Andrzej MAGDZIARZ 1, Łukasz NOGAL 2 Politechnika Warszawska, Instytut Elektroenergetyki (1), Politechnika Warszawska, Instytut Elektroenergetyki (2) Symulacyjny model cyfrowy transformatora elektroenergetycznego Streszczenie. Od czasów, kiedy powstały pierwsze transformatory elektroenergetyczne stały się one przedmiotem badań. Korzystając z dostępnych programowych narzędzi symulacyjnych można stworzyć cyfrowy model symulacyjny transformatora elektroenergetycznego. Porównując wyniki symulacji z przebiegami zarejestrowanymi przy pomocy oscyloskopu z modelu fizycznego można stwierdzić iż wyniki pokrywają się z bardzo dużym przybliżeniem. Można również przeprowadzić badania, które na obiekcie rzeczywistym nie byłyby możliwe do wykonania. Abstract. Since times when first power transformers came into being they became the subject of examinations. Using available programmatic simulation tools it is possible to create digital simulation model of the power transformer. Comparing effects of the simulation to course registered by means of the oscilloscope from the physical model it is possible to state that effects are overlapping with the very good approximation. It is possible to carry examinations which wouldn't be feasible on the real object out also. (Digital simulating model of power transformer). Słowa kluczowe: Symulacja, Modelowanie, Transformator, Elektroenergetyka. Keywords: Simulation, Transformer, Electrical power engineering. Wstęp Od czasów powstania pierwszych transformatorów elektroenergetycznych stały się one przedmiotem badań. Badania te dotyczyły nie tylko samych jednostek, ale przede wszystkim zjawisk towarzyszących stanom przejściowym pracy transformatorów. Przeprowadzenie badań niejednokrotnie wiąże się dużymi kosztami, możliwością zniszczenia, często drogiego obiektu i aparatury badawczej. Napotyka się również na inne problemy jak: niemożliwość osiągnięcia powtarzalności warunków początkowych, w szczególności indukcji szczątkowej rdzenia transformatora oraz niejednoczesnego zamykania noży wyłączników, [3]. W celu poznania własności obiektu fizycznego wykorzystuje się różne techniki badawcze. Można bezpośrednio badać interesujący nas obiekt lub jego model fizyczny. Ale można również zbudować model matematyczny lub model symulacyjny. Obecnie coraz częściej znajduje zastosowanie matematyczny opis zjawisk fizycznych. Jednak model matematyczny często zawiera szereg równań różniczkowych, również nieliniowych, przez co staje się skomplikowany i praktycznie niemożliwy do rozwiązania metodami analitycznymi. Obecna technika obliczeniowa, a w szczególności dostępne dla każdego komputery klasy PC, oraz oprogramowanie dają zupełnie nowe, szersze możliwości. Powstał bowiem szereg programów, które pozwalają na proste rozwiązanie nieliniowych równań różniczkowych. Korzystając z dostępnych programowych narzędzi symulacyjnych można stworzyć, na podstawie opisu matematycznego, cyfrowy model symulacyjny transformatora elektroenergetycznego. Przeprowadzanie badań na modelu cyfrowym jest zarówno o wiele tańsze, jak i znacznie prostsze niż na obiekcie rzeczywistym. Ponadto model cyfrowy pozwala na dowolną zmianę parametrów transformatora oraz warunków początkowych, co umożliwia analizę wpływu poszczególnych parametrów na otrzymywane wyniki końcowe. Model cyfrowy daje również zupełnie nowe możliwości, są to badania, które w przypadku rzeczywistego transformatora nie byłyby możliwe do realizacji. Mowa tu między innymi o pomiarze trzeciej harmonicznej prądu, bezpośrednio w uzwojeniu połączonym w trójkąt. W obiekcie rzeczywistym nie jest to możliwe z zewnątrz ze względu na fizyczne, trwałe połączenie uzwojeń transformatora. Składowa zerowa trzeciej harmonicznej zamyka się wewnątrz uzwojeń połączonych w trójkąt. Dla łatwej i przejrzystej budowy modeli cyfrowych powstało bardzo wiele języków i programów komputerowych, np. PCNAP, SPICE, FAT, FORTRAN, MATHEMATICA. Na potrzeby artykułu wykorzystano program Simulink z pakietu Matlab. Simulink jest bardzo dobrym narzędziem symulacji układów dynamicznych. Posiada on graficzny interfejs użytkownika, w którym badane układy modeluje się w postaci schematów blokowych, [5]. Simulink jest zintegrowany z Matlabem, dzięki czemu użytkownik może korzystać z funkcji, bądź bibliotek w nim zawartych. Powyższe zalety sprawiły że Simulink w ciągu ostatnich kilku lat stał się jednym z najczęściej używanych narzędzi symulacji układów dynamicznych zarówno na uczelniach, jak i w przemyśle, cały czas jest rozwijany i rozbudowywany, [5]. Model matematyczny W celu budowy modelu matematycznego należy przyjąć pewne założenia. Zakładając uproszczenia pomija się część zjawisk fizycznych, uwzględniając jedynie te parametry, które mają decydujący wpływ na otrzymywane wyniki. Praktycznie niemożliwe jest idealne odwzorowanie obiektu rzeczywistego, ze względu na mnogość występujących zjawisk. Uwzględniając większą liczbę parametrów, jak np. wielkość sprzężenia pojemnościowego, można dokładniej odwzorować modelowany obiekt, jednak model staje się bardziej złożony, co powoduje znaczne wydłużenie czasu obliczeń. Z punktu widzenia EAZ interesują nas przebiegi charakteryzujące się stosunkowo niskimi częstotliwościami. Zatem przyjmując nawet szereg uproszczeń uzyskiwane różnice w wynikach są praktycznie niezauważalne. Następnym krokiem na drodze do otrzymania cyfrowego modelu jest przyjęcie schematu zastępczego spełniającego przyjęte założenia. Przyjęty, na podstawie [2], schemat zastępczy przedstawiono na rysunku 1. Transformator posiada grupę połączeń Ynd11. Transformator zamodelowano za pomocą trzech obwodów: elektrycznego uzwojeń pierwotnych, magnetycznego, elektrycznego uzwojeń wtórnych. Układy elektryczne reprezentowane są za pomocą indukcyjności rozproszeń i rezystancji, poszczególnych uzwojeń. Obwód magnetyczny tworzą elementy elektryczne, odwzorowujące straty w żelazie, zarówno histerezowe jak i na prądy wirowe, oraz indukcyjności magnesowania rdzenia i rozproszenia jarzmo-kadź. Do matematycznego zapisu przejścia z obwodów magnetycznych do elektrycznych wykorzystano definicję żyratora. Wszystkie obwody transformatora są sprzężone ze sobą, za pomocą idealnych przekładni. 46 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 3397, R. 83 NR 12/27
Rys.1. Schemat zastępczy transformatora elektroenergetycznego Oprócz transformatora zamodelowano także sieć zasilającą, oraz odbiornik trójfazowy. Elementy te pozwolą na badanie modelu transformatora pracującego w warunkach bardziej zbliżonych do rzeczywistych. Na podstawie przyjętych schematów zastępczych stworzono szereg równań, tworząc opis matematyczny transformatora. Równania te w dalszym etapie pracy, wykorzystano do zbudowania modelu cyfrowego w programie Simulink z pakietu Matlab. Opisywane zależności zostały szczegółowo przedstawione w [4], warto jednak zwrócić uwagę na sposób uzyskania prądu magnesującego. Mianowicie mając wyznaczone strumienie możemy uzyskać prądy magnesujące poszczególnych faz z aprosymujących, według zależności 1. (1) i = f ψ ) μn gdzie: i µn, - wartości chwilowe prądów płynących przez indukcyjności magnesowania w n-tych fazach. Tworząc model transformatora należy dokonać parametryzacji właściwości magnetycznych blach transformatorowych, czyli aproksymacji charakterystyki magnesowania rdzenia. Zależność ta jest nieliniowa, a jak wiadomo zjawisko udaru prądu magnesującego występuje wskutek nieliniowości tej krzywej, a co za tym idzie zjawiska nasycenia. W przedstawionym modelu cyfrowym transformatora nie można tego