4. Ubezpieczenie Życiowe

4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego w zależności od aktualnego wieku (oraz innych czynników). 3. Pozostałe koszty (administracja, podatki itp.) Rozważamy tylko pierwsze dwa rodzaje czynników i określamy tak zwaną składkę netto. 1 / 38

Tabelka Umieralności Rozkład czasu do śmierci jest oszacowany za pomocą tabelek umerialności. Tabelki te są oparte na próbę jednostek urodzonych w danym okresie czasu, czyli na tak zwanej kohorcie. Najbardziej przydatna informacja w tych tabelkach jest intensywność zgonów w wieku t (jednostką czasu jest zwykle rok). Intensywność zgonów w wieku t równa się prawdopodobieństwu tego że osoba umiera przed wiekiem t + 1 przy warunku że jeszcze żyje w wieku t. 2 / 38

Tabelka Umieralności Niech N t będzie liczbą osób w kohorcie, które jeszcze żyją w wieku t. Wtedy liczba osób, która umiera przed wiekiem t + 1 przy warunku że jeszcze żyją w wieku t wynosi M t, gdzie M t = N t N t+1 Dzieląc przez liczbę osób jeszcze żyjących w wieku t, otrzymujemy estymator intensywności zgonów w wieku t. m t = N t N t+1 N t. Przeżywalność w wieku t, s t, wyraża się wzorem s t = 1 m t. 3 / 38

Tabelka Umieralności Wiek Rozmiar kohorty Liczba zgonów Intensywność zgonów 28319 40 9 377 225 28 319 9377225 = 0, 003020 30758 41 9 348 906 30 758 9348906 = 0, 003290 33173 42 9 318 148 33 173 9318148 = 0, 003560 35933 43 9 284 975 35 933 9284975 = 0, 003870 38753 44 9 249 042 38 753 9249042 = 0, 004190 41907 45 9 210 289 41 907 9210289 = 0, 004550 4 / 38

Tabelka Umieralności Estymator prawdopodobieństwa tego że osoba przeżyje do wieku t + k przy warunku że żyje do wieku t, σ t,t+k, równa się proporcji osób, które przeżyją do wieku t, które przeżyją do wieku t + k. Więc σ t,t+k = N t+k N t. Wynika z tego że prawdopodobieństwo zgonu między wiekami t a t + k wynosi µ t,t+k, gdzie µ t,t+k = 1 σ t,t+k. 5 / 38

Tabelka Umieralności Należy zauważyć że obecnie intensywności zgonów są niższe niż w przeszłości, więc estymatory oparte na tabelkach umieralności ogólnie przeszacują intensywności zgonów aktualnych kohort. Wynika z tego że opdowiednie składki też są przeszacowane. Firmy ubezpieczeniowe często biorą pod uwagę trendy w intensywnościach zgonów aby oszacować intensywności zgonów aktualnej kohorty (nie rozważamy tych metod tutaj). Należy zauważyć że gdy firma ubezpiecza osoby dopiero po badaniach medycznych, wtedy intensywność zgonów u nowoubezpieczonych jest niższa niż u tych, którzy się ubezpieczyli jakiś czas temu. 6 / 38

Składka jednorazowa Rozważamy polisę, przy której firma wypłaci daną kwotę nominalną po śmierci ubezpieczonego, o ile umrze w danym okresie czsasu. Cena netto takiej polisy równa się kwocie, którą należy od razu zainwestować żeby pokrywać oczekiwane koszty wypłaty w wypadku śmierci ubezpieczonego. Zakładamy że termin składki jest na początku roku, a wypłata zajdzie pod koniec roku śmierci. Z powodu awersji do ryzyka, firma ubezpieczeniowa zakłada że stopa procentowa będzie dosyć niska. Gdy stopa ta jest wyższa, firma zyksuje. 7 / 38

Ubezpieczenie na jeden rok Zakładamy że osoba jest w wieku t, kwota do wypłacenia po śmierci ubezpieczonego wynosi K a stopa procentowa jest 100R%. Odpowiednia składka, P jest K P = Km t 1 + R. Należy zauważyć że 1+R jest kwota, którą należy od razu zainwestować aby pokryć wypłatę w wypadku śmierci, a m t jest prawdopodobieństwem śmierci. 8 / 38

