Metody interpolacji w programie SAGA GIS Krajowe warsztaty CASCADOSS Zastosowania oprogramowania Open Source GIS (FOSS4G ang. Free and Open Source Software for Geospatial) w ochronie przyrody 12-13 lutego 2009, Warszawa
1. Wprowadzenie do pracy z programem SAGA GIS SAGA (System for Automated Geoscientific Analyses), aplikacja open source, której najistotniejszym elementem jest szeroki zestaw narzędzi do analizy danych przestrzennych w tym głównie rastrowych. Program słuŝy równieŝ do przetwarzania danych wektorowych i tabelarycznych. SAGA została stworzona i jest rozwijana przez niewielki zespół specjalistów z Uniwersytetu w Getyndze w Niemczech. Program wywodzi się od aplikacji DiGeM przeznaczonej do analizy terenu. Pierwsza edycja SAGA GIS została opublikowana w lutym 2004, druga we wrześniu 2007. Kod źródłowy programu (napisany w języku C++) dostępny jest na licencji GNU General Public License. Oznacza to, iŝ moŝe być on dowolnie modyfikowany, pod warunkiem bezpłatnego udostępnienia zmienionej wersji na identycznych zasadach. W najnowszej wersji programu (2.0) dostępnych jest około 120 modułów słuŝących m.in. do analizy terenu, symulacji procesów dynamicznych, interpolacji i analiz geostatystycznych, przetwarzania i analizy obrazów rastrowych, transformacji odwzorowań, importu, eksportu i konwersji danych oraz ich wizualizacji. 2
Graficzny interfejs uŝytkownika (GUI) tworzą: - Menu bar (pasek menu) - Toolbar (pasek narzędzi) - Workspace window (okno przestrzeni roboczej) - Main Window (okno główne) - Object properties window (okno właściwości obiektów) - Message window (okno wiadomości) - Tabs (zakładki) Rysunek 1. Interfejs programu SAGA GIS 2.0. 3
2. Pojęcie interpolacji Interpolacja to metoda numeryczna pozwalająca na oszacowanie wartości funkcji w dowolnym miejscu danego przedziału, w którym występuje pewna, ograniczona liczba punktów o znanej, np. z pomiarów, wartości z (x,y). Punkty te nazywane są węzłami interpolacji. Na ich podstawie wyznaczana jest tzw. funkcja interpolacyjna z=f(x,y). Stanowi ona przybliŝenie funkcji o nieznanym wzorze pierwotnie opisującej dane zjawisko. Przechodzi przez te same punkty o zadanej z góry wartości z (x,y) (węzły interpolacji). Nie moŝna jednak być pewnym, czy pomiędzy nimi przebiega w dokładnie ten sam sposób, co funkcja pierwotna. Metody interpolacji mają duŝe znaczenie w badaniach środowiska przyrodniczego. Dysponując pomiarami ze skończonej liczby punktów w określonej przestrzeni geograficznej moŝemy pomierzone wartości interpolować róŝnymi metodami na całą tę przestrzeń. W ten sposób moŝemy oszacować wartości parametrów pomiędzy punktami, w których dokonano pomiarów. Interpolacja przestrzenna moŝe być zastosowana do róŝnego rodzaju danych, m.in. z pomiarów zanieczyszczenia środowiska, właściwości fizycznych atmosfery, poziomu wód gruntowych, topografii terenu lub zjawisk geologicznych i innych. Metody interpolacji przestrzennej moŝna podzielić na deterministyczne, modelujące powierzchnię w sposób jednoznacznie określony funkcjami matematycznymi oraz stochastyczne (geostatystyczne), uwzględniające koncepcję zmienności losowej interpolowanej powierzchni. Do tej drugiej grupy naleŝą przede wszystkim róŝne odmiany krigingu. RozróŜniane są równieŝ globalne i lokalne metody interpolacji. Metody globalne dokonują interpolacji jedną funkcją matematyczną na podstawie danych ze wszystkich punktów ze zbioru pomiarowego. SłuŜą szczególnie do ukazania ogólnych trendów w całym zbiorze danych. Metody lokalne wykorzystują podczas obliczeń dane z punktów leŝących w bliskim sąsiedztwie węzła interpolacji, bez uwzględnienia wpływu całego zbioru danych. Ta sama 4
