Rozkład prędkośc czątczk. Jak było powdzan wczśnj n oŝy oczkwać, Ŝ wzytk czątczk gazu ają tę aą prędkość. a podtaw znajoośc cśnna gazu oŝy jdyn polczyć dną prędkość kwadratową, a ty ay dną nrgę czątczk gazu, al n oŝy nc powdzć o rozkładz prędkośc czątczk gazu. Zan zajy ę ty probl, przyjrzyjy ę blŝj nowu pojęcu jak jt unkcja rozkładu. Przśldźy to na proty przykładz z codznngo Ŝyca. Funkcj rozkładu. ZałóŜy, Ŝ nauczycl przprowadza 5 co punktowy tt w duŝj grup tudntów. Aby opać wynk nauczycl oŝ podać dną ocnę, al oczywśc n byłby to płny op. JŜl wzycy tudnc otrzyalby,5 punktów, to ało by to duŝ znaczn dla połowy tudntów, którzy otrzyal np. 5 punktów, dla połowy która otrzyała np. 0 punktów. Jdnak dna w obu przypadkach byłaby taka aa. Płny op wynków ttu byłby wtdy, jŝl podalbyśy lość tudntów n, którzy otrzyal wynk dla wzytkch ocn uzykanych w tśc, lub naczj: jŝl podalbyśy ułak n wzytkch / tudntów, którzy otrzyal ocnę. Zarówno n jak ą unkcja, zwan ą unkcja rozkładu. Rozkład ułakowy, jt w pwny topnu, bardzj wygodny w uŝycu. Prawdopodobńtwo, Ŝ jdn z tudntów, wybrany w poób przypadkowy, otrzyał ocnę jt równ całkowtj lczb tudntów n, którzy otrzyal tn aą ocnę podzloną przz, czyl prawdopodobńtwo wyno. Zwróćy uwagę, Ŝ n a ponwaŝ n, to n () () Równan () nazywa ę warunk noralzacj rozkładu ułakowgo. Aby znalźć dną ocnę, dodajy wzytk ocny podzly przz. PonwaŜ kaŝda ocna jt otrzyywana przz n tudntów, to w poób równowaŝny oŝy zapać to n (3)
Podobn, dna wartość dowolnj unkcj g() jt zdnowana natępująco: g ( ) g( ) n g( ) (4) W zczgólnośc dn kwadrat ocny jt zdnowany jako ( ) n (5) Prwatk z ( ) nazywa ę dną wartoścą kwadratową.kw. Przykładowa unkcja rozkładu pokazana jt na Ryunku. Dla tgo rozkładu, najbardzj prawdopodobna ocna (tzn. otrzyana najwękzą przz lczbę tudntów) wyno 6, dna ocna wyno 4,, a prwatk dnj wartośc kwadratowj 4,9. Przykład Pętnatu tudntów wzęło udzał w 5-co punktowy tśc. Ich wynk to: 5,,,0, 0, 0, 8, 8, 8, 8, 8, 5, 5, 5 0. Znajdź dną ocnę dną ocnę kwadratową. Analza zadana. Funkcja rozkładu w ty przypadku dana jt w potac n 5, n, n 0 3, n 8 5, n 5 3, n 0. W clu znalzna wartośc dnj zatoujy równan (). Aby znalźć dną ocnę kwadratową korzytajy z wzoru (5) natępn polczy prwatk kwadratowy. (a) Z dncj ay: n ( 5 + + 3 0 + 5 8 + 3 5 + 0 5 (b). Aby znalźć.kw Ryunk Rozkład punktów uzykanych przz 00 tudntów w 5-co punktowy tśc. jt loścą tudntów, którzy otrzyal punktów, a n / jt ułakową unkcją rozkładu. 5 74 8,3.kw punkty
3 Znajdźy najprw ( ) ( 5 + + 3 0 + 5 8 + 3 5 + n 5 5 588 346. Oblczy dną ocnę kwadratową: ( ) 8,6. kw / 0 RozwaŜy traz przypadk cągłgo rozkładu, na przykład, wzrotu wód duŝj populacj ludz. Dla kończonj lczby, lczba oób o wzrośc dokładn jt równa zro. JŜl przyjy, Ŝ wyokość oŝ być okrślona z dowolną Ŝądaną dokładnoścą, to tnj nkończona lość wyokośc, a zat zana, Ŝ ktoś a dokładn jt równa zro. Dlatgo podzly wyokośc ludz na przdzały h (na przykład h oŝ wynoć c, albo 0,5c) zapytajy jak ułak ludz a wzrot, który śc ę w okrślony przdzal. Dla bardzo duŝgo, lość ta będz proporcjonalna do rozaru przdzału. Zdnujy unkcję rozkładu (h) jako ułak lczby oób poadających wzrot z przdzału h h + h dla lośc ludz, (h) h jt loścą ludz poadających wzrot poędzy h h + h. Ryunk przdtawa oŝlwy rozkład wzrotu wód duŝj populacj. Ułak lośc ludz o wzrośc z przdzału h, h + h jt równy powrzchn (h) h. JŜl jt bardzo duŝ, to oŝy przyjąć, Ŝ h jt bardzo ał htogra oŝ być wtdy. Wtdy Ryunk Funkcja rozkładu wzrotu ludz. Ułak lczby ludz poadających wzrot z przdzału h, h + h jt równy zacnonu polu na htogra (h) