KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (rozszerzony) klasa 1.

Wymagania podstawowe (zawierają wymagania konieczne); Wymagania dopełniające (zawierają wymagania rozszerzające); Wymagania wykraczające. KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (rozszerzony) klasa 1. Prace klasowe zawierają zarówno wymagania podstawowe, jak i dopełniające, zatem Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który uzyskał od 30% do 50% maksymalnej ilości punktów Ocenę dostateczną otrzymuje uczeń, który uzyskał od 51% do 74% maksymalnej ilości punktów Ocenę dobrą otrzymuje uczeń, który uzyskał od 75% do 90% maksymalnej ilości punktów Ocenę bardzo dobrą otrzymuje uczeń, który uzyskał od 91% do 100% maksymalnej ilości punktów 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia podstawowe Tematyka zajęć: Zdanie. Zaprzeczenie zdania Koniunkcja zdań. Alternatywa zdań Implikacja. Równoważność zdań. Definicja. Twierdzenie Prawa logiczne. Prawa De Morgana Zbiór. Działania na zbiorach Zbiory liczbowe. Oś liczbowa Rozwiązywanie prostych równań Przedziały Rozwiązywanie prostych nierówności Zdanie z kwantyfikatorem Wymagania podstawowe Wymagania dopełniające Wymagania wykraczające potrafi odróżnić zdanie logiczne od innej potrafi budować zdania złożone i oceniać ich potrafi stosować wiadomości z logiki do wypowiedzi; wartości logiczne; wnioskowania matematycznego; umie określić wartość logiczną zdania prostego; potrafi wnioskować o wartościach zdań potrafi stosować działania na zbiorach do 1

potrafi zanegować zdanie proste i określić wartość logiczną zdania zanegowanego; potrafi rozpoznać zdania w postaci koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności zdań; potrafi zbudować zdania złożone w postaci koniunkcji, alternatywy, implikacji i równoważności zdań z danych zdań prostych; potrafi określić wartości logiczne zdań złożonych, takich jak koniunkcja, alternatywa, implikacja i równoważność zdań; potrafi odróżnić definicję od twierdzenia; zna prawa De Morgana (prawo negacji alternatywy oraz prawo negacji koniunkcji) i potrafi je stosować; potrafi określić wartość logiczną zdania, które jest negacją koniunkcji, oraz zdania, które jest negacją alternatywy zdań prostych; zna takie pojęcia, jak: zbiór pusty, zbiory równe, podzbiór zbioru; zna symbolikę matematyczną dotyczącą zbiorów (,,,,,, ); potrafi podać przykłady zbiorów (w tym przykłady zbiorów skończonych oraz nieskończonych); potrafi określić relację pomiędzy elementem i zbiorem; potrafi określać relacje pomiędzy zbiorami (równość zbiorów, zawieranie się zbiorów, rozłączność zbiorów); zna definicję sumy, iloczynu, różnicy zbiorów; potrafi wyznaczać sumę, iloczyn i różnicę zbiorów skończonych; potrafi wyznaczyć sumę, różnicę oraz część wspólną podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych: N, C, NW, W; potrafi rozróżniać liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne; potrafi przedstawić liczbę wymierną w postaci ułamka zwykłego i w postaci rozwinięcia dziesiętnego; umie zamienić ułamek o rozwinięciu dziesiętnym składowych wybranych zdań złożonych na podstawie informacji o wartościach logicznych zdań złożonych; zna prawo negacji implikacji i potrafi je stosować w praktyce; potrafi, na podstawie implikacji prostej, utworzyć implikację odwrotną, przeciwną oraz przeciwstawną; wie, że równoważne są implikacje: prosta i przeciwstawna oraz odwrotna i przeciwna; potrafi negować zdania złożone; rozumie budowę twierdzenia matematycznego; potrafi wskazać jego założenie i tezę; potrafi zbudować twierdzenie odwrotne do danego oraz ocenić prawdziwość twierdzenia prostego i odwrotnego; potrafi sprawnie posługiwać się symboliką matematyczną dotyczącą zbiorów; potrafi podać przykłady zbiorów A i B, jeśli dana jest suma A B, iloczyn A B albo różnica A B; zna pojęcie dopełnienia zbioru i potrafi zastosować je w działaniach na zbiorach; potrafi wyznaczyć dopełnienie przedziału lub dopełnienie zbioru liczbowego skończonego w przestrzeni R; potrafi przeprowadzić proste dowody, w tym dowody nie wprost, dotyczące własności liczb rzeczywistych; potrafi oceniać wartości logiczne zdań, w których występują zależności pomiędzy podzbiorami zbioru R; potrafi wyznaczyć dziedzinę równania z jedną niewiadomą, w przypadku, gdy trzeba rozwiązać koniunkcję warunków; potrafi podać przykład równania sprzecznego oraz równania tożsamościowego; potrafi wskazać przykład nierówności sprzecznej oraz nierówności tożsamościowej; rozumie zwrot dla każdego x... oraz istnieje takie x, że... i potrafi stosować te zwroty w 2 wnioskowania na temat własności tych zbiorów; potrafi określić dziedzinę i zbiór elementów spełniających równanie z jedną niewiadomą, zawierające wyrażenia wymierne lub pierwiastek stopnia drugiego.

nieskończonym okresowym na ułamek zwykły; potrafi zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej; rozumie pojęcie przedziału, rozpoznaje przedziały ograniczone i nieograniczone; potrafi zapisać za pomocą przedziałów zbiory opisane nierównościami; potrafi zaznaczyć na osi liczbowej podany przedział liczbowy; potrafi wyznaczyć sumę, różnicę oraz część wspólną przedziałów; wie, co to jest równanie (nierówność) z jedną niewiadomą; potrafi określić dziedzinę równania; zna definicję rozwiązania równania (nierówności) z jedną niewiadomą; wie, jakie równanie nazywamy równaniem sprzecznym, a jakie równaniem tożsamościowym; wie, jaką nierówność nazywamy sprzeczną, a jaką nierównością tożsamościową. budowaniu zdań logicznych; potrafi zapisać symbolicznie zadnie z kwantyfikatorem; potrafi ocenić wartość logiczną zdania z kwantyfikatorem; zna prawa De Morgana dla zdań z kwantyfikatorem; potrafi zanegować zdanie z kwantyfikatorem i podać wartość logiczną zdania po negacji. 2. Działania w zbiorach liczbowych Tematyka zajęć: Zbiór liczb naturalnych Zbiór liczb całkowitych Zbiór liczb wymiernych i zbiór liczb niewymiernych Prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych Rozwiązywanie równań metoda równań równoważnych Rozwiązywanie nierówności metoda nierówności równoważnych Procenty Punkty procentowe Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności z wartością bezwzględną (R) Własności wartości bezwzględnej Przybliżenia, błąd bezwzględny i błąd względny, szacowanie Wymagania podstawowe Wymagania dopełniające Wymagania wykraczające 3

