Zbigniew J. Jakubowski and Anna Šazi«ska

Zbigniew J. Jakubowski and Anna Šazi«ska Department of Nonlinear Analysis Faculty of Mathematics and Computer Science University of Šód¹ Banacha 22, PL-90-238 Šód¹ e-mails: zjakub@math.uni.lodz.pl lazinska@math.uni.lodz.pl AN EXAMPLE OF A BIVALENT HOLOMORPHIC FUNCTION In many problems of the geometric function theory for holomorphic functions the problem of the starlikeness or the convexity of images of circles or discs is considered under the assumption that the functions are univalent. In this paper we present some observations on the geometric properties of images of circles with the centre 0 under a selected bivalent function. This simple example allows us to see some dierences between this kind of properties for univalent functions and for multivalent functions. Keywords and phrases: holomorphic functions, bivalent functions, starlikness, convexity PEWIEN PRZYKŠAD DWULISTNEJ FUNKCJI HOLOMORFICZNEJ W wielu zagadnieniach geometrycznej teorii funkcji holomorcznych problem gwia¹dzisto±ci lub wypukªo±ci obrazów okregów, czy te» kóª, jest rozwa»any przy zaªo»eniu jednolistno±ci odwzorowania. W pracy przedstawiono pewne uwagi o geometrycznych wªasno±ciach obrazów okregów o ±rodku w punkcie 0 przy odwzorowaniu wybrana funkcja dwulistna. Ten prosty przykªad pozwala zaobserwowa pewne ró»nice miedzy tego typu wªasno±ciami funkcji jednolistnych i funkcji wielolistnych. Sªowa kluczowe: funkcje holomorczne, funkcje dwulistne, gwia¹dzisto±, wypukªo±

Ikkei Hotta and Andrzej Michalski Department of Mathematics Tokyo Institute of Technology 2-12-1 Ookayama, Meguro-ku Tokyo 152-8551 Japan e-mail: ikkeihotta@gmail.com Department of Complex Analysis The John Paul II Catholic University of Lublin Konstantynów 1H, PL-20-950 Lublin e-mail: amichal@kul.lublin.pl LOCALLY ONE-TO-ONE HARMONIC FUNCTIONS WITH STARLIKE ANALYTIC PART Let L H denote the set of all normalized locally one-to-one and sense-preserving harmonic functions in the unit disc. It is well-known that every complex-valued harmonic function in the unit disc can be uniquely represented as f = h + g, where h and g are analytic in. In particular the decomposition formula holds true for functions of the class L H. For a xed analytic function h, an interesting problem arises - to describe all functions g, such that f belongs to L H. The case when f L H and h is the identity mapping was considered in [3]. More general results are given in [4], where f L H and h is a convex analytic mapping. The focus of our present research is to characterize the set of all functions f L H having starlike analytic part h. In this paper, we provide coecient, distortion and growth estimates of g. We also give growth and Jacobian estimates of f. Keywords and phrases: harmonic mappings, starlike conformal mappings LOKALNIE RÓ NOWARTO CIOWE FUNKCJE HARMONICZNE Z GWIA DZISTA CZE CIA ANALITYCZNA Niech L H oznacza zbiór wszystkich unormowanych, lokalnie ró»nowarto±ciowych i zachowujacych orientacje funkcji harmonicznych w kole jednostkowym. Dobrze znany jest fakt,»e ka»da funkcja harmoniczna okre±lona w kole jednostkowym o warto±ciach zespolonych mo»e by jednoznacznie przedstawiona w postaci f = h + g, gdzie h i g sa analityczne w. W szczególno±ci powy»sza reprezentacja jest sªuszna dla funkcji z klasy L H. Dla dowolnie ustalonej funkcji analitycznej h, jednym z ciekawych problemów jest opisanie wszystkich funkcji g takich,»e f nale»y do L H. Przypadek, gdy f L H i h jest odwzorowaniem identyczno±ciowym, byª rozwa»any w [3]. Bardziej ogólne wyniki zostaªy przedstawione w [4], gdzie f L H i h jest wypukªa funkcja analityczna. Celem obecnie prowadzonych przez nas bada«jest charakteryzacja zbioru funkcji f L H, których cze± analityczna h jest gwia¹dzista. W niniejszej pracy prezentujemy oszacowania wspóªczynników, znieksztaªcenia oraz wzrostu funkcji g, a tak»e oszacowania wzrostu i Jakobianu funkcji f. Sªowa kluczowe: odwzorowania harmoniczne, gwia¹dziste odwzorowania konforemne