funkcja matematyczna stosowana jest wielokrotnie do lokalnych zbiorów danych pomiarowych, co ma zapewnić jej lepsze dopasowanie. Istnieje takŝe podział na funkcje interpolacyjne wierne i wygładzające. W przypadku tych pierwszych, jeŝeli punkt, w którym szacowana jest wartość funkcji (punkt estymacji) wypada w punkcie pomiaru, pozostawiana jest wartość oryginalna. Wszystkie dane pomiarowe są ściśle uwzględniane, tak, Ŝe znajdują się dokładnie na powierzchni interpolacji. W przypadku funkcji wygładzających, jeŝeli punkt estymacji wypada w punkcie pomiaru, wyniki estymacji i pomiaru mogą się róŝnić. Dane pomiarowe nie są ściśle uwzględniane przy konstruowaniu powierzchni interpolacji. Metody wygładzające są wskazane do zastosowania w przypadku niepewności, co do jakości danych pomiarowych. Ostatni podział, który warto odnotować dotyczy metod ciągłych i nieciągłych. Metody ciągłe dają płynną zmienność wartości na powierzchni między punktami pomiaru. Są one wskazane do interpolacji danych cechujących się małą lokalną zmiennością stosujemy je do prezentacji zjawisk o charakterze ciągłym i ich rozkładu przestrzennego np. wysokości opadów atmosferycznych. Metody nieciągłe tworzą powierzchnie interpolacji, na których mogą występować skokowe zmiany wartości. Stosuje się je do interpolacji danych o duŝej lokalnej zmienności lub danych nieciągłych (z wyraźnymi skokowymi zmianami wartości) np. do określania stref występowania danego zjawiska. 3. Ćwiczenie z wykorzystaniem programu SAGA GIS 3.1. Cel ćwiczenia: W ćwiczeniu na podstawie danych z pomiarów punktowych utworzona zostanie powierzchnia interpolowana w postaci rastrowej. Przetestujemy trzy metody interpolacji wybrane spośród szeregu dostępnych w programie SAGA GIS i dokonamy oceny ich przydatności. Wybranymi metodami są: Metoda najbliŝszego sąsiedztwa (Nearest neighbour), Metoda odwrotnych odległości (Inverse distance), Kriging zwykły (Ordinary kriging). 5
Na koniec, bazując na obrazie powierzchni otrzymanej w wyniku zastosowania wybranej metody interpolacji, utworzymy mapę izoliniową. 3.2 Wprowadzenie do ćwiczenia 1. Uruchom program SAGA GIS. 2. W menu File wybierz Shapes Load Shapes. Otwórz plik pomiary.shp. 3. W Workspace przejdź na zakładkę Data*. 4. Kliknij dwukrotnie na obrazek z danymi punktowymi z pomiarów. Zostanie dodany do widoku jako nowa mapa (01.map). Zmienimy teraz właściwości jej wyświetlania. 5. W oknie Object Properties Window przejdź do opcji Display: Color Classification, a następnie: Po kliknięciu w polu Type wybierz z listy rozwijanej Graduated Color. Po kliknięciu w polu Attribute wybierz z listy rozwijanej atrybut ID. Wybierz pole Graduated Color Colors. Kliknij na mały kwadrat, jaki pojawi się z prawej strony. Otworzy się nowe okno ze skalami barwnymi. Wybierz Presets i zmień skalę na white > red. Dwukrotnie zatwierdź OK. 6. W oknie Object Properties Window przejdź do opcji Display: Label, a następnie w polu Attribute wybierz atrybut wartosc. 7. Zatwierdź zmiany w Object Properties Window przyciskiem Apply. 8. Zmaksymalizuj okno mapy 01.map, klikając ikonę z kwadratem w prawej górnej części okna. Punkty na mapie oznaczone są teraz w skali barwnej w zaleŝności od wartości parametru (czerwony wyŝsza, biały niŝsza). Skalę barwną czerwony biały będziemy stosować w całym ćwiczeniu. Wartości liczbowe przy poszczególnych punktach pomiarowych oznaczają wartość parametru. Bazując na wczytanych punktach pomiarowych zastosujemy róŝne metody interpolacji i dokonamy porównania wyników. 6
