Blok I: Wyrażenia algebraiczne I. Obliczyć a) 9 9 9 9 ) 7 y y dla y = z, jeśli = 0 4, y = 0 0.7 i z = y 64 7) ) 7) 7 7 I. Uprościć wyrażenia a) 48 6 4 dla 0 5) 4 dla 0 ) 4 ) dla 0 45 4 y ) dla yz 0 I. Uprościć wyrażenia. Założyć, że wszystkie wykładniki są całkowite, wszystkie mianowniki są różne od zera i że zero nie jest podnoszone do niedodatniej potęgi 9z 8 a) t t ) y y ) 5 y ) 4 y 6 I.4 Uprość wyrażenia a) 5/ /4 7/ 8/ /9) 4/ / 8 / t a t a ) 4 m b n m b n 0 7/ 5 7/ / 5/ ) / /4) 8/ [ a y b ) a y b ) ] [ ) r ) r ] g) y t y 4t g) 5/ / / 7/ ) h) y / /y y y / ) I.5 Zapisać liczby za pomocą pojedynczego symbolu pierwiastka z liczby wymiernej, np. = 6 9 8. a) 5 5 ; 4 ; 5 8 6 6 ; 5 ) 5 6 ) / I.6 Zapisać liczby w postaci a) dziesiętnej: 7 4, 6 7,, 50 ; b*) wymiernej: 0.7) = 0.777...,.45), 0.75); wymiernej:, 4 I.7 Obliczyć
a) 8 ) ) ) 7 0 ) 5 7 ) 5 4 5 4) 5) 7 ) 4 5 I.8 Obliczyć 8 5 6 7 4 a) 5 7 : 5 ) 5 4 4 5) g) 4 5 7 h) 8 4 5 ) 5 i) ) 4 5 : 4 8 g) ) ) 0 [ 8) 6 8) ] : 8) 4 4 ) 4 5 h) [ ) ] 4 5 : 4 ) : 4 6 : 4 5 ) 4 6 4 4 4 ) i) [0, ) ] I.9 Korzystając z wartości bezwzględnej znaleźć odległości między liczbami a i b na osi liczbowej gdy a) a = 5 i b = 7 a = i b = a = 8, b = 5 I.0 Wykonaj potęgowania a) y) a a a) ) a b ) p p ) 4 p a a ) a I. Rozłóż podane wyrażenia na czynniki a) 4 9 ; 4 I. Uprościć podane wyrażenia a) y) y) a 7)a 8)a 7) ) ) k k k k k 0 5 5 a a b b b a g) 8 5 a 4 b 4 4 g) a 5b h) a b c ab i*) 4 y 4 h) p) p) i) 6 j) 4 k) l) 4 m)
n) y) 4y o) I. Zapisać wyrażenie kwadratowe w postaci kanonicznej a) 6 9 0 4 6 7 g) a b c I.4* Zapisać w postaci ułamków prostych a) ) ) ) 6 g) h) ) ) ) ) ) ) i) 5 ) I.5 Podstawić wskazane wyrażenie za zmienną i doprowadzić wynik do prostszej postaci a), := t u, := u, := t t 5, := 5y y, := u u 4, := s s I.6 Podstawić wskazane wyrażenie za zmienną i doprowadzić wynik do prostszej postaci a), := t ) / /4 ) /, := u ) 4 t 4 5, := t 4 ) /5, := t t, I.7 Uprościć wyrażenia a) ) ) ) ) t, := t ) 5 7 4 I.8 Uzasadnij że dla każdej liczby 5 wyrażenie 4 9 6 ma stałą wartość. ) I.9* W każdym z niżej podanych przykładów znaleźć takie wyrażenie ϕt), że po jego podstawieniu w miejsce zmiennej pozbędziemy się wszystkich pierwiastków, np. := t 6 t t.
