Jakub Wierciak Matematyczne modele mikrosilników elektrycznych - silniki prądu stałego Człowiek- najlepsza inwestycja Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Model funkcjonalny elektrycznego układu napędowego (Wierciak 2002) Model mechanizmu Model układu sterującego Obciążenia Model układu przeniesienia napędu Sygnał sterujący Model silnika Obciążenie elektryczne Zredukowane obciążenia Moment elektromagnetyczny Model ruchu obrotowego Kąt obrotu wirnika Model układu przeniesienia napędu Sygnały sprzężenia zwrotnego Kąt obrotu wałka wyjściowego
Model ruchu obrotowego (Owczarek 1982) s s s Js Jr KD M F Mt sgn M r Me J s J r K D M F M t M r M e φ s φ s0 ω s0 d 2 dt 2 s t0 d dt s0 ds( t ) dt t0 - masowy moment bezwładności wirnika - zredukowany masowy moment bezwładności obciążenia - współczynnik tłumienia lepkiego - moment tarcia w silniku - zredukowany tarciowy moment obciążenia - zredukowany czynny moment obciążenia - moment elektromagnetyczny silnika - kątowe położenie wirnika - początkowe położenie wirnika - początkowa prędkość kątowa wirnika, d dt s0
Reguła lewej dłoni (reguła Fleminga) (Kenjo, Nagamori 1989) Siła elektrodynamiczna F F BIL 1 siła, 2 strumień magnetyczny, 3 prąd; I natężenie prądu, B indukcja pola magnetycznego, L długość przewodnika
Mikrosilnik prądu stałego z magnesem trwałym (Kenyo, Nagamori 1989) 1 - tuleja, 2 - wałek, 3 - obudowa, 4 - magnes, 5 - twornik, 6 - szczotka, 7 - wyprowadzenie, 8 - komutator, 9 - piasta, 10 - łożysko
Mikrosilnik prądu stałego z wirnikiem rdzeniowym (Kenyo, Nagamori 1989) 2 1 3 4 1 - magnes, 2 rdzeń wirnika, 3 - uzwojenie, 4 komutator
Mikrosilnik prądu stałego z wirnikiem bezrdzeniowym kubkowym (Kenyo, Nagamori 1989) 1 - tuleja, 2 - wałek, 3 - obudowa, 4 - magnes, 5 - twornik, 6 - szczotka, 7 - wyprowadzenie, 8 - komutator, 9 - piasta, 10 - łożysko
Mikrosilnik prądu stałego z wirnikiem tarczowym (Kenyo, Nagamori 1989) 1-komutator, 2-wałek, 3-panewka, 4-szczotka, 5-magnes, 6-wyprowadzenie, 7-twornik, 8-obudowa, 9-panewka
Mikrosilnik prądu stałego z komutacją bezzestykową (Kenyo, Nagamori 1989) 1 - wałek, 2 - korpus, 3 - płytka drukowana, 4 - obudowa, 5 - magnes trwały wirnika, 6 - uzwojenie stojana, 7 - hallotron
Reguła lewej dłoni (reguła Fleminga) (Kenjo, Nagamori 1989) Siła elektrodynamiczna F F BIL 1 siła, 2 strumień magnetyczny, 3 prąd; I natężenie prądu, B indukcja pola magnetycznego, L długość przewodnika
Moment elektromagnetyczny w mikrosilniku prądu stałego (Kenyo, Nagamori 1989) siła elektrodynamiczna F F BIL strumień magnetyczny Ф przenikający przez zwoje Φ RLB moment M rozwijany przez silnik M z Φ I a 2 L - długość przewodnika I prąd w przewodniku, I a prąd twornika, B - indukcja pola magnetycznego R - promień wirnika Z - liczba prętów uzwojenia stała momentu K T K T z Φ 2 M K T I a
Komutacja w silniku prądu stałego (Kenyo, Nagamori 1989)
Mechaniczna komutacja w silniku prądu stałego (Kenyo, Nagamori 1989) a) b) a) Schemat uzwojenia, b) schemat przełączania sekcji; 1 działki komutatora, 2 sekcje uzwojenia, 3 szczotki
Reguła prawej dłoni (reguła Fleminga) (Kenyo, Nagamori 1989) Siła elektromotoryczna E E BL 1 siła, prędkość, 2 siła elektromotoryczna, 3 strumień magnetyczny, 4 prąd, 5 przemieszczenie; v prędkość przewodnika, B indukcja pola magnetycznego, L długość przewodnika
Napięcie indukowane w mikrosilniku prądu stałego (Kenyo, Nagamori 1989) siła elektromotoryczna E indukowana w przewodniku E BL siła elektromotoryczna U ind indukowana w wirniku silnika Uind K E stała napięcia K E K E z Φ 2 B - indukcja pola magnetycznego K E - stała napięcia silnika L długość elementu przewodzącego U ind napięcie indukowane w uzwojeniu silnika ν prędkość elementu przewodzącego ω kątowa prędkość wirnika
Mechaniczna komutacja w silniku prądu stałego (Kenyo, Nagamori 1989) a) b) a) Schemat uzwojenia, b) schemat przełączania sekcji; 1 działki komutatora, 2 sekcje uzwojenia, 3 szczotki
Statyczny model mikrosilnika prądu stałego (Kenyo, Nagamori 1989) Równanie napięć U z RtI KE Rt I Równanie momentów Uz K T I K M D F M r Uind U z stałe napięcie zasilania silnika R t - całkowita rezystancję obwodu twornika K D - stała tłumienia lepkiego w silniku M F - moment tarcia statycznego w silniku M r zewnętrzny moment obciążenia
Obciążeniowe charakterystyki mikrosilnika prądu stałego (Wierciak 2000) Prędkość kątowa ω Prąd I Moc oddawana P 2 Sprawność η ω η P 2 I M r Moment silnika M M s
Dynamiczny model mikrosilnika prądu stałego (Wierciak 2000) Równanie napięć Równanie momentów K T di u Rti L K E dt d i ( Js Jr ) KD ( MF sgn( ) Mr ) dt i - prąd twornika (A) L - indukcyjność uzwojenia twornika (H), J r - moment bezwładności napędzanych zespołów (kg m 2 ) J s - moment bezwładności wirnika (kg m 2 ) K D - stała tłumienia lepkiego M F - moment tarcia statycznego w silniku (N m), M r - moment obciążenia (N m), R t - całkowita rezystancja obwodu twornika (Ω), w silniku (N m s) K E - stała napięcia (V s) K T - stała momentu (N m/a) L - indukcyjność uzwojenia twornika (H), u - ω - napięcie zasilania (V), prędkość kątowa wirnika (1/s) M F - moment tarcia statycznego w silniku (N m),
Użyteczny moment silnika (Wierciak 2005) Moment użyteczny M M m M e M si m M e i M si - moment rozwijany przez silnik (moment na wałku ) - moment elektromagnetyczny silnika - momenty strat w silniku Zmodyfikowane równanie ruchu d 2 d dt d dt s s s Js Jr KD M F sgn M r M m dt 2
Momenty strat w silniku (Wierciak 2005) M m M e i M si M m M e M si - moment rozwijany przez silnik (moment na wałku ) - moment elektromagnetyczny silnika - momenty strat w silniku M s1 M s2 M s3 M s4 - moment tarcia suchego w łożyskach - moment tarcia suchego w komutatorze - moment wentylatorowy - moment tarcia lepkiego
Mechaniczne straty w silnikach prądu stałego odniesione do mocy pobieranej przez silnik (Gerhard, Lee 1985) Silnik 1 (Faulhaber 1,5 W) Silnik 2 (Faulhaber 2 W) Silnik 3 (Buhler 5 W) Wirnik Wirnik bezrdzeniowy Wirnik rdzeniowy Silnik 4 (Buhler 3,5 W) Komutator Łożyskowanie Straty w żelazie (elektryczne) Straty na szczotkach Straty w łożyskach Straty wentylatorowe Łączne straty mechaniczne Szczotki metalowe Spiekane suche Szczotki metalowe Spiekane nasączone olejem Szczotki metalowo grafitowe Spiekane suche Szczotki metalowo grafitowe Spiekane suche - - (3,5 %) (4,5 %) 0,2 % 0,8 % 5,3 % 5,5 % 0,26 % 1,6 % 1,5 % 2,0 % 0,34 % 0,2 % b. małe b. małe 0,8 % 2,6 % 6,8 % 7,5 %
Straty w silnikach tarczowych (Cegliński, Tocicki 1986) Silnik PTT-11 (WAMEL); P w straty od prądów wirowych w prętach wirnika, P k straty w zezwojach zwartych, P m - straty mechaniczne w łożyskach i straty wentylacyjne, P s straty mechaniczne tarcia szczotek o komutator
Dynamiczny model mikrosilnika prądu stałego (Wierciak 2000) Równanie napięć u di Rti L K E dt Równanie momentów K T d i ( Js Jr ) KD ( M F sgn( ) Mr ) dt i - prąd twornika (A) J r - moment bezwładności napędzanych zespołów (kg m 2 ) J s - moment bezwładności wirnika (kg m 2 ) K D - stała tłumienia lepkiego w silniku (N m s) K E - stała napięcia (V/rad/s) K T - stała momentu (N m/a) L - indukcyjność uzwojenia twornika (H) M F - moment tarcia statycznego w silniku (N m) M r - moment obciążenia (N m) R t - całkowita rezystancja obwodu twornika (Ω) u - napięcie zasilania (V) ω - prędkość kątowa wirnika (rad/s)
Zastępcze parametry mikrosilnika prądu stałego (Kenjo, Nagamori 1989) Stała czasowa elektromagnetyczna e L R t Stała czasowa elektromechaniczna m K R E t K T J s M 0 s J s J s - masowy moment bezwładności wirnika (kg m 2 ) K E - stała napięcia (V s) K T - stała momentu (N m/a) L - indukcyjność uzwojenia twornika (H) M s - moment rozruchowy silnika (N m) R t - całkowita rezystancja obwodu twornika (Ω) ω 0 - prędkość kątowa biegu jałowego (rad/s)
Transmitancyjny opis silnika prądu stałego (Kenjo, Nagamori 1989) T U s 1/K E s 2 s s 1 s m e m τ m τ e - mechaniczna stała czasowa (s) - elektryczna stała czasowa (s) K E - stała napięcia (V s/rad) Model
Rzeczywisty przebieg prędkości podczas rozruchu silnika prądu stałego (Owczarek 1982) n prędkość obrotowa silnika, n 0 prędkość obrotowa biegu jałowego, τ e - stała czasowa elektromagnetyczna, τ m stała czasowa elektromechaniczna
Silnik prądu stałego jako obiekt 1. rzędu (Kenjo, Nagamori 1989) T 1/K E s s 1 Ω s U m τ m - mechaniczna stała czasowa (s) K E - stała napięcia (V s/rad)
Idealny przebieg prędkości podczas rozruchu silnika prądu stałego (Owczarek 1982) n prędkość obrotowa silnika, n 0 prędkość obrotowa biegu jałowego, τ m stała czasowa elektromechaniczna
Dwa podstawowe sposoby sterowania silników prądu stałego (Kenjo, Nagamori 1989) a) b) a) sterowanie napięciowe, b) sterowanie prądowe
Profil prędkości przy pozycjonowaniu na krótkiej drodze (Wierciak 2000) Prędkość ω Hamowanie Przyspieszanie Czas t
Sterowanie z modulacją szerokości impulsu (Kenjo, Nagamori 1989) a) b) a) schemat modulacji, b) schemat sterownika; 1 prąd, 2 średnie napięcie
Dane katalogowe silników prądu stałego - parametry funkcjonalne (Portescap 2005)
Dane katalogowe silników prądu stałego - warunki pracy (Portescap 2005)
Opis dynamiczny układów ciągłych liniowych (Osowski 1997) równanie stanu równanie wyjścia x Ax Bu y Cx Du wymiar wektora zmiennych stanu x n wymiar wektora zmiennych wejściowych macierze współczynników u wymiar wektora zmiennych wyjściowych y N m n n A R x n N BR x m n CR x m n DR x
Dynamiczny model mikrosilnika prądu stałego (Wierciak 2000) Równanie napięć u di Rti L K E dt Równanie momentów K T d i ( Js Jr ) KD ( M F sgn( ) Mr ) dt i - prąd twornika (A) J r - moment bezwładności napędzanych zespołów (kg m 2 ) J s - moment bezwładności wirnika (kg m 2 ) K D - stała tłumienia lepkiego w silniku (N m s) K E - stała napięcia (V/rad/s) K T - stała momentu (N m/a) L - indukcyjność uzwojenia twornika (H) M F - moment tarcia statycznego w silniku (N m) M r - moment obciążenia (N m) R t - całkowita rezystancja obwodu twornika (Ω) u - napięcie zasilania (V) ω - prędkość kątowa wirnika (rad/s)
Podstawienia do opisu dynamiki mikrosilnika prądu stałego z użyciem zmiennych stanu (Osowski 2000) łączny moment obciążenia silnika M M F M r łączny moment bezwładności obciążający silnik J J s J r stała czasowa elektromagnetyczna silnika stała czasowa elektromechaniczna obciążonego silnika T m T e Rt K K E L R T t J
Opis dynamiki mikrosilnika prądu stałego z użyciem zmiennych stanu (Osowski 2000) równanie stanu równanie wyjść M u J 1 0 0 R T 1 i 0 K T R K T T J T 1 t t i e t E m t T m e e d d d d i 1 0 0 1 i y
Opis dynamiki mikrosilnika prądu stałego z użyciem zmiennych stanu uściślenie (Osowski 2000) równanie stanu równanie wyjść M u J R T i K T R K T T J T t t i e t E m t T m e e 1 0 0 1 0 1 d d d d x M u i y i 1 0 0 1 i y Bu Ax x Du Cx y i 1 0 0 K M T e y