Gdzie: N zbiór wierzchołków grafu, E zbiór krawędzi grafu, Cp zbiór prawdopodobieostw warunkowych.

Transkrypt

1 Laboratorium z przedmiotu Sztuczna inteligencja Temat: Sieci Bayesa, Wnioskowanie probabilistyczne, GeNIe Laboratorium nr 1 Sied Bayesowska służy do przedstawiania zależności pomiędzy zdarzeniami bazując na rachunku prawdopodobieostwa. Klasycznym przykładem jest reprezentowanie zależności pomiędzy symptomami a chorobą. Sied Bayesa to skooczony, acykliczny graf skierowany, zbudowany na podstawie prawdopodobieostw warunkowych (które są zawarte w zbiorze CP). Sied Bayesa to trójka: B = <N, E, Cp> Gdzie: N zbiór wierzchołków grafu, E zbiór krawędzi grafu, Cp zbiór prawdopodobieostw warunkowych. Wierzchołkami grafu są stwierdzenia lub hipotezy. Krawędzie grafu to relacje określające przejście od wierzchołka do wierzchołka z prawdopodobieostwem określającym to przejście. 1. Jeśli nie istnieje połączenie pomiędzy węzłami sieci, oznacza to, że zdarzenia reprezentowane przez te węzły są niezależne. Na przykład, w poniższej sieci zdarzenia A i D są od siebie niezależne. 2. Prawdopodobieństwo danego węzła zależy od wartości węzłów rodzicielskich, które zasłaniają poprzedzające węzły. Na przykład, dla przedstawionej poniżej sieci mamy:

2 3. W powyższej sieci prawdopodobieństwo p(e A) można wyznaczyć wg następującego wzoru: przy czym Inny przykład: 4. Reguła łańcuchowa i wykorzystanie niezależności warunkowych: 5. Prawdopodobieństwo łączne wybranych zdarzeń, np. Ćw. 1. Zbuduj Sied Bayesa dla określonego zbioru Cp: P = {P(a), P(b a), P(c b), P(d b), P(G c), P(G d), P(e a), P(F e), P(F c)} Rozwiązanie:

3 Taki graf pozwala na prowadzenie wnioskowania w oparciu o prawdopodobieostwo i wzór Bayesa. Małe litery stwierdzenia lub zaobserwowane fakty. Wielkie litery hipotezy. Koocową hipotezą może byd G lub F. Zadania do wykonania samodzielnie: Zadanie 1. Proszę korzystając z programu GeNIe stworzyd sied Bayesa na wymyślony przez Paostwa temat (każdy inny) i przeprowadzid wnioskowanie Zadanie 2 W podanym niżej tekście występują pewne zależności przyczynowo skutkowe opisane liczbowo prawdopodobieństwami warunkowymi. Proszę podać zbiór CP takich prawdopodobieństwa warunkowych oraz narysować graf przyczynowo skutkowy. Prawdopodobieństwo wystąpienia anginy w przypadku objawów takich jak ból gardła i gorączka jest wysokie i wynosić może 0.8. Jednak wystąpienie gorączki i bólu głowy może świadczyć o grypie, co jest hipoteza prawdopodobna na 0.6. W przypadku gdy pacjent cierpiący na grypę nie wyleczył się całkowicie może dojść do zapalenia oskrzeli z prawdopodobieństwem 0.4. Zapalenie oskrzeli może spowodować ból gardła z prawdopodobieństwem 0.3. Zadanie 3 W podanym niżej tekście występują pewne zależności przyczynowo skutkowe opisane liczbowo prawdopodobieństwami warunkowymi. Proszę podać zbiór CP takich prawdopodobieństw warunkowych oraz narysować graf przyczynowo skutkowy. Prawdopodobieństwo awarii suportu roweru z powodu zawilgocenia wynosi 0.4, zabrudzenia 0.1, natomiast z powodu zużycia 0.3. Awaria suportu na pewno spowoduje większe opory w czasie jazdy. Awaria suportu może na30% spowodować uszkodzenie mufy suportowej, to z kolei na 85% spowoduje konieczność zakupu nowej ramy. Zabrudzenie na pewno wpłynie na nieprecyzyjną pracę przerzutek a także na 5% może spowodować wzrost oporów w czasie jazdy. Wzrost oporów w czasie jazdy może spowodować z prawdopodobieństwem 0.35 awarię suportu.

4 Zadanie 4 W podanym niżej tekście występują pewne zależności przyczynowo skutkowe opisane liczbowo prawdopodobieństwami warunkowymi. Proszę podać zbiór CP takich prawdopodobieństw warunkowych oraz narysować graf przyczynowo skutkowy. Prawdopodobieństwo awarii tylniej przerzutki z powodu zawilgocenia wynosi 0.3, zabrudzenia 0.6, natomiast z powodu zużycia 0.7. Awaria tylniej przerzutki uniemożliwi jazdę na 40%. Zawilgocenie i zabrudzenie na 70% spowodują przedwczesne wytarcie się klocków hamulcowych. Wytarte klocki na 20% uniemożliwią jadę. Prawdopodobieństwo awarii suportu roweru z powodu zawilgocenia wynosi 0.6 a zabrudzenia 0.3. Awaria suportu na pewno uniemożliwi jazdę. Brak możliwości jazdy na rowerze na 40% spowoduje spadek zainteresowania jego stanem technicznym, a to na pewno negatywnie wpłynie na jego czystość czyli na jego zabrudzenie. Laboratorium nr 1 (dodatek) Prawdopodobieostwo łączne (całkowite) Jeśli zbiór podzielimy na zbiory B, ~B takie, że B ~B =, B ~B = ø i P(B) > 0 oraz P(~B) > 0, to dla dowolnego zdarzenia A prawdziwy jest wzór: P(A B) = P(A B)*P(B) + P(A ~B)*P(~B) gdzie: P(B) prawdopodobieostwo zajścia zdarzenia B P(~B) prawdopodobieostwo zajścia zdarzenia przeciwnego do B P(A B) prawdopodobieostwo (warunkowe) zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B. Uwaga!: Jeśli zdarzenia A i B są niezależne wówczas prawdopodobieostwo łączne liczone jest ze wzoru: P(A B) =P(A)*P(B) Prawdopodobieostwo warunkowe (twierdzenie Bayesa) Przykład I: Rozważmy następującą sied:

