ALGORYTMY MEMETYCZNE DLA PEWNEGO PROBLEMU POTOKOWEGO W BUDOWNICTWIE

Transkrypt

1 ALGORYTMY MEMETYCZNE DLA PEWNEGO PROBLEMU POTOKOWEGO W BUDOWNICTWIE Wociech BOŻEJKO, Zdzisław HEJDUCKI, Paweł RAJBA, Mieczysław WODECKI Streszczenie: System pracy potokowe w budownictwie dotyczy realizaci kompleksu obiektów składaących się z wielu ednakowych prac wykonywanych koleno przez wyspecalizowane brygady. Rozpatrywany est problem harmonogramowania proektu z niepewnymi czasami wykonywania prac reprezentowanymi przez liczby rozmyte lub rozkłady zmiennych losowych. Przedstawiamy algorytmy memetyczne (hybrydowe algorytmy genetyczne) oraz eksperymenty obliczeniowe, których celem było zbadanie stabilności wyznaczanych rozwiązań. Słowa kluczowe: problem potokowy, niepewne dane, harmonogramowanie, algorytm memetyczny. 1. Wprowadzenie System pracy potokowe w budownictwie [11, 7] est odpowiednikiem produkci taśmowe (przepływowe) w przemyśle. Dotyczy realizaci kompleksu obiektów składaących się z wielu ednakowych prac wykonywanych przez wyspecalizowane brygady. Obiektom odpowiadaą zadania, brygadą - maszyny, a pracą wykonywanym przez brygady - operace. Koleności wykonywania prac na obiekcie odpowiada porządek technologiczny. Planowanie przebiegu robót budowlanych w systemach potokowych est uzasadnione w przypadku realizaci obiektów, na których można wydzielić: działki robocze, sektory, odcinki niezależne technologicznie, t. zadania o duże pracochłonności robót, np. kompleksy przemysłowe, zespoły budynków mieszkalnych, odcinki dróg, sieci wodociągowe i kanalizacyne, itp. Poawia się wówczas problem synchronizaci w czasie i przestrzeni wielu robót budowlanych możliwych do prowadzenia równolegle i ednocześnie. Zachodzi wówczas możliwość znalezienia nalepszego harmonogramu robót uwzględniaącego ustalone kryteria optymalizaci np.: typu czas/koszt/zasoby. Są to bardzo ważne zagadnienia praktyki budowlane, maące znaczący i bezpośredni wpływ na ostateczne koszty realizaci. Prowadzi to ednak do złożonych dyskretno-ciągłych problemów optymalizacynych z niepewnymi parametrami oraz nieregularnymi funkcami celu. Przenosząc problemy harmonogramowania przedsięwzięć budowlanych w dziedzinę klasyczne teorii szeregowania zadań napotyka się na wiele trudności związanych z doborem właściwego modelu oraz odpowiedniego algorytmu. Są to zazwycza zupełnie nowe, silnie NP-trudne problemy optymalizaci kombinatoryczne. Ze względu na stosowanie nowych technik i technologi unikalność, warunki atmosferyczne i geologiczne, często nie ma możliwości ednoznacznego określenia wartości pewnych parametrów. W takich przypadkach mamy do czynienia z procesem podemowania decyzi w warunkach niepewności. Niepewność danych przekłada się bezpośrednio na wielkość ryzyka. Ponadto, w trakcie realizaci procesu może się okazać, że niektóre parametry różnią się od wstępnie przyętych ("typowych"), co przy braku 251

2 stabilności rozwiązania prowadzi do zupełnie nieprzydatnych w praktyce rozwiązań. Niepowodzenia wynikaące z bezpośredniego stosowania klasycznych algorytmów deterministycznych wskazuą na konieczność uwzględnienia niepewności uż na etapie budowy modelu oraz konstrukci samego algorytmu. Problemy podemowania decyzi w warunkach niepewności rozwiązue się stosuąc metody probabilistyki lub teorii zbiorów rozmytych. W pierwszym przypadku [3, 17] istotna est znaomość rozkładów zmiennych losowych. Niektóre procesy z natury maą charakter losowy. Zależą od pogody, natężenia ruchu, liczby wypadków, warunków geologicznych, awaryności sprzętu, itp. Jeżeli ponadto posiadaą pewną "historię", więc na bazie istnieących danych statystycznych można określić ich rozkłady. W wielu ednak zagadnieniach niepewność danych nie ma charakteru losowego, lecz wynika z powodu unikalności procesu, błędu pomiaru, itp. W tym przypadku naturalnym sposobem reprezentowania niepewności są liczby rozmyte [9,10]. Dlatego dużym problemem est właściwy dobór funkci przynależności oraz metoda dyfuzyfikaci. Maą one decyduący wpływ na akość wyznaczanych rozwiązań. Systemy pracy potokowe w budownictwie są przedmiotem zainteresowania w wielu ośrodków naukowych. Wynika to z potrzeby optymalnego zarządzania budowami wielkich obiektów inżynierynych, m. in. odcinków dróg, mostów, kompleksów budynków, obiektów przemysłowych, itp. Istniee ogromna potrzeba doskonalenia tradycynych metod harmonogramowania (uwzględniaącego np. nowe technologie, niepewność danych) i efektywnego wykorzystania nowoczesnych metod obliczeniowych. W pracy przedstawiamy idee algorytm memetycznego rozwiązywania problem harmonogramowania przedsięwzięć budowlanych realizowanych w systemie potokowym z niepewnymi czasami wykonywania prac. Porównuemy stabilność rozwiązań w przypadku, gdy niepewne dane są reprezentowane przez zmienne losowe o rozkładzie normalnym lub liczb rozmytych w trzypunktowe reprezentaci. Niektóre wyniki prowadzonych badań zostały przedstawione w pracy Bożeko, Heduck Raba, Wodecki [2] oraz Rogalska, Bożeko, Heduck Wodecki [16]. 2. Systemy potokowe w budownictwie Rozpatruemy przedsięwzięcie budowlane (w skrócie PB) polegaące na wykonaniu n obiektów ze zbioru 1 2 n O = { O, O K, O }, przez m brygad ze zbioru B = { B1, B2K, B m }. i Każdy obiekt O O est ciągiem m prac i O = [ P, P, K, P ], przy czym praca w czasie p. Prace na obiekcie 1 2 m i P ( i = 1, 2, K, n, = 1, 2, K, m) est wykonywana przez brygadę B i O O należy wykonać w zadanym porządku technologicznym, tzn. dowolna praca P ma być wykonywana po zakończeniu Pi, 1, a przed rozpoczęciem P + 1 (2 m 1). Muszą być przy tym spełnione następuące ograniczenia: (i) każda praca (na obiekcie) może być wykonywana tylko przez edną, określoną przez ciąg technologiczny brygadę, 252

3 (ii) żadna brygada nie może wykonywać ednocześnie więce niż edną pracę, (iii) na każdym obiekcie musi być zachowany porządek technologiczny, (iv) wykonywanie żadne pracy nie może być przerwane przed e zakończeniem. Niech π będzie pewną permutacą obiektów (elementów zbioru O ). Permutaca ta wyznacza koleność wykonywania poszczególnych prac na obiektach, t. brygada B B wykonue prace P π ( i), na obiekcie π ( i) O, dopiero po wykonaniu prac Pπ (1),, Pπ (2),, K, P π koleno na obiektach π (1),... π ( i 1), a przed wykonaniem Pπ ( i 1),, Pπ ( i 2),,, ( i 1), ( n), + + K P π na obiektach π ( i + 1),..., π ( n). Oznaczmy przez Φ zbiór wszystkich możliwych permutaci obiektów. Moc tego zbioru wynosi n!. Jeżeli prace na obiektach są wykonywane w koleności π Φ oraz p π ( i), est czasem wykonywania pracy P π ( i), ( i = 1, 2, K, n, = 1, 2, K, m), to moment zakończenia te pracy C π możemy wyznaczyć z następuących zależności rekurencyne: ( i), i p 1 ( ),, 1, k π i = = Cπ ( i), = Cπ ( i), 1 + pπ ( i),, i = 1, > 1, (1) max{ Cπ ( i), 1, Cπ ( i 1), } + pπ ( i),, i > 1, > 1, a moment rozpoczęcia e wykonywania S = C C. (2) π ( i), π ( i), π ( i), Można łatwo sprawdzić, że określone przez (1) i (2) momenty rozpoczęcia i zakończenia prac na obiektach spełniaą ograniczenia (i)-(iv), więc są rozwiązaniem dopuszczalnym problemu BP. Harmonogramowanie przedsięwzięcia budowlanego PB sprowadza się do wyznaczenia permutaci optymalne π Φ, dla które