SYNTEZA METODĄ MODELOWANIA FIZYCZNEGO

Synteza dźwięku i obrazu SYNTEZA METODĄ MODELOWANIA FIZYCZNEGO Metoda matematyczna i falowodowa Wprowadzenie Metody modelowania fizycznego naleŝą do najnowszych metod syntezy dźwięku. Odmienne podejście do syntezy dźwięku: bezpośrednia symulacja zjawisk fizycznych zachodzących w rzeczywistych instrumentach. Symulujemy instrument, a nie dźwięk przez niego wytwarzany! Główne metody modelowania fizycznego: modelowanie matematyczne metoda falowodowa

MODELOWANIE MATEMATYCZNE Metoda modelowania matematycznego oparta jest na bezpośrednim rozwiązywaniu równania falowego opisującego powstawanie dźwięku w instrumencie. Funkcja będąca rozwiązaniem równania falowego stanowi przebieg czasowy dźwięku syntetycznego. Rozwiązanie równania falowego wymaga złoŝonego aparatu matematycznego (układy równań róŝniczkowych). Głównym problemem jest tu właściwy opis matematyczny procesu powstawania dźwięku w instrumencie. Modelowanie matematyczne Etapy modelowania matematycznego: sformułowanie systemu, który odzwierciedla proces wytwarzania dźwięku w rzeczywistym instrumencie wyznaczenie wartości parametrów wykorzystywanych w równaniach przeprowadzenie symulacji numerycznych badanie wpływu zmian parametrów modelu na jego charakterystyki

Model mat. piszczałki organowej 2 d x 2 dt i k dx i 2 + i + ni xi = λi F dt F = F nielin dx., P( t) dt δ ( t ) = τ final P0 P ( t ) P( t) P ( P P ) e ( = + t / τ ) 0 1 0 Model mat. piszczałki organowej Organowa piszczałka wargowa model blokowy P(t) Wejście Element nieliniowy F1 Model rezonatora M1 n1, k1 F F2 v1 F3 M2 v2 n2, k2 SprzęŜenie zwrotne M1 v3 n3, k3 v Linia opóźniająca vm Wyjście

Model matematyczny piszczałki Symulacja dla ataku wolnego Symulacja dla ataku wybuchowego przedęcie Metoda matematyczna Zalety metody matematycznej: moŝliwość dokładnej symulacji rzeczywistych instrumentów (wierność brzmienia) moŝliwość uwzględnienia zjawisk artykulacyjnych Wady metody: duŝa złoŝoność obliczeniowa konieczność rozwiązywania układu nieliniowych równań róŝniczkowych trudność opisu matematycznego instrumentu

METODA FALOWODOWA Metoda cyfrowego modelowania falowodowego ang. digital waveguide modeling Opracowana na uniwersytecie w Stanford (USA) na początku lat 90. Polega na modelowaniu przy pomocy cyfrowego falowodu fal bieŝących składających się na falę stojącą w danym instrumencie. Implementacja: algorytm cyfrowy, np. program komputerowy. Model drgającej struny Idealna (bezstratna) drgająca struna Ciśnienie p jest funkcją czasu t oraz miejsca x: p(x, t) Równanie falowe (jednowymiarowe): 2 p 2 = c t 2 2 p 2 x

Model bezstratnej drgającej struny Rozwiązanie ogólne równania falowego dla idealnej (bezstratnej) drgającej struny: suma dwóch fal bieŝących (travelling waves) propagowanych w przeciwnych kierunkach x x p( x, t) = p1 ( t ) + p2 ( t + ) c c Próbkowanie modelu struny Przejście do dziedziny cyfrowej:

Cyfrowy model falowodowy Model cyfrowy idealnego, bezstratnego falowodu Model z uwzględnieniem strat energii Uwzględnienie strat energii w modelu falowodowym

Modelowanie sztywnych zakończeń Modelowanie drgającej struny ze sztywnymi zakończeniami: warunki początkowe Model szarpniętej struny Idealna struna ze sztywnymi zakończeniami, pobudzona szarpnięciem (plucked string) np. gitara warunki początkowe:

Inne modele struny Model idealnej struny uderzonej (struck string), np. fortepian Model struny pobudzonej zewnętrznie: Uwzględnienie strat energii Model struny z uwzględnieniem strat energii (tłumienia fali)

