MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 56, ISSN 1896-771X BADANIA NUMERYCZNE UTRATY STATECZNOŚCI BELEK CIENKOŚCIENNYCH Z PROFILOWANYM ŚRODNIKIEM Michał Grenda 1a 1 Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechnika Poznańska a michal.wl.grenda@doctorate.put.poznan.pl Streszczenie Tematem pracy są badania numeryczne i eksperymentalne cienkościennych belek o przekrojach ceowych z profilowanym środnikiem. Proponowany temat jest rozwinięciem badań prowadzonych w Zakładzie Wytrzymałości Materiałów i Konstrukcji Politechniki Poznańskiej. Uzyskane wyniki pomogą zweryfikować wciąż ulepszane rozwiązania analityczne oraz badania doświadczalne. Słowa kluczowe: wytrzymałość materiałów, utrata stateczności, badania numeryczne, metoda elementów skończonych NUMERICAL STUDIES ON STABILITY LOSS OF THIN- WALLED CORRUGATED WEB BEAMS Summary The subject of this paper is numerical and experimental research of thin-walled C beams with corrugated web. The proposed topic expands on research conducted at the Department of Strength of Materials and Structures, Poznań University of Technology. The obtained results will contribute to a verification of the ever advancing analytical solutions and experimental studies. Keywords: strength of materials, stability loss, numerical studies, finite element method 1. WSTĘP Materiały konstrukcyjne wykorzystywane do budowy nowoczesnych maszyn i urządzeń pozwalają na przenoszenie większych obciążeń przy jednoczesnym zmniejszeniu masy. Konstrukcje cienkościenne stosowane są w wielu gałęziach przemysłu w Polsce i na całym świecie. Wykorzystywane są one w budowie maszyn, przemyśle samochodowym, lotniczym oraz budownictwie i cieszą się dużą popularnością wśród inżynierów i konstruktorów. Popularność swoją zyskały dzięki dużej wytrzymałości przy stosunkowo niewielkiej masie. Przykładowe belki cienkościenne przedstawiono na rys. 1. Zostały wykonane technologią gięcia na zimno. Rys. 1. Widok wybranych belek cienkościennych [200] Zapotrzebowanie na tego typu konstrukcje wynika głównie z prostej technologii wytwarzania oraz łatwości ich montażu. W świecie od kilku lat wzrasta zainteresowanie praktycznym wytwarzaniem belek cienkościennych o nietypowych przekrojach. Prace naukowe opisujące belki ceowe o nietypowych przekrojach poprzecznych opisali Paczos, Magnucki i Mahendran [133, 166]. Proponowane przekroje podlegają często procesowi optymalizacji kształtu w celu doboru jak najlepszego stosunku masy do wytrzymałości czy siły odpowiadają- 11
BADANIA NUMERYCZNE UTRATY STATECZNOŚCI BELEK CIENKOŚCIENNYCH łość konstrukcji, czy zabezpieczyć ją prz utratą stateczności. Wysoki stosunek przecznych do grubości ścianek profili cej utracie stateczności. Optymalizację belek cienkościennych opisali Magnucka-Blandzi, Magnucki, Ka- poddano nie sprzak i Paczos [111 155]. Optymalizacji tylko proponowane kształty belek cienkościennych, lecz także rodzaje obciążeń oraz same obciążenia odpowiada- wyboczenia. jące siłom krytycznym czy postaciom Możliwość przenoszenia stosunkowo dużych obciążeń jest często ograniczana nie przez samą wytrzymałość mate- lecz w riału, z którego wytworzona jest konstrukcja, głównej mierze przez utratę stateczności konstrukcji cienkościennej. Spowodowane jest to często zbyt wyso- do grubości kim stosunkiem wymiarów poprzecznych ścianek. Dlatego przy projektowaniu konstrukcji należy zwrócić szczególną uwagę na ograniczenia związane z utratą stateczności miejscowej, ogólnej czy dystorsyj- przekroju po- nej. Poprzez niewielką korektę zmiany przecznego lub niewielkie zwiększenie