C π C π π Φ max ( ) = min{ max ( ) : }, gdzie Cmax ( π ) = C π ( n), m est terminem zakończenia wszystkich prac wykonywanych w koleności π. Opisany wyże model przedsięwzięcia budowlanego est znany w teorii szeregowania ako problem przepływowy (ang. flow sho). Dla m 3 należy on do klasy problemów silnie NP-trudnych ([Garey 4]). W ostatnich latach opublikowano wiele algorytmów metaheurystycznych ego rozwiązywania, tzn. symulowanego wyżarzania: Ogbu i Smith [13], Bożeko Wodecki [1] (algorytm równoległy), przeszukiwania z tabu: Nowicki i Smutnicki [12], Grabowski i Wodecki [6] oraz algorytmu genetycznego, Reeves [15]. 3. Algorytm memetyczny Stosowany przez nas algorytm memetyczny est hybrydą powstałą przez połączenie algorytmu genetycznego oraz przeszukiwania z tabu (stosowanego do wyznaczania minimów lokalnych). Po wygenerowaniu nowe populac każdy osobnik est punktem startowym dla algorytmu przeszukiwania z tabu (t. wyznaczania minimum lokalnego). Następnie, w miesce punktu startowego wstawiamy, do bieżące populac wyznaczone minimum lokalne. Reasumuąc, est to algorytm genetyczny, w którym każda populaca 253

4 zawiera osobniki będące minimami lokalnym t. przestrzeń rozwiązań dopuszczalnych tego algorytmu składa się edynie z minimów lokalnych. Poniże przedstawiamy poszczególne elementy algorytmu memetycznego. 3.1 Algorytm genetyczny Określenie algorytmy genetyczne obemue grupę metod obliczeniowych, których wspólną cechą est korzystanie, przy rozwiązywaniu danego problemu, z mechanizmu opartego na zawisku naturalne ewoluci gatunków [8]. W klasyczne postac są one bezpośrednią adaptacą tego zawiska stąd w ich opisie używa się poęć z genetyki. Działanie algorytmu genetycznego rozpoczyna się od utworzenia populaci (podzbioru zbioru rozwiązań) początkowe P 0, które liczebność est zazwycza stała przez cały czas działania algorytmu. Niech k będzie kolenym numerem iteraci algorytmu. Nowa k+1 generaca (t. zbiór P k+1 ) est tworzona w następuący sposób. Z bieżące populaci P k wybierana est pewna ilość nalepszych osobników (rodziców, podzbiór P k ) - operaca selekci. Z nich, poprzez mechanizm krzyżowania, generue się nowych osobników (potomstwo, zbiór P" k ). Na części z nich est dokonywana operaca mutac które celem est większe zróżnicowanie populaci. Tak wygenerowane potomstwo zastąpi nagorszych osobników w bieżące populaci (wymiana), tworząc w ten sposób nową generace. Algorytm zazwycza kończy działanie po wygenerowaniu z góry ustalone liczby osobników. W konstrukci algorytmu genetycznego zastosowaliśmy "naturalną", t. w postaci permutac reprezentacę koleności wykonywania zadań (rozwiązań dopuszczalnych). W tym przypadku nie można bezpośrednio stosować klasycznych operatorów krzyżowania i mutac bowiem w wyniku ich działania można otrzymać potomków nie będących permutacam a więc rozwiązaniami dopuszczalnymi. Miarą przystosowania osobników (permutaci) będzie wartość funkci celu, czyli termin zakończenia wykonywania wszystkich prac. Ponadto, stosuemy tzw. elitarną strategię ewoluci polegaącą na tym, że kolene pokolenie zawsze zawiera (pomiaąc proces selekci naturalne i reprodukci) stałą liczbę nalepie przystosowanych osobników z poprzednie populaci (rodziców). Aby ich zachować we wszystkich populacach odrzuca się pewną liczbę nagorze przystosowanych osobników potomnych z populaci P k powstałe w wyniku procesu reprodukci. Dzięki użyciu te metody gwarantue się przetrwanie nalepie przystosowanych osobników w całe historii gatunku. Klasyczny algorytm genetyczny (AG) k 0; P k Losowa Populaca; repeat Selekca(P k,p k ); Krzyżowanie(P k,p" k ); Mutaca(P" k ); P k+1 P" k ; k k + 1; until Warunek_Końca; {Wybór rodziców} {Generowanie potomstwa} {Nowa populaca} 254