Rysunek 2. Wartość parametru w punktach pomiarowych. 3.3. Porównanie wybranych metod interpolacji danych przestrzennych 1. Metoda najbliŝszego sąsiedztwa (Nearest neighbour) W trakcie interpolacji tą metodą kaŝdemu punktowi przestrzeni przypisana zostaje taka wartość, jaka występuje w najbliŝszym punkcie pomiarowym. Efektem jest podział przestrzeni na jednorodne, co do wartości danego parametru poligony (poligony Thiessena). Na granicy poligonów zmiana wartości następuje w sposób skokowy. Jest to deterministyczna, lokalna, wierna, nieciągła metoda interpolacji. 1. W Workspace wybierz zakładkę Modules, a w niej, Grid Gridding Nearest Neighbour. Kliknij podwójnie na ikonę symbolizującą wybrany moduł. Alternatywnie 7
moŝesz wybrać z paska menu Modules: Grid Gridding Interpolation from Points Nearest Neighbour. 2. Po wybraniu modułu Nearest Neighbour pojawi się okno, w którym podaj następujące parametry: Objaśnienia wybranych parametrów: Shapes : Points plik.shp z danymi pomiarowymi do interpolacji, Points [Options]: Attribute atrybut przypisany punktom pomiarowym, na którym chcemy oprzeć interpolację, Options: Target Grid docelowy grid (raster) z wynikami interpolacji (opcja user defined oznacza, Ŝe utworzony zostanie zupełnie nowy grid). 3. Zatwierdź przyciskiem Okay. W oknie User defined grid, które się pojawi, pozostaw wszystkie parametry bez zmian. Ponownie zatwierdź przyciskiem Okay. Tworzony obraz rastrowy przedstawia wyniki interpolacji pomiarów metodą najbliŝszego sąsiedztwa. 4. Wybierz zakładkę Data*, a w niej nowo utworzony obraz z wynikiem interpolacji. 5. W oknie Object Properties Window wybierz Display: Color Classification Graduated Color Colors. Otworzy się nowe okno ze skalami barwnymi. Wybierz Presets i zmień skalę na white > red. Dwukrotnie zatwierdź OK. 6. Zatwierdź zmiany w Object Properties Window, przyciskiem Apply. 7. W zakładce Data* dwukrotnie kliknij na obrazek symbolizujący raster z wynikiem interpolacji. Pojawi się okno Add layer to selected map z zaznaczoną opcją New. Kliknij Okay. Nowa mapa zostanie dodana do widoku jako 02.map. 8. MoŜna zaobserwować, Ŝe rozdzielczość obrazu rastrowego, który otrzymaliśmy jest mało zadowalająca. Aby uzyskać lepszy obraz interpolacji, powtórz kroki 1-6, jednak w kroku 3, w oknie User defined grid zmień wartość Grid Size na 10. W ten sposób dokładność próbkowania obszaru wokół punktów pomiarowych podczas interpolacji będzie większa, a w efekcie otrzymamy raster o wyŝszej rozdzielczości. 9. Dodaj nową mapę do widoku jako 03.map. 8
Rysunek 3. Wynik interpolacji metodą najbliŝszego sąsiedztwa. OCENA: Metoda prosta pod względem obliczeniowym i wymagająca od uŝytkownika wprowadzania niewielkiej liczby parametrów. Metoda mało przydatna do modelowania wielu zjawisk przyrodniczych, które zmieniają się w przestrzeni w sposób ciągły, ze względu skokowe zmiany wartości. Metoda wykorzystywana przy wyszukiwaniu stref oddziaływania róŝnych obiektów, gdy potrzebna jest informacja, do którego najbliŝszego obiektu danego typu w przestrzeni przyporządkować poszczególne punkty (np. które miasto jest najbliŝej). Metoda przydatna m.in. do analizy zjawisk społeczno-ekonomicznych lub definiowania strefy wpływu obiektów punktowych. Ograniczeniem metody jest fakt, iŝ układ wynikowych poligonów Thiessena zaleŝy znacząco od rozmieszczenia punktów z danymi; w obrębie poligonów wartości są jednorodne. 9
