MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 13 (1975) EKSTRAPOLACYJNA METODA OPISU PRÓB PEŁZANIA PRZY OBCIĄ Ż ENIACH WIELOSTOPNIOWYCH ZDZISŁAW KUROWSKI, STANISŁAW OCHELSKI (WARSZAWA) 1. Wstę p Metoda esktrapolacji danych z prób pełzania przy obcią ż eni u stacjonarnym na próby przy obcią ż eniach wielostopniowych jest, obok metody reprezentacji całkowych, najczę ś cie j spotykaną w literaturze dotyczą cej opisu pełzania materiałów. Róż ne metody ekstrapolacyjne stosowano gł ównie do opisu efektów pełzania tworzyw sztucznych [1, 2]. W poprzedniej pracy [3] zbadano moż liwość zastosowania znanych metod ekstrapolacyjnych do opisu pełzania metali. Autorzy stwierdzili konieczność dalszej analizy metod ekstrapolacyjnych, gdyż dotychczasowe metody dały na ogół wyniki niezadowalają ce. Alternatywną metodą opisu pełzania metali jest teoria parametru umocnienia RABOTNO- WA, NAMIESTNIKOWA i innych [4, 5]. Niniejsza praca przedstawi propozycję nowej metody ekstrapolacyjnej. Metodę tę zastosowano do opisu peł zania niektórych materiałów: ortotropowego tworzywa poliestrowo- szklanego, poliamidu i stali, uzyskują c dobry opis prób pełzania przy obcią ż eni u jednostopniowym. W omawianej metodzie wykorzystuje się funkcję pamię ci materiału, okreś lają cą wraż liwość materiału na wartoś ci naprę ż eń i czasy, w których nastę pują skoki naprę ż eń dla zł oż onej, skokowej historii obcią ż enia. Opisano Sposób wyznaczania tej funkcji dla prób pełzania przy jednostopniowym obcią ż eni u oraz przedstawiono ją dla kilku materiałów. 2. Opis doś wiadczeń i wyniki badań Przeprowadzone izotermiczne badania doś wiadczalne jednoosiowego rozcią gania przy danej historii naprę ż eni a dotyczył y tworzywa warstwowego poliestrowo- szklanego,. poliamidu T27 i stali 50H21G9N4. Tworzywo warstwowe otrzymano z ż ywicy poliestrowej Polimal- 109 i tkaniny szklanej rovingowej marki 19- S4. Tworzywo wykonano: w postaci pł yt w taki sposób, by kierunki osnowy wszystkich warstw tkanin w tworzywie pokrywały się. Z płyty wycię to próbki w kształcie wiosełek, których osie pokrywały się z kierunkiem osnowy (9? = 0 ) i drugą serię próbek, których ką t zawarty mię dzy osią próbki a kierunkiem osnowy wynosił 45 (95 = 45 ). Długość czę ś i cpomiarowej próbki wynosiła 70 mm, a jej przekrój 10x3 mm. Próbki z poliamidu o kształcie wiosełek, otrzymane metodą wtryskową, posiadały dł ugość pomiarową 60 mm i przekrój 10x4 mm. Badania tworzywa warstwowego i polia-
374 ZDZ. KUROWSKI, ST. OCHELSKI midu przeprowadzono na peł zarce, której budowę opisano w pracy [6]. Wydłuż enia próbek mierzono za pomocą tensometru zegarowego Schoppera o bazie pomiarowej 50 mm i działce elementarnej 1/100 mm. Badania przeprowadzono w temperaturze 23± 0,2 c C i wzglę dnej wilgotnoś ci powietrza (40-52%)., u U t,<t Oy f ;/ j 3 t Rys. 1. Jednostopniowe programy obcią ż eni a Badania próbek ze stali 50H21G9N4 przeprowadzono na pełzarkach typu DST- 50 0 firmy L. Schopper w temperaturze 700 c C. Próbki posiadał y kształt znormalizowany. Dokł adność utrzymania temperatury w piecu wynosiła ± 3 C, a wydłuż enie przy peł zaniu mierzono z dokładnoś cią 0,002 mm. Złoż one programy obcią ż eni a obejmował y próby przy obcią ż eniach stacjonarnych dla trzech stałych naprę ż eń i pię tnaś ci e jednostopniowych programów obcią ż eni a przedstawionych na rys. 1. Zmiany obcią ż eni a w programach dwustopniowych dokonywano po czasie t 2 = 2,5; 25 i 100 godzin. Maksymalne naprę ż eni a w badaniach przyję to równe Tworzywo cp=o" 2 0,01 (7,- 13,04 0,005 6,52 0,001 [godz] Rys. 2. Odkształcenia doś wiadczalne (linia przerywana) i obliczone ze wzoru (10) (linia cią gła) dla tworzywa warstwowego q> = 0
0,01 0,002 50 [godz] Rys. 3. Odkształcenia doś wiadczalne (linia przerywana) i obliczone ze wzoru (10) (linia cią gła) dla tworzywa warstwowego <p = 45 0,01-05 25 50 [godi[ Rys. 4. Odkształcenia doś wiadczalne (linia przerywana) i obliczone ze wzoru (10) (linia cią gła) dla poliamidu [375]
376 ZDZ. KUROWSKI, ST. OCHELSKI 0,015.0,001 0 W' 50 100 ; 150. ' "200 [gdą zf Rys. 5. Odkształcenia doś wiadczalne (linia przerywana) i obliczone ze wzoru (10) (linia cią głą) dla stali 60% wartoś ci naprę ż eń niszczą cych przy rozcią ganiu. Zmiany naprę ż eni a odbywał y się mię dzy wartoś ciami naprę ż eń równymi: a t = 6,52; o-, = 9,78; <x m = 13,04; a lv = 16,3; ov = 19,56 kg/ mm z dla tworzywa warstwowego cp = 0, i analogicznie 1,62; 2,43; 3,24; 3,645; 4,05 dla tworzywa warstwowego <p = 45 ; 1,12; 1,68; 2,24; 2,8; 3,36 dla poliamidu oraz dla stali 4,0; 5,5; 7,0; 8,5 i 10 kg/ mm 2. Ś redni e wartoś ci wydłuż eń wzglę dnych uzyskane z 3-5 prób posłuż yły do zbudowania wykresów peł zania, otrzymanych z realizacji poszczególnych programów badań. Na rys. 2 przedstawiono przykł adowo linią przerywaną zależ nośi cpełzania dla czasu zrriiany obcią ż eni a t 2 = 25 godz. uzyskane z badań tworzywa warstwowego cp = 0, na rys. 3 tworzywa warstwowego (p - 45, na rys. 4 poliamidu i na rys. 5 stali. Wyniki badań doś wiadczalnych wykazał y, że badane tworzywa zachowują się nieliniowo w zależ nośi c od wartoś ci i historii naprę ż enia. 3. Opis prób pełzania przy obcią ż eniach stacjonarnych Do opisu prób pełzania przy obcią ż eniach stacjonarnych zastosowano nastę pują cą zależ ność mię dzy naprę ż eniami i odkształceniami, wielokrotnie stosowaną przez róż nych autorów m. in. [7, 8] do opisu pełzania róż norodnych materiał ów, (1) a E
EKSTRAPOLACYJNA METODA OPISU PEŁZANIA 377 Wartoś ci funkcji a(a) i m(ó) wyznaczono metodą najmniejszych kwadratów w sposób opisany przez autorów w [3]. Wartoś ci tych funkcji dla stali przyję to z tej samej pracy. Metoda ta pozwolił a na dobre opisanie pełzania przy.obcią ż eni u stacjonarnym. Maksymalne wartoś ci błę dów w stosunku do wartoś ci doś wiadczalnych odkształ cenia całkowitego wynosiły: dla tworzywa poliestrowo- szklanego (próbki wycię te pod ką tem 0 do kierunku osnowy): - 5,77% i + 6,25%; dla tworzywa poliestrowo- szklanego (próbki wycię te pod ką tem 45 do kierunku osnowy): - 1,69% i + 2,11%; dla poliamidu: - 4,16% i + 3%. Dla kilku prób osią gnię to bardzo dobre wyniki, gdyż błąd wyniósł mniej niż 1%. Wartoś ci funkcji a(a) i m(a) podano w tablicy 1. Tablica 1 Tworzywo poliestrowoszklane c> = 45 <r[kg/ mm! ] a- 10 5 m 1,62 82,353 0,313 2,44 225,0 0,28 3,24 388,625 0,267 3,65 500,0 0,26 4,05 694,347 0,259 Tworzywo poliestrowoszklane C) = 0 ff[kg/ mm 2 ] a- 10 5 m 6,52 13,089 0,278 9,78 44,0 0,13 13,04 84,159 0,109 16,3 119,0 0,105 19,56 153,605 0,128 22,82 217,441 0,122 o- [kg/ mm 2 ] 1,12 1,68 2,24 2,8 3,36 Poliamid a- 10 5 327,892 950,0 2144,951 3200,0 5344,929 m 0,2496 0,09 0,0993 0,099 0,0986 (j[kg/ mm 2 ] 3 4 5,5 7 8,5 10 Stal 50H21G9N4 a- 10 5 10,756 13,332 12,411 16,243 16,945 17,227 m 0,577 0,605 0,713 0,732 0,786 0,844 4. Proponowana metoda ekstrapolacyjna Przedstawioną w niniejszej pracy metodę ekstrapolacyjną otrzymuje się jako szczególny przypadek ogólnego równania konstytutywnego dla tzw. materiałów lepkich. W pracy [9] przedstawiono propozycję uś ciś leni a poję cia lepkoś ci oraz zaproponowano sposób podział u materiałów wraż liwych na zamiany dróg deformacji na szereg grup drogą analizy postaci funkcjonału konstytutywnego przy narzuceniu jego niezmienniczosci wzglę dem pewnych klas zamian dróg deformacji. Jedną z takich grup stanowią materiały zupełnie lepkie. Materiały te w przypadku skokowych historii odkształcenia (próba relaksacji) zapamię tują pełną informację o tej historii, tzn. wartoś ci kolejnych gradientów odkształcenia oraz chwile czasowe, w których nastą piły skoki gradientów odkształcenia.