5 Algorytm kończy działanie (Warunek_Końca) zazwycza po wygenerowaniu z góry określone liczby iteraci. Złożoność obliczeniowa algorytmu zależy przede wszystkim, od liczby iterac liczebności populaci oraz sposobu krzyżowania osobników. Realizaca algorytmu wymaga ustalenia wartości parametrów liczbowych oraz określenia sposobu realizaci poszczególnych operaci. W konstrukcach algorytmów, poszczególne elementy, zrealizowano w następuący sposób. Selekca Miarą przystosowania osobników (permutaci) będzie wartość funkci celu, czyli koszt permutaci. Ponadto, stosuemy tzw. elitarną strategię ewoluci polegaącą na tym, że kolene pokolenie zawsze zawiera (pomiaąc proces selekci naturalne i reprodukci) stałą liczbę (50%) nalepie przystosowanych osobników z poprzednie populaci (rodziców). Aby ich zachować we wszystkich populacach odrzuca się pewną liczbę nagorze przystosowanych osobników potomnych z populaci P k powstałe w wyniku procesu reprodukci. Krzyżowanie W literaturze opisano wiele metod krzyżowania permutaci (rodziców) generuących potomków będących także permutacami. Operator krzyżowania PMX (Partial Mapped Crossover) został opisany w pracy Goldberga [5]. Polega on na wylosowaniu dwóch liczb naturalnych (zgodnie z rozkładem ednostanym) z przedziału [1..n], które wyznaczaą podział permutaci na trzy części. Środkowe części są zamieniane tzn. środkowa część pierwszego rodzica trafia do drugiego potomka, środkowa część drugiego rodzica trafia do pierwszego potomka. Pozostałe części są kopiowane do odpowiednich potomków, przy czym, eśli kopiowana liczba burzy strukturę permutac to zamiast nie est wstawiana wartość wyznaczona przez określone przyporządkowanie. Mutaca Operaca mutaci est wykonywana zazwycza na niewielkie liczbie osobników w celu ich większego zróżnicowania. W algorytmie zastosowaliśmy operator wymiany (ang. swap) polegaący na losowym wyznaczeniu dwóch elementów w permutaci i zmianie ich miescami. Warunek końca Parametr - ustalona liczba iteraci algorytmu. Zastosowanie algorytmu genetycznego do rozwiązywania problemu przepływowego zostało między innymi opisane w pracy Bożeki i Wodeckiego [1]. 3.2 Algorytm przeszukiwania z tabu Obecnie nalepsze znane w literaturze efektywne algorytmy rozwiązywania permutacynego problemu przepływowego [12, 6] są oparte na metodzie przeszukiwania z tabu (ang. tabu search). Generalnie, polega ona na iteracynym polepszaniu bieżącego rozwiązania poprzez lokalne przeszukiwanie. Rozpoczyna się od pewnego rozwiązania początkowego (startowego π ). Następnie, generue się ego otoczenie (sąsiedztwo V π ) oraz wyznacza nalepsze rozwiązanie z tego otoczenia, które przymue się za rozwiązanie startowe w następne iteraci. Dopuszcza się możliwość zwiększania wartości funkci celu 255

6 (przy wyznaczaniu nowego rozwiązania startowego), aby w ten sposób zwiększyć szansę na osiągnięcie minimum globalnego. Takie ruchy w górę należy ednak w pewien sposób kontrolować, ponieważ w przeciwnym razie po osiągnięciu minimum lokalnego nastąpił by szybki do niego powrót. Aby zapobiec generowaniu w nowych iteracach rozwiązań niedawno rozpatrywanych (powstawaniu cykli), zapamiętue się e (ich atrybuty) na liście rozwiązań zakazanych, tzw. liście tabu LTS. Poniże zamieszczamy schemat algorytmu, w którym F est funkcą celu, π - punktem startowym, a π - wyznaczonym rozwiązaniem (minimum lokalnym). Algorytm przeszukiwania z tabu repeat Wyznaczyć otoczenie V π permutaci π; Usunąć z V π permutace zakazane przez listę LTS, uwzględniaąc kryterium aspiraci; Znaleźć permutacę δ V π taką, że: F(δ) = min{f(β): β V π }; if F(δ)<F(π) then π δ; Umieść atrybuty δ na liście LTS; π δ; until Warunek_Końca. Złożoność obliczeniowa algorytmu opartego na metodzie tabu search w duże mierze zależy od wyboru rodzau poszczególnych ego elementów, t. metody wyznaczania sąsiedztwa, rodzau elementów przechowywanych w liście tabu ak również rodzau oraz długości te listy, sposobu wyliczania wartości funkci celu oraz warunku zakończenia. Realizaca algorytmu wymaga ustalenia wartości parametrów liczbowych oraz określenia sposobu realizaci poszczególnych operaci. W konstrukcach algorytmów, poszczególne elementy, zrealizowano ustalonym sposobem. Otoczenie Otoczenie V π est generowane przez ruchy typu wstaw. Polega on na przestawieniu elementu na inną pozyce w permutaci (dokładnie est to przedstawione w pracy Grafowskiego i Wodeckiego [6]. Moc takiego otoczenia wynosi n(n-1). Lista ruchów zakazanych Zawieraąca atrybuty pewne liczby ostatnio rozpatrywanych rozwiązań (startowych). Jest skoarzona z operatorami modyfikaci rozstrzygaącym w aki sposób dodaemy nowe oraz usuwamy istnieące atrybuty rozwiązań. Jeżeli z otoczenia V π wybieramy permutacę β powstałą z π przez przestawienie elementu π ( i) na pozycę, to na listę zapisuemy trókę ( π ( i),, C ( β ) ). Z kole gdy rozpatruemy permutacę δ powstałą z π przez max przestawienie elementu π ( k) na pozycę l, a na liście est tróka ( a, b, F ) taka, że π ( k) = a, l = b oraz C ( δ ) max F, wówczas permutacę δ pomiamy. Kryterium aspiraci Są to warunk przy których można pominąć ograniczenia wprowadzone przez listę tabu. Jeżeli atrybuty pewnego rozwiązania z otoczenia V π są na liścia tabu, a ego wartość 256

7 funkci celu est mniesza od wartości rozwiązania π, wówczas nie odrzucamy takiego rozwiązania. Warunek końca Parametr - ustalona liczba iteraci algorytmu. Przy implementaci algorytmu wykorzystano uproszczoną wersę przeszukiwania z tabu, zamieszczoną w pracy Grabowskiego i Wodeckiego [6]. Celem przyśpieszenia obliczeń zastosowano edynie własności eliminacyne bloków z drogi krytyczne. Ogólny schemat algorytmu memetycznego (hybrydowego algorytmu genetycznego), który stosowano do rozwiązywania problemu przepływowego można przedstawić następuąco: Algorytm memetyczny (AM) k 0; P k Losowa_Populaca; repeat Selekca(P k,p k ); Krzyżowanie(P k,p" k ); Lokalna_Optymalizaca(P" k, P k+1 P k ; k k + 1; until Warunek_Końca; P ); k {Wybór rodziców} {Generowanie potomstwa} {Algorytm przeszukiwania z tabu} {Nowa populaca} W stosunku do klasycznego algorytmu genetycznego, pominięto operator mutaci. Na podstawie przeprowadzonych eksperymentów obliczeniowych stwierdzono, że lokalna optymalizaca dae wystarczaące zróżnicowanie populaci. 4. System potokowy z niepewnymi parametrami Dla wielu robót budowlanych istnieą duże trudności w ednoznacznym określeniu pewnych parametrów. Niepewność zazwycza wiąże się z unikalnością proces lub ego zależnością od zawisk losowych. W pracy rozpatruemy problem, w którym niepewne są czasy wykonywania prac p ( i = 1,2,..., n, = 1,2,..., m ). W praktyce niepewność ta może wynikać z losowości (np. pogoda, frekwenca pracowników, awaryność maszyn, itp.) lub niemożności ednoznacznego określenia wartości (unikalność, brak norm, itp.) Rozkłady prawdopodobieństwa Zakładamy, że czasy wykonywania poszczególnych prac są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym, czyli p% N( p, σ ). Wartość oczekiwana E( p% ) = p. Wówczas, macierz zmiennych losowych p% = [ p % ] n m nazywamy danymi probabilistycznym a problem - probabilistycznym (w skrócie PBP). Niech π Φ będzie pewną kolenością wykonywania prac na obiektach. Dla uproszczenia obliczeń przymuemy, że momenty zakończenia poszczególnych prac maą wówczas także rozkład normalny 257