5 Wiadomo, że test w 95% daje wynik negatywny jak dopingu nie brano. W 5% daje wynik pozytywny jeśli doping stosowano. P(Test) = P(Test Dopping)*P(Dopping) + P(Test ~Dopping)*P~(~Dopping) = 0.98* *0.5 = = ~= 0.52 Przykład II: Albo odwrotnie jeśli wiemy, że test dał wynik pozytywny to jakie jest podobieostwo, że używam doppingu? Wiadomo, że test w 95% daje wynik negatywny jak dopingu nie brano. W 5% daje wynik pozytywny jeśli doping stosowano. Laboratorium nr 2 i 3 GeNIe narzędziem pozwalającym na budowę I analizę Sieci Bayesa Do modelowania i wnioskowania w sieciach Bayesa można wykorzystad oprogramowanie GeNIe:

6 Ćwiczenie do rozpoznania i później w domu do wykonania (zadanie domowe). Wyobraźmy sobie, że inwestor zastanawia się nad ryzykiem zainwestowania w nowo powstałą firmę. Źródłem niepewności jest tutaj sukces tej firmy. Inwestor jest świadom faktu, że tylko ok. 20% wszystkich nowopowstałych firm osiąga sukces. Tą niepewnośd można zmniejszyd pytając o zdanie eksperta. Przewidywania eksperta jednak nie zawsze się sprawdzają. Ekspert ocenia, że ze wszystkich firm które osiągają sukces 40% ma dobry pomysł na rozwój działalności, 40% ma średni pomysł, a 20% ma kiepski pomysł. Spośród wszystkich firm którym się nie udaje, ekspert wyznaczył, że 10% ma świetny pomysł, 30% ma niezły pomysł, a 60% ma kiepski pomysł. Załóżmy, że inwestor chce włożyd kwotę $5,000 w przedsięwzięcie. Wie on, że jeśli firma osiągnie sukces to zarobi na tym $10,000. Jeśli firma upadnie to straci on swój wkład $5,000, ale jeśli w ogóle nie zainwestuje, zyska $500 na bezpiecznej lokacie w banku. Co zrobid? Inwestowad czy nie? Rozwiązanie:

7 GeNIe podstawy Podstawowe elementy w pasku menu: Chance (szansa) przyjmują wartości dyskretne. Deterministic (deterministyczne) przyjmują wartości stałe, bądź wartośd nominalną określoną przez użytkownika ze skooczonego zbioru wartości. Equation (równanie) wyraża bardziej skomplikowane zależności miedzy zmiennymi, które należy poddad ocenie. Decision (decyzja) modeluje możliwe do podjęcia przez użytkownika decyzje. Value (wartość) modelują wartości powiązane z każdą możliwą do wykonania decyzją użytkownika. Submodel oznacza konceptualnie powiązaną grupę zmiennych. Menu Node / View as umożliwia zmianę sposobu wyświetlania zaznaczonych węzłów sieci. Menu Node / Set Evidence określenie które zdarzenie miało miejsce.

8 GeNIe budujemy sieć Bayesa krok po kroku Zbudujemy następującą sied Bayesa: Użyjemy do tego narzędzia GeNIe. Do budowy węzłów sieci używamy komponentu: Do budowy krawędzi: Definiujemy każdy węzeł w sieci. Klikając dwukrotnie w dany węzeł, otwieramy okno z właściwościami.

9 Również klikając prawym przyciskiem myszy w dany węzeł pokaże się menu podręczne. Klikając opcję *Node Properties+ otworzy się to samo okno *Node Properties. Node 1+ Pamiętając, że definicja sieci jest następująca: Definiujemy poszczególne węzły:

10 Warto zauważyd, że GeNIe cały czas nadzoruje czy wartości prawdopodobieostw spełniają podstawowe założenia, o sumowaniu się do wartości 1. Gdy dla danego węzła (patrz rysunek poniżej) nie uzupełniono wartości w ostatniej kolumnie i wierszu, GeNIe sygnalizuje błąd rysunkiem.

11 Teraz cała sied jest już zdefiniowana: Obliczamy prawdopodobieostwa różnych zdarzeo: Gdy a=a4 i b=b2, wtedy

12 Gdy zaś chcemy wyznaczyd prawdopodobieostwo zdarzenia, że P(c=c2 x=x3,a=a4,b=b2) = p(c=c2 x=x3)*p(x=x3 a=a4,b=b2)*p(a=a4)*p(b=b2) = 0.4 * 0.3 * 0.25 * 0.6 = Proszę obliczyd prawdopodobieostwa zdarzeo: 1. P(c=c2 x=x3,a=a3,b=b1) =? 2. P(c=c3 x=x3,a=a4,b=b2) =? 3. P(d=d2 x=x3,a=a4,b=b2) =? 4. P(X=x2 a=a4,b=b2) =? 5. P(X=x2 a=a1,b=b1) =?