378 ZDZ. KUROWSKI, ST. OCHELSKI Korzystają c z wyników tej pracy i dokonują c jak to się czę sto stosuje w praktyce w teorii pełzania fofmalnej zamiany naprę ż eń z odkształceniami, moż emy ogólne prawo stanu dla materiał u cał kowicie lepkiego dla («l)- stopniowej historii obcią ż eni a (= 1 gdzie a 0 = 0, t t < t 2 <... < / < t, zapisać w postaci (dla procesów izotermicznych): (2) e p (t) = C (a l,a 2,...,a ; t 1} t 2 t ;t), gdzie e p odkształcenie czystego pełzania, C funkcjonał konstytutywny. Zakładamy, że odkształcenie natychmiastowe jest liniowo sprę ż yste. Materiał o prawie stanu (2) zapamię tuje peł ną informację o skokowej historii naprę ż enia. Poniż ej przedstawiono propozycję metody ekstrapolacyjnej. Opiera się ona na nastę pują cym postulacie, który był przyjmowany przez PIPKINA i ROGERSA W [2]. Jeś li to wówczas a h = fyt- n > a h = a h- i> 1 ^ A <ji < < jk < n, 1 < fc< n, (3) C {a t,..., cr ; t it..., / ; t) s C n -. k (a h, a ti,..., a in _ k ; t h,..., /, _,.; t), gdzie w cią gu i\,i 2, > i ~k znajdują się liczby 1,2,...,«z pominię ciem j t,...,j k - Postulat powyż szy moż na speł nić przyjmują c nastę pują cą postać równania konstytutywnego: (4) C (ffi,..., o-,,; t lt..,,/,; 0 = gdzie w ogólnym przypadku (5) W = Wi(ff t, cr 2,...,,Ot\t L, ti,...,t t ), przy czym (6) ą s.l, Jeś li zachodzi cr t -i = or fc (1 < A; < j)> to musi być (7) w k (a 1,...,a k - it a k _ v \t h,..., t k^, t k ) a 0 oraz dla /c < y < / (8) W/ O 1!,..., O'J.J, cr^i, cr i+ 1,..., er,-; / 1;..., ^_!, t k, ł k+l,..., tj) s Funkcje w t spełniają ce warunki (5), (6), (7) i (8) są funkcjami pamię ci materiału, okreś lają cymi jego wraż liwość na wartoś ci i czasy skoków naprę ż enia. Przyjmują c konkretne prawo pełzania dla danego materiału otrzymamy dla niego odpowiednią postać wzoru (4).
