Jerzy Janowicz Konkurs matematyczny Konkurs ten jest wspólnym przedsięwzięciem: moim (jestem doradcą metodycznym matematyki) oraz Powiatowego Centrum Edukacji i Kształcenia Kadr w Bolesławcu. Regulamin oraz zestawy zadań na etap szkolny trafiły do wszystkich szkół podstawowych (34 placówki) i gimnazjów (11 placówek) powiatu bolesławieckiego. Aby włączyć się w to przedsięwzięcie, szkoły musiały przeprowadzić w wyznaczonym terminie konkurs w szkole i przesłać prace oraz protokół organizatorom. Z propozycji skorzystało ponad 60% szkół podstawowych iwszystkiegimnazja. Po etapach szkolnych zorganizowane były specjalne posiedzenia komisji, które ustalały ostateczną listę uczestników etapu międzyszkolnego, kierując się regulaminowym postanowieniem, że do następnego etapu przechodzi w każdym rejonie 30 osób z najwyższą liczbą punktów oraz w wypadku, gdyby nikt w danej szkole nie osiągnął limitu punktowego osoba z najwyższą liczbą punktów z tej placówki. Organizacją etapów rejonowych i finałów powiatowych zajmuję się wspólnie z Powiatowym Centrum Edukacji i Kształcenia Kadr przy współudziale starostwa powiatowego i kilku bolesławieckich szkół. Gdy piszę ten artykuł, konkurs jeszcze trwa, ale już teraz mogę stwierdzić, że podstawowe założenia edukacyjne całego przedsięwzięcia zostały osiągnięte. Szkoła podstawowa Zadania przygotowawcze 1. W poniższym dodawaniu zmień każdą cyfrę na cyfrę o 1 większą lub mniejszą tak, aby otrzymać poprawny zapis: 546 + 293 = 2130. 2. Podaj trzy kolejne liczby naturalne, których suma jest równa 99 100 101. 3. Czy zbiór wszystkich liczb jednocyfrowych można rozbić na trzy podzbiory tak, aby suma liczb w każdym z nich była taka sama? 4. Każdą ścianę sześcianu można pomalować na biało lub na czarno. Ile kostek różniących się układem kolorów na ścianach można w ten sposób uzyskać? Rozwiązanie przedstaw, zaznaczając odpowiednio pola wybranej siatki. 5. Uzupełnij puste kratki, wiedząc, że cyfry jedności wszystkich trzech liczb są takie same. Zrób tak, aby dzielna była największa z możliwych. : = MATERIAŁY 37
6. Na pewnych dwóch liczbach naturalnych wykonano dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Analizując zapis, w którym literą P oznaczono cyfry parzyste, a literą N nieparzyste, oraz wiedząc, że PP i NP po lewej stronie każdej równości to ta sama para liczb, znajdź te liczby: PP : NP = P PP + NP = PP PP NP = NP PP NP = NNP 7. Kawałek papieru w kształcie sześciokąta foremnego chcemy przeciąć na dwie części jednym prostoliniowym cięciem. Jakie pary wielokątów możemy w ten sposób otrzymać? 8. Skreślając w pewnej liczbie 10 początkowych albo 10 końcowych cyfr, otrzymujemy potęgę liczby 10. Podaj przykład takiej liczby. 9. Jaką objętość ma sześcian, jeśli jego pole powierzchni oraz suma długości wszystkich krawędzi wyrażają się tą samą liczbą odpowiednich jednostek? 