8 gdzie C% N( C, α C ), (2) π ( i), π ( i), π ( i),, = 1, i 2 p k = 1 π ( i), (2) 2 2 π ( i), π ( i), 1 π ( i), π ( i), 1 π ( i 1), π ( i), C = C + p, i = 1, > 1, max{ C, C } + p, i > 1, > 1, a parametr α est wyznaczany eksperymentalnie. Po wykonaniu wstępnych obliczeń przyęto α = 0, 25. W tym przypadku ako kryterium porównawcze (aspiraci) rozwiązań będziemy stosowali funkcę (2) FP( π ) = E( C % ) + D( C % ) = C + α C, (4) π ( n), m π ( n), m π ( n), m π ( n), m która est sumą wartości oczekiwane i odchylenia standardowego zmienne losowe reprezentuące termin zakończenia całego przedsięwzięcia. Algorytm memetyczny, w którym będzie stosowana funkca (4) nazywamy probabilistycznym i oznaczamy w skrócie przez PAM Liczby rozmyte Niepewne czasy wykonywania prac będą reprezentowane przez trzypunktowe liczby min med max pˆ = ( p, p, p ), gdzie p p p dla ( i = 1, 2, K, n, = 1,2, K, m). min med max rozmyte Wówczas termin wykonywania wszystkich prac (w koleności π ) est także trzypunktową liczbą rozmytą ˆ min med max C ( π ) = ( C, C, C ), max π ( n), m π ( n), m π ( n), m min med max gdzie Cπ ( n), m, Cπ ( n), m, Cπ ( n), m wyznacza się z zależności rekurencynych odpowiadaących (1). Szczegółowe rozważania przedstawiono w pracy [2]. Dla porównywania rozmytych wartości funkci celu została zastosowana tzw. słaba reguła porównania: 1 min med med max FN( π )) = ( Cπ ( n), m + Cπ ( n), m + Cπ ( n), m + Cπ ( n), m ). (5) 4 Algorytm memetyczny, w którym będzie stosowana funkca (5) nazywamy rozmytym i oznaczamy w skrócie przez RAM. 5. Eksperymenty obliczeniowe Przedstawione w pracy algorytmy zostały zaprogramowane w ęzyku C++. Eksperymenty obliczeniowe wykonano na komputerze osobistym z procesorem 2.2GHz. Dane deterministyczne Dane deterministyczne pobrano z pliku zamieszczonego na stronie internetowe OR Library [14]. Każda z sześciu grup danych o rozmiarach ( n m) : 20 5, 20 10, 20 20, 50 5, 50 10, zawiera po 10 przykładów. W sumie, est to 60 przykładów. Zbiór tych przykładów oznaczamy przez Ω. Celem eksperymentów było zbadanie stabilności algorytmów (deterministycznego AM, probabilistycznego PAM oraz rozmytego RAM), t. wpływy zburzenie czasów wykonywania prac na wartości funkci celu. Dane zaburzone 258

9 (deterministyczne) generowano w następuący sposób. Dla każdego przykładu danych deterministycznych δ Ω wygenerowano 100 przykładów danych zaburzonych (elementy zbioru D( δ )). Zaburzenie czasu p ( i = 1,2,..., n, = 1,2,..., m) polega na zastąpieniu go nową wartością wylosowaną zgodnie z rozkładem normalnym N ( p, p / 10). W sumie wyznaczono w ten sposób 6000 przykładów danych zaburzonych. Dane probabilistyczne Niech δ = [ p i, ] nxm będzie przykładem danych deterministycznych. Przyęto, że niepewne czasy wykonywania prac są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym, t. p% N( p, σ ), przy czym odchylenie standardowe σ = p / 30. Dane rozmyte Do każdego przykładu danych deterministycznych δ = [ p i, ] nxm, niepewne czasy wykonywania prac p ˆ, i = 1,2,..., n, = 1, 2,..., m są reprezentowane przez tzw. min med max trzypunktową liczbę rozmytą ( p, p, p ), gdzie p med = p, 5.1. Stabilność algorytmu min p = p pi, / 6 oraz max p = p + p / 3. Stabilność est pewną miarą umożliwiaącą oszacowanie wpływu zaburzeń danych na zmiany wartości funkci celu. Niech