EKSTRAPOLACYJNA METODA OPISU PEŁZANIA 379 Ograniczymy się obecnie do prób pełzania przy obcią ż eni u jednostopniowym i przyjmiemy prawo pełzania dane wzorem (1), tzn. przyjmiemy Wzór (4) przyjmie postać (9) e p (0 = Dla próby przy obcią ż eni u jednostopniowym wzór ten przedstawia się (przyjmują c ty = 0) (10) B p (t) = abajtwa+wicpj., <y 2 ;t 2 )a{a 2 ) (t- ł 2 )'"^\ Pi- zedstawioną powyż ej metodę ekstrapolacyjną moż na zilustrować graficznie w sposób przedstawiony na rys. 6. Dla próby a(t) = a y + (<r 2 - a x ) H(t - 1 2 ) bierzemy krzywe pełzania Rys. 6. Graficzna interpretacja proponowanej metody ekstrapolacji odpowiadają ce a Ł (krzywa A) i a 2 (krzywa B). Rzę dne punktów krzywej B mnoż ymy przez w 2 (a 1; a 2 ; t 2 ) otrzymują c krzywą C, którą przesuwamy nastę pnie równolegle po osi t, tak aby jej począ tek znajdował się w t 2 (krzywa D). Nastę pnie dla czasów t > t 2 superponujemy krzywe A i D otrzymują c ostateczną krzywą E. Przedstawiona powyż ej metoda lepiej opisał a wyniki doś wiadczalne pełzania stali przy obcią ż eni u jednostopniowym niż metody ekstrapolacyjne zaproponowane w [1, 2]. Na rys. 2-5 linią cią głą zaznaczono krzywe pełzania obliczone ze wzoru (10), a linią przerywaną wartoś ci doś wiadczalne. D la przedstawionych prób maksymalne bł ę dy opisu wyników doś wiadczalnych wynosił y (w %): tworzywo cp = 0 : 3,3 do + 4,1; tworzywo ę = 45 : - 6,3 do + 8,9; poliamid: - 12,8 do + 16,8; stal - 8,3 do + 6,0. 5. Wyznaczanie i własnoś ci funkcji pamię ci Wi Funkcję W 2 (GI, cr 2 ; t 2 ) dla przedziału naprę ż eń [o*j,, cr t ] i przedziału czasowego [t p, t k ] wyznaczamy w nastę pują cy sposób. Przyjmujemy trzy wartoś ci naprę ż eń a p < a s < a k i czasu t p < t s < t k. Dla każ dej wartoś ci czasu t p,t s i % wystarczy przeprowadzić 9 prób peł zania przy obcią ż eni u jednostopniowym. Znają c wartoś ci doś wiadczalne odkształ cenia w n chwilach czasu T ; (/ = 1, 2,...,«), t% < %\ < r 2 < t 3 <.., < % n < h, wartość
380 ZDZ. KUROWSKI, ST. OCHELSKI funkcji wyznaczono metodą najmniejszych kwadratów. Funkcję w 2 opisano nastę pnie przy pomocy funkcji kwadratowej Współczynniki a 2, a x i a 0 wyznaczono z warunku, aby krzywa w 2 przechodził a przez 3 punkty doś wiadczalne. Stwierdzono wyraź ną zmienność wartoś ci tych współ czynników, w zależ nośi cod obu ich argumentów. Na rys. 7-10 przedstawiono wykresy funkcji w 2 (o u cr 2 ; t 2 ) dla róż nych materiałów i róż nych wartoś ci argumentów o 1 ił 2. Znajomość wartoś ci w 2 (cr!, <r 2 ; t 2 ) dla trzech wartoś ci t 2 z przedziału [t p, t k ] i trzech wartoś ci naprę ż eń a t z przedziału [a p, <y k ] pozwala opisywać dowolne próby peł zania przy obcią ż eni u jedno- Twonywo tp- 0 Rys. 7. Wykresy funkcji pamię ci materiału \v 2 dla tworzywa warstwowego <p = 0 Tworzywo ę =*45 tt- 25 fe-100,0-1,0 4,0 [ks/ mm 2 ] - 5,0 Rys. 8. Wykresy funkcji pamię ci materiał u vc 2 dla tworzywa warstwowego 93 = 45 Poliamid T- 27 1,0 U02 łl- 25,0 godz. 1,0 '0)2 100,0-1,0-1,0 4,0 <T 2-2,0-3,0-4,0 u," 1,12 kg/ mm! C, "2,24 a- 1-3,36-4,0 Rys. 9. Wykresy funkcji pamię ci materiał u w 2 dla poliamidu
EKSTRAPOLACYJNA METODA OPISU PEŁZANIA 381 Stal 50H2W9N4 t 2 ~ 100,0 godz U] = 4,0 kg/ mm! er, = 7,0 07-70,0 Rys. 10. Wykresy funkcji pamię ci materiał u w 2 dla stali stopniowym, w których wartoś ci naprę ż eń oraz chwila skoku znajdują się w powyż szych przedziałach. Wartoś ci funkcji moż na otrzymać poprzez interpolację wartoś ci podanych na wykresach. Porównują c wykresy funkcji pamię ci materiału w 2 na rysunkach (7-10), moż na spostrzec ich jakoś ciowe podobień stwo dla róż nych materiał ów. Obserwuje się znacznie wię ksze (co do wartoś ci bezwzglę dnej) wartoś ci funkcji