potrafi wskazać liczby pierwsze i liczby złożone; zna i potrafi stosować cechy podzielności liczb naturalnych (przez 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10); potrafi rozłożyć liczbę naturalną na czynniki pierwsze; potrafi wyznaczyć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność liczb naturalnych; potrafi wykonać dzielenie z resztą w zbiorze liczb naturalnych; zna definicję liczby całkowitej parzystej oraz nieparzystej; potrafi sprawnie wykonywać działania na ułamkach zwykłych i na ułamkach dziesiętnych; zna i stosuje w obliczeniach kolejność działań i prawa działań w zbiorze liczb rzeczywistych; potrafi porównywać liczby rzeczywiste; zna własność proporcji i potrafi stosować ją do rozwiązywania równań zawierających proporcje; zna twierdzenia pozwalające przekształcać w sposób równoważny równania i nierówności; potrafi rozwiązywać równania z jedną niewiadomą metodą równań równoważnych; potrafi rozwiązywać nierówności z jedną niewiadomą metodą nierówności równoważnych; potrafi obliczyć procent danej liczby, a także wyznaczyć liczbę, gdy dany jest jej procent; potrafi obliczyć, jakim procentem danej liczby jest druga dana liczba; potrafi określić, o ile procent dana wielkość jest większa (mniejsza) od innej wielkości; potrafi posługiwać się procentem w prostych zadaniach tekstowych (w tym wzrosty i spadki cen, podatki, kredyty i lokaty); rozumie pojęcie punktu procentowego i potrafi się nim posługiwać; potrafi odczytywać dane w postaci tabel i diagramów, a także przedstawiać dane w postaci diagramów procentowych; zna definicję liczb względnie pierwszych; zna i stosuje w obliczeniach zależność dotyczącą liczb naturalnych różnych od zera: NWD(a, b) NWW(a, b) = a b; potrafi wykonać dzielenie z resztą w zbiorze liczb całkowitych ujemnych; potrafi podać zapis symboliczny wybranych liczb, np. liczby parzystej, liczby nieparzystej, liczby podzielnej przez daną liczbę całkowitą, wielokrotności danej liczby; zapis liczby, która w wyniku dzielenia przez daną liczbę całkowitą daje wskazaną resztę; potrafi zapisać symbolicznie zbiór na podstawie informacji o jego elementach; potrafi wymienić elementy zbioru zapisanego symbolicznie; potrafi wykazać podzielność liczb całkowitych, zapisanych symbolicznie; umie podać część całkowitą każdej liczby rzeczywistej i część ułamkową liczby wymiernej; wie, kiedy dwa równania (dwie nierówności) są równoważne i potrafi wskazać równania (nierówności) równoważne; potrafi rozwiązać proste równania wymierne typu 2 1 x 5 ; 0 ; x 7 4 x 2 rozumie zmiany bankowych stóp procentowych i umie wyrażać je w punktach procentowych (oraz bazowych); potrafi zaznaczyć na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności z wartością - bezwzględną typu: x a = b, x a b, x a > b, x a b, x a b; potrafi na podstawie zbioru rozwiązań nierówności z wartością bezwzględną zapisać tę nierówność; zna własności wartości bezwzględnej i potrafi je stosować w rozwiązywaniu zadań o średnim stopniu trudności; potrafi oszacować wartość liczby niewymiernej. 4 potrafi rozwiązywać zadania tekstowe o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące własności liczb rzeczywistych; potrafi zbadać liczbę rozwiązań równania typu x a + b x = m, gdzie a i b są danymi liczbami, zaś m jest parametrem.

potrafi odczytywać dane przedstawione w tabeli lub na diagramie i przeprowadzać analizę procentową przedstawionych danych; zna definicję wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej i jej interpretację geometryczną; potrafi obliczyć wartość bezwzględną liczby; umie zapisać i obliczyć odległość na osi liczbowej między dwoma dowolnymi punktami; potrafi wyznaczyć przybliżenie dziesiętne liczby rzeczywistej z żądaną dokładnością; potrafi obliczyć błąd bezwzględny i błąd względny danego przybliżenia; potrafi obliczyć błąd procentowy przybliżenia; potrafi szacować wartości wyrażeń. 3. Wyrażenia algebraiczne Tematyka zajęć: Potęga o wykładniku naturalnym Pierwiastek arytmetyczny. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej Działania na wyrażeniach algebraicznych Wzory skróconego mnożenia, cz.1 (R) Wzory skróconego mnożenia, cz.2 Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym Potęga o wykładniku wymiernym Potęga o wykładniku rzeczywistym Dowodzenie twierdzeń Określenie logarytmu (R) Zastosowanie logarytmów Przekształcanie wzorów Średnie Wymagania podstawowe Wymagania dopełniające Wymagania wykraczające zna następujące wzory skróconego mnożenia: (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) potrafi wykonywać działania na potęgach o wykładniku naturalnym, całkowitym i wymiernym; zna prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych i stosuje je w obliczeniach; 5 potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi i pierwiastki z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia; potrafi sprawnie rozkładać wyrażenia zawierające

