Z E S Z Y T Y N A U K O W E A K A D E M I I M A R Y N A R K I W O J E N N E J S C I E N T I F I C J O U R N A L O F P O L I S H N A V A L A C A D E M Y 204 (LV) (96) Antni Draella ) MODEL PROCE SU ZUŻY CIA TYPU WYTRZYMAŁOŚĆ OBCIĄŻE NIE Część ierws za ST RE NGTH ST RESS MODE L OF THE WE AR -OUT PROCESS Part ne STRESZCZENIE Gdy użytkujemy biekty techniczne, nieuniknine są rcesy ich zużycia. Artykuł rzczyna się d rzedstawienia równania różniczkweg ułżneg z myślą matematycznej frmalizacji rcesu zużycia. Fundamentalne są w tym mdelu jęcia wytrzymałści i bciążenia. Obiekt techniczny ma ewną wewnętrzną wytrzymałść umżliwiającą mu rzeciwstawienie się bciążeniu, ale w tku rcesu traci tę wytrzymałść. Rzwiązanie wsmnianeg równania różniczkweg kazuje, jak rces utraty wytrzymałści, zwany rcesem zużycia, rzebiega w czasie. Rzatrywane są zmienne lswe będące czynnikami w isttny ssób wływającymi na rzebieg rcesu. Z mawianeg rzwiązania wynika, że rces ma trzy fazy: stacjnarną, średnią i lawinwą. Dbrą strategią jest wycfanie biektu z użytkwania, zanim rzcznie się faza lawinwa. Artykuł sugeruje, kiedy teg dknywać. Słwa kluczwe: wytrzymałść, bciążenie, rces zużycia, równanie różniczkwe, zmienna lswa. ABSTRACT Wear-ut rcesses are very cmmn and, unfrtunately, unavidable whenever technical devices are at wrk. This aer begins by resenting a differential equatin intended t give the mathematical frmalizatin f such a rcess. Cncets f strength and stress are crucial fr this mdel. The device has an internal strength that enables it t se the stress. During this rcess the device steadily lses its strength. Slutin f the abve mentined differential equatin shws hw this rcess f lsing strength called wear-ut runs with time. There are three randm variables cnsidered imacting the rcess. The rcess in questin has three hases: statinary, intermediate and avalanche. It is a gd licy t reventively withdraw the device frm use rir t the avalanche hase. This aer suggests a rule when t undertake such actin. Keywrds: strength, stress, lad, wear-ut henmenn, differential equatin, randm variable. DOI: 0.5604/0860889X.4753 ) Akademia Marynarki Wjennej, Wydział Nawigacji i Uzbrjenia Okrętweg, 8-03 Gdynia, ul. J. Śmidwicza 69; e-mail: adrastat@nestrada.l 5
Antni Draella WSTĘP Niezawdnść jak dziedzina nauk technicznych dzieli się na fizykę i statystykę niezawdnści. Te ddziedziny nie mają ze sbą wiele wsólneg i jak dtąd dejmwan nieliczne róby, aby je wiązać. Frmą wiązania są matematyczne mdele fizycznych rcesów zużycia. Wśród tych mdeli najliczniejsze są mdele tyu bciążenie wytrzymałść (MOW). Przykłady MOW mżna znaleźć w [, 4, 6]. Bez wątienia każdy biekt techniczny wytwarzany jest t, by wyknywał kreślne zadanie. Aby biekt był d teg zdlny, w tku rdukcji nadaje mu się stswne właściwści fizyczne i chemiczne. Termin wytrzymałść ukut, by łączyć w jedn wszystkie te właściwści. Wyełniając swą funkcję, biekt techniczny znajduje się d działaniem bciążenia, które srawia, że wytrzymałść biektu stale sada. Gdy sadnie niżej ewneg kreślneg zimu, nastęuje uszkdzenie. Mżliwść bliczenia rawddbieństwa teg nieżądaneg zdarzenia jest mtywacją d twrzenia MOW. Są dwie kategrie MOW: nieuwzględniające czasu i uwzględniające czas. W mdelach należących d ierwszej kategrii zarówn bciążenia, jak i wytrzymałść są zmiennymi lswymi. W mdelach należących d drugiej kategrii bciążenie i wytrzymałść są rcesami lswymi. Większść mdeli, jakie natykamy w literaturze niezawdnściwej, na rzykład [, 4, 6], należy d tej ierwszej kategrii. INTRODUCTION Since the advent f reliability as a branch f engineering science it has been divided int reliability hysics and reliability statistics. These sub-branches have had little in cmmn, and unfrtunately, u t nw, nly a few attemts have been made t bridge them tgether. These bridges were mathematical mdels f the hysical failure rcesses. Amng