Oliwia Chojnacka and Adam Lecko Department of Analysis and Dierential Equations University of Warmia and Mazury Sªoneczna 54, PL-10-710 Olsztyn e-mail: alecko@matman.uwm.edu.pl ON SOME DIFFERENTIAL SUBORDINATION OF HARMONIC MEAN In this paper, we study some rst order dierential subordination related to the harmonic mean, in analogy to the dierential subordination related to the arithmetic and geometric mean. Keywords and phrases: dierential subordination, arithmetic mean, geometric mean, harmonic mean, convex function O PEWNYM PODPORZA DKOWANIU RÓ NICZKOWYM REDNIEJ HARMONICZNEJ Dla t [0, 1] i a, b C takich,»e b + t(b a) 0, niech H t(a, b) := ab b + t(a b) oznacza ±rednia harmoniczna liczb a i b. W pracy tej badane jest ró»niczkowe podporzadkowanie nastepujacej postaci: H β (p(z), p(z) + zp (z)ψ(z)) h(z) p(z) h(z), z D, gdzie β [0, 1], za± p, h i Ψ speªniaja potrzebne zaªo»enia. Sªowa kluczowe: podporzadkowanie ró»niczkowe, ±rednia arytmetyczna, ±rednia geometryczna, ±rednia harmoniczna, funkcja wypukªa

Tomasz Kapitaniak, Anna Karmazyn, Przemys law Perlikowski, and Andrzej Stefański Division of Dynamics Technical University of Lódź Stefanowskiego 1/15, PL-90-924 Lódź, e-mail: anna.karmazyn@dokt.p.lodz.pl SYNCHRONIZATION IN COUPLED MECHANICAL OSCILLATORS The purpose of this paper is to present that coupled mechanical oscillator can be synchronised. Moreover, for identical pendulums as well as for non-identical pendulums synchronization can be observed. In particular, complete synchronization is obtained in coupled identical mechanical oscillators, and imperfect complete synchronization is obtained in coupled non-identical mechanical oscillators. Keywords and phrases: complete synchronizastion, imperfect complete synchronizastion, synchronization in phase, synchronization in anti-phase, Lyapunov exponents, bifurcation diagram, Poincaré map SYNCHRONIZACJA SPRZȨŻONYCH OSCYLATORÓW MECHANICZNYCH Celem niniejszego artyku lu jest przedstawienie synchronizacji w uk ladzie sprzȩżonych oscylatorów mechanicznych. W przypadku identycznych wahade l synchronizacja w fazie i w antyfazie może być zaobserwowana. Ponadto, pe ln a synchronizacjȩ uzyskano dla uk ladu identycznych wahade l po l aczonych z oscylatorem mechanicznym a niedoskona l a pe ln a synchronizacjȩ uzyskano w rzeczywistym uk ladzie mechanicznym. S lowa kluczowe: synchronizacja kompletna, niedoskona la synchronizacja kompletna, synchronizacja w fazie, synchronizacja w antyfazie, wyk ladniki Lyapunova, wykres bifurkacyjny, mapa Poincarégo

Renata Dªugosz and Piotr Liczberski Institute of Mathematics Šód¹ University of Technology Wólcza«ska 215, PL-90-924 Šód¹ e-mails: renata.dlugosz@p.lodz.pl piliczb@p.lodz.pl NEW PROPERTIES OF BAVRIN'S HOLOMORPHIC FUNCTIONS ON BANACH SPACES The paper concerns properties of complex valued functions which are holomorphic in the unit ball B of a complex Banach space X and full some geometric conditions. Such functions were considered earlier by I. Bavrin [1] and the second author [9]. The above functions can be applied to research some families of locally biholomorphic mappings from B into X. For some families of such functions we present an uniqueness theorem, some embedding theorems and we solve a few extremal problems on these families. Keywords and phrases: holomorphic functions in Banach spaces, Bavrins families, uniqueness theorems, embeding theorems, growth theorems, bounds for polynomials of functions development on series of homogeneous polynomials NOWE WŠASNO CI HOLOMORFICZNYCH BAVRINA W PRZESTRZENIACH BANACHA Praca dotyczy wªasno±ci funkcji zespolonych, które s holomorczne w kuli jednostkowej B zespolonej przestrzeni Banacha X oraz speªniaj pewne warunki geometryczne. Tego typu funkcje byªy rozwa»ane wcze±niej przez I. Bavrina oraz drugiego autora. Powy»sze funkcje mo»na wykorzysta do badania pewnych rodzin odwzorowa«biholomorcznych kuli B na obszary w X. W pracy podane s, dla takich rodzin funkcji, twierdzenia o jednoznaczno±ci, twierdzenia o wªo»eniu oraz rozwi zane zostaªy pewne problemy ekstremalne. Sªowa kluczowe: funkcje holomorczne w przestrzeniach Banacha, rodziny Bavrinowskie, twierdzenia o jednoznaczno±ci, twierdzenia o wªo»eniu, oszacowania w rozwini ciach funkcji w szereg wielomianów jednorodnych

