ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 4(95)/2013 Jarosław Mańkowski 1, Paweł Ciężkowski 2 MODELOWANIE PROCESÓW KRUSZENIA ZA POMOCĄ MES PROPOZYCJA METODY IDENTYFIKACJI DANYCH MATERIAŁOWYCH ORAZ WŁAŚCIWOŚCI ZADANIA KONTAKTOWEGO 1. Wstęp Ośrodki kruche, jako ośrodki niejednorodne i anizotropowe, mają losowo rozłożone nieciągłości struktury, tzn. rysy, spękania, pory. Zarówno przy obciążeniu prostym (jednokierunkowym), jak i złożonym występują na nich spiętrzenia naprężeń, które powodują dalszy wzrost pęknięć i powstawanie nowych. Procesom tym odpowiadają nieliniowe charakterystyki naprężeniowe, objętościowe oraz postaciowe [1], [2]. Należy pamiętać również, że są to procesy dynamiczne. W związku z tym modelowanie tego typu zagadnień jest bardzo skomplikowane, a mechanika procesów kruszenia, jako dyscyplina naukowa jest ciągle rozwijana. W literaturze technicznej przedstawione są różne przybliżone teorie dotyczące mechaniki procesów urabiania gruntów i skał, oparte na daleko idących uproszczeniach, dotyczących zarówno statyki jak i kinematyki procesu. Z punktu widzenia projektowania konstrukcji maszyn istotna jest znajomość maksymalnych sił działających na narzędzie w trakcie procesu. Metody techniczne stosowane w praktyce inżynierskiej służą do wyznaczenia maksymalnych sił przy uwzględnieniu wielu czynników mających na nie wpływ, a mianowicie: parametrów wytrzymałościowych geomateriałów, kąta tarcia narzędzia o materiał, kształtu narzędzia (profil, kąty skrawania, liczba zębów skrawających i ich rozmieszczenie, itp.), konfiguracji ośrodka, prędkości ruchu narzędzia, itp.. Jedną z metod za pomocą której są rozwiązywane zadania z mechaniki skał jest nośności graniczna w której należy wyznaczyć wartość obciążenia, dla którego występuje plastyczne płynięcie lub zniszczenie. Metody nośności granicznej możemy podzielić na dwie grupy. Pierwszą stanowią metody ścisłe, a wśród nich metoda charakterystyk, która znalazła największe zastosowanie. Druga, to metody przybliżone, w których nie poszukuje się rozwiązań ścisłych, a wśród nich wyróżniamy metody oszacowań oraz metody przybliżonego spełnienia warunków równowagi i warunku stanu granicznego. Zastosowanie metody elementów skończonych [3], [4], [5] w mechanice procesów rozdrabniania pozwala wyznaczyć siły i pracę kruszenia. Wraz z rozwijaniem się metod obliczeniowych powstało również wiele modeli materiałów [6], [7], [8] które pozwalają na analizy omawianych zjawisk. Obecnie, oprócz prostych modeli ciał sprężystych, wykorzystuje się coraz bardziej złożone modele sprężysto-plastyczne z warunkiem stanu granicznego Coulomba-Mohra czy Druckera-Pragera [9], a także z funkcją zniszczenia [10]. Jednym z istotnych problemów, który bardzo często pojawia się podczas analiz, jest identyfikacja właściwości zarówno danych materiałowych, jak i charakterystyk oddziaływania narzędzia na ośrodek kruchy. Wytrzymałość skał określana jest w oparciu o badania prowadzone w specjalistycznych laboratoriach z wykorzystaniem maszyn wytrzymałościowych. Badania właściwości mechanicznych materiałów najczęściej 1 dr inż. Jarosław Mańkowski, Instytut Podstaw Budowy Maszyn Politechniki Warszawskiej 2 dr inż. Paweł Ciężkowski, Instytut Maszyn Roboczych Ciężkich Politechniki Warszawskiej 125
49,68 obejmują określenie wytrzymałości na ściskanie, na rozciąganie, na zginanie oraz na ścinanie. W niniejszej pracy przedstawiono propozycję metody identyfikacji parametrów materiałowych oraz propozycję metody modelowania zagadnienia kontaktowego na przykładzie wapienia "Morawica". Badania i analizy zostały przeprowadzone dla próby ściskania walca o wymiarach: wysokość 49,68 mm, średnica 22 mm (rys. 1). Symulacje numeryczne wykonano wykorzystując program Abaqus. F Ø 22 F Rys. 1 Schemat badanego obiektu 2. Propozycja metody identyfikacji parametrów materiałowych na przykładzie wapienia "Morawica" Identyfikację parametrów materiału przeprowadzono wykorzystując modele osiowo-symetryczne oraz modele bryłowe. Dokonano jej na podstawie wyników badań laboratoryjnych, w których realizowano osiowe ściskanie walca. W trakcie realizacji zadania wykonano wiele eksperymentów numerycznych. Ostateczne wyniki zaprezentowane są na przykładzie dwóch modeli: osiowo-symetryczny Morawica-PS- Fi22-AxiSym-v2 oraz bryłowy Morawica-PS-Fi22-Solid-v2. We wszystkich analizach przyjęto gęstość ośrodka kruchego = 2g/cm 3. 2.1 Analiza w zakresie sprężystym identyfikacja modułu Younga a) Założenia do analiz numerycznych Główne kryterium przy identyfikacji stanowiła wartość pracy. Stwierdzono, że praca sił zewnętrznych modelu MES, przy optymalnie dobranym module Younga, musi być równa uśrednionej pracy sił zewnętrznych z eksperymentu laboratoryjnego. Wartości przyjęte na podstawie wyników badań: liczba Poissona = 0,25, moduł Younga E =2 2 GPa. b) Model MES, warunki brzegowe i obciążenia Identyfikacja modułu Younga została wykonana głównie z zastosowaniem modeli wykorzystujących symetrię osiową. Model MES (rys. 2-a) został zbudowany na podstawie uśrednionych wymiarów próbek użytych w badaniach laboratoryjnych (średnica d = 22,00 mm, oraz wysokość h = 49,68 mm). Do budowy modelu wykorzystano elementy czterowęzłowe, czworokątne, pierwszego rzędu (CAX4 [9]). 126
W przeprowadzonych analizach rozważono kilka sposobów modelowania oddziaływania stempla na powierzchnię ściskanej próbki. Uzyskano to, wprowadzając różne warunki brzegowe dla węzłów leżących w płaszczyźnie styku materiału kruchego z narzędziem. Przypadki te oznaczono jako: WB1, WB2, WBK. WB1 węzły leżące na powierzchniach styku ze stemplem mają zablokowaną możliwość przemieszczania w kierunku stycznym do tej powierzchni. WB2 węzły leżące na powierzchniach styku ze stemplem mogą się swobodnie przemieszczać w kierunku stycznym do tej powierzchni. WBK oznacza zdefiniowane zagadnienie kontaktowe pomiędzy stemplem a górną powierzchnią próbki. Stempel został zdefiniowany, jako ciało idealnie sztywne. W tym przypadku modyfikacji uległ również model MES, w którym oprócz symetrii osiowej wykorzystano pionową symetrię (płaszczyznę symetrii przechodzącą przez połowę wysokości walca). Pozwoliło to na zmniejszenie zadania i przyspieszenie obliczeń. Obciążenie zostało zrealizowane przez przemieszczenie węzłów leżących na górnej powierzchni próbki (WB1, WB2) lub stempla (WBK) o 0,36 mm w dół. W początkowej fazie, analizy były prowadzone również z wykorzystaniem modeli trójwymiarowych (rys. 2-b). Użyte zostały elementy sześcienne, pierwszego rzędu, ze zredukowaną liczbą punktów całkowania (C3D8R [5]). Stwierdzono bardzo dobrą zbieżność wyników uzyskanych zarówno za pomocą modeli osiowo-symetrycznych oraz bryłowych, jednak czas obliczeń symulacji trójwymiarowych był dużo dłuższy. W związku z tym, w kolejnych etapach pracy ograniczono się tylko do analiz wykorzystujących symetrię osiową. a) b) Rys. 2. Modele MES: a) z wykorzystaniem symetrii osiowej (wymiary geometryczne oraz siatka); b) bryłowy (geometria, warunki brzegowe, siatka) 127
