Wprowadzenie do Programu Judith Hohenwarter i Markus Hohenwarter www.geogebra.org Tłumaczenie: Barbara Kot Korekta: Maria Binkowska
Wprowadzenie do Programu GeoGebra Ostatnia modyfikacja: 9 listopada 2011 Zaktualizowane do wersji GeoGebra 4.0 Podręcznik zawiera podstawy wprowadzające do dynamicznego oprogramowania matematycznego GeoGebra i może być wykorzystany zarówno na lekcjach jak i do samodzielnej nauki. Autorzy Judith Hohenwarter, judith@geogebra.org Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Licencja / Prawo autorskie Uznanie autorstwa - Użycie niekomercyjne - Na tych samych warunkach, patrz http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/ Masz prawo: dzielić się tym opracowaniem z innymi kopiować, rozpowszechniać, odtwarzać i wykorzystywać; tworzyć opracowania zależne dostosowywać oryginał do własnych potrzeb. Musisz jednak przystać na następujące warunki: uznanie autorstwa Powinieneś zamieścić informację o autorach oryginału oraz załączyć odnośnik do strony www.geogebra.org (ale w żadnym razie nie wolno sugerować, że autorzy cię rekomendują lub polecają twój sposób użycia niniejszej pracy). użycie niekomercyjne Nie wolno używać tego opracowania do celów komercyjnych. na tych samych warunkach Jeśli zmienisz niniejsze opracowanie, lub stworzysz inną pracę na jego podstawie, możesz rozpowszechniać nowy produkt tylko na podstawie takiej samej licencji. Podziękowania Chcielibyśmy podziękować wszystkim członkom partnerskiego projektu Narodowej Fundacji Nauki w USA Standardy Kształcenia i Monitoringu z Uniwersytetu Florida Atlantic i Zarządu Oświatą regionu Broward County, a w szczególności liderom tego projektu, profesowi Heinzowi-Otto Peitgen i profesorowi Richardowi Voss, którzy zachęcali nas do tej pracy. Dziękujemy także nauczycielom z Broward County: Guy Barmoha, Paul Beaulieu, James Duke Chinn, Ana Escuder, Edward M. Knote, Athena Matherly, Barbara A. Perez, Lewis Prisco, Jeffrey Rosen, i Megan Yanes, za ich stałe wspieranie i współpracę przy tworzeniu tej książki. 2
Materiał książki bazuje na pracach wspieranych przez Narodową Fundacje Nauki (National Science Foundation) z Grantu: Grant No. EHR-0412342, NSF Math and Science Partnership "Standards Mapped Graduate Education and Mentoring". Wszelkie opinie, wyniki, wnioski lub zalecenia w tym materiale pochodzą od autorów i niekoniecznie odzwierciedlają poglądy Narodowej Fundacji Nauki. Jak Korzystać z Tej Książki We Wprowadzeniu do programu GeoGebra opisano podstawowe elementy oprogramowania dynamicznego, jakim jest GeoGebra. Książka ta może z jednej strony służyć jako przewodnik dla prowadzącego warsztaty poświęcone GeoGebrze, a z drugiej strony można ją wykorzystać do samodzielnej nauki.. Książka ta ma ambicje pokazania, w jaki sposób można posługiwać się programem GeoGebra zarówno w nauczaniu matematyki, jak i w trakcie samodzielnego uczenia się. Program ten można wykorzystywać począwszy od 4 klasy szkoły podstawowej, poprzez szkołę średnią, aż na nauczaniu elementów matematyki wyższej skończywszy. Książka zawiera zestaw ćwiczeń, który służy do opanowania umiejętności posługiwania się narzędziami geometrycznymi, wprowadzania wyrażeń algebraicznych i poleceń oraz wykorzystania różnych opcji programu. Omówienie różnorodnych tematów z dziedziny matematyki, ma na celu pokazanie wielofunkcyjności programu i zachęcenie do stosowania metod integrujących tradycyjne nauczanie z posługiwaniem się GeoGebrą. Podręcznik zawiera także dodatkowe bloki ćwiczeniowe. Pozwalają one przetrenować nowo nabyte umiejętności przed przystąpieniem do samodzielnej pracy z programem. Wszystkie pliki wraz z konstrukcjami omawianymi w tej książce, jak również pliki stowarzyszone (dodatkowe pliki GeoGebry, dynamiczne arkusze, pliki graficzne) dostępne są pod adresem http://www.geogebra.org/book/intro-pl.zip. Życzymy dobrej zabawy i sukcesów w pracy z GeoGebrą! Judith & Markus 3
Spis Treści Wprowadzenie do Programu GeoGebra 2 Licencja / Prawo autorskie 2 Podziękowania 2 Jak Korzystać z Tej Książki 3 Spis Treści 4 1. Instalacja programu GeoGebra i zapisywanie plików 7 Ćwiczenie 1: Instalacja programu GeoGebra 7 Ćwiczenie 2: Zapisz pliki dołączone do podręcznika 8 Wprowadzenie: Co to jest GeoGebra i Jak Działa? 8 2. Rysunek czy Konstrukcja Geometryczna 9 Ćwiczenie 3: Rysowanie Figur i Innych Obiektów 9 Ćwiczenie 4: Zapisywanie pliku utworzonego w GeoGebrze 10 Ćwiczenie 5: Rysunki, Konstrukcje i Test z Przeciąganiem 11 Ćwiczenie 6: Konstrukcja Prostokąta 12 Ćwiczenie 7: Konstrukcja Trójkąta Równobocznego 14 3. Blok Ćwiczeń I 16 Podpowiedzi i Wskazówki 16 Ćwiczenie I.a: Konstrukcja Kwadratu 17 Ćwiczenie I.b: Konstrukcja sześciokąta foremnego 18 Ćwiczenie I.c: Okrąg opisany na trójkącie 19 Ćwiczenie I.d: Kąt Oparty na Średnicy 20 4. Wyrażenia Algebraiczne, Polecenia i Funkcje 21 Podpowiedzi i Wskazówki 21 Ćwiczenie 8a: Konstrukcja Stycznych do Okręgu (Część 1) 22 Ćwiczenie 8b: Konstrukcja Stycznych do Okręgu (Część 2) 22 Ćwiczenie 9: Badanie Parametrów Wielomianu Kwadratowego 26 Ćwiczenie 10: Wykorzystanie Suwaków do Zmiany Parametrów 27 Ćwiczenie 11: Biblioteka Funkcji 28 5. Eksport Obrazka do Schowka Pamięci 31 Ćwiczenie 12a: Eksportowanie Obrazków do Schowka Pamięci 31 Ćwiczenie 12b: Wklejanie Obrazka do Dokumentu Edytora Tekstowego 33 6. Blok Ćwiczeń Praktycznych II 35 Podpowiedzi i Wskazówki 35 4
Ćwiczenie II.a: Parametry Równania Liniowego 36 Ćwiczenie II.b: Wstęp do Pochodnych Nachylenie Wykresu 37 Ćwiczenie II.c: Tworzenie Gry Domino o Funkcjach 38 Ćwiczenie II.d: Tworzenie Figur do Gry Memory 39 7. Wstawianie Obrazka do Widoku Grafiki 41 Ćwiczenie 13: Rysunek jako Narzędzie do Pokazania Symetrii 41 Ćwiczenie 14a: Skalowanie i Symetryczne Odbicie Obrazka 43 Ćwiczenie 14b: Zniekształcanie Obrazka 43 Ćwiczenie 14c: Badanie Własności Symetrii Osiowej 44 8. Wstawianie Tekstu do Widoku Grafiki 46 Ćwiczenie 15: Współrzędne Punktów Symetrycznych 46 Ćwiczenie 16: Obrót Wielokąta 48 9. Blok Ćwiczeń III 50 Podpowiedzi i Wskazówki 50 Ćwiczenie III.a: Interpretacja Graficzna Układu Równań 51 Ćwiczenie III.b: Translacja obrazka 52 Ćwiczenie III.c: Trójkąt Ilustrujący Nachylenie Prostej 53 Ćwiczenie III.d: Badanie Piramidy Luwr 55 10. Widok Arkusza z Widokiem Grafiki 56 Ćwiczenie 17a: Rejestrowanie do Arkusza 57 Ćwiczenie 17b: Kopiowanie Zależności i Równania Liniowe 59 Ćwiczenie 17c: Linia najlepszego dopasowania 61 Ćwiczenie 17d: Badanie Podstawowych Wielkości Statystycznych 62 11. Tworzenie Statycznego Materiału Instruktażowego 63 Ćwiczenie 18a: Zapisywanie Obrazka do Pliku 63 Ćwiczenie 18b: Wstawianie obrazka do dokumentu tekstowego 65 12. Tworzenie Arkuszy Dynamicznych 67 Wprowadzenie: Strona GeoGebraWiki i Forum Użytkownika 67 Ćwiczenie 19a: Tworzenie Arkuszy Dynamicznych 69 Ćwiczenie 19b: Wzbogacanie Arkuszy Dynamicznych 72 Ćwiczenie 19c: Dostarczanie Dynamicznych Kart pracy Uczniom 74 13. Blok Ćwiczeń IV 75 Podpowiedzi i Wskazówki 75 Ćwiczenie IV.a: Zależność Między Polami Figur Podobnych 76 5
Ćwiczenie IV.b: Wizualizacja Sumy Kątów w Trójkącie 77 Ćwiczenie IV.c: Wizualizacja Dodawania Liczb Całkowitych na Osi Liczbowej 78 Ćwiczenie IV.d: Tworzenie Puzzli do Tangramu 80 6
1. Instalacja programu GeoGebra i zapisywanie plików Ćwiczenie 1: Instalacja programu GeoGebra Przygotowania Utwórz na swoim dysku nowy folder o nazwie GeoGebra_wprowadzenie. Wskazówka: W czasie zajęć, zapisuj wszystkie pliki w jednym folderze, żeby łatwo było odnaleźć je później. Instalacja Z DOSTĘPEM do Internetu Zainstaluj na komputerze wersję WebStart programu GeoGebra. Otwórz przeglądarkę internetową i wejdź na stronę www.geogebra.org/webstart. Kliknij na przycisk z napisem WebStart. Uwaga: Program automatycznie zacznie się instalować na komputerze. Do ciebie należeć będzie tylko zatwierdzenie przyciskiem OK lub Tak wszystkich komunikatów jakie pojawią się w trakcie instalacji. Wskazówka: Korzystanie z wersji GeoGebra WebStart ma wiele zalet pod warunkiem, że w czasie instalacji masz połączenie z Internetem: Nie musisz zajmować się różnymi plikami ponieważ GeoGebra zainstaluje je automatycznie na twoim komputerze. Nie musisz posiadać specjalnych pozwoleń użytkownika, żeby korzystać z wersji GeoGebra WebStart, co jest szczególnie użyteczne w pracowni z komputerami lub laptopami w szkole. Jak tylko GeoGebra WebStart będzie zainstalowana możesz z niej korzystać bez połączenia z Internetem. Jeśli masz połączenie z Internetem, to po pierwszej instalacji GeoGebra WebStart często sprawdza aktualizacje i instaluje je automatycznie. W ten sposób cały czas pracujesz z najnowszą wersją GeoGebry. Instalacja BEZ DOSTĘPU do Internetu Osoba prowadząca warsztaty zapisze Ci pliki instalacyjne GeoGebry na twoim nośniku USB lub na CD. Skopiuj plik instalacyjny na swój komputer do katalogu GeoGebra_wprowadzenie. Wskazówka: Upewnij się czy posiadasz wersje odpowiednią do twojego systemu operacyjnego Przykłady: MS Windows: GeoGebra_3_0_0_0.exe MacOS: GeoGebra_3_0_0_0.zip Kliknij dwukrotnie na plik instalacyjny GeoGebra i postępuj zgodnie z instrukcjami asystenta instalacji. 7
Ćwiczenie 2: Zapisz pliki dołączone do podręcznika Ściągnij pliki dołączone do podręcznika i zapisz je na swoim komputerze. Pliki do podręcznika możesz otrzymać od swojego instruktora warsztatów na nośniku USB lub na płycie CD. Skopiuj je na swój komputer do folderu GeoGebra_wprowadzenie. LUB Ściągnij spakowany plik www.geogebra.org/book/intro-pl.zip o Zapisz ten plik do folderu GeoGebra_wprowadzenie. o Rozpakuj pliki. Robi się do różnie, w zależności od systemu operacyjnego: Przykłady: MS Windows XP: Kliknij prawym przyciskiem myszki i postępuj zgodnie z instrukcjami. MacOS: Kliknij dwukrotnie na spakowany plik. Wprowadzenie: Co to jest GeoGebra i Jak Działa? Podstawowe Wiadomości o GeoGebrze GeoGebra jest programem dynamicznym, który łączy geometrię, algebrę i analizę matematyczną. GeoGebra jest interaktywnym systemem geometrycznym. Można w niej wykonywać konstrukcje posługując się punktami, wektorami, odcinkami, prostymi, krzywymi stożkowymi jak również wykresami funkcji, a w międzyczasie i później, wprowadzać zmiany dynamicznie. Z drugiej strony w GeoGebrze można bezpośrednio wprowadzać współrzędne punktów, równania krzywych i wzory funkcji. Można posługiwać się zmiennymi liczbowymi, wektorowymi i punktowymi. Można wyznaczać funkcje pochodne i całki, miejsca zerowe i ekstrema funkcji. Te dwa podejścia są dla GeoGebry znamienne: wyrażenia w oknie algebraicznym (w Widoku Algebry) mają odpowiedniki w postaci obiektów w oknie geometrycznym (w Widoku Grafiki) i na odwrót. Interfejs użytkownika w programie GeoGebra Interfejs użytkownika w GeoGebrze składa się z okna graficznego Widoku Grafiki i okna algebraicznego Widoku Algebry. W Widoku Grafiki można za pomocą myszki operować dostarczonymi narzędziami geometrycznymi i tworzyć konstrukcje. Poniżej Widoku Grafiki znajduje się Pole Wprowadzania, do którego można bezpośrednio wprowadzać z klawiatury wyrażenia algebraiczne, polecenia i funkcje. Podczas gdy graficzna reprezentacja wszystkich obiektów jest wyświetlana w Widoku Grafiki, ich algebraiczna i numeryczna reprezentacja jest widoczna po lewej stronie okna GeoGebry, w Widoku Algebry. 8
Interfejs użytkownika jest elastyczny i można go dostosowywać do potrzeb uczniów. Jeśli używasz GeoGebry w szkole podstawowej, możesz ukryć osie układu współrzędnych i pracować tylko w obszarze roboczym okna graficznego, posługując się narzędziami do konstrukcji. Później, możesz wprowadzić układ współrzędnych i korzystać z siatki, do łatwiejszego posługiwania się punktami o współrzędnych całkowitych. W szkole średniej i wyżej, możesz stosować wyrażenia algebraiczne aby wprowadzić uczniów w rozwiązywanie problemów z dziedziny rachunku różniczkowego i całkowego. Podstawy posługiwania się narzędziami Narzędzia uaktywniamy klikając na przycisk z odpowiednią ikoną. Listę z narzędziami rozwijamy klikając na mały trójkącik w prawym dolnym rogu przycisku z ikoną aby wybrać inne narzędzie z tej listy.. Wskazówka: Nie musisz rozwijać listy z narzędziami za każdym razem gdy chcesz wybrać narzędzie. Jeśli ikona potrzebnego narzędzia jest widoczna (bez rozwijania listy) to klikając w nią uaktywniasz narzędzie bezpośrednio. Warto wiedzieć: Listy zawierają narzędzia, które są do siebie podobne lub generują te same typy nowych obiektów. Sprawdź po prawej stronie paska narzędzi, jakie narzędzie jest w danej chwili aktywne i jak się nim posługiwać. 2. Rysunek czy Konstrukcja Geometryczna Ćwiczenie 3: Rysowanie Figur i Innych Obiektów Przygotowania Wybierz w menu j Widoki - Geometria Rysowanie obrazków w GeoGebrze Przy pomocy myszki i następującego zestawu narzędzi narysuj różne figury w obszarze roboczym Widoku Grafiki (np. kwadrat, prostokąt, domek, drzewko, ). 9
