Marek DŁUGOSZ, Tomasz LERCH Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Komputerowa identyfikacja parametrów silnika pradu stałego Streszczenie. W artykule zaprezentowano sposób identyfikacji parametrów silnika pradu stałego przy użyciu komputera oraz pakietu obliczeniowego. Zadanie identyfikacji nieznanych parametrów zostało przeformułowane do zadania optymalizacji pewnej funkcji kosztu. Funkcja kosztu powinna być tak dobrana aby posiadała dokładnie jedno minimum globalne i musi ono być dane dla optymalnych wartości poszukiwanich parametrów modelu. Minimum funkcji kosztu poszukiwane było numerycznie z wykorzystaniem pakietu obliczeniowego MATLAB c. Użycie komputerów do identyfikacji parametrów modelu umożliwa szybkie i skuteczne rozwiazywanie tego typu zadań. Abstract. W artykule zaprezentowano sposób identyfikacji parametrów silnika pradu stałego przy użyciu komputera oraz pakietu obliczeniowego. Zadanie identyfikacji nieznanych parametrów zostało przeformułowane do zadania optymalizacji pewnej funkcji kosztu. Funkcja kosztu powinna być tak dobrana aby posiadała dokładnie jedno minimum globalne i musi ono być dane dla optymalnych wartości poszukiwanich parametrów modelu. Minimum funkcji kosztu poszukiwane było numerycznie z wykorzystaniem pakietu obliczeniowego MATLAB c. Użycie komputerów do identyfikacji parametrów modelu umożliwa szybkie i skuteczne rozwiazywanie tego typu zadań. Słowa kluczowe: silnik pradu stałego, model, identyfikacja parametrów, optymalizacja Keywords: DC motor, model, identification, optymalisation Wstęp - metody indentyfikacji wady i zalety Współczesne układy sterowania maszyn elektrycznych często zawieraja w swej strukturze model matematyczny maszyny, stad konieczna jest znajomość jego parametrów. Parametry te moga być wyznaczone na podstawie danych katalogowych maszyny oraz pomiarów podstawowych lub identyfikowane na podstawie przebiegów zarejestrowanych w stanach dynamicznych. Celem niniejszego artykułu jest analiza porównawcza efektów różnych metod identyfikacji parametrów modelu matematycznego maszyny pradu stałego. W procesie identyfikacji przyjęto stałość: strumienia magnetycznego skojarzonego z twornikiem, rezystancji obwodu twornika, indukcyjności twornika, momentu bezwładności wirnika. Przy takich założeniach strumień można wyznaczyć bezpośrednio z parametrów znamionowych maszyny. Rezystancję twornika wyznacza się metoda techniczna zasilajac uzwojenie pradem stałym, zgodnie z norma PN-E- 67-1. W modelu maszyny wykorzystywanym do potrzeb sterowania potrzebna jest jednak rezystancja całkowita obejmujaca oprócz uzwojenia twornika także rezystancję szczotek i przejścia pod szczotkami. Wyznaczenie jej wartości jest w praktyce bardzo trudne, ponieważ rezystancja szczotek nieliniowo zależy od pradu twornika, ponadto rezystancja przejścia może zależeć od prędkości obrotowej maszyny [2]. Indukcyjność twornika można wyznaczyć metoda techniczna [1] przy założeniu równomiernego rozkładu gęstości pradu w przekroju uzwojenia oraz liniowości charakterystyki magnesowania obwodu magnetycznego. Przy takich założeniach indukcyjność uzwojenia twornika można wyliczyć z elektromagnetycznej stałej czasowej wyznaczonej z zaniku pradu w uzwojeniu twornika lub z impedancji zmierzonej przy zasilaniu uzwojenia pra- dem przemiennym. Moment tarcia można wyliczyć w oparciu o wyznaczona wartość strat mechanicznych dla określonej prędkości obrotowej. Należy przy tym pamiętać, że