Rys. 3. Naprężenia ściskające (S22) [MPa] zależne od zastosowanych warunków brzegowych: WB1, WB2, WBK c) Wyniki analiz Uzyskane wyniki naprężeń potwierdzają zbieżność modelu MES z wynikami z badań. Średnie naprężenia ściskające (S22) wynoszą: 163 MPa dla modelu z WB1, 160 MPa dla modelu z WB2 oraz 158 MPa dla modelu z WBK (rys. 3). d) Identyfikacja modułu Younga Po przeprowadzeniu szeregu analiz (Morawica-PS-Fi22-AxiSym-v2-M1-SPR-WB1, -SPR-WB2, -SPR2-WB1 oraz -SPR22WBK) przyjęto moduł Younga E = 21,563 GPa mniejszy od wyliczonego na podstawie badań laboratoryjnych o 1,98%. Dzięki temu uzyskano pracę sił zewnętrznych równą pracy rzeczywistej (tabela 1). Prawidłowość identyfikacji modułu Younga można również sprawdzić, porównując przebieg reakcji uzyskanych z obliczeń MES z siłami uzyskanymi w trakcie eksperymentów na obiektach rzeczywistych (rys. 4). Do porównania wyniki badań zostały uśrednione oraz zlinearyzowane. model Tabela 1. Wyznaczone wartości modułu Younga i odpowiadające im wartości pracy zależne od modelu MES Charakterystyka sprężysta na podstawie badań SPR-B model sprężysty WB1 MES-AS-SPR- WB1 Wyniki z MES model sprężysty WB2 MES-AS-SPR- WB2 model sprężysty 2 WB1 MES-AS-SPR2- WB2 model sprężysty 22 z kontaktem MES-AS- SPR22WBK E [GPa] 22,00 22,00 22,00 21,34 21,56 praca [J] 10,80 11,13 10,96 10,80 10,80 128
Rys. 4. Wykres siły F N w funkcji przemieszczenia U mm; wyniki z prób laboratoryjnych - linia SPR-B, wyniki z MES - linie: MES-AS-SPR-WB1, MES-AS- SPR-WB2, MES-AS-SPR2-WB2, MES-AS-SPR22WBK 2.2. Analiza w zakresie sprężysto plastycznym identyfikacja pozostałych parametrów modelu niezbędnych do wyznaczenia warunku granicznego Na podstawie wyników z przeprowadzonych eksperymentów laboratoryjnych, wstępnie przyjęto podstawowe dane materiałowe niezbędne do wyznaczenia warunków granicznych: kąt tarcia wewnętrznego = 62 o, kohezja (spójność) c = 20 MPa. Przyjęte dane należało poddać weryfikacji. W opisanych dalej eksperymentach numerycznych wykorzystano, zaimplementowany w systemie Abaqus, liniowy model Drukera-Pragera z niekołowym warunkiem plastyczności. Zanim zdecydowano się na ten model, wykonano wiele analiz, rozważając min. wpływ kołowego (klasyczny model Drukera-Pragera) i niekołowego (zmodyfikowany model Drukera-Pragera) warunku plastyczności na identyfikację współczynnika określającego kohezję. W metodzie zaimplementowanej w programie Abaqus kohezja, dla modelu Drucker-Prager oznaczana symbolem d (z indeksem c -wartość współczynnika wyznaczana na podstawie wytrzymałości na ściskanie; lub r -wartość współczynnika wyznaczana na podstawie wytrzymałości na rozciąganie), wyliczana jest na podstawie danych materiałowych: kąta tarcia wewnętrznego oraz wytrzymałości na ściskanie lub rozciąganie. Pierwszy problem, z którym należało się uporać, to identyfikacja parametrów modelu. Pamiętając, że współczynnik K określa stosunek granicy plastyczności 129
występującej w trzyosiowym stanie rozciągania do granicy plastyczności występującej w trzyosiowym stanie ściskania, rozważono dwa przypadki dla K1 = 0,8 oraz K2 = 1. Jako pierwszy rozważono przypadek, w którym przyjęto dane wapienia "Morawica" na podstawie literatury [9]: kąt tarcia wewnętrznego: = 54 o, wytrzymałość na ściskanie: c = 95 MPa, wytrzymałość na rozciąganie: r = 10 MPa. W związku z tym, kohezja obliczona na podstawie jednoosiowego ściskania wynosi:. Następnie został rozważony przypadek, w którym uwzględniono wyniki uzyskane z prób laboratoryjnych, wykonanych w trakcie realizacji niniejszego projektu: kąt tarcia wewnętrznego: = 62 o, wytrzymałość na ściskanie: c = 158 MPa. W związku z tym, kohezja obliczona na podstawie jednoosiowego ściskania wynosi:. W celu uzyskania takich samych wyników, bazując na wytrzymałości na rozciąganie wytrzymałość na rozciąganie powinna wynosić 31,407 MPa wtedy kohezja wynosi 58.948 MPa i wyniki analiz są zbieżne z wynikami uzyskanymi na podstawie wytrzymałości na ściskanie. W tym przypadku: kąt tarcia wewnętrznego: = 62 o, wytrzymałość na rozciąganie: r = 31,407 MPa. 2.3. Oddziaływanie stempla na ośrodek kruchy modelowanie zagadnienie kontaktowego Analizując zagadnienie ściskania ośrodków kruchych, stwierdzono, że oprócz współczynników