Nowy Punkt Przesuń Prosta przechodząca przez dwa punkty Odcinek między dwoma punktami Usuń obiekt Cofnij / Ponów Przemieszczaj obszar roboczy Powiększ / Pomniejsz Nowe! Nowe! Nowe! Nowe! Nowe! Nowe! Nowe! Nowe! Nowe! Co warto poćwiczyć Jak zaznaczać istniejący obiekt. Wskazówka: Gdy wskaźnik myszki znajduje się dostatecznie blisko obiektu, to obiekt ten się podświetla a wskaźnik myszki zmienia kształt z krzyżyka na strzałkę. Kliknięcie powoduje zaznaczenie obiektu. Jak utworzyć punkt, który będzie leżał na obiekcie. Wskazówka: Punkt umieszczony na obiekcie ma domyślnie kolor blado niebieski. Zawsze sprawdź czy punkt rzeczywiście leży na obiekcie przeciągając go myszką (aby to zrobić, należy uaktywnić narzędzie Przesuń) Jak poprawiać błędy stosując krok o kroku przyciski Cofnij/Ponów. Drobna uwaga: Niektóre narzędzia pozwalają tworzyć punkty w locie. Oznacza to, że do korzystania z nich nie są potrzebne wcześniej utworzone punkty. Przykład: Narzędzie Odcinek między dwoma punktami można zastosować do istniejących punktów lub do pustych miejsc w Widoku Grafiki. Klikając w dwóch miejscach, automatycznie tworzą się odpowiednie punkty i odcinek, który je łączy. Ćwiczenie 4: Zapisywanie pliku utworzonego w GeoGebrze Zapisz swój rysunek Otwórz w menu polecenie Plik i wybierz Zapisz. Wybierz w oknie dialogowym folder GeoGebra_wprowadzenie. Wpisz nazwę pliku GeoGebry. Kliknij na polecenie Zapisz aby dokończyć proces. Wskazówka: Zostanie utworzony plik z rozszerzeniem.ggb. Rozszerzenie to identyfikuje pliki utworzone w GeoGebrze i wskazuje, że mogą być otwarte tylko w programie GeoGebra. 10
Wskazówka: Nazywaj pliki właściwie: unikaj spacji i znaków specjalnych, gdyż w przeciwnym razie może to spowodować niepotrzebne problemy przy przenoszeniu tych plików na inne komputery. Zamiast tego korzystaj z dużych i małych liter lub ze znaków podkreślenia (np. moj_pierwszy_rysunek.ggb). Co warto poćwiczyć Jak otwierać nowe okno w programie GeoGebra (menu Plik Nowe okno). Jak otwierać nowy pusty interfejs GeoGebry w obrębie tego samego okna (menu Plik Nowy) Wskazówka: Jeśli nie zapisałeś istniejącej konstrukcji to GeoGebra zapyta Cię o to przed otwarciem nowej interfejsu GeoGebra zapyta Cię, czy to zrobić zanim otwarta zostanie czysty pusty interfejs.. Jak otwierać istniejący plik GeoGebry (menu Plik Otwórz). o Odszukaj plik w strukturze folderów. o Zaznacz plik GeoGebry (rozszerzenie.ggb ). o Kliknij przycisk Otwórz. Ćwiczenie 5: Rysunki, Konstrukcje i Test z Przeciąganiem Otwórz arkusz dynamiczny A_05_Rysunek_Konstrukcja_Kwadraty.html. Aplet w arkuszu przedstawia kilka kwadratów utworzonych na różne sposoby. Przetestuj te kwadraty przeciągając myszką różne wierzchołki. Odkryj, które kwadraty nadal pozostają kwadratami, a które nie. Postaraj domyślić się, w jaki sposób tworzone były poszczególne kwadraty. Zapisz swoje przemyślenia na kartce. 11
Dyskusja Jaka jest różnica między rysunkiem a konstrukcją? Na czym polega test z przeciąganiem i dlaczego jest on taki ważny? Dlaczego w interaktywnym programie geometrycznym ważne jest, aby konstruować figurę zamiast po prostu ją rysować? Co musimy wiedzieć o figurze, aby ją skonstruować przy pomocy dynamicznego programu matematycznego? Ćwiczenie 6: Konstrukcja Prostokąta Przygotowania 1. Przypomnij sobie własności prostokątów przed rozpoczęciem konstrukcji. Uwaga: Jeśli nie wiesz jak wykonać konstrukcję prostokąta krok po kroku możesz otworzyć A06_Prostokat_Konstrukcja. Skorzystaj z przycisków Paska nawigacji etapów konstrukcji aby odtworzyć przebieg konstrukcji. 2. Otwórz nowy plik GeoGebry. 3. Wybierz w menu Widoki Geometria Podstawowa 4. Ustaw Etykietowanie na opcję Tylko nowe punkty (menu: Opcje). Wprowadzenie nowych narzędzi Narzędzie Proste prostopadłe Wskazówka: Wskaż kliknięciem myszki istniejącą prostą i punkt, żeby utworzyć prostą przechodzącą przez ten punkt i prostopadłą do wskazanej prostej. Narzędzie Proste równoległe Wskazówka: Wskaż kliknięciem myszki istniejącą prostą i punkt, żeby utworzyć prostą przechodzącą przez ten punkt i równoległą do wskazanej prostej. Narzędzie Przecięcie dwóch obiektów Wskazówka: Wskaż, kliknięciem myszki punkt przecięcia dwóch obiektów aby utworzyć ten punkt. Aby otrzymać wszystkie punkty przecięcia się dwóch obiektów należy te dwa obiekty. wskazać kliknięciem myszki. Narzędzie Wielokąt Wskazówka: możesz Kliknij myszką na istniejące już punkty lub w puste miejsca Widoku Grafiki aby wskazać wierzchołki wielokąta. Po wskazaniu ostatniego wierzchołka, kliknij na pierwszy punkt, aby zamknąć wielokąt. Zawsze wskazuj wierzchołki w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara! Wskazówka: Pamiętaj, że po wybraniu nowego narzędzia geometrycznego możesz odczytać instrukcje pomocnicze z prawej strony paska narzędzi. Wskazówka: Wypróbuj wszystkie nowe narzędzia przed rozpoczęciem konstrukcji. 12
Kroki konstrukcji 1 Narysuj odcinek AB 2 Narysuj prostą b przechodzącą przez punkt B i prostopadłą do odcinka AB. 3 Wstaw nowy punkt C na prostej prostopadłej b. 4 5 Narysuj prostą c przechodzącą przez punkt C równoległą do odcinka AB Narysuj prostą d przechodząca przez punkt A i prostopadłą do odcinka AB. 6 Zaznacz punkt D przecięcia się prostych c i d. 7 Narysuj wielokąt ABCD. Wskazówka: Aby zamknąć wielokąt, musisz po skazaniu ostatniego wierzchołka wskazać z powrotem pierwszy. 8 Zapisz konstrukcję. Sprawdź poprawność konstrukcji 1. Zastosuj test z przeciąganiem aby sprawdzić czy konstrukcja jest poprawnie wykonana. 2. Korzystając z przycisków Paska nawigacji etapów konstrukcji (menu Widok) prześledź konstrukcję krok po kroku. 3. Otwórz Protokół konstrukcji (menu Widok) i przejrzyj kolejne kroki konstrukcji swojego prostokąta. o Spróbuj zmienić kolejność pewnych kroków konstrukcji przeciągając myszką różne wiersze w protokole konstrukcji. Czasami NIE da się tego zrobić. Dlaczego? o Pogrupuj kroki konstrukcji w sekwencje poprzez ustawienie punktów przerwania: Pokaż kolumnę Punkt Przerwania (kliknij prawym przyciskiem myszki na wiersz z nagłówkami kolumn protokołu konstrukcji i wybierz z podmenu polecania: Kolumny Punkt Przerwania) Pogrupuj kroki konstrukcji w sekwencje poprzez zahaczenie okienek na końcu każdej sekwencji. Zmień ustawienia na opcję Pokaż tylko punkty przerwania (Okno protokołu Konstrukcji menu Widok Pokaż tylko punkty przerwania). Użyj Paska nawigacji etapów konstrukcji aby przejrzeć konstrukcję sekwencja po sekwencji według punktów przerwania. Czy ustawiłeś punkty przerwania poprawnie? 13
Ćwiczenie 7: Konstrukcja Trójkąta Równobocznego Przygotowania Przypomnij własności trójkąta równobocznego. Uwaga: Jeśli nie wiesz jak krok po kroku wykonać konstrukcję trójkąta równobocznego, możesz otworzyć plik 07_Trojkat_Rownobczny_Konstrukcja. Zastosuj przyciski Paska nawigacji etapów konstrukcji aby odtworzyć przebieg tej konstrukcji. Otwórz nowy plik GeoGebry. Ukryj Widok Algebry i Pole Wprowadzania, pokaż Osie (menu Widok). Ustaw Etykietowanie na opcję Tylko nowe punkty (menu: Opcje). Wprowadzenie nowych narzędzi Narzędzie Okrąg o danym środku przechodzący przez punkt Wskazówka: Pierwsze kliknięcie tworzy środek, drugie wyznacza promień okręgu. Narzędzie Pokaż / ukryj obiekt Wskazówka: Zaznacz wszystkie obiekty, które chcesz ukryć. Zmiana widoczności zadziała dopiero po uruchomieniu innego narzędzia! Narzędzie Przecięcie dwóch obiektów Wskazówka: Wskaż, kliknięciem myszki punkt przecięcia dwóch obiektów aby utworzyć ten punkt. Aby otrzymać wszystkie punkty przecięcia się dwóch obiektów należy te dwa obiekty. wskazać kliknięciem myszki. Narzędzie Kąt Wskazówka: Kliknij punkt pierwszego ramienia, wierzchołek i punkt drugiego ramienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Można też wskazać kolejno pierwsze i drugie ramię kąta. GeoGebra domyślnie tworzy kąty zorientowane dodatnio. Wskazówka: Pamiętaj, że po wybraniu nowego narzędzia geometrycznego możesz odczytać instrukcje pomocnicze z prawej strony paska narzędzi. Wskazówka: Wypróbuj wszystkie nowe narzędzia prze rozpoczęciem konstrukcji. 14
Kroki konstrukcji 1 Narysuj odcinek AB. 2 Narysuj okrąg o środku A i przechodzący przez punkt B. Wskazówka: Przeciągnij myszką punkty A i B, żeby sprawdzić czy okrąg jest z nimi powiązany. 3 Narysuj okrąg o środku B i przechodzący przez punkt A. 4 5 Zaznacz punkt C w jednym z miejsc przecięcia się utworzonych okręgów. Narysuj trójkąt ABC wskazując wierzchołki w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara 6 Ukryj okręgi. 7 Pokaż kąty wewnętrzne trójkąta. Wskazówka: Po wybraniu narzędzia, kliknij myszką w dowolnym miejscu obszaru wewnętrznego trójkąta, a pokażą się wtedy wszystkie kąty wewnętrzne trójkąta! Uwaga: Wielokąt utworzony zgodnie z ruchem wskazówek zegara da w takim przypadku kąty na zewnątrz! 8 Zapisz konstrukcję Sprawdź poprawność konstrukcji 1. Zastosuj test z przeciąganiem aby sprawdzić czy konstrukcja jest poprawna. 2. Uaktywnij Pasek nawigacji etapów konstrukcji (menu Widok) i prześledź konstrukcję po krok po kroku używając przycisków. Skorzystaj z okna dialogowego Właściwości aby wzbogacić konstrukcję Jest kilka sposobów otwarcia okna dialogowego Właściwości: Można kliknąć prawym przyciskiem myszki na obiekcie (MacOS: +Ctrl) Można w menu Edycja wybrać pozycję Właściwości Jeśli aktywne jest narzędzie Przesuń to wystarczy dwukrotnie kliknąć na obiekcie i wybrać przycisk Właściwości. Skorzystaj z paska narzędzi do zmiany stylu obiektów znajdującego się pod paskiem narzędzi do konstrukcji. Uwaga: Pasek ten jest widoczny gdy Widok Grafiki jest jedynym widocznym otwartym oknem. Jeśli otwarte jest dodatkowo inne okno, np. Widok Algebry, to pasek ten można otworzyć w Widoku Grafiki klikając w prawym górnym rogu Widoku Grafiki ikonkę ze strzałką Przełączanie Paska narzędzi. 15
Co warto poćwiczyć w oknie dialogowym Właściwości Wybieraj różne obiekty z listy po lewej stronie i odkrywaj dostępne zakładki z właściwościami różnymi dla różnych typów obiektów. Wybierz kilka obiektów jednocześnie, żeby zmienić ich wspólną własność. Wskazówka: Przy wciśniętym klawiszu Ctrl (MacOS: kliknij Apple) klikaj na wybrane obiekty. Wybierz wszystkie obiekty jednego typu klikając na odpowiedni nagłówek.. Pokaż wartości różnych obiektów. Wypróbuj różne możliwości etykietowania. Zmień właściwości niektórych obiektów (np. kolor, styl, ) 3. Blok Ćwiczeń I Niniejszy blok ćwiczeń stanowi pulę zadań geometrycznych o dwóch poziomach trudności: elementarnym i zaawansowanym. Możesz dobierać zadania według własnego uznania i przerabiać je samodzielnie lub w parze. Podpowiedzi i Wskazówki Przypomnij sobie własności figur, które chcesz tworzyć. Spróbuj przemyśleć jakie narzędzia GeoGebry potrzebne Ci będą do konstrukcji figury na podstawie własności tej figury (np. kąt prosty narzędzie Proste prostopadłe). Upewnij się, że umiesz posługiwać się potrzebnymi narzędziami zanim przystąpisz do konstrukcji. Jeśli nie wiesz jak posługiwać się danym narzędziem, uaktywnij je odczytaj pomoc z prawej strony paska narzędzi.. Do każdego ćwiczenia otwórz nowy plik GeoGebry, ukryj w nim Widok Algebry, Pole Wprowadzania i Osie. Możesz zapisać plik zanim rozpoczniesz nowe ćwiczenie. Pamiętaj, że masz do dyspozycji przyciski Cofnij i Ponów na wypadek błędu. Często korzystaj z narzędzia Przesuń aby sprawdzić poprawność konstrukcji (np. czy obiekty są faktycznie połączone, czy nie utworzyłeś jakich niepotrzebnych obiektów) Jeśli masz pytania, zapytaj najpierw kolegę/koleżankę zanim zgłosisz się do osoby prowadzącej zajęcia lub asystenta. 16
Ćwiczenie I.a: Konstrukcja Kwadratu Poziom: Elementarny Do tego ćwiczenia wykorzystasz następujące narzędzia. Upewnij się, że wiesz jak korzystać z każdego z nich zanim przystąpisz do właściwej konstrukcji kwadratu: Odcinek między dwoma punktami Proste prostopadłe Okrąg o danym środku przechodzący przez punkt Wielokąt Pokaż / ukryj obiekt Przesuń Przecięcie dwóch obiektów Podpowiedź: Możesz zajrzeć do pliku A_1a_Kwadrat_Konstrukcja.html jeśli nie jesteś pewien co do kolejnych kroków konstrukcji. Przebieg konstrukcji 1. Narysuj odcinek a = AB między punktami A i B 2. Skonstruuj prostą b przechodzącą przez punkt B i prostopadłą do odcinka AB. 3. Skonstruuj okrąg c o środku w punkcie B i przechodzący przez punkt A 4. Wstaw punkt C w miejscu przecięcia się okręgu c z prostą prostopadłą b. 5. Skonstruuj prostą d przechodzącą przez punkt A i prostopadłą do odcinka AB. 6. Skonstruuj okrąg e o środku w punkcie A i przechodzący przez punkt B 7. Wstaw punkt D w miejscu przecięcia się okręgu e z prostą prostopadłą d. 8. Utwórz wielokąt ABCD. Podpowiedź: Pamiętaj, że aby zamknąć wielokąt trzeba kliknąć na początkowy punkt A po zaznaczeniu ostatniego wierzchołka D. 9. Ukryj okręgi i proste. 10. Wykonaj test z przeciąganiem aby sprawdzić poprawność konstrukcji. Propozycja: Wymyśli inny sposób konstrukcji kwadratu. 17
Ćwiczenie I.b: Konstrukcja sześciokąta foremnego Poziom: Elementarny Do tego ćwiczenia wykorzystasz następujące narzędzia. Upewnij się, że wiesz jak korzystać z każdego z nich zanim przystąpisz do właściwej konstrukcji sześciokąta foremnego: Okrąg o danym środku przechodzący przez punkt Przecięcie dwóch obiektów Wielokąt Kąt Pokaż/ukryj obiekt Przesuń Podpowiedź: Możesz zajrzeć do pliku A_1b_Szesciokat_Konstrukcja.html jeśli nie jesteś pewien co do kolejnych kroków konstrukcji. Przebieg konstrukcji 1. Narysuj okrąg o środku A przechodzący przez punkt B. 2. Skonstruuj drugi okrąg o środku B przechodzący przez punkt A. 3. Wstaw punkty C i D w miejscach przecięcia się tych dwóch okręgów. 4. Skonstruuj nowy okrąg o środku C przechodzący przez punkt A. 5. Wstaw punkt E w miejscach przecięcia się nowego okręgu z pierwszym okręgiem. 6. Skonstruuj nowy okrąg o środku D przechodzący przez punkt A. 7. Wstaw punkt F w miejscach przecięcia się nowego okręgu z pierwszym okręgiem.. 8. Skonstruuj nowy okrąg o środku E przechodzący przez punkt A 9. Wstaw punkt G w miejscach przecięcia się nowego okręgu z pierwszym okręgiem. 10. Narysuj wielokąt FGECBD. 11. Utwórz kąty w sześciokącie. 12. Wykonaj test z przeciąganiem aby sprawdzić poprawność konstrukcji Propozycja: Spróbuj znaleźć uzasadnienie dla kolejnych kroków konstrukcji. Wskazówka: Co można powiedzieć o promieniach okręgów w konstrukcji i dlaczego? 18
