BIULETYN PAŃSTWOWEGO INSTYTUTU GEOLOGICZNEGO 442: 95 100, 2010 R.

BIULETYN PAŃSTWOWEGO INSTYTUTU GEOLOGICZNEGO 442: 95 100, 2010 R. PROBLEM DYSKRETYZACJI PIONOWEJ TRÓJWYMIAROWYCH MODELI PRZEPŁYWU WÓD PODZIEMNYCH NA OBSZARACH O BARDZO ZRÓŻNICOWANEJ HIPSOMETRII NA PRZYKŁADZIE MODELU WYKONANEGO W REJONIE ŚWIERADOWA-ZDROJU I CZERNIAWY-ZDROJU A PROBLEM OF THE VERTICAL DISCRETIZATION OF THE 3D GROUNDWATER FLOW MODELS IN AREAS WITH VERY DIVERSIFIED HYPSOMETRY THE ŚWIERADÓW-ZDRÓJ AND CZERNIAWA-ZDRÓJ CASE STUDY JACEK KAPUŚCIŃSKI 1, LECH ŚMIETAŃSKI 2 Abstrakt. W artykule przedstawiono prawidłowy, zdaniem autorów, sposób pionowej dyskretyzacji domeny trójwymiarowego modelu przepływu wód podziemnych. Zagadnienie to dotyczy modeli przepływu opartych na metodzie różnic skończonych. Wykazano, że procedura pionowej dyskretyzacji w graficznych nakładkach programu Modflow może generować podział domeny modelu na bloki sprzeczny z procesem numerycznego rozwiązywania równania filtracji. Sprzeczność ta jest szczególnie jaskrawa w warunkach znacznych deniwelacji powierzchni terenu na obszarze domeny modelu i skutkuje błędnie wykonanymi obliczeniami numerycznymi. Słowa kluczowe: model matematyczny, dyskretyzacja pionowa, siatka dyskretyzacyjna, metoda różnic skończonych. Abstract. The authors of the paper present how to make the correct vertical discretezation of the 3D groundwater flow model domain in the areas with the strongly diversified hypsometry. The presented problem applies to the finite difference method. The authors show that the vertical discretization procedure implemented in the Modflow graphic environment can generate the vertical partition of the model domain which is inconsistent with the process of the numerical solution of the groundwater flow equation. This inconsistency is clearly visible in the case of the strongly diversified terrain hypsometry within the model domain area and results in numerical calculations errors. Key words: mathematical model, vertical discretization, difference mesh, finite difference method. WSTĘP Budowa matematycznego modelu przepływu wód podziemnych jest procesem złożonym, którego istotnym elementem jest dyskretyzacja domeny modelu. W popularnej metodzie różnic skończonych w wyniku dyskretyzacji następuje podział domeny na tzw. bloki, będące geometrycznie graniastosłupami o podstawie prostokątnej. Oparty na tej metodzie program Modflow, powszechnie stosowany w hydrogeologii, rozwiązuje układ równań, w którym każde równanie wyraża bilans przepływu wody pomiędzy danym blokiem obliczeniowym a blokami do niego przyległymi. Przykładowo, składnikiem bilansu przepływu wody w bloku o dyskretnych współrzędnych i, j, k 1 Przedsiębiorstwo Geologiczne POLGEOL, ul. Berezyńska 39, 03-908 Warszawa; e-mail: kapuscinski2002@yahoo.com 2 Państwowy Instytut Geologiczny-Państwowy Instytut Badawczy, ul. Rakowiecka 4, 00-950 Warszawa; e-mail: lech.smietanski@pgi.gov.pl

