Otylia Pulit-Parszewska Metoda projektu w pracy z uczniem zdolnym

Transkrypt

1

2 Otylia Pulit-Parszewska Metoda projektu w pracy z uczniem zdolnym Metoda projektu pojawiła się w edukacji na początku XX wieku i miała na celu stworzenie uczniowi warunków, w których mógłby samodzielnie zdobywać wiedzę i umiejętności. Z perspektywy dzisiejszej szkoły ten sposób nauczania staje się alternatywą do systemu klasowo-lekcyjnego, w którym przeważa, niestety w dużej mierze, bierne nauczanie. Projekt edukacyjny daje możliwość nauczycielowi i uczniowi otwarcia przedmiotów szkolnych, które zbyt często jeszcze powodują, że uczeń zdobywa wiadomości a nie wiedzę. Uczenie się na bazie projektu pozwala uczniowi na zdobywania wiedzy kompleksowej, która sięga do różnych przedmiotów szkolnych i praktycznego jej zastosowania, co niewątpliwie wpływa na motywację uczenia się. Nieocenionym walorem tej metody jest możliwość indywidualizowania zadań, a więc tworzenie warunków nauczania, w których uwzględniamy potrzeby i możliwości wszystkich uczniów słabszych, przeciętnych i uzdolnionych. Każdy uczeń ma szansę na osiągnięcie sukcesu na swoją miarę. Ważną cechą takiego sposobu uczenia się jest także fakt, że realizacja projektu edukacyjnego pozwala uczniowi na zdobywanie wiedzy i umiejętności przedmiotowych, ale równocześnie pozwala kształcić kompetencje o charakterze ponadprzedmiotowym pracę w grupie, komunikację interpersonalną, umiejętność samooceny, samodzielność w rozwiązywaniu problemów, umiejętność planowania, twórcze myślenie. W pracy z grupą uczniów zdolnych metoda projektu daje nieograniczone możliwości wspierania wszechstronnego rozwoju każdego ucznia, tak w zakresie poznawczym jak i osobowościowym. Ta specyficzna grupa uczniów wymaga szeroko pojętej indywidualizacji nauczania, a metoda projektu opiera się na indywidualizacji działań, tak w sferze poznawczej jak i wychowawczej i tworzy możliwości rozwoju różnych sfer osobowości ucznia. W polskim systemie edukacji metoda projektu jest znana i stosowana, ale zakres jej wykorzystania jest stale jeszcze zbyt skromny. Wynika to z różnych uwarunkowań, ale zapewne w dużej mierze związane jest z nakładem pracy, jaki nauczyciel musi wykonać przy jej wykorzystaniu. W praktyce edukacyjnej zwykle bywa tak, że planując wykorzystanie metody projektu, nauczyciel wybiera samodzielnie lub z uczniami temat projektu, 2

3 stosuje odpowiednie procedury w planowaniu realizacji zadań i grupy, bądź indywidualni uczniowie, przystępują do ich wykonania. Praca uczniów najczęściej sprowadza się do zebrania dużej ilości materiału rzeczowego i zaprezentowania go w wybrany sposób lub do wykonania określonych działań i zaprezentowania ich rezultatów. W projekcie DiAMEnT zaproponowano innowacyjne zastosowanie metody projektu z wykorzystaniem strategii PBL - problem based learning uczenie się na bazie problemu / uczenie się w oparciu o problem. Jest to strategia edukacyjna, która cechuje się tym, że uczymy się poprzez rozwiązywanie problemu. Takie podejście zakłada, że metoda projektu jest ściśle związana z nauczaniem problemowym. Realizujemy więc z uczniami projekt nie dla uzyskania określonego produktu lecz dla rozwiązania problemu, a poszukiwanie tego rozwiązania pozwoli nabyć uczniom określone umiejętności i poszerzyć wiedzę w danym obszarze działania. Istotnym elementem tak rozumianej metody projektu jest sformułowanie problemu (driving question), pytania napędzającego, które postawi ucznia w roli badacza poszukującego rozwiązania. Zatem temat projektu powinien mieć formę pytania problemowego o szerokim zakresie tak, by można go rozpisać na szereg problemów szczegółowych, nad którymi będą pracować uczniowie indywidualnie lub grupowo w oparciu o wcześniej ustalone zasady i plan realizacji zadania. Tak rozumiany projekt edukacyjny jest więc zadaniem problemowym, zwykle realizowanym w dłuższym, ściśle określonym terminie, indywidualnie przez jednego ucznia lub w zespole pod nadzorem nauczyciela. Polega na zaplanowanym, samodzielnym szukaniu rozwiązania problemu, które pozwala poszerzać wiedzę z danego obszaru i zdobywać nowe umiejętności. Może być powiązany z realizacją programu nauczania jednego lub wielu przedmiotów, może też wykraczać poza program. Przy stosowaniu w praktyce szkolnej tak rozumianego projektu edukacyjnego należy przestrzegać określonych zasad wynikających ze strategii PBL i nauczania problemowego: stosowanie projektu edukacyjnego wymaga wcześniejszego zaplanowania przez nauczyciela (już na etapie planowania dydaktycznego); projekt edukacyjny wymaga zastosowania określonej procedury tak w zakresie planowania jak i realizacji; 3

4 punktem wyjścia w realizacji projektu jest określenie celów zaakceptowanych przez uczniów, a więc wspólnie z nimi sformułowanych; uczeń zdobywa wiedzę potrzebną do rozwiązania problemu poprzez rozumowanie, a nie pamięciowe przyswajanie wiedzy podanej przez nauczyciela uczeń, analizując postawiony problem, odpowiada sobie na pytanie: co wiem, a czego muszę się nauczyć, aby problem rozwiązać?; głównym celem projektu edukacyjnego jest rozwiązanie problemu, a nie końcowy efekt (prezentacja, sprawozdanie), bo ten stanowi tylko element rozwiązania; w czasie szukania rozwiązania uczeń zdobywa wiedzę i umiejętności i może w dużej mierze samodzielnie decydować o ich zakresie, bo zagadnienia pojawiają się i są rozwiązywane w miarę zagłębiania się w temat; teoria wprowadzana jest wtedy, gdy jest potrzebna do rozwiązania zadania; temat projektu stanowi problem do rozwiązania (niekoniecznie z jednym rozwiązaniem), sformułowany w formie pytania problemowego (driving question); zakres tematu powinien być szeroki, co umożliwia różne podejście do rozwiązania problemu i można go rozpisać na szereg pytań problemowych szczegółowych, nad którymi będą pracować uczniowie w grupach lub indywidualnie; problem powinien odnosić się do rzeczywistości, rozwiązywać problem świata, być bliski uczniowi, co wywoła związek emocjonalny, a więc będzie motywować do działania; problem powinien integrować wiedzę z różnych dziedzin. Metoda projektu w ujęciu innowacyjnym zaproponowana w projekcie DiAMEnT skoncentrowana jest na odbiorcy czyli uczniu. Proces nauczania uzależniony jest od obecności problemu, zadania, które należy rozwiązać. Wiedza jest ukryta w zadaniu, a cele kształcenia są realizowane podczas prac nad jego rozwiązaniem, co stymuluje uczniów do poszukiwania informacji i ich przetwarzania. Zmusza także uczniów do refleksji, krytycznej oceny i wartościowania zdobytej wiedzy pod kątem jej przydatności do rozwiązania problemu. W praktyce szkolnej możemy stosować różne rodzaje projektów edukacyjnych, które dzielimy na kilka kategorii, a kryteriami podziału są: zakres, 4

5 podział pracy, cel projektu, forma pracy uczniów, struktura projektu. Ze względu na zakres Projekty przedmiotowe/problemowe Tematyka obejmuje zakres jednego przedmiotu/ jednorodnego problemu; celem jest zaznajomienie z nową tematyką lub porządkowanie nabytej wiedzy i umiejętności, albo też rozszerzenie tematyki zajęć o zagadnienia pozaprogramowe; prowadzone przez nauczyciela jednego przedmiotu. Projekty międzyprzedmiotowe Mają integrować wiedzę i umiejętności z różnych przedmiotów; celem jest analiza problemu z różnych punktów widzenia, co zwiększa praktyczny wymiar projektu; prowadzone przez jednego nauczyciela przy współudziale (konsultacjach) z innymi nauczycielami. Ze względu na podział pracy Projekty indywidualne realizowane przez jednego ucznia Projekty grupowe realizowane przez grupę uczniów z wyraźnym podziałem zadań. Ze względu na cele projektu Projekty badawcze Polegają na zebraniu i usystematyzowaniu przez uczniów informacji w odniesieniu do wybranego problemu, opracowaniu danych, wyciągnięciu wniosków i prezentacji efektów. Projekty działania lokalnego Podjęcie długoterminowego działania na rzecz klasy, szkoły, środowiska lokalnego. 5

6 Ze względu na formę pracy uczniów Projekty jednorodne Projekty wykonywane przez uczniów lub zespoły w takim samym czasie, polegające na wykonaniu takiego samego zadania, obejmującego cały zakres tematyki projektu. Projekty zróżnicowane Projekty wykonywane przez zespoły uczniowskie realizujące różne zadania, składające się na całość tematyki projektu, wykonywane jednocześnie lub rozłożone w czasie. Ze względu na strukturę projektu Projekty silnie ustrukturyzowane Projekty, w których nauczyciel podaje temat i określone wymagania, szczególnie dotyczące zakresu projektu i spodziewanych rezultatów. Projekty słabo ustrukturyzowane Projekty, które pozostawiają uczniom swobodę w wyborze tematu i zakresu projektu, określeniu sposobów realizacji oraz efektów i ich prezentacji. Realizacja projektu edukacyjnego przebiega etapami, które muszą być przemyślane i zaplanowane przede wszystkim przez nauczyciela. Konkretne propozycje nauczyciela pozwolą na sprawne przygotowanie całego procesu, który będą realizować uczniowie. I to jest element, który wymaga od nauczyciela określonego nakładu pracy. Etapy realizacji metody projektu 1. Przygotowanie uczniów do pracy metodą projektu. Uczniowie muszą mieć świadomość, na czym polega specyfika tej metody, wskazane jest także przygotowanie uczniów do pracy w grupach. 2. Wprowadzenie uczniów w problematykę projektu. Ten etap często wymaga pewnego przygotowania teoretycznego. 3. Sformułowanie lub wybór tematu / tematów oraz podział na grupy. 6

7 Możliwości w tym zakresie są różne - tematy mogą być sformułowane przez nauczyciela, a grupy dokonują wyboru, grupy mogą same ustalać tematy projektów (wskazane jest, aby nauczyciel pomógł w odpowiedni sposób sformułować problem), wszystkie grupy mogą realizować jeden problem określony przez nauczyciela. 4. Przygotowanie do realizacji projektu. Punktem wyjścia jest zaplanowanie zadań szczegółowych dla poszczególnych grup lub uczniów, które wynikają z rozpisania tematu projektu na problemy szczegółowe. Ważne jest, aby nauczyciel miał świadomość, jaką wiedzę i umiejętności będą uczniowie nabywali przy rozwiązywaniu zadań szczegółowych, gdyż to jest zakres merytoryczny planowany przez nauczyciela, który może być poszerzony przez uczniów. Kolejnym elementem przygotowania jest zawarcie kontraktu z uczniami na wykonanie projektu. W przypadku większych projektów, o dużej zawartości merytorycznej, rozłożonych w czasie, konieczne jest opracowanie planu realizacji całego projektu z uwzględnieniem zadań dla poszczególnych grup czy uczniów. 5. Realizacja projektu. To planowa realizacja zadań cząstkowych, która wymaga od uczniów zbierania i opracowywania materiałów, zdobywania nowej wiedzy i umiejętności, badania problemu w całości lub etapami. 6. Prezentacja projektu. Prezentacja może mieć różne formy w zależności od pomysłowości i możliwości uczniów. Mogą to być wytwory działalności uczniów, sprawozdania, prezentacje multimedialne, sprawozdanie z działań i zaprezentowanie efektów. 7. Ocena projektu według przyjętych kryteriów Przedmiotem oceny w metodzie projektu powinien być nie tyle produkt końcowy, choć on także podlega ocenie, co jakość działania uczniów w trakcie rozwiązywania problemu. Zadaniem nauczyciela jest szczegółowe opracowanie kryteriów oceny poszczególnych etapów pracy i rodzajów aktywności uczniów. Ocenie powinno podlegać to, co jest ważne, a nie to, co łatwo ocenić. Uczestnicy projektu muszą od początku wiedzieć, co będzie podlegać ocenie i według jakich kryteriów. Nauczyciel może sporządzić i prowadzić arkusz oceny dla każdej grupy 7

8 czy ucznia, ale bardzo ważnym elementem procesu oceniania powinna stać się samoocena i wzajemna ocena uczniów, ale ten element wymaga także od nauczyciela opracowania konkretnych propozycji. Ważnym elementem gwarantującym sprawne przeprowadzenie projektu edukacyjnego jest kontrakt zawierany z uczniami. Jest to swoista umowa określająca najistotniejsze elementy przedsięwzięcia oraz zasady obowiązujące nauczyciela i uczniów w czasie jego realizacji. Najczęściej kontrakt zawiera: temat projektu; cele projektu; formy realizacji poszczególnych zadań i całości; zadania do wykonania z określeniem osób odpowiedzialnych i terminów realizacji oraz terminy konsultacji z nauczycielem; źródła informacji, które powinny zostać wykorzystane; możliwe sposoby prezentacji projektu (do wyboru przez uczniów); termin prezentacji; kryteria oceny projektu. Takie walory projektu edukacyjnego jak interdyscyplinarność, podmiotowość ucznia, samodzielność wykonywania zadań, odejście od tradycyjnego sposobu oceniania powodują, że metoda ta daje ogromne możliwości indywidualizowania w pracy z uczniami z uwzględnieniem potrzeb i możliwości wszystkich uczniów, także tych uzdolnionych. Uczniowie ci w projekcie edukacyjnym mogą zaspokajać swoje aspiracje, wykazać się większymi umiejętnościami, zgłębiać problem z wykorzystaniem wszystkich swoich możliwości badawczych i prezentować wiedzę i umiejętności zgodnie ze swoimi potrzebami. Projekt edukacyjny zapewni uczniowi zdolnemu: - odmienny sposób pracy; - poznawanie trudniejszego materiału wykraczającego poza program szkolny; - samodzielne, oryginalne opracowanie zagadnienia; - poznanie metod samodzielnego poszerzania i zdobywania wiedzy; - możliwości badawcze - stawiania pytań i hipotez badawczych; - poznanie różnych sposobów prezentowania wyników; - możliwość uczenia innych, co jest najbardziej efektywnym sposobem uczenia się; 8

9 - myślenie twórcze, da możliwość wykazania się płynnością, giętkością i oryginalnością myślenia; - dobór materiału i źródeł informacji zgodnych z jego potrzebami. Literatura: 1. Brudnik E., Moszyńska A. Owczarska B., Ja i mój uczeń pracujemy aktywnie, Kielce Chałas K., Metoda projektów i jej egzemplifikacja w praktyce, Warszawa Chomicki G., Projekt środowiskowy najlepsza metoda integracji międzyprzedmiotowej. (w:) Nauczanie blokowe i zintegrowane przedmiotów humanistycznych w zreformowanej szkole, red. T. Jaworski, B. Burda, M. Szymczak, Zielona Góra Interaktywne metody nauczania z przykładami konspektów, Toruń Królikowski J., Projekt edukacyjny, Warszawa Mikina A., Zając B., Jak wdrażać metodę projektów?, Kraków Nowacki T. W., O metodzie projektów, Warszawa Potocka B., Projekty edukacyjne, Kielce Projekt edukacyjny i inne formy uczenia się we współpracy, red. D. Kitowska, Piła Rau K., Ziętkiewicz E., Jak aktywizować uczniów, Poznań Stevenson J. A., Metoda projektów w nauczaniu, Lwów Szymański M. S., O metodzie projektów, Warszawa Uczenie metodą projektów, red. B. D. Gołębniak, Warszawa

10 Założenia metodyczne związane z metodą projektu Powiesz zapomnę, pokażesz zapamiętam, przeżyję, doświadczę zrozumiem. Metoda projektu jest interdyscyplinarną metodą nauczania matematyki, uczy poszukiwania informacji i autoprezentacji. Odwołuje się do zainteresowań ucznia i pozwala na poszerzenie jego wiedzy. Projekt uczy samodzielności i współdziałania w sposób planowy i konsekwentny, wyrabia nawyki samokształceniowe rozwija samodzielne myślenie i kreatywność uczniów. Odwołuje się do zainteresowań ucznia i pozwala na poszerzenie jego wiedzy. Ma charakter odkrywczy. Wymusza realizację pełnego procesu badawczego: planowanie przebiegu badań przez zdobywanie informacji, stosowanie rozmaitych strategii rozwiązywania problemu, opracowanie wniosków, stawianie dobrych pytań. Uczy, jak radzić sobie z nadmiarem informacji jak je gromadzić, selekcjonować, odrzucać, uczy umiejętności dokonywania stosownych wyborów. Jako aktywna metoda uczenia pozwala tak organizować proces nauczania, że uczeń z biernego odbioru wiedzy staje się aktywnym poszukiwaczem. To wyzwala odwagę, uczy przedsiębiorczości, zaradności i samodzielności. Najważniejszymi cechami metody projektu są: samodzielne planowanie i przeprowadzanie pracy przez uczniów, zerwanie z zasadą dominacji nauczyciela, uczenie się poprzez rozwiązywanie problemów, zdobywanie wiedzy z jednoczesnym jej wykorzystaniem w praktyce, korzystanie z różnych źródeł informacji, stwarzanie sytuacji sprzyjających przeżywaniu i doświadczaniu życia, kompleksowe wspieranie rozwoju osobowości, efektywne współdziałanie w zespole, poszukiwanie i porządkowanie informacji, rozwijanie osobistych zainteresowań, rozwijanie dociekliwości poznawczej, ocenianie własnej nauki. 10

11 Założenia dydaktyczne i wychowawcze projektu Rozwiązanie nietypowych zadań proponowanych przez uczniów; Rozwijanie emocjonalne, intelektualne, światopoglądowe i praktyczne uczniów; Rozwijanie motywacyjne sprzyjające aktywnemu uczestnictwu w działaniu i podejmowaniu decyzji przez uczniów; Kształtowanie elementarnych zasad wnioskowania; Rozwiązywanie problemów w sposób twórczy; Kształtowanie umiejętności i postaw pozwalających na funkcjonowanie w świecie stale dokonujących się zmian wymagających permanentnego doskonalenia się; Wyrabianie umiejętności takich, jak: planowanie, organizowanie, ocenianie własne, kształcenie i branie za nie odpowiedzialności; Prezentowanie własnego punktu widzenia, uwzględnianie poglądów innych ludzi i porozumiewanie się w różnych sytuacjach; Współdziałanie w zespole, podejmowanie decyzji i zachowanie obowiązujących norm; Poszukiwanie, porządkowanie i wykorzystanie informacji z różnych źródeł oraz posługiwanie się wszelkimi środkami multimedialnymi; Stosowanie w praktyce przyswojonej wiedzy oraz wyrabianie odpowiednich nawyków; Rozwijanie sprawności intelektualnych i zainteresowań; Przejmowanie odpowiedzialności za własne życie i rozwój osobowy; Stwarzanie sytuacji do odkrywania pojęć i stosowania metod wyzwalających aktywność uczniów; Dostrzeganie problemów w środowisku, w którym przebywają uczniowie. Ujęcie i interpretowanie ich w pewnym modelu matematycznym; Wyciąganie odpowiednich wniosków; Dochodzenie do rozumienia przekazywanych treści; Rozwijanie zdolności dostrzegania związków i zależności; Kształtowanie umiejętności w sprawnym operowaniu pojęciami matematycznymi, biegłym rozwiązywaniu zadań o zwiększonym stopniu trudności; 11

12 Rozszerzenie wiadomości z matematyki (nie objętych) programem szkoły średniej; Nabycie umiejętności samodzielnego zdobywania wiedzy, korzystania z różnych źródeł; Uporządkowanie i uzupełnienie wiadomości i umiejętności dotyczących materiału objętego programem nauczania; Rozwijanie myślenia analitycznego i syntetycznego. Szczegółowe cele edukacyjne kształcenia i wychowania Nadrzędnym celem pracy edukacyjnej każdego nauczyciela jest dążenie do wszechstronnego rozwoju ucznia oraz przygotowanie go do rozumienia współczesnego świata i aktywnego uczestnictwa w życiu oraz do wyrabiania nawyku samodzielnego zdobywania wiedzy na dalszych etapach edukacji. Zgodnie z podstawą programową uczniowie kształcą swoje umiejętności w celu wykorzystania zdobytej wiedzy we współczesnym świecie, a nauczyciele tworzą uczniom warunki do nabywania następujących umiejętności: rozwijania logicznego myślenia i konstruowania własnych strategii postępowania, kształcenia postawy samodzielności, dociekliwości i krytycyzmu w stosunku do swoich działań, planowania, organizowania i właściwego interpretowania zebranych informacji oraz oceniania własnej nauki, przyjmowania za nią odpowiedzialności oraz kształcenia nawyku dobrej organizacji pracy, skutecznego porozumiewania się w różnych sytuacjach, prezentacji własnego punktu widzenia i uwzględniania poglądów innych ludzi, poprawnego posługiwania się językiem ojczystym, przygotowania do publicznych wystąpień, efektywnego współdziałania w zespole, budowania więzi międzyludzkich, podejmowania indywidualnych i wspólnych decyzji, skutecznego działania na gruncie obowiązujących norm, kształcenia postawy otwartości i szacunku dla pomysłów i poglądów innych uczestników projektu, prowadzenia dyskusji, prezentowania wyników własnej pracy, tolerancji i szacunku dla poglądu innych, dzielenie się w grupie rolami i zadaniami, poszukiwania kompromisu, 12

13 planowania, układanie harmonogramu działań, poszukiwanie sojuszników, którzy wsparliby realizację planowanych działań, rozwiązywania problemów w sposób twórczy, stawiania pytań i dochodzenia do wniosków, przygotowania do dostrzegania różnych problemów i zjawisk społecznych, ekonomicznych, przyrodniczych, fizycznych, elektronicznych, astronomicznych i technicznych, analizowania ich i opisywania z wykorzystaniem wiedzy matematycznej i języka matematyki, poszukiwania, porządkowania i wykorzystywania informacji z różnych źródeł, projektowania obliczeń i ich wykonywania; budowania modeli matematycznych i ich wykorzystania do rozwiązywania problemów praktycznych; efektywnego posługiwania się technologiami informatycznymi i komunikacyjnymi, odnoszenia do praktyki zdobytej wiedzy oraz tworzenia potrzebnych doświadczeń i nawyków; odbioru i interpretacji tekstu matematycznego; odczytywania, gromadzenia, interpretacji danych; logicznego wnioskowania i uzasadniania, rozwijania sprawności umysłowych oraz osobistych zainteresowań poprzez kształcenie wyobraźni przestrzennej; sprawnego posługiwania się regułami wnioskowania i algorytmami oraz językiem matematycznym, przyswajania metod i technik negocjacyjnego rozwiązywania konfliktów i problemów społecznych, zapoznania uczniów z zagadnieniami wychodzącymi poza program szkoły średniej, a wymaganymi na studiach. Treści nauczania w projektach edukacyjnych Zamieszczone w niniejszym opracowaniu projekty edukacyjne zawierają treści nauczania matematyki z obowiązującej podstawy programowej realizującej program nauczania matematyki na poziomie rozszerzonym oraz uwzględniają treści nauczania obowiązujące na pierwszych latach studiów na kierunkach związanych z matematyką. Przedstawiony w materiale zakres treści nauczania jest tylko propozycją, a ostateczna decyzja co do zakresu merytorycznego należy do nauczyciela 13

14 realizującego z grupą uczniów dany moduł. Kolejność realizowania modułów jest dowolna wybór należy do nauczyciela i grupy uczniów. Uczniowie wykonują zadania obejmujące pewną partię materiału przez samodzielne sformułowanie tematu i samodzielne poszukiwanie rozwiązania pod niezauważalną opieką nauczyciela. Projekt wymaga wykorzystania wiedzy z różnych przedmiotów nauczania fizyki, biologii, astronomii, ekonomii, geografii, polityki itp. Takie podejście wynika z faktu, że większość proponowanych projektów edukacyjnych ma charakter interdyscyplinarny, wymagający łączenia wiedzy i umiejętności z różnych dyscyplin naukowych. 14

15 MODUŁY PROJEKTOWE 15

16 MODUŁ I: Matematyka nie jest po to, aby nauczyć liczyć Wprowadzenie do modułu: Najciekawszą częścią matematyki są twierdzenia i konstrukcje geometryczne. Twierdzenia mogą być łatwe i trudne, takie do których udowodnienia trzeba najpierw udowodnić twierdzenia pomocnicze tzw. lematy. Wiele twierdzeń czekało wieki na ich udowodnienie a ci, którzy uczynili to pierwsi, zostali na stałe wpisani do historii matematyki. Nie wszystkie problemy matematyczne, znalazły pozytywne rozstrzygnięcie, jak np. kwadratura koła, to znaczy konstrukcja kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła. Zadanie to sprowadza się w istocie do konstrukcji odcinka długości. Dopiero w XIX wieku wykazano niemożliwość tej konstrukcji, a dokonali tego Pierre Wantzel oraz Ferdinand Lindemann. Był to jeden z trzech głównych problemów starożytnej matematyki greckiej, obok trysekcji kąta tzn. podziału kąta na trzy równe części oraz podwojenia sześcianu, czyli zbudowaniu sześcianu o objętości dwa razy większej od danego sześcianu. Dawno w programie matematyki szkoły ponadgimnazjalnej zostały wykreślone treści związane z klasycznymi konstrukcjami geometrycznymi tzn. tylko przy użyciu cyrkla i linijki. Są to bardzo ciekawe konstrukcje,jak chociażby złoty podział odcinka, których poprawność należy wykazać, poznając przy okazji wiele ciekawych twierdzeń geometrii i algebry. Większość twierdzeń ma zapis zgodny z logiką, dlatego też ich dowody opieramy na zasadach logicznych. Bo czymże jest reguła wnioskowania, jak nie prawem przechodniości implikacji, albo dowód nie wprost kontrapozycją, połączoną z prawem przechodniości implikacji. Reguła wnioskowania niestety nie zdaje egzaminu w twierdzeniach i wzorach określanych dla dowolnej liczby naturalnej, bo co prawdziwe jest dla skończonej ilości nawet bardzo wielkiej, może okazać się nieprawdziwe w nieskończoności, stąd konieczny jest dowód indukcyjny. Chyba najciekawszym sposobem dowodzenia twierdzeń dotyczących własności w zbiorze liczb naturalnych jest zasada szufladkowa Dirichleta. W oparciu o zasadę możliwe jest wykazanie, że w Warszawie mieszkają przynajmniej dwie osoby, które mają taką samą ilość włosów na głowie. (Dorosły człowiek ma ich nie więcej niż ). 16

17 Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach Treści nauczania Cele operacyjne modułu 1.Elementy logiki: alternatywa, koniunkcja, implikacja, równoważność, kontrapozycja, reguła odrywania. Prawa rachunku zdań. 2.Hipoteza i twierdzenie. Kontrprzykład. Budowa twierdzenia, rodzaje twierdzeń. Kwadrat logiczny i zamknięty układ twierdzeń. Twierdzenie proste i odwrotne oraz twierdzenie przeciwne i przeciwstawne. Dowody twierdzeń: wprost i nie wprost. 3.Dowód indukcyjny. 4.Zasada szufladkowa Dirichleta. 5.Dwody dedukcyjne. Główne rodzaje schematów wnioskowań. Schematy wnioskowania a twierdzenia logiczne. Schematy wnioskowania a reguły wnioskowania. Metody logicznego wnioskowania (wnioskowanie wstecz i wnioskowanie wprzód). 6.Dowody poprawności konstrukcji geometrycznych w oparciu o twierdzenia geometrii euklidesowej. Uczeń potrafi: -odczytywać zdania zapisane z użyciem symboli matematycznych -posługiwać się symboliką logiczną: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz form zdaniowych -stosować do zapisu zdań symbole logiki matematycznej -stosować prawa logiczne -odnaleźć regułę modus ponens (reguła odrywania), modus tollens (modus tollendo tollens, łac. sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia), modus tollendo ponens (łac. sposób potwierdzający przez zaprzeczenie) w tautologii rachunku zdań -zastosować prosty schemat wnioskowania dedukcyjnego -podać kontrprzykład pokazujący fałszywość danej hipotezy -podać budowę twierdzenia -wskazać założenie i tezę twierdzenia -uzasadnić na czym polega dowód matematyczny 17