Ćwiczenie I.c: Okrąg opisany na trójkącie Poziom: Zaawansowany Do tego ćwiczenia wykorzystasz następujące narzędzia. Upewnij się, że umiesz je obsługiwać zanim przystąpisz do właściwej konstrukcji okręgu opisanego: Wielokąt Okrąg o danym środku przechodzący przez punkt Symetralna Nowe! Przesuń Przecięcie dwóch obiektów Podpowiedź: Jeśli nie jesteś pewien co do kolejnych kroków konstrukcji, możesz zajrzeć do pliku A_1c_Okrag_Opisany_na_Trojkacie.html. Przebieg konstrukcji 1. Utwórz dowolny trójkąt ABC 2. Skonstruuj symetralne boków trójkąta Wskazówka: Narzędzie Symetralna można stosować do istniejącego odcinka. 3. Utwórz punkt D przecięcia się dwóch symetralnych Wskazówka: Narzędzie Przecięcie dwóch obiektów nie może być zastosowane do trzech prostych. Należy zaznaczyć dwie spośród trzech prostych. 4. Narysuj okrąg o środku D przez jeden z wierzchołków ABC 5. Przeprowadź test z przeciąganiem aby sprawdzić poprawność konstrukcji Propozycja: Zmieniaj położenie różnych elementów konstrukcji, żeby odpowiedzieć na następujące pytania: 1. Czy środek okręgu opisanego na trójkącie może leżeć poza jego obszarem? Jeśli tak, to dla jakich trójkątów to zachodzi? 2. Spróbuj wyjaśnić, dlaczego do wyznaczenia środka okręgu opisanego na trójkącie wykorzystuje się symetralne odcinków? 19
Ćwiczenie I.d: Kąt Oparty na Średnicy Poziom: Zaawansowany Zanim zaczniesz tę konstrukcję, otwórz arkusz dynamiczny o nazwie 04_kat_wpisany_oparty_na_srednicy.html aby zobaczyć jak uczniowie mogliby na nowo odkryć to co grecki filozof i matematyk Tales odkrył około 2600 lat temu. Do tego ćwiczenia wykorzystasz następujące narzędzia. Upewnij się, że wiesz jak korzystać z każdego z nich zanim przystąpisz do właściwej konstrukcji okręgu opisanego: Odcinek między dwoma punktami Półokrąg wyznaczony przez dwa punkty New! Nowy Punkt Wielokąt Kąt Przesuń Podpowiedź: Jeśli nie jesteś pewien co do przebiegu konstrukcji, możesz zajrzeć do pliku A_1d_Kat_Wpisany_Oparty_Na_Srednicy_Konstrukcja. Przebieg konstrukcji 1. Narysuj odcinek AB 2. Utwórz półokrąg wyznaczony przez punkty A and B Wskazówka: Ważna jest kolejność kliknięć punktów. Łuk półokręgu rysowany jest od punktu pierwszego do drugiego, w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara). 3. Wstaw nowy punkt C na półokręgu Wskazówka: Sprawdź czy punkt C jest rzeczywiście na okręgu przemieszczając go myszką w trybie polecenia Przesuń. 4. Utwórz trójkąt ABC. 5. Utwórz kąty wewnętrzne trójkąta ABC. Propozycja: Spróbuj znaleźć geometryczny dowód twierdzenia o kącie wpisanym opartym na średnicy.. Wskazówka: Utwórz środek O odcinka AB i narysuj promień OC. 20
4. Wyrażenia Algebraiczne, Polecenia i Funkcje Podpowiedzi i Wskazówki Nazwę nowego obiektu można utworzyć wpisując w Polu Wprowadzania nazwa = przed algebraiczną definicją obiektu. Przykład: P = (3, 2) tworzy punkt P. Mnożenie wymaga wprowadzenia znaku gwiazdki * lub spacji między czynnikami. Przykład: a*x lub a x GeoGebra odróżnia duże litery od małych! Trzeba na to uważać. Uwagi: o Punkty są zawsze nazywane dużymi literami Przykład: A = (1, 2) o Wektory są zawsze nazywane małymi literami Przykład: v = (1, 2) o Odcinki, proste, okręgi, krzywe, funkcje zawsze są nazywane małymi literami. Przykład: okrąg c: (x 2)^2 + (y 1)^2 = 16 o Zmienna x w definicji funkcji i zmienne x i y w równaniu krzywej stożkowej zawsze pisane są małymi literami. Przykład: f(x) = 3*x + 2 Jeśli w wyrażeniu algebraicznym lub w poleceniu chcesz zastosować jakiś obiekt to musisz go wcześniej wprowadzić. Przykłady: o Wpisanie równania y = m x + b w Polu Wprowadzania utworzy prostą o zdefiniowanych wcześniej parametrach m i b, które w danym momencie mają pewne wartości liczbowe. o Polecenie Prosta[A, B] tworzy prostą przechodzącą przez zdefiniowane wcześniej punkty A i B. Aby zatwierdzić wyrażenie trzeba wcisnąć klawisz Enter Aby otworzyć okno pomocy na temat wyrażeń algebraicznych i poleceń należy kliknąć ikonę ze strzałką (Wprowadź Pomoc) po prawej Pola Wprowadzania. W przypadku błędnego wpisu w Polu Wprowadzania pojawia się okienko z informacją o błędzie. Warto czytać te informacje - bardzo możliwe, że pomogą Ci rozwiązać problem! Polecenia mogą być wpisywane lub wybierane listy, która pojawia się po kliknięciu przycisku (Wprowadź Pomoc) znajdującego się po prawej stronie pola wprowadzania. Z listy można wówczas wybrać polecenie i kliknąć przycisk Wklej aby wkleić polecenie do Pola Wprowadzania. Wskazówka: Jeśli nie wiesz jakie parametry trzeba wpisać w nawiasach danego polecenia możesz wpisać polecenie, wcisnąć klawisz F1. i wcisnąć przycisk Pomoc Online. Zostanie wówczas otwarta strona internetowa GeoGebra Wiki z opisem danego polecenia. 21
Akceptuj lub ignoruj automatyczne uzupełnianie poleceń. Po wpisaniu pierwszych liter polecenia w Polu Wprowadzania, GeoGebra próbuje uzupełnić polecenie. o Jeśli GeoGebra sugeruje polecenie, które chciałeś użyć, wciśnij klawisz Enter, żeby umieścić kursor wewnątrz nawiasów polecenia. o Jeśli sugerowane polecenie nie jest tym, którego chcesz użyć, pisz dalej ignorując sugestię. Ćwiczenie 8a: Konstrukcja Stycznych do Okręgu (Część 1) Z powrotem do szkoły Otwórz arkusz dynamiczny 03_styczne_okrag.html. Postępuj zgodnie z instrukcjami aby odkryć jak konstruuje się styczne do okręgu. Dyskusja Jakich narzędzi użyłeś aby odtworzyć konstrukcję? Czy do zaproponowanej konstrukcji trzeba było zastosować jakieś nowe narzędzia? Jeśli tak, to w jaki sposób odkryłeś jak się nim posługiwać? Czy zauważyłeś coś osobliwego w pasku narzędzi wyświetlanym po prawej stronie w aplecie? Czy według ciebie uczniowie będą mogli pracować samodzielnie z tak skonstruowanym arkuszem dynamicznym? Ćwiczenie 8b: Konstrukcja Stycznych do Okręgu (Część 2) Co jeśli nie działa myszka lub panel dotykowy? Wyobraź sobie, że twoja myszka lub panel dotykowy przestał działać, a ty właśnie przygotowujesz się do jutrzejszej. Jak możesz dokończyć konstrukcję? 22
GeoGebra daje możliwość wprowadzania wyrażeń algebraicznych lub poleceń jako dodatek do narzędzi geometrycznych. Każde narzędzie ma swój odpowiednik w postaci polecenia i może być używane bez myszki. Uwaga: GeoGebra posiada więcej poleceń niż narzędzi geometrycznych. W związku z tym nie każde polecenie ma swój odpowiednik w postaci narzędzia geometrycznego. Zadanie 1: Przejrzyj listę poleceń po prawej stronie Pola Wprowadzania poszukaj poleceń odpowiadających narzędziom geometrycznym, które były używane w trakcie warsztatów. W ostatnim ćwiczeniu dotyczącym konstrukcji stycznych do okręgu, wszystko było wykonane za pomocą narzędzi geometrycznych. Teraz masz za zadanie odtworzyć tę konstrukcję używając jedynie klawiatury. Przygotowania Otwórz plik w GeoGebrze. Pokaż Widok Algebry, Pole Wprowadzania oraz również Osie (menu Widok) Kroki konstrukcji 1 A = (0, 0) Utwórz punkt A. 2 (3, 0) 3 c = Okrąg[A, B] Utwórz punkt B. Wskazówka: Jeśli nie podasz nazwy obiektu to zostanie on nazwany kolejną literą alfabetu. Utwórz okrąg o środku A i przechodzący przez punkt B. Wskazówka: Okrąg jest obiektem zależnym od punktów A i B. Uwaga: GeoGebra wyróżnia obiekty swobodne i obiekty zależne. O ile obiekty swobodne mogą być modyfikowane przy pomocy myszki lub klawiatury, o tyle obiekty zależne zmieniają się automatycznie przy zmianie obiektów swobodnych, tzw. obiektów rodzicielskich. W związku z tym nie ma znaczenia w jaki sposób (przy użyciu myszki czy klawiatury) obiekt był utworzony na początku. Wskazówka 1: Uaktywnij narzędzie Przesuń i kliknij dwukrotnie na obiekt w oknie algebraicznym aby zmienić jego algebraiczną reprezentację z klawiatury. Na koniec wciśnij klawisz Enter. Wskazówka 2: Aby przesuwać obiekty w sposób bardziej kontrolowany używaj klawiszy strzałek na klawiaturze. Uaktywnij narzędzie Przesuń i zaznacz jakiś obiekt (np. punkt swobodny) w którymkolwiek z okien. Naciskanie klawiszy góra/dół lub lewo/prawo spowoduje przesuwanie obiektu w żądanym kierunku. 23
4 C = (5, 4) Utwórz punkt C. 5 s = Odcinek[A, C] Utwórz odcinek AC. 6 D = Środek[s] Zaznacz środek D odcinka AC. 7 d = Okrąg[D, C] Narysuj okrąg o środku D i przechodzący przez punkt C. 8 Przecięcie[c, d] Zaznacz punkty E i F przecięcia się okręgów c i d. 9 Prosta[C, E] 10 Prosta[C, F] Utwórz prostą (styczną) przechodzącą przez punkty C i E. Utwórz prostą (styczną) przechodzącą przez punkty C i F. Sprawdzenie i wzbogacenie szaty graficznej konstrukcji Uaktywnij narzędzie Przesuń i przeprowadź test z przeciąganiem, aby sprawdzić czy konstrukcja jest poprawna.. Zmień własności obiektów dla poprawienia wyglądu konstrukcji (np. kolory, grubość linii, obiekty pomocnicze przerywaną linia, ) Zapisz konstrukcję 24
Dyskusja Czy były jakieś problemy w trakcie wykonywania instrukcji? Jaki sposób przeprowadzania konstrukcji (użycie myszki czy klawiatury) wolisz i dlaczego? Dlaczego powinniśmy używać klawiatury skoro możemy wprowadzać elementy konstrukcji za pomocą narzędzi? Wskazówka: Są polecenia, które nie mają odpowiedników wśród narzędzi geometrycznych. Czy ma znaczenie jak tworzony był obiekt? Czy można go zmienić w Widoku Algebry (używając klawiatury) tak samo jak w Widoku Grafiki (używając myszki)? 25
Ćwiczenie 9: Badanie Parametrów Wielomianu Kwadratowego Z powrotem do szkoły W tym ćwiczeniu zbadasz wpływ parametrów na wielomian kwadratowy. Zobaczysz jak przy pomocy programu GeoGebra można zintegrować tradycyjne nauczanie z aktywnym udziałem ucznia w jego procesie poznawania. Postępuj zgodnie z instrukcjami w poniższym arkuszu i zapisuj swoje wyniki i obserwacje w trakcie pracy z programem GeoGebra. Twoje notatki pomogą Ci w późniejszej dyskusji na temat tej formy aktywności. Badanie funkcji kwadratowej w zależności od jej parametrów 1. Otwórz nowy plik w GeoGebrze. 2. W Polu Wprowadzania wpisz f(x) = x^2 i zatwierdź wciśnij klawisz Enter. Jaki kształt ma wykres funkcji? Zapisz odpowiedź na kartce 3. Uaktywnij narzędzie Przesuń, podświetl wzór funkcji w Widoku Algebry i wciskaj klawisze góra dół. a. Jak to wpływa na wykres funkcji? Zapisz obserwacje na kartce. b. Jak to wpływa na wzór funkcji? Zanotuj obserwacje. 4. Ponownie uaktywnij narzędzie Przesuń, podświetl wzór funkcji w oknie algebraicznym i użyj klawiszy lewo i prawo. a. Jak teraz zmienia się wykres funkcji? Zapisz obserwacje. b. Jak zmienia się wzór funkcji? Zapisz obserwacje. 5. Uaktywnij narzędzie Przesuń, kliknij dwukrotnie na wzór funkcji w Widoku Algebry. Przy użyciu klawiatury zmień wzór funkcji na f(x) = 3 x^2. Wskazówka: Działanie mnożenia wprowadza się za pomocą symbolu gwiazdki *, albo spacji. a. Opisz zmiany na wykresie. b. Zmień jeszcze kilka razy wzór funkcji wpisując inne wartości w miejsce współczynnika 3 (np. 0.5, -2, -0.8, 3). Zapisz swoje obserwacje na temat nowych wykresów. 26
Dyskusja Czy w trakcie korzystanie z GeoGebry pojawiły się jakieś problemy? Jak tego rodzaju koncepcja (GeoGebra w połączeniu z instrukcjami na papierze) może być włączona do tradycyjnego sposobu nauczania? Czy uważasz, że można taki rodzaj zadania podać uczniom jako pracę domową? W jaki sposób dynamiczne badanie parametrów wielomianu może wpłynąć na twoich uczniów w trakcie uczenia się? Czy masz pomysły jakie pojęcia z innych działów matematyki mogą być włączone do tradycyjnego nauczania w podobny sposób (karta pracy w połączeniu z komputerem)? Ćwiczenie 10: Wykorzystanie Suwaków do Zmiany Parametrów Spróbujmy jeszcze bardziej dynamicznego podejścia przy badaniu wpływu parametrów na funkcję kwadratową f(x) = a x^2 + b przez zastosowanie suwaków do zmiany wartości parametrów. Przygotowania Otwórz nowy plik w GeoGebrze. Wybierz w menu: Widoki Algebra i Grafika. Kroki konstrukcji 1 a = 1 Utwórz zmienną a. 2 f(x) = a * x^2 Wprowadź jednomian kwadratowy f Reprezentacja liczby w postaci suwaka Wskazówka: Nie zapomnij o znaku mnożenia w postaci gwiazdki * lub spacji między a i x^2. Aby wyświetlić liczbę na suwaku w Widoku Grafiki trzeba kliknąć prawym przyciskiem myszki (MacOS: Ctrl + klik) na zmienną w Widoku Algebry i wybrać Pokaż obiekt. Dokończenie konstrukcji Utwórzmy jeszcze jeden suwak b, który kontroluje wyraz wolny dwumianu f(x) = a x^2 + b. 27
3 4 f(x) = a * x^2 + b Wprowadź dwumian f Zadania Utwórz suwak b korzystając z narzędzia Suwak. Wskazówka: Uaktywnij narzędzie i kliknij w Widoku Grafiki. Użyj domyślnych ustawień i kliknij Zastosuj. Wskazówka: GeoGebra automatycznie nadpisze starą definicję funkcji f nową. Zmień wartość parametru a przesuwając myszką punkt na suwaku a. Jaki to ma wpływ na wykres wielomianu? Zmień wartość parametru a przesuwając myszką punkt na suwaku a. Jaki to ma wpływ na wykres wielomianu? Co się dzieje z wykresem gdy wartość parametru jest: (a) większa niż 1, (b) między 0 a 1, (c) ujemna? Zapisz obserwacje. Zmień wartość parametru b. Jaki ma to wpływ na wykres wielomianu. Ćwiczenie 11: Biblioteka Funkcji Oprócz funkcji wielomianowych GeoGebra udostępnia wiele innych typów funkcji (np. funkcje trygonometryczne, wartość bezwzględna, funkcje wykładnicze). Funkcje są w GeoGebrze obiektami i mogą być używane w konstrukcjach geometrycznych. Uwaga: Niektóre z dostępnych funkcji można wybrać z listy rozwijalnej z prawej strony Pola Wprowadzania. Pełną listę dostępnych w GeoGebrze funkcji można znaleźć na stronie internetowej GeoGebra Wiki (http://wiki.geogebra.org/pl/). Zadanie 1: Wizualizacja Wartości Bezwzględnej Otwórz nowy plik w GeoGebrze. Upewnij się czy widoczne są: Widok Algebry, Pole Wprowadzania i Osie. 1 f(x) = abs(x) Wprowadź funkcję wartość bezwzględna f. 2 g(x) = 3 Wprowadź funkcję stałą g. 3 Utwórz punkty wspólne wykresów obu tych funkcji. Wskazówka: Każdy punkt przecięcia wykresów funkcji trzeba zaznaczyć oddzielnie, wskazując myszką oba wykresy w pobliżu danego punktu przecięcia. 28