faktu pominąć. Ogromna złożoność zjawisk magnetycznych powoduje, iż dosyć dokładne odtworzenie krzywej, po której odbywa się proces magnesowania, jest trudne. Jednak nie zawsze jest konieczne, często wystarcza dosyć zgrubne przybliżenie, [6] co również sprawdzono, testując różne metody i funkcje aproksymujące. W literaturze przedstawionych jest wiele ( n metod służących aproksymacji krzywej magnesowania. Najczęściej przybliżenia dokonuje się za pomocą krzywej bezhisterezowej (jest to symetralna granicznej pętli histerezy), lub krzywej podstawowej (jest to krzywa pierwszego magnesowania), [6]. Ponieważ w przedstawionym modelu istnieje potrzeba uzyskania prądów iμ 1, iμ 2, iμ 3 (zależość 1) używamy i aproksymujemy zależność H=f(B), a nie jak to zwykle jest przedstawiane B=f(H). Na potrzeby przedstawionego modelu stworzono różne rodzaje aproksymacji krzywej magnesowania, między innymi za pomocą sieci neuronowej oraz przy użyciu funkcji sklejanych. Na potrzeby niniejszego opracowania wykonano trzy aproksymacje, gdyż ogólnie wiadomo iż ma ona bardzo duży wpływ na otrzymywane wyniki. Ponadto przebadano również wpływ aproksymacji na kształt otrzymywanych przebiegów. Model symulacyjny Bazując na przedstawionym modelu matematycznym oraz korzystając z programu Simulink z pakietu Matlab, stworzono model symulacyjny transformatora przedstawiony na rysunku 2. Model symulacyjny transformatora zbudowano za pomocą podstawowych bloków funkcyjnych dostępnych w programie Simulink. Na samym początku jako wartość wejściową mamy napięcia zasilania, są to bloki Sine Wave generujące sinusoidy o zadanej amplitudzie, częstotliwości i fazie. Rozwijając model zamiast idealnych źródeł napięcia wstawiono model sieci zasilającej. Następnie mamy trzy identyczne pętle, będące częścią modelu odpowiadającą uzwojeniom pierwotnym. PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 3397, R. 83 NR 12/27 47
Rys.2. Model symulacyjny transformatora elektroenergetycznego W pętlach tych dokonano całkowania otrzymując prądy fazowe, następnie mnożąc te prądy przez rezystancję uzwojeń otrzymano spadek napięcia z którym powrócono na początek pętli Następnie sumując wszystkie trzy prądy fazowe i mnożąc je przez rezystancję uziemienia uzyskano spadek napięcia na rezystancji poprzez którą uziemiony jest punkt neutralny transformatora. Z uzyskanym napięciem powrócono do węzłów sumacyjnych pętli odpowiadających uzwojeniom pierwotnym. W dalszej części mamy kolejne trzy pętle, będące odzwierciedleniem części magnetycznej modelu. W pętlach tych zawarta jest aproksymacja charakterystyki magnesowania, bloki imi=f(psi). Mnożąc uzyskane prądy przez rezystancję odwzorowującą straty w żelazie uzyskano spadki napięcia, które są równe napięciom na przekładniach idealnych. Napięcia te są zaś pochodnymi strumienia, całkując je uzyskano strumień. Strumień wchodzi do bloków przybliżających krzywą magnesowania, za jego pośrednictwem uzyskano prądy magnesujące poszczególnych fazach, po czym powrócono z nimi do węzła sumującego Sumując wszystkie trzy napięcia na przekładniach idealnych, dzieląc je przez indukcyjność rozproszenia jarzmo-kadź i całkując otrzymano prąd płynący przez indukcyjność rozproszenia jarzmo-kadź. Ostatnie pętle reprezentują uzwojenie wtórne w stanie jałowym, istnieje jednak, tak jak to zostało wcześniej wspomniane, możliwość wstawienia w to miejsce wykonanego modelu obciążenia. Podczas symulacji przestawionego modelu została użyta metoda Ode23tb co w wydatny sposób skróciło czas obliczeń, natomiast różnice w dokładności otrzymywanych są pomijalnie małe. Ode23tb jest implementacją metody TR-BDF2, będącej połączeniem niejawnej metody trapezów z dwukrokową metodą wstecznego różniczkowania rzędu 2. Analiza porównawcza Dysponując gotowym modelem transformatora przeprowadzono symulacje w celu analizy porównawczej wyników. Nie mając dostępu do dużego, jednocześnie drogiego transformatora energetycznego badania fizyczne przeprowadzono na mniejszej, dostępnej jednostce. Przedstawiony model cyfrowy jest na tyle uniwersalny, iż można wstawić parametry schematu zastępczego dowolnej wielkości transformatora. Przyjęto następujące założenie, iż jeśli wyniki z modelu symulacyjnego pokryją się z wynikami z rzeczywistego modelu fizycznego, to będą one również prawidłowe dla dużego transformatora energetycznego. Następnie po wykonaniu symulacji oczywiście zweryfikowano to założenie, porównując uzyskane przebiegi z modelu cyfrowego z rzeczywistymi przebiegami zarejestrowanymi przez rejestrator zakłóceń BEN. Na rysunkach od nr 3 do 8 zostały przedstawione przykładowe wyniki udarowych prądów magnesowania. Następnie zostały one poddane analizie zarówno jakościowej jak i ilościowej. 5 4 3 2 1 2 4 6 8-1 t [ms] -3-4 -5 i [A] Rys. 3. Przebiegi prądów udarowych, zarejestrowane Rys. 4. Przebiegi prądów udarowych, otrzymane w wyniku symulacji (odpowiadające przebiegom z rys. 3) il3 48 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 3397, R. 83 NR 12/27
3 i [A] 2 1 2 4 6 8-1 t [ms] -3-4 -5 il3 6 i [A] 5 4 3 2 1-1 2 4 6 t [m8 s] -3-4 -5-6 il3 Rys. 5. Przebiegi prądów udarowych, zarejestrowane Rys. 7. Przebiegi prądów udarowych, zarejestrowane Rys. 6. Przebiegi prądów udarowych, otrzymane w wyniku symulacji (odpowiadające przebiegom z rys. 5) Analizując przedstawione wykresy, można zauważyć że ogólny kształt przebiegów zarejestrowanych i symulowanych, jest bardzo zbliżony. Przyglądając się dokładniej widać że rzeczywiste są bardziej poszarpane, oraz iż szybciej zanika w nich składowa stała. Biorąc pod uwagę fakt, że rejestracja była wykonywana przy pomocy cęgów Dietz a, które w dużym stopniu tłumią składową stałą, możemy przyjąć założenie iż piki udarów miałyby większą amplitudę, natomiast części przebiegów między poszczególnymi pikami, zbliżyłyby się do zera. Gdyby pomiary były wykonywane za pomocą aparatury wiernie przenoszącej składową stałą, prawdopodobnie przebiegi byłyby jeszcze bardziej zbliżone do otrzymywanych z symulacji. Ewentualnie można by również wykonać badania symulacyjne z uwzględnieniem modelu cęgów Dietz a. Analizując widma amplitudowe stwierdzono iż poszczególne harmoniczne zgadzają się ze sobą z tolerancją do kilkunastu procent, z wykluczeniem składowej stałej (słabo przenoszona prze cęgi Dietz a). Biorąc pod uwagę fakt że badane przebiegi były próbkowane co,4ms (rzadkie próbkowanie podnosi błąd FFT), można powiedzieć że jest to dość dobry wynik. Dokonano również porównania przebiegów uzyskiwanych z przedstawionego modelu oraz gotowego modelu transformatora zawartego w programie Simulink. Następnie porównano otrzymywane z przedstawionego modelu przebiegi z udarami rzeczywistego transformatora energetycznego. Na rysunkach 9 i 1, zostały przed- przebiegi prądów udarowych, zarejestrowane stawione przez rejestrator zakłóceń BEN. Rys. 8. Przebiegi prądów udarowych, otrzymane w wyniku symulacji (odpowiadające przebiegom z rys. 7) Rys.9. Przebiegi prądu udarowego, uzyskany za pomocą rejestratora BEN Po dokładnej analizie ich kształtów, zauważono iż otrzymano wyniki praktycznie pokrywające się z tymi zarejestrowanymi przez BEN. Wynika to z faktu, iż obwody pomiarowe rejestratora, znacznie lepiej przenoszą składową stałą niż użyte do badania modelu fizycznego cęgi Dietz a. Tak więc można stwierdzić, iż pomimo wprowadzenia dużej liczby założeń upraszczających podczas budowy modelu, odzwierciedla on obiekt rzeczywisty w bardzo dużym stopniu. Porównując przebiegi jakościowo zauważono te same cechy charakterystyczne. PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 3397, R. 83 NR 12/27 49