A={AM, PAM, RAM}. Algorytmy AM, PAM i RAM są odpowiednio: deterministycznym, probabilistycznym i rozmytym. Przez π A δ oznaczamy rozwiązanie (permutacę) wyznaczoną przez algorytm A dla danych δ. A Wartość wyrażenia W ( π, ϕ) est wartością funkci celu dla przykładu danych δ deterministycznych ϕ, gdy obiekty są wykonywane w koleności (permutaci) w koleności wyznaczone przez algorytm A dla danych δ ). Wówczas A AM 1 W ( π δ, ϕ) W ( πϕ, ϕ) ( A, δ, D( δ )) = 100%, AM D( δ ) W ( π, ϕ) nazywamy stabilnością rozwiązania ϕ D( δ ) ϕ π A δ i i π A ϕ (t. wyznaczonego przez algorytm A na zbiorze danych zaburzonych D( δ ). Wyznaczaąc π TS ϕ, za rozwiązanie startowe algorytmu TS przyęto π A A TS i wówczas W ( π, ϕ) W ( π, ϕ) 0. Stąd ( A, δ, D( δ )) 0. Wartość ϕ δ wyrażenia ( A, δ, D( δ )) est średnim błędem względnym nalepszego rozwiązania π A δ do nalepszych rozwiązań wyznaczonych, dla każdego przykładu danych zaburzonych ϕ D( δ ). Niech Ω będzie pewnym zbiorem przykładów deterministycznych dla problemu PB. Współczynnik stabilności algorytmu A na zbiorze Ω definiuemy następuąco: 1 S( A,Ω ) = ( A, δ, D( δ )). (8) Ω δ Ω ϕ Im ten współczynnik est mnieszy, tym wyznaczone przez algorytm A rozwiązania są 259

10 stabilniesze, t. niewielkie zmiany wartości danych powoduą niewielkie zmiany wartości funkci celu Wyniki obliczeniowe Przy uruchomianiu każdego algorytmu przyęto następuące wartości parametrów: 1. Algorytm memetyczny: liczebność populaci: n / 2, populacę startową generowano losowo, liczba iteraci algorytmu: 3 n / Algorytm przeszukiwania z tabu: długość listy tabu: n / 2, liczba iteraci algorytmu: n. W pierwsze koleności zbadano akość wyznaczonych przez algorytmy rozwiązań. W tym celu, dla każdego rozwiązania przykładu danych deterministycznych wyznaczonego przez algorytm A={AM, PAM, RAM} obliczono procentowy błąd względny WA W ε ( A) = 100% W gdzie W A est wartością rozwiązania wyznaczonego przez algorytm A, a W nalepszą obecnie znana wartością rozwiązania (optymalną lub przybliżoną). Średni błąd względny (dla każde grupy danych) przedstawiono w Tabeli 1. Zgodnie z oczekiwaniam nalepszy okazał się algorytm memetyczny AM (błąd ε ( A) = 5,8% ). Dla nalepszych obecnie algorytmów metaheurystycznych błąd ten nie przekracza 0,5%. Dla każdego z algorytmów wyznaczono także współczynnik stabilności. Otrzymane wyniki zamieszczono w Tabeli 1. Czas obliczeń ednego przykłady, przez każdy z trzech opisanych algorytmów, nie przekracza kilkunastu sekund. Tab. 1. Średni błąd względny ε ( A) oraz stabilność S( A, Ω ) algorytmów: memetycznego AM, probabilistycznego PAM oraz rozmytego RAM. Dane n m Średni błąd względny ε ( A) Algorytm Współczynnik stabilności S( A,Ω ) AM PAM RAM AM PAM RAM ,8 3,4 6,6 16,1 6,8 8, ,7 10,6 11,3 17,8 5,4 11, ,5 9,9 13,0 21,3 6,1 7, ,8 8,7 10,4 13,4 8,3 8, ,3 9,1 9,8 15,7 7,4 12, ,1 10,2 14,2 15,1 9,2 9,1 Średnia 5,7 8,6 11,0 16,6 7,2 9,5 260

11 Na podstawie przedstawionych wyników można stwierdzić, że rozwiązania wyznaczone przez algorytm probabilistyczny PAM są w o wiele mnieszym stopniu podatne na zmiany danych weściowych niż rozwiązanie wyznaczone przez algorytm deterministyczny AM lub rozmyty RAM. Po zaburzeniu danych, średnio wyniki są gorsze o 7,2% od nalepszych (suboptymalnych) wartości. Namnie odporne na losowe zaburzenia danych są rozwiązania algorytmu deterministycznego AM. Średnie pogorszenie wyników wynosi 16,6%. 