O liczbach niewymiernych

O liczbach niewymiernych Agnieszka Bier Spotkania z matematyką jakiej nie znacie ;) 8 stycznia 0

Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite p oraz q 0, że a = p q

Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite p oraz q 0, że a = p q Czy istnieją liczby, które nie są wymierne?

Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite p oraz q 0, że a = p q Czy istnieją liczby, które nie są wymierne? W jaki sposób można zapisać liczbę niewymierną?

Liczby wymierne i niewymierne Definicja Liczbę a nazywamy wymierną, jeżeli istnieją takie liczby całkowite p oraz q 0, że a = p q Czy istnieją liczby, które nie są wymierne? W jaki sposób można zapisać liczbę niewymierną? Których liczb jest więcej: wymiernych czy niewymiernych?

Krótka historia liczb niewymiernych

Szkoła pitagorejska Pojęcie liczby Liczbą nazywano obiekt współmierny z jedynką lub z częścią jedynki (np,,, n, n N) Współmierność dwóch wielkości oznaczała fakt, że jedna z nich jest całkowitą wielokrotnością drugiej Pitagorejczycy każdy byt można utożsamić z odpowiadającymi mu wielkościami geometrycznymi: długością, polem powierzchni, objętością, a zatem z liczbami współmierność liczb współmierność odcinków Twierdzenie Pitagorasa i jego konsekwencje Pitagoras (80-0 pne)

Szkoła Pitagorejska Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym, w którym przyprostokątne mają długości a i b oraz przeciwprostokątna ma długość c zachodzi równość: a + b = c Wniosek Niech x będzie dowolną liczbą dodatnią większą od oraz niech a = x, c = x + Wtedy, na podstawie Twierdzenia Pitagorasa mamy: ( ) x ( ) + b x + = x = b

Problematyczny przekątna kwadratu ma długość niewspółmierną z długością jego boku pierwiastek jest liczbą niewymierną dowody nie wprost : Dowód za pomocą parzystości Dowód geometryczny Dowód na arkuszach papieru inne dowody: http://wwwcut-the-knotorg/proofs/sq rootshtml

Problematyczny Dowód geometryczny (Apostol)

Problematyczny Dowód geometryczny (Apostol) dowód nie wprost: jest liczbą wymierną

Problematyczny Dowód geometryczny (Apostol) dowód nie wprost: jest liczbą wymierną 0 trójkąt równoramienny prostokątny o przyprostokątnych długości

Problematyczny Dowód geometryczny (Apostol) dowód nie wprost: jest liczbą wymierną 0 trójkąt równoramienny prostokątny o przyprostokątnych długości trójkąt podobny do 0, o bokach całkowitej długości

Problematyczny Dowód geometryczny (Apostol) dowód nie wprost: jest liczbą wymierną 0 trójkąt równoramienny prostokątny o przyprostokątnych długości trójkąt podobny do 0, o bokach całkowitej długości konstrukcja kolejnych, coraz to mniejszych trójkątów podobnych i o bokach całkowitej długości

Problematyczny Arkusz normalny Arkusz hipernormalny a b = b a a+b b = b a b

Inne liczby niewspółmierne Hippasus z Metapanu (V w pne)- dowód niewspółmierności przekątnej pięciokąta foremnego z jego bokiem,, 6, 7, 8, 0, log średnica okręgu jest niewspółmierna z jego obwodem d a = +

Co dalej z niewymiernością? Michael Stifel,Arithmetica integra, Norymberga : numeris irrationalibus Isaac Newton, Arithmetica universalis, wyd II, Londyn 7: Przez liczbę rozumiemy nie tyle zbiór jedynek, ile abstrakcyjny stosunek dowolnej wielkości do innej wielkości tego samego rodzaju, przyjętej przez nas za jednostkę Liczby bywają trzech rodzajów: całkowite, ułamkowe i niewymierne Liczbą całkowitą jest to, co mierzy się jedynką; ułamkową wielokrotność części jedynki; liczba niewymierna jest niewspółmierna z jedynką

Jak zapisywać liczby niewymierne?

Rozwinięcia dziesiętne Rozwinięcie dziesiętne liczby Każdą liczbę (rzeczywistą) a możemy jednoznacznie przestawić w postaci sumy ułamków dziesiętnych, tj ułamków, w których mianowniki są potęgami liczby 0: a = a 0 0 0 + a 0 + a 0 + Rozwinięciem dziesiętnym liczby a nazywamy następującą postać: a 0, a a a Ciąg {a n } może być skończony lub nieskończony

Rozwinięcia dziesiętne Liczby wymierne mają skończone lub okresowe rozwinięcia dziesiętne 0 = 0, 06

Rozwinięcia dziesiętne Liczby wymierne mają skończone lub okresowe rozwinięcia dziesiętne 0 = 0, 06 = 8, 9

Rozwinięcia dziesiętne Liczby wymierne mają skończone lub okresowe rozwinięcia dziesiętne 0 = 0, 06 = 8, 9 =, =, ()

Rozwinięcia dziesiętne Liczby wymierne mają skończone lub okresowe rozwinięcia dziesiętne 0 = 0, 06 = 8, 9 =, =, () 9 7 =, (87)

Rozwinięcia dziesiętne Liczby wymierne mają skończone lub okresowe rozwinięcia dziesiętne 0 = 0, 06 = 8, 9 9 7 =, =, () =, (87) = 0, 0(78)

Rozwinięcia dziesiętne Liczby niewymierne mają nieskończone nieokresowe rozwinięcia dziesiętne =, 67090880688709

Rozwinięcia dziesiętne Liczby niewymierne mają nieskończone nieokresowe rozwinięcia dziesiętne =, 67090880688709 =, 700807688779760

Rozwinięcia dziesiętne Liczby niewymierne mają nieskończone nieokresowe rozwinięcia dziesiętne =, 67090880688709 =, 700807688779760 π =, 968979866879088976999 708097990786068608998680870679 880868066709860908790888 70807098096698990896

Ułamki łańcuchowe Skończony ułamek łańcuchowy [a 0, a, a,, a k ] := a 0 + a + a + a k + a k Nieskończony ułamek łańcuchowy [a 0, a, a, ] := a 0 + a + a + a 0 Z, a i N dla i > 0

Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe

Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8

Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = 0 + 8 7

Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = 0 + 8 7 = 0 + + 7 = [0,, 7]

Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = 0 + 8 7 = 0 + + 7 = [0,, 7] = [0,, 6, ]

Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = 0 + 8 7 67 0 = 0 + + 7 = [0,, 7] = [0,, 6, ]

Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = 0 + 8 7 67 0 = + 7 0 = 0 + + 7 = [0,, 7] = [0,, 6, ]

Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = 0 + 8 7 = 0 + + 7 67 0 = + 7 0 = + 0 7 = [0,, 7] = [0,, 6, ]

Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = 0 + 8 7 = 0 + + 7 67 0 = + 7 0 = + 0 7 = [0,, 7] = [0,, 6, ] = + + 6 7

Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = 0 + 8 7 = 0 + + 7 67 0 = + 7 0 = + 0 7 = [0,, 7] = [0,, 6, ] = + + 6 7 = + + 7 6

Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = 0 + 8 7 = 0 + + 7 = [0,, 7] = [0,, 6, ] 67 0 = + 7 0 = + 0 7 + + + 6 = [,,, 6] = + + 6 7 = + + 7 6 =

Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = 0 + 8 7 = 0 + + 7 = [0,, 7] = [0,, 6, ] 67 0 = + 7 0 = + 0 7 + + + 6 = [,,, 6] = + + 6 7 = + + 7 6 = 0 = +

Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = 0 + 8 7 = 0 + + 7 = [0,, 7] = [0,, 6, ] 67 0 = + 7 0 = + 0 7 + + + 6 = [,,, 6] = + + 6 7 = + + 7 6 = = + 0 = + 0

Ułamki łańcuchowe Liczby wymierne skończone ułamki łańcuchowe 7 8 = 0 + 8 7 = 0 + + 7 = [0,, 7] = [0,, 6, ] 67 0 = + 7 0 = + 0 7 + + + 6 = [,,, 6] = + + 6 7 = + + 7 6 = 0 = + = + 0 = + + 0 = [,, 0]

Ułamki łańcuchowe Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe = + + + = [,,,, ]

Ułamki łańcuchowe Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe = + + + = [,,,, ] Liczba złota : + = + + + = [,,,, ]

Ułamki łańcuchowe Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe = + + + = [,,,, ] Liczba złota : + = + + + = [,,,, ] π = + 7+ + + 9+ = [, 7,,, 9, ]

Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, 67090880688709 + +

Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, 67090880688709 + + + =,

Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, 67090880688709 + + + =, + =, +

Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, 67090880688709 + + + =, + + + + + =, =, (6)

Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, 67090880688709 + + + =, + + + + + π = + 7+ + + =, =, (6) =, 96897986

Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, 67090880688709 + + + =, + + + + + π = + 7+ + + =, =, (6) π + 7 =, (87) =, 96897986

Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, 67090880688709 + + + =, + + + + + π = + 7+ + + =, =, (6) =, 96897986 π + 7 =, (87) π + =, (09966) 7+

Przybliżenia Liczby niewymierne nieskończone ułamki łańcuchowe Ucinając nieskończony ułamek łańcuchowy na k-tym wyrazie otrzymujemy wartość przybliżoną liczby niewymiernej Przybliżenie jest tym lepsze, im większe jest k: = + =, 67090880688709 + + + =, + + + + + π = + 7+ + + =, =, (6) =, 96897986 π + 7 =, (87) π + =, (09966) 7+ π + 7+ + =, 99

Liczby niewymierne w praktyce Zapis symboliczny najkrótsza forma zapisu reprezentacja wartości, ale niejawna przykłady:, log, π, π, e, e, Wartości przybliżone Do obliczeń używamy wartości przybliżonych liczb niewymiernych Uzyskany wynik jest przybliżony,, 7 π, e, 7

Których liczb jest więcej wymiernych czy niewymiernych?

Ilość elementów w zbiorze - moc zbioru Moc zbioru skończonego Jeśli zbiór jest skończony, to mocą tego zbioru nazywamy ilość jego elementów

Ilość elementów w zbiorze - moc zbioru Moc zbioru skończonego Jeśli zbiór jest skończony, to mocą tego zbioru nazywamy ilość jego elementów Na przykład, moc zbioru A = {w, x, y, z} jest równa

Ilość elementów w zbiorze - moc zbioru Moc zbioru skończonego Jeśli zbiór jest skończony, to mocą tego zbioru nazywamy ilość jego elementów Na przykład, moc zbioru A = {w, x, y, z} jest równa Zbiory nieskończone Zbiór nieskończony ma nieskończenie wiele elementów

Ilość elementów w zbiorze - moc zbioru Moc zbioru skończonego Jeśli zbiór jest skończony, to mocą tego zbioru nazywamy ilość jego elementów Na przykład, moc zbioru A = {w, x, y, z} jest równa Zbiory nieskończone Zbiór nieskończony ma nieskończenie wiele elementów Na przykład, zbiorami nieskończonymi są: N - zbiór liczb naturalnych, P - zbiór liczb naturalnych parzystych, W - zbiór liczb wymiernych, Z - zbiór liczb całkowitych, R - zbiór liczb rzeczywistych

Ilość elementów w zbiorze - moc zbioru Moc zbioru skończonego Jeśli zbiór jest skończony, to mocą tego zbioru nazywamy ilość jego elementów Na przykład, moc zbioru A = {w, x, y, z} jest równa Zbiory nieskończone Zbiór nieskończony ma nieskończenie wiele elementów Na przykład, zbiorami nieskończonymi są: N - zbiór liczb naturalnych, P - zbiór liczb naturalnych parzystych, W - zbiór liczb wymiernych, Z - zbiór liczb całkowitych, R - zbiór liczb rzeczywistych Moc zbioru liczb naturalnych Zbiór N = {,,, } wszystkich liczb naturalnych jest nieskończony Jego moc oznaczamy symbolem ℵ 0 (alef-zero) O zbiorze mocy ℵ 0 mówimy, że jest przeliczalny

Ilość elementów w zbiorze - moc zbioru Moc zbioru skończonego Jeśli zbiór jest skończony, to mocą tego zbioru nazywamy ilość jego elementów Na przykład, moc zbioru A = {w, x, y, z} jest równa Zbiory nieskończone Zbiór nieskończony ma nieskończenie wiele elementów Na przykład, zbiorami nieskończonymi są: N - zbiór liczb naturalnych, P - zbiór liczb naturalnych parzystych, W - zbiór liczb wymiernych, Z - zbiór liczb całkowitych, R - zbiór liczb rzeczywistych Moc zbioru liczb naturalnych Zbiór N = {,,, } wszystkich liczb naturalnych jest nieskończony Jego moc oznaczamy symbolem ℵ 0 (alef-zero) O zbiorze mocy ℵ 0 mówimy, że jest przeliczalny Czy wszystkie zbiory nieskończone mają jednakową moc?

Ilość elementów w zbiorze - moc zbioru Moc zbioru skończonego Jeśli zbiór jest skończony, to mocą tego zbioru nazywamy ilość jego elementów Na przykład, moc zbioru A = {w, x, y, z} jest równa Zbiory nieskończone Zbiór nieskończony ma nieskończenie wiele elementów Na przykład, zbiorami nieskończonymi są: N - zbiór liczb naturalnych, P - zbiór liczb naturalnych parzystych, W - zbiór liczb wymiernych, Z - zbiór liczb całkowitych, R - zbiór liczb rzeczywistych Moc zbioru liczb naturalnych Zbiór N = {,,, } wszystkich liczb naturalnych jest nieskończony Jego moc oznaczamy symbolem ℵ 0 (alef-zero) O zbiorze mocy ℵ 0 mówimy, że jest przeliczalny Czy wszystkie zbiory nieskończone mają jednakową moc? NIE!

Jak porównywać nieskończone zbiory? Równoliczność zbiorów Dwa zbiory A i B nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie (bijekcja) ze zbioru A w zbiór B

Jak porównywać nieskończone zbiory? Przykład Liczb naturalnych parzystych jest tyle samo co liczb naturalnych nieparzystych

Jak porównywać nieskończone zbiory? Przykład Liczb naturalnych parzystych jest tyle samo co liczb naturalnych nieparzystych Konstruujemy funkcję ze zbioru P = {,, 6, } liczb parzystych w zbiór NP = {,,, } liczb nieparzystych: f (n) = n

Jak porównywać nieskończone zbiory? Przykład Liczb naturalnych parzystych jest tyle samo co liczb naturalnych nieparzystych Konstruujemy funkcję ze zbioru P = {,, 6, } liczb parzystych w zbiór NP = {,,, } liczb nieparzystych: f (n) = n Ta funkcja jest wzajemnie jednoznaczna A zatem zbiory P i NP są równoliczne

Jak porównywać nieskończone zbiory? Przykład Wszystkich liczb naturalnych jest tyle samo co liczb naturalnych parzystych

Jak porównywać nieskończone zbiory? Przykład Wszystkich liczb naturalnych jest tyle samo co liczb naturalnych parzystych Konstruujemy funkcję ze zbioru N = {,,, } w zbiór P = {,, 6, } liczb parzystych: f (n) = n

Jak porównywać nieskończone zbiory? Przykład Wszystkich liczb naturalnych jest tyle samo co liczb naturalnych parzystych Konstruujemy funkcję ze zbioru N = {,,, } w zbiór P = {,, 6, } liczb parzystych: f (n) = n Ta funkcja jest wzajemnie jednoznaczna A zatem zbiory P i N są równoliczne

Moc zbioru liczb wymiernych 0

Moc zbioru liczb wymiernych

Moc zbioru liczb wymiernych Podany schemat określa funkcję: f : N W Każdej liczbie naturalnej jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba wymierna Powyższa funkcja jest: różnowartościowa na A zatem, zbiór W liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych: W = ℵ 0

Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny

Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W

Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W Zbiór liczb rzeczywistych R = W NW nie jest przeliczalny

Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W Zbiór liczb rzeczywistych R = W NW nie jest przeliczalny Podzbiór 0; R nie jest przeliczalny

Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W Zbiór liczb rzeczywistych R = W NW nie jest przeliczalny Podzbiór 0; R nie jest przeliczalny Dowód nie wprost metoda przekątniowa

Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W Zbiór liczb rzeczywistych R = W NW nie jest przeliczalny Podzbiór 0; R nie jest przeliczalny Dowód nie wprost metoda przekątniowa Zakładamy, że istnieje bijekcja zbioru N w zbiór 0;

Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W Zbiór liczb rzeczywistych R = W NW nie jest przeliczalny Podzbiór 0; R nie jest przeliczalny Dowód nie wprost metoda przekątniowa Zakładamy, że istnieje bijekcja zbioru N w zbiór 0; Liczby rzeczywiste z przedziału 0; można ponumerować liczbami naturalnymi

Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W Zbiór liczb rzeczywistych R = W NW nie jest przeliczalny Podzbiór 0; R nie jest przeliczalny Dowód nie wprost metoda przekątniowa Zakładamy, że istnieje bijekcja zbioru N w zbiór 0; Liczby rzeczywiste z przedziału 0; można ponumerować liczbami naturalnymi Liczby niewymierne mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone, nieokresowe

Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór NW liczb niewymiernych nie jest przeliczalny Zbiór NW zawiera więcej elementów niż zbiór W Zbiór liczb rzeczywistych R = W NW nie jest przeliczalny Podzbiór 0; R nie jest przeliczalny Dowód nie wprost metoda przekątniowa Zakładamy, że istnieje bijekcja zbioru N w zbiór 0; Liczby rzeczywiste z przedziału 0; można ponumerować liczbami naturalnymi Liczby niewymierne mają rozwinięcia dziesiętne nieskończone, nieokresowe Konstruujemy liczbę rzeczywistą, która nie ma numeru

