Tajemnicza liczba π. d d d

Podobne dokumenty
Dlaczego liczba Π ma swoje święto?

PROJEKT EDUKACYJNY MATEMATYCZNY EXPERT

Liczba. Prezentacje przygotowała: Agata Charkiewicz IIIa

Jak dobrze znacie Ludolfinę?

Czym jest liczba π? O liczbie π. Paweł Zwoleński. Studenckie Koło Naukowe Matematyków Wydział Matematyczno-Fizyczny Politechnika Śląska

Historia π (czyt. Pi)

Liczbę Pi określamy jako stosunek długości okręgu do jego średnicy. Jest to wielkość stała i wynosi w przybliżeniu: π

PREZENTACJA LICZBA π (Pi) Kacper Dąbrowski III a

Ludolfina. Dlaczego w marcu obchodzimy Święto Liczby Pi? Liczba Pi w księdze rekordów Guinnessa. Wydanie specjalne

Dookoła koła. Zastosowania koła i okręgu w różnych dziedzinach życia. Karol Duszczyk

Krzywe stożkowe Lekcja III: Okrąg i liczba π

Temat: Koło i okrąg. Pojęcia związane z okręgiem promień, średnica, styczna, sieczna.

Gazetka matematyczna wykonana w ramach projektu edukacyjnego.

Temat: Liczby definicje, oznaczenia, własności. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Liczba. Wisława Szymborska 1

3. Liczba Pi. 1. Cele lekcji. a. 2. Metoda i forma pracy. b. 3. Środki dydaktyczne

Karta pracy M+ do multipodręcznika dla klasy 8 szkoły podstawowej

MATEMATYKA: (tak to ja, jestem tu, nie dam Ci spokoju, taka ze mnie stara zrzęda)

CZYTADŁO. "Matematyka jest to królowa wszystkich nauk, jej ulubieńcem jest prawda,a prostość i oczywistość jej strojem." Jan Śniadecki.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne

Wymagania edukacyjne z matematyki dla kl. 2 Gimnazjum Publicznego im. Jana Pawła II w Żarnowcu w roku szkolnym 2016/2017

O liczbach niewymiernych

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA 8 DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 2 (oddział gimnazjalny)

Przedmiotowe zasady oceniania i wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy drugiej gimnazjum

wymagania programowe z matematyki kl. III gimnazjum

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka

Wymagania edukacyjne niezbędne do otrzymania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki dla klasy VIII

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE VIII

Twierdzenie Pitagorasa. Autor. Wstęp. Pitagoras. Dariusz Kulma

ZESPÓŁ SZKÓŁ W OBRZYCKU

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY ŚRÓDROCZNE I ROCZNE Z MATEMATYKI W KLASIE 8 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE

ROK SZKOLNY 2017/2018 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY:

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE 8 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

Matematyka na czasie Przedmiotowe zasady oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych dla klasy 2

Indukcja matematyczna. Matematyka dyskretna

rozszerzające (ocena dobra)

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

CIĄGI wiadomości podstawowe

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM

Wielokąty foremne. (Konstrukcje platońskie)

WYMAGANIA EDUKACYJNE W KLASIE DRUGIEJ Z MATEMATYKI GIMNAZJUM NR 19 W KRAKOWIE

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

SZKOŁA PODSTAWOWA NR 1 IM. ŚW. JANA KANTEGO W ŻOŁYNI. Wymagania na poszczególne oceny klasa VIII Matematyka z kluczem

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIA EDUKACYJNE

Wymagania edukacyjne z matematyki

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

Wymagania edukacyjne z matematyki do programu pracy z podręcznikiem Matematyka wokół nas

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak

Wymagania edukacyjne na poszczególne stopnie szkolne klasa III

Zajęcia dodatkowe z matematyki dla klasy II i III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Do zbioru liczb rzeczywistych zaliczane są wszystkie liczby, które znamy, oznaczamy je symbolem i dzielimy na dwie największe podgrupy:

Ciekawostki matematyczne i nie tylko!!! Nieskończoność i googol

Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)