these, strength stress mdels (SSM) are the mst numerus. Examles f such mdels can be fund in [, 4, 6]. Dubtlessly, every device is rduced t erfrm a articular task. Fr the device t be able t erfrm that task, articular hysical and chemical features were incrrated during the rductin rcess. The term strength is cined t cmbine a set f these features int ne all-inclusive feature. Perfrming a task the device finds itself under a articular stress caused by the lad imsed n it, which in turn causes the device t deterirate steadily and unavidably. When strength drs belw a critical level, failure ccurs. A ssible methd fr calculating the rbability f this unwanted event is the reasn fr develing SSM. There are tw categries f SSM: time indeendent and time deendent. In mdels that fall int the first categry bth strength and lad are treated as randm variables. In cntrast, in mdels that fall int the secnd categry bth strength and lad are treated as randm rcesses. The majrity f SSM that ulate reliability literature fall int the first categry. These are fr instance [, 4, 6]. 6 (96)
Zeszyty Naukwe AMW Scientific Jurnal f PNA Mdel rzedstawiny w niniejszym artykule (i n. w [2]) należy d drugiej kategrii. Prces wynikający z mdelu ma trzy fazy: stacjnarną, rzejściwą i lawinwą. Artykuł kazuje, że dbre jest wycfanie biektu z użytkwania, zanim rzcznie się faza lawinwa. Artykuł sugeruje, kiedy teg dknać. OZNACZENIA The mdel ut frward in this aer as well as, fr instance, [2] fall int the secnd categry. The rcess in questin has three hases: statinary, intermediate and avalanche. The aer suggests that it may be a gd licy t reventively withdraw the device frm use rir t the avalanche. NOTATION t czas (gólnie) time (in general) t czas d uszkdzenia time t failure f S (t) wartść chwilwa instantaneus strength wytrzymałści S bciążenie czątkwe initial strength L bciążenie stałe w czasie v rędkść sadku wytrzymałści rędkść garszania stanu S wartść krytyczna cr wytrzymałści lad cnstant in time deteriratin seed deteriratin arameter critical value f strength WYPROWADZENIE FORMUŁ Dynamikę rcesu zużycia, którym mwa w niniejszym artykule, definiuje nastęujące równanie różniczkwe: DERIVATION The fllwing differential equatin defines dynamics f the wear-ut rcess in questin: ds( t) L = v. () dt S( t) T sam równanie, lecz rzekształcne, by rzwiązać je metdą zmiennych rzdzielnych, zaisujemy nastęując: The same equatin but rewritten fr slving it by searating variables is: S ds = v L dt. (2a) 204 (LV) 7
Antni Draella Całkując bie strny (2a) Integrating bth sides f (2a) S ds = v L dt, (2b) trzymujemy we get S + + = v L t + C. (2c) Wstawiając warunek czątkwy staci S ( t = 0) = S, mamy Putting an initial cnditin in a frm S( t = 0 ) = S, we determine the integratin cnstant C + S = v L 0 + C. (2d) + Stąd wyznaczamy stałą całkwania C Thus + S C =. (2e) + Wstawiając C d (2c) i dknując kilku rstych rzekształceń, trzymujemy Putting C int (2c) and making sme simle transfrmatins we get ( + ) L v t S( t) = S ( + ). S (3) S Wrwadźmy dwie nwe zmienne: charakterystyczny czas życia biektu i arametr skalujący Let us intrduce tw new variables: characteristic device lifetime and time rescaling arameter S T = ; (4a) v L λ = ( + ) S. (4b) 8 (96)
Zeszyty Naukwe AMW Scientific Jurnal f PNA Wstawiając T i λ d (3), trzymamy wyrażenie na chwilwą wytrzymałść względną Putting T and λ int (3), we btain the relative instantaneus strength S( t) λ t = S T ( + ) ; λ t T. (5) POZNANIE MODELU POPRZEZ OBLICZENIA I RYSUNKI Na rysunkach. i 2. rzedstawin, jak rzebiega rces zużycia. Pkazan na nich również, jak na ten rzebieg wływają arametry L i. Załóżmy, że mamy d czynienia z gruą biektów wytwrzną zgdnie z kreślnymi nrmami i nrmy te są sełnine. Nierealistyczne byłby czekiwanie, że rces zużycia będzie rzebiegał identycznie we wszystkich biektach stanwiących gruę. Są ewne nieuniknine