18 -rozpoznać twierdzenia, które należy dowodzić nie wprost -odnaleźć dowód Euklidesa na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych -odnaleźć różne dowody niewymierności 2 -wykonać klasyczne konstrukcje geometryczne przy pomocy cyrkla i linijki, wraz z dowodem poprawności konstrukcji -przeprowadzić dowód twierdzenia wprost i nie wprost -zastosować własności twierdzeń -wskazać warunek konieczny i wystarczający -rozróżniać twierdzenia -zapisywać twierdzenia przy pomocy symboli matematycznych -wyszukać twierdzenia w algebrze, geometrii, trygonometrii i w kombinatoryce -wyjaśnić pojęcie zasady indukcji matematycznej -stosować indukcję matematyczną w prowadzeniu rozumowań, w szczególności w dowodzeniu twierdzeń -zauważyć które twierdzenia dowodzić za pomocą zasady szufladkowej Dirichleta 18

19 -przeprowadzić dowód wykorzystując zasadę szufladkową Dirichleta -opisać językiem matematyki twierdzenia w innych dziedzinach niekoniecznie w matematyce. 19

20 PROJEKT 1: Jakie zastosowania mają twierdzenia matematyczne w logice? Materiały pomocnicze do tematu projektu: Szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: Jaka jest budowa twierdzenia? Jakie są sposoby zapisywania twierdzeń? Jakie znasz rodzaje twierdzeń w logice? Jaka jest różnica w dowodach twierdzeń w logice, algebrze, geometrii i trygonometrii? Jaki związek ma twierdzenie wprost z kontrapozycją i dowodem nie wprost? Jak konstruujemy twierdzenie odwrotne do danego? W jaki sposób dowodzimy równoważność w logice, a jak w innych dziedzinach matematyki? Jakie potrafisz znaleźć reguły logiczne, które można zastosować w innych dziedzinach? Propozycje zadań do projektu Omówienie budowy twierdzenia i sposobów zapisywania z wykorzystaniem języka matematycznego. Wskazanie różnic w dowodzeniu twierdzeń w logice, algebrze, geometrii i trygonometrii sposoby dowodzenia. Omówienie związku twierdzenia wprost z kontrapozycją i dowodem nie wprost. Konstruowanie twierdzenia odwrotnego do danego, przykłady kiedy możemy to zrobić. Dowodzenie równoważności w logice i innych dziedzinach matematyki. Zastosowanie reguł logicznych w innych dziedzinach przy rozwiązywaniu problemów. 20

21 Przykładowe zadania przedmiotowe do wykorzystania Przeanalizowanie sposobów znalezienia odpowiedzi na pytania zadane w formie zagadek logicznych. Formułowanie wniosków i poszukiwanie najprostszych dróg rozwiązania problemów. Sposób realizacji: Uczniowie zadają sobie nawzajem zagadki logiczne i po pewnym czasie przedstawiają rozwiązania na forum grupy. Wszystkie drogi prowadzące do rozwiązania są dobre, ale rolą poszukiwacza - odkrywcy jest znalezienie tej najprostszej i najbardziej ciekawej. Wykorzystanie materiału zawartego w książce Zagadki Szeherezady i inne zdumiewające łamigłówki, dawne i współczesne. Zagadka Król pojechał na polowanie i zabrał z sobą 24 rycerzy. Sam spał w środkowym pokoju a rycerze w 9 pokojach z każdej strony domku Król Rycerze zapytali, czy mogą w nocy przechodzić z pokoju do pokoju. Król zgodził się na to pod warunkiem, że z każdej strony domku będzie zawsze 9 rycerzy. Pierwszej nocy czterech z nich wymknęło się, a pozostali tak sprytnie rozmieścili się w pokojach, że zdołali utrzymać wymagana liczbę 9 z każdej strony. Jak to możliwe? Drugiej nocy do rycerzy przyszło czterech kolegów z wioski w przebraniu rycerzy i rozmieścili się tak, że znów było po czterech z każdej strony. Jak to możliwe? Trzeciej nocy do domku przyszło 8 dodatkowych osób, a król znów naliczył po 9 z każdej strony. Jak to się stało? Czwartej nocy przyszło 12 gości i znów wszystko było w porządku. Jakim cudem? Piątej nocy 6 rycerzy poszło do wioski, a i tak było po 9 z każdej strony. Jak? Systemy liczbowe i sposoby zamiany liczby z jednego systemu na drugi. Wprowadzenia dokonuje prowadzący, a następnie grupy wykonują proste ćwiczenia zamiany liczb z systemu dziesiętnego na dwójkowy i dwunastkowy. 21

22 Prowadzący przedstawia sposoby wykonywania działań w systemach innych niż dziesiętny i grupy wykonują proste ćwiczenia utrwalające. Zadanie 1. Znajdź prawa rachunku zdań w Internecie i przeprowadź dowody ważniejszych praw rachunku zdań, np.: prawo kontrapozycji prawo odrywania (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i pierwsze jest prawdziwe, to drugie należy uznać za prawdziwe) Prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus ponendo ponens (łac. sposób potwierdzający przy pomocy potwierdzenia) prawo eliminacji implikacji prawo zaprzeczenia implikacji prawo redukcji do absurdu (reductio ad absurdum) prawo Fregego 22

23 Zadanie 2. Reguły wnioskowania na podstawie poniższego tekstu, znajdź problemy związane z życiem codziennym, w których możemy zastosować opisane tu reguły: Reguła odrywania oparta na prawie rachunku zdań modus ponens reguła przekształcania jednych formuł zdaniowych w inne formuły zdaniowe przyjmowana na gruncie rachunku zdań. W pierwotnej formie sformułowana w logice stoików. Część autorów termin reguła odrywania rozumie szerszej, mianowicie regułę odrywania dla równoważności o analogicznej do reguły odrywania (dla implikacji) postaci. Modus ponens (reguła odrywania), wnioskowanie logiczne, to reguła logiki mówiąca że jeśli zaakceptujemy że z x wynika y, oraz x (jest prawdziwe), to musimy zaakceptować też y. prawo pustego spełniania: 0 q ; nie ma co wtedy martwić się nieprawdą; stąd zał. zał., że prawdą są wszystkie! przesłanki w dowodach założeniowych ; kończąc dowód tezy udowadniamy tautologię. Modus tollens (modus tollendo tollens, łac. sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia) wnioskowanie logiczne, reguła logiki mówiąca, że jeśli zaakceptujemy że z X wynika Y, oraz że Y jest fałszywe, to musimy zaakceptować też fałszywość X. "Modus tollendo tollens tryb obalający [...] przez obalenie [...]. Jest to inna postać "sylogizmu kategoryczno-hipotetycznego". Zastosowania: Jeżeli nie ma śladów uderzeń na zwłokach, a przy tym gdyby zmarły był bity przed śmiercią, to by były ślady uderzeń na zwłokach, tedy nieprawda, że zmarły był bity przed śmiercią." Modus tollendo ponens (łac. sposób potwierdzający przez zaprzeczenie) tautologia rachunku zdań i analogiczny schemat wnioskowania dedukcyjnego. Tautologia rachunku zdań mówi, że jeśli uznajemy alternatywę i fałszywość jednego z jej członów, musimy uznać prawdziwość drugiego członu: 23