a) 4 4 5 4 5 5 4 4 4 I.0 Usuń niewymierności z mianownika następujących ułamków a) 5 5 g*) 5 7 9 6 6 6 h*) 4 5 7 7 f*) 5 5 i*) 4 6 9 I. Oblicz a) 5 5 I. Uprość wyrażenia 5 5 6) 5 ) a) a) 4 ) a a g) dla > h) 4 dla, 4) i) 5 4 8 4 dla < j) dla > I. Przekształcić liczby do prostszej postaci a) ) 4 6) 6 6 4 54 5 5 5 5 5 0.75 65 0.5) 0. / 5 0.5) 4 / 7 ) [ ) ] 7 7.5 7 g) h) 4 7 7 i) 4 j*) 6 4 k*) 9 8 l*) 7 0 m*) 6 5 4 6 5 n*) o*) 4 7 9 4 7 8 5 57 5 I.4* Wykazać, że zachodzą równości 4
a) 9 4 5 4 6 5 = 4 7 6 6 7 = 9 8 7 4 = 8 8 6 4 = I.5* Oblicz sumy a) 4 99 00 9 9 0 0 I.6* Rozwiąż równania z wartościami bezwzględnymi modułami): a) = 6 = π = 4 = 7 7 4 = 8 6 7 = I.7* Rozwiąż równania kwadratowe a) = 4 = I.8 Rozwiąż równania 5 6 a) 6 6 = 8 g) = 6 h) = 6 i) = j) ) = k) 5 ) = 5 l) = 6 7 = 5 = 0 = m) = n) 7 = 7 o) ) = 4 p) ) ) = q) = = 5 9 = 8 7 4 8 = 5 7 = 9 5 = 4 g) 7 = h) = I.9 Rozwiąż nierówności z wartościami bezwzględnymi modułami). Zapisz rozwiązania w formie sumy przedziałów. a) > 0 > < < 0 < < g) 5 < h) 4 < i) > j) < k) 4 0 l) ) < 5 m) 6 7 > 6 n) 7 > 7 5 o) 5 < p) 6 > q) < < r) 5 > s)
I.0* Rozwiąż nierówności a) 5 6 < 0 < 6 > 5 9 5 < < g) 5 7 < ) ) I. Udowodnić, że = I.* Udowodnić, że poniższe nierówności są prawdziwe dla dowolnych liczb rzeczywistych, y a) y y y y y ±y y I. Masa neutronu wynosi około 0.0000000000000000000000000067 kg. Zapisać ją w notacji wykładniczej. I.4 Przepisać z notacji wykładniczej do dziesiętnej a) 7.6 0 4 9.4 0 5 I.5 Najbliższa gwiadza Alfa Centauri znajduje się w odległości około 4.4 roku świetlnego od Ziemi. Rok świetlny to jednostka astronomiczna długości równa odległości jaką przebywa światło w próżni w ciągu jednego roku zwrotnikowego i wynosi 9.4605 0 km. W jakiej odległości od Ziemi liczonej w km i m znajduje się ta gwiazda. Użyć notacji wykładniczej. I.6 Odległość Ziemi od Słońca definiuje jednostkę astronomiczną oznaczaną AU i wynosi ona 49 597 870 69 m. Największa odległość Plutona od Słońca wynosi 49.6 AU. Wyrazić tę odległość w metrach i kilometrach. I.7 Boki prostokąta są równe =.50 ± 0.0) m, y = 4.00 ± 0.0) m. W jakim przedziale zawiera się pole prostokata? Jaki jest błąd bezwzględny i względny tego pola, jeśli za boki prostokąta przyjąć wartości średnie? I.8 Masa ciała wynosi m =.59 ± 0.0) kg a jego objętość jest równa V =. ± 0.) dm. Obliczyć gęstość ciała i oszacować błąd względny i bezwzględny, biorąc średnie wartości masy i objętości. I.9 Promień koła wynosi r = 7. ± 0.) cm. Z jakim najmniejszym błędem względnym można obliczyć pole koła, jeśli przyjąć π =.4? I.40 Oszacować ilość cząsteczek powietrza wypełniającego salę o wymiarach 5 0 m. Przyjąć gęstość powietrza. kg/m, jego masa cząsteczkowa 9 g/mol. I.4 Oszacować ilość cząsteczek wody w basenie 5 0 m. Gęstość wody g/cm, masa cząsteczkowa wody 8 g/mol. I.4 Oszacować grubość kartki papieru trzymanej w rękach książki, której grubość jest równa 4.4 cm a liczba zawartych w niej stron wynosi 790. I.4 Oszacować liczbę oddechów i uderzeń serca człowieka w ciągu 70 lat życia. Przyjąć, że częstotliwość oddechów wynosi 6 oddechów na minutę a częstotliwość bicia serca 70 uderzeń na minutę. I.44 Oszacować liczbę atomów w m ciała stałego przyjmując, że średnica atomu jest rzędu 0 0 m. 6