2. Metoda odwrotnych odległości (Inverse distance) W metodzie tej, wartość przypisana punktowi w przestrzeni jest wynikiem interpolacji wartości z punktów pomiarowych z wyznaczonego wcześniej sąsiedztwa. SAGA GIS umoŝliwia dobranie jako sąsiedztwa okręgu o promieniu, który sami definiujemy. Brana jest pod uwagę średnia waŝona z obserwacji z tego sąsiedztwa. Przyznane wagi są odwrotnie proporcjonalne do odległości do poszczególnych punktów pomiarowych. ZaleŜność ta moŝe być liniowa lub podniesiona do potęgi, najczęściej 2 lub 3. Jest to deterministyczna, lokalna, wierna metoda interpolacji. 1. W Workspace wybierz zakładkę Modules, a w niej Grid Gridding Interpolation From Points Inverse Distance 2. Po wybraniu modułu Inverse Distance, pojawi się okno, w którym podaj następujące parametry: Objaśnienia wybranych parametrów: Inverse Distance: Power wykładnik potęgi funkcji odwrotnej odległości Search Radius promień, w zasięgu którego funkcja wyszukuje punkty na których ma być oparta interpolacja ( promień sąsiedztwa ) Maximum Points maksymalna liczba punktów w obrębie sąsiedztwa uwzględniana przy interpolacji W oknie dialogowym zmień domyślną wartość Search Radius na 1500. 3. Zatwierdź Okay. W oknie, które się pojawi zmień wartość Grid Size na 10. Resztę parametrów pozostaw bez zmian. Ponownie zatwierdź Okay. Tworzony jest obraz rastrowy przedstawiający wyniki interpolacji pomiarów metodą odwrotnych odległości. 10
4. Wybierz zakładkę Data*, a w niej nowo utworzony raster z wynikiem interpolacji. 5. W oknie Object Properties Window wybierz w Display: Color Classification Graduated Color Colors. Otworzy się nowe okno ze skalami barwnymi. Wybierz Presets i zmień skalę na white > red. Dwukrotnie zatwierdź OK. 6. Zatwierdź zmiany w Object Properties Window klikając na Apply. 7. W zakładce Data* dwukrotnie kliknij na obrazek symbolizujący raster z wynikiem interpolacji. Pojawi się okno Add layer to selected map z zaznaczoną opcją New. Kliknij Okay. Nowa mapa zostanie dodana do widoku, jako 04.map. 11
OCENA: Metoda prosta pod względem obliczeniowym, wykorzystująca intuicyjnie zrozumiałą zasadę malejącego proporcjonalnie do wzrostu odległości podobieństwa (lub zaleŝności) między wartościami punktów. Metoda bardziej realistyczna niŝ metoda najbliŝszego sąsiedztwa, gdyŝ uwzględniany jest wpływ większej liczby stanowisk pomiarowych na wynik w danym punkcie (a nie tylko najbliŝszego stanowiska). Metoda interpolacji, która sprawdza się dobrze, gdy stanowisk pomiarowych jest duŝo i są one względnie równomiernie rozmieszczone. Wybrane podczas interpolacji parametry mają istotny wpływ na wynik obliczeń. WaŜny jest m.in. dobór odpowiedniej wielkości sąsiedztw branych pod uwagę przy interpolacji. Wybór zbyt małych sąsiedztw moŝe spowodować powstanie luk w powierzchni interpolowanej, w miejscach gdzie oszacowanie wartości parametru nie jest moŝliwe. 3. Kriging zwykły (Ordinary kriging) Kriging to grupa geostatystycznych metod interpolacji. Kriging zakłada istnienie autokorelacji przestrzennej zaleŝności między oddaleniem punktów a stopniem ich podobieństwa. Zgodnie z tą zaleŝnością wielkości zmierzone w bliskich sobie punktach powinny być bardziej zbliŝone niŝ wielkości zmierzone w punktach bardziej oddalonych. Zgodnie z załoŝeniami krigingu, zróŝnicowanie przestrzenne zmiennej (tzw. zmiennej regionalnej) moŝna podzielić na trzy główne składowe: a. ogólny trend zmienności danych, o stałej średniej, b. lokalną zmienność losową skorelowaną przestrzennie, c. nieskorelowany przestrzennie szum (wynikający np. z błędów pomiarowych). 12
Rysunek 4. ZróŜnicowanie przestrzenne zmiennej regionalnej. (źródło: Burrough P., McDonnell R., 1998, Principles of Geographical Information Systems, Oxford University Press Inc., New York) ZróŜnicowanie przestrzenne zmiennej zawiera zatem element losowy i nie jest prostą zaleŝnością matematyczną. Opisywane jest ono metodami statystycznymi i przedstawiane na wykresie zwanym semiwariogramem. Wykres jest dopasowany do danych w taki sposób, aby przybliŝyć w postaci funkcji liniowej zaleŝność między oddaleniem punktów (Lag), a stopniem ich podobieństwa (γ). Rysunek 5. Semiwariogram przykładowy wykres. (źródło: Burrough P., McDonnell R., 1998, Principles of Geographical Information Systems, Oxford University Press Inc., New York) 13