potrafi zapisać liczbę w notacji wykładniczej; a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ); sprawnie sprowadza wyrażenia algebraiczne do sprawnie przekształca wyrażenia zawierające najprostszej postaci i oblicza ich wartości dla powyższe wzory skróconego mnożenia; podanych wartości zmiennych; potrafi usunąć niewymierność z mianownika potrafi wyłączać wspólny czynnik z różnych ułamka, stosując wzór skróconego mnożenia na wyrażeń; sumę (różnicę sześcianów) potrafi sprawnie posługiwać się wzorami sprawnie przekształca wyrażenia algebraiczne skróconego mnożenia: zawierające potęgi i pierwiastki; (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 sprawnie zamienia pierwiastki arytmetyczne na (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 potęgi o wykładniku wymiernym i odwrotnie; a 2 b 2 = (a b)(a + b) sprawnie wykonywać działania na potęgach i sprawnie wykonuje działania na wyrażeniach, które o wykładniku rzeczywistym; zawierają wymienione wzory skróconego mnożenia; potrafi wyłączać wspólną potęgę poza nawias; potrafi usuwać niewymierność z mianownika potrafi rozłożyć wyrażenia na czynniki metodą ułamka, stosując wzór skróconego mnożenia (różnicę grupowania wyrazów lub za pomocą wzorów kwadratów dwóch wyrażeń); skróconego mnożenia; zna pojęcie pierwiastka arytmetycznego z liczby potrafi oszacować wartość potęgi o wykładniku nieujemnej i potrafi stosować prawa działań na rzeczywistym; pierwiastkach w obliczeniach; potrafi dowodzić twierdzenia, posługując się potrafi obliczać pierwiastki stopnia nieparzystego z dowodem wprost; liczb ujemnych; potrafi dowodzić twierdzenia, posługując się potrafi dowodzić proste twierdzenia; dowodem nie wprost; zna definicję logarytmu i potrafi obliczać logarytmy zna i potrafi stosować własności logarytmów bezpośrednio z definicji; w obliczeniach; sprawnie przekształca wzory matematyczne, stosuje średnią arytmetyczną, średnią ważoną fizyczne i chemiczne; i średnią geometryczną w zadaniach tekstowych. zna pojęcie średniej arytmetycznej, średniej ważonej i średniej geometrycznej liczb oraz potrafi obliczyć te średnie dla podanych liczb. potęgi i pierwiastki na czynniki, stosując jednocześnie wzory skróconego mnożenia i metodę grupowania wyrazów; potrafi wykorzystać pojęcie logarytmu (a także cechy i mantysy logarytmu dziesiętnego) w zadaniach praktycznych. 4. Geometria płaska pojęcia wstępne Tematyka zajęć: Punkt, prosta, odcinek, półprosta, kąt, figura wypukła, figura ograniczona Łamana. Wielokąt. Wielokąt foremny Wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie, odległość punktu od prostej, odległość między prostymi równoległymi, symetralna odcinka, dwusieczna kąta Dwie proste przecięte trzecią prostą. Suma kątów w wielokącie 6

(R) Wektor na płaszczyźnie (bez układu współrzędnych) (R) Wybrane przekształcenia płaszczyzny, cz.1 (R) Wybrane przekształcenia płaszczyzny, cz.2 Twierdzenie Talesa Okrąg i koło Kąty i koła Wymagania podstawowe Wymagania dopełniające Wymagania wykraczające zna figury podstawowe (punkt, prosta, płaszczyzna, potrafi zapisać miarę stopniową kąta, używając przestrzeń) i potrafi zapisać relacje między nimi; minut i sekund; zna pojęcie figury wypukłej i wklęsłej; potrafi zna pojęcie łamanej, łamanej zwyczajnej, łamanej podać przykłady takich figur; zwyczajnej zamkniętej; zna pojęcie figury ograniczonej i figury zna definicję wielokąta; nieograniczonej, potrafi podać przykłady takich figur; zna i potrafi stosować wzór na liczbę przekątnych umie określić położenie prostych na płaszczyźnie; wielokąta; rozumie pojęcie odległości, umie wyznaczyć wie, jaki wielokąt nazywamy foremnym; odległość dwóch punktów, punktu od prostej, dwóch potrafi udowodnić twierdzenie dotyczące sumy prostych równoległych; miar kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego; zna określenie kąta i podział kątów ze względu na potrafi udowodnić, że suma miar kątów ich miarę; zewnętrznych wielokąta wypukłego jest stała; zna pojęcie kątów przyległych i kątów zna definicję wektora na płaszczyźnie (bez układu wierzchołkowych oraz potrafi zastosować własności współrzędnych); tych kątów w rozwiązywaniu prostych zadań; wie, jakie wektory są równe, a jakie przeciwne; zna pojęcie dwusiecznej kąta i symetralnej odcinka, potrafi wektory dodawać, odejmować i mnożyć potrafi zastosować własność dwusiecznej kąta oraz przez liczbę; symetralnej odcinka w rozwiązywaniu prostych zna prawa dotyczące działań na wektorach; zadań, potrafi stosować wiedzę o wektorach umie skonstruować dwusieczną danego kąta w rozwiązywaniu zadań geometrycznych; i symetralną danego odcinka; zna definicję przekształcenia geometrycznego; zna własności kątów utworzonych między dwiema wie, co to jest punkt stały przekształcenia prostymi równoległymi, przeciętymi trzecią prostą i geometrycznego; umie zastosować je w rozwiązywaniu prostych wie, jakie przekształcenie geometryczne jest zadań; potrafi uzasadnić równoległość dwóch tożsamościowe; prostych, znajdując równe kąty odpowiadające; wie, jakie przekształcenie geometryczne jest zna twierdzenie Talesa; potrafi je stosować do izometrią; podziału odcinka w danym stosunku, do konstrukcji zna definicje i własności takich przekształceń odcinka o danej długości, do obliczania długości izometrycznych, jak: przesunięcie równoległe 7 potrafi rozwiązywać nietypowe zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące odcinków, prostych, półprostych, kątów i kół, w tym z zastosowaniem poznanych twierdzeń; zna i potrafi udowodnić twierdzenie o dwusiecznych kątów przyległych; umie udowodnić twierdzenia o kątach środkowych i wpisanych w koło; umie udowodnić twierdzenie o kącie dopisanym do okręgu; umie udowodnić własności figur geometrycznych w oparciu o poznane twierdzenia.

odcinka w prostych zadaniach; zna twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa i potrafi je stosować do uzasadnienia równoległości odpowiednich odcinków lub prostych; zna wnioski z twierdzenia Talesa i potrafi je stosować w rozwiązywaniu prostych zadań; zna definicję koła i okręgu, poprawnie posługuje się terminami: promień, środek okręgu, cięciwa, średnica, łuk okręgu; potrafi określić wzajemne położenie prostej i okręgu; zna definicję stycznej do okręgu; zna twierdzenie o stycznej do okręgu i potrafi je wykorzystywać przy rozwiązywaniu prostych zadań; zna twierdzenie o odcinkach stycznych i potrafi je stosować w rozwiązywaniu prostych zadań; umie określić wzajemne położenie dwóch okręgów; posługuje się terminami: kąt wpisany w koło, kąt środkowy koła; zna twierdzenia dotyczące kątów wpisanych i środkowych i umie je zastosować przy rozwiązywaniu prostych zadań. o wektor, symetria osiowa względem prostej, symetria środkowa względem punktu; wie, co to jest oś symetrii figury (figura osiowosymetryczna); wie, co to jest środek symetrii figury (figura środkowosymetryczna); zna przekształcenia nieizometryczne rzut równoległy na prostą oraz powinowactwo prostokątne; potrafi skonstruować styczną do okręgu, przechodzącą przez punkt leżący w odległości większej od środka okręgu niż długość promienia okręgu; potrafi skonstruować styczną do okręgu przechodzącą przez punkt leżący na okręgu; wie, co to jest kąt dopisany do okręgu; zna twierdzenie o kątach wpisanym i dopisanym do okręgu, opartych na tym samym łuku; potrafi rozwiązywać zadania o średnim stopniu trudności dotyczące okręgów, stycznych, kątów środkowych, wpisanych i dopisanych, z zastosowaniem poznanych twierdzeń; potrafi rozwiązywać zadania złożone, wymagające wykorzystania równocześnie kilku poznanych własności. 5. Geometria płaska trójkąty Tematyka zajęć: Podział trójkątów. Suma kątów w trójkącie. Nierówność trójkąta. Odcinek łączący środki dwóch boków w trójkącie Twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa Wysokości w trójkącie. Środkowe w trójkącie Symetralne boków trójkąta. Okrąg opisany na trójkącie Dwusieczne kątów trójkąta. Okrąg wpisany w trójkąt Przystawanie trójkątów Podobieństwo trójkątów (R) Twierdzenie o stycznej i siecznej Wymagania podstawowe Wymagania dopełniające Wymagania wykraczające 8

zna podział trójkątów ze względu na boki i kąty; wie, ile wynosi suma miar kątów w trójkącie i w czworokącie; zna warunek na długość odcinków, z których można zbudować trójkąt; zna twierdzenie dotyczące odcinka łączącego środki dwóch boków trójkąta i potrafi je zastosować w rozwiązywaniu prostych zadań; zna twierdzenie Pitagorasa i umie je zastosować w rozwiązywaniu prostych zadań; zna twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i wykorzystuje je do sprawdzenia, czy dany trójkąt jest prostokątny; umie określić na podstawie długości boków trójkąta, czy trójkąt jest ostrokątny, czy rozwartokątny; umie narysować wysokości w trójkącie i wie, że wysokości (lub ich przedłużenia) przecinają się w jednym punkcie; zna twierdzenie o środkowych w trójkącie oraz potrafi je zastosować przy rozwiązywaniu prostych zadań; zna pojęcie środka ciężkości trójkąta; zna twierdzenie o symetralnych boków w trójkącie; wie, że punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie i potrafi skonstruować ten okrąg; zna twierdzenie o dwusiecznych kątów w trójkącie; wie, że punkt przecięcia się dwusiecznych kątów w trójkącie jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt i potrafi skonstruować ten okrąg; zna i stosuje przy rozwiązywaniu prostych zadań własności trójkąta równobocznego: długość wysokości w zależności od długości boku, długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt; zna i stosuje własności trójkąta prostokątnego: suma miar kątów ostrych trójkąta, długość wysokości zna zależności między bokami w trójkącie (nierówności trójkąta) i stosuje je przy rozwiązywaniu zadań; potrafi udowodnić twierdzenie o odcinku łączącym środki boków w trójkącie; zna i umie zastosować w zadaniach własność wysokości w trójkącie prostokątnym, poprowadzonej na przeciwprostokątną; potrafi obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny i długość promienia okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym, mając dane długości boków trójkąta; potrafi udowodnić proste własności trójkątów, wykorzystując cechy przystawania trójkątów; potrafi uzasadnić, że symetralna odcinka jest zbiorem punktów płaszczyzny równoodległych od końców odcinka; potrafi uzasadnić, że każdy punkt należący do dwusiecznej kąta leży w równej odległości od ramion tego kąta; potrafi udowodnić twierdzenie o symetralnych boków i twierdzenie o dwusiecznych kątów w trójkącie; umie udowodnić twierdzenie o odcinkach stycznych; potrafi rozwiązywać zadania o średnim stopniu trudności dotyczące okręgów wpisanych w trójkąt i okręgów opisanych na trójkącie; potrafi stosować cechy podobieństwa trójkątów do rozwiązania zadań z wykorzystaniem innych, wcześniej poznanych własności; potrafi rozwiązywać zadania o średnim stopniu trudności dotyczące trójkątów, z zastosowaniem poznanych do tej pory twierdzeń; zna twierdzenie o stycznej i siecznej oraz potrafi je stosować w rozwiązywaniu zadań geometrycznych. 9 potrafi rozwiązywać zadania o podwyższonym stopniu trudności, dotyczących trójkątów, z wykorzystaniem poznanych twierdzeń; potrafi udowodnić twierdzenie o środkowych w trójkącie; potrafi udowodnić twierdzenie dotyczące wysokości w trójkącie prostokątnym, poprowadzonej na przeciwprostokątną. potrafi udowodnić twierdzenie o stycznej i siecznej.

w trójkącie prostokątnym równoramiennym w zależności od długości przyprostokątnej; długość promienia okręgu opisanego na trójkącie i długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt w zależności od długości boków trójkąta, zależność między długością środkowej poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego a długością przeciwprostokątnej; zna podstawowe własności trójkąta równoramiennego i stosuje je przy rozwiązywaniu prostych zadań; zna trzy cechy przystawania trójkątów i potrafi je zastosować przy rozwiązywaniu prostych zadań; zna cechy podobieństwa trójkątów; potrafi je stosować do rozpoznawania trójkątów podobnych i przy rozwiązaniach prostych zadań; umie obliczyć skalę podobieństwa trójkątów podobnych. 6. Trygonometria Tematyka zajęć: Określenie sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa w trójkącie prostokątnym Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla kątów 30, 45, 60 Kąt skierowany Sinus, cosinus, tangens i cotangens dowolnego kąta Podstawowe tożsamości trygonometryczne Wzory redukcyjne (R) Twierdzenie sinusów (R) Twierdzenie cosinusów Wymagania podstawowe Wymagania dopełniające Wymagania wykraczające potrafi obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o danych długościach boków; potrafi korzystać z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora); zna pojęcie kąta skierowanego; wie, co to jest miara główna kąta skierowanego i potrafi ją wyznaczyć dla dowolnego kąta; zna definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dowolnego kata; umie podać znaki wartości funkcji trygono- potrafi udowodnić twierdzenie sinusów; potrafi udowodnić twierdzenie cosinusów; potrafi rozwiązywać zadania o podwyższonym stopniu trudności, wymagające niekonwencjonalnych pomysłów i metod. 10