w 2 przy odcią ż eni u niż przy docią ż eniu. Stwierdzono niezbyt dużą zmienność funkcji w 2 wzglę dem parametru czasowego t 2. Zmienność ta jest wyraź na jedynie przy duż ych zmianach naprę ż enia. W wię kszoś i c przypadków zmienność ta jest nieznaczna i z dobrym przybliż eniem do celów praktycznych moż na przyjmować w 2 (a t, G 2 \ t 2 ) jako niezależ ne od t 2. Powyż sze stwierdzenie dotyczy zakresów przyję tych w badaniach przedziałów czasu t 2 i naprę ż eń. 6. Wnioski koń cowe 1. Zastosowanie metody ekstrapolacyjnej opartej na funkcji pamię ci materiał u, przy prostym opisie matematycznym, pozwoliło na dobre opisanie prób pełzania róż nych materiał ów przy obcią ż eni u jednostopniowym. 2. Do wyznaczenia funkcji pamię ci, dla wymienionych w pracy materiał ów w okreś lonym przedziale czasu i naprę ż eń, okazuje się wystarczają ce przeprowadzenie maksymalnie 27 prób pełzania przy obcią ż eni u jednostopniowym. 3. Dalszym kierunkiem badań nad przedstawioną metodą ekstrapolacyjną powinna być analiza opisu prób wię cej niż jednostopniowych. Zastosowanie przedstawionej metody do kilku prób przy obcią ż eni u dwustopniowym pozwolił o zauważ yć, że metoda ta daje opis równie dobry jak dla prób przy obcią ż eni u jednostopniowym. Literatura cytowana w tekś cie 1. R. O. STAFFORD, On mathematical forms for the material functions in nonlinear viscoelasticity, J. Mech. Phys. Solids., 17 (1969). 2. A. C. PIPKIN, T. G. ROGERS, A non- linear integral representation for viscoelastic behaviour, J. Mech. Phys. Solids, 16 (1968). 3. Z. KuROWSKr, S. OCHELSKI, Zastosowanie metod reprezentacji całkowych i ekstrapolacji do matematycznego opisu pełzania metali, Biul. WAT, 3, 23 (1974). 4. B. C. HAMECTHHKOBJ K>. H. PABOTHOB, O zunome3e ypaenemin cocmomiur npu noa3yuecmu 1 TS.MT'i l, 3 (1961).
382 ZDZ. KUROWSKI, ST. OCHELSKI 5. Ju. N. RABOTNOW, Redistribution of Reactions at Transient Power Law Creep, Creep in Structures, Springer, 1972. 6. S. OCHELSKI, Analiza peł zania ortotropowego tworzywa warstwowego w jednoosiowym stanie naprę ż enia, Biul. WAT, 1, 18 (1969). 7. J. de LACOMBE, Une mode de representation des courbes desfł uages, Rev, met., 36 (1939). 8. I. FINNIE, W. R. HELLER, Peł zanie materiał ów konstrukcyjnych, Warszawa 1962. 9. J. RYCHLEWSKI, Niewraż liwoś ćmateriał ów na zamiany dróg deformacji, Prace IPPT PAN, 1973. P e 3 io AI e SKCTPAnOJMtUHOHHblfł METOfl OnHCAHM HCnLITAHHM HA ITPH MHorocryriEi- raatlix HArpy3KAx B pa6oie npesnoken OKCTpanojmuHOHHbift iwetofl onucanhh MHorocTyneipiaTbix H3OTepMHMecKnx HcnbiTannii nei<otopbix MaiepHajiOB Ha noji3yqectb. Ilpu oniicahhh c nomomwo sxoro Merofla MHoro- CTynenqaTwx HcnMTaHHH Ha noji3ymectł ncnojn>3yiotch HHIUL: 38KOH non3ywecth nph IIOCTOHHHOH riarpy3i<e H 3 onpeflenehhbie B pasoie, (byhkqhh namhth MaTepwajia. npefljiohcehhbiii MdOfl npobepeh 3i<cnepHMeHTajiŁHo fljia oflhoctyneimatoh noji3yyectn nonhodphphoro crekjionjiacthka, nojntamhfla H CTanH. nonyqeno xoporuee onncahhe 3i<cnepHMeHTajiBHbix KPHBMX. Summary EXTRAPOLATION METHOD OF DESCRIPTION OF CREEP TESTS AT MULTI- STEP LOADINGS An extrapolation method for the description isothermal creeping of several materials under multi- step loads is proposed in this paper. For the description of multistep creeping, the method makes use only of the one- step creep law, and the material memory functions defined in the paper. The method proposed was verified experimentally for two- step creeping of fibre- reinforced polyester resin, polyamide and steel, providing a good description of experimental curves. WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA, WARSZAWA Praca została złoż onaw Redakcji dnia 14 paź dziernika 1974 r.