wyznaczona wartość jest suma strat w identyfikowanej maszynie i maszynie obciażaj acej. Znajac moment tarcia zespołu maszyn, moment bezwładności najłatwiej jest wyznaczyć z krzywej wybiegu [3], przy czym wyliczona wartość będzie również suma momentów bezwładności wirników obu maszyn. Szczególnie interesujacymi metodami identyfikacji modelu maszyny do celów sterowania sa metody które pozwalaja na wyznaczanie parametrów na postawie rejestracji stanów dynamicznych maszyny. Metody takie można zaimplementować w układzie sterowania, który może dokonać identyfikacji potrzebnych parametrów automatycznie. Autorzy zastosowali do identyfikacji metodę polegajac a na najlepszym dopasowaniu sygnałów otrzymanych z modelu do sygnałów rzeczywistych z obiektu które były rejestrowane. Tego typu metoda identyfikacji znana jest pod nazwa minimalizacji odległości odpowiedzi albo metoda strojonego modelu. Opis stanowiska laboratoryjnego Pomiary indentyfikacyjne wykonano w laboratorium Katedry Maszyn Elektrycznych AGH. Pomiary przeprowadzono na maszynie obcowzbudnej pradu stałego typu PCNc16M, o parametrach znamionowych: P N = 11 kw, U an = 44 V, I an = 28.1 A, ω N = 3 obr/min. Badana maszyna była sprzężona mechanicznie z maszyna synchroniczna typu...., o parametrach znamionowych: P N = 3.2 kw, U N = 4 V, I sn =.8 A, cos(φ) =.8. Badana maszyna zasilana była poprzez regulator indukcyjny i prostownik diodowy. Taka konfiguracja układu zasilania pozwalała na przeprowadzenie rozruchu poprzez skokowe podanie obniżonego napięcia na twornik maszyny bez dodatkowej rezystancji rozruchowej. Podczas rozruchu rejestrowano przebieg napięcia zasilajacego twornik, pradu rozruchowego oraz prędkości obrotowej. Napięcie twornika mierzone było poprzez dzielnik napięcia, do pomiaru pradu wykorzystano przetwornik typu LEM, zaś sygnałem prędkości obrotowej było napięcie tachopradnicy sprzężonej z badana maszyna. Wszystkie sygnały pomiarowe podane były poprzez separator napięcia na wejścia A/D karty kontrolno-pomiarowej zainstalowanej w komputerze klasy PC. Do rejestracji i sterowania wykorzystano pakiet MATLAB c /Simulink wraz z toolboxem RTWT. Schemat stanowiska laboratoryjnego, na którym wykonano pomiary przedstawia rysunek 1. Model silnika pradu stałego Model matematyczny silnika pradu stałego którego parametry będa identyfikowana dany jest następujacym układem równań różniczkowych (zob. np. [4, s. 69-7], [, s. 76 ]): (1) ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) gdzie x(t) wektor stanu zawierajacy następujace składowe: [ ] [ ] i(t) x 1 (t) (2) x(t) = = ω(t) x 2 (t) PRZEGLAD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN 33-297, R. 8 NR 2/29 271
4V L1 L2 L3 Regulator indukcyjny Prostownik diodowy Komputer PC z kartą pomiarową T Maszyna prądu stełego M Maszyna synchroniczna M Rezystancja całkowita twornika maszyny została również zmierzona metoda techniczna, przy czym napięcie mierzone było na zaciskach twornika. W wyniku tak przeprowadzonego pomiaru wyznaczano rezystancje łaczn a twornika, szczotek oraz przejścia pod szczotkami. Ponieważ wartość rezystancji szczotek nieliniowo zależy od pradu, pomiar przeprowadzono dla kilku jego wartości. Wyniki pomiarów przedstawia rysunek 2. ako wartość rezystancji całkowitej w modelu maszyny przyjęto: Separator = 22V (4) R =.3 Ω..6 Rys. 1. Schemat stanowiska laboratoryjnego. a odpowiednie macierze modelu (1) maja postać: [ ] ] (3) A = R L c M ce L B v B = [ 1 L Znaczenie