Rys.1. Przebiegi prądu udarowego, uzyskany za pomocą rejestratora BEN Wnioski Przedstawiony model jest bardzo dobry zarówno do celów dydaktycznych, jak i badawczych. Wykorzystując ten model można symulować zarówno małe jak i duże transformatory, trój lub pięciokolumnowe, z uziemionym bądź nie punktem gwiazdowym. Jest on bardzo uniwersalny, a jednocześnie zapewnia dosyć dokładne odwzorowanie obiektu rzeczywistego, znacznie lepsze niż dostępne gotowe modele. Po przeprowadzeniu wnikliwych badań porównawczych modelu zawartego w programie Simulink z przedstawionym można z całą stanowczością potwierdzić konkluzję zawartą w artykule [1]: Model zawarty w programie Simulink nie jest zadowalający do badań związanych z elektroenergetycznym systemem przesyłowym, gdy wymagana jest duża dokładność otrzymywanych wyników. Porównując wyniki symulacji z przebiegami zarejestrowanymi przy pomocy oscyloskopu z modelu fizycznego można stwierdzić iż wyniki pokrywają się z bardzo dużym przybliżeniem, zauważalne są te same charakterystyczne przegięcia, uwypuklenia krzywych. Jedyną znaczącą różnicę stanowi składowa stała, jej zawartość jest znacznie większa w przebiegach z symulacji niż zarejestrowanych. Wynika to z faktu, iż do pomiarów użyto cęgów Dietz a, które jak się okazało w znacznym stopniu tłumią składową stałą. W zarejestrowanych przebiegach duża wartość składowej stałej występuje w pierwszym okresie, następnie szybko zanika, w wynikach symulacji zanikanie to jest znacznie wolniejsze. W rzeczywistości składowa stała nie zanika tak szybko, czego potwierdzeniem są załączone przebiegi, zarejestrowane przy pomocy profesjonalnego sprzętu. Rzeczywiste udary prądu magnesującego zapisane przez rejestrator zakłóceń BEN nie wykazują się tym zjawiskiem. Porównując te wyniki, z uzyskanymi w procesie symulacji zauważono iż praktycznie się pokrywają. Zauważalne jest także ciekawe zjawisko, mianowicie wchodząc głębiej w nasycenie, szybciej z niego wychodzimy. Zaobserwowano również, iż jedynie składowa zerowa trzeciej harmonicznej zamyka się wewnątrz uzwojeń połączonych w trójkąt. Natomiast składowa zgodna i przeciwna występują w niewielkim procencie na zaciskach wyjściowych transformatora. Przedstawiony model symulacyjny daje także większe możliwości poznawcze, niż w przypadku badań fizycznych. Mianowicie możemy dokonać pomiarów trzeciej harmonicznej prądu, bezpośrednio w uzwojeniu połączonym w trójkąt, co w obiekcie rzeczywistym nie jest możliwe z zewnątrz. LITERATURA [1] O. Hoholyuk, P.Stakhiv: Mathematical Models of Three-Phase Power Autotransformer and Transformer in MATLAB/SIMULINK Environment Przegląd Elektrotechniczny 1/23r. [2] A.Magdziarz and Z.Zagan: Mathematical Simulation Model off Power Transformer for Electrical Power System Protective Schemes System Modeling and Optimization Proceeding of 12 th IFIP Conference Budapest, Hungary, September 2-6 1985 ISBN 3-54-16854- Springer, Berlin Heidelberg, New York. [3] W. M yrcha: Wpływ charakterystyki magnesowania blachy rdzenia transformatora na działanie zabezpieczenia różnicowego. Praca doktorska, WPW, Warszawa 1995 [4] Ł.Nogal, Ł.Sapuła Symulacyjny model cyfrowy transformatora elektroenergetycznego. Praca dyplomowa, Warszawa 26 [5] Pomoc programu Simulink z pakietu Matlab [6] A. Wiszniewski Przekładniki w energetyce WNT, Warszawa 1982 Autorzy: dr inż. Andrzej Magdziarz, Politechnika Warszawska, Instytut Elektroenergetyki, -662 Warszawa, ul. Koszykowa 75, Gmach Mechaniki, E-mail: Andrzej.Magdziarz@ien.pw.edu.pl mgr inż. Łukasz Nogal, Politechnika Warszawska, Instytut Elektroenergetyki, -662 Warszawa, ul. Koszykowa 75, Gmach Mechaniki, E-mail: Lukasz.Nogal@ien.pw.edu.pl 5 PRZEGLĄD ELEKTROTECHNICZNY, ISSN 3397, R. 83 NR 12/27