zna wartości funkcji trygonometrycznych kątów o metrycznych w poszczególnych ćwiartkach; miarach 30, 45, 60 ; potrafi obliczyć, na podstawie definicji, wartości potrafi rozwiązywać trójkąty prostokątne; funkcji trygonometrycznych kątów: 210, 240, 315, potrafi obliczać wartości wyrażeń zawierających 330 itd.; funkcje trygonometryczne kątów o miarach 30, umie zbudować w układzie współrzędnych 45, 60 ; dowolny kąt o mierze, gdy dana jest wartość jednej zna definicje sinusa, cosinusa, tangensa funkcji trygonometrycznej tego kąta; i cotangensa dowolnego kata wypukłego; zna i potrafi stosować podstawowe tożsamości potrafi wyznaczyć (korzystając z definicji) wartości trygonometryczne (dla dowolnego kąta, dla którego funkcji trygonometrycznych takich kątów wypukłych, funkcje trygonometryczne są określone) jak: 120,135, 150 ; zna i potrafi stosować wzory redukcyjne; zna znaki funkcji trygonometrycznych kątów potrafi dowodzić różne tożsamości trygonometryczne; wypukłych, różnych od 90 ; zna wartości funkcji trygonometrycznych ( o ile istnieją) kątów o miarach: zna twierdzenie sinusów i potrafi je stosować 0, 90, 180 ; w zadaniach geometrycznych; potrafi obliczyć wartości pozostałych funkcji zna twierdzenie cosinusów i potrafi stosować je w trygonometrycznych kąta wypukłego, gdy dana jest zadaniach geometrycznych; jedna z nich; potrafi rozwiązywać zadania o średnim stopniu zna i potrafi stosować podstawowe tożsamości trudności, wykorzystując także wcześniej poznaną trygonometryczne (w odniesieniu do kąta wiedzę o figurach geometrycznych. wypukłego): sin 2 + cos 2 sin = 1, tg =, tg ctg = 1; cos zna wzory redukcyjne dla kąta 90, 90 + oraz 180 ; potrafi stosować poznane wzory redukcyjne w - obliczaniu wartości wyrażeń; potrafi zastosować poznane wzory redukcyjne w zadaniach geometrycznych; potrafi zbudować kąt wypukły znając wartość jednej z funkcji trygonometrycznych tego kąta. 7. Geometria płaska pole koła, pole trójkąta Tematyka zajęć: Pole figury geometrycznej Pole trójkąta, cz. 1 Pole trójkąta, cz. 2 11

Pola trójkątów podobnych Pole koła, pole wycinka koła (R) Zastosowanie pojęcia pola w dowodzeniu twierdzeń rozumie pojęcie pola figury; zna wzór na pole kwadratu i pole prostokąta; zna następujące wzory na pole trójkąta: 2 a 3 P =, gdzie a długość boku trójkąta 4 równobocznego P = 2 1 a ha, P = a b sin, gdzie (0, 180 ) abc P =, 4R 1 a b c P = p r, gdzie p = 2 2 a b c P = p( p a)( p b)( p c), gdzie p = ; 2 potrafi rozwiązywać proste zadania geometryczne dotyczące trójkątów, wykorzystując wzory na pole trójkąta i poznane wcześniej twierdzenia; potrafi obliczyć wysokość trójkąta, korzystając ze wzoru na pole; potrafi rozwiązywać proste zadania geometryczne dotyczące trójkątów, wykorzystując wzory na ich pola i poznane wcześniej twierdzenia, w - szczególności twierdzenie Pitagorasa oraz własności okręgu wpisanego w trójkąt i okręgu opisanego na trójkącie; zna twierdzenie o polach figur podobnych; potrafi je stosować przy rozwiązywaniu prostych zadań; zna wzór na pole koła i pole wycinka koła; umie zastosować te wzory przy rozwiązywaniu prostych zadań; wie, że pole wycinka koła jest wprost proporcjonalne do miary odpowiadającego mu kąta środ- Wymagania podstawowe Wymagania dopełniające Wymagania wykraczające potrafi wyprowadzić wzór na pole trójkąta równobocznego i wzory: P = 2 1 a b sin, 1 a b c P = p r, gdzie p =, ze wzoru 2 2 P = 2 1 aha ; potrafi rozwiązywać zadania geometryczne o średnim stopniu trudności, stosując wzory na pola trójkątów, w tym również z wykorzystaniem poznanych wcześniej własności trójkątów; potrafi rozwiązywać zadania geometryczne, wykorzystując cechy podobieństwa trójkątów, twierdzenie o polach figur podobnych; rozwiązuje zadania dotyczące trójkątów, w których wykorzystuje twierdzenia poznane wcześniej ( tw. Pitagorasa, tw. Talesa, tw. sinusów, tw. cosinusów, twierdzenia o kątach w kole, itp.) potrafi dowodzić twierdzenia, w których wykorzystuje pojęcie pola. 12 potrafi udowodnić twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie Talesa z wykorzystaniem pól odpowiednich trójkątów; potrafi rozwiązywać nietypowe zadania geometryczne o podwyższonym stopniu trudności z wykorzystaniem wzorów na pola figur i innych twierdzeń.

kowego koła i jest wprost proporcjonalne do długości odpowiadającego mu łuku okręgu oraz umie zastosować tę wiedzę przy rozwiązywaniu prostych zadań. 8. Funkcja i jej własności Tematyka zajęć: Pojęcie funkcji. Funkcja liczbowa. Dziedzina i zbiór wartości funkcji Sposoby opisywania funkcji Wykres funkcji Dziedzina funkcji liczbowej Zbiór wartości funkcji liczbowej Miejsce zerowe funkcji (R) Równość funkcji Monotoniczność funkcji Funkcje różnowartościowe (R) Funkcje parzyste i funkcje nieparzyste (R) Funkcje okresowe (R) Największa i najmniejsza wartość funkcji liczbowej Odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu Szkicowanie wykresów funkcji o zadanych własnościach Zastosowanie wykresów funkcji do rozwiązywania równań i nierówności. Zastosowanie wiadomości o funkcjach do opisywania, interpretowania i przetwarzania informacji wyrażonych w postaci wykresu funkcji Wymagania podstawowe Wymagania dopełniające Wymagania wykraczające potrafi odróżnić funkcję od innych przyporządkowań; potrafi podawać przykłady funkcji; potrafi opisywać funkcje na różne sposoby: wzorem, tabelką, grafem, opisem słownym; potrafi naszkicować wykres funkcji liczbowej określonej słownie, grafem, tabelką, wzorem; potrafi odróżnić wykres funkcji od krzywej, która wykresem funkcji nie jest; potrafi określić dziedzinę funkcji liczbowej danej wzorem w przypadku, gdy wyznaczenie dziedziny funkcji wymaga rozwiązania koniunkcji warunków, dotyczących mianowników lub pierwiastków stopnia drugiego, występujących we wzorze; potrafi obliczyć miejsca zerowe funkcji opisanej wzorem; wie, jakie funkcje nazywamy równymi; zna definicję funkcji parzystej oraz nieparzystej; rozwiązuje zadania dotyczące funkcji o podwyższonym stopniu trudności. 13

zna wykresy funkcji, takich jak: y = x, y = x 2, wie, jaką funkcję nazywamy okresową; y = x 3 1 potrafi podać własności funkcji okresowej na, y = x, y = ; x podstawie jej wykresu; potrafi określić dziedzinę funkcji liczbowej danej potrafi zbadać na podstawie definicji, czy dane wzorem (w prostych przypadkach); funkcje są równe; potrafi obliczyć miejsce zerowe funkcji liczbowej (w potrafi zbadać na podstawie definicji parzystość prostych przypadkach); (nieparzystość) danej funkcji; potrafi obliczyć wartość funkcji liczbowej dla potrafi zbadać na podstawie definicji danego argumentu, a także obliczyć argument monotoniczność danej funkcji; funkcji, gdy dana jest jej wartość; potrafi udowodnić na podstawie definicji potrafi określić zbiór wartości funkcji w prostych różnowartościowość danej funkcji; przypadkach (np. w przypadku, gdy dziedzina funkcji potrafi wyznaczyć najmniejszą oraz największą jest zbiorem skończonym); wartość funkcji w przedziale domkniętym; potrafi na podstawie wykresu funkcji liczbowej posługuje się wykresami funkcji: odczytać jej własności, takie jak: y = reszta z dzielenia x przez 3, gdzie x C, dziedzina funkcji y = sgn x, y = [x], y = x [x], y = max(5, x ), zbiór wartości funkcji y = min (x, 2x + 1); miejsce zerowe funkcji potrafi stosować wiadomości o funkcji do opisywania zależności w przyrodzie, gospodarce i życiu argument funkcji, gdy dana jest wartość funkcji wartość funkcji dla danego argumentu codziennym; przedziały, w których funkcja jest rosnąca, potrafi podać opis matematyczny prostej sytuacji w malejąca, stała postaci wzoru funkcji; zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje potrafi naszkicować wykres funkcji kawałkami wartości dodatnie, ujemne, niedodatnie, nieujemne ciągłej na podstawie wzoru tej funkcji; najmniejszą oraz największą wartość funkcji; potrafi na podstawie wykresu funkcji kawałkami potrafi interpretować informacje na podstawie ciągłej omówić jej własności; wykresów funkcji lub ich wzorów (np. dotyczące potrafi naszkicować wykres funkcji o zadanych różnych zjawisk przyrodniczych, ekonomicznych, własnościach. socjologicznych, fizycznych); potrafi przetwarzać informacje dane w postaci wzoru lub wykresu funkcji; umie na podstawie wykresów funkcji f i g podać zbiór rozwiązań równania f(x) = g(x) oraz nierówności typu: f(x) < g(x), f(x) g(x). 9. Przekształcenia wykresów funkcji Tematyka zajęć: Podstawowe informacje o wektorze w układzie współrzędnych 14

Przesunięcie równoległe o wektor u = [p, q] Symetria osiowa względem osi OX i osi OY Symetria środkowa względem punktu (0, 0) (R) Wykres funkcji y = f(x) oraz y = f( x ) (R) Powinowactwo prostokątne o osi OX i o osi OY (R) Szkicowanie wykresów wybranych funkcji (R) Zastosowanie wykresów funkcji do rozwiązywania zadań Wymagania podstawowe Wymagania dopełniające Wymagania wykraczające zna określenie wektora i potrafi podać jego cechy; potrafi obliczyć współrzędne wektora, mając dane współrzędne początku i końca wektora; potrafi obliczyć współrzędne początku wektora zna własności działań na wektorach i potrafi je stosować w rozwiązywaniu zadań o średnim stopniu trudności; potrafi na podstawie wykresu funkcji y = f (x) potrafi rozwiązywać nietypowe zadania (o podwyższonym stopniu trudności), dotyczące przekształceń wykresów funkcji oraz własności funkcji. (końca wektora), gdy dane ma współrzędne wektora sporządzić wykresy funkcji: y = f(x), y = f( x ), oraz współrzędne końca (początku) wektora; potrafi wyznaczyć długość wektora (odległość między punktami na płaszczyźnie kartezjańskiej); zna określenie wektorów równych i wektorów przeciwnych oraz potrafi stosować własności tych wektorów przy rozwiązywaniu zadań; potrafi wykonywać działania na wektorach: dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie przez liczbę (analitycznie); potrafi obliczyć współrzędne środka odcinka; y = k f(x), k 0 oraz y = f(k x), k 0; potrafi naszkicować wykres funkcji, którego sporządzenie wymaga kilku poznanych przekształceń; potrafi przeprowadzić dyskusję rozwiązań równania z parametrem f(x) = m, w oparciu o wykres funkcji f; potrafi stosować własności przekształceń geometrycznych przy rozwiązywaniu zadań o średnim stopniu trudności. potrafi podać współrzędne punktu, który jest obrazem danego punktu w symetrii osiowej względem osi OX oraz osi OY; potrafi podać współrzędne punktu, który jest obrazem danego punktu w symetrii środkowej względem punktu (0,0); potrafi podać współrzędne punktu, który jest obrazem danego punktu w przesunięciu równoległym o dany wektor; potrafi narysować wykres funkcji y = f(x) + q, y = f(x p), y = f(x p) + q, y = f(x), y = f( x) oraz y = f( x) w przypadku, gdy dany jest wykres funkcji y = f(x); (potrafi narysować wykresy funkcji 15

określonych wzorami, np.: y = (x + 3) 2 ; y = x 4; y = x 1 ; y = (x 1) 2 1 5, y = x, y = 3); x 2 umie podać własności funkcji: y = f(x) + q, y = f(x p), y = f(x p) + q, y = f(x), y = f( x), y = f( x) w oparciu o dane własności funkcji y = f(x); potrafi zapisać wzór funkcji, której wykres otrzymano w wyniku przekształcenia wykresu funkcji f przez symetrię osiową względem osi OX, symetrię osiową względem osi OY, symetrię środkową względem początku układu współrzędnych, przesunięcie równoległe o dany wektor. klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej. Własności funkcji liniowej Znaczenie współczynników we wzorze funkcji liniowej Równoległość i prostopadłość wykresów funkcji liniowych o współczynnikach kierunkowych różnych od zera Zastosowanie wiadomości o funkcji liniowej w zadaniach z życia codziennego Równanie liniowe i nierówność liniowa z jedną niewiadomą Równania i nierówności z wartością bezwzględną Równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi z parametrem Zastosowanie układów równań liniowych do rozwiązywania zadań tekstowych Nierówność pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi i jej interpretacja geometryczna. Układy nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi Zastosowanie układów nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi do rozwiązywania zadań 16

Wymagania podstawowe Wymagania dopełniające Wymagania wykraczające wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy proporcjonalnością prostą; potrafi wskazać współczynnik proporcjonalności; rozwiązuje zadania tekstowe z zastosowaniem proporcjonalności prostej; zna pojęcie funkcji liniowej; potrafi udowodnić, na podstawie definicji, niektóre własności funkcji liniowej, takie jak: monotoniczność, różnowartościowość itp.; potrafi przeprowadzić dowód warunku na prostopadłość wykresów funkcji liniowych o współczynnikach różnych od zera; rozwiązuje zadania nietypowe o podwyższonym stopniu trudności. potrafi interpretować współczynniki we wzorze potrafi rozwiązywać zadania z wartością funkcji liniowej; bezwzględną i parametrem dotyczące własności funkcji liniowej; potrafi sporządzić wykres funkcji liniowej danej potrafi rozwiązywać równania i nierówności wzorem; liniowe z wartością bezwzględną i interpretować potrafi na podstawie wykresu funkcji liniowej je graficznie; (wzoru funkcji) określić monotoniczność funkcji; potrafi przeprowadzić dyskusję liczby rozwiązań potrafi wyznaczyć algebraicznie i graficznie zbiór równania liniowego z parametrem (z dwoma tych argumentów, dla których funkcja liniowa parametrami); przyjmuje wartości dodatnie (ujemne, potrafi wyznaczyć wszystkie wartości parametru, dla niedodatnie, nieujemne); których zbiorem rozwiązań nierówności liniowej z potrafi sprawdzić algebraicznie, czy punkt parametrem, jest podany zbiór; o danych współrzędnych należy do wykresu potrafi rozwiązywać układy równań pierwszego funkcji liniowej; stopnia z dwiema niewiadomymi metodą potrafi podać własności funkcji liniowej na wyznacznikową; podstawie wykresu tej funkcji; potrafi przeprowadzić dyskusję liczby rozwiązań wie, że współczynnik kierunkowy a we wzorze układu równań liniowych z dwiema funkcji y = ax + b oznacza tangens kąta niewiadomymi z parametrem, stosując metodę nachylenia wykresu funkcji liniowej do osi OX; wyznacznikową; wie, że współczynnik kierunkowy a we wzorze potrafi rozwiązać układ dwóch równań liniowych funkcji liniowej y = ax + b wyraża się wzorem z dwiema niewiadomymi z wartością y2 y1 a, gdzie A(x 1, y 1 ), B(x 2, y 2 ) są punktami bezwzględną oraz zinterpretować go graficznie; x2 x1 potrafi wykreślać w prostokątnym układzie należącymi do wykresu tej funkcji; potrafi znaleźć wzór funkcji liniowej o zadanych własnościach (np. takiej, której wykres przechodzi przez dwa dane punkty; jest współrzędnych zbiory punktów opisane równaniem, nierównością, układem równań lub układem nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi z wartością bezwzględną; 17

nachylony do osi OX pod danym kątem i przechodzi przez dany punkt); potrafi napisać wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie; potrafi naszkicować wykres funkcji kawałkami liniowej i na jego podstawie omówić własności danej funkcji; potrafi wyznaczyć algebraicznie miejsca zerowe funkcji kawałkami liniowej oraz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji i osi OY; potrafi wyznaczyć algebraicznie zbiór tych argumentów, dla których funkcja kawałkami liniowa przyjmuje wartości dodatnie (ujemne); potrafi obliczyć wartość funkcji kawałkami liniowej dla podanego argumentu; potrafi napisać wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu danej funkcji liniowej i przechodzi przez punkt o danych współrzędnych; potrafi napisać wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu danej funkcji liniowej i przechodzi przez punkt o danych współrzędnych; potrafi określić, na podstawie wzorów dwóch funkcji liniowych, wzajemne położenie ich wykresów; potrafi stosować wiadomości o funkcji liniowej do opisu zjawisk z życia codziennego (podać opis matematyczny zjawiska w postaci wzoru funkcji liniowej, odczytać informacje z wykresu lub wzoru, zinterpretować je, przeanalizować i przetworzyć); potrafi rozwiązać równanie liniowe z jedną niewiadomą; potrafi rozwiązać nierówność liniową z jedną potrafi stosować wiedzę o układach nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi do rozwiązywania zadań ( programowanie liniowe ). 18

niewiadomą i przedstawić jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej; potrafi rozwiązać układ nierówności liniowych z jedną niewiadomą; potrafi interpretować graficznie równania i nierówności liniowe z jedną niewiadomą; potrafi rozwiązywać algebraicznie proste równania i nierówności z wartością bezwzględną i interpretować je graficznie np. x 2 1 = 3, x + 4 > 2x + 3; zna pojęcia równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi; wie, że wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta; zna pojęcie układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi; potrafi rozpoznać układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny i umie podać ich interpretację geometryczną; potrafi rozwiązywać algebraicznie (metodą przez podstawienie oraz metodą przeciwnych współczynników) układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi; potrafi rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące do układów równań liniowych; zna pojęcie nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi i potrafi interpretować geometrycznie taką nierówność; potrafi przedstawić na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych, zbiór tych wszystkich punktów, których współrzędne spełniają dany układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi; potrafi opisać daną figurę geometryczną (np. kąt, trójkąt, czworokąt) przedstawioną 19

w prostokątnym układzie współrzędnych, za pomocą odpowiedniego układu nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi; 2. Funkcja kwadratowa Tematyka zajęć: Własności funkcji kwadratowej y = ax 2 Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej Związek między wzorem funkcji kwadratowej w postaci ogólnej a wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej Miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej Szkicowanie wykresów funkcji kwadratowych. Odczytywanie własności funkcji kwadratowej na podstawie wykresu Najmniejsza oraz największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym Badanie funkcji kwadratowej zadania optymalizacyjne Równania kwadratowe Równania prowadzące do równań kwadratowych Nierówności kwadratowe * Równania i nierówności, w których niewiadoma występuje pod znakiem pierwiastka kwadratowego Zadania prowadzące do równań i nierówności kwadratowych Wzory Viète a Równania i nierówności kwadratowe z parametrem Wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną Równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną Równania kwadratowe z wartością bezwzględną i parametrem Wymagania podstawowe Wymagania dopełniające Wymagania wykraczające potrafi rozwiązywać zadania z parametrem o podwyższonym stopniu trudności dotyczące własności funkcji kwadratowej; potrafi rozwiązywać zadania na dowodzenie dotyczące własności funkcji kwadratowej; potrafi rozwiązywać równania kwadratowe z wartością bezwzględną i parametrem; potrafi rozwiązywać zadania optymalizacyjne. potrafi naszkicować wykres funkcji kwadratowej określonej wzorem y = ax 2, gdzie a 0, oraz omówić jej własności na podstawie wykresu; zna wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej y= ax 2 + bx + c, gdzie a 0; zna wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej y = a(x p) 2 + q, gdzie a 0; zna wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej y = a(x x 1 )(x x 2 ), gdzie a 0; 20 Uczeń potrafi wyprowadzić wzory na miejsca zerowe funkcji kwadratowej; potrafi wyprowadzić wzory na współrzędne wierzchołka paraboli; potrafi rozwiązywać równania i nierówności, w których niewiadoma występuje pod znakiem pierwiastka kwadratowego; potrafi rozwiązywać różne problemy

