Wstęp do sieci neuronowych, wykład 15, Neuron Hodgkina-Huxleya

Transkrypt

1 Wstęp do sieci neuronowych, wykład 15, Neuron Hodgkina-Huxleya Maja Czoków, Jarosław Piersa, Andrzej Rutkowski Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

2 1 2 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy 3 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH

3 1 2 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy 3 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH

4 Co to jest neuron? Dendryty Jądro neuronu Ciało komórki Przewężenie Ranviera Komórka Schwanna Otoczka mielinowa Akson Zakończenia aksonów

5 Schemat komórki neuronowej (bardzo uproszczony) Rys. za

6 Co to jest neuron? Liczbę neronów w ludzkim mózgu szacuje się na 10 11, a synaps na 10 14, Tylko neurony mogą przewodzić impulsy elektryczne, Nośnikami impulsów są jony (a nie elektrony, jak w przypadku prądu elektrycznego).

7 Główne jony odpowiedzialne za aktywność elektryczną 11 Na 19 K 20 Ca 17 Cl

8 Schemat komórki neuronowej (bardzo bardzo uproszczony) membrana Pompa jonowa Kanał jonowy

9 Stężenie jonów nie jest równomierne W komórce Na mm K mm Cl 4 mm Ca µm A 147 mm Poza komórką Na mm K + 5 mm Cl 110 mm Ca mm A 25 mm A Duże cząstki naładowane ujemnie

10 Przepływ jonów Jony (z wyjątkiem A ) mogą przemieszczać się przez kanały jonowe w membranie zgodnie z zasadami: zgodnie z gradientem koncentracji, zgodnie z gradientem potencjału elektrycznego.

11 Dlaczego stężenia jonów są różne? Pompy jonowe w membranie stale przepychają jony poza komórkę i do wnętrza niezgodnie z ich gradientem koncentracji, Kanały jonowe mogą być zamknięte lub otwarte, Jony o tym samym znaku ładunku odpychają się, co ogranicza ich przepływ przez błonę komórkową.

12 W stanie równowagi (equilibrium) oba gradienty się równoważą i przepływ jonów jest zerowy. Potencjał (napięcie, voltage) w stanie równowagi: E ion = RT zf ln [Ion] out [Ion] in R K Mol F C Mol T temperatura [Ion] stężenie jonu z ładunek jonu J

13 Wartości potencjału równowagi E Na = 61 90mV E K = 90mV E Ca = mV E Cl = 89mV

14 Z każdym jonem stowarzyszony jest prąd jonowy o natężeniu: I Na = g Na (V E Na ) I K = g K (V E K ) I Ca = g Ca (V E Ca ) I Cl = g Cl (V E Cl ) V potencjał na membranie g ion przewodność elektryczna (konduktancja)

15 E K < E Cl < V < E Na < E Ca Prądy I K i I Cl płyną na zewnątrz neuronu i obniżają wartość V (hiperpolaryzacja). Prądy I Na i I Ca płyną do wnętrza neuronu i zwiększają wartość V (depolaryzacja).

16 dynamika otoczenie wnętrze C V = C dv dt = I I Na I K I Ca I Cl C V = I g Na (V E Na ) g K (V E K ) g Ca (V E Ca ) g Cl (V E Cl ) C Pojemność elektryczna błony; typowo C = 1 µf cm 2

17 1 2 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy 3 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH

18 Przewodność elektryczna Przewodność elektryczna (g ion ) jest zależna głównie od kanałów jonowych (mogą być zamknięte). Ta z koleji może zależeć od: potencjału na błonie komórkowej (V ) neuroprzekaźniki z wnętrza komórki neuroprzekaźniki z poza komórki Zazwyczaj realizowana jest w postaci bramek (gates) otwierających i / lub zamykających dostęp do kanałów jonowych.

19 Film (youtube)

20 Dynamika g = ḡm a h b ḡ maksymalna przewodność m = m(v ) stopień otwarcia bramki h = h(v ) stopień zamknięcia bramki (h = 1 oznacza, że nie jest zamknięta) a liczba bramek otwierających na kanał b liczba bramek zamykających na kanał

21 Dynamika funkcji m i h Funkcje m i h są modelowane równaniami: ṁ = (m (V ) m) τ m (V ) ḣ = (h (V ) h) τ h (V )

22 Dynamika funkcji m i h

23 Dynamika funkcji τ m i τ h

24 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy 1 2 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy 3 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH

25 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy Dynamika w modelu Hodgkina-Huxley a Pierwsza połowa 1930: John Zachary Young odkrywa olbrzymi akson kałamarnicy o długości 10cm i średnicy 1mm (100x większe niż typowy akson u kręgowca). Umożliwiło to badanie fizjologii neuronu ówczesnymi, ograniczonymi metodami. Film:

26 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy Dynamika w modelu Hodgkina-Huxley a W 1952 roku został zaproponowany pierwszy model neuronu (nagroda Nobla 1963). Bazuje na trzech prądach: K, Na oraz stałym Leak. Większość obecnych modeli to jego wariacje. d dt V (t) = 1 C d n (V ) n(v ) dt n(t) = τ n(v ) d m (V ) m(v ) dt m(t) = τ m(v ) d h (V ) h(v ) dt h(t) = τ h (V ) ( I ḡl (V E l ) ḡ Na n 4 (V E Na ) ḡ K m 3 h(v E K ) )

27 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy Parametry E Na = 55mV ḡ Na 120mS/cm 2 E K = 77mV ḡ K 36mS/cm 2 E Leak = 55.4mV ḡ Leak 0.3mS/cm 2 C = 1µF /cm 2 1 τ n = n = α n α n + β n α n + β n 1 α m τ m = m = α m + β m α m + β m 1 τ h = h = α h α h + β h α h + β h

28 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy Parametry α n (V ) = 0.01 α m (V ) = 0.1 α h (V ) 10 V 10 ) 1 β n (V ) = exp( V 80 ) 25 V 10 ) 1 β m (V ) = 4 exp( V 18 ) exp( 10 V exp( 25 V = 0.07 exp( V 20 ) β h(v ) = 1 exp( 30 V 10 ) + 1 Uwaga: we wzorach na tym slajdzie zakładamy, że potencjał spoczynkowy jest na poziomie 0, a nie jak wcześniej -65mV. Dlatego podczas używania tych wzorów w połączeniu z poprzednimi należy dodać do argumentu wartość +65, żeby sprowadzić napięcia do zakładanego poziomu.

29 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy Generowanie 60 impulsu mA -40 1mA

30 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy Model sodowo-potasowy Będzie to przybliżona wersja modelu Hodgkina-Huxley a Bramka sodowa n reaguje bardzo szybko, więc zakładamy że jest natychmiastowa (usuwamy ewoluującą zmienną i wstawiamy w jej miejsce stan stabilny), Dodatkowo usuwamy bramkę inaktywacyjną prądu potasowego h, W praktyce pozbywamy się dwóch z czterech równań

31 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy Model sodowo-potasowy d dt V (t) = 1 C (I ḡ l (V E l ) ḡ Na m (V )(V E Na ) ḡ K n(v )(V E K )) d n (V ) n(v ) dt n(t) = τ n(v )

32 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH Problem schematu Eulera Dana jest funkcja opisana równaniem różniczkowym tj. { f (x) = g(x) f (0) = x 0 Chcemy numerycznie obliczyć wartości funkcji.

33 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH Problem schematu Eulera Pomysł: z definicji: f (x) = lim d 0 f (x+d) f (x) d zapomnijmy o granicy i podstawmy za d małą stałą np. d =.1; teraz f f (x + d) f (x) (x) d to co jest nieznane (tj. f (x + d)) na lewą stronę: f (x + d) := f (x) + d f (x)

34 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH Algorytm (Schemat Eulera) przypisz (z warunku brzegowego): f [t 0 ] := x 0 ; for (t = t 0 + d; t < t max ; t+ = d) przypisz: f [t] := f [t d] + d f [t d] = f [t d] + d g(t d) zwróć f [t 0...t max ]

35 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH Algorytm symulacji przypisz (z warunków brzegowych): V [t 0 ] := V 0 ; n[t 0 ] := n 0 ; m[t 0 ] := m 0 ; h[t 0 ] := h 0 ; for (t = t 0 + d; t < t max ; t+ = d) przypisz: V [t + d] := V [t] + d (I ḡ leak (V [t] E l ) n[t + d] := n[t] + d m[t + d] := (...) h[t + d] := (...) zwróć V [], n[], m[], h[] ḡ Na n[t] 4 (V [t] E Na ) ḡ K m[t] 3 h[t](v [t] E K ) ) n (V [t]) n[t] τ n(v )

36 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH Implementacja algorytmu symulacji Implementacja w matlab/octave: hh.m Implementacja w Javascript (Uwaga: V spoczynkowe = 0): myselph.de/hodgkinhuxley.html

37 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH Demo (spirale - program, dźwięki - demo live) Projekty studenckie: Matuszak, Paprzycki, MultiNeurons, Rutkowski 1, 2 Prawdziwe odczyty: Spiral Waves in Disinhibited Mammalian Neocortex Izhikevich: Simulation of Large-Scale Brain Models (Film: avi,local) Large-Scale Model of Mammalian Thalamocortical Systems Uwaga: mózgi są bardziej skomplikowane niż się wydaje; zob.: TED:Sebastian Seung: I am my connectome (local mp4, od 4:00)

38 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH Bibliografia Neuron membrane Khan Academy - Medicine E. Izhikevich, Dynamical Systems in Neuroscience F. Piękniewski, wykłady 2013 i 2009/2010 (+dużo dobrych linków i przykładów): zakładka Teaching