96 Jacek Kapuściński, Lech Śmietański jest przepływ poziomy pomiędzy tym blokiem a blokiem przyległym o współrzędnych i, j-1, k (fig. 1). Współrzędne dyskretne i, j, k to odpowiednio numery wiersza, kolumny i warstwy w trójwymiarowej siatce obliczeniowej, powstałej w procesie dyskretyzacji domeny modelu. Z istoty metody różnic skończonych wynika, że przepływy poziome mogą mieć miejsce tylko pomiędzy blokami należącymi do tej samej warstwy. Otrzymane, po uprzednim zdefiniowaniu warunków brzegowych i wartości parametrów hydrogeologicznych, rozwiązanie układu równań bilansowych wyraża wartości wysokości hydraulicznej w blokach obliczeniowych. Fig. 1. Przepływ pomiędzy blokiem i, j-1, k a blokiem i, j, k (wg McDonald, Harbaugh, 1988) Flow from cell i, j-1, k to cell i, j, k (after McDonald, Harbaugh, 1988) MODEL Autorzy zastosowali program Modflow 2000, funkcjonujący w środowisku graficznym Visual Modflow 4.2, do symulacji ustalonego w czasie przepływu wód podziemnych w masywie skał szczelinowych bloku karkonoskoizerskiego, w rejonie uzdrowisk Świeradów-Zdrój i Czerniawa-Zdrój. Krążenie wód podziemnych odbywa się tu systemem głębokich szczelin tektonicznych oraz w strefie przypowierzchniowej zwietrzeliny. Przedmiotem badań modelowych był płytki system krążenia. Przyjmuje się, że w systemach szczelinowych współczynnik filtracji masywu maleje wraz z głębokością. Na analizowanym obszarze brak jest danych o wartościach tego współczynnika. Na obszarze modelu, o powierzchni 19,2 km 2, występuje znaczne zróżnicowanie hipsometryczne 440 1120 m n.p.m. (fig. 2). Tak duże deniwelacje powodują, że pole prędkości przepływu wód podziemnych charakteryzuje się istnieniem bardzo wyraźnej składowej pionowej, co uzasadnia zastosowanie modelu trójwymiarowego. Jednocześnie wymagane jest uwzględnienie na modelu powierzchni terenu, aby możliwe było odwzorowanie źródeł. Na badanym obszarze wody podziemne płytkiego systemu krążenia eksploatowanie są głównie wzdłuż dolin rzek i potoków studniami gospodarczymi. Cechuje je niewielka zasobność, wynikająca zarówno z małej miąższości utworów wodonośnych, jak i z ich wykształcenia litologicznego (często zaglinione). Zasoby tych studni zależą głównie od opadów atmosferycznych. Mineralizacja ujmowanych wód zwykle nie przekracza 100 mg/l. W wodach płytkiego krążenia czę- Fig. 2. Hipsometria obszaru modelu Hipsometry of the model area

Problem dyskretyzacji pionowej trójwymiarowych modeli przepływu wód podziemnych... 97 Fig. 3. Dwa sposoby dyskretyzacji pionowej w programie Visual Modflow 4.2: podział na warstwy o zmiennej miąższości, w nawiązaniu do hipsometrii terenu (A) oraz podział na warstwy poziome, zmodyfikowane przez powierzchnię terenu (B) Two metods of vertical discretization by the Visual Modflow 4.2: layers according the terrain hipsometry (A) and horizontal layers modified by the terrain surface (B) sto obserwuje się podwyższoną radoczynność (do 30 nci/l), której źródłem jest rozpad promieniotwórczy radu. Niewielka mineralizacja oraz względnie niska temperatura wskazują, że są to wody infiltracyjne, o niebyt długim czasie krążenia. Na podstawie badań izotopowych czas przepływu podziemnego tych wód określono na około 5 lat (Ciężkowski i in., 1996). Wody głębokiego systemu krążenia nasycone są juwenilnym dwutlenkiem węgla, migrującym systemami szczelin tektonicznych. W wielu miejscach pojawiają się one na powierzchni jako szczawy wodorowęglanowo-wapniowo-magnezowe, żelaziste, o zawartości wolnego dwutlenku węgla powyżej 2000 g/dm 3. Dla omawianego obszaru skonstruowano model trójwymiarowy, w którym strefę aktywnej wymiany płytkiego systemu krążenia podzielono na szereg warstw. Środowisko graficzne Visual Modflow 4.2 umożliwia dokonanie dyskretyzacji pionowej na dwa sposoby (fig. 3): podział na warstwy o zmiennej miąższości, w nawiązaniu do zróżnicowania hipsometrycznego terenu, oraz podział na warstwy poziome, zmodyfikowane przez powierzchnię