Moc zbioru liczb niewymiernych Załóżmy, że ponumerowaliśmy wszystkie liczby rzeczywiste z przedziału 0;, to znaczy ustawiliśmy je w pewnej kolejności, np: r = 0, 6789066 r = 0, 00000000000000000 r = 0, 68660079 r = 0, 0090000000000 r = 0, 000000000 6 r 6 = 0, 69676788 7

Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r w sposób następujący r = 0, 6789066 r = 0, 00000000000000000 r = 0, 68660079 r = 0, 0090000000000 r = 0, 000000000 6 r 6 = 0, 69676788 7 na n-tym miejscu po przecinku liczba r ma cyfrę, która jest równa n-tej cyfrze po przecinku liczby r n, zwiększonej o (oraz 0, jeśli na tym miejscu była cyfra 9)

Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r w sposób następujący r = 0, r = 0, 6789066 r = 0, 00000000000000000 r = 0, 68660079 r = 0, 0090000000000 r = 0, 000000000 6 r 6 = 0, 69676788 7

Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r w sposób następujący r = 0, 7 r = 0, 6789066 r = 0, 00000000000000000 r = 0, 68660079 r = 0, 0090000000000 r = 0, 000000000 6 r 6 = 0, 69676788 7

Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r w sposób następujący r = 0, 70 r = 0, 6789066 r = 0, 00000000000000000 r = 0, 68660079 r = 0, 0090000000000 r = 0, 000000000 6 r 6 = 0, 69676788 7

Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r = 0, 70

Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r = 0, 70 Liczba r różni się od każdej liczby w ciągu r n, ponieważ na n-tym miejscu po przecinku ma inną cyfrę niż r n

Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r = 0, 70 Liczba r różni się od każdej liczby w ciągu r n, ponieważ na n-tym miejscu po przecinku ma inną cyfrę niż r n Liczba r leży w przedziale (0, )

Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r = 0, 70 Liczba r różni się od każdej liczby w ciągu r n, ponieważ na n-tym miejscu po przecinku ma inną cyfrę niż r n Liczba r leży w przedziale (0, ) Otrzymujemy sprzeczność nie da się ponumerować wszystkich liczb rzeczywistych z przedziału (0, )

Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r = 0, 70 Liczba r różni się od każdej liczby w ciągu r n, ponieważ na n-tym miejscu po przecinku ma inną cyfrę niż r n Liczba r leży w przedziale (0, ) Otrzymujemy sprzeczność nie da się ponumerować wszystkich liczb rzeczywistych z przedziału (0, ) Zbiór liczb rzeczywistych z przedziału ( 0, ) jest nieprzeliczalny

Moc zbioru liczb niewymiernych Tworzymy nową liczbę rzeczywistą r = 0, 70 Liczba r różni się od każdej liczby w ciągu r n, ponieważ na n-tym miejscu po przecinku ma inną cyfrę niż r n Liczba r leży w przedziale (0, ) Otrzymujemy sprzeczność nie da się ponumerować wszystkich liczb rzeczywistych z przedziału (0, ) Zbiór liczb rzeczywistych z przedziału ( 0, ) jest nieprzeliczalny (0, ) = 0, }{{ W 0, }}{{ NW } przeliczalny nieprzeliczalny

Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór (0, ) NW liczb niewymiernych z przedziału 0, jest nieprzeliczalny

Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór (0, ) NW liczb niewymiernych z przedziału 0, jest nieprzeliczalny Zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny

Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór (0, ) NW liczb niewymiernych z przedziału 0, jest nieprzeliczalny Zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny Moc zbioru R oznaczamy c (continuum)

Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór (0, ) NW liczb niewymiernych z przedziału 0, jest nieprzeliczalny Zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny Moc zbioru R oznaczamy c (continuum) NW = c

Moc zbioru liczb niewymiernych Zbiór (0, ) NW liczb niewymiernych z przedziału 0, jest nieprzeliczalny Zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny Moc zbioru R oznaczamy c (continuum) NW = c Hipoteza continuum Nie istnieją zbiory nieskończone o mocy większej niż ℵ 0 i mniejszej niż c

Źródła Bibliografia H Steinhaus Kalejdoskop matematyczny, WSiP Warszawa 989 W Więsław Problemy z niewymiernością - stworzenie liczb rzeczywistych, M-S-N nr 9 (99) W Więsław Ułamki łańcuchowe, M-S-N nr 7 (996) http://wwwcut-the-knotorg/proofs/sq rootshtml