Wskazówka: Możesz zamknąć Widok Algebry i pokazać nazwy i wartości obiektów. (a) Przesuń wykres funkcji stałej w dół lub w górę myszką i lub klawiszami strzałek. (b) Przesuwaj wykres funkcji wartość bezwzględna w górę i w dół myszką lub klawiszami strzałek. Jak zmienia się wzór funkcji przy tych zmianach? (c) Jak można wykorzystać tę konstrukcję, żeby zapoznać uczniów z pojęciem wartości bezwzględnej? Wskazówka: Symetria wykresu funkcji wskazuje na to, ze zwykle zadania z wartością bezwzględną mają dwa rozwiązania. Zadanie 2: Złożenie fal sinusoidalnych Fale dźwiękowe mogą być matematycznie przedstawiane w postaci sinusoidy. Każdy ton muzyczny ma postać falową opisaną równaniem ( ) ( ). Amplituda a wpływa na głośność dźwięku podczas gdy częstotliwość kątowa ω decyduje o wysokości tonu. Parametr φ nazywa się fazą i pokazuje jak dźwięk zmienia się w czasie. Jeśli dwie sinusoidy interferują, następuje nałożenie. Oznacza to, że fale te wzajemnie się wzmacniają lub tłumią. W GeoGebrze możemy wykonać symulację tego zjawiska i zbadać szczególne przypadki, które także zachodzą się w naturze. 1 Utwórz trzy suwaki a_1, ω_1, i φ_1 Wskazówka: a_1 tworzy a z indeksem 1. Litery greckie wybieramy z listy rozwijalnej obok pola tekstowego Nazwa w oknie dialogowym suwaka 29
2 g(x)= a_1 sin(ω_1 x + φ_1) Wprowadź funkcję sinusoidalną g Wskazówka: Ponownie możesz wybrać literę grecką z listy rozwijalnej. (a) Zbadaj wpływ parametrów na wykres funkcji sinusoidalnej zmieniając wartości na suwakach. 3 Utwórz następne trzy suwaki a_2, ω_2 i φ_2. Uwaga: Suwak można przemieścić w inne miejsce tylko wtedy gdy aktywne jest narzędzie Suwak. 4 h(x)= a_2 sin(ω_2 x + φ_2) Wprowadź nową funkcję sinusoidalną h. 5 suma(x) = g(x) + h(x) Utwórz funkcję będącą sumą funkcji poprzednich. (b) (c) (d) Wprowadź różne kolory dla wykresów tych trzech funkcji aby można było je łatwo identyfikować. Dla jakich wartości a 2, ω 2, i φ 2 suma będzie miała największą amplitudę? Podpowiedź: W takim przypadku dźwięk wynikowy osiąga maksymalne wzmocnienie. Dla jakich wartości a 2, ω 2, i φ 2 obie funkcje wzajemnie się wygaszają. Podpowiedź: W tym przypadku nie usłyszymy żadnego dźwięku. 30
5. Eksport Obrazka do Schowka Pamięci Obszar roboczy GeoGebry może być eksportowany jako obrazek do schowka pamięci komputera. Obrazki takie dają się łatwo wkleić do dokumentu lub prezentacji, dzięki czemu można uatrakcyjnić testy, quizy, notatki czy gry matematyczne. Ćwiczenie 12a: Eksportowanie Obrazków do Schowka Pamięci Utwórz rysunek Otwórz nowy plik w GeoGebrze. Upewnij się czy widoczne są: Widok Algebry, Pole Wprowadzania i Osie. 1 f(x) = 0.5x 3 + 2x 2 + 0.2x - 1 Wprowadź wielomian trzeciego stopnia f 2 R = Pierwiastek[ f ] Wprowadź pierwiastki wielomianu f. Wskazówka: Jeśli pierwiastków jest więcej to GeoGebra do nazwy R dopisze indeksy (np. R 1, R 2, R 3 ). 3 E = Ekstremum[ f ] Wprowadź ekstrema wielomianu f. 4 Utwórz styczne do wykresu w punktach E 1 i E 2 5 I = PunktPrzegięcia[ f ] Wprowadź punkty przegięcia f. Wskazówka: Możesz zmienić własności obiektów (np. zmienić kolory punktów, styl stycznej, pokazać nazwę i wartość funkcji). 31
Eksportowanie obrazka do schowka pamięci Obszar roboczy GeoGebry może być eksportowany jako obrazek do schowka pamięci komputera. Obrazki takie dają się łatwo wkleić do dokumentu lub prezentacji, dzięki czemu można uatrakcyjnić testy, quizy, notatki czy gry matematyczne. GeoGebra eksportuje cały obszar roboczy Widoku Grafiki. W związku z tym warto zmniejszyć okno GeoGebry aby rysunek nie zajmował niepotrzebnej lub pustej przestrzeni. Przesuń rysunek (lub jego część) to lewego górnego narożnika używając narzędzia Przemieszczaj obszar roboczy (lub skrótu Ctrl). Wskazówka: Możesz także użyć narzędzi Powiększ i Pomniejsz aby przygotować rysunek do eksportu. Zredukuj rozmiary okna GeoGebry przeciągając myszką jego prawy dolny róg (patrz rysunek poniżej) Wskazówka: Kursor myszki zmieni kształt gdy znajdzie się nad lub w pobliżu krawędzi okna lub narożnika. GeoGebra okno przed zmniejszeniem GeoGebra okno po zmniejszeniu Aby eksportować rysunek do pamięci podręcznej należy w menu Plik wybrać polecenie Eksportuj - Kopiuj Widok Grafiki do schowka. Wskazówka: Możesz także użyć kombinacji klawiszy Ctrl + Shift +C. Twój rysunek jest teraz przechowywany w pamięci podręcznej i może być wklejony edytora tekstu lub prezentacji. 32
Ćwiczenie 12b: Wklejanie Obrazka do Dokumentu Edytora Tekstowego Wklejanie obrazka ze schowka do MS Word Po wykonaniu eksportu obrazka z GeoGebry do schowka pamięci możesz wkleić go z pamięci do dokumentu tekstowego (np. MS Word). Otwórz plik tekstowy Z zakładki Narzędzia główne wybierz Wklej. Obrazek zostanie wklejony w pozycji kursora. Podpowiedź: Możesz zamiennie użyć kombinacji klawiszy Ctrl V. Zmniejszenie wymiarów obrazka w MS Word Jeśli to konieczne możesz zmniejszyć wymiary obrazka w MS Word: Kliknij dwukrotnie myszką na obrazek Zmień wysokość/ szerokość obrazka używając zestawu Rozmiar po prawej stronie paska narzędzi. Kliknij OK. Uwaga: Zmieniając rozmiary obrazka, zmieniasz jego skalę. Jeśli chcesz zachować wymiary (np. uczniowie mają mierzyć długości) to upewnij się, że rozmiary są ustawione na 100%. Uwaga: Jeśli obrazek jest za duży, żeby zmieścić się na stronie, MS Word automatycznie go zmniejszy i tym samym zmieni jego skalę. 33
Wklejanie obrazka ze schowka do OpenOffice.org Writer Otwórz nowy plik tekstowy Z menu Edytuj wybierz Wklej lub użyj kombinacji klawiszy Ctrl-V. Zmniejszanie rozmiarów obrazka w OpenOffice.org Writer Kliknij dwukrotnie na wklejony obrazek. Wybierz zakładkę Typ w okienku Grafika. Zmień szerokość/wysokość obrazka. Kliknij OK. 34
6. Blok Ćwiczeń Praktycznych II Niniejszy blok stanowi zestaw zadań do przećwiczenia umiejętności wprowadzania wyrażeń algebraicznych, poleceń i funkcji w GeoGebrze. Zadania mają dwa poziomach trudności: elementarny i zaawansowany. Możesz dobierać sobie zadania według własnego uznania i przerabiać je samodzielnie lub w parze. Podpowiedzi i Wskazówki Przypomnij własności figur, które chcesz tworzyć. Spróbuj przemyśleć jakie narzędzia GeoGebry potrzebne Ci będą do konstrukcji figury na podstawie własności tej figury (np. kąt prosty narzędzie Proste prostopadłe). Upewnij się, że umiesz posługiwać się potrzebnymi narzędziami zanim przystąpisz do konstrukcji. Jeśli nie wiesz jak posługiwać się danym narzędziem, uaktywnij je odczytaj pomoc z prawej strony paska narzędzi.. Do każdego ćwiczenia otwórz nowy plik GeoGebry, ukryj w nim Widok Algebry, Pole Wprowadzania i Osie. Możesz zapisać plik zanim rozpoczniesz nowe ćwiczenie. Pamiętaj, że masz do dyspozycji przyciski Cofnij i Ponów na wypadek błędu. Często korzystaj z narzędzia Przesuń aby sprawdzić poprawność konstrukcji (np. czy obiekty są faktycznie połączone, czy nie utworzyłeś jakich niepotrzebnych obiektów) Jeśli masz pytania, zapytaj najpierw kolegę/koleżankę zanim zgłosisz się do osoby prowadzącej zajęcia lub asystenta.) 35
Ćwiczenie II.a: Parametry Równania Liniowego Poziom: Elementarny W tym ćwiczeniu wykorzystasz następujące narzędzia, wyrażenia algebraiczne i polecenia. Upewnij się, że wiesz jak korzystać z każdego z nich zanim przystąpisz do właściwej konstrukcji. Suwak Przecięcie dwóch obiektów prosta: y = m x + b Nachylenie Nowe! Odcinek między dwoma punktami Przecięcie[prosta, OśY] Pokaż / ukryj obiekt Przesuń Wskazówka: Możesz najpierw zajrzeć do pliku A_2a_parametry_prosta.html. Przebieg konstrukcji 1. Wpisz w Polu Wprowadzania: prosta: y = 0.8 x + 3.2 [Enter] Zadanie 1: Przesuwaj prostą przy użyciu klawiszy strzałek. Jaki parametr zmienia się w ten sposób? Zadanie 2: Przesuwaj prostą w Widoku Grafiki używając myszki. Jakie przekształcenie prostej możemy w ten sposób stosować? 2. Usuń prostą wprowadzoną pierwszym ćwiczeniu. 3. Utwórz suwaki m i b z domyślnymi ustawieniami. 4. Wpisz w Polu Wprowadzania prosta: y = m * x + b [Enter] Wskazówka: Nie zapomnij o znaku gwiazdki lub spacji dla działania mnożenia! Zadanie 3: Ułóż polecenia, które będą stanowić przewodnik dla twoich uczniów przy badaniu wpływu parametrów równania na położenie prostej, z wykorzystaniem suwaków. Polecenia te mogłyby stanowić dodatkową pomoc do pliku GeoGebry. Propozycja: Wzbogać swoją konstrukcję pokazując nachylenie prostej i jej przecięcie z osią y. 5. Utwórz punkt A przecięcia prostej z osią y. Wskazówka: Możesz zastosować polecenie Przecięcie[prosta, OśY]. 6. Utwórz punkt B w początku układu współrzędnych. 7. Zastosuj narzędzie Nachylenie i pokaż nachylenie (trójkąt) pokazujący nachylenie narysowanej prostej. 8. Ukryj niepotrzebne obiekty i zmień wygląd pozostałych. 36
Ćwiczenie II.b: Wstęp do Pochodnych Nachylenie Wykresu Poziom: Zaawansowany W tym ćwiczeniu wykorzystasz następujące narzędzia, wyrażenia algebraiczne i polecenia. Upewnij się, że wiesz jak korzystać z każdego z nich zanim przystąpisz do właściwej konstrukcji. f(x) = x^2/2 + 1 Nowy Punkt S = (x(a), nachylenie) Odcinek między dwoma punktami Styczna Nowe! Przesuń Nachylenie = Nachylenie[t] Wskazówka: Możesz najpierw zajrzeć do pliku A_2b_nachylenie_funkcja.html. Kroki Konstrukcji 1. Wprowadź wielomian f(x) = x^2/2 + 1 2. Utwórz punkt A na wykresie funkcji f. Wskazówka: Przesuń punkt A żeby sprawdzić, czy rzeczywiście ściśle trzyma się wykresu. 3. Utwórz styczną t do wykresu funkcji f w punkcie A. 4. Utwórz trójkąt nachylenia stycznej t wpisując: nachylenie = Nachylenie[t] 5. Zdefiniuj punkt S: S = (x(a), nachylenie) Wskazówka: x(a) oznacza współrzędną x punktu A. 6. Połącz odcinkiem punkty A i S. 7. Zadanie: Przesuwaj punkt A wzdłuż wykresu funkcji i postaraj się przewidzieć kształt ścieżki punktu S, odpowiadającego nachyleniu wykresu. Propozycja: Znajdź równanie funkcji nachylenia. 8. Włącz ślad punktu S. Move point A to check your conjecture. Podpowiedź: Kliknij prawy przycisk myszki na punkcie S (MacOS: Ctrlklik) i zaznacz Ślad Włączony. 9. Znajdź równanie otrzymanej funkcji nachylenia. Wprowadź ją i przesuwaj punkt A. Jeśli równanie funkcji jest poprawne to punkt S powinien przesuwać się jej wykresie. 37
10. Zmień równanie wyjściowej funkcji wielomianowej, żeby zaproponować nowe zadanie. Ćwiczenie II.c: Tworzenie Gry Domino o Funkcjach Poziom: Elementarny Przy okazji tego zadania poćwiczysz eksportowanie wykresu funkcji to schowka pamięci i wklejanie go do edytora tekstowego w celu przygotowania kart do gry Domino Funkcje. Przed rozpoczęciem, upewnij się, czy umiesz wprowadzać różne typy funkcji. Plan pracy 1. Wprowadź dowolną funkcję. Przykład: e(x) = exp(x) 2. Przesuń obszar roboczy tak by wykres funkcji znalazł się w prawym górnym rogu okna Widoku Grafiki i zmniejsz okno GeoGebry tak by widoczna była tylko jego część z wykresem 3. Wykonaj export obszaru roboczego do Schowka Pamięci (menu Plik Eksportuj Kopiuj Widok grafiki do schowka). 4. Otwórz nowy dokument tekstowy (np. MS Word).. 5. Utwórz tabelę (menu Wstaw Tabela ) o dwóch kolumnach i kilku wierszach. 6. Umieść kursor w jednej z komórek. Wklej wykres funkcji ze schowka pamięci (zakładka Narzędzia główne Wklej lub kombinacja klawiszy Ctrl + V). 7. Dopasuj rozmiary obrazka jeśli to konieczne. (Kliknij dwukrotnie na obrazek, żeby otworzyć zakładkę Formatowanie a następnie kliknij na użyj narzędzie z zestawu Rozmiar po prawej stronie paska narzędzi. 8. W komórce obok komórki z obrazki wpisz wzór innej funkcji. Wskazówka: Możesz użyć edytora równań. 9. Powtórz kroki od 1 do 8 z innymi funkcjami (np. trygonometrycznymi, logarytmicznymi). Wskazówka: Pamiętaj, żeby funkcja na rysunku miała inny wzór niż w komórce obok. 38
Ćwiczenie II.d: Tworzenie Figur do Gry Memory Poziom: Zaawansowany Przy tym zadaniu przećwiczysz eksportowanie figur geometrycznych do schowka pamięci i wklejanie ich do dokumentu tekstowego aby docelowo wykonać karty do gry Memory z figurami geometrycznymi (np. kwadratami, trójkątami).zanim zaczniesz, upewnij się czy umiesz konstruować różne figury geometryczne (np. czworokąty, trójkąty). Proces tworzenia 1. Skonstruuj figurę geometryczną w GeoGebrze (np. trójkąt równoramienny). 2. W oknie dialogowym Właściwości, dopracowuj szatę graficzną konstrukcji. 3. Przesuń rysunek do lewego górnego rogu I zmniejsz odpowiednio wymiary okna GeoGebry. 4. Wyeksportuj Widok Grafiki do schowka pamięci (menu Plik - Eksportuj Kopiuj Widok Grafiki do schowka). 5. Otwórz nowy dokument tekstowy (np. MS Word). 6. Utwórz tabelę z dwoma wierszami i kilkoma wierszami (zakładka Wstawianie - Tabela.) 7. Ustaw wysokość wierszy i szerokość kolumn na 5 cm (2 cale). Wskazówka: Umieść kursor w tabeli, kliknij prawy przycisk myszki i z menu podręcznego wybierz Właściwości Tabeli. W zakładce Wiersz określ wysokość 5 cm. W zakładce Kolumny wpisz preferowaną wysokość 5 cm. W zakładce Komórka ustaw Wyrównanie w pionie na opcję Do środka. Na zakończenie kliknij przycisk OK. 8. Umieść kursor w jednej z komórek. Wklej wykres funkcji ze schowka pamięci (zakładka Narzędzia główne Wklej lub kombinacja klawiszy Ctrl + V). 9. Dopasuj rozmiary obrazka jeśli to konieczne. (Kliknij dwukrotnie na obrazek, żeby otworzyć zakładkę Formatowanie i używając narzędzi z zestawu Rozmiar wprowadź rozmiary.). 39
10. W innej komórce tabeli wpisz nazwę figury. 11. Powtórz kroki od 1 do 10 dla innych figur (np. równoległobok, koło). TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY KWADRAT ROMB KOŁO 40