zmiennych i parametrów przedstawiono w tabeli 1: Stałe oznaczone jako c E i c M zależa od konstrukcji danego Tablica 1. Parametry fizyczne silnika Oznaczenie ednostka Opis i(t) A prad twornika ω rad/s prędkość obrotowa wirnika R Ω rezystancja obwodu twornika L H indukcyjność obwodu twornika kgm 2 moment bezwładności wirnika B v Nms współczynnik tarcia silnika. eśli parametry modelu sa wyrażane w jednostkach układu SI to stałe te sa sobie równe [4, s. 7], [, s. 78]. W dalszej części pracy przyjmuje się dla uproszczenia zapisu: c E = c M = c ednostka fizyczna stałej c w zależności od tego w którym równaniu modelu występuj ma wartość: Vs pierwsze równanie modelu lub Nm/A drugie równanie modelu. Ponieważ model matematyczny silnka (1) modeluje zmiany tylko w obwodzie twornika dlatego w pracy zrezygnowano z indeksów dolnych przy parametrach i zmiennych oznaczaja- cych jakiego obwodu one dotycza. Statyczne pomiary parametrów Rezystancję twornika zmierzono metoda techniczna opisana w normie PN-E-67-1. Przy wyłaczonym wzbudzeniu twornik maszyny zasilono ze źródła napięcia stałego. Pomiaru napięcia dokonano bezpośrednio na trzech sasiednich wycinkach komutatora zwartych szczotka. Rezystancja wyliczona z kolejnych pomiarów wynosiła: R a =.32;.33;.362 Ω Rezystancję twornika przyjmuje się średnia, która w tym przypadku wynosi:.36 Ω. Rezystancja [Ω]...4.4.3.3.2.2 1 Prad [A] Rys. 2. Rezystancja całkowita twornika Indukcyjność twornika wyliczono z impedancji zmierzonej przy zasilaniu pradem przemiennym o częstotliwości Hz. Napięcie U mierzono na wycinkach komutatora, zatem za wartość R a w równaniu () przyjęto rezystancje samego twornika (bez szczotek). Reaktancja twornika zmierzona wynosi: () X a = Z 2 a R 2 a przy czym (6) Z a = U I = 3.4 Ω zatem indukcyjność twornika: (7) L = X a 2π =.112 H Strumień skojarzony w twornikiem c E przy założeniach wymienionych w rozdziale pierwszym można wyznaczyć bezpośrednio ze wzoru na prędkość znamionowa maszyny: (8) c E = U N I N R ω N = 1.3 Vs Moment bezwładności maszyny został wyznaczony metoda wybiegu. Do obliczenia momentu bezwładności zidentyfikowano straty jałowe maszyny stanowiace sumę strat mechanicznych i strat w rdzeniu. Dla napięcia, przy którym dokonano rejestracji krzywej wybiegu straty jałowe wynosiły: (9) P = P m + P Fe = 2 W Krzywa wybiegu przedstawia rysunek 3. Prędkość ω przy, której nastapiło odłaczenie napięcia wynosi 147 rad/s, natomiast czas t odczytany ze stycznej zaznaczonej linia przerywana na rysunku wynosi 16 s. Na podprawie tych 272 PRZEGLAD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN 33-297, R. 8 NR 2/29
Predkosc katowa [rad/s] 16 14 12 1 8 6 4 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 22 24 Czas [s] Rys. 3. Krzywa wybiegu znanych można ze wzoru (1) wyliczyć moment bezwładności: (1) = P t ω 2 Straty mechaniczne wyznaczone przy prędkości biegu jałowego 7 rad/s wynosiły 162 W. Zatem moment tarcia wynosił: (11) B v = dp m ω = 1.2 Nms Zestawienie wyznaczonych wartości parametrów modelu maszyny pradu stałego: Tablica 2. Wyniki identyfikacji statycznej Oznaczenie ednostka Wartość R Ω.3 L H.112 kgm 2 s.19 c 1.3 B v Nms 1.2 Komputerowa indetyfikacjia parametrów Identyfikacja parametrów modelu może zostać przeformułowana na zadanie minimalizacji odpowiedniej funkcji kosztu. Argumentami funkcji kosztu sa poszukiwane parametry modelu, które chcemy zidentyfikować. Zadanie poszukiwania parametrów modelu możne wtedy zapisać