określających właściwości materiałowe, istotny wpływ na uzyskiwane wyniki ma sposób modelowania współpracy pomiędzy stemplem a ściskanym materiałem kruchym. W szczególności sposób narastania ciśnienia pomiędzy współpracującymi powierzchniami. W testach numerycznych sprawdzono trzy formuły oddziaływania na siebie stykających się powierzchni. WBK oznacza, tzw. hard contact, w którym zakłada się, że ciśnienie pomiędzy powierzchniami oddziałującymi na siebie narasta od wartości zero do wartości maksymalnej od razu, tzn. od momentu przekroczenia h max (rys. 5). 130
Rys. 5 WBK -sposób narastania ciśnienia pomiędzy współpracującymi powierzchniami określany mianem hard contact WBK2 oznacza, że zostało zdefiniowane zadanie, w którym zakłada się, że ciśnienie pomiędzy powierzchniami oddziałującymi na siebie narasta wykładniczo (rys. 6). Rys. 6 WBK2 - sposób narastania ciśnienia pomiędzy współpracującymi powierzchniami, w których ciśnienie narasta wykładniczo WBK3 oznacza, że zostało zdefiniowane zadanie, w którym zakłada się, że ciśnienie pomiędzy powierzchniami oddziałującymi na siebie narasta w sposób zdefiniowany przez użytkownika z wykorzystaniem charakterystyki wieloliniowej, złożonej z odcinków prostych (rys. 7). 131
Rys. 7. WBK3 - sposób narastania ciśnienia pomiędzy współpracującymi powierzchniami, w których ciśnienie narasta zgodnie z charakterystyką zdefiniowaną przez użytkownika 3. Omówienie uzyskanych wyników W trakcie prac przeprowadzono wiele eksperymentów numerycznych, w których testowano różne modele materiału z uwzględnieniem charakterystyki sprężystej (oznaczenie SPR22), plastycznej (oznaczenie CM oraz DP i DP2), i różnych sposobów definiowania zagadnienia kontaktowego (WBK, WBK1, WBK2, WBK3). Przykładowe oznaczenia analizowanych modeli to: Morawica-PS-Fi22-AS-v2-M2-SPR22WBK, -SPR22WBK2, -SPR22WBK3, -SPR22CMWBK, -SPR22CMWBK2, -SPR22DPWBK, -SPR22DPWBK2, -SPR22DP1WBK, -SPR22DP2WBK2, -SPR22DP2WBK3. Modele różniły się między innymi danymi użytymi do opisu cech sprężystoplastycznych materiałów (jak już wspomniano, skupiono się głównie na modelu zaproponowanym przez Drukera-Pragera oznaczenie DP, ale przeprowadzono weryfikację wyników korzystając z modelu Coulomba Mohra oznaczenie CM). Drugą ważną różnicę stanowił sposób opisu zjawiska kontaktu. W analizach przetestowano hard-contact (WBK), kontakt z wykładniczą charakterystyką narastania ciśnienia pomiędzy współpracującymi powierzchniami oraz z wieloliniową zdefiniowaną na podstawie wyników badań. Po wykonaniu wielu symulacji, najlepiej dopasowana krzywa wykładnicza (WBK2) przechodzi przez punkty: (0,08, 0), (0, 130). Jednak najlepsze wyniki uzyskano dla krzywej wieloliniowej (WBK3), przechodzącej przez punkty (tabela 2). Tabela 2. Punkty charakterystyki narastania ciśnienia pomiędzy stemplem a próbką Prześwit [mm] Ciśnienie [MPa] -0,08 0,0-0,07 0,2-0,05 2,0-0,03 5,0-0,01 14,0-0,001 30,0 0,01 1000,0 132
Rys. 8. Przykładowe wyniki symulacji numerycznych ściskania walca, zależne od sposobu modelowania zjawiska kontaktu oraz modelu materiału (szczegółowy opis oznaczeń w tekście) Rys. 9. Porównanie przykładowych wyników badań laboratoryjnych z próby ściskania walca (wapień "Morawica" wykresy: X001, X003, X004, X005, X006), z ostatecznym wynikiem analiz wykonanych z wykorzystaniem MES (MES-AS-SPR22-DP2-WBK3) Dobór parametrów kontaktu przeprowadzono wykorzystując uśrednione i zlinearyzowane wyniki badań laboratoryjnych, które pozwoliły na stworzenie uproszczonej charakterystyki sprężystej SPR-B. Bazując na tej charakterystyce, zdefiniowano cechy sprężyste modelu materiału SPR22. Następnie przeprowadzono 133
szereg eksperymentów numerycznych mających na celu dobór sposobu modelowania kontaktu pomiędzy powierzchniami stempla i próbki oraz niezbędnych współczynników. Ostatecznie przeprowadzono weryfikację dla modelu sprężysto plastycznego (DP2). Wyniki przedstawiono na rys. 8. Jak widać (rys. 9), ostatecznie uzyskano bardzo dobrą zbieżność wyników symulacji numerycznych z wynikami badań obiektów rzeczywistych. Dotyczy to zarówno modelu sprężystego, a w szczególności modelu sprężysto plastycznego z uwzględnieniem zjawiska kontaktu. Literatura: [1] Zawada J., Buczyński A., Chochoł K., Rzeszot J.: Wprowadzenie do mechaniki maszynowych procesów kruszenia (na przykładzie kruszarek szczękowych), Wydawnictwo Instytutu Technologii Eksploatacji, Warszawa, 2005. [2] Supel, J. Zawada, J.: Metoda elementów kontaktowych w zastosowaniu do modelowania procesów kruszarek, Zeszyty Naukowe. Górnictwo/Politechnika Śląska, 2002, s. 585-600. [3] Zienkiewicz O.: Metoda elementów skończonych, Arkady, Warszawa, 1972. [4] Jaworski A.: Metoda elementów skończonych w wytrzymałości konstrukcji, Wydawnictwo Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 1981. [5] Kleiber M.: Metoda elementów skończonych w nieliniowej mechanice kontinuum, PWN, Warszawa, 1985. [6] Drucker D.C., Prager W. Soil mechanics and plastic analysis on limit design. Q. J. Appl. Math., Vol. 10, No. 2, 157-165, 1952. [7] Matsuoka H., Nakai T. Stress deformation and strength characteristics of soil under three different principal stresses. Proceedings of ISCE, No. 232, 59-74, 1974. [8] Izbicki R., Mróz Z. Metody Nośności Granicznej W Mechanice Gruntów I Skał. Polska Akademia Nauk. Instytut, 1975. [9] Dassault Systemes Simulia Corp., Abaqus Analysis User's Manual, Dassault Systemes, United States of America, 2008. [10] Mańkowski J., Ciężkowski P.: Modelowanie osłabienia materiału na przykładzie symulacji próby brazylijskiej, Zeszyty Naukowe Instytutu Pojazdów, Nr 3(89)/2012, Politechnika Warszawska, Warszawa, 2012, s. 101-108. Streszczenie Ośrodki kruche należą do grupy materiałów o bardzo złożonej strukturze. Jako ośrodki niejednorodne i anizotropowe, mają losowo rozłożone nieciągłości struktury, tzn. rysy, spękania, pory. Jednym z istotnych problemów, który bardzo często pojawia się podczas analiz, jest identyfikacja właściwości zarówno danych materiałowych, jak i charakterystyk oddziaływania narzędzia na ośrodek kruchy. W niniejszej pracy przedstawiono propozycję metody identyfikacji parametrów materiałowych oraz propozycję metody modelowania zagadnienia kontaktowego na przykładzie wapienia "Morawica". Badania i analizy zostały przeprowadzone dla próby ściskania walca. Uzyskano bardzo dobrą zbieżność wyników analiz z wynikami z eksperymentu wykonanego na obiekcie rzeczywistym. Słowa kluczowe: MES, dane materiałowe, kontakt, próba ściskania walca, wapień Morawica 134
BREAKING PROCESS MODELING USING FEM PROPOSITION OF A METHOD FOR IDENTIFICATION OF MATERIAL AND FOR IDENTIFICATION FEATURES JOB CONTACT Abstract Brittle materials belong to the group of brittle materials with a very complex structure. As heterogeneous and anisotropic materials, are randomly distributed discontinuity structures such as scratches, cracks, pores. One of the problems, which often occurs during the analysis is to identify the properties of materials data and identify the characteristics of the impact of the tool on a brittle material. This paper presents a method of identification of material parameters and a method of modeling the contact problems for limestone Morawica. Tests and analyzes were performed for a roller compression test. Very good convergence of the results of analysis and of the results of an experiment performed on a real object was obtained. Keywords: FEM, material data, contact, roller compression test, limestone Morawica 135