7. Wstawianie Obrazka do Widoku Grafiki Ćwiczenie 13: Rysunek jako Narzędzie do Pokazania Symetrii Powrót do szkoły Otwórz arkusz dynamiczny A13_rysunek_narzedzie_symetria.html. Postępuj zgodnie z instrukcjami arkusza i doświadczaj jak twoi uczniowie mogliby poznawać osie symetrii kwiatu. Wskazówka: W dalszej części zajęć dowiesz się jak utworzyć taki dynamiczny arkusz. Dyskusja Jakie korzyści dla twoich uczniów wnosi tak przygotowany arkusz dynamiczny? Jakie narzędzia zostały użyte do stworzenia tej konstrukcji? Przygotowania Otwórz plik w GeoGebrze. Ukryj Widok Algebry, Pole Wprowadzania i Osie (menu Widok). Kroki konstrukcji 1 Wprowadź nowy punkt A 2 Pokaż etykietę punktu A 3 Narysuj prostą a przechodzącą przez dwa punkty (oś symetrii) 4 Odbij punkt A względem narysowanej aby otrzymać obraz A. 5 Narysuj odcinek łączący punkt A z jego obrazem A. 41
6 Zahacz polecenie Ślad włączony dla punktów A and A. Wskazówka: Kliknij prawym przyciskiem myszki (MacOS: Ctrl klik) na każdy z punktów punkt i w menu kontekstowym wybierz polecenie Ślad włączony. 7 Przesuwaj punkt A aby narysować figurę dynamiczną. Dyskusja Atrybut Ślad włączony ma pewne charakterystyczne własności: Obraz śladu jest tymczasowy. Ślad znika po każdym odświeżeniu Widoku Grafiki. Śladu nie można zapisać i nie ma go w Widoku Algebry. Aby zmazać ślad, trzeba odświeżyć Widok (menu Widok Odśwież widoki lub kombinacja klawisz Ctrl + F. MacOS: Open Apple-F). Wzbogacenie konstrukcji Uwaga: Upewnij się, że masz w komputerze zachowany obrazek A13_flower.jpg. 8 Wstaw obrazek A13_flower.jpg do Widoku grafiki Wskazówka: Kliknij w dowolnym miejscu widoku Grafiki. Miejsce kliknięcia wskazuje gdzie ma być lewy dolny narożnik obrazka. 9 Dopasuj pozycję wstawionego obrazka. 10 11 Umieść obrazek w tle. (Kliknij prawy przycisk myszki i w oknie kontekstowym wybierz Właściwości zakładka Podstawowe - Obraz w tle). Zmniejsz Wypełnienie obrazka (menu Edycja - Właściwości zakładka Styl). Wskazówka: Po ustawieniu obrazka jako Obraz w tle nie da się zaznaczyć go myszką w Widoku Grafiki. Dlatego, aby zmienić własności obrazka, trzeba użyć menu Edycja Właściwości. 42
Ćwiczenie 14a: Skalowanie i Symetryczne Odbicie Obrazka W tym ćwiczeniu nauczysz się wyskalować wstawiony obrazek do danych rozmiarów i jak stosować przekształcenia do obrazków w GeoGebrze. Przygotowania Upewnij się, że masz na swoim komputerze zapisany obrazek A14_Sunset_Palmtrees.jpg. Otwórz plik w GeoGebrze. Zamknij Widok Algebry i ukryj Osie (menu Widok). Kroki konstrukcji 1 Wstaw obrazek A14_Sunset_Palmtrees.jpg w lewej części Widoku Grafiki. 2 Wstaw punkt A blisko lewego dolnego rogu obrazka 3 Ustaw punkt A jako PIERWSZY narożnik obrazka. Wskazówka: W oknie dialogowym Właściwości wybierz obrazek z listy obiektów. Kliknij na zakładkę Pozycja i wybierz punkt A z listy rozwijalnej Narożnik 1. 4 Wprowadź punkt: B = A + (3, 0) 5 6 7 Zadania Ustaw punkt B jako DRUGI narożnik wstawionego. Podpowiedź: Właśnie zmieniłeś szerokość obrazka do 3 cm. Narysuj prostą przechodzącą przez dwa punkty w środkowej części Widoku Grafiki. Odbij obrazek symetrycznie względem prostej. Wskazówka: Możesz zmniejszyć wypełnienie otrzymanego obrazu aby odróżnić go od oryginalnego obrazka (okno dialogowe Właściwości). (a) Przesuń myszką punkt A. Jak to działa na obrazek? (b) Przesuń myszką obrazek i obserwuj jaki ma to wpływ na jego obraz. (c) Przesuń oś symetrii przesuwając myszką dwa punkty wyznaczające prostą. Jak to działa na obraz? Ćwiczenie 14b: Zniekształcanie Obrazka W tym ćwiczeniu nauczysz się jak zmieniać wymiary wstawionego obrazka i jak zniekształcać obrazek w GeoGebrze. Zmodyfikujesz utworzoną wcześniej 43
konstrukcję 14a. Jeśli chcesz zachować wersję oryginalną tej konstrukcji, to musisz ją zapisać na komputerze. Kroki konstrukcji 1 Otwórz konstrukcję, którą utworzyłeś w ćwiczeniu 14a. 2 Usuń punkt B aby przywrócić oryginalne rozmiary obrazka. 3 Wstaw nowy punkt B blisko prawego dolnego rogu obrazka. 4 Ustaw punkt B jako DRUGI narożnik obrazka. Wskazówka: Możesz teraz zmienić szerokość obrazka poruszając punktem B. 5 Utwórz nowy punkt E blisko lewego górnego rogu obrazka. 6 Ustaw punkt D jako CZWARTY narożnik obrazka Zadania (a) Jak poruszanie punktem E działa na obrazek i jego odbicie symetryczne? (b) Kształt jakiej figury przyjmuje obrazek i jego odbicie za każdym razem? Ćwiczenie 14c: Badanie Własności Symetrii Osiowej W tym ćwiczeniu utworzymy konstrukcję dynamiczną, która pozwoli twoim uczniom odkrywać własności symetrii. 44
Zmodyfikujesz utworzoną wcześniej konstrukcję 14b. Jeśli chcesz zachować wersję oryginalną tej konstrukcji, to musisz ją zapisać na komputerze. Kroki konstrukcji 1 Otwórz plik utworzony w poprzednim ćwiczeniu 14b. 2 Narysuj odcinek o końcach A i B. 3 Narysuj odcinek o końcach A i E. 4 Narysuj prostą równoległą do AB i przechodzącą przez punkt E. 5 Narysuj prostą równoległą do AE i przechodzącą przez punkt B. 6 Zaznacz punkt F przecięcia się narysowanych prostych. 7 Ukryj obiekty pomocnicze. Odbij cztery narożniki A, B, F, E względem osi symetrii aby 8 uzyskać obrazy A, B, F, i E. 9 Połącz odcinkami punkty z ich obrazami (np. punkty A i A ). 10 Utwórz kąty między odcinkami a osią symetrii. Zadanie Przesuwaj narożniki oryginalnego obrazka i prostą będącą osią symetrii. Co możesz powiedzieć o kątach między osią symetrii a odcinkami łączącymi punkty z ich obrazami? Czym jest oś symetrii dla każdego z tych odcinków? 45
8. Wstawianie Tekstu do Widoku Grafiki Ćwiczenie 15: Współrzędne Punktów Symetrycznych Przygotowania Otwórz plik w GeoGebrze. Pokaż Widok Grafiki, Pole Wprowadzania, Osie i Siatkę (menu Widok). W menu Opcje zaznacz pozycję Przechwytywanie Punktu Przymocuj do Punktów kratowych. 1 Utwórz punkt A = (3, 1). 2 Utwórz prostą wpisując w Polu Wprowadzania a: y = 0. 3 Odbij symetrycznie punkt A aby otrzymać punkt A. 4 Zmień kolor prostej a i punktu A. 5 Utwórz prostą wpisując w Polu Wprowadzania b: x = 0. 6 Odbij symetrycznie punkt A względem prostej b aby otrzymać punkt A 1 7 Zmień kolor prostej b i punktu A 1. Wstawianie tekstu statycznego Wprowadź nagłówek do Widoku Grafiki GeoGebry, żeby twoi uczniowie wiedzieli czego dotyczy dynamiczna konstrukcja : Uaktywnij narzędzie Wstaw tekst i kliknij myszką gdzieś w górnej części okna roboczego Widoku Grafiki.. W oknie dialogowym, które się pojawi wpisz tekst: Odbicie symetryczne punktu względem osi układu współrzędnych. Zatwierdź kliknięciem na przycisk OK. Uaktywnij narzędzie Przesuń i dopasuj pozycję tekstu. Wskazówka: W oknie dialogowym Właściwości możesz zmienić atrybuty tekstu (np. sformułowanie, styl czcionki, rozmiar czcionki, format). W zakładce Podstawowe możesz zaznaczyć Osadź obiekt, żeby tekst nie uległ przypadkowemu przesunięciu. 46
Wstawianie tekstu dynamicznego Tekst dynamiczny odnosi się do istniejących obiektów i dostosowuje się automatycznie do modyfikacji, na przykład w zapisie A = (3, 1) współrzędne zmieniają się gdy tylko punkt A jest przesuwany. Uaktywnij narzędzie Wstaw tekst i kliknij myszką w obszarze Widoku Grafiki. W oknie dialogowym Tekst, które się pojawi, wpisz: A = Wskazówka: To będzie statyczna część tekstu i nie będzie się zmieniać przy przesuwaniu punktu A. Wstaw dynamiczną część tekstu wybierając myszką punkt A z listy rozwijanej Obiekty okna dialogowego Tekst. Kliknij OK. Uwaga: Tekst pokazuje współrzędne punktu A i dostosowuje je automatycznie do zmienianej się pozycji. Wzbogacenie szaty graficznej konstrukcji Wstaw dynamiczny tekst, który pokazuje współrzędne obrazów A i A 1 w symetrii punktu A względem osi odpowiednio OX i OY. Użyj polecenia Pomniejsz zwiększyć zakres punktów płaszczyzny w układzie współrzędnych. Wskazówka: Możesz dopasować odległość między liniami siatki nałożonej na płaszczyznę w Widoku Grafiki. o Otwórz okno dialogowe Właściwości dla Widoku Grafiki (Kliknij prawym przyciskiem myszki (MacOS: Ctrl+klik) w pustym miejscu Widoku Grafiki i z menu kontekstowego wybierz Właściwości. o Wybierz zakładkę Siatka. o Zahacz kwadracik przy słowie Odległość i zmień wartości w obu polach tekstowych na 1. Zamknij Widok Algebry i Osadź wszystkie pola tekstowe tak by nie można ich było przypadkowo przesunąć (okno dialogowe Właściwości).. Zadanie Wymyśl polecenia, które pomogą twoim uczniom odkryć związek między współrzędnymi danego punktu a jego obrazami w symetriach względem osi układu. Wykorzystaj przy tym tekst dynamiczny. 47
Ćwiczenie 16: Obrót Wielokąta Przygotowania Otwórz nowy plik w GeoGebrze. Ukryj Widok Algebry i Pole Wprowadzania (menu Widok). Pokaż Osie i Siatkę (menu Widok). Otwórz okno dialogowe właściwości Widoku Grafiki klikając prawym przyciskiem myszki w obszarze Widoku Grafiki (MacOS: Ctrl klik). o W zakładce OśX : zahacz i zmień Odległość na 1. o W zakładce OśY: zahacz i zmień Odległość na 1. Kroki konstrukcji 1 Utwórz dowolny trójkąt ABC w drugiej ćwiartce i rozmieść wierzchołki w punktach przecięcia linii siatki. 2 Wstaw nowy punkt D w początku układu współrzędnych. 3 Zmień nazwę punktu D na O. Wskazówka: GeoGebra daje możliwość ekspresowej zmiany nazwy. Uaktywnij narzędzie Przesuń i zaznacz obieg. Gdy zaczniesz pisać nową nazwę GeoGebra otworzy okno dialogowe Zmień nazwę. 4 Wstaw suwak dla kąta α. Wskazówka: W oknie dialogowym suwaka zahacz Kąt i ustaw jego miarę na 90. Upewnij się, że nie zmazałeś symbolu stopnia kąta. 5 Obróć trójkąt ABC wokół punktu O o kąt α. Wskazówka: W oknie dialogowym obrotu zahacz opcję (obrót) przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. 6 Narysuj odcinki AO i A O. 7 Narysuj kąt AOA Wskazówka: Zaznacz punkty w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara (punkt pierwszego ramienia, wierzchołek, punkt drugiego ramienia). Ukryj nazwę kąta. Wzbogacenie konstrukcji 48
1 Wprowadź tekst statyczny: Obrót Wielokąta 2 Wprowadź tekst dynamiczny: "A = " + A 3 Wprowadź tekst dynamiczny: "A = " + A 4 Przesuń suwak I tekst do właściwej pozycji. 5 6 Zahacz dla suwaka opcję Zaczepiony (okno dialogowe Właściwości zakładka Suwak) Osadź pozycję tekstu (okno dialogowe Właściwości zakładka Podstawowe) Dyskusja Jak mógłbyś wykorzystać ten plik aby wprowadzić swoim uczniom obrotu figury wokół początku układu współrzędnych.? pojęcie 49
9. Blok Ćwiczeń III Ten zestaw ćwiczeń składa się z zadań służących opanowaniu umiejętności wstawiania obrazków i tekstu do Widoku Grafiki w GeoGebrze. Zadania mają dwa poziomy trudności: podstawowy i zaawansowany. Możesz dobierać zadania według własnego uznania i przerabiać je samodzielnie lub w parze. Podpowiedzi i Wskazówki Do każdego ćwiczenia otwórz nowy plik GeoGebry, ukryj w nim Widok Algebry, Pole Wprowadzania i Osie. Możesz zapisać plik zanim rozpoczniesz nowe ćwiczenie Przypomnij sobie własności figur, które chcesz tworzyć. Jeśli wybrane przez Ciebie zadanie wymaga wstawienia obrazka do GeoGebry, upewnij się czy masz zapisane odpowiednie pliki graficzne na swoim komputerze. Warto jest zapisywać pliki przed rozpoczęciem konstrukcji. Pamiętaj, że na wypadek błędu masz do dyspozycji przyciski Cofnij i Ponów. Często korzystaj z narzędzia Przesuń aby sprawdzić poprawność konstrukcji (np. czy obiekty są faktycznie połączone, czy nie utworzyłeś jakich niepotrzebnych obiektów) Sprawdź dobrze czy poprawnie wpisałeś wyrażenie algebraiczne zanim zatwierdzisz je klawiszem Enter. Spróbuj przemyśleć jakie narzędzia GeoGebry potrzebne Ci będą do konstrukcji figury na podstawie własności tej figury (np. kąt prosty narzędzie Proste prostopadłe). Upewnij się, że umiesz posługiwać się potrzebnymi narzędziami zanim przystąpisz do konstrukcji. Jeśli nie wiesz jak posługiwać się danym narzędziem, uaktywnij je odczytaj pomoc z prawej strony paska narzędzi. Jeśli masz pytania, zapytaj najpierw kolegę/koleżankę zanim zgłosisz się do osoby prowadzącej zajęcia lub asystenta. 50
Ćwiczenie III.a: Interpretacja Graficzna Układu Równań Poziom: Podstawowy W tym ćwiczeniu będziesz wprowadzać wyrażenia algebraiczne i polecenia. Upewnij się czy znasz składnię wyrażeń i poleceń, zanim zaczniesz. Możesz zajrzeć do arkusza dynamicznego A_3a_system_equations.html i zastanowić się jak uczniowie mogliby wykorzystać tę konstrukcję do graficznego rozwiązania układu równań liniowych.. Kroki konstrukcji 1. Utwórz Suwaki m_1 i b_1 z domyślnymi ustawieniami. 2. W polu wprowadzania wpisz nazwę i równanie prostej p_1: y = m_1 x + b_1. 3. Utwórz Suwaki m_2 i b_2 z domyślnymi ustawieniami. 4. W polu wprowadzania wpisz nazwę i równanie prostej p_2: y = m_2 x + b_2. 5. Utwórz tekst dynamiczny text1: Prosta 1: i wybierz p_1 z listy rozwijalnej Obiekty. 6. Utwórz tekst dynamiczny text2: Prosta 1: i wybierz p_2 z listy rozwijalnej Obiekty. 7. Wyznacz punkt A przecięcia się obu prostych używając Przecięcie dwóch obiektów lub polecenia A = Przecięcie[p_1, p_2]. 8. Polu Wprowadzania wpisz wpolrzedna_x=x(a). Wskazówka: x(a) oznacza współrzędną x punktu A. 9. Polu Wprowadzania wpisz wpolrzedna_y=y(a). Wskazówka: y(a) oznacza współrzędną y punktu A. 10. Utwórz tekst dynamiczny text3: "Rozwiązanie: x = i wybierz obiekt wspolrzedna_x z listy rozwijalnej Obiekty. Dopisz y = wybierz obiekt wspolrzedna_y z listy rozwijalnej Obiekty. 51