jako: (12) p opt = min p D (p) gdzie p wektor zmiennych decyzyjnych którego składowe to poszukiwane nieznane (identyfikowane) parametry modelu, D przestrzeń zmiennych decyzyjnych. Funkcja kosztu powinna być tak skonstruowana aby w zbiorze D posiadała dokładnie jedno minimum. Taka konstrukcja funkcji kosztu zapewni nam jednoznaczność rozwiazania. Funkcja kosztu powinna być też funkcja ciagł a. eśli funkcja kosztu jest złożona to analityczne znalezienie jej minimum może okazać się bardzo trudne, a czasem wręcz niemożliwe. W takich przypadkach można poszukiwać minimum funkcji kosztu numerycznie przy wykorzystaniu odpowiednich algorytmów i pakietów obliczeniowych. Przestrzeń zmiennych decyzyjnych D jest określona przez fizyczne właściwości poszukiwanych parametrów (np. poszukiwana stała modelu nie może być mniejsza od zera). Parametry które będziemy identyfikować identyfikować to: stała silnika c, współczynnik tarcia B v, moment bezwładności. Parametry które przyjmujemy za dane, które nie podlegaja identyfikacji to: rezystancja twornika uwzględniajaca rezystancje szczotek R, i indukcyjność obwodu twornika L. Eksperyment będzie polegał na zasileniu silnika napięciem u(t), zarejestrowaniu odpowiedzi silnika (prad twornika i prędkość obrotowa) i takim dobraniu (identyfikacji) nieznanych parametrów modelu aby rzeczywista odpowiedź modelu w jak najlepszym stopniu pokrywała się z odpowiedzia modelu. Wektor zmiennej decyzyjnej p będzie składał się z trzech składowych: c (13) p = p 1 p 2 p 3 = Poszukiwane parametry nie moga mieć wartości mniejszych od zera, stad przestrzeń zmiennych decyzyjnych zdefiniowana jest jako: B v (14) D = {(c, B v, ) : c >, B v >, > } Proponuje się przyjęcie następujacej funkcji kosztu: () (p) = 1 N 2 k=1 n=1 N ( x k (n) ˆx k (n) gdzie x k (n) oznacza odpowiedź modelu (1) z parametrami p w n-tej chwili czasu k-tej składowej wektora stanu (2), ˆx k (n) oznacza n-ty pomiar k-tej składowej wektora stanu (2). Funkcja kosztu () jest funkcja ciagła o wartościa większych od zera. Tego typu funkcja kosztu posiada dokładnie jedno minimum w punkcie i występuje ono wtedy gdy odpowiedź modelu jest taka sama jak odpowiedź układu rzeczywistego. Procedura numeryczna minimalizujaca funkcję kosztu () w kolejnych iteracjach zwraca nam wartości poszukiwanych parametrów modelu. Dla wyznaczonych parametrów p wyznaczana jest odpowiedź x(t) modelu (1) dla zadanego sterowania u(t). W każdej kolejnej iteracji poszukiwania minimum wartość funkcji kosztu () maleje. Po zakończeniu procedury minimalizacji otrzymamy optymalne wartości p opt identyfikowanych parameterów. Spodziewanym minimum funkcja kosztu () jest wartość zero. Ponieważ jednak pomiary rzeczywiste zawsze sa obarczone jakimś błędem (zakłócenia, błędy pomiarowe) to minimum funkcji kosztu () nie będzie miało wartości zero. Im jednak to minimum ma wartość bliższa zera tym jakoś identyfikacji parametrów jest lepsza. Przyjmujac jako funkcjie kosztu wzór () będziemy się starali poprzez zmianę poszukiwanych parametrów p jak najlepiej dopasować odpowiedź modelu do rzeczywistej, zarejestrowanej odpowiedzi modelu. Potrzebne dane pomiarowe zostały zebrane podczas eksperymentu praktycznego który polegał na rozpędzeniu zatrzymanego silnka przy zdanym napięciu u(t). W dużych silnkach pradu stałego w trakcie rozruchu obwodzie twornika indukuja się bardzo duże prady mogace zniszczyć taki silnik. Prad ten można zmieniejszyć właczaj ac na czas rozruchu dodatkowa rezystancję R d albo stopniowo zwiększać napięcie zasilania u(t) tak aby prad w obowdzie twornika nie ) 2 PRZEGLAD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN 33-297, R. 8 NR 2/29 273