Matematyka z kluczem. Układ treści w klasach 4 8 szkoły podstawowej. KLASA 4 (126 h) część 1 (59 h) część 2 (67 h)

WYMAGANIA EDUKACYJNE

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15

STRONA DO WSTAWIENIA: STR_TYT\MEPGI1_001tyt.pdf

ZAKRES WYMAGAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM

Kryteria oceniania osiągnięć uczniów z matematyki w kl. III gimnazjum. (Program Matematyka z plusem dla III etapu edukacyjnego)

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY II

Wymagania programowe na poszczególne oceny. Klasa 2. Potęgi o wykładnikach naturalnych i całkowitych. Poziom wymagań edukacyjnych:

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM

2. Zmienne i stałe. Przykłady Napisz program, który wypisze na ekran wynik dzielenia 281 i 117 w postaci liczby mieszanej (tj. 2 47/117).

Temat lekcji Zakres treści Wymagania podstawowe Wymagania ponadpodstawowe

NaCoBeZU z matematyki dla klasy 8

Wymagania z matematyki na poszczególne stopnie szkolne w klasie trzeciej gimnazjum

Określenie wymagań edukacyjnych z matematyki w klasie II

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE 8 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

Dydaktyka matematyki (III etap edukacyjny) IV rok matematyki Semestr letni 2017/2018 Ćwiczenia nr 7

Klasa II POTĘGI. Na ocenę dobrą: umie porównać potęgi sprowadzając do tej samej podstawy

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

[MACIERZATOR8] Gazetka redagowana przez Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego

Wewnątrzszkolne kryteria ocen z matematyki Klasa VIII

Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum. Klasa I. Liczby i działania

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

SBP. Szkolny Biuletyn Pawłowicki 13/2018. Od Redakcji

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ GIMNAZJUM Opracowane do programu Matematyka na czasie, Wydawnictwo Nowa Era

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny Klasa 2 gimnazjum

NOWA FORMUŁA EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MMA 2018 UZUPEŁNIA ZDAJĄCY. miejsce na naklejkę UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

I semestr WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI. Wymagania na ocenę dopuszczającą. Dział programu: Liczby naturalne

Transkrypt:

Tajemnicza liczba π Każdy z Was na pewno już słyszał o liczbie π. Występuje ona w wielu wzorach matematycznych, np. na pole koła, objętość walca, jest przykładem liczby niewymiernej. Większość osób pamięta, że π to w przybliżeniu 3,14. Datę 14 marca zapisuje się w notacji amerykańskiej jako 3.14 i dlatego wtedy obchodzi się Dzień Liczby π. Z tej okazji piecze się okrągłe placki i dyskutuje o dziwnych właściwościach tej liczby. Po raz pierwszy Dzień Liczby π obchodzono w San Francisco w roku 1988 i uznano go oficjalnym świętem. Dlaczego π jest tak wyjątkowa, że jako jedyna liczba ma swoje święto? Spróbujmy poznać ją trochę bliżej. 1. Czym jest liczba π i kto ją tak nazwał? Liczba π to stosunek obwodu dowolnego koła do jej średnicy. Pi pie źródło: en.wikipedia.org Oznacza to, że średnica koła mieści się w jego obwodzie π razy(czyli około 3,14). Gdybyśmy wzięli sznurek, otoczyli nim koło i odcięli resztę, a następnie rozciągnęli go na ziemi, potem wzięli patyk długości średnicy tego koła i próbowali nim zmierzyć sznurek, to otrzymalibyśmy 3 patyki i kawałek, a dokładniej mówiąc π patyka. d d d d Oznaczenie liczy pi pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa oznaczającego obwód. Używany do dziś symbol π wprowadził angielski uczony Wiliam Jones na początku XVIII wieku, a spopularyzował Leonard Euler w swoim dziele Analiza wydanym w 1736 roku. 2. Od kiedy znamy liczbę π? Liczba ta pojawia się w Starym Testamencie przy okazji budowy świątyni Salomona. W Drugiej Księdze Kronik (Biblia Tysiąclecia, rozdział 4, werset 2) czytamy: Następnie sporządził odlew okrągłego morza o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i obwodzie 30 łokci. Wynika stąd, że obwód koła jest trzy razy większy od średnicy.