6. Podsumowanie W pracy zaprezentowano popularną obecnie metodę metaheurystyczną stosowaną do rozwiązywania NP-trudnych problemów optymalizacynych - metodę algorytmu memetycznego. Mnogość zastosowań algorytmu genetycznego w różnych dziedzinach potwierdza e szczególną łatwość adaptaci do nowych warunków i problemów. Jednakże duży wpływ na skuteczność te metody, dla konkretnego problemu, ma sposób zaproektowania i wykorzystania e poszczególnych elementów. Uzyskane wyniki obliczeniowe pokazuą przewagę wersi probabilistyczne algorytmu (z czasami wykonywania prac o rozkładzie normalnym), gdy dane są niepewne. Wykorzystanie elementów probabilistyki oraz teorii zbiorów rozmytych w adaptacach metod metaheurystycznych pozwoliło na rozszerzenie zakresu zastosowania tych metod na przypadek, gdy informaca o danych weściowych est nieokreślona lub nieednoznaczna. Otwiera to nowe horyzonty w poszukiwaniach metod rozwiązywania dla wielu trudnych praktycznych problemów optymalizacynych i z pewnością pozwoli na konstruowanie w przyszłość coraz lepszych algorytmów. Dodatkowe informace Praca częściowo finansowana z proektu badawczego MNiSW Nr N N Literatura 1. Bożeko W., Wodecki M.: Parallel genetic algorithm for the flow shop scheduling problem. Lecture Notes in Computer Science, 3019, Springer Verlag, 2004, Bożeko W., Heducki Z., Raba P., Wodecki M.: Proect management In building process with uncertain tasks Times. Management and Production Engineering Review, vol.2, 2011, Dean B.C.: Approximation algorithms for stochastic scheduling problems. PhD thesis, MIT, Garey M.R., D.S. Johnson, Seti R.: The complexity of flowshop and obshop scheduling. Mathematics of Operations Research, 1, 1976, Goldberg D.E., Genetic Algorithms, Search, Optimization and Machine Learning. Addison-Wesley, Grabowski J., Wodecki M.: A very fast tabu search algorithm for the permutation flow shop problem with makespan criterion. Computers & Operations Research, 31, 2004, Heducki Z.: Sprzężenia czasowe w metodach organizaci złożonych procesów budowlanych. Wydawnictwo Politechniki Wrocławskie, Holland J.: Adaptation in natural and artificial systems. Univ. of Michigan Press, Ann Arbor, MI,

12 9. Ishibuschi H., Murata T.: Scheduling with Fuzzy Duedate and Fuzzy Processing Time, [in:] Scheduling Under Fuzziness, R.Słowiński and M.Hapke (eds), Springer-Verlag, 2000, Ishii H.: Fuzzy combinatorial optimization. Japanese Journal of Fuzzy Theory and Systems, vol. 4, no. 1, Mrozowicz J.: Metody organizaci procesów budowlanych uwzględniaące sprzężenia czasowe. Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyne, Wrocław, Nowicki E., Smutnicki C.: A fast tabu search algorithm for the permutation flow-shop problem. European Journal of Operational Research, 91, 1996, Ogbu F., Smith D.: The Application of the Simulated Annealing Algorithm to the Solution of the n/m/cmax Flowshop Problem. Computers & Operations Research, 17/3, 1990, OR Library Reeves C.: A Genetic Algorithm for Flowshop Sequencing. Computers & Operations Research, 22/1, 1995, Rogalska M., Bożeko W., Haducki Z., Wodecki M.:, Harmonogramowanie robót budowlanych z zastosowaniem algorytmu tabu search z rozmytymi czasami wykonywania zadań. Przegląd Budowlany, Nr 7-8, 2009, Vondrák J.: Probabilistic methods in combinatorial and stochastic optimization, PhD, MIT, Dr hab. Wociech BOŻEJKO Instytut Informatyki Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska ul. Janiszewskiego 11/17, Wrocław wbo@ict.pwr.wroc.pl Dr hab. Zdzisław HAJDUCKI Instytut Budownictwa Politechnika Wrocławska Pl. Grunwaldzki 11 zdzislaw.heducki@ict.pwr.wroc.pl Mgr Paweł RAJBA Dr hab. Mieczysław WODECKI Instytut Informatyki Uniwersytet Wrocławski ul.joliot-curie Wrocław pawel.raba@ii.uni.wroc.pl mwd@ii.uni.wroc.pl 262