3 3 = i oddawane układowi w ilości QH QC QC = nc ( T4 T1 ), więc η =. okaż, że równanie adiabaty w zmiennych -V ma ostać Q ( 1) H T = const. okaż, że analiza rocesu adiabatycznego 1 (A B) ozwala otrzymać wyrażenie ( 1) max ( 1) T1 = T = r T, min gdzie odobnie okaż, że dla adiabatycznego rozrężania mamy ( ) r max = określa stoień zwiększenia ciśnienia w tym rocesie. min ( 1) max ( 1) T4 = T3 = r T3. min Nastęnie 1 uzasadnij, że η = 1 r. Wyznacz srawność silnika Braytona dla dwuatomowego gazu idealnego, w którym nie i są wzbudzane oscylacyjne stonie swobody i dla r = 10. Czy wzbudzenie oscylacyjnych stoni swobody zwiększa η? a n + B nb = nr T. unkt krytyczny ma 3 ściśle określone V wartości ciśnienia kr, temeratury T kr i objętości V kr, które odowiadają unktowi rzegięcia izotermy krytycznej. arametry krytyczne wyznaczamy z warunków na ierwszą ochodną = 0 oraz na drugą ochodną V 44. Równanie gazu Van der Waalsa ma ostać ( ) V kr nrtkr an an nrtkr = 0. okaż, że A) = + = 0 = 3 3 ; V V nb V V V nb B) k r kr ( ) kr kr ( ) kr nrt an an nrt 6 0 6, kr kr = = = V ( Vkr nb) Vkr Vkr ( Vkr nb) kr C) V kr = 3nb; ws-ka: odziel stronami otrzymane wyżej rezultaty, D) T kr = 8a/(7bR); ws-ka: odstaw V kr do otrzymanego wzoru an = 3 nrtkr kr kr ( ) V V nb E) kr = a/(7b ); ws-ka: odstaw wyniki z C) i D) do równania gazu. F) Wyznacz temeraturę krytyczną dla dwutlenku węgla, dla którego a =,13 a m 6 /mol i b = 31, m 3 /mol i orównaj z danymi tablicowymi., kr

10 45. Jeden kg wody o tem. 100 o C jest odgrzewany (rys. obok) i aruje od ciśnieniem atmosferycznym 1, a, w wyniku czego objętość wody 10-3 m 3 rzekształca się w arę o objętości 1, m 3. Jaka racę wykonuje układ odczas odarowywania wody? Ile cieła jest dostarczonego układowi odczas arowania? Jaka jest zmiana energii wewnętrznej układu? 46. Układ może wymieniać cieło z otoczeniem romieniując lub absorbują energię fal elektromagnetycznych. romieniowanie energii w ostaci fal elektromagnetycznych znany jest od nazwą romieniowania cielnego (termicznego). Strumień romieniowania cielnego emitowanego wynosi J #">?. = σhε j, gdzie A owierzchnia emitująca, σ = 5, W/(m K 4 ) stała Stefana-Boltzmanna (od nazwiska odkrywcy na drodze ekserymentalnej Józefa Stefana i udwika Boltzmanna (odał uzasadnienie teoretyczne), T temeratura owierzchni emitującej; ε arametr rzyjmujący wartości z rzedziału (0.0;1.0>. Strumień romieniowania cielnego j j absorbowanego J 9kl. = σhε <?<$m#n>9, gdzie A owierzchnia absorbująca; <?<$m#n>9 temeratura otoczenia; ε arametr rzyjmujący wartości z rzedziału (0.0;1.0>. Wyadkowy strumień energii cielnej J = J abs. J emit. = 4 σhε otoczenia 4. Niektóre insekty (żuk Melanohila) otrafią dokonać detekcji ożaru z odległości onad 10 km, dzięki osiadania stosownych organów-recetorów ochłaniających romieniowanie cielne owodującego (rozszerzanie się określonych fragmentów ciała) obudzenie synas. Niektóre węże (n. grzechotnik) także osługują się recetorami romieniowania cielnego, co umożliwia im olowanie w zuełnych ciemnościach. Wyobraź sobie, że 4,5 g wody o temeraturze 6 o C rozlałeś na owierzchni 9 cm i ozostawiłeś gwiaździstej nocy na owietrzu, którego temeratura wynosiła 3 o C. Oszacuj czas t, o uływie którego woda zamarznie. Cieło właściwe wody 4190 J/(kg K); cieło tonienia 3, J/kg. rzyjmij, że układ woda+lód emituje romieniowania cielne w temeraturze 0 o C. Ws-ka: okaż, że woda o całkowitym zamarznięciu oddaje cieło w ilości 161 J, które jest wyromieniowane do atmosfery; należy uwzględnić zjawisko absorcji z owietrza (otoczenia) energii cielnej rzez układ woda+lód. Od. t =, s. 47. Załóżmy, że kg wody o temeraturze sontanicznie zmienia temeraturę, w ten sosób, że 1 kg ochładza się do 0 o C (i nie zamarza) a ozostała część ogrzewa się do 100 o C (i nie aruje). Jaka jest zmiana entroii układu? Czy ten roces jest możliwy do zaobserwowania? Ws-ka: Zmiana entroii ciała o masie m, ciele właściwym c W, gdy jego d T temeratura zmienia się od T 1 do T wynosi S1 = mcw. T Wrocław, 5 stycznia 015 T T1 W. Salejda 10