masy konstrukcji cienkościennej można uzyskać dużo większą wytrzymazed przedwczesna wymiarów pocienkościennych powoduje występowanie w nich miejscowych postaci wyboczenia oraz interakcje zachodzące miedzy nimi. Zjawisko to jest niebezpieczne i powoduje gwałtowną redystrybucję sił wewnętrznych. Polega ono na natych- w inną miastowym przejściu z jednej postaci deformacji [29] (1963). Batista [2, 3] porównał wartości nośności granicznej kolumn i belek cienkościennych uzyskane z użyciem metody efektywnych przekrojów z danymi eksperymentalnymi zaczerpniętymi z literatury. Badał także zgodność wyników eksperymentalnych z otrzymanormach europej- nymi za pomocą metod opisanych w skich (metoda efektywnej szerokości) i amerykańskich (direct strength metod). Wyniki teoretyczne otrzymano przy założeniu interakcji miejscowej i ogólnej postaci utraty stateczności. W rozważaniach tych pominięto dystorsyjne wyboczenie kolumn i belek. Istnieje podział na wyboczenie miejscowe (lokalne) oraz wyboczenie ogólne (globalne) zwane również wyboczeniem giętnym (dystorsyjnym) (rys.2). Pracę przeglądową dotyczącą metody: direct strength metod rozwiązywania belek, słupów o różnych przekrojach poprzecznych przedstawił Schafer w pracy [25]. Rys. 2. Typy wyboczenia dla ściskanego ceownika: a) lokalne wyboczenie, b) zniekształcenie, c) niedoskonałość [266] Tematem pracy są badania numerycznee cienkościennych belek o zmodyfikowanych przekrojach ceowych z profilowanym (wzmocnionym) środnikiem. W literaturze dosyć często pojawiają się analizy numeryczne różnego typu konstrukcji cienkościennych co świadczy o ważności tego typu badań. W sposób szybki można uzyskać wyniki analizy, czy zaobserwować zachowanie się kon- Ważne jest, strukcji przy różnego typu obciążeniach. aby badania numeryczne były również weryfikowane przy użyciu metod doświadczalnych. Badania doświad- czalne belek o niestandardowych przekrojach ceowych zostały opisane przez Paczosa [19, 210]. Wyniki zweryfi- FSM, MES oraz kowano metodą pasm skończonych rozwiązaniami analitycznymi. Podobne badania zostały przeprowadzone przez Pastora i Roure a [22] oraz Schafera [24], który w swych badaniach rozważał dwa inne rodzaje obciążenia. Zaproponował formuły, które umożliwiają obliczanie obciążeń krytycznych, oraz uwzględnił interakcje pomiędzy ogólną (globalną) a lokalną utrata stateczności belek cienkościennych. Badania numeryczne stateczności, rozkład naprężeń oraz przemieszczenia belek cienkościennych kształtowanych na zimno zostały opisane przez Paczosa, Magnuckiego i Zawodnego oraz Magnucką-Blandzi [8 11, 18,19]. Inne prace dotyczące badań eksperymentalnych przedstawili: Biegus i inni [4], Cheng Yu i inni [5], Paczos i Wasile- [166]. Jedną z ostat- wicz [177], Mahendran i Jeyaragan nich prac dotyczącą rozwiązań parametrycznych utraty stateczności cienkościennych belek ceowych przedstawili SudhirSastry i Krishna [2828]. Pierwsze wstępne badania belek cienkościennych o niestandardowych przekrojach ceowych ze wzmocnio- przez Grendę i nym środnikiem zostały przedstawione Paczosa na konferencji Modelowanie w mechanice w roku 2015. Środnik został zagięty na dwa sposoby, co pokazano na rys. 3, a półki zostały wzmocnione poprzez dwa zagięcia typu BOX, które opisali szeroko w swych pracach Grenda i Paczos [6, 19]. Rys. 3. Przekroje belek cienkościennych z profilowanym środni- kiem Wymiary poprzeczne analizowanych belek przedsta- wynoszą odpowiednio: wiono na rys. 4, a ich wymiaryy wysokość H = 160 mm, szerokość półki b = 80 mm, grubość ścianki t = 1,0 mm, wysokość półki t = 17 mm, długość wzmocnienia c = 26,5 mm, wymiar f = 18 mm, wymiar g = 14 mm i wymiar e = 14 mm. Proponowany temat jest rozwinięciem badań prowadzonych w Zakładzie Wytrzymałości Materiałów i Konstrukcji Politechniki Poznańskiej. 12
Michał Grenda Rys. 4. Przekroje badanych belek Wymiary podłużne belek przedstawiono na rys. 5, wynoszą one odpowiednio: długość całkowita Lt = 2000 mm, odległość pomiędzy siłami L = 500 mm oraz odległość L0 = 730 mm. L0 Lt L 1 2 1 2 Rys. 5. Wymiary wzdłużne belki Badania te pomogą zweryfikować wyniki otrzymane za pomocą rozwiązań analitycznych oraz badań doświadczalnych, które rozpocząć się mają na początku przyszłego roku. Belki zostały wykonane przy pomocy giętarek numerycznych zgodnie z normą Eurokod 3 [233] przez polską firmę Blachy Pruszyński Sp. z o.o z Sokołowa k. Warszawy. L0 W niniejszym opracowaniu podjęto się jedynie rozwiązania numerycznego MES ze szczególnym uwzględnieniem utraty stateczności belek kształtowanych na zimno. W późniejszym czasie zostaną również przeprowadzone badania doświadczalne oraz analizy opisujące nośność konstrukcji. Zagadnienia wytrzymałości i stateczności analizowanych konstrukcji dotyczą rozkładów naprężeń w ściankach zginanej belki (półkach i środniku), jej ugięcia pod obciążeniem poprzecznym oraz jej wyboczenia obciążeń krytycznych przy czteropunktowym zginaniu. Zaprezentowane modele utworzono z użyciem oprogramowania do komputerowego wspomagania projektowania (CAD) SolidWorks 2012 [26]. Zwiększa to praktyczne znaczenie przeprowadzonych obliczeń, ponieważ pokazuje, że również narzędzia wykorzystywane w codziennej praktyce inżynierskiej mogą być z powodzeniem stosowane do modelowania belek cienkościennych kształtowanych na zimno. Ważnym aspektem podczas przeprowadzania analiz numerycznych MES jest odpowiednie i poprawne modelowanie, tj. nadawanie warunków brzegowych, odpowiedni dobór właściwości mechanicznych czy poprawny podział na elementy skończone. Belka została umocowana (podparta) w dwóch przekrojach (zgodnie ze stanowiskiem badawczym opisanym w pracy [200]) przez odebranie stopni swobody w następujący sposób (rys. 7): ux = 0 (przemieszczenia w kierunku osi x), uy = 0 (przemieszczenia w kierunku osi y) 2. BADANIA NUMERYCZNE Metoda elementów skończonych (MES) jest jednym z podstawowych narzędzi wykorzystywanych do komputerowego wspomagania badań naukowych oraz w praktyce inżynierskiej. Posiada ona szerokie zastosowanie oraz cieszy się dużą popularnością wśród inżynierów. Dzięki MES mamy możliwość skrócenia czasu potrzebnego do zaprojektowania elementów lub całych konstrukcji oraz sprawdzenia ich pod względem wytrzymałościowym. Modelowanie i analizy za pomocą metody elementów skończonych są procesem złożonym. Podczas projektowania numerycznego należy uwzględnić szereg założeń, o których musi wiedzieć projektant lub konstruktor. Zastosowanie MES służy do rozwiązywania konkretnego zadania naukowego lub inżynierskiego i składa się z odrębnych procesów: opracowanie modelu MES (SOLIDWORKS) badanych belek cienkościennych, rozwiązanie numeryczne w zakresie: wytrzymałości, stateczności, nośności, porównanie wyników otrzymanych doświadczalnie i numerycznie. Rys. 6. Stanowisko badawcze 4 punktowe zginanie [20] Podczas analizy numerycznej MES obciążono belkę parą sił skupionych o wartości 1N tak, aby otrzymany współczynnik obciążenia po przeprowadzonych badaniach stateczności można było uznać za wartość siły krytycznej wywołującej miejscowe wyboczenie konstrukcji. Miejsca zablokowania przemieszczeń (podparcia) są odległe od końców belki o 50 mm i utworzone przez zastosowanie linii podziałowych na szkicu. Graficzną reprezentację powyższych warunków brzegowych i przyłożonych obciążeń przedstawiono na rys. 7. Siatka elementów skończonych powłokowych dla analizowanych belek została przedstawiona na rys. 9. Przystąpiono do analizy wyboczeniowej. 13