24 Analogiczny schemat wnioskowania dedukcyjnego ma postać: p lub q, nie p. Zatem: q. Modus ponendo tollens (łac. sposób zaprzeczający przez potwierdzenie) Jest to tautologia rachunku zdań mówiąca o właściwościach dysjunkcji na podstawie prawdziwości jednego ze zdań składowych prawdziwej dysjunkcji można orzekać o fałszywości drugiego. Analogiczny schemat wnioskowania dedukcyjnego ma postać Jeżeli: bądź p bądź q, i p. Zatem: nieprawda, że q. Zadanie 3. Na podstawie wybranych rodzajów reguł wnioskowania i podanych poniżej przykładów sporządź uproszczony schemat algorytmu działania maszyny wnioskującej wprzód i wstecz. 1) Reguła odrywania oparta na prawie "modus ponens" zgodnie z którym jeśli uznany (prawdziwy) jest okres warunkowy (implikacja) i jego poprzednik, wolno zawsze uznać (za prawdziwy) jego następnik. "Modus ponens" polega na wnioskowaniu w przód, tzn. z przyczyny wnioskujemy o skutkach. 24

25 Przykład z życia maturzystki: przesłanka 1: Maturzystka otrzymała w teście 20 punktów. przesłanka 2: Jeżeli maturzystka otrzymała 20 punktów to maturzystka zaliczyła przedmiot. Wniosek: Maturzystka zaliczyła przedmiot. 2) Reguła oparta na prawie "modus tollens" polegającego także na wnioskowaniu wprzód. Przykłady z życia maturzystki: a) przesłanka 1: Jeżeli maturzystka otrzymała w teście ponad 20 punktów to maturzystka zaliczyła przedmiot. przesłanka 2: Maturzystka nie zaliczyła przedmiotu. wniosek: Maturzystka nie otrzymała na teście ponad 20 punktów. b) przesłanka1: Jeżeli rodzice maturzystki wysłali na jej konto 500 zł to maturzystka kupi sobie skórzane buty. przesłanka 2: Maturzystka nie kupiła sobie skórzanych butów. wniosek: Rodzice maturzystki nie wysłali na jej konto 500 zł. Wnioskowanie wprzód Na podstawie dostępnych reguł i faktów należy generować nowe fakty tak długo, aż wśród wygenerowanych faktów znajdzie się postawiona hipoteza. Zadanie 4. Sporządź algorytm poniższego wnioskowania wprzód: Krok 1:(START) Weź hipotezę ze szczytu zadań. Krok2: Jeśli w bazie wiedzy na liście faktów jest odpowiedź na postawioną hipotezę przejdź do Krok-u 3, w przeciwnym wypadku przejdź do Krok-u 4. Krok3: Sformułuj odpowiedz (STOP). Krok4 :Określ reguły, których przesłanki znajdują się na liście faktów. Krok5: Wybierz regułę, stosując strategię wnioskowania. 25

26 Krok6: Jeśli nie istnieje reguła, którą można uaktywnić przejdź do Krok-u 3, w przeciwnym wypadku przejdź do Krok-u 7. Krok7: Uaktywnij wybraną regułę. Krok8: Dopisz nowe fakty do listy faktów. Krok9: Zaznacz użycie uaktywnionej reguły. Krok10: Wróć do Krok-u 2. Zadanie 5. Wnioskowanie wstecz Polega na wykazaniu prawdziwości hipotezy głównej na podstawie prawdziwości przesłanek. Sporządź algorytm poniższego wnioskowania wstecz: Poszczególne kroki algorytmu działania maszyny wnioskującej wstecz Krok1: (START) Załaduj bazę wiedzy. Krok2: Sprawdź składnię bazy wiedzy. Krok3: Zwolnij struktury danych, które reprezentowały bazę wiedzy w poprzednim wnioskowaniu. Krok4: Utwórz listę reguł przez odczytywanie bazy wiedzy i utworzenie odpowiednich struktur. Krok5: Utwórz listę faktów na podstawie listy reguł według określonych zadań. Krok6: Postaw hipotezę przez odczytanie jej z bazy wiedzy lub wyprowadź nową hipotezę. Krok7: Szukaj odpowiedzi na postawioną hipotezę. Krok8: Jeśli jest następna hipoteza, przejdź do Krok-u 3, w przeciwnym razie przejdź do Krok-u 10. Krok10: Jeżeli chcesz załadować następną bazę przejdź do Krok-u 1, w przeciwnym wypadku zakończ działanie (STOP). Zadanie 6. Istnieje więcej reguł wnioskowania znajdź je w Internecie. 26

27 Zadanie 7. Wiemy, że nie istnieje problem kwadratury koła. Rozwiąż kwadraturę trójkąta tzn. skonstruuj kwadrat o polu równym polu trójkąta równobocznego danym boku a. Zadanie 8. Spróbuj ustalić, czy zasada złotego podziału może być traktowana jako matryca nie tylko dla świata materialnego, ale również dla świata duchowego? (Czy złota proporcja odnosi się tylko do ilości, czy także do idei?) - złoty podział odcinka, dowód konstrukcji trójkąt wpisany w kwadrat. 27

28 Jeżeli kwadrat o boku 1 wpisze się trójkąt o podstawie równej 1 i wysokości h= 1, to styczna poprowadzona do koła wpisanego w ten trójkąt i równoległa do podstawy, podzieli 2 boki kwadratu w złotym podziale a utworzony prostokąt będzie złotym prostokątem. Jeżeli w ten sam kwadrat wpisze się trójkąt o podstawie 1 i wysokości h =, to styczna poprowadzona do koła wpisanego w te trójkąt i równoległa do podstawy, podzieli boki kwadratu w srebrnym stosunku a utworzony prostokąt będzie srebrnym prostokątem. Zadanie 9. Geometria Greków odszukaj stosowanie złotego podziału w architekturze np.: Partenon, katedra Notre Dame, gmach ONZ itp., czy sztuce: Pierro della Francesca, Leonardo da Vinci, Velazquez, Dali itp. Zadanie 10. Czy ciąg Fibonacciego pozwolił na odkrywanie złotych zależności w naturze, szczególnie zaś w biologii, fizyce, astronomii, czy nawet ekonomii? 28