10. Umieść punkt we wnętrzu równoległoboku tak, aby suma pól trójkątów wyznaczonych przez ten punkt i dwie przeciwległe podstawy była jak największa. 11. Wypisujemy kolejno liczby naturalne, nie robiąc odstępów między nimi: 1234567891011121314151617... Czy w tym ciągu prędzej wystąpi 12, czy 13 jedynek pod rząd? 12. Czy istnieją dwa ułamki nieskracalne jeden o mianowniku 14 i drugi o mianowniku 21 takie, że ich średnia arytmetyczna (połowa sumy) jest ułamkiem nieskracalnym o mianowniku 12? 13. Jeśli w pewnym trójkącie do rozwartości najmniejszego kąta dodamy jeden stopień, to otrzymamy rozwartość średniego kąta. Jeśli do rozwartości średniego kąta dodamy jedną minutę, to otrzymamy rozwartość największego kąta. Jaką rozwartość ma średni kąt? 14. Na stole leżało pudełko o wymiarach 5 cm, 10 cm, 15 cm. Mały Wojtuś bawił się nim, przewracając je na kolejne ściany (bez przesuwania) ale tak, aby wybrany na początku wierzchołek był nieruchomy. Zabawę zakończył, gdy pudełko wróciło do pierwotnego położenia. Oblicz pole obszaru, który podczas zabawy Wojtusia był przykryty pudełkiem największą ilość razy. Etap szkolny 1. W poniższym dodawaniu zmień każdą cyfrę na cyfrę o 1 większą lub mniejszą tak, aby otrzymać poprawny zapis: 52 + 97 = 240. 2. Rozwiązania równań wpisz do diagramu tak, aby powstał kwadrat magiczny (sumy liczb w kolumnach, wierszach i obu przekątnych muszą być takie same). 7 8w =0,5+0,25 + 0,125 3 2 x =3 3 (2 3 4 2 4) y =(10 8 6 4 2) : (5 4 3 2) z = ( 7+ 7 ( ) 6) 7 7 6 3. Z kilku jednakowych sześciennych klocków, których krawędź ma całkowitą ilość centymetrów, ułożono, kładąc jeden na drugim, wieżę w kształcie prostopadłościanu o objętości 72 cm 3. Oblicz pole powierzchni tej wieży. 4. Asia i Wojtek otrzymali w poniedziałek tyle samo cukierków. W tym 38 MATERIAŁY
samym dniu Asia zjadła ich czwartą część, a Wojtek zjadł 4 cukierki. We wtorek Asia zjadła trzecią część pozostałych cukierków, a Wojtek 3 cukierki. W środę Asia zjadła połowę z tego, co jej zostało, a Wojtek zjadł 2 cukierki. Wówczas spostrzegli, że obojgu zostało po tyle samo cukierków. Ile mieli na początku? 5. Jeśli prostokątną kartkę rozetniemy wzdłuż odcinka łączącego środki krótszych boków, to z otrzymanych części będzie można złożyć inny prostokąt o obwodzie 38 cm. Gdybyśmy zaś rozcięli tę kartkę wzdłuż odcinka łączącego środki dłuższych boków, to z otrzymanych części można byłoby złożyć nowy prostokąt o obwodzie 32 cm. Jaki obwód ma ta kartka? Etap rejonowy 1. Suma pewnych pięciu kolejnych liczb naturalnych jest równa 1000. Ile jest równa suma pięciu następnych liczb? 2. Przez jaką liczbę należy skrócić ułamek 10 164 11 088,jeśliotrzymanyułamekma mieć licznik trzycyfrowy, a mianownik czterocyfrowy? 3. Trzy soczki i dwa batony kosztują 9,60 zł, trzy batony i dwa jogurty kosztują 8,70 zł, a trzy jogurty i dwa soczki kosztują 7,20 zł. Czy wystarczy 20 zł, aby kupić cztery soczki, cztery batony i cztery jogurty? 