terenu. Pierwszy sposób dyskretyzacji umożliwia proste odwzorowanie zmian wartości współczynnika filtracji wraz z głębokością, drugi znacznie utrudnia budowę modelu, na którym odwzorowywany jest system wodonośny o malejącej z głębokością wartości współczynnika filtracji. Zmiana tej wartości w danej strefie głębokościowej wymaga wówczas zmian w wielu warstwach modelu. Dla dużej liczby bloków obliczeniowych jest to zadanie bardzo czasochłonne, czasem wręcz niewykonalne. W procesie budowy modelu wykonano dyskretyzację pionową stosując pierwszy sposób. W pionie podzielono domenę modelu na 10 warstw. W płaszczyźnie poziomej krok dyskretyzacji wyniósł Δx = Δy = 62,5 m. W programie Visual Modflow 4.2 powierzchnia terenu jest traktowana jako strop pierwszej warstwy i jednocześnie jako strop domeny modelu. Spąg domeny definiuje użytkownik programu. W przedstawionym przykładzie jako spąg przyjęto płaszczyznę o rzędnej 380 m. Przyjęto jednakową dla całego obszaru badań wartość zasilania infiltracyjnego (50 mm/rok) oraz zdefiniowano warunki brzegowe III rodzaju odwzorowujące cieki. Granice zewnętrzne modelu poprowadzono po liniach wyniesień morfologicznych (wododziały) lub po liniach prądu pomiędzy wododziałem a danym ciekiem. Na granicach zewnętrznych przyjęto warunek brzegowy II rodzaju Q = 0. Wynik procesu dyskretyzacji pionowej został przedstawiony na figurze 4, wyeksportowanej z programu Visual Modflow 4.2. Bloki obliczeniowe należące do danej warstwy są poprzesuwane w pionie względem siebie w takim stopniu, że nie ma pomiędzy nimi kontaktu. Przykładowo, w płaszczyźnie przekroju I I najniższy blok z warstwy nr 3 nie ma kontaktu z sąsiednim blokiem z tej samej warstwy, lecz przylega do bloków z warstwy nr 5. Analogicznie najniższy blok z warstwy nr 5 również nie ma fizycznego kontaktu z sąsiednimi blokami należącymi do tej warstwy. Tak wygenerowana trójwymiarowa siatka obliczeniowa zapisywana jest do jednego ze zbiorów danych wejściowych dla programu symulacyjnego Modflow 2000. Program ten, uruchamiany ze środowiska Visual Modflow 4.2, traktuje tymczasem dany blok, należący do określonej warstwy, jako przylegający do bloków sąsiednich, należących do tej samej Fig. 4. Dyskretyzacja pionowa (przekrój I-I ), podział na warstwy wg Visual Modflow 4.2 (fig. 3A) Vertical discretization (cross-section I I ), layers generated by the Visual Modflow 4.2 (Fig. 3A)

98 Jacek Kapuściński, Lech Śmietański Fig. 5. Dyskretyzacja pionowa, podział na warstwy poziome wg Visual Modflow 4.2 (fig. 3B) Vertical discretization, horizontal layers generated by the Visual Modflow 4.2 (Fig. 3B) warstwy, i oblicza m.in. przepływy poziome pomiędzy tymi blokami (fig. 1). Tak więc w procesie obliczeniowym program Modflow 2000 ignoruje rzeczywiste wzajemne położenie bloków obliczeniowych należących do danej warstwy. Powstaje więc sprzeczność pomiędzy dyskretną domeną modelu przygotowaną w środowisku Visual Modflow 4.2 a domeną wykorzystywaną przez program Modflow 2000. Skutkuje to błędnie wykonanymi obliczeniami. Drugi sposób dyskretyzacji pionowej, zastosowany do modelu rejonu Świeradowa i Czerniawy, wykazuje inne błędy. Powiększenie fragmentów tego przekroju (fig. 5) pokazuje, że proces modyfikacji przez powierzchnię terenu siatki dyskretyzacyjnej o poziomo ułożonych warstwach prowadzi do zmniejszenia miąższości warstw. Nie znikają one fizycznie z siatki dyskretyzacyjnej, lecz są zagęszczane do wartości minimalnej