W jednym z najstarszych pism matematycznych egipskim papirusie Rhinda Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach pochodzącym z 1650 r. p.n.e. wartość π podano w postaci ( 16 2 9 ), co jest równe w przybliżeniu 3, 16049. Jako pierwszy wartość liczby π z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku obliczył najprawdopodobniej Archimedes (IIIw przed Chrystusem). Stosował on metodę aproksymacji (przybliżania) opartą na zależnościach geometrycznych. Obliczał obwody wielokątów foremnych: opisanego na kole oraz wpisanego w to koło. Obwód koła miał długość mieszczącą się pomiędzy długościami obwodów tych wielokątów. Metoda aproksymacji Archimedesa źródło: By Leszek Krupinski (disputed, see File talk:archimedes pi.svg) - Praca własna, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1250248 Archimedes wyznaczył długości obwodów dwóch 96-kątów foremnych opisanego i wpisanego wkoło i uzyskał przedział (3 10 10 ;3 71 70 ), w którym mieści się liczba π. Ok. 500 r. n.e chiński cesarski astronom Zu Chongzhi używając metody Archimedesa podał dwa nowe przybliżenia liczby π. Pierwsze z nich to 22 i dlatego dzień 22 lipca jest obchodzony jako 7 Dzień Aproksymacji Liczby π. Drugie przybliżenie to 355 ( co łatwo zapamiętać, bo są to liczby 113 11, 33, 55 w odpowiednim porządku). Metody Archimedesa użył także niemiecki matematyk Ludolf van Ceulen, który w roku 1610 obliczył π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku. Przybliżał on obwód koła obwodami wielokątów foremnych: wpisanego i opisanego o 2 62 bokach. Po śmierci uczonego liczbę tę wyryto na jego nagrobku i zaczęto nazywać ludolfiną. W XVII w porzucono geometryczne metody wyznaczania liczby π, natomiast zwrócono się w stronę ciągów nieskończonych. Najbardziej znanym przykładem szeregu związanego z π jest tzw. naprzemienny szereg Leibnitza (1674r): π 4 = 1 1 1 3 +1 5 1 ( 1)k +...+ 7 2k 1 +... Ludolf van Ceulen

Dziś do poszukiwań kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π wykorzystuje się komputery. W styczniu 2010 r. francuski informatyk Fabrice Bellard ogłosił, że obliczył liczbę π z dokładnościa do prawie 2,7 bilionów miejsc po przecinku. 3. Jak zapamiętać wartość liczby π? Aby ułatwić zapamiętanie wielu cyfr rozwinięcia dziesiętnego tej liczby powstają wierszyki i opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze rozwinięcia dziesiętnego. Jako pierwszy powstał wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego (1930 r.). Uwaga: niema jest tu napisane zgodnie z pisownią sprzed wojny: Kuć i orać w dzień zawzięcie. Bo plonów niema bez trudu. Złocisty szczęścia okręcie - Kuć! My nie czekajmy cudu. Robota - to potęga ludu! Inny przykład: Tak i mnie i Tobie poznawana tu liczba cudna dla ogółu przynosi wszystkim pożytek wspaniały. Podobne wierszyki i opowiastki układane są na całym świecie w różnych językach. 4. Jakie są własności liczby π? Dzięki temu, że poznaliśmy tak wiele cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π, możemy przyjrzeć się jej dokładniej i badać jej własności. Okazuje się, że: a) liczba π jest niewymierna wiedzieli to już starożytni Grecy, a udowodnił ten fakt Johann Lambert w 1761 roku; b) liczba π jest liczbą przestępną czyli nie istnieje równanie wielomianowe o współczynnikach całkowitych, którego rozwiązaniem byłaby liczba π. Stąd niewymierność tej liczby jest bardziej skomplikowana niż niewymierność np. liczby 2 ; c) w rozwinięciu dziesiętnym liczby π występuje każda dowolna sekwencja liczb naturalnych, np. data bitwy pod Grunwaldem pojawia się po raz pierwszy na miejscach: 7767, 7768, 7769, 7770. d) liczba π prawdopodobnie jest liczbą normalną, co sugerują dwaj matematycy Dawid Bailey oraz Richard Crandall. Na czym polega normalność? Chodzi o własność, że wszystkie łańcuchy liczb o tej samej długości występują z tą samą częstością, np. 345 pojawia się tak samo często jak 980. Jednak do tej pory jeszcze tej własności w odniesieniu do rozwinięcia dziesiętnego liczby π nie udowodniono. e) po obejrzeniu miliona cyfr okazało się, że częstości występowania poszczególnych cyfr są bliskie 100 000. 5. Gdzie pojawia się liczba π? a) Oczywiście π znajdziemy w wielu wzorach matematycznych (np. na objętość walca V =π r 2 h ) i fizycznych ( np. prędkość kątowa ω =2π f );