4. Hura!!! Wyjeżdżamy na wakacje! Wstałem o 7 : 00. Po porannej toalecie, nie spiesząc się, zjadłem śniadanie, co zajęło mi dwa razy więcej czasu, niż toaleta. Następnie wziąłem się za pakowanie plecaka, co trwało dwukrotnie dłużej niż śniadanie ale zdążyłem. Zaniosłem więc plecak do samochodu i pojechaliśmy. Jazda trwała dwa razy dłużej niż moje pakowanie. Równo w południe byliśmy na miejscu. O której godzinie wyjechaliśmy? 5. W kwadracie o polu 64 cm 2 wybranopunktipołączonogozwszystkimi wierzchołkami. Podzielono w ten sposób kwadrat na cztery trójkąty, zktórychjedenmapole12cm 2, a inny 24 cm 2. Podaj odległości wybranego punktu od wszystkich boków kwadratu. Finał 1. Gdy podzieliłem liczbę 1000 przez wiek cioci Asi, otrzymałem wiek wujka Wojtka i resztę 20. Gdy zaś podzieliłem 1000 przez wiek wujka Wojtka, to otrzymałem wiek cioci Asi i również resztę 20. Ciocia jest młodsza od wujka. O ile lat? 2. Odtwórz, znając wynik, dodawanie ułamków dziesiętnych przedstawione poniżej., +,, 1 1 0 9, 8 8 9 3. Wojtek chciał kupić grę komputerową. Niestety, oszczędności ze skarbonki były za małe. Mogłaby potanieć, choćby o 10% powiedziała jego siostra Asia. Niewiele by to pomogło odpowiedział Wojtek brakowałoby mi jeszcze 4 zł. Ale gdyby gra potaniała o 20%, to mógłbym ją kupić i jeszcze 4 zł by mi zostało. Ile kosztuje gra i jak duże są oszczędności Wojtka? 4. Jeśli każdy bok kwadratu zwiększymy o 10 cm, to pole powiększy się o 600 cm 2. O ile zmniejszy się pole MATERIAŁY 39
tego kwadratu, gdy wszystkie jego boki skrócimy o 1 cm? 5. Prostopadłościenne, szczelnie zamknięte naczynie o podstawie kwadratowej i objętości 2000 cm 3 jest częściowo wypełnione wodą. Gdy stoi ono na podstawie, poziom wody sięga wysokości 8 cm, gdy zaś na ścianie bocznej woda sięga do wysokości 4 cm. Jaka jest objętość wody? Rozwiązania zadań Zadania przygotowawcze 1. Warto zacząć od cyfr jedności i tysięcy w wyniku. Zadanie ma dwa rozwiązania: 637 + 384 = 1021 oraz 657 + 384 = 1041. 2. Mamy 99 100 101 = 999 900 oraz 999 900 : 3 = 333 300. Szukanymi liczbami są: 333299, 333300, 333301. 3. Można, na kilka sposobów. 4. Można uzyskać 10 różnych kostek. Oto ich siatki: otrzymujemy dwa wyniki: PP =48 i NP =12orazPP =28iNP =14. 7. Powstać mogą następujące pary wielokątów: trójkąt i pięciokąt, dwa trapezy, trójkąt i sześciokąt, czworokąt i pięciokąt, trójkąt i siedmiokąt, czworokąt i sześciokąt oraz dwa pięciokąty. 8. Taką liczbą jest np.: 10 000 000 001 000 000 000. 9. Oznaczmy: k długość krawędzi sześcianu. Mamy wówczas: 6k 2 =12k, czyli k =2.Stądk 3 =8. 10. Punkt może leżeć w dowolnym miejscu, suma pól zawsze będzie równa połowie pola równoległoboku. Aby do tego dojść, wystarczy porównać sumę odpowiednich wysokości trójkątów z wysokością równoległoboku. 5. Sprawdzamy liczby trzycyfrowe o cyfrach jedności 6, 5, 1, 0 kolejno od największej: 996, 995, 991, 990, 986,... dochodząc do rozwiązania: 975 = 65 15. 