Objaśnienia parametrów: Nugget (wartość semiwariancji dla dystansu zbliŝonego do zera) to wielkość nieskorelowanego przestrzennie szumu, występującego, gdy mierzymy wartości punktów połoŝonych bardzo blisko siebie. MoŜe on wynikać np. z niewielkich błędów pomiarowych związanych z dokładnością samego sprzętu pomiarowego. Range (dystans powyŝej którego semiwariancja jest wartością stałą) to maksymalny zakres odległości między punktami, w którym moŝna zaobserwować występowanie istotnej statystycznie korelacji między odległością między punktami a róŝnicą ich wartości. Sill to wartość progowa funkcji odpowiadająca zasięgowi oddziaływania wyznaczonemu przez range. Interpolacja dokonywana jest na podstawie danych pomiarowych oraz wartości semiwariancji. MoŜliwe jest określenie istotności statystycznej konstruowanej powierzchni interpolacji i zarazem niepewności szacowanych danych. MoŜliwość określenia błędów estymacji naleŝy do podstawowych zalet metod geostatystycznych. Wielu autorów wykazało, Ŝe metody statystyczne (kriging) dają lepsze rezultaty interpolacji przestrzennej niŝ metody deterministyczne. Kriging zwykły zakłada, Ŝe funkcja autokorelacji przestrzennej jest jednorodna we wszystkich kierunkach (załoŝenie izotropowości). Nieznane wartości są szacowane przez waŝoną kombinację wartości w punktach znanych. Podstawą do wyliczenia wag jest semiwariogram. Kriging zwykły naleŝy do wiernych i ciągłych metod interpolacji. MoŜe występować zarówno w odmianie lokalnej, jak i globalnej. W ćwiczeniu wypróbujemy globalną odmianę krigingu zwykłego. 1. W Workspace wybierz zakładkę Modules, a w niej Geostatistics Kriging Ordinary Kriging (Global). Kliknij podwójnie na ikonę symbolizującą wybrany moduł. 2. Po wybraniu modułu Ordinary Kriging (Global) pojawi się okno, w którym podaj następujące parametry: 14
Objaśnienia wybranych parametrów: Create Variance Grid tworzy dodatkowy raster z estymacją błędów interpolacji (wariancją), Variogram Model model wariogramu, jaki chcemy zastosować (sferyczny, wykładniczy, gaussowski...), Block Kriging, Block Size parametry potrzebne, gdy chcemy zastosować kriging blokowy, Logarithmic Transformation transformacja logarytmiczna (stosowana, gdy występuje mocno asymetryczny rozkład wartości danych pomiarowych) Nugget - podstawa (wartość semiwariancji dla dystansu zbliŝonego do zera), Sill - wartość progowa (wartość semiwariancji odpowiadająca zasięgowi oddziaływania), Range - zasięg oddziaływania (dystans, powyŝej którego semiwariancja jest wartością stałą). W Options pozostaw domyślne parametry interpolacji, zmieniając jedynie Create Variance Grid na Gaussian Model. Model ten oferuje dobre dopasowanie do danych dotyczących zjawisk płynnie zmieniających się w przestrzeni. 3. Zatwierdź przyciskiem Okay. W oknie, które się pojawi, zmień wartość Grid Size na 10. Resztę parametrów pozostaw bez zmian. Ponownie zatwierdź Okay. Tworzony jest obraz rastrowy przedstawiający wyniki interpolacji metodą krigingu zwykłego. Postęp interpolacji pokazuje przesuwający się pasek w prawym dolnym rogu ekranu. 4. Wybierz zakładkę Data*. Jak widać zostały utworzone dwa nowe rastry: jeden z wynikami interpolacji metodą krigingu oraz drugi, dodatkowy obraz ukazujący szacowany rozkład przestrzenny błędów wykonanej interpolacji w postaci wariancji 15