29 PROJEKT 2: Które twierdzenia łatwiej udowodnić metodą nie wprost? Materiały pomocnicze do tematu projektu Szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: Na czym polega dowód nie wprost? Z jakimi twierdzeniami w logice kojarzymy dowód nie wprost? Czy dowód wprost można zastąpić dowodem nie wprost? Jakie są sposoby dowodu niewymierności liczby 2? Jak udowodnić niewymierność liczby π? Jaki jest dowód na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych? W jakich działach matematyki stosowane są dowody nie wprost? Jak udowodnić przestępność liczby π oraz e? Propozycje zadań do projektu Omówienie idei dowodu nie wprost Przeprowadzenie dowodów wprost i nie wprost tych samych twierdzeń Udowadnianie niewymierności liczb na konkretnych przykładach Przeprowadzenie innych dowodów wykorzystujących metodę nie wprost Liczby przestępne - przeprowadzenie dowodów. Przykładowe zadania przedmiotowe do wykorzystana Zadanie 1. Własności liczb i sposoby ich dowodzenia. Wykorzystanie materiału zawartego w książce Impresje liczbowe od cyfry do szeregu rozdział II. a. Znajdź liczbę dwucyfrową równą podwojonemu iloczynowi swoich cyfr. b. Znajdź liczbę dwucyfrową równą sumie cyfry dziesiątek i kwadratu cyfry jedności. c. Znajdź wszystkie liczby dwucyfrowe podzielne przez iloczyn swoich cyfr. 29

30 d. Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe, które są 11 razy większe od sumy swoich cyfr. e. Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe, które przy dowolnym przestawieniu ich cyfr dają liczbę podzielną przez 27. f. Znajdź wszystkie liczby trzycyfrowe abc, których kwadrat kończy się cyframi abc. Prowadzący prezentuje zasady występujące w zadaniach z cyframi i liczbami, sposoby zapisu, obliczeń, a następnie po przykładowych dowodach uczniowie uzasadniają własności liczb w grupach. Wykorzystujemy dowody przedstawione w rozdziale II książki. Zadanie 2 Udowodnij, że liczba 2 jest liczbą niewymierną. Kolejnych 6 dowodów niewymierności 2 rozdział III pkt. 1 w książce Impresje liczbowe od cyfry do szeregu. Zadanie 3 Czy wykorzystując poznaną drogę rozumowania możesz uzasadnić, że liczba 3 jest liczbą niewymierną, a może jeszcze 6? Zadanie 4 Liczba, która jest równa sumie swoich dzielników właściwych nazywa się doskonałą. Liczby doskonałe to np. 6=1+2+3, 28= Spróbuj znaleźć inne liczby doskonałe. (rozdział III pkt. 2 w książce Impresje liczbowe od cyfry do szeregu ) Zadanie 5 Oblicz n 1 Zadanie 6 Rozstrzygnij, która z liczb jest większa czy 55 22? Zadanie 7 Wyznacz wszystkie liczby całkowite spełniające równanie 2 n (4 - n) = 2n + 4 Zadanie 8 Znajdź dowód niewymierności liczby e podany przez J.Fouriera i przez Eulera 30

31 Wskazówka: Dowód niewymierności liczby e; używający szeregu (odszukaj jakiego?), który został najprawdopodobniej podany przez J. Fouriera, a więc jest o około sto lat późniejszy od naszkicowanego dowodu podanego przez Eulera. Jest on następujący: niech e = p/q; gdzie p i q są liczbami naturalnymi. Mnożąc szereg przez q! otrzymamy jawną sprzeczność (książka Eli Maora). Zadanie 9 Przeprowadź dowód niewymierności liczby π. Zadanie 10 Liczba algebraiczna to taka, która jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych. Liczba przestępna to liczba, która nie jest algebraiczna. Udowodnij przestępność liczby π. Zadanie 11 Znajdź średnią arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną dla dowolnych dwóch liczb dodatnich i określ zależności między nimi : która z nich jest największa, a która jest najmniejsza. Przeprowadź dowód nie wprost tej zależności. Czy możliwy jest dowód nie wprost średnich określonych dla skończonej ilości dodatnich liczb rzeczywistych? 31

32 PROJEKT 3: Jakie są metody dowodzenia twierdzeń określone dla zmiennej naturalnej, występujące w różnych dziedzinach? Materiały pomocnicze do tematu projektu Szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: Co to jest dedukcja? Jakie są etapy związane z indukcją matematyczną? Jaki jest związek indukcji matematycznej ze zbiorem liczb naturalnych a jaki z dominem? Do czego służy indukcja matematyczna? Na czym polega zasada szufladkowa Dirichleta? Czy dowód indukcyjny można zastąpić dowodem dedukcyjnym? Jakie jest zastosowanie indukcji matematycznej w teorii ciągów? Jakie są zastosowania indukcji matematycznej w geometrii? Co ma wspólnego podzielność liczb naturalnych z indukcją matematyczną? Propozycje zadań do projektu Omówienie dedukcji jako metody dochodzenia do rozwiązania problemu. Zastosowanie indukcji matematycznej do uzasadniania własności liczb. Zastosowanie dedukcji i indukcji. Ciąg jako funkcja zmiennej n. Uzasadnianie zasad rządzących podzielnością liczb. Przykładowe zadania przedmiotowe do wykorzystana Zadanie 1 Jak można uogólnić pewne prawidłowości i czy da się to zrobić w każdym przypadku? a) Pomyśl liczbę trzycyfrową i zapisz ją powtarzając dwukrotnie np , podziel ją przez 7, (jest bez reszty), teraz wynik podziel przez 11, (jest bez reszty), podziel wynik przez 13 i otrzymana liczba jest równa liczbie pomyślanej. Zastanów się ile jest takich liczb 32

33 trzycyfrowych i dlaczego tyle? A może potrafisz wymyślić inne prawidłowości? b) Mamy trzy monety, miedzianą, srebrną i złotą. Jeśli wypowiesz zdanie prawdziwe, otrzymasz monetę. Jakie zdanie powinieneś wypowiedzieć, aby otrzymać złotą monetę? Prowadzący daje każdej grupie pewne zagadnienie do rozwiązania i po pewnym czasie następuje prezentacja wyników z równoczesną próbą znalezienia innej drogi rozwiązania danego problemu. Zadanie 2 Sprawdzając monotoniczność ciągu poprzez wyznaczenie skończonej ilości kolejnych jego wyrazów, można zauważyć, że ciąg jest malejący, co może okazać się nieprawdą dla całego ciągu. Wyznacz monotoniczność ciągu a n =n 3 -( )n n. Zadanie 3 Udowodnij prawdziwość nierówności 2 n >n 2 dla każdej liczby naturalnej n 3. Zadanie 4 Udowodnij : liczba naturalna złożona z n jednakowych cyfr np = ₉(10 n -1). Zadanie 5 Udowodnij podzielność 6l n 3 - n.czy podzielność tą można wykazać bez użycia indukcji? Zadanie 6 Odszukaj w literaturze matematycznej nierówność Bernoulli ego i udowodnij ją na podstawie indukcji. Zadanie 7 Korzystając z ciągu Fibonacciego określonego rekurencyjnie u 0 =0, u 1 =1, u n+2 =u n +u n+1 udowodnij równość u 2n =u 2 2 n + u n+1 Zadanie 8 Na ile rozłącznych figur n prostych podzieli płaszczyznę? Znajdź wzór i udowodnij go. Zadanie 9 Na podstawie Zasady szufladkowej Dirichleta przedstawionej poniżej, wykaż, że w Warszawie mieszkają dwie osoby mające te sama liczbę włosów na głowie. 33