przekroczył wartościu 2. pradu znamionowego i N. W laboratorium istnieje możliwość zadawania napięcia stałego o regulowanej amplitudzie i ten sposób rozruchu silnka zastosowano. Wykonano 7 eksperymentów i za każdym razem zwiększano napięcie u(t). Wartości napięcia u(t) były tak dobrane żeby podczas rozruchu prad w obwodzie twronika nie przekraczał 2. wartości znamionowej pradu twornika. W takim przypadku na czas rozruchu nie ma potrzeby dołaczania dodatkowej rezystancji w obwód twornika która później także trzeba było uwzględnić w parametrach identyfikowanego silnika. Silnik podczas eksperymentu był nieobciażony żadnym momentem zewnętrznym. Eksperyment polegał na zadaniu stałego napięcie sterowania u(t) i zarejestrowaniu (przy pomocy karty pomiarowej) przebiegu sygnałów i(t), ω(t), u(t). W chwili startu eksperymentu silnik pradu był nieruchomy. Na rysunku 4 przedstawiono przebieg rejestrowanych wielkośc prad twornika i(t) i prędkość obrotwa ω(t). prad [A] 3 2 2 1.1.2.3.4..6.7.8.9 1 4 3 2 1 1.1.2.3.4..6.7.8.9 1 Rys. 4. Przebieg mierzonych wielkości, wykres górny i(t), wykres dolny ω(t). Na rysunku przedstawiono zarejestrowany przebieg napięcia zasilania u(t). ak można zauważyć w momencie startu następuje znaczny "przysiad" wartości tego napięcia. Ponieważ wartość napięcia zasilania u(t) znaczaco maleje w momencie rozruchu silnika należy uwzględnić te zmiany. Przybliżenie przebiegu napięcia sterowanai u(t) funkcja skoku jednostkowego było by obarczone zbyt dużym błedem. u(t) [V] 7 6 4 3 2 1 Funkcja fminsearch poszukuje minimum dowolnej funkcji która przekazuje się jako parametr podczas wywołania. W celu policzenia błedu () należy oprócz wartości zmierzonych sygnałów x k (n) posiadać wartości odpowiedzi modelu. Z tego powodu dla danych parametrów p należy zasymulować działanie modelu. W trakcie symulacji modelu jako sygnału sterowania wykorzystano rzeczywisty, zmierzony sygnał u(t). Dzięki temu model będzie sterowany takim samym sygnałem jak obiekt rzeczywisty co pozwoli uniknac błędów zwiazanych przebiegiem napięcia sterowania u(t) (w momncie rozruchu wartość tego napięcia "przysiada" w istotny sposób, patrz rysunek ). Drugim parametrem jaki trzeba podać w wywołaniu funkcji fminsearch jest punkt startowy. Funkcja fminsearch poszukuje minimum funkcji wielu zmiennych bez ograniczeń na zmienne minimalizowanej funkcji. Algorytm działania funkcji fminsearch jest algorytmem bezgradientowym. W problemie identyfikacji parametrów silnika występuja ograniczenia na parametry, zob. (14), dlatego aby je uwzględnić należy wprowadzić do funkcji kosztu () dodatkowa karę (w postaci zwiększenia wartości kosztu) po przekroczeniu tych ograniczeń. Tabela 3 przedstawia wyniki otrzymane w procedurze mini- Tablica 3. Wyniki identyfikacji komputerowej L.p. (p) c B v 1.4997 1.3419.179.3871 2.7381 1.3486.184.29 3 1.1449 1.3.1763.2937 4 1.7434 1.4243.171.28 1.23 1.4262.1776.332 6 3.7798 1.423.181.19 7 6.412 1.4247.1799.2472 Średnia 1.391.1791.286 malizacji funkcji kosztu () przy wykorzystaniu funkcji fminsearch. Do dalszych symulacji przyjęto średnie wartości zidentyfikowanych parametrów silnka, zobacz tabela 4. Na ry- Tablica 4. Wyniki identyfikacji komputerowej Oznaczenie ednostka Wartość R Ω.3 L H.112 kgm 2.1791 c 1.391 B v Nms.286 sunku 6 przedstawiono porównanie rzeczywistej odpowiedzi silnka z odpowiedzia otrzymana z modelu z parmetrami z tabeli 4. Można zauważyć bardzo duża zgodność odpowiedzi uzyskanej z modelu z rzeczywista, zmierzona odpowiedzia silnka. 