zna wzory pozwalające obliczyć: wyróżnik funkcji kwadratowej, współrzędne wierzchołka paraboli, miejsca zerowe funkcji kwadratowej (o ile istnieją); potrafi obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej lub uzasadnić, że funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych; potrafi obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli na podstawie poznanego wzoru oraz na podstawie znajomości miejsc zerowych funkcji kwadratowej; potrafi sprawnie zamieniać wzór funkcji kwadratowej (wzór w postaci kanonicznej na wzór w postaci ogólnej i odwrotnie, wzór w postaci iloczynowej na wzór w postaci kanonicznej itp.); interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej i w postaci iloczynowej (o ile istnieje); potrafi podać niektóre własności funkcji kwadratowej (bez szkicowania jej wykresu) na podstawie wzoru funkcji w postaci kanonicznej (np. przedziały monotoniczności funkcji, równanie osi symetrii paraboli, zbiór wartości funkcji) oraz na podstawie wzoru funkcji w postaci iloczynowej (np. zbiór tych argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie czy ujemne); potrafi naszkicować wykres dowolnej funkcji kwadratowej, korzystając z jej wzoru; potrafi na podstawie wykresu funkcji kwadratowej omówić jej własności; potrafi napisać wzór funkcji kwadratowej o zadanych własnościach; dotyczące funkcji kwadratowej, które wymagają niestandardowych metod pracy oraz niekonwencjonalnych pomysłów. 21

potrafi napisać wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o jej wykresie; potrafi wyznaczyć najmniejszą oraz największą wartość funkcji kwadratowej w danym przedziale domkniętym; potrafi zastosować własności funkcji kwadratowej do rozwiązywania prostych zadania optymalizacyjnych; potrafi algebraicznie rozwiązywać równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą; potrafi graficznie rozwiązywać równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą; potrafi rozwiązywać zadania prowadzące do równań i nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą (w tym także zadania geometryczne); potrafi rozwiązywać równania z niewiadomą występującą pod znakiem pierwiastka stopnia parzystego, które można sprowadzić do równań kwadratowych; potrafi rozwiązywać proste zadania z parametrem, w których jest mowa o własnościach funkcji kwadratowej; potrafi przeanalizować zjawisko z życia codziennego opisane wzorem (wykresem) funkcji kwadratowej; potrafi opisać dane zjawisko za pomocą wzoru funkcji kwadratowej; zna wzory Viète a i ich zastosowanie; potrafi przekształcać wyrażenia, tak by można było obliczać ich wartości, stosując wzory Viète a; potrafi przekształcać wykresy funkcji kwadratowych, stosując poznane w klasie pierwszej przekształcenia, oraz napisać wzór funkcji, której wykres otrzymano w danym 22

przekształceniu; potrafi szkicować wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną; potrafi rozwiązywać proste równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną; potrafi rozwiązywać proste równania i nierówności kwadratowe z parametrem. 3. Geometria płaska czworokąty Tematyka zajęć: Podział czworokątów. Trapezoidy Trapezy Równoległoboki Okrąg opisany na czworokącie Okrąg wpisany w czworokąt Okrąg opisany na czworokącie, okrąg wpisany w czworokąt zadania na dowodzenie Podobieństwo. Figury podobne Podobieństwo czworokątów Wymagania podstawowe Wymagania dopełniające Wymagania wykraczające zna podział czworokątów; umie na podstawie własności czworokąta umie udowodnić twierdzenia potrafi wyróżnić wśród trapezów: trapezy podanych w zadaniu wywnioskować, jaki to jest o okręgu wpisanym w czworokąt prostokątne i trapezy równoramienne; czworokąt; i okręgu opisanym na czworokącie; poprawnie posługuje się takimi określeniami, jak: umie udowodnić twierdzenie o odcinku łączącym potrafi rozwiązywać nietypowe podstawa, ramię, wysokość trapezu; środki ramion trapezu; zadania o podwyższonym stopniu wie, że suma kątów przy każdym ramieniu potrafi udowodnić twierdzenie o odcinku trudności dotyczące czworokątów, trapezu jest równa 180 i umie tę własność łączącym środki przekątnych trapezu; czworokątów wpisanych w okrąg wykorzystać w rozwiązywaniu prostych zadań; potrafi rozwiązywać zadania o średnim stopniu i opisanych na okręgu, korzystając zna twierdzenie o odcinku łączącym środki trudności dotyczące czworokątów, w tym przy tym z wcześniej poznanych ramion trapezu i umie zastosować je trapezów i równoległoboków; twierdzeń. w rozwiązywaniu prostych zadań; potrafi stosować twierdzenia o okręgu wpisanym potrafi rozwiązywać proste zadania dotyczące w czworokąt i okręgu opisanym na czworokącie, w rozwiązywaniu złożonych zadań o średnim 23

własności trapezów; zna podstawowe własności równoległoboków i umie je stosować w rozwiązywaniu prostych zadań; wie, jakie własności ma romb; zna własności prostokąta i kwadratu; wie, co to są trapezoidy, potrafi podać przykłady takich figur; zna własności deltoidu; rozumie, co to znaczy, że czworokąt jest wpisany w okrąg, czworokąt jest opisany na okręgu; zna warunki, jakie musi spełniać czworokąt, aby można było okrąg wpisać w czworokąt oraz aby można było okrąg opisać na czworokącie; potrafi zastosować te warunki w rozwiązywaniu prostych zadań; potrafi wymienić nazwy czworokątów, w które można wpisać, i nazwy czworokątów, na których można opisać okrąg; potrafi rozwiązywać proste zadania dotyczące trapezów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu, w tym również z wykorzystaniem wcześniej poznanych własności trapezu; korzysta z wcześniej zdobytej wiedzy do rozwiązywania zadań dotyczących czworokątów (trygonometria, twierdzenie Talesa, twierdzenie Pitagorasa, własności trójkątów itp.); zna i rozumie definicję podobieństwa; potrafi wskazać figury podobne; potrafi rozwiązywać proste zadania dotyczące podobieństwa czworokątów. stopniu trudności; potrafi zastosować twierdzenia o okręgu wpisanym w czworokąt i okręgu opisanym na czworokącie do rozwiązania zadań o średnim stopniu trudności dotyczących trapezów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu; potrafi wyprowadzić wzór na pole czworokąta opisanego na okręgu w zależności od długości promienia okręgu i obwodu tego czworokąta; korzysta z wcześniej poznanych twierdzeń (np. twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów) do rozwiązywania zadań dotyczących czworokątów. 4. Geometria płaska pole czworokąta 24