b) Liczba ta pojawia się w powiedzeniach, np. mówimy: pi razy drzwi lub pi razy oko jeśli podajemy coś w przybliżeniu, niedokładnie. c) Liczba π związana jest też z problemami matematycznymi, jak np. kwadratura koła. Chodziło o to, czy da się za pomocą tylko cyrkla i linijki narysować kwadrat o polu równym polu danego koła. Dopiero w 1882 r Lindemann udowodnił, że nie da się tego zrobić i tym samym rozwiązał problem kwadratury koła. d) Liczba π inspirowała wielu artystów i reżyserów. Pojawia się często w literaturze, np. w powieści Wahadło Foucolta autorstwa Umberto Eco. Nasza noblistka Wisława Szymborska poświęciła tej liczbie wiersz, który znajdziecie na końcu tego artykułu. Darren Aronofsky poruszył temat tej tajemniczej liczby w swoim filmie Pi. 6. Ciekawostki W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416. Przypadek, czy zamierzony cel budowniczych? Nie wiadomo. Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π w nadziei, że istoty pozaziemskie znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat. Eskimoskie π. Dlaczego w Arktyce wartość π wynosi tylko 3? Bo na zimnie wszystko się kurczy. Mam nadzieję, że udało mi się przynajmniej w zarysie ukazać niezwykłość tej oryginalnej liczby i choć trochę zaciekawić Was jej właściwościami. Tematem następnego artykułu będzie szczególny ciąg zwany ciągiem Fibonacciego. A na zakończenie wiersz Wisławy Szymborskiej: Liczba Pi Podziwu godna liczba Pi trzy koma jeden cztery jeden. Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe, pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy. Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem osiem dziewięć obliczeniem siedem dziewięć wyobraźnią, a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem cztery sześć do czegokolwiek dwa sześć cztery trzy na świecie. Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne. Korowód cyfr składających się na liczbę Pi nie zatrzymuje się na brzegu kartki, potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze, przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo, przez całą nieba wzdętość i bezdenność.

O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety! Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni! A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście mój numer telefonu twój numer koszuli rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr, w którym słowiczku mój a leć, a piej oraz uprasza się zachować spokój, a także ziemia i niebo przeminą, ale nie liczba Pi, co to to nie, ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć, nie byle jakie osiem, nieostatnie siedem, przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność do trwania. Źródła: Matematyka przy kominku - Michał Szurek, wyd BTC 2008 Nowe ślady Pitagorasa. Książka o matematyce - Bogdan Miś, wyd. btc 2011 Księga matematycznych tajemnic - Ian Steward Wydawnictwo Literackie 2015 http://www.math.edu.pl/liczba-pi http://www.focus.pl/czlowiek/14-marca-swieto-liczby-pi-10975 www.matematyka.wroc.pl/doniesienia/miedzynarodowy-dzien-liczby-pi artykuł Małgorzaty Mikołajczyk Międzynarodowy Dzień Liczby Pi