czynniki srawcze lswści, głównie S, ale także v i. Załżymy, że te zmienne dlegają rzkładwi Gaussa (nrmalnemu). Wartści arametrów dan w tabeli. GETTING ACQUAINTED WITH THE MODEL THROUGH FIGURES Figures and 2 deict hw the wear-ut rcess runs and hw L and arameters imact the rcess. Let us assume that we deal with a batch rduced accrding t articular strictly defined technlgical standards and these standards were fulfilled. Desite this, it wuld be unrealistic t exect that deteriratin rcesses will run identically in all the devices that cmrise this batch. There are unavidable factrs that make S (esecially) as well as v and be nt cnstants but randm variables. We assume these variables t fllw the Gaussian rbability distributin. Parameters f the distributin f values in questin are resented in table. Tabela. Parametry rzkładu rawddbieństwa zmiennych lswych, d wartści których zależy rzebieg rcesu Table. Parameters f rbability distributin f randm variables invlved in the rcess Zmienna lswa Randm variable Parameter Parameter łżenia skali lcatin scale S 0.2 v 0.0 0,002 2 0.4 204 (LV) 9
Antni Draella Rys.. / Fig. Rys. 2. / Fig. 2 0 (96)
Zeszyty Naukwe AMW Scientific Jurnal f PNA Na rysunku 3. kazan dziesięć trajektrii teg rcesu. Wielkści lswe determinujące te trajektrie uzyskan z generatra liczb lswych i dan w tabeli 2. Figure 3 shws ten trajectries f the rcess. Randm values that determined these trajectries were btained with the randm number generatr. Table 2 cntains values f the arameters f these rcess trajectries. Tabela 2. Parametry trajektrii rcesów / Table 2. Parameters f rcess trajectries L. / N. S v [/h] λ T [h] T / λ,492 0,0224 0,7225 0,2956 5,3546 74 2 0,7366 0,0238,9370 0,0638 30,968 504 3 0,943 0,0232,9259 0,03884 40,6366 046 4,43 0,069 2,34 0,0827 65,7723 3600 5,3888 0,05 2,3245 0,00734 9,9273 2526 6 0,9860 0,0202 2,89 0,02444 48,8969 200 7 0,997 0,0204 2,3940 0,0379 48,8632 3542 8,369 0,0229 2,2558 0,0097 57,4369 596 9,0860 0,079 2,465 0,00969 60,7848 6273 0 0,947 0,02 2,3932 0,0584 44,5943 285 Rys. 3. / Fig. 3 204 (LV)
Antni Draella DOBÓR MODELU DO DANYCH Prces, jakieg dtyczy ten artykuł, jest rcesem lswym. W mmencie, gdy zstaje zainicjwany, jeg trajektria zstaje wytyczna rzez trzy realizacje trzech zmiennych lswych: S,,. Ptem rzez całe swje życie v rces jest deterministyczny. Deterministyczny rces lswy jest srzeczny z tym, c nasuwa na myśl fraza rces lswy bardz szybk trzęsącą się wzdłuż si czasu krzywą ukazującą szum. S jest mierzalną fizyczną cechą biektu i mierzn n wartści chwilwych S, S, S2,..., S n w unktach czaswych t, t, t2,..., tn. Chcemy szacwać arametry rcesu. Są dwie mżliwe sytuacje. Załóżmy, że ( t) Sytuacja. Estymacja rzez interlację Tak należy estymwać, gdy miary nie są ani barczne błędem, ani zaszumine. Wstawiając t = 0, trzymujemy szacwanie S = S. Nastęnie należy ułżyć układ dwóch równań nieliniwych: FITTING THE MODEL TO DATA The rcess this aer deals with is the randm rcess. At the mment when the wear-ut rcess is initiated, its trajectry is determined by three randm variables namely S,, v. Then, fr all its life the rcess is determine-stic. The deterministic randm rcess is at dds with what is cmmnly thught when the term randm rcess aears as a curve very raidly shaking itself alng a time axis deicting nises. S is a measurable hysical rerty f the device and we have n instantaneus values S, S, S 2,..., S n measured resectively at t, t, t2,..., tn. We want t estimate arameters f the rcess. There are tw cases. Let us assume that ( t) Case. Estimatin by interlatin Recmmended when there are n measurement errrs, n external nises imsed n the wear-ut rcess bserved. Putting t = 0, we btain an immediate estimate f S = S. Next we frm a system tw nnlinear equatins: ( + ) L v ti S ( ) i = S + ; i =,2. (6a) S S Sytuacja 2. Estymacja rzez arksymację Tak należy estymwać, gdy miary są barczne błędem i zaszumine. Jeżeli istnieją rzesłanki, by sądzić, że błędy Case 2. Estimatin by arximatin Recmmended when there are measurement errrs and external nises imsed. If these nises and errrs are 2 (96)
Zeszyty Naukwe AMW Scientific Jurnal f PNA te i zakłócenia dlegają rzkładwi nrmalnemu z wartścią średnią równą zer, wówczas należy zastswać metdę najmniejszych kwadratów. Funkcja celu ma stać: exected t be nrmally distributed with the mean value equal t zer the least square methd is t be alied. The arriate gal functin has a frm: G n ( + ) L ( + ) i ( S,, v ) = Si S (6b) i= S S v t 2 PODSUMOWANIE: JAK ZASTOSOWAĆ MODEL Przyjrzyjmy się wnikliwie rysunkwi 3. Wynika z nieg, że rces ma trzy fazy: stacjnarną, średnią i lawinwą. Uzasadnine wydaje się wycfanie biektu z użycia lub zastąienie g nwym, zanim zacznie się faza lawinwa. Takie działanie urzedzające winn nastąić w fazie średniej. Zalecenie t w mniejszym lub większym stniu dtyczy wszystkich rcesów składających się na kazaną klekcję. Pnieważ S (t) jest mntnicznie rsnącą i wyukłą w górę funkcją czasu i jej ierwsza chdna ma te same właściwści, mżna rzyjąć krzywiznę funkcji ' S ( t) jak dstawę decyzji, kiedy faza średnia zaczyna się, a kiedy kńczy. Mając fazę średnią umiejscwiną na si czasu, mżna róbwać ustalić mment rfilaktyczneg wycfywania biektu. Oznaczmy: CONCLUDING BY SKETCHING HOW TO APPLY THE MODEL Let us lk at figure 3 carefully. This figure makes it evident that the rcess has three hases: statinary, intermediate and avalanche. It seems reasnable t withdraw the device frm actin r relace it with anther device rir t the avalanche hase starting. This recmmendatin is mre r less relevant t all the rcesses cmrising the cllectin. Since S (t) is a strictly decreasing and cnvex uward functin f time and its first ' derivative S ( t) has the same rerties, ' we can take the curvature f S ( t) as a base fr deciding when the intermediate hase starts and ends. Having the intermediate hase lcated n the time scale we can set the mment f reventive actin. Let us dente: ' '' '' ''' ( t), f ( t) = S ( t), f ( t) S ( t) ' f ( t) = S = (7a) 204 (LV) 3
Antni Draella raz and L v a = S, b = ( + ), u =. S (7b) S + Pdstawiając d (3), trzymujemy It gives ( b t) u S( t) = a (7c) raz and f ( t) = a b u f ( t) = a b f ' '' 2 u 3 ( t) = a b u u ( b t), u 2 ( u ) ( b t), u 3 ( u ) ( u 2) ( b t). (7d) Wyznaczymy teraz krzywiznę K (t) szybkści rcesu sadku wytrzymałści. Ta krzywizna będzie z klei służyć nam d kreślenia, kiedy faza średnia zaczyna się, a kiedy kńczy. Nw we determine curvature K (t) f the seed S ' ( t) f the rcess. This curvature will, in turn, serve us t determine when the intermediate hase starts and ends. K( t) = f '' ( t) ' 2 [ + ( f ( t) ) ] 3 2. (7e) Na rysunku 4. kazan, jak secyficznie rzebiega funkcja K (t), c uzasadnia dknany dział rcesu na fazy. Figure 4 shws hw secifically K (t) runs and legitimates the rsed artitin int hases. 4 (96)
Zeszyty Naukwe AMW Scientific Jurnal f PNA Rys. 4. / Fig. 4 BIBLIOGRAFIA / REFERENCES [] An Z-W., Huang H-Z., Liu Y., A discrete strength stress inference mdel based n universal generating functin, Reliab. Eng. Syst. Safety, 2008, Vl. 93, N 0,. 485 490. [2] Draella A., An extended mathematical mdels fr failure kinetics, QRE Internatinal, 992, Vl. 8,. 37 373. [3] Draella A., Lifetime mdels and renewal rcesses. Mathematical treatment with Mathcad, Published by Pmeranian Academy in Słusk, 2005. 204 (LV) [4] Huang H-Z., An Z-W., A discrete Stressstrength Inference Mdel with Stress Deendent Strength, IEEE Trans. Reliab., 2009, Vl. 58, N. [5] Kariński J., Firkwicz S., Zasady rfilaktyki biektów technicznych [Rules f reventive maintenance f technical bjects available in the Plish], PWN, Warszawa 98. [6] Ktz S., Lumelski Y., Pensky M., The strength Mdel and its Generalizatin, Wrld Scientific, Singare 2003. 5