-2009 PROBLEMY EKSPLOATACJI 57 Robert PILCH, Jan SZYBKA Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków OCENA NIEZAWODNOŚCI SIECI KOMUNIKACYJNYCH Słowa kluczowe Niezawodność sieci, sieci transportowe, algorytm faktoryzacji, redukcja sieci, efektywność. Streszczenie W artykule przedstawiono sposób wyznaczania niezawodności sieci transportowych na terenach aglomeracji miejskich. Jedną z metod obliczeniowych stosowaną do wyznaczania niezawodności układów sieciowych jest algorytm faktoryzacji zmodyfikowany pod kątem specyfiki sieci komunikacji samochodowej. Opracowana metoda może być wykorzystana w analizie wpływu niezawodności skrzyżowań, dodatkowych połączeń drogowych, jak również obwodnic miasta na niezawodność całej sieci komunikacyjnej. Analizowany problem został zilustrowany na praktycznym przykładzie obliczeń niezawodności rzeczywistej sieci transportowej. Otrzymane wyniki obliczeń wskazują, że zwiększanie płynności ruchu w miejskich sieciach transportowych może być osiągane zarówno przez budowanie obwodnic miasta, jak również podwyższanie niezawodności skrzyżowań. Efekt ten można uzyskać przez odpowiednią organizację ruchu na skrzyżowaniach i sterowanie sygnalizacją świetlną, a także budowę skrzyżowań bezkolizyjnych. Wyniki obliczeń niezawodnościowych sieci komunikacyjnych o różnych konfiguracjach można porównywać oceniając efektywność wprowadzanych zmian.
58 PROBLEMY EKSPLOATACJI -2009 Wprowadzenie Dynamiczny rozwój komunikacji samochodowej wymusza budowę nowych i modernizację istniejących sieci drogowych. Oprócz budowy bezkolizyjnych skrzyżowań i wprowadzania usprawnień w zakresie sygnalizacji świetlnej to konfiguracja sieci ma istotny wpływ na zapewnienie ciągłości ruchu samochodowego. Niniejsze opracowanie dotyczy metody oceny niezawodności sieci przed i po wprowadzeniu nowych połączeń. Projektowanie nowych połączeń lub modernizacja istniejących powinno usprawniać komunikację, a wynik oszacowań niezawodnościowych może ułatwiać podejmowanie właściwych decyzji w zakresie organizacji ruchu drogowego. Do oceny efektów wprowadzenia nowych połączeń posłużono się zmodyfikowaną metodą faktoryzacji, którą z powodzeniem zastosowano wcześniej do analizy przepustowości skrzyżowań z sygnalizacją świetlną.. Niezawodność sieci komunikacyjnych Niezawodność najczęściej definiowana jest jako prawdopodobieństwo poprawnej pracy obiektu technicznego w określonych warunkach eksploatacji i w określonym czasie. Takie opisowe sformułowanie pojęcia niezawodności można uogólnić na sieci komunikacyjne jako prawdopodobieństwo dotarcia do określonego celu podróży, będące miarą oczekiwań użytkowników dróg. Występujące utrudnienia w ruchu komunikacyjnym obniżają przepustowość ciągów komunikacyjnych i często w dużych aglomeracjach przejazd przez miasto sprawia kierowcom wiele kłopotów. Analiza niezawodnościowa sieci komunikacyjnych jest trudna, ponieważ brakuje efektywnych metod obliczeniowych, a znacząca liczba opracowań dotycząca metod optymalizacji sieci transportowych jest głównie ukierunkowana na zagadnienia organizacji potoku ruchu pojazdów, planowania struktury przestrzennej sieci czy analizy kosztów [3]. Problematyka niezawodnościowa w zagadnieniach optymalizacji sieci transportowych ma na przykład istotne znaczenie w rozwiązywaniu minimalizacji czasów przestojów w ruchu komunikacyjnym w dużych aglomeracjach miejskich. Problem ten ściśle związany jest z ochroną środowiska i minimalizacją kosztów społecznych. Niezawodność opisywana jest przez wiele charakterystyk, których wykorzystanie w analizie przyczyn opóźnień ruchu komunikacyjnego może mieć znaczenie w usprawnianiu systemów komunikacji drogowej. Charakterystyki te umożliwiają ocenę prawdopodobieństw osiągnięcia celu podróży, rozkładów częstości występowania tych zdarzeń, identyfikację stopnia niezrealizowania zamierzeń czy też określenie średnich czasów przejazdów. Wyznaczenie tych charakterystyk istotne jest w szacowaniu niezawodności
-2009 PROBLEMY EKSPLOATACJI 59 układów sieciowych, gdzie przyjmowane jest założenie, że niezawodność węzłów jest znana. Usprawnienia ruchu drogowego uzależnione są od możliwości oceny przepustowości ciągów komunikacyjnych i możliwości porównania różnych rozwiązań. Prezentowane w pracy metody mogą być użyteczne w rozwiązywaniu tego typu problemów. Intensywny rozwój transportu samochodowego oraz narastający kryzys energetyczny zmusza do poszukiwania nowych metod rozwiązywania problemów komunikacyjnych, a analiza niezawodnościowa jest podejściem oryginalnym w porównaniu z metodami tradycyjnymi. 2. Wyznaczanie niezawodności wybranej sieci komunikacyjnej Szacowanie niezawodności sieci komunikacji samochodowej przy zastosowaniu klasycznych metod jest trudne, a w przypadku dużych aglomeracji miejskich często niemożliwe. Poszukuje się więc metod, które umożliwią wyznaczanie niezawodności złożonych struktur sieciowych oraz będą pomocne w poszukiwaniu rozwiązań zwiększających płynność ruchu w miejskich sieciach komunikacyjnych. Jedną z metod nadających się do wykorzystania w analizie niezawodnościowej układów sieciowych jest algorytm faktoryzacji. Według tej metody sieć jest reprezentowana przez graf nieskierowany z wyróżnionym zbiorem wierzchołków i łuków je łączących [, 2]. Niezawodność sieci określona jest jako prawdopodobieństwo istnienia połączenia między wybranym zbiorem wierzchołków tej sieci. Zależność matematyczna pozwalająca obliczyć tak zdefiniowaną niezawodność sieci wyznaczana jest poprzez odpowiednią redukcję sieci [, 2]. Podejście takie jest możliwe do zastosowania w przypadku układów sieciowych, w których zakłada się, że połączenia ulegają uszkodzeniom, a węzły są niezawodne (sieci gazowe, wodociągowe, elektroenergetyczne) [4, 5]. W przypadku sieci komunikacji samochodowej przyjęcie takiego samego założenia wydaje się niesłuszne, gdyż to nie połączenia (drogi), ale węzły (skrzyżowania) są zazwyczaj nieprzejezdne. Wyznaczanie niezawodności sieci przy takich założeniach wymaga znacznych zmian w procedurze algorytmu faktoryzacji. Zmodyfikowany w tym celu model, nadający się do zastosowania w przypadku sieci komunikacji samochodowej, został opracowany i przedstawiony w pracy [6]. Jako przykład praktyczny analizowanego problemu podwyższania niezawodności sieci komunikacyjnych wybrano fragment rzeczywistej sieci transportowej w Krakowie. Przeanalizowane zostały dwa warianty. Pierwszy (rys. ) uwzględnia najważniejsze arterie komunikacyjne w centrum miasta. Drugi wa-
60 PROBLEMY EKSPLOATACJI -2009 riant (rys. 2) obejmuje ten sam schemat najważniejszych dróg z uwzględnieniem południowej obwodnicy miasta. 3 4 5 2 6 7 2 3 6 5 4 0 8 9 Rys.. Schemat analizowanego fragmentu sieci komunikacyjnej Na obydwu schematach (rys., rys. 2) w postaci linii oznaczono ciągi komunikacyjne (drogi), natomiast ponumerowane węzły oznaczają skrzyżowania w sieci. Korzystając ze zmodyfikowanego algorytmu faktoryzacji przyjęto, że drogi są niezawodne (nie ulegają uszkodzeniom), natomiast każde ze skrzyżowań może być nieprzejezdne z określonym prawdopodobieństwem. Według zaproponowanego modelu skrzyżowanie jest nieprzejezdne, jeśli nie można go przejechać bez konieczności oczekiwania dłużej niż jeden cykl świetlny. Założenie to może być modyfikowane, co będzie miało jednak wpływ na wartości niezawodności poszczególnych skrzyżowań. Jedną z metod wyrażenia płynności ruchu na skrzyżowaniach kolizyjnych sterowanych sygnalizacją świetlną może być współczynnik gotowości skrzyżowania, którego procedurę wyznaczania przedstawiono w [7].
-2009 PROBLEMY EKSPLOATACJI 6 6 7 8 22 9 2 0 20 9 2 5 4 8 7 6 5 3 4 3 2 Rys. 2. Schemat analizowanego fragmentu sieci komunikacyjnej z obwodnicą Niezawodność sieci komunikacji samochodowej przyjęta została jako prawdopodobieństwo istnienia połączenia między wszystkimi drogami w sieci bez konieczności przejeżdżania przez zablokowane skrzyżowania. Oznacza to, że rozważana jest możliwość przejechania z dowolnej drogi do wszystkich innych bez przejeżdżania przez jakiekolwiek zakorkowane skrzyżowanie. Zgodnie z założeniami zmodyfikowanej metody faktoryzacji, wykonano pełną redukcję obydwu sieci komunikacyjnych, uzyskując zależności matematyczne umożliwiające wyliczanie ich niezawodności. Dla schematu bez obwodnicy (rys. ) niezawodność sieci określa zależność (). Dla przypadku z obwodnicą (rys. 2) przyjęto dodatkowo, że wszystkie skrzyżowania dróg łączących się z obwodnicą (węzły: 6) zorganizowane są jako bezkolizyjne, czyli ich niezawodność przyjęto równą. Pomimo to uzyskana zależność końcowa jest tak rozbudowana, że nie jest możliwe jej pełne zaprezentowanie w artykule. Na potrzeby obliczeniowe opracowano program komputerowy.
62 PROBLEMY EKSPLOATACJI -2009 R S = 5 R + F R 4 R + F R i 5 6 i 4 5 i 3 2 + F + + 4 F5 R6 Ri F3 R4 R5 Ri F2 Ri Ri + i = R i 3 R + 5 3 + F R R F () 2 3 4 5 gdzie: R i niezawodność i-tego skrzyżowania, F i prawdopodobieństwo, że i-te skrzyżowanie jest nieprzejezdne ( R i ). 3. Wyniki obliczeń Przyjmując różne wartości prawdopodobieństw, że dane skrzyżowanie jest nieprzejezdne, wyznaczono niezawodność analizowanej sieci komunikacyjnej dla przypadku z obwodnicą oraz bez. Uzyskane wartości niezawodności sieci w zależności od niezawodności skrzyżowań przedstawiono w postaci wykresów (rys. 3). z obwodnicą bez obwodnicy Niezawodność sieci (Rs) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 0,6 0,7 0,8 0,9 Niezawodność skrzyżowań (Ri) Rys. 3. Niezawodność sieci komunikacyjnej w zależności od niezawodności skrzyżowań Przyjęta w analizie definicja niezawodności sieci, zgodnie z którą sieć jest zdatna, jeśli z dowolnej drogi istnieje możliwość przedostania się do wszystkich innych nie przejeżdżając przez ani jednego zakorkowanego skrzyżowania, jest bardzo restrykcyjna. Ponadto uwzględniono w obliczeniach tylko jedną obwod-
-2009 PROBLEMY EKSPLOATACJI 63 nicę. Pomimo to widać wyraźnie, że wprowadzenie obwodnicy znacznie podwyższyło niezawodność sieci komunikacyjnej. Jednak jeśli niezawodność samych skrzyżowań osiąga wartości niższe od 0,6, to prawdopodobieństwo swobodnego przemieszczania się (bez przejeżdżania przez zablokowane skrzyżowania) w analizowanej sieci komunikacyjnej jest bliska 0. Aby w sposób liczbowy określić efekt uzyskany w wyniku modernizacji sieci, wyznaczono efektywność zastosowania obwodnicy w analizowanej sieci. Wartości efektywności zostały obliczone według zależności (2), a wyniki przedstawiono na wykresie (rys. 4). E f R S = (2) R S 2 gdzie: R S niezawodność sieci według wariantu pierwszego (bez obwodnicy), R S2 niezawodność sieci według wariantu drugiego (z obwodnicą). Efektywność (Ef),9,8,7,6,5,4,3,2, 0,9 0,6 0,7 0,8 0,9 Niezawodność skrzyżowań (Ri) Rys. 4. Efektywność zastosowania obwodnicy w sieci komunikacyjnej Na wykresie tym można zauważyć, że efektywność osiąga tym wyższe wartości, im wyższa jest niezawodność skrzyżowań w sieci. Można stąd wysnuć wniosek, że poprawę płynności ruchu w miejskich sieciach komunikacyjnych można uzyskać przez budowę obwodnic, ale również przez podwyższanie niezawodności pojedynczych skrzyżowań. Można to uzyskać dzięki poprawie przepustowości i płynności ruchu na skrzyżowaniach. Jednym ze sposobów na osiągnięcie tego celu jest budowa skrzyżowań bezkolizyjnych.
64 PROBLEMY EKSPLOATACJI -2009 Podsumowanie Przeprowadzone porównanie oceny niezawodności sieci komunikacyjnych dla różnego typu połączeń jest możliwe z zastosowaniem metody faktoryzacji. Obliczenia analityczne ze względu na rozpatrywanie wielu możliwych stanów jest skomplikowane, ale zalgorytmizowanie obliczeń i opracowanie komputerowych programów obliczeniowych jest możliwe. W tym kierunku zostaną podjęte dalsze prace. Ocena niezawodnościowa sieci drogowych wymaga znajomości niezawodności węzłów. Niezawodność ta opisywana może być przez charakterystyki niezawodnościowe. Wyznaczenie ich wartości jest możliwe po przeprowadzeniu odpowiednich badań w rzeczywistych warunkach eksploatacji. Podejście niezawodnościowe do optymalizacji sieci komunikacyjnych jest podejściem probabilistycznym, które jest przyczynkiem do bogatego dorobku w zakresie tej problematyki. Ocena efektywności podwyższenia niezawodności przez wprowadzenie dodatkowych połączeń może być wykorzystana w analizie ekonomicznej modernizacji sieci komunikacyjnych. Bibliografia. Wood R.K.: Factoring algorithms for computing K terminal network reliability. IEEE Trans. Reliability, 986, R-35, 269 278. 2. Page L.B., Perry J.E.: A practical implementation of the factoring theorem for network reliability. IEEE Trans. Reliability, 988, 37, 259 267. 3. Steenbrink P.A.: Optymalizacja sieci transportowych. WKiŁ. Warszawa 978. 4. Szybka J., Pilch R.: Koncepcja oceny nadmiarowości funkcjonalnej sieci gazowych w aspekcie niezawodnościowym. Materiały XXXV Zimowej Szkoły Niezawodności. Szczyrk 2007, 493 499. 5. Pilch R., Szybka J.: Zastosowanie algorytmu faktoryzacji do oceny niezawodności sieci elektroenergetycznych. Materiały XXXVII Zimowej Szkoły Niezawodności. Szczyrk 2009, 255 26. 6. Pilch R., Szybka J.: Koncepcja zastosowania algorytmu faktoryzacji do oceny niezawodności ciągów komunikacyjnych. Problemy eksploatacji, 2007, 2, 29 36. 7. Pilch R., Szybka J.: Koncepcja wyznaczania współczynnika gotowości skrzyżowań komunikacji samochodowej. Materiały XXXVI Zimowej Szkoły Niezawodności. Szczyrk 2008, 248 258. Recenzent: Kazimierz LEJDA
-2009 PROBLEMY EKSPLOATACJI 65 Estimation reliability of road net Keywords Network reliability, transport network, factoring algorithm, network reduction, efficiency. Summary In this paper, we present a method for the determination of the reliability of transport networks in urban areas. One of computational tools that is used to determine reliability of the network systems is a factoring algorithm. We adapt it for the specific application to a car transport network. The developed method may be used to study how the entire transport network depends on reliability of crossroads, additional roads and bypass of city. We also present an example of application to a real transport network. Our results suggest that the reduction of traffic in urban transport network may be actieved by additional bypasses of a city as well as an improvement of the reliability of crossroads. The reliability of crossroads may be improved by a proper traffic control, a control of traffic lights and a new flyover crossings. Our method allows to compare reliability of different configurations of transport networks, thus is allows to evaluate changes in car traffic control.
66 PROBLEMY EKSPLOATACJI -2009