Propozycja: Utwórz podobną konstrukcję, które pozwoli zinterpretować graficznie rozwiązanie układu równań kwadratowych. Wskazówka: Możesz użyć składni f(x) = Uwaga: Tego typu dynamiczną konstrukcją można także zinterpretować równanie z jedną niewiadomą wprowadzając każdą stronę równania w postaci wzoru jednej z dwóch funkcji. Ćwiczenie III.b: Translacja obrazka Poziom: Podstawowy W tym ćwiczeniu wykorzystasz następujące narzędzia i polecenia. Upewnij się na początku, że wiesz jak posługiwać się każdym z tych narzędzi i poleceń. Wstaw obraz Wektor między dwoma punktami Nowe! A = (1, 1) Przesuń obiekt o wektor Nowe! Wielokąt Wektor[O, P] Przesuń Wstaw tekst Kroki konstrukcji 1. Otwórz plik w GeoGebrze. Pokaż Widok Algebry, Pole Wprowadzania, Osie i Siatkę (menu Widok). Włącz opcję przyciągania do punktów siatki (menu Opcje - Przechwytywanie punktu Przymocuj do punktów kratowych). 2. Wstaw obrazek A_3b_Bart.png w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. 3. Utwórz punkty A = (1, 1), B = (3, 1), i D = (1, 4). 4. Ustaw punkt A jako PIERWSZY, B jako DRUGI, i D jako CZWARTY narożnik obrazka. (Okno dialogowe Właściwości zakładka Pozycja) 5. Utwórz trójkąt ABD. 6. Utwórz punkt O = (0, 0) i punkt P = (3, -2). 7. Utwórz wektor u = Wektor[O, P]. Wskazówka: Możesz także użyć narzędzia Wektor między dwoma punktami. 8. Przesuń obrazek o wektor u korzystając z narzędzia l Przesuń obiekt o wektor. Wskazówka Możesz zmniejszyć wypełnienie obrazu. 9. Przesuń narożniki A, B, i D o wektor u aby otrzymać obrazy A, B, i D. 10. Utwórz trójkąt A B D. 52
11. Ukryj punkt O aby nie można go było przesunąć przez przypadek.. Zmień kolory i rozmiary obiektów, aby wzbogacić szatę graficzną konstrukcji. Propozycja Wstaw tekst dynamiczny, który pokaże: współrzędne punktów A, B, C, A, B, i D, współrzędne wektora u. Ćwiczenie III.c: Trójkąt Ilustrujący Nachylenie Prostej Poziom: Zaawansowany W tym ćwiczeniu użyjesz następujących narzędzi i wyrażeń algebraicznych. Przed rozpoczęciem upewnij się, że umiesz posługiwać się tymi narzędziami i znasz składnie wyrażeń. Prosta przechodzące przez dwa punkty Proste prostopadłe Przecięcie dwóch obiektów Wielokąt przyrost_y=y(b)-y(a) Przyrost_x=x(B)-y(A) nachylenie=przyrost_y/ przyrost_x Wstaw tekst Środek Przesuń Kroki konstrukcji 1. Pokaż Widok Algebry, Osie, i Siatkę. W menu Opcje wybierz Przechwytywanie punktu Przymocuj do punktów kratowych oraz Etykietowanie na opcję Wszystkie nowe obiekty. 2. Utwórz prostą a przechodzącą przez dwa punkty A i B. 3. Narysuj prostą b prostopadłą do osi y i przechodzącą przez punkt A. 4. Narysuj prostą c prostopadłą do osi x i przechodzącą przez punkt B. 5. Wstaw punkt C przecięcia się prostych b i c. Wskazówka: Proste prostopadłe można ukryć. 6. Za pomocą narzędzia Wielokąt utwórz trójkąt ACB i ukryj nazwy jego boków. 7. Oblicz przyrost wzdłuż osi y: przyrost_y = y(b) - y(a) Wskazówka: y(a) oznacza drugą współrzędną punktu A. 53
8. Oblicz przyrost wzdłuż osi x: przyrost_x = x(b) - x(a) Wskazówka: x(b) oznacza pierwszą współrzędną punktu B. 9. Wstaw wzór na współczynnik kierunkowy (nachylenie) prostej a: nachylenie = przyrost_y / przyrost_x 10. Wstaw dynamiczny tekst: Przyrost y = i wybierz przyrost_y z listy rozwijalnej Obiekty Dopisz: Przyrost x = i wybierz przyrost_x z listy rozwijalnej Obiekty Dopisz: Współczynnik kierunkowy = i wybierz nachylenie z listy rozwijalnej Obiekty 11. Wzbogać konstrukcję zmieniając właściwości niektórych obiektów. Propozycja 1: Wstawianie tekstu dynamicznego z ułamkiem zwykłym. Używając formuł LaTeX, tekst można wzbogacić o takie elementy jak ułamki, pierwiastki czy też inne matematyczne symbole. 1. Uaktywnij narzędzie Wstaw tekst i kliknij myszką w obszarze Widoku Grafiki. 2. Wpisz w okienku tekstowym Nachylenie prostej = 3. Zahacz kwadracik przy Formuła LaTeX i z listy rozwijalnej wybierz Pierwiastki i ułamki, a następnie symbol a/b. 4. Umieść kursor myszki wewnątrz pierwszej pary nawisów klamrowych i w miejsce litery a wstaw przyrost_y z listy rozwijalnej Obiekty. 5. Umieść kursor myszki wewnątrz pierwszej pary nawisów klamrowych i w miejsce litery b wstaw przyrost_x z listy rozwijalnej Obiekty. 6. Kliknij OK. Propozycja 2: Przypisanie tekstu do obiektu Tekst przypisany do obiektu zmienia pozycję wraz z obiektem, tzn. gdy obiekt się przesuwa tekst podąża z nim. Przypiszemy teraz teksty do boków trójkąta ilustrującego nachylenie prostej. 1. Za pomocą narzędzia Środek utwórz środek D pionowego odcinka CB. 2. Podobnie utwórz środek E poziomego odcinka AC. 3. Otwórz w menu Edycja okno dialogowe Właściwości i obiekt text1 (przyrost_y = ). Kliknij na zakładkę Położenie i z listy rozwijalnej Punkt początkowy wybierz punkt D. 54
4. Otwórz w menu Edycja okno dialogowe Właściwości i obiekt text2 (przyrost_x = ). Kliknij na zakładkę Położenie i z listy rozwijalnej Punkt początkowy wybierz punkt E. 5. Ukryj punkty D i E. Ćwiczenie III.d: Badanie Piramidy Luwr Poziom: Zaawansowany W tym ćwiczeniu użyjesz narzędzi wymienionych poniżej i wprowadzisz pewne wyrażenia algebraiczne. Upewnij się, że umiesz posługiwać się każdym z tych narzędzi i znasz składnię wyrażeń algebraicznych. Sprawdź także, czy masz na swoim komputerze obrazek A_3d_Louvre.jpg. Wstaw obraz Prosta przechodząca przez dwa punkty Nachylenie Kąt Nowy Punkt Proste prostopadłe Przecięcie dwóch obiektów Pokaż/ ukryj obiekt Odcinek między dwoma punktami Przesuń Luwr w Paryżu jest jednym z najczęściej odwiedzanych i najsłynniejszych muzeów świata. Znajdują się w nim zbiory najsłynniejszych dzieł sztuki, takich jak Mona Lisa Leonarda Da Vinci. W 1989 roku główne wejście do muzeum zostało odrestaurowane i na dziedzińcu stanęła szklana co?(http://pl.wikipedia.org/wiki/louvre, Luty 20, 2008). 55
Ustal nachylenie ścian piramidy do podłoża 1. W menu Opcje ustaw Przyciąganie punktu na opcję wyłącz oraz Zaokrąglanie na 1 miejsce po przecinku. Zmień też Etykietowanie na opcję Wszystkie nowe obiekty. 2. Wstaw obrazek A_3d_Louvre.jpg do pierwszej ćwiartki układu współrzędnych tak aby lewy dolny narożnik obrazka pokrywał się z początkiem układu. 3. Zmniejsz Wypełnienie obrazka (do około 50%) i ustaw obrazek jako Obraz w tle (okno dialogowe Właściwości). 4. Utwórz prostą a przechodząca przez dwa punkty, z których pierwszy jest wierzchołkiem podstawy, a drugi jest wierzchołkiem piramidy. Wskazówka: Zmień właściwości prostej aby poprawić jej widoczność. 5. Zastosuj do narysowanej narzędzie Nachylenie. Wskazówka: Zmień właściwości prostej aby poprawić widoczność trójkąta. Wskazówka: Trójkąt nachylenia pokazuje się przy pierwszym punkcie definiującym prostą. 6. Zadanie: Ustal procentowe nachylenie prostej. 7. Utwórz kąt między osią x a daną prostą. Zadanie: Ustal kąt nachylenia ściany piramidy do podstawy. Propozycja 10. Widok Arkusza z Widokiem Grafiki GeoGebra umożliwia widzenie obiektów matematycznych na różne sposoby: w Widoku Grafiki, w numerycznym Widoku Algebry oraz w Widoku Arkusza. Wszystkie reprezentacje tego samego obiektu są dynamicznie powiązane i dostosowują się automatycznie do zmian każdej z reprezentacji, bez względu na to jak obiekty te zostały utworzone. 56
Wprowadzanie obiektów do Komórek Arkusza W GeoGebrze każda komórka Widoku Arkusza ma swoją nazwę, co pozwala odwoływać się ściśle do każdej komórki. Na przykład, komórka w kolumnie A i w wierszu 1 ma nazwę A1. Uwaga: Nazwy komórek mogą być używane w wyrażeniach i poleceniach do wprowadzania wartości tych komórek. Do komórek arkusza można wprowadzać nie tylko liczby, ale wszystkie typy obiektów matematycznych, które obsługuje GeoGebra (np., współrzędne punktów, funkcje, proste). Jeśli jest to możliwe GeoGebra natychmiast wyświetla graficzną reprezentację obiektu wprowadzonego do komórki arkusza w Widoku Grafiki. Wówczas nazwa obiektu odpowiada nazwie komórki arkusza, w której obiekt został utworzony (np. A5, C1). Uwaga: Domyślnie, obiekty arkusza są klasyfikowane jako obiekty pomocnicze w Widoku Algebry. Takie obiekty pomocnicze można wyświetlać lub ukrywać wybierając ikonę Obiekty pomocnicze z paska narzędzi w górnej części Widoku Algebry. Ćwiczenie 17a: Rejestrowanie do Arkusza Przygotowania Otwórz nowe okno GeoGebry. Wybierz w menu Widoki Tabela i Grafika. 57
Kroki konstrukcji 1 2 A = (a, 2a) Utwórz suwak a o domyślnym przedziale wartości z krokiem 1. Wskazówka: Wybierz narzędzie Suwak i kliknij w obszarze Widoku Grafiki aby ustawić pozycją suwaka. W oknie dialogowym, które się ukaże wpisz w polu Krok liczbę 1. Kliknij przycisk Zastosuj. Utwórz punkt A wpisując w Polu Wprowadzania A = (a, 2a). Wskazówka: Wartość suwaka a definiuje współrzędną x punktu A, natomiast współrzędna y jest jej dwukrotnością. 3 Pokaż nazwę punktu A w Widoku Grafiki. 4 5 Zmień wartość suwaka a aby sprawdzić zmianę pozycji punktu A. Przy pomocy narzędzi Przemieszczaj Obszar roboczy, Przybliż, Oddal dopasuj widoczną część Widoku Grafiki tak żeby punkt A można było zobaczyć w każdej pozycji jaką można ustawić na suwaku. 6 Zarejestruj współrzędne różnych pozycji punktu A do arkusza: (1) Wybierz narzędzie Zapisz do arkusza kalkulacyjnego. Następnie kliknij na punkt A, żeby go podświetlić Uwaga: Aktualne współrzędne pozycji punktu A są natychmiast wprowadzone do komórek A1 (współrzędna x) and B1 (współrzędna y) w arkuszu. (2) Zmieniaj teraz wartość suwaka a aby zarejestrować współrzędne wszystkich możliwych pozycji punktu A w arkuszu.. Uwaga: Nie przełączaj się na inne narzędzie do zakończenia przesuwania wartości suwaka. 58
Ćwiczenie 17b: Kopiowanie Zależności i Równania Liniowe Przygotowania Otwórz nowe okno GeoGebry. Wybierz w menu Widoki Tabela I Grafika. Kroki konstrukcji 1 2 (0, 0) 3 (1, 1) Uaktywnij narzędzie Przemieszczaj obszar roboczy i przesuń początek układu współrzędnych w pobliże lewego dolnego narożnika Widoku Grafiki. W Widoku Arkusza kliknij na komórkę A1 i wpisz współrzędne punktu (0, 0). I W Widoku Arkusza kliknij na komórkę A2 i wpisz współrzędne punktu (1, 1). 59
4 Pokaż etykiety obu punktów w Widoku Grafiki. 5 6 Skopiuj relatywnie współrzędne wprowadzonych punktów do innych komórek kolumny A: (1) Podświetl obie komórki A1 i A2 przy pomocy myszki. (2) Kliknij na mały kwadracik w prawym dolnym rogu zakresu podświetlenia. (3) Przy wciśniętym przycisku myszki przeciągnij kursor w dół aż do komórki A11. Przy pomocy narzędzi Przemieszczaj Obszar roboczy, Przybliż, Oddal dopasuj widoczną część Widoku Grafiki tak by wszystkie punkty można było zobaczyć. Zadanie 1: Sprawdź współrzędne ciągu punktów Jaki ciąg tworzy się jeśli stosujemy kopiowanie zależne w arkuszu GeoGebry w sposób opisany powyżej? Wskazówka: Prześledź współrzędne x wszystkich utworzonych punktów i postaw hipotezę na temat zależności między nimi. Sprawdź następnie czy ta sama zależność zachodzi między współrzędnymi y tych punktów.. Zadanie 2: Znajdź odpowiednie równanie Spróbuj przewidzieć równanie, którego wykres będzie przechodził przez wszystkie punkty omawianego ciągu. Wpisz to równanie w Polu Wprowadzania żeby sprawdzić swoje przepuszczenie. 60
Ćwiczenie 17c: Linia najlepszego dopasowania Przygotowania Otwórz nowe okno w GeoGebrze. Wybierz w menu Widoki Tabela i Grafika. Wybierz w menu Opcje Etykietowanie tylko nowe punkty. Kroki Konstrukcji 1 2 3 4 Wpisz następujące liczby w kolejnych komórkach kolumny A: A1: 1 A2: 5 A3: 2 A4: 8 A5: -2 Wpisz następujące liczby w kolejnych komórkach kolumny B: B1: -1 B2: 2 B3: 3 B4: 4 B5: 1 Zastosuj narzędzie Analiza Regresji Dwóch Zmiennych aby utworzyć funkcję, która najlepiej pasuje do danych punktów. Wskazówka: Podświetl komórki I kliknij na ikonę z narzędziem. Aby znaleźć funkcję, które najlepiej pasuje do danych punktów. Wypróbuj różne Modele Regresji z listy rozwijalnej. Zadanie 1: Zbadaj modele regresji Dlaczego niektóre modele nie działają dla punktów, które wprowadziłeś? Wprowadź inne punkty i ponownie wypróbuj Analizę Regresji Dwóch Zmiennych. Zadanie 2: Regresja Wielomianowa Z listy rozwijalnej Model Regresji wybierz Wielomian i zaobserwuj jak zmieniają się funkcja i wykres gdy z listy rozwijalnej obok wybierasz różne liczby wskazujące stopień wielomianu 61
Importowanie danych z innych arkuszy kalkulacyjnych Uwaga: GeoGebra pozwala kopiować i wklejać dane pochodzące innych arkuszy kalkulacyjnych do arkusza kalkulacyjnego GeoGebry: Zaznacz i skopiuj dane, które chcesz zaimportować (np. zastosuj skrót klawiszowy Ctrl+C, żeby skopiować dane do schowka pamięci). Uwaga: Aby skrót klawiszowy działał należy jednocześnie wcisnąć oba klawisze Ctrl i C. Otwórz okno GeoGebry i pokaż Widok Arkusza. Kliknij na komórkę, która będzie zawierać pierwszą daną. Wklej dane ze schowka pamięci komputera do Widoku Arkusza GeoGebry. Możesz w tym celu posłużyć się skrótem klawiszowym Ctrl-V lub kliknąć prawy przycisk myszki (MacOS: Ctrl-klik) na podświetlonej komórce i wybrać polecenie Wklej z menu kontekstowego, które się pojawi. Ćwiczenie 17d: Badanie Podstawowych Wielkości Statystycznych Przeprowadziłeś wczoraj quiz dla 25 uczniów po pierwszym semestrze klasy pierwszej. Na zakończenie zapytałeś uczniów jak oceniają stopień trudności quizu w skali od 1 ( bardzo łatwy ) do 5 ( bardzo trudny ). 4 uczniów oceniło quiz jako bardzo łatwy (1) 6 uczniów oceniło quiz jako łatwy (2) 6 innych uczniów oceniło quiz jako trudny (4) 1 uczeń ocenił quiz jako bardzo trudny (5) Reszta uczniów stwierdziła, że quiz był ok (3). Zadanie 1: Utwórz histogram Wprowadź powyższe dane do arkusz GeoGebry i utwórz histogram, który je obrazuje. Wskazówki: Do utworzenia histogramu zastosuj narzędzie Analiza Jednej Zmiennej. Uwaga: Zmień liczbę Klas/Kategorii w górnym okienku aby kontrolować liczbę słupków pokazywanych na histogramie. Rozbuduj histogram ustalając ręcznie klasy I zmieniając parametr startu I szerokości. 62
