Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska"

Edward Julian Turek
5 lat temu
Przeglądów:

1 Andrzej Jastrz bski Akademia ET I

2 Graf Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie V to zbiór wierzchoªków, E zbiór kraw dzi taki,»e E {{u, v} : u, v V u v}. Wierzchoªki v, u V s s siaduj ce je±li s poª czone kraw dzi ( e E {v, u} = e). Wierzchoªek v V jest incydentny do kraw dzi e E je±li v jest jednym z ko«ców e (v e). Kraw dzie e, f E s s siaduj ce je±li s incydentne do tego samego wierzchoªka ( v V v e u f ). mo»na reprezentowa na pªaszczy¹nie jako kropki (wierzchoªki) i linie pomi dzy kropkami (kraw dzie).

3 Reprezentacja grafu S dwie podstawowe metody reprezentacji grafu: macierz s siedztwa listy s siedztwa Modykacj list s siedztwa jest reprezentacja przez p ki wyj±ciowe.

4 reprezentacja graczna listy s siedztwa p ki wyj±ciowe macierz s siedztwa ?

5 Macierz s siedztwa Macierz s siedztwa, to macierz kwadratowa o rozmiarze V V wypeªniona liczbami 0 i 1. Ponumerujmy wierzchoªki od 1 do V. W i-tej kolumnie i j-tym wierszu jest liczba 1 wtedy i tylko wtedy, gdy wierzchoªek i-ty jest s siedni z wierzchoªkiem j-tym.

6 Przykªady We wszystkich przykªadach b dziemy zakªadali,»e graf do programu jest w podany ni»ej sposób. Najpierw podane s dwie liczby n liczba wierzchoªków i m liczba kraw dzi. Nast pnie podanych jest m par liczb opisuj cych s siednie wierzchoªki. Wierzchoªki liczymy od

7 Czytanie grafu - macierz s siedztwa int main() { int **G; int n, m, v, u; cin >> n >> m; G = new int*[n]; //tworzenie dwuwymiarowej tablicy for(int i=0; i<n; i++) { G[i] = new int[n]; for(int j=0; j<n; j++) G[i][j] = 0; } for(int i=0; i<m; i++) { cin >> v >> u; //czytanie s siadów G[u][v] = G[v][u] = 1; }. //dowolny algorytm for(int i=0; i<n; i++) delete [] G[i]; //kasowanie delete [] G; return 0; }

8 Czytanie grafu - macierz s siedztwa w STLu int main() { vector< vector<int> > G; int n, m, v, u; cin >> n >> m; G.resize(n); //tworzenie dwuwymiarowej tablicy for(int i=0; i<n; i++) { G[i].resize(n); for(int j=0; j<n; j++) G[i][j] = 0; } for(int i=0; i<m; i++) { cin >> v >> u; //czytanie s siadów G[u][v] = G[v][u] = 1; }. //dowolny algorytm //kasowanie odbywa si automatycznie return 0; }

9 Czytanie grafu - listy s siedztwa struct Node { int v; Node *next; }; int main() { Node **G, *tmp; int n, m, v, u; cin >> n >> m; G = new Node*[n]; //tworzenie punktu wej±cia do list for(int i=0; i<n; i++) G[i] = NULL; //zerowanie for(int i=0; i<m; i++) { cin >> u >> v; tmp = new Node; //tworzenie s siada wierzchoªka v tmp->v = u; tmp->next = G[v]; G[v] = tmp; tmp = new Node; //tworzenie s siada wierzchoªka u tmp->v = v; tmp->next = G[u]; G[u] = tmp; }. //dowolny algorytm

10 Czytanie grafu - listy s siedztwa cd. }. for(int i=0; i<n; i++) {//kasowanie list Node *del = G[i]; while(del!=null) { tmp = del->next; delete del; del = tmp; } } delete [] G;

11 Czytanie grafu - listy s siedztwa w STLu int main() { vector< list<int> > G; int n, m, v, u; cin >> n >> m; G.resize(n); //tworzenie punktu wej±cia do list for(int i=0; i<m; i++) { cin >> u >> v; G[u].push_back(v); G[v].push_back(u); }. //dowolny algorytm //kasowanie odbywa si automatycznie return 0;

12 Odwiedzanie wierzchoªków Ni»ej przedstawione zostan dwa algorytmy odwiedzania wierzchoªków: BFS przeszukiwanie wszerz DFS przeszukiwanie w gª b

13 BFS void BFS(graf G, wierzcholek v) { char odwiedzone[ V(G) ]; //zerowanie S kolejka FIFO S.push(v) odwiedzone[v]=1; while(! S.empty() ) { foreach u in G.neigh(v) { if( odwiedzone[u]==0 ) { odwiedzone[u]=1; S.push(u); } } } }

14 S

15 S 3

16 S

17 S,, 2

18 S,, 2

19 S, 2

20 S, 2,

21 S, 2,

22 S 2,

23 S 2,,

24 S 2,,

25 S,

26 S,, 1

27 S,, 1

28 S, 1

29 S, 1,

30 S, 1,

31 S 1,

32 S 1,

33 S 1,

34 S

35 S

36 S

37 S

38 S

39 S

40 DFS void DFSViz(graf G, wierzcholek v, char odw[]) { odw[v] = 1; foreach u in G.neigh(v) { if( odw[u]==0 ) DFSViz(G, u, odw); } } void DFS(graf G, wierzcholek v) { char odwiedzone[ V(G) ]; DFS(G, v, odwiedzone); }

81 Znajdowanie najkrótszej ±cie»ki Mamy dany graf z dodatnimi wagami na kraw dziach oraz dwa wierzchoªki z tego grafu. W jaki sposób wyszuka najkrótsz drog pomi dzy tymi wierzchoªkami?

82 Algorytm Dijkstry int sciezka(graf G, wierz v1, wierz v2) { int odl[ V(G) ]; S- kolejka priorytetowa; foreach v in G odl[v] = ; odl[v1]=0; S.push(V(G)); while(! S.empty() ) { v = S.pop(); //element o najmniejszej wadze foreach u in G.neigh(v) { if( odl[u]>odl[v]+g.weight(u,v) ) odl[u] = odl[v]+g.weight(u,v); } } return odl[v2]; }

100

Podobne dokumenty

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2 Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.