34 Sformułowanie: Mamy k szufladek i n królików, gdzie n > k. Jeżeli powsadzamy króliki do szufladek, to w przynajmniej jednej znajda sie przynajmniej dwa króliki. Dowód: Jeżeli w każdej szufladce byłby co najwyżej jeden królik, to w sumie byłoby ich co najwyżej k - sprzeczność z założeniami. Sformułowanie w innym języku: Niech X będzie n - elementowym zbiorem. Zbiór X przedstawmy w postaci sumy k parami rozłącznych zbiorów (X = X 1[ X 2[...[ X k ). Jeśli n > k, to przynajmniej jeden ze zbiorów Xi ma co najmniej dwa elementy. Sformułowanie w jeszcze innym języku: Niech X i Y będą zbiorami mającymi odpowiednio n i k elementów. Jeśli n > k, to żadna funkcja f : X! Y nie jest różnowartościowa. Uogólniona wersja zasady szufladkowej: Jeśli mamy k szufladek i n > mk królików, to jeśli poupychamy króliki w szufladkach, to w przynajmniej jednej będzie przynajmniej m + 1 królików. Dowód: Jeśli byłoby inaczej, czyli w każdej szufladce byłoby co najwyżej m królików, to w sumie byłoby ich nie więcej niż mk - sprzeczność z założeniami. Zadanie10 Na sali znajduje sie 47 osób. Udowodnić, ze na sali znajdzie sie 7 osób urodzonych tego samego dnia tygodnia. Dowód: Dni tygodnia to szufladki, osoby to króliki. Mamy 7 szufladek i 47 > 42 = 6 7 królików. Zatem z uogólnionej zasady szufladkowej, znajdzie sie przynajmniej 7 królików w przynajmniej jednej klatce, czyli przynajmniej 7 osób urodzonych tego samego dnia tygodnia. Wskazówka: Wygodnie tutaj jest spojrzeć na sytuacje przy użyciu funkcji. Niech X będzie zbiorem mieszkańców stolicy, a Y zbiorem liczb naturalnych od 0 do, powiedzmy, (grube oszacowanie górne możliwej liczby włosów na głowie). Niech f : X! Y będzie funkcja, która przypisuje obywatelowi liczbę jego włosów. Ponieważ X > Y, wiec f nie może być różnowartościowa a wiec przynajmniej jedna wartość jest przypisana co najmniej dwóm argumentom. Wracając do zwykłego języka: przynajmniej dwie osoby maja taka sama liczbę włosów na głowie. 34

35 Literatura i inne źródła informacji Lev Kurlyandchik, Złote rybki w oceanie matematyki Henryk Pawłowski, Kółko matematyczne dla olimpijczyków The Pigeon Hole Principle Matematyka Dyskretna dr Edyta Szymańska Matematyka Dyskretna Uniwersytet Zielonogórski Tadeusz Kotarbiński, Elementy teorii poznania, logiki formalnej i metodologii nauk Raymond Smullyan, Zagadki Szeherezady i inne zdumiewające łamigłówki, dawne i współczesne Lev Kourliandtchik, Impresje liczbowe od cyfry do szeregu Henryk Pawłowski i Wojciech Tomalczyk, Zadania z matematyki dla olimpijczyków

36 MODUŁ II: Pojęcie funkcji, ciągu i zastosowania liczby e Wprowadzenie do modułu Niewątpliwie jedną z najciekawszych liczb w matematyce jest liczba e. Zwana także liczbą Napiera. Została wymyślona przez szkockiego matematyka i astronoma Johna Napiera (Nepera) w XVI wieku, który zastosował ją do logarytmów, układając tablice logarytmiczne na potrzeby astronomii. Oznaczenie liczby literą e wprowadził w 1736 roku Euler, porządkując stałe w matematyce. Liczbę e definiujemy jako granicę ciągu lim 1. W 1873 roku Charles Hermite wykazał przestępność liczby e. Liczba ta jest ponadto niewymierna i niealgebraiczna. Jej wartość z dokładnością do 10 miejsc po przecinku wynosi e=2, Można jej wartość obliczyć z dowolną dokładnością, gdyż daje się ona łatwo rozwinąć w szereg odwrotności silni kolejnych liczb naturalnych: e=! korzystając z rozwinięcia funkcji wykładniczej e x w szereg Maclaurina. W informatyce stosujemy zapis e x = exp (x). Zastosowanie tej liczby jest wielkie, nie tylko jako podstawa logarytmu naturalnego, bo dzięki technice komputerowej powoli logarytmy odchodzą w niepamięć. Liczbę e spotykamy w bankowości, w przyrodzie, w społeczeństwie, gdzie przy jej pomocy określamy rozwój rośliny czy rozwój danej populacji. Stosuje się ją również w analizie zespolonej, do przedstawienia liczby zespolonej w postaci wykładniczej jak również w elektronice do określenia natężenia prądu zmiennego. 36

37 Cele operacyjne modułu uwzględnione we wszystkich projektach modułu Treści nauczania 1.Ciągi i szeregi liczbowe. Pojęcie ciągu, sposoby definiowania ciągów. Ciągi arytmetyczne i geometryczne. Sumy skończonej początkowej liczby wyrazów ciągu. Ciągi monotoniczne i ograniczone. Zbieżność ciągów. Granica ciągu w punkcie w nieskończoności. Granice ciągów wymiernych. Własności granic. Pojęcie szeregu i jego zbieżności. Szeregi geometryczne. Suma nieskończonego szeregu geometrycznego. 2.Funkcje odwrotne i odwracalne. 3.Funkcje wykładnicze. 4.Funkcje logarytmiczne. 5.Wykresy funkcji wykładniczej i logarytmicznej. 6.Skala wykładnicza i logarytmiczna. 7.Funkje trygonometryczne. Cele operacyjne modułu Uczeń potrafi: -opisać ciąg różnymi sposobami -zbadać czy ciąg jest arytmetyczny czy geometryczny -obliczyć sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego -wyznaczać granicę ciągu -zastosować liczbę e do obliczania odsetek przy lokatach bankowych - narysować wykres funkcji exponens (czyli ) i odczytać własności na podst. wykresu -podać przybliżenie liczby -zastosować arkusz kalkulacyjny do podania przybliżenia liczby, korzystając ze wzoru lim 1 - odnaleźć wzór 8.Funkcje hiperboliczne. 1 1! 2! 3!, oraz zapisać go za pomocą! -wyjaśnić pojęcie logarytmu naturalnego 37

38 i jego związku z liczbą -narysować wykres logarytmu naturalnego -zastosować skalę wykładniczą i logarytmiczną -odnaleźć różne zastosowania liczby -wyjaśnić które funkcje posiadają funkcje odwrotne -wskazać funkcje odwracalne -rysować wykresy danych funkcji i funkcji do nich odwrotnych -zauważyć związek funkcji hiperbolicznych i liczby -narysować wykresy funkcji hiperbolicznych -korzystać z wykresów funkcji do opisywania zagadnień matematycznych i zjawisk związanych z innymi dziedzinami nie matematycznymi znaleźć zastosowania liczby w różnych dziedzinach -zauważyć skąd się wzięła liczba -odnaleźć w jakich funkcjach algebraicznych występuje liczba. 38