1.1.2.3.4..6.7.8.9 1 Rys.. Przebieg napięcia sterowania u(t). Do poszukiwania minimum funkcji kosztu () wykorzystano funkcję fminsearch pakietu obliczeniowego MATLAB c. Porownanie wynikow Na wykresie 7 przedstawiono porównanie odpowiedzi modelu silnka pradu stałego z dwoma zestawami parametrów zamieszczonymi w tabeli 2 i 4. ak można zauważy odpowiedzi dwóch modeli sa zbliżone do siebie. Największe różnice występuja w stanach przejściowych, w stanie ustalonym odpowiedzi modeli sa identyczne. 274 PRZEGLAD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN 33-297, R. 8 NR 2/29
i t [A] 2 1.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 3 2 2 1.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Rys. 6. Porównanie odpowiedzi modelu silnika z parametrami danymi w tabeli 4 z danymi pomiarowymi. prad [A] 6 4 3 2 1 model 1 model 2 [1] Tadeusz Glinka. Badanie diagnostyczne maszyn elektrycznych w przemyśle. In Branżowy Ośrodek Badawczo Rozwojowy Maszyn Elektrycznych KOMEL, 1998. [2] W. ażdżyński and W. Milej. Determining an improved dynamic model of a system: Induction motor and direct-current machine. In Proceedings of the International Conference on Electrical Machines ICEM 24, 24. [3] Władysław Latek. Badanie maszyn elektrycznych w przemyśle. WNT Warszawa, 1979. [4] Władysław Pełczewski and Mirosław Krynke. Metoda zmiennych stanu w analize dynamiki układów napędowych. WNT, 1984. [] Ludger Szklarski, Aleksander Dziadecki, ózef Strycharz, and Kazimierz arecz. Automatyka Napędu Elektrycznego. Wydawnictwo AGH, 1996. Autorzy: mgr inż. Marek Długosz Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Katedra Automatyki Al. Mickiewicza 3 3-9 Kraków email: (mdl@nova.ia.agh.edu.pl) mgr inż. Tomasz Lerch Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Katedra Maszyn Elektrycznych Al. Mickiewicza 3 3-9 Kraków email: (lerch@agh.edu.pl).1.2.3.4..6.7.8.9 1 3 3 2 model 1 model 2 2 1.1.2.3.4..6.7.8.9 1 Rys. 7. Porównanie odpowiedzi modelu silnka z dwoma zestawami parametrów, linia przerywania model z parametrami z tabeli 2, linia ciagła model z parametrami z tabeli 4 Wnioski W pracy przedstawiono dwa sposoby wyznaczania parametrów silnka pradu stałego. Pierwsze sposób polegał na wyznaczeniu parmetrów modelu bazujac na danych znamionowych silnika i pomiarach parametrów obwodu twornika. W drugim sposobie w celu wyznaczenia brakujacych parametrów sformułowano odpowiednie zadanie optymalizacji (poszukiwanie minimum funkci kosztu) i następnie wykorzystujac algorytm optymalizacji starano się znaleźć poszukiwanie parametry. Porównujac wyniki, zobacz tabela 2 i 4, można zauważyć że, w obu przypadkach otrzymujemy zbliżone wartości poszukiwanych parametrów silnika. Wykorzystanie komputerów i złożonych algorytmów optymalizacyjnych w drugiej metodzie daje większe możliwości w poszukiwaniu zarówno parametrów jak i samej struktury modelu. Model matematyczny obiektu którego parametry poszukujemy może być dowolny. W pracy przyjęto że silnik opisany jest układem równań różniczkowych liniowych. Można jednak przyjać inny, np. nieliniowy model silnka i poszukiwać parametrów takiego modelu. LITERATURA PRZEGLAD ELEKTROTECHNICZNY (Electrical Review), ISSN 33-297, R. 8 NR 2/29 27