Zadanie 2: Wyznacz średnią i medianę 1. Spróbuj przewidzieć średnią i medianę zebranych danych. 2. Porównaj swoje rozwiązanie sprawdzając tabele widniejącą w prawej części okna Statystyki Jednej Zmiennej. 11. Tworzenie Statycznego Materiału Instruktażowego Ćwiczenie 18a: Zapisywanie Obrazka do Pliku W tym ćwiczeniu nauczysz się jak eksportować obrazek z GeoGebry do pliku. W porównaniu z eksportem obrazka do pamięci (patrz ćwiczenie 12a), ta opcja ma kilka zalet: Możesz zapisać obrazek i użyć go ponownie później. Nie jest to możliwe przy eksporcie do schowka pamięci gdyż wtedy dane przechowywane są tymczasowo i nie można ich użyć w późniejszej sesji. Możesz zdefiniować skalę swojego obrazka co jest wygodne gdy chcesz, żeby twoi uczniowie dokonali pomiarów na rysunku. Możesz zmienić rozdzielczość swojego obrazka i co za tym idzie, zmienić wielkość pamięci jaką zajmuje plik z obrazkiem. Rozdzielczość decyduje o jakości obrazu: przy dobrej jakości wydruku zaleca się raczej dużą rozdzielczość (około 300 dpi). Aby zamieścić obrazek na stronie internetowej wystarczy mniejsza rozdzielczość I zwykle jest to 72 dpi. Wskazówka: dpi jest skrótem od dots per inch i oznacza liczbę punktów na jeden cal kwadratowy. Możesz określić format obrazka. GeoGebra oferuje kilka różnych formatów obrazka. Domyślnie jest to rastrowy format plików graficznych 63
Portable Network Graphics (png), wygodny gdy chcemy wstawić obrazek do pliku tekstowego lub prezentacji. Wskazówka: Jeśli nie znasz innych formatów graficznych, nie przejmuj się. Utwórz swój obrazek Utwórz prostą konstrukcję w GeoGebrze. Zastosuj na przykład narzędzie Wielokąt foremny i narysuj kwadrat, pięciokąt lub sześciokąt w Widoku Grafiki. Uaktywnij narzędzie i kliknij w dwóch miejscach Widoku Grafiki. Odległość między tymi miejscami (punktami) definiuje długość boku wielokąta foremnego. W oknie dialogowym, które się zaraz pojawi, wpisz liczbę wierzchołków wielokąta (np. 6 dla sześciokąta foremnego). Zatwierdź przyciskiem OK. Podobnie jak w przypadku eksportu do pamięci, GeoGebra zapisze obrazek z całą zawartością Widoku Grafiki. Dlatego trzeba zmniejszyć okno, żeby pominąć niepotrzebną pustą przestrzeń Widoku Grafiki: Przesuń figurę (lub odpowiedni obszar) do lewego górnego rogu używając narzędzia Przemieszczaj obszar roboczy. Wskazówka: Przygotowując rysunek do eksportu możesz użyć narzędzi Powiększ i Pomniejsz. Zmniejsz rozmiar okna GeoGebry przeciągając myszką jego prawy dolny narożnik (patrz rysunek poniżej) Wskazówka: Wskaźnik myszki zmieni swój kształt gdy znajdzie się nad krawędzią lub narożnikiem okna GeoGebry. Eksportowanie obrazka do pliku Aby eksportować Widok Grafiki jako obrazek do pliku, wybierz w menu Plik: Eksportuj Widok Grafiki (png, eps, ) Wskazówka: Możesz tez użyć kombinacji klawiszy Ctrl + Shift + P. 64
W oknie dialogowym, które się pojawi, możesz zmienić ustawienia (format obrazka, skalę, rozdzielczość). Wskazówka: Zawsze sprawdzaj wymiary obrazka (w cm lub dpi). Jeśli obrazek nie wpasowuje się do kartki papieru możesz zmodyfikować rysunek zanim przejdziesz do jego eksportu. Jest to ważne szczególnie wtedy gdy chcesz zachować skalę wyświetlanego obrazka w dokumencie tekstowym lub w prezentacji. Kliknij Zapisz i zachowaj obrazek w swoim pliku GeoGebra_Wprowadzenie. Twój rysunek jest teraz gotowy aby go wstawić do dokumentu tekstowego lub prezentacji. Ćwiczenie 18b: Wstawianie obrazka do dokumentu tekstowego Po wykonaniu eksportu obrazka z GeoGebry do pliku graficznego możesz go teraz wstawić do dokumentu tekstowego (np. MS Word). Wstawianie pliku graficznego do MS Word Otwórz nowy dokument tekstowy w edytorze. W zakładce Wstawianie w grupie Ilustracje wybierz Obraz. W oknie, które się pojawi, wybierz plik graficzny. Wskazówka: Być może będziesz musiał nawigować wśród katalogów aby dotrzeć do pliku, który chcesz wstawić. Kliknij przycisk Wstaw. Obrazek zostanie wklejony w miejscu gdzie umiejscowiony był kursor w momencie wybierania polecenia Obraz. Zmniejszanie wymiarów obrazka Jeśli to konieczne możesz zmniejszyć wymiary obrazka w MS Word: Kliknij dwukrotnie na wklejony obrazek 65
Zmień wysokość/ szerokość obrazka korzystając z grupy Rozmiar zakładki Formatowanie. Uwaga: Zmieniając rozmiary obrazka, zmieniasz jego skalę. Jeśli chcesz zachować wymiary (np. uczniowie mają mierzyć długości) to upewnij się, że rozmiary są ustawione na 100%. Uwaga: Jeśli obrazek jest za duży żeby zmieścić się na stronie to MS Word automatycznie go zmniejszy, zmieniając tym samym skalę. Wstawianie obrazka to pliku OpenOfice.org Writer Otwórz nowy dokument tekstowy Z menu wybierz Wstaw Obraz Z pliku Wybierz plik graficzny w oknie dialogowym. Wskazówka: Być może będziesz musiał nawigować wśród katalogów aby dotrzeć do pliku, który chcesz wstawić. Kliknij przycisk Otwórz. Obrazek zostanie wklejony w miejscu gdzie umiejscowiony był kursor w momencie wybierania polecenia Obraz. 66
12. Tworzenie Arkuszy Dynamicznych Wprowadzenie: Strona GeoGebraWiki i Forum Użytkownika Dynamiczne Arkusze GeoGebra pozwala tworzyć własne materiały z instrukcjami, tzw. arkusze dynamiczne, dzięki możliwości eksportowania konstrukcji dynamicznej na stronę internetową. Na ogół arkusz dynamiczny składa się z nagłówka, krótkiego wyjaśnienia, interaktywnego apletu oraz zadań i wskazówek dla uczniów.. Uczniowie nie muszą znać programu GeoGebra, żeby pracować z arkuszem dynamicznym. Interaktywne strony internetowe są niezależne od programu i mogą być wykorzystywane zarówno w sieci jak i na lokalnym dysku. GeoGebraTube Strona internetowa GeoGebraTube (http://www.geogebratube.org) jest zbiorem darmowych materiałów instruktażowych tworzonych przez ludzi z całego świata. Materiały te są uporządkowane według zawartości dla ułatwienia dostępu. Wszystkie materiały na stronie GeoGebraTube są objęte przez wspólne Prawo Autorskie (http://www.geogebra.org/en/wiki/index.php/geogebrawiki:copyrights i http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/ ). Oznacza to, że możesz korzystać z tych materiałów dla celów niekomercyjnych i możesz tworzyć własne materiały pod warunkiem, że podasz do wiadomości informację o autorze oryginału pracy w oparciu o którą stworzyłeś własną. 67
Forum Użytkowników Programu GeoGebra Strona internetowa Forum Użytkowników GeoGebry (www.geogebra.org/forum) została stworzona, żeby zaoferować dodatkowe pomoc dla społeczności użytkowników GeoGebry. Utworzona i tworzona przez nauczycieli, jest platformą stawiania pytań związanych z GeoGebrą. i odpowiadania na pytania. Forum GeoGebry składa się z różnych platform tematycznych w różnych językach, co pozwala użytkownikom przesyłać pytania I i odpowiedzi odnoszące się do danej tematyki w języku ojczystym. 68
Ćwiczenie 19a: Tworzenie Arkuszy Dynamicznych W tym ćwiczeniu nauczysz się jak utworzyć arkusz dynamiczny ilustrujący możliwości wykorzystania sum dolnych i górnych do przybliżenia pola obszaru między wykresem funkcji w danym przedziale a osią x. Przygotowania Otwórz plik GeoGebry Pokaż Widok Algebry, Pole Wprowadzania i osie układu (menu Widok) Kroki Konstrukcji 1 Wprowadź wielomian stopnia trzeciego f(x) = -0.5x 3 + 2x 2 x + 1 2 Zaznacz dwa punkty A i B na osi x. Podpowiedź: Punkty te wyznaczą przedział, do którego będzie ograniczony obszar między wykresem funkcji a osią x. 3 Suwak liczbowy: nazwa n, przedział od 1 do 50, krok 1. 4 5 6 7 8 9 Wpisz w Polu Wprowadzania: suma_gorna = SumaGórna[f, x(a), x(b), n] Podpowiedź: x(a) oznacza pierwszą współrzędną punktu A. Liczba n określa liczbę prostokątów do policzenia sumy dolnej. Wpisz w Polu Wprowadzania: suma_dolna = SumaDolna[f, x(a), x(b), n] Wprowadź tekst dynamiczny: Suma górna = i wybierz z listy rozwijalnej Obiekty: suma_gorna Wprowadź tekst dynamiczny: Suma dolna = i wybierz z listy rozwijalnej Obiekty: suma_dolna Wpisz w Polu Wprowadzania: roznica = suma_gorna suma_dolna Wprowadź tekst dynamiczny: Różnica = i wybierz z listy rozwijalnej Obiekty: roznica Zadanie: Użyj suwaka n aby zmienić liczbę prostokątów do liczenia sumy dolnej i górnej. Co dzieje się z różnicą między sumą górną a dolną, (a) gdy n jest małe, (b) gdy n jest duże? 69
Zmniejszanie wymiarów okna GeoGebry. GeoGebra wyeksportuje Widok Algebry i Widok Grafiki to dynamicznego arkusza z konstrukcją. Aby zostawić miejsce na wyjaśnienia i zadania w tym arkuszu należy zmniejszyć okno GeoGebry. Jeśli nie chcesz aby arkusz dynamiczny zawierał Widok Algebry, musisz ukryć Widok Algebry zanim dasz polecenie eksportowania. Przesuń figurę (lub wybrane elementy konstrukcji) do prawego górnego rogu Widoku Grafiki przy użyciu narzędzia Przemieszczaj Obszar Roboczy. Podpowiedź: Czasem warto także skorzystać z narzędzi Powiększ i Pomniejsz przed ostatecznym wyeksportowaniem konstrukcji.. Zmniejsz wymiary okna GeoGebry przeciągając myszką prawy dolny narożnik tego okna Podpowiedź: Wskaźnik zmieni kształt gdy znajdzie się nad krawędzią lub narożnikiem okna GeoGebry. Uwaga: Mimo, że aplet interaktywny powinien być dopasowany do wielkości ekranu i powinno być jeszcze miejsce na tekst to jednak należy zadbać aby obszar apletu był wystarczająco duży do manipulowania obiektami i eksperymentowania przez uczniów. Przesyłanie do GeoGebraTube Po dopasowaniu rozmiarów okna GeoGebry jesteś gotowy, żeby wyeksportować swoją konstrukcję do arkusza dynamicznego przy użyciu poleceń zawartych menu Plik. Plik Współdziel Strona GeoGebraTube otwiera się automatycznie. Należy się zalogować (lub zarejestrować jeśli nie masz jeszcze swojego konta) zanim będzie można 70
kontynuować przesyłanie pliku. Uzupełnij informacje dla swoich uczniów. Jeśli chcesz to możesz także zaznaczyć, żeby widoczny był pasek narzędzi, pole wprowadzania czy menu. Kliknij Continue. Napisz krótkie wyjaśnienie dla innych nauczycieli, tak by mogli też skorzystać z twoich materiałów. Informacja ta nie jest widoczna w arkuszu dla ucznia. Wybierz grupę docelową i wybierz słowa kluczowe, które opisują twoje materiały aby ułatwić innym wyszukiwanie. Zakończ przesyłanie (Upload) przyciskiem Save. Eksport Dynamicznej Karty pracy do Strony Internetowej (dla Zaawansowanych Użytkowników) Zamiast przesyłać materiał na GeoGebraTube jest jeszcze możliwość eksportowania dynamicznej arkusza na stronę internetową. Wybierz menu Plik Eksportuj Dynamiczna Karta Pracy jako strona internetowa (html). Wskazówka: Możesz także zastosować skrót klawiszowy Ctrl+Shift+W. Uzupełnij pola tekstowe w oknie, które się pojawi w zakładce Eksportuj jako stronę internetową (tytuł karty pracy, imię i nazwisko autora, data). 71
Napisz krótkie wyjaśnienie na temat dynamicznej konstrukcji zawartej w karcie w polu tekstowym Tekst przed konstrukcją. Wprowadź zadania i polecenia dla uczniów w polu tekstowym Tekst poniżej konstrukcji. Kliknij na przycisk Eksportuj, żeby zapisać dynamiczną kartę pracy. Wskazówka: GeoGebra utworzy kilka plików, które zawsze muszą być razem w tym samym miejscu aby zapewnić działanie dynamicznej karty pracy. Zalecamy utworzenie nowego folderu (np. Dynamiczne_Karty_Pracy) w obrębie folderu Geoegbra_Wprowadzenie aby tam zapisywać wszystkie te pliki. Podpowiedzi i wskazówki do tworzenia arkuszy dynamicznych Po zapisaniu arkusza dynamicznego, automatycznie otworzy się przeglądarka internetowa. Sprawdź tekst, który wpisałeś, jak również działanie interaktywnego apletu. Jeśli chcesz zmienić zawartość arkusza, otwórz z powrotem plik GeoGebry i dokonaj zmian w konstrukcji. Aby zastosować zmiany, wyeksportuj konstrukcję ponownie (możesz użyć tej samej nazwy pliku arkusza nadpisując stary). Wskazówka: W ten sam sposób możesz zmienić zawartość tekstową arkusza. GeoGebra automatycznie zapisuje twoje wpisy w oknie dialogowym eksportu do arkusza dynamicznego. Jeśli chcesz dokonać zmian w trakcie wypełniania pól okna dialogowego, możesz po prostu zamknąć to okno i kontynuować później. Zadbaj aby aplet nie był za duży. Uczniowie nie powinni przewijać ekranu między poleceniami i konstrukcją bo to utrudnia naukę. Arkusz dynamiczny powinien zmieścić się w całości na ekranie monitora. Jeśli chcesz zamieścić więcej poleceń warto pomyśleć o stworzeniu jeszcze jednego arkusza z tą samą konstrukcją ale innymi poleceniami. Ćwiczenie 19b: Wzbogacanie Arkuszy Dynamicznych Okno dialogowe do polecenia Eksportuj-Dynamiczna Karta Pracy ma dwie zakładki: Ogólny i Zaawansowany. W ostatnim ćwiczeniu użyliśmy zakładki Ogólny aby wprowadzić wyjaśnienia, polecenia i wskazówki przed wykonaniem eksportu. Teraz nauczysz się jak poprawić arkusz przez dodanie różnych atrybutów do dynamicznego arkusza w zakładce Zaawansowany. 72
Funkcjonalność Włącz prawy przycisk myszy, przybliżanie i edycją za pomocą klawiatury: Twoi uczniowie będą mogli za pomocą kliknięcia prawym przyciskiem myszki lub panelu dotykowego - otworzyć menu kontekstowe obiektu, żeby zmieniać jego właściwości (np. dodaj/ukryj obiekt lub włącz/wyłącz ślad obiektu). Możliwe też będzie korzystanie z powszechnie stosowanych skrótów klawiszowych. Włącz przemieszczanie etykiet: dzięki temu atrybutowi uczniowie będą mogli przesuwać nawy punktów i innych obiektów. Pokaż ikonę resetu konstrukcji: W prawym górnym rogu okna apletu będzie widniała ikona, której kliknięcie spowoduje odświeżenie konstrukcji do wyjściowego stanu. Aby otworzyć okno programu, podwójnie kliknij: Twoi uczniowie, klikając dwukrotnie na aplet, będą mogli otworzyć w pełni funkcjonalne okno z programem GeoGebra. Wykorzystaj przeglądarkę do obsługi JavaScript: pozwala to przeglądarce poprawnie wyświetlić konstrukcję. Interfejs użytkownika Pokaż pasek menu: W okienku z apletem będzie aktywny pasek menu. Włącz Zapisz, Drukuj i Cofnij: opcja ta daje możliwość zapisywani, drukowania i cofania kroków konstrukcji. 73