6. Liczba PP po lewej stronie równości nie może być większa od 88 i musi być podzielna przez 4. A jaką liczbą może być NP? Po analizie 11. W tym ciągu 13 jedynek wystąpi szybciej już po napisaniu liczb 1 111 111 i 1 111 112, natomiast 12 jedynek pojawi się po raz pierwszy po napisaniu liczby 111 111 111 111. 12. Suma potrojonego licznika pierwszego ułamka i podwojonego licznika drugiego ułamka powinna być podzielna przez 7. Rozwiązaniem jest np. 1 2 para ułamków: 14 i 21. (Dlaczego nie 2 14 i 1 21?) 40 MATERIAŁY
13. Oznaczmy: x rozwartość w stopniach średniego kąta. Wtedy najmniejszy ma rozwartość x 1, a największy x + 60 1.Stąd:x + x 1+x + 60 1 = = 180, czyli x =60 59 180. Rozwartość średniego kąta jest równa 60 19 40. 14. Tym obszarem jest kwadrat o boku 5 cm, czyli o polu 25 cm 2. Etap szkolny 1. Poprawny zapis dodawania, to: 43 + 88 = 131 lub 63 + 88 = 151. 2. 3. Wieżę zbudowano z 9 kostek o krawędzi 2 cm. Pole powierzchni tej wieży jest równe 152 cm 2. 4. Na początku Asia i Wojtek mieli po 12 cukierków. 5. Kartka ma obwód 28 cm. Etap rejonowy 1. Szukana suma jest równa 1025. 2. Ułamek należy skrócić przez 11. 3. Cztery soczki, cztery batony i cztery jogurty kosztują 20,40 zł. Kwota 20 zł nie wystarczy na te zakupy. 4. Wyjazd nastąpił o godzinie 9 : 20. 5. Odległości tego punktu od boków kwadratusąrówne:2cm,3cm,5cm, 6cm. Finał 1. Iloczyn wieku cioci i wujka jest równy 1000 20 = 980 = 2 2 5 7 7. Ponieważ w obu wypadkach reszta była równa 20, i ciocia, i wujek mają ponad 20 lat. Wykorzystując rozkład na czynniki pierwsze, należy przedstawić liczbę 980 jako iloczyn dwóch liczb, z których każda jest większa od 20, ale mniejsza od 980 : 20 = 49. Takimi dzielnikami są jedynie 35 i 28. Sprawdźmy, że rzeczywiście 28 35 = 980. Różnica tych liczb wynosi 35 28 = 7. Ciocia jest o7latmłodszaodwujka. 2. Dodawanie wyglądało następująco: 9,9+99,99 + 999,999 = 1109,889. 3. Ponieważ przy obniżce o 10% Wojtkowi brakowało 4 zł, a przy obniżce o 20% zostałoby mu 4 zł, więc 10% to 4zł + 4zł = 8zł. Gra kosztowała więc 10 8=80 złotych. Mamy: 10% z 80, czyli 8 oraz 80 8 = 72. Ponieważ przy obniżce o 10 brakowałoby mu 4 zł, więc jego oszczędności były równe 72 4 = 68 złotych. Gra kosztuje 80 zł, a oszczędności Wojtka wynoszą 68 zł. 4. Po skróceniu każdego boku o 1 cm pole kwadratu zmniejszy się o 49 cm 2. 5. Prostopadłościany wyznaczone przez wodę w obu położeniach mają jedną krawędź wspólną. Jest to krawędź podstawy naczynia. Ponieważ w jednym położeniu poziom wody jest dwa razy wyższy niż w drugim, wnioskujemy, że krawędź boczna naczynia jest dwa razy dłuższa niż krawędź podstawy. Skoro wysokość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy, płaszczyzna przechodząca przez środki krawędzi bocznych dzieli całe naczynie na dwa sześciany każdy o objętości 1000 cm 3. Tak więc krawędź podstawy naczynia ma długość 10 cm, a krawędź boczna 20 cm. Woda wnaczyniumaobjętość: (10 10 8) cm 3 = 800 cm 3. MATERIAŁY 41