BADANIA NUMERYCZNE UTRATY STATECZNOŚCI BELEK CIENKOŚCIENNYCH Rys. 8. Lokalna postać wyboczenia Rys. 7. Schemat obciążenia belki Analizę numeryczną (MES) przeprowadzono z wykorzystaniem modelu powłokowego, który w przypadku konstrukcji cienkościennych daje lepsze wyniki od modelu bryłowego. Modele bryłowe wykorzystywane są poprawnie tylko wtedy, gdy jest to konstrukcja krępa, gdzie stosunki wymiarów podzespołów mają proporcje ok. 1:1 do 1:5. Pozostałe przypadki to elementy cienkościenne, które powinny być modelowane elementami powłokowymi, gdzie grubość do szerokości boku to około 1:10. Zależność ta została sprawdzona i potwierdzona w pracy [6]. Ze względu na bardzo małą grubość ścianki w stosunku do wymiarów poprzecznych belkę modelowano za pomocą dwuwymiarowych elementów skończonych, siatką trójkątów. Symulację przeprowadzono, wykorzystując komercyjny program do komputerowego wspomagania projektowania SolidWorks 2012 z modułem do analizy MES Simulation. Umożliwia on przeprowadzenie obliczeń jedynie za pomocą bryłowych lub powłokowych elementów trójkątnych. W przyszłości planowane są również badania w profesjonalnym programie Ansys Workbench v.15, którym dysponuje Zakład Wytrzymałości Materiałów i Konstrukcji Politechniki Poznańskiej. Do badań wykorzystany zostanie element cienkościenny SHELL181. Jest to czterowęzłowy element powłokowy 3D drugiego rzędu o sześciu stopniach swobody w każdym węźle. Podczas przeprowadzanych obliczeń numerycznych zauważono, że zmiana warunków brzegowych prowadzi do różnych rozwiązań, a otrzymane wyniki różnią się znacznie między sobą. W pracy [6] sprawdzono wpływ zmiany warunków brzegowych na otrzymane wartości sił krytycznych poprzez odebranie stopni swobody przekrojów poprzecznych w różnych kierunkach, a otrzymane wyniki porównano z eksperymentem. Jednym z głównych parametrów programu prowadzących do prawidłowo przeprowadzonej analizy MES jest odpowiednie ustawienie siatki elementów skończonych, tzw. zbadanie zbieżności metody numerycznej. W celu poprawienia obliczeń numerycznych i uzyskania zadowalających wyników zastosowano sterowanie siatki dla środkowego odcinka o rozmiarze elementu 5 mm i proporcji 1,5 krotnej. Wyraźnie widać zaciemnienie części centralnej (miejsce zagęszczenia siatki przedstawiono na rys. 9) spowodowane większą liczbą elementów i węzłów ze względu na obszar objęty szczególną analizą. Dąży się do tego, aby wyboczenie było uwidocznione jedynie na środkowej części profilu cienkościennego podczas badań numerycznych i doświadczalnych. Siatkę dla usztywnionych części belki utworzono z zastosowaniem standardowych ustawień. Siatka ta oparta została na krzywiźnie, a jej zagęszczenie nie miało wpływu na końcowe wyniki. Jednocześnie spowodowało to skrócenie czasu obliczeń numerycznych. Tworzenie siatki generuje trójwymiarowe czworościenne elementy bryłowe, dwuwymiarowe trójkątne elementy skorupowe i jednowymiarowe elementy belkowe. Siatka może składać się z jednego typu elementów, chyba że określono siatkę typu mieszanego. 14
Michał Grenda Rys. 9. Siatka powłokowa modelu belki z profilowanym środnikiem typu V Przed przystąpieniem do obliczeń numerycznych zamodelowano belkę cienkościenną o dwóch różnych przekrojach. Badano wpływ głębokości zagięcia środnika na wartość siły krytycznej odpowiadającej miejscowej postaci wyboczenia. Rys. 10. Zagięcie środnika Na rys. 11 wyraźnie widać jak wraz ze wzrostem współczynnika k głębokość zagięcia, siła krytyczna wzrasta od Fkr= 11,6 kn dla k=5 mm do Fkr= 12,2 kn dla k=50 mm. Założeniem symulacji było otrzymanie przekroju o najwyższej wytrzymałości (najwyższej wartości siły krytycznej) przy zachowaniu odpowiedniego kształtu konstrukcji. Wiązało się to z zachowaniem stałego pola przekroju przy różnych głębokościach zagięcia środnika i zmianą jedynie grubość ścianki. Proces optymalizacji polegał na poszukiwaniu najwyższej siły krytycznej odpowiadającej miejscowemu wyboczeniu belki dla różnych głębokości zagięcia środnika (wzmocnienie środnika) dla analizowanych przekrojów przy zachowaniu stałego pola przekroju. Zauważono, że na każde 5 mm głębokości zagięcia należy zmniejszyć grubość ścianki profilu cienkościennego o 0,01 mm. Wykonano kilkanaście badań metodą numeryczną i wyodrębniono konstrukcje o zbliżonym polu przekroju dla sześciu różnych głębokości zagięcia środnika profilowanego i przeprowadzono dokładne analizy. Wyniki przedstawiono na rys. 10. Przeprowadzone badania dały zadowalające rezultaty.najlepszy rezultat dotyczący uzyskanego wyniku siły krytycznej otrzymano dla belki cienkościennej z profilowanym środnikiem typu V o głębokości zagięcia dla wymiaru k=15mm. W dalszym etapie analizy MES wraz ze wzrostem głębokości zagięcia środnika od 15 do 30 mm wartość siły krytycznej zmniejszyła się o około 6%. współczynnik obciążenia[n] Wykres zależności siły krytycznej od głebokości zagięcia 24000 23500 23000 22500 22000 5 8 15 20 25 30 Głębokość zagięcia [mm] Rys. 12. Wykres zależności współczynnika obciążenia od głębokości zagięcia V Kolejnym krokiem było ponownie wyodrębnienie belek o zbliżonych wartościach pola przekroju (stałym polu przekroju). Wraz ze wzrostem głębokości zagięcia (wzmocnienia) zmniejszano grubość ścianki profilu cienkościennego. Przeprowadzono symulację dla czterech głębokości zagięcia: 8, 15, 25 i 30 mm. Rys. 11. Zależność siły krytycznej od głębokości zagięcia środnika dla przekroju typu V 15
BADANIA NUMERYCZNE UTRATY STATECZNOŚCI BELEK CIENKOŚCIENNYCH 3. WNIOSKI Rys. 13. Belka cienkościenna z zagięciem środnika typu S i głębokości 8 mm Wykazały one, że najbardziej wytrzymałym przekrojem jest belka cienkościenna z profilowanym środnikiem o głębokości zagięcia 8 mm i grubości ścianki 1,25 mm. Siła krytyczna dla tego przekroju wyniosła Fkr= 11,8 kn (rys.13). Przeprowadzone badania i otrzymane wyniki mogą być wykorzystywane nie tylko podczas praktyki inżynierskiej, ale również w badaniach naukowych. Wskazują na pojawiające się problemy podczas rozwiązywania zagadnień związanych z konstrukcjami cienkościennymi szybka, czasami nagła i niekontrolowana utrata stateczności. Na rys. 16 przedstawiono wykres zależności siły krytycznej od głębokości zagięcia dla belek z zagiętym środnikiem w odniesieniu do belki o przekroju ceowym z półkami skrzynkowymi bez zagięcia. Z wykresu można wywnioskować, że belki z zagiętym środnikiem znacznie wzmacniają konstrukcje. Dla przekrojów V i S siła krytyczna zwiększa się wraz ze wzrostem głębokości zagięcia i wynosi około 12 kn. W przypadku belki ceowej bez zagięcia siła krytyczna wynosi 10,6 kn. Poprzez niewielką korektę przekroju poprzecznego lub niewielkie zwiększenie masy konstrukcji cienkościennej można uzyskać dużo większą wytrzymałość. Proponowane badania pozwolą na dokładne i szczegółowe zbadanie zjawiska uraty stateczności belek ceowych ze wzmocnionym środnikiem oraz lepsze rozumienie tego zjawiska. Spodziewać się można zaobserwowania nie tylko miejscowych postaci wyboczenia, ale również wyboczenia dystorsyjnego, co trudne jest do uzyskania w klasycznych badaniach tensometrycznych. Realizacja proponowanych badań wniesie istotny wkład do teorii belek cienkościennych przede wszystkim z uwagi na modelowanie przebiegu utraty stateczności oraz zniszczenia konstrukcji, czyli wyczerpania jej nośności. Rys. 14. Zależność siły krytycznej od głębokości zagięcia środnika dla przekroju typu S współczynnik obciążenia[n] 24000 23000 22000 21000 20000 Wykres zależności siły krytycznej od głebokości zagięcia 8 15 25 30 Głębokość zagięcia [mm] Rys. 15. Wykres zależności współczynnika obciążenia od głębokości zagięcia S Rys. 16. Wykres zależności siły krytycznej od głębokości zagięcia środnika dla dwóch analizowanych przekrojów Wyniki rozwiązania numerycznego MES uzależnione były w dużej mierze od warunków brzegowych. Przeprowadzono wiele obliczeń MES poprzedzające główne 16
Michał Grenda badania poprzez zmianę pewnych parametrów tak, aby zminimalizować możliwość powstania błędów numerycznych oraz jak najdokładniej odwzorować swobodne podparcie belki. W pracy [6] sprawdzono wpływ warunków brzegowych, przyłożonych obciążeń oraz pewnych parametrów siatki elementów trójkątnych na otrzymane wyniki MES. Program SolidWorks Simulation generuje wartości sił krytycznych jako pewną wartość współczynnika obciążenia uzależnioną od danych wejściowych. Współczynnik ten jest mnożnikiem zdefiniowanej siły, którą obciążono belkę i odpowiada sile krytycznej dla pierwszej i kolejnych zdefiniowanych postaci wyboczenia. Problem stateczności belek cienkościennych wymaga dalszych prac badawczych teoretycznych i doświadczalnych. Rozwiązania zawarte w pracy mogą być poszerzane dla belek o bardziej złożonych schematach obciążeń, a także dla innych przekrojów poprzecznych. The presented research results, executed under the subject of No 02/21/DSPB/3452, were funded with grants for education allocated by the Ministry of Science and Higher Education. Literatura 1. AISI S100-2007. North American specification for the design of cold-formed steel members. American Iron and Steel Institute, 2007. 2. Batista E.M.: Effectife section method: a general direct method for design of steel cold-formed members under local-global buckling interaction. Thin-Walled Structures 2010, 48, p. 345 356. 3. Batista E.M.: Local-global buckling interaction procedures for design of cold-formed columns: Effective width and direct method integrated approach. Thin-Walled Structures 2009, 47, p. 1218 1231. 4. Biegus A., Czepiżak D.: Experimental investigations on combined resistance of corrugated sheets with strengthened cross-sections under bending and concentrated load. Thin-Walled Structures 2008, 46, p.303 309. 5. Cheng Yu, Schafer B.W.: Simulation of cold-formed steel beams in local and distortional buckling with applications to the direct strength method. Journal of Constructional Steel Research 2007, 63, p. 581 590. 6. Grenda M., Pomiar naprężeń, odkształceń i przemieszczeń konstrukcji cienkościennych. Inżynierska praca dyplomowa. Poznań 2013. 7. Hancock G.J.: Design for distortional buckling of flexural members. Thin-Walled Structures 1997, 27, p. 3 12. 8. Magnucka-Blandzi E., Magnucki K.: Buckling and optimal design of cold-formed thin-walled beams: review of selected problems. Thin-Walled Structures 2011, 49(5), p. 554 561. 9. Magnucka-Blandzi E., Paczos P., Wasilewicz P.: Buckling study of thin-walled channel beams with double-box flanges in pure bending, Blackwell Publishing Ltd. Strain, An Intl Journal for Experimental Mechanics 2012, 48, p. 317 325. 10. Magnucka-Blandzi E., Paczos P., Wasilewicz P.: Buckling study of thin-walled channel beams with double-box flanges in pure bending. Strain 2012, 48(4), p. 317 325. 11. Magnucka-Blandzi E.: Effective shaping of cold-formed thin-walled channel beams with double-box flanges in pure bending. Thin-Walled Structures 2011, 49, p. 121 128. 12. Magnucki K., Monczak T.,: Optimum shape of open cross section of a thin-walled beam. Engineering Optymization 2000, 32, p. 335 351. 13. Magnucki K., Paczos P., Kasprzak J.: Elastic buckling of cold-formed thin-walled channel beams with drop flanges. Journal of Structural Engineering 2010, 136 (7), p. 886 896. 14. Magnucki K.: Optimization of open cross section of the thin-walled beam with flat web and circular flange. Thin-Walled Structures 2002, 40, p. 297 310. 15. Magnucki, K., Paczos, P.: Optimal theoretical shape optimization of cold-formed thin-walled channel beams with drop flanges in pure bending. Journal of Construction Steel Research 2009, 65, p.1731 1737. 16. Mahendran M., Jeyaragan M.: Experimental investigation of the new built-up litesteel beams. In: Proc. 5th Int. Conference on Thin-Walled Structures, Vol.1, M. Mahendran (Editor) Queensland University of Technology, Brisbane, Australia, ICTWS, 18-20 June 2008, p. 433 441. 17. Paczos P., Wasilewicz P.: Badania doświadczalne belek cienkościennych kształtowanych na zimno. Modelowanie Inżynierskie 2007, 3 (33), p. 113 118. 17
BADANIA NUMERYCZNE UTRATY STATECZNOŚCI BELEK CIENKOŚCIENNYCH 18. Paczos P., Zawodny P.: Experimental investigations and the application of ABAQUS software to the estimation of the critical load of cold-formed beams. Journal of Mechanical Engineering and Production Management 2007, 7, p. 85 94 (in Polish). 19. Paczos P.: Experimental and numerical (FSM) investigations of thin-walled beams with double-box flanges. Journal of Theoretical and Applied Mechanics 2013, 51, 2, p. 497 504. 20. Paczos P.: Experimental investigations of thin-walled C-beams with nonstandard flanges. Journal of Constructional Steel Research 2014, 93, p. 77 87. 21. Paczos P.: Stability and limit load of thin-walled cold-formed channel beams. In: Proc. of Stabilty of Structures XIII-th Symposium, Zakopane 2012, Ed.: Kowal-Michalska K., Mania R.J., Łódź 2012, p. 539 546. 22. Pastor M. M., Roure F.: Open cross-section beams under pure bending i experimental investigations. Thin- Walled Structures 2008, 46, p. 476 483. 23. PN-EN 1993-1-3: 2008. Eurokod 3. Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-3: Reguły ogólne. Reguły uzupełniające dla konstrukcji z kształtowników i blach profilowanych na zimno. Warszawa: PKN, 2008. 24. Schafer B. W.: Local, distortional, and Euler buckling of thin-walled columns. Journal of Structural Engineering 2002, 128 (3), p. 289 299. 25. Schafer B.W.: Review: the direct strength method of cold-formed steel member design. Journal of Constructional Steel Research 2008, 64, p. 766-778. 26. Silvestre N., Camotim D.: On the mechanics of distortion in thin-walled open sections. Thin-Walled Structures 2010, 48, p. 469 481. 27. SolidWorks 2012 x64 Student Edition, SolidWorks Corporation Headquarters, 175 Wyman Street Waltham, MA 02451, 800-693-9000 US and Canada. 28. SudhirSastry Y.B., Krishna Y., Pattabhi Budarapu R.: Parametric studies on buckling of thin walled channel beams. Computational Materials Science 2015, 96, p. 416 424. 29. Timoshenko S.P., Gere J.M.: Teoria stateczności sprężystej. Warszawa: Wyd. Arkady, 1963. 18