Przykład 4.1 Zakładamy że osoba w wieku 40 chce się ubezpieczyć na rok. Wypłata w wypadku śmierci ma być $100 000. Roczna stopa procentowa jest 4% a intensywność zgonów należy oszacować za pomocą tablicy umeralności (zob. powyżej). Wyznaczyć odpowiednią składkę jednorazową. 9 / 38

Przykład 4.1 10 / 38

Jednorazowa składka na dłuższy okres czasu Zakładamy że ubezpieczony jest w wieku t, wtedy prawdopodobieństwo tego że umrze w i-tym roku polisy, p i (i 2) wyraża się p i = σ t,t+i 1 m t+i 1. Uwaga: Wynika to z faktu że gdy ubezpieczony umiera w i-tym roku polisy (czyli między wiekami t + i 1 a t + i), osoba ta musi przeżyć do wieku t + i 1 a umrzeć w ciągu następnego roku. Zakładamy że prawdopodobieństwo zgonu w pierwszym roku polisy, p 1, równa się m t. 11 / 38

Jednorazowa składka na dłuższy okres czasu Zakładamy że ubezpieczony jest w wieku t, suma wypłacona w wypadku śmierci wynosi K i stopa procentowa jest 100R%. Polisa ma trwać k lat. Odpowiednia składka jest sumą k składowych, V 1, V 1,..., V k, gdzie V i = Kp i (1 + R) i. Uwaga: Należy zauważyć że V i jest częścią składki, która pokrywa oczekiwane koszty wynikające z możliwości śmierci w i-tym roku polisy. 12 / 38

Przykład 4.2 Zakładamy że osoba w wieku 40 chce ubezpieczenie życiowe na nastęne 5 lat. Wypłata w wypadku śmierci wynosi $100 000. Roczna stopa procentowa wynosi 4% i należy oszacować intensywność zgonów za pomocą tabeli podanej powyżej. Wyznaczyć i) prawdopodobieństwo śmierci w każdym roku polisy ii) odpowiednią składkę jednorazową. 13 / 38

Przykład 4.2 14 / 38

Przykład 4.2 15 / 38

Przykład 4.2 16 / 38

Przykład 4.2 17 / 38

Przykład 4.2 18 / 38

Składka przy jednostajnej intensywności zgonów W niektórych przypadkach można założyć że intensywność zgonów w trakcie polisy jest stała. Zakładamy że roczna intensywność zgonów (czyli prawdopobieństwo tego że ktoś umrze przed wiekiem t + 1 lat przy warunku że jeszcze żyje w wieku t lat) wynosi λ. Wynika z tego że prawdopodobieństwo tego że osoba umrze w i-tym roku polisy jest p i = (1 λ) i 1 λ. Odpowiednia kwota do inwestycji w tym wypadku wynosi K (1+R) i. Pierwszy wyraz określa prawdopodobieństwo że osoba przeżyje pierwsze i 1 lat, drugi jest prawdopodobieństwem tego że osoba wtedy umiera w i-tym roku polisy. 19 / 38

Składka przy jednostajnej intensywności zgonów W tym wypadku, składka jednorazowa wyraża się następującym wzorem: k p i K k (1 λ) i 1 λk P = (1 + R) i = (1 + R) i Więc i=1 P = λk 1 λ k i=1 i=1 ( ) 1 λ i 1 + R 20 / 38

Składka przy jednostajnej intensywności zgonów Jest to szereg geometryczny, gdzie pierwszy element, c, spełnia c = λk 1+R. Iloraz r spełnia r = 1 λ 1+R, a liczba elementów w sumie wynosi k. Wynika z tego że P = λk 1 + R 1 r k 1 r, 21 / 38

Przykład 4.3 Wyznaczyć odpowiednią składkę jednorazową dla polisy z przykładu 4.2 przy założeniu że intensywność zgonów jest stała w okresie polisy i wynosi 0.0036. 22 / 38

Przykład 4.3 23 / 38

Przykład 4.3 24 / 38

Mieszane polisy Można zdefiniować polisy, które określają wypłaty w wypadku śmierci lub przejścia na emeryturę w wieku T. W tym wypadku, z założenia intensywność zgonów (wypłat) w wieku T 1 wynosi 1, skoro gdy ubezpieczony przeżyje do wieku T 1 wypłata zawsze zajdzie w wieku T. Dla wygody, zakładamy że aż do emerytury intensywność zgonów jest stała. 25 / 38