Odpowiedzi zi.: a) 8 ; 44 = 4 ; 7 ; 7/ ; z = 0.5; zi.: a) 8 ; 7 ; ; 5 y 6 z 4 zi.: a) 8t ; ; 8 4 ; t 8 ; mn) ; 79 6a y 6b = a y b ) 6 ; g) 6r y 8t ; zi.4: a) 8 = ; ; 6; 8 = 7 ; ; ; g) 6 ; h) y / y y /6 ; zi.5: a) 0 5 5 = 0 500; 6 4 084 5 = 5 ; 6 = 6 458; 90 9 5 40 6 ; zi.6: a).75, 0.8574),.090), 0.004; 7 9, 8 900, 94 495 ; 5 8, 0 4 ; zi.7: a) 4; 6; 6; 59 60 5 495 ; 7 ; 5.; g) 8 = 6.875; h) 7 40 = 0.675; i) 4 ; zi.8: a) 5 8 = 9065; 8 4 = 4096; 4 = 6; 60 = 600; 5 = ; = 8 ; g) 6 = 64; h) 6 = 79 ; i) 0.6 = 0.000064; zi.9: a) a b = 5 7) = ; 5; 7; zi.0: a) 4 4 y y ; a a a / a / a 4/ a 5/6 ; 6 4 6 ; a b a b ab a b 6ab a b ; p 4 6p p p 6p p p p 4p p p 4p p p 4p p p p; a a a a a a zi.: a) ) ); ) ); ) ; a b )a a ; ) ); ) 4 9); g) a 5a 5ab 5b ); h) a b a b ; i) y y ) y y ); z.: a) y; a 4 784; 6 ; ; k ) 5 ; ; g) 4 ) ; h) p p ; 5 i) ; j) ) ; k) ; l) ; m) ) Sign ); n) y ; o) ; zi.: a) ) 8; ) 7 4 ; ) 4; 4) 7 57 8 ; g) a b ) a 4a, gdzie = b 4ac; zi.4: a) 4 4 ) 4 ; ) 9; ; ; 5 ; ) ; ; ) ; g) ) ) ; h) ; i) 5 ) ; zi.5: a) t ; u s ; 4t ; y; u; u 5t s s s ; 4s 4 zi.6: a) t ; t t t 4t ; u u u u ) czyli u ) gdy u lub u ) gdy u < ; t ; t ; zi.7: a) ) ) Sign) ; ) ; ) ; ) ; /6 4/5 / 6 4 ; 6 ; 5 zi.8: Wyrażenie to można zapisać w postaci ) 6), czyli równoważnie 6. Dla 5 argument pierwszej wartości bezwzględnej jest dodatni, a drugiej ujemny, stąd rownoważna postać tego wyrażenia to 6) = 5. 7
zi.9: a) := t t 8 t, t 8 t 6 ; := t 5 t t0, t 0 )t 0 ; := t 6, t 6 t t ; := t4, skąd = t4 t 4, t t 4 t ) t ; ) 4 5 := t6, t t ; := t t 6 4t t, t ; zi.0: a) 5)/4, 0 6)/, 4 )/5, 5 54)/, 9 6 6) /6, 0 6)/, g) 6 )/4, h) 4 5 5 7)/, i) zi.: a) 5) /, 5)/, 5 6, zi.: a) a,, a { a > 0 a = a < 0, 4 < <, g) 4 6, h), i), j) ) ), 4 < < zi.: a) 6, 0 5 8 6 6 )/, 0,, 00, 94, g) 4 5, h) 5 4 7, i) )/, j), k) 4, l) 5, m), n) 7, o) 5 zi.5: a), 9, 0 zi.6: a) { 6, 6}, { π, π},, {, }, { 6, }, {, 7/5}, g) { 4, 8}, h) {4/}, i) { 9/, /4}, j), ], k) [5, ), l) [, ), m) {, }, n) {, 8}, o) {0, 4}, p) {, 4}, q) {/} zi.7: a) {0, }, {, }, {, 6}, {, 0, }, { /, )/} zi.8: a) [0, 6] { }, {8/, 0/},, { 6, 6}, { 5,,, 5}, {,,, 7}, g) { 8, 4, 6, 0}, h) [, ) zi.9: a), ), ), [, ], = 0,, ), ),, ), ), 0, ), ), g), ), h) 5/, ), i), 4/), j) [, ), 4], k) [0, ], l) /, 9/), m) R, n), ) 8, ), o) /, /4), p), 0) 6, ) 6, ), q), 5), r), 4), ), ), s) [9/, ) zi.0: a), ), ),, ),, ), [ 7, ], 0, ),, 5), ), ), g) /9, 7) zi.:, 67 0 7 kg zi.4: a) 0, 00076, 940000 zi.5: zi.6: 4, 0 km = 4, 0 6 m 7, 7758 0 m zi.7: błąd bezwzględny = 0, 09 m, błąd względny = 9 0 zi.8: błąd bezwzględny = 0, kg/dm, błąd względny = 0, 07 zi.9: 0,0 zi.40: 4 0 7 zi.4:, 7 0 zi.4: 5, 57 0 5 m = 55, 7 µm zi.4: ilość oddechów = 5, 88 0 8, ilość uderzeń serca =, 57 0 9 zi.44: 0 0, 8