Pokaż pasek narzędzi: W okienku z apletem będzie aktywny pasek z narzędziami. Pokaż pomoc paska narzędzi: W kombinacji z paskiem narzędzi będzie wyświetlana pomoc. Jeśli uczeń skorzysta z jakiegoś narzędzia będzie wyświetlany tekst z opisem jak go używać. Opis będzie widoczny na poziomie paska narzędzi po prawej stronie. Pokaż pole wprowadzania: W dolnej części obszaru z apletem będzie widniało Pole Wprowadzania, w którym twoi uczniowie będą mogli wpisywać wyrażenia algebraiczne i polecenia. Zezwól na Skalowanie: można powiększać lub pomniejszać obraz w obrębie przeglądarki tak by przeskalować konstrukcję. Szerokość i wysokość (apletu): Tu możesz zmodyfikować szerokość i wysokość okna z interaktywnym apletem. Uwaga: Jeśli za bardzo zmniejszysz wymiary apletu, to pewne ważne elementy konstrukcji w aplecie, mogą stać się niewidoczne dla twoich uczniów. Wskazówka: Jeśli włączysz polecenie Pokaż pasek menu lub narzędzi, czy też pole wprowadzania, to warto dostosować do tego wysokość interaktywnego apletu. Pliki Zawiera pliki *.jar: tworzy nie tylko plik html ale także pliki z rozszerzeniem *.jar Usuń podziały wiersza: usuwa podziały linii jeśli takie występują. Lista rozwijalna: możesz wybrać eksport do pliku html, lub do schowka MediaWiki, GeoGebraGadżet lub platformy Moodle. Zadanie Wykorzystaj konstrukcję dynamiczną utworzoną w ćwiczeniu 19 wyeksportuj ją do postaci arkusza dynamicznego dodając odpowiednie objaśnienia, komentarz i polecenia. Użyj zakładki Zawansowane, żeby wypróbować różne opcje, sprawdzając jednocześnie jaki ma to wpływ na działanie apletu w arkuszu dynamicznym. Ćwiczenie 19c: Dostarczanie Dynamicznych Kart pracy Uczniom Arkusze dynamiczne można podać uczniom na kilka sposobów. Jednak we wszystkich przypadkach należy trzymać razem pliki tworzone podczas procesu eksportowania. Uwaga: Utworzone pliki mają różne rozszerzenia (.ggb,.html,.jar). Jeśli któregoś z tych plików zabraknie, arkusz dynamiczny przestanie działać. 74
Zachowanie na dysku lokalnym Skopiuj wszystkie utworzone pliki do jednego folderu i zachowaj ten folder na dysku przenośnym (np. pendrive, CD). Niech twoi uczniowie zapiszą cały katalog na swoich komputerach. Uczniowie powinni otworzyć plik z rozszerzeniem.html w przeglądarce internetowej. 13. Blok Ćwiczeń IV Ten blok zawiera zestaw zadań do przećwiczenia eksportu konstrukcji utworzonych GeoGebrze do postaci plików graficznych i do arkuszy dynamicznych. Zadania mają dwa poziomy trudności: podstawowy i zaawansowany. Możesz wybierać zadania według własnego uznanie i pracować samodzielnie lub w parze. Podpowiedzi i Wskazówki Do każdego ćwiczenia otwórz nowy plik GeoGebry i na początku zadbaj o odpowiednie ustawienia programu związane z pokazaniem lub ukryciem Widoku Algebry, Pola Wprowadzania i Osi. Warto zapisać plik przed rozpoczęciem nowego ćwiczenia. Przypomnij własności figur, które chcesz tworzyć. Pamiętaj, że masz do dyspozycji przyciski Cofnij i Ponów na wypadek błędu. Często korzystaj z narzędzia Przesuń aby sprawdzić poprawność konstrukcji (np. czy obiekty są faktycznie połączone, czy nie utworzyłeś jakich niepotrzebnych obiektów) Upewnij się, że potrafisz operować potrzebnymi narzędziami geometrycznymi przed rozpoczęciem konstrukcji. Zawsze możesz uaktywnić narzędzie i odczytać pomoc na jego temat z prawej strony paska narzędzi. Upewnij się, że znasz składnię wyrażeń algebraicznych i funkcji. Przejrzyj Podpowiedzi i Wskazówki zawarte w rozdziale 4: Zasady Wprowadzania Wyrażeń Algebraicznych, Poleceń i Funkcji. W razie problemów poproś o pomoc innego uczestnika zajęć. Uważnie sprawdzaj co wpisałeś w Polu Wprowadzania zanim wciśniesz klawisz Enter. W przypadku błędu pojawi się okienko z wiadomością na ten temat. Przeczytaj tę wiadomość! Może to pomóc w naprawieniu błędu. Sprawdź działanie arkuszy dynamicznych aby upewnić się czy nie zawierają błędów i w razie potrzeby nanieś poprawki. Przechowuj wszystkie pliki utworzone z arkuszem dynamicznym w jednym folderze (są to pliki o rozszerzeniach.ggb,.html,.jar). Możesz przechowywać kilka arkuszy dynamicznych w jednym folderze. Uwaga: Pliki z rozszerzeniem.jar, utworzone raz, obsługują wszystkie arkusze z danego folderu. Jeśli chcesz przesłać swoim uczniom arkusze 75
dynamiczne to musisz, dodatkowo do plików z rozszerzeniem.ggb i.html, skopiować pliki z rozszerzeniem.jar. W razie pytań, poproś najpierw o pomoc kolegę/koleżankę zanim zgłosisz się do osoby prowadzącej zajęcia lub asystentów. Ćwiczenie IV.a: Zależność Między Polami Figur Podobnych Poziom: Podstawowy W tym ćwiczeniu wykorzystasz następujące narzędzia geometryczne i wyrażenia algebraiczne.. Zanim zaczniesz upewnij się, że umiesz je obsługiwać. a = 2 Odcinek z punktu o danej długości Nowe! Wielokąt foremny Przesuń Zadanie Twoje ćwiczenie polegać będzie na odtworzeniu następującej karty pracy dla uczniów. Celem tej pracy jest odkrycie zależności między polami kwadratów o bokach długości a, a/2, 2a. Zależność Pól 1. Zmierz długości boków trzech kwadratów widocznych poniżej. Porównaj długość niebieskiego kwadratu z długościami boków kwadratów czerwonego i zielonego. Jaką zależność odkryłeś? 2. Oblicz pola tych trzech kwadratów. Porównaj pole kwadratu niebieskiego z polami kwadratów czerwonego i zielonego? Jaką zależność odkryłeś? 3. Sformułuj hipotezę na temat zależności między bokiem i polem niebieskiego kwadratu a bokami i polami kwadratów czerwonego i zielonego.. 4. Spróbuj udowodnić swoją hipotezę. Wskazówka: Załóż, że niebieski kwadrat ma bok długości a i oblicz pola pozostałych kwadratów. Kroki konstrukcji 1. Rozpocznij konstrukcję w GeoGebrze przez utworzenie liczby a = 2. 2. Skonstruuj niebieski kwadrat. Zacznij od utworzenia odcinka długości a korzystając z narzędzia Odcinek 76
z punktu o danej długości. Następnie utwórz Wielokąt foremny o 4 wierzchołkach. 3. W podobny sposób skonstruuj kwadrat czerwony o boku długości a/2 i kwadrat zielony o boku długości 2a. 4. Zmień nazwy wierzchołków i właściwości kwadratów (kolor, grubość linii). 5. Przygotuj okno GeoGebry do eksportu Widoku Grafiki do obrazka (np. zmień odpowiednio położenie kwadratów, zmniejsz wymiary okna GeoGebry). 6. Eksportuj Widok Grafiki do obrazka i zachowaj swój obrazek na dysku. Wskazówka: Jeśli uczniowie mają mierzyć długości boków kwadratu to musisz przeskalować obrazek! 7. Otwórz dokument tekstowy i przepisz nagłówek oraz zadania z karty pracy. 8. Wstaw do dokumentu zachowany obrazek. Wskazówka: Wydrukuj sprawdź kartę pracy mierząc długości boków kwadratu. Zadanie dodatkowe 1 Utwórz podobne przykłady z innymi figurami (np. okrąg o danym promieniu, trójkąt równoboczny, prostokąt). Dla których z tych figur zachodzą te same zależności między długością boku (promienia) a polem? Postaraj się udowodnić tę zależność. Zadanie dodatkowe 2 Wykorzystaj zrobione konstrukcje do utworzenia arkuszy dynamicznych, które pomogą twoim uczniom uogólnić hipotezę o związku między wymiarami a polami figur podobnych(dla przykładu, patrz A_4a_Pole_Kola). Ćwiczenie IV.b: Wizualizacja Sumy Kątów w Trójkącie Poziom: Podstawowy W tym ćwiczeniu zastosujesz następujące narzędzia. Zanim zaczniesz sprawdź czy umiesz się nimi posługiwać. 77
Wielokąt Kąt Suwak Obrót obiektu o kąt względem punktu Przesuń Wstaw tekst Środek Kroki konstrukcji 1. Utwórz trójkąt ABC. Wskazówka: Stosuj orientację przeciwną do ruchu wskazówek zegara. 2. Utwórz kąta α, β, i γ trójkąta ABC. 3. Ustaw Zaokrąglanie na 0 miejsc po przecinku (menu Opcje). 4. Utwórz suwaki δ i ε z ustawieniami: kąt (typ); 0 do 180 (przedział); 10 (krok). 5. Utwórz środek D odcinka AC i środek E odcinka AB. 6. Obróć trójkąt wokół punktu D o kąt δ (zgodnie z ruchem wskazówek zegara). 7. Obróć trójkąt wokół punktu E o kąt ε (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara). 8. Przesuń punkty na obu suwakach tak by pokazywały 180 a następnie utwórz kąty ζ (A C B ) i η (C' 1 B' 1 A' 1 ). 9. Dostosuj szatę graficzną w oknie dialogowym Właściwości.. Wskazówka: Kąty przystające powinny być tego samego koloru.. Propozycja 1 Wstaw tekst dynamiczny pokazujący, że kąty wewnętrzne trójkąta dają w sumie 180. Wskazówka: Utwórz teksty dynamiczne z kątami wewnętrznymi (np. α = i wstaw α z listy rozwijalne Obiekty ), oblicz sumę kątów suma = α + β + γ i wstaw sumę jako tekst dynamiczny). Dla każdego kąta dopasuj ten sam kolor tekstu. Osadź teksty w obszarze Widoku Grafiki. Propozycja 2 Wyeksportuj konstrukcję do arkusza dynamicznego. Zaproponuj polecenia, które naprowadzą twoich uczniów na odkrycie ile wynosi suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie. Niech sprawdzą swoje przypuszczenia korzystając z załączonego arkusza. Ćwiczenie IV.c: Wizualizacja Dodawania Liczb Całkowitych na Osi Liczbowej Poziom: Zaawansowany 78
W tym ćwiczeniu wykorzystasz następujące narzędzia lub odpowiadające im polecenia. Przed rozpoczęciem upewnij się czy je znasz. Suwak Nowy Punkt Odcinek między dwoma punktami Wstaw tekst Wektor Pole wyboru Pokaz/ukryj obiekt Nowe! Przesuń Kroki konstrukcji 1. Otwórz nowy plik oknie GeoGebry i ukryj Widok Algebry. Ustaw Etykietowanie na Wszystkie nowe obiekty (menu Opcje). 2. Otwórz okno dialogowe Widoku Grafiki. W zakładce OśY odznacz domyślne ustawienie Pokaż. W zakładce OśX zaznacz okienko odległość i wpisz 1 w polu tekstowym obok. Ustaw minimum Osi X na -21 i maksimum na 21. 3. Utwórz suwaki a i b (przedział od -10 do 10; krok 1). Pokaż wartości suwaków ale bez pokazywania nazw (okno dialogowe Właściwości). 4. Utwórz punkty A = (0, 1) i B = A + (a, 0). 5. Utwórz wektor u = Wektor[A, B] o długości a. 6. Utwórz punkty C = B + (0, 1) i D = C + (b, 0) oraz wektor v = Wektor[C, D] o długości b. 7. Utwórz punkt R = (x(d), 0). Wskazówka: x(d) oznacza współrzędna x punktu D. W ten sposób punkt R pokazuje wynik dodawania na osi liczbowej.. 8. Utwórz punkt Z = (0, 0) oraz następujące odcinki: g = Odcinek[Z, A], h = Odcinek[B, C], i = Odcinek[D, R]. 9. W oknie dialogowym Właściwości dopracuj szatę graficzną konstrukcji (np. zmień kolory, style linii, ustal położenie suwaków, ukryj nazwy). Propozycja 1 Wzbogać konstrukcję przez wprowadzenie tekstu dynamicznego, który będzie wyświetlał aktualne przykład z dodawaniem.. 10. Oblicz wynik dodawania: r = a + b 79
11. Aby wyświetlić składniki i sumę w różnych kolorach musisz wprowadzać tekst partiami.. a. Wprowadź text1: Wybierz a z listy rozwijalnej Obiekty b. Wprowadź text2: + c. Wprowadź text3: Wybierz b z listy rozwijalnej Obiekty d. Wprowadź text4: = e. Wprowadź text5: Wybierz r z listy rozwijalnej Obiekty 12. Dopasuj kolory dla obiektów text1, text3, i text5 do kolorów odpowiadających im suwaków i punktu R. Ukryj nazwy suwaków i osadź obiekty tekstowe (okno dialogowe Właściwości). 13. Wyeksportuj konstrukcję do Arkusza Dynamicznego. Propozycja 2 Wstaw Pole wyboru, które pozwoli pokazywać i ukrywać wynik z przykładowego dodawania (text5, punkt R, i odcinek i). 14. Uaktywnij narzędzie Pole Wyboru Pokaż /Ukryj obiekt. 15. Kliknij myszką w Widoku Grafiki (obok tekstu z wynikiem dodawania).. 16. W polu tekstowym, które się pokaże, wpisz Podpis: Pokaż wynik.. 17. Z listy rozwijalnej wybierz wszystkie obiekty, których widoczność ma być kontrolowana przez Pole Wyboru (text5, punkt R, i odcinek i). 18. Kliknij przycisk Zastosuj aby zatwierdzić utworzenie Pola Wyboru. 19. W trybie aktywnego narzędzia Przesuń odznacz i zaznacz Pole Wyboru, żeby zobaczyć jak wszystkie trzy obiekty chowają się i pokazują. 20. Osadź Pole Wyboru, żeby nie można było go przesunąć przez przypadek (okno dialogowe Właściwości). 21. Wyeksportuj konstrukcję do Arkusza Dynamicznego. Wskazówka: Możesz nadać inną nazwę temu arkuszowi. Ćwiczenie IV.d: Tworzenie Puzzli do Tangramu Poziom: Zaawansowany 80
W tym ćwiczeniu utworzysz puzzle do Tangramu przedstawionego na rysunku po prawej stronie. Tangram składa się z 7 figur i wszystkie je można skonstruować przy wykorzystaniu boku długości a (patrz A_4d_tangram_puzzle_pl.html). Do konstrukcji elementów tangramu będziesz potrzebował pewnego zestawu narzędzi. Przejrzyj proszę poniższe wskazówki zanim zaczniesz tworzyć figury. 1. Wprowadź liczbę a = 6. Będzie ona stanowić bazę dla konstrukcji wszystkich trójkątów I czworokątów stanowiących puzzle 2. Spróbuj znaleźć długości boków tych figur. Wskazówka: Przyjrzyj się odcinkom ukośnym i pionowym. Ich długości dają się często łatwiej wyrazić poprzez zmienną a niż poprzez długości boków mniejszych figur. 3. Rozpocznij konstrukcję każdej z figur od utworzenia odcinka o danej długości. To pozwoli później przeciągać i obracać te figury. 4. Wskazówki do konstrukcji: a. Jeśli wysokość trójkąta prostokątnego jest równa połowie przeciwprostokątnej to możesz skorzystać z twierdzenie o kącie wpisanym w okrąg I opartym na średnicy (patrz Blok Ćwiczeń I). b. Jeśli znasz długość przyprostokątnej trójkąta równoramiennego prostokątnego to możesz zastosować konstrukcję podobną do wcześniej zaprezentowanej konstrukcji kwadratu. c. Konstruując kwadrat z jego przekątnych warto wiedzieć, że w kwadracie przekątne przecinają się w połowie i są wzajemnie prostopadłe. d. Do konstrukcji równoległoboku warto znać kąt ostry między jego bokami. 5. Sprawdź swoją konstrukcję próbując ułożyć ze wszystkich utworzonych figur kwadrat o boku długości a. Propozycja 1: Rozmieść figury przy krawędziach okna Widoku Grafiki. Wyeksportuj konstrukcję do arkusza dynamicznego i dodaj wyjaśnienia dla uczniów (patrz arkusz dynamiczny A_4d_tangram_puzzle_pl.html). Propozycja 2: Z utworzonych figur można ułożyć inne kształty niż kwadrat. (patrz A_4d_tangram_puzzle_cat_pl.html). Poszukaj w Internecie innego kształtu Tangramu (np. A_4d_tangram_cat.png) i wstaw go do Widoku Grafiki. Przygotuj i wyeksportuj ponownie konstrukcję ale pod inną nazwą i z innymi poleceniami. 81