Uwzględnienie strat energii Model struny z uwzględnieniem tłumienia stałego Model struny Karplusa-Stronga z uwzględnieniem tłumienia zaleŝnego od częstotliwości SprzęŜenie dwóch strun Model dwóch strun sprzęŝonych poprzez mostek

Model instrumentu strunowego (a) Impuls δ(n) Model Model Filtr pojedynczej pudła pobudzenia struny rezonans. E(z) e(n) S(z) B(z) Wyj. y(n) (b) Odpowiedź impulsowa pudła rezon. b(n) Filtr pobudzenia E(z) Model pojedynczej struny S(z) Wyjście y(n) y( n) = e( n) s( n) b( n) = b( n) e( n)* s( n) Model instrumentu dętego Model instrumentu dętego z pojedynczym stroikiem (single reed), np. klarnet

Model instrumentu smyczkowego Model instr. smyczkowego (np. wiolonczela) Modele pobudzenia Modele pobudzenia zapisywane są w tablicy Instr. stroikowy reed table Instr. smyczkowy bow table

Modelowanie falowodu cylindrycznego (a) (b) (c) (d) wy F b p + (n-m) p (n+m) F a F a p(nt,x) p(nt,x) t/2 t/2 t p + (n) p (n) F a F b g 1 Modelowanie kształtu instrumentu Kształt instrumentu jest aproksymowany za pomocą układu falowodów cylindrycznych.

Modelowanie kształtu instrumentu RóŜnica impedancji akustycznych jest modelowana za pomocą połączeń rozpraszających Połączenie rozpraszające R pole powierzchni przekroju falowodu

Model piszczałki organowej Model organowej piszczałki wargowej sterowanej trakturą mechaniczną Model piszczałki wargowej F b F a dl 1 4 + * DC g 1 y 0 + P(t) u.k. + g.sz. dl 2 g 2

Model strumienia powietrza 4 * DC y 0 + P(t) u.k. + g.sz. dl 2 g 2 Model korpusu piszczałki F b F a dl 1 + g 1

Modelowanie zmian ciśnienia Odpowiedź rzeczywistej piszczałki na zmiany ciśnienia Modelowanie zmian ciśnienia Odpowiedź modelu piszczałki na zmiany ciśnienia Pnom

Symulacja przesunięcia górnej wargi Symulacja zmiany kąta nachylenia strumienia powietrza względem górnej wargi piszczałki rzeczywista piszczałka model falowodowy L [db] 1 3 2 4 y0 [mm] Zalety i wady metody falowodowej Zalety metody falowodowej: moŝliwość dokładnej symulacji rzeczywistych instrumentów (wierność brzmienia) moŝliwość uwzględnienia zjawisk artykulacyjnych działanie w czasie rzeczywistym mniejsza złoŝoność obliczeniowa niŝ w metodzie modelowania matematycznego

Zalety i wady metody falowodowej Wady metody falowodowej: trudność w formułowaniu modelu fizycznego instrumentu duŝa złoŝoność obliczeniowa (w porównaniu z klasycznymi metodami syntezy) problem modelowania pewnych bardziej skomplikowanych procesów Wykorzystanie modeli fizycznych Zastosowanie fizycznych modeli instrumentów muzycznych w syntezie dźwięku: badania naukowe Stanford Univ. (Smith), Helsinki Univ. of Tech. instrumenty muzyczne firmy Yamaha karta dźwiękowa Creative Labs AWE 64 wybrany zestaw instrumentów (opcja) syntetyzer programowy Yamaha Sondius XG Przykład implementacji modeli falowodowych (C++): Synthesis Toolkit STK (Perry R. Cook).

Wykorzystanie modeli fizycznych Lata 70. i 80. XX wieku: metody matematycznego modelowania instrumentów, zarzucone zbyt mała moc obliczeniowa komputerów, trudność dokonywania obliczeń. Początek lat 90.: powstaje metoda falowodowa, rozwijana w wielu ośrodkach naukowych, duŝe nadzieje, zainteresowanie firm komercyjnych. Druga połowa lat 90.: pojawiają się istotne ograniczenia metody falowodowej, częściowe zarzucenie prac, utrata zainteresowania. Wykorzystanie modeli fizycznych (cd.) Obecnie: stopniowy powrót do metod modelowania matematycznego (wzrost mocy obliczeniowej komputerów, nowe narzędzia matematyczne). Przyszłość: połączenie obu metod?