moŝliwych odchyleń wyników interpolacji od wartości rzeczywistych. Kliknij na obrazek przedstawiający raster z wynikami interpolacji (po podświetleniu obrazka pojawia się jego nazwa: 02.pomiary.shp: Ordinary Kriging (Global) ). 5. W oknie Object Properties Window wybierz w Display: Color Classification Graduated Color Colors. Otworzy się nowe okno ze skalami barwnymi. Wybierz Presets i zmień skalę na white > red. Dwukrotnie zatwierdź OK. 6. Zatwierdź zmiany w Object Properties Window, przyciskiem Apply. 7. W zakładce Data* dwukrotnie kliknij na obrazek symbolizujący raster z wynikiem interpolacji. Pojawi się okno Add layer to selected map z zaznaczoną opcją New. Kliknij Okay. Nowa mapa zostanie dodana do widoku, jako 05.map. Rysunek 6. Wynik interpolacji metodą krigingu zwykłego. 8. Drugi z rastrów, jakie zostały utworzone obrazuje estymację rozkładu przestrzennego błędów interpolacji. W zakładce Data* jest on oznaczony jako: 03.gleb_do_wod.shp (Ordinary Kriging Global (Variance)). Dwukrotnie kliknij na 16
obrazek symbolizujący ten raster. Pojawi się okno Add layer to selected map z zaznaczoną opcją New. Kliknij Okay. Nowa mapa zostanie dodana do widoku, jako 06.map. 9. Kliknij teraz w zakładce Data* na obrazek symbolizujący plik z punktami pomiarowymi. Wybierz Add layer to selected map: 06.map. Punkty pomiarowe zostaną teraz wyświetlone na podkładzie mapy przedstawiającej szacowany rozkład (wariancję) moŝliwych odchyleń wyników interpolacji od wartości rzeczywistych. ZauwaŜ, Ŝe największe błędy interpolacji (kolor czerwony) są szacowane w północno-wschodniej części obszaru, a więc tam, gdzie odległość do punktów pomiarowych jest znaczna. W bliskiej odległości od punktów pomiarowych szacowany błąd jest mniejszy. Rysunek 7. Wariancja błędów interpolacji. 17
OCENA: Kriging zwykły (odmiana globalna) to metoda przydatna do modelowania zjawisk zmieniających się w przestrzeni w sposób ciągły, w tym wielu zjawisk przyrodniczych. Wartości nie zmieniają się skokowo, lecz w sposób płynny. Kriging oferuje szereg parametrów, które moŝna zmieniać, aby jak najlepiej dopasować funkcję interpolującą do danych, jakimi dysponujemy. Autokorelacja przestrzenna wyznaczona jest metodami statystycznymi. MoŜliwe jest określenie wiarygodności dokonanej estymacji. Jest to bardzo duŝa zaleta metod geostatystycznych. 3.4. Mapa izoliniowa Wynikiem przeprowadzonych interpolacji są mapy w formacie rastrowym. Na podstawie jednej z nich utworzymy wektorową mapę izoliniową. Izolinie łączą miejsca o jednakowej wartości parametru.. 1. W Workspace wybierz zakładkę Modules, a w niej Shapes Grid Contour Lines from Grid. Kliknij podwójnie na ikonę symbolizującą wybrany moduł. 2. Po wybraniu modułu Contour Lines from Grid pojawi się okno, w którym podaj następujące parametry: Objaśnienia parametrów: Grid raster wynikowy interpolacji, na podstawie, którego zamierzamy utworzyć mapę izoliniową (w tym przypadku raster wynikowy interpolacji metodą Ordinary Kriging Global) Minimum Contour Value minimalna wartość izolinii (wstaw wartość 100)., Maximum Contour Value maksymalna wartość izolinii (wstaw wartość 150), Equidistance - róŝnica wartości między sąsiednimi izoliniami (wstaw wartość 2). 18
3. Zatwierdź Okay. Tworzona jest mapa izoliniowa. 4. W Workspace wybierz zakładkę Data*. Kilknij w niej na nowo utworzoną mapę izoliniową. 5. W oknie Object Properties Window wybierz w Display: Color Classification Unique Symbol Color: Black. Zatwierdź klikając przycisk Apply. 6. Kliknij dwukrotnie w Workspace na obrazek symbolizujący mapę izoliniową. Wybierz Add layer to selected map 05.map, aby nałoŝyć mapę izoliniową na raster, z którego powstała. 7. Wyświetlimy takŝe etykiety z wartościami parametru przy izoliniach. W Workspace wybierz Display: Label Attribute: pomiary.shp Ordinary Kriging (Global). Wynikowa mapa powinna wyglądać w podobny sposób: Rysunek 8. Mapa izoliniowa wykonana na podstawie wyniku interpolacji metodą krigingu zwykłego. źródło danych: Plan Ochrony Parku Narodowego Bory Tucholskie, Operat GIS, 2002 r. 19