Marek Bienias, Szymon Gªab, and Wªadysªaw Wilczy«ski Institute of Mathematics Šód¹ University of Technology Wólcza«ska 215, 93-005 Šód¹ e-mail: marek.bienias88@gmail.com szymon.glab@p.lodz.pl Department of Real Functions, Faculty of Mathematics University of Šód¹ Banacha 22, 90-238, Šód¹ e-mail: wwil@uni.lodz.pl CARDINALITY OF SETS OF ρ-upper AND ρ-lower CONTINUOUS FUNCTIONS We prove that the cardinality of the set of all 1-upper continuous functions f : (0, 1) R equals 2 c. In particular, there is a non-borel 1-upper continuous function. We also prove that there are 2 c ρ-lower continuous functions for ρ (0, 1 2 ). Keywords and phrases: Lebesgue density, path continuity, continuous functions MOCE ZBIORÓW FUNKCJI ρ-górnie I ρ-dolnie CIA GŠYCH W pracy pokazujemy,»e istnieje 2 c funkcji 1-górnie ciagªych. W szczególno±ci dowodzi to istnienie nieborelowskiej funkcji, która jest 1-górnie ciagªa. W drugiej cze±ci pracy pokazujemy,»e dla ka»dego ρ (0, 1 2 ), zbiór funkcji ρ-dolnie ciagªych jest mocy 2c. Sªowa kluczowe: gesto± Lebesgue'a, ciagªo± ±cie»kowa, ciagªo± funkcji

Filip Strobin Institute of Mathematics Jan Kochanowski University in Kielce Kielce, and Institute of Mathematics Šód¹ University of Technology Šód¹, e-mail: lip.strobin@p.lodz.pl AN APPLICATION OF A FIXED POINT THEOREM FOR MULTIFUNCTIONS IN A PROBLEM OF CONNECTEDNESS OF ATTRACTORS OF FAMILIES OF IFSs Let X be a Banach space and F, G be iterated function systems (IFSs) on X. We apply a standard xed point theorem for multifunctions to study the size of the set C F,G := {w X : the attractor of the IFS F G w is connected}, where G w := {g w : g G} and g w(x) := g(x) + w, x X. The paper is a continuation of recent studies on similar (but more restrictive) problems undertaken by Mihail, Miculescu, Swaczyna and the author. Keywords and phrases: fractals, iterated function systems, xed points, Baire category, multifunctions ZASTOSOWANIE TWIERDZENIA O PUNKCIE STAŠYM DLA MULTIFUNKCJI W PROBLEMIE SPÓJNO CI ATRAKTORÓW RODZIN IFSÓW Niech X bedzie przestrzenia Banacha, a F, G niech beda iterowanymi ukªadami odwzorowa«na X. W artykule wykorzystujemy klasyczne twierdzenie o punkcie staªym dla multifunkcji do badania wielko±ci zbioru C F,G := {w X : atraktor generowany przez ukªad F G w jest spójny}, gdzie G w := {g w : g G}, a g w(x) := g(x) + w dla x X. Artykuª jest kontynuacja bada«prowadzonych przez Mihaila i Miculescu oraz Swaczyne i autora. Sªowa kluczowe: fraktale, ukªady funkcji iterowanych, punkty staªe, kategorie Baire'a, wielofunkcje

Anna Šazi«ska Department of Nonlinear Analysis Faculty of Mathematics and Computer Science University of Šód¹ Banacha 22, PL-90-238 Šód¹ e-mail: lazinska@math.uni.lodz.pl SOME REMARKS ON THE ORDER OF STARLIKENESS IN NEIGHBOURHOODS OF HARMONIC FUNCTIONS In 1984 J. Clunie and T. Sheil-Small published their studies of some geometric properties of harmonic univalent functions that are sense-preserving in the unit disc. Several authors examined the inuence of some coecient conditions on geometric properties of these functions. J. M. Jahangiri, H. Silverman and Evelyn M. Silvia published (2007) a theorem concerning the starlikeness of order β of harmonic functions in δ-neighbourhoods ([6], Th. 2.5). In the paper we would like to present a counterexample to this statement and to give the revised version of the theorem. Keywords and phrases: harmonic functions, neighbourhood of a function, order of starlikeness, coecient conditions PEWNE UWAGI O RZEDZIE GWIA DZISTO CI W OTOCZENIACH FUNKCJI HARMONICZNYCH J. Clunie i T. Sheil-Small w 1984 r. opublikowali prace dotyczaca pewnych geometrycznych wªasno±ci jednolistnych funkcji harmonicznych, które zachowuja orientacje w kole jednostkowym. Wielu autorów badaªo wpªyw warunków wspóªczynnikowych na geometryczne wªasno±ci tych funkcji. W 2007 r. J. M. Jahangiri, H. Silverman i Evelyn M. Silvia opublikowali twierdzenie dotyczace gwia¹dzisto±ci rzedu β funkcji harmonicznych w δ- otoczeniach ([6], Th. 2.5). W pracy przedstawimy kontrprzykªad do tego stwierdzenia i podamy poprawiona wersje twierdzenia. Sªowa kluczowe: funkcje harmoniczne, otoczenie funkcji, rzad gwia¹dzisto±ci, warunki wspóªczynnikowe

Maªgorzata Nowak-Kepczyk The State School of Higher Education in Cheªm 54 Pocztowa Street, PL-22-100 Cheªm e-mail: gosianmk@gmail.com AN ALGEBRA GOVERNING REDUCTION OF QUATERNARY STRUCTURES TO TERNARY STRUCTURES I REDUCTIONS OF QUATERNARY STRUCTURES TO TERNARY STRUCTURES Reduction of quaternary structures to ternary structures is studied from the point of view of the governing algebra. Keywords and phrases: noncommutative Galois extensions, nite dimensional algebras, associative rings and algebras, matrix rings REDUKCJA STRUKTUR TYPU KWATERNARNEGO DO STRUKTUR TYPU TERNARNEGO I Rozwa»ane sa redukcje struktur typu kwaternarnego do struktur typu ternarnego z punktu widzenia odpowiadajacej im algebry. Sªowa kluczowe: nieprzemienne przedªu»enia Galois, algebry sko«czenie wymiarowe, przemienne pier±cienie i algebry, pier±cienie macierzy

Dominika Klimek-Smet and Andrzej Michalski Department of Applied Mathematics Maria Curie-Skªodowska University Pl. Marii Curie-Skªodowskiej 5 PL-20-031 Lublin Department of Complex Analysis The John Paul II Catholic University of Lublin Konstantynów 1H, PL-20-950 Lublin e-mail: amichal@kul.lublin.pl HARMONIC MAPPINGS GENERATED BY CONVEX CONFORMAL MAPPINGS Let S H be the class of normalized univalent and sense-preserving harmonic mappings in the unit disc introduced by Clunie and Sheil-Small. It is well-known that every f S H can be uniquely represented as f = h + g, where h and g are analytic in. We introduce a subclass of S H consisting of all functions f S H, such that h + εg is a convex function for some ε, where is the closed unit disc. In fact, the condition dening the subclass provides an eective method for producing univalent sense-preserving harmonic functions using convex conformal mappings. Hence we nd it very interesting to examine this subclass. We establish sharp coecient and growth estimates, which are the main results of this paper. Keywords and phrases: harmonic mappings, convex conformal mappings ODWZOROWANIA HARMONICZNE GENEROWANE PRZEZ WYPUKŠE ODWZOROWANIA KONFOREMNE Niech S H oznacza klase wszystkich unormowanych, ró»nowarto±ciowych i zachowujacych orientacje odwzorowa«harmonicznych w kole jednostkowym wprowadzona przez Cluniego i Sheil-Smalla. Dobrze znany jest fakt,»e ka»da funkcja harmoniczna f S H mo»e by jednoznacznie przedstawiona w postaci f = h + g, gdzie h i g sa analityczne w. Wprowadzamy podklase klasy S H skªadajaca sie ze wszystkich funkcji f S H takich,»e h + εg jest odwzorowaniem wypukªym dla pewnego ε, gdzie jest domknietym koªem jednostkowym. Okazuje sie,»e powy»szy warunek pozwala efektywnie skonstruowa ró»nowarto±ciowe i zachowujace orientacje odwzorowania harmoniczne przy pomocy wypukªych odwzorowa«konforemnych, co skªoniªo nas do zbadania tak zdeniowanej podklasy klasy S H. Dokªadne oszacowania wspóªczynników i wzrostu funkcji to gªówne wyniki prezentowane w niniejszej pracy. Sªowa kluczowe: odwzorowania harmoniczne generowane przez wypukªe odwzorowania konforemne