przyjętej w programie Visual Modflow 4.2 (domyślnie 0,001 m) i w takiej postaci są wprowadzane do tablicy danych wykorzystywanych w procesie obliczeniowym. Powstaje efekt podobny do tego, który został omówiony dla pierwszego sposobu dyskretyzacji pionowej, w którym poszczególne bloki danej warstwy nie mają ze sobą kontaktu. Jest to sprzeczne z założeniami metody różnic skończonych i również skutkuje błędnymi wynikami obliczeń. Wobec błędów stwierdzonych dla obu omówionych sposobów dyskretyzacji w procesie budowy modelu zastosowano dyskretyzację pionową, w której nie ma wzajemnego poprzesuwania bloków w danej warstwie. Dyskretyzację tę wykonano poza środowiskiem programu Visual Modflow 4.2. Wymagało to stworzenia specjalnego programu, który ingeruje w tablice danych wejściowych dla programu Modflow 2000 i w kilku krokach doprowadza do ich modyfikacji. Generowane są warstwy poziome o stałej miąższości, gdzie powierzchnia terenu nie jest już stropem pierwszej warstwy modelu, choć pozostaje w dalszym ciągu stropem domeny modelu. W tym przypadku powierzchnia terenu ścina warstwy modelu, pozostawiając powyżej bloki nieaktywne (fig. 6). Każdy blok należący do danej warstwy przylega do sąsiednich bloków należących do tej samej warstwy, zgodnie ze schematem przedstawionym na figurze 1. Tym samym nie ma sprzeczności pomiędzy domeną modelu w sensie środowiska Visual Modflow 4.2 a domeną modelu w sensie programu Modflow 2000. Zastosowana metoda umożliwia jednocześnie definiowanie klas wartości współczynnika filtracji stosownie do schematu zakładającego malejącą wraz z głębokością wartość tego współczynnika. Zapewniono tym samym możliwość szybkiego modyfikowania wartości współczynnika filtracji w poszczególnych strefach głębokości, o przebiegu niezależnym od położenia warstw modelu. Wynik symulacji strumienia wód podziemnych dla dyskretyzacji pionowej wykonanej w środowisku graficznym Visual Modflow 4.2 (zgodnie ze schematem na fig. 3A) i dla dyskretyzacji pionowej wykonanej poza tym środowiskiem (schemat na fig. 6) przedstawiono na figurze 7. Widać różnicę pomiędzy obydwoma obliczonymi rozkładami wysokości hydraulicznej. Maksymalna wartość tej różnicy wynosi 3,5 m. Należy podkreślić, że w przypadku dyskretyzacji pionowej wykonanej w środowisku Visual Modflow 4.2 błędy obliczeniowe generowane są w każdym przypadku, niezależnie od skali pionowej deformacji siatki dyskretyzacyjnej. Im bardziej zróżnicowana hipsometrycznie jest powierzchnia terenu, tym deformacje te są większe i wyniki obliczeń bardziej odbiegają od wyników prawidłowych, tj. takich, które uzyskane są dla siatki dyskretyzacyjnej zgodnej z wymogami algorytmu obliczeniowego programu Modflow 2000. Fig. 6. Dyskretyzacja pionowa (przekrój I-I ), podział na warstwy poza środowiskiem Visual Modflow 4.2 Vertical discretization (cross-section I I ), layers generated outside the Visual Modflow 4.2

Problem dyskretyzacji pionowej trójwymiarowych modeli przepływu wód podziemnych... 