Mieszane polisy Zakładamy że ubezpieczony ma przejść na emeryturę za T lat. Wypłata zajdzie za T lat wtedy i tylko wtedy gdy ubezpieczony przeżyje pierwsze T 1 lat polisy. W tym wypadku, inwestycja wstępna, która pokrywa tę wypłatę K (1+R) T i prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi (1 λ) T 1. W pozostałych wypadkach, prawdopodobieństwo wypłaty w i-tym roku jest p i = (1 λ) i 1 λ, i = 1, 2,... T 1, a odpowiednia inwestycja wynosi (tak jak w poprzednim modelu). K (1+R) i 26 / 38

Mieszane polisy Więc składka jednorazowa za taką polisę wynosi P = gdzie r = 1 λ 1+R. λk 1 + R 1 r T 1 K(1 λ)t 1 + 1 r (1 + R) T, Pierwsza składowa pokrywa koszty ubezpeczenia życiowego. Druga składka pokrywa wypłatę przy przejściu na emeryturę. 27 / 38

Przykład 4.4 Osoba w wieku 40 lat chce kupić polisę, która gwarantuje kwotę $50 000 po śmierci ubezpieczonego lub przy przejściu na emeryturę (w wieku 65 lat). Zakładając że intensywność zgonów wynosi 0.005 a stopa procentowa jest 3%, wyznaczyć odpowiednią składkę jednorazową. 28 / 38

Przykład 4.4 29 / 38

Przykład 4.4 30 / 38

Składki bieżące Tutaj, zakładamy że ubezpieczenie ma trwać T lat, intensywność zgonów jest stała i wynosi λ i stopa procentowa jest 100R%. Składki się płaci na początku roku. Wypłata po śmierci ubezpieczonego wynosi K i zajdzie pod koniec roku. Skoro założenie są niezbyt realne, wzór określający odpowiednią składkę jest zbyt prosty, ale metoda ta ilustruje ogólne podejście do tego problemu. 31 / 38

Podstawowe Równanie Ubezpieczenia Życiowego Podstawowe równanie ubezpieczenia życiowego jest postaci Oczekiwana wartość aktualna składek = Oczekiwana wartość aktualna wypłaty. Oczekiwana wartość aktualna wypłaty przy tych żałożeniach już została wprowadzona powyżej. V C = T i=1 p i K (1 + R) i = λk 1 + R ( ) 1 r k, 1 r gdzie p i jest prawdopodobieństwem śmierci w roku i oraz r = 1 λ 1+R. 32 / 38

Podstawowe Równanie Ubezpieczenia Życiowego Składka P się płaci na początku każdego roku dopóki ubezpieczony żyje (aż do roku T ). Ubezpieczony jeszcze żyje na początku roku i z prawdopodbieństwem (1 λ) i 1 (prawdopodobieństwo tego że przeżyje pierwsze i 1 lat). Aktualna wartość składki spłaconej na początku roku i wynosi P (1+R) i 1. 33 / 38

Podstawowe Równanie Ubezpieczenia Życiowego Wynika z tego że aktualna wartość sumy składek wynosi V P = T P i=1 ( 1 λ 1 + R ) ( ) i 1 1 r k = P. 1 r Z podstawowego równania ubezpieczenia życiowego V P = V C P = λk 1 + R. 34 / 38

Podstawowe Równanie Ubezpieczenia Życiowego Jest to równe składce jednorazowej w przypadku ubezpieczenia jednorocznego gdy λ = m t. Ma to sens, bo gdy składki są bieżące przy stałej umieralności jest to rodzaj ciągu polis jednakowych. W rzeczywistości składki są stałe, ale intensywność zgonów ogólnie rośnie wraz z wiekiem. Składka wyznaczona w ten sposób jest na początku większa niż ta odpowiadająca intensywności zgonów na początku. W późniejszych latach składka jest mniejsza niż by wynikało z tego wzoru. 35 / 38

Przykład 4.5 Wyznaczyć odpowiednią składkę roczną gdy intensywność zgonów wynosi, stopa procentowa jest 5% i polisa ma wypłacić $300 000 po śmierci ubezpeczonego. 36 / 38

Przykład 4.5 37 / 38

Przykład 4.5 38 / 38