Ciągi i rekurencja, komputer dla matematyka warsztaty towarzyszące konferencji Informatyka realnie prowadzą: Hanna Basaj Jan Aleksander Wierzbicki
Ciągi określone rekurencyjnie w projekcie nowej podstawy programowej Treści nauczania wymagania szczegółowe
Warunki i sposób realizacji treści z podstawy programowej odnośnie ciągów
Rekurencja w matematyce Rekurencja w matematyce, jak również w informatyce, to odwoływanie się funkcji (ciągu, algorytmu) do samej siebie. Ze wzorem rekurencyjnym mamy do czynienia wtedy, gdy w definicji wyrazu n-tego mamy odwołanie do wyrazu o indeksie zależnym od n. Przykłady zadań z możliwością wykorzystania TIK. Zadania te można rozwiązać korzystając z arkusza kalkulacyjnego Excel z pakietu biurowego Ms Office lub innego dostępnego w chmurze np.: Arkusze Google wcześniej należy zalogować się na swoje konto Google Widoku Arkusza programu Geogebra 6.0 można korzystać bez logowania się
Przykłady zadań i zastosowanie TIK do ich rozwiązywania Zadanie 1 Ciąg (an) jest określony rekurencyjnie a1 = 1 an+1= an-3n+1 dla n > 1 a) Oblicz 4 wyraz ciągu (an) b) Zbadaj monotoniczność ciągu (an) Rozwiązanie w Arkuszach Google Rozwiązanie w Widoku Arkusza w GeoGebrze
GeoGebra 6.0 dla każdego bez potrzeby logowania się - Korzystamy z platformy GeoGebra: www.geogebra.org - wybieramy opcję GeoGebra klasyczna - w menu GeoGebra Math Calculators wybieramy opcję Spreadsheet Calc
Kolejne zadania Rozwiązanie w Widoku Arkusza GeoGebry 6.0 Rozwiązanie w Widoku Arkusza GeoGebry 6.0
Ciąg rekurencyjne wokół nas Huragan Sandy r. 2012 Źródło: http://wehikulwartosci.blogspot.com/ 2012/11/i4-przestepstwo-rekurencyjne.html Spiralnie ułożone pestki słonecznika według ciągu Fibonacciego Źródło: http://blog-o-inwestowaniu.blogspot.com/ 2011/02/zniesienia-fibonnaciego.html Źródło: http://matematykainnegowymiaru.pl/open/lekcje.php?mode=pokaz&id=80
Ciąg Fibonacciego Ciąg Fibonacciego pojawia się wszędzie wokół nas: w przyrodzie, architekturze, inżynierii, sztuce, fizyce, matematyce, w anatomii ludzkiego ciała. Jest to ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie: an = 0 dla n = 0 Zaliczenie 0 do elementów ciągu jest kwestią umowną 1 dla n = 1 an 1 + an-2 dla n > 1 Kolejne wyrazy ciągu zwane liczbami Fibonacciego (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...) Tablica z kolejnymi liczbami Fibonacciego
Ciąg Fibonacciego skąd ta nazwa? Ciąg został opisany w dziele Liber abaci w 1202 roku przez Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików. Nazwę ciąg Fibonacciego spopularyzował w XIX wieku francuski matematyk Edouard Lucas. Lucas zajmował się algebrą, badał ciąg Fibonacciego, zajmował się rozrywkowymi zastosowaniami matematyki, wymyślił grę Wieże Hanoi w 1883 r.
Właściwości ciągu Fibonacciego Jeżeli podzielimy przez siebie dowolne, kolejne dwa wyrazy ciągu Fibonacciego to stosunek tych liczb będzie równy zawsze tej samej liczbie, równej w przybliżeniu 1.618. Im większe wyrazy ciągu podzielimy, tym dokładniejsze przybliżenie tej liczby uzyskamy. Liczbę tę nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ Stosunek tego podziału określa się również mianem złotego podziału lub Boskiej proporcji.
Kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego i złota liczba Programowanie rekurencyjne czy iteracyjne?
Ciąg kwadratów, których długości boków są kolejnymi liczbami Fibonacciego Ciąg Fibonacciego w przyrodzie Układ ziaren słonecznika
Ciąg Lucasa Liczby Lucasa są tworzone w taki sam sposób, jak liczby Fibonacciego, ale dwa początkowe wyrazy ciągu to 2 i 1. ln = l0 = 2 l1 = 1 tablica z kolejnymi liczbami Lucasa ln = ln-1 + ln-2 dla n > 1 Podobnie jak w przypadku liczb Fibonacciego, stosunki kolejnych liczb Lucasa dążą także do liczby złotego podziału = 1,618033988749894 Kolejne elementy ciągu Lucasa, są równe zaokrągleniom kolejnych potęg liczby. Ciągi Lucasa znajdują zastosowanie w algorytmach szyfrowania z kluczem jawnym.
Kod źródłowy rozwiązania w C++
Rodzina złotych ciągów, złota zasada Zadanie: Wybierzmy dwie dowolne liczby całkowite. Na ich podstawie stwórzmy ciąg (bn) powstający w ten sam sposób, co ciąg Fibonacciego. Dla dalszych, kolejnych wyrazów tego ciągu wyznaczmy stosunek bn bn 1 Co zauważymy? Istotnym elementem nie są pierwsze wyrazy ciągu, bn 1.618 = lecz metoda powstawania ciągu, którą nazwiemy bn 1 złotą zasadą Przykładowe rozwiązanie zadania Przykład złotego ciągu z liczbami wymiernymi
Dziękujemy za udział w warsztatach