99 Fig. 7. Obliczony rozkład wysokości hydraulicznej (przekrój I-I ): A podział na warstwy wg Visual Modflow 4.2, B podział na warstwy poza środowiskiem Visual Modflow 4.2 Fig. 7. Calculated distribution of the hydraulic head (cross-section I I ): A for the layers generated by the Visual Modflow 4.2, B for the layers generated outside the Visual Modflow 4.2 PODSUMOWANIE Stosując w procesie modelowania matematycznego przepływu wód podziemnych komercyjne narzędzia programowe wykorzystujące metodę różnic skończonych, takie jak Visual Modflow, Processing Modflow, Groundwater Vistas i GMS, należy liczyć się z tym, że w warunkach znacznego zróżnicowania hipsometrycznego powierzchni warstw modelu generowane są bardzo zdeformowane w pionie siatki obliczeniowe. W wyniku tych deformacji bloki należące do danej warstwy są względem siebie tak poprzesuwane w pionie, że tracą ze sobą kontakt. Program symulujący przepływ, realizując obliczenia numeryczne, nie uwzględnia tej deformacji. Tym samym otrzymane wyniki nie mogą być uznane za poprawne. Rozwiązaniem problemu deformacji powstałej w procesie dyskretyzacji pionowej jest zastosowanie trójwymiarowej siatki, o warstwach poziomych, wygenerowanej bez użycia narzędzi programowych dostosowanych do współpracy z programem Modflow. Jednak dla takiej siatki przebieg warstw geologicznych o bardzo zróżnicowanej hipsometrii nie będzie się pokrywał z przebiegiem warstw modelu. Na obecnym etapie rozwoju oprogramowania komercyjnego stosowanego w hydrogeologii budowa takich modeli jest bardzo pracochłonna, szczególnie przy ich dużej rozdzielczości pionowej. Pomocna jest w tym przypadku procedura programowa ingerująca w proces przygotowania danych do obliczeń nie tylko w zakresie prawidłowej dyskretyzacji pionowej, ale także umożliwiająca definiowanie klas wartości parametrów hydrogeologicznych niezależnie od przebiegu warstw modelu. Procedura ta generuje dane do obliczeń symulacyjnych poza środowiskiem graficznym współpracującym z programem Modflow. LITERATURA CIĘŻKOWSKI W., DOKTÓR S., GRANICZNY M., KABAT T., LIBER-MADZIARZ E., PRZYLIBSKI T., TEISSEYTE B., WIŚNIEWSKA M., ZUBER A., 1996 Określenie obszarów zasilania wód leczniczych pochodzenia infiltracyjnego w Polsce, na podstawie badań izotopowych. Wrocław. McDONALD M.G., HARBAUGH A.W., 1988 A modular threedimensional finite-difference ground-water flow model. Book 6, Modeling techniques, US Geological Survey.

100 Jacek Kapuściński, Lech Śmietański SUMMARY The simulation of the groundwater flow in the vicinity of Świeradów-Zdrój and Czerniawa-Zdrój in the Izerskie Mountains revealed the question of the vertical discretization of the 3D flow model in the case of the strongly diversified hypsometry of the model area. Using the popular Visual Modflow 4.2 to build such a model it turned out that the generated by this graphic environment 3D finite difference mesh is highly deformed. This deformation makes the neighboring model blocks in a given layer shifted vertically to such an extent that they loose in fact the physical contact. The Modflow 2000 simulator invoked from this environment ignores the lack of this inter-block contact and carries out calculations based on the assumption that the full contact still exists. Another, non-deformed type of the vertical discretization with horizontal layers was applied. The creation of this nondeformed 3D finite difference mesh was possible with the use of the additionally written computer code. In this mesh all neighboring model blocks belonging to a given layer have full horizontal contact. With this mesh the inconsistency was eliminated between the Visual Modflow 4.2 environment and the Modflow 2000 simulator. The comparison between the solution obtained for the deformed Visual Modflow 4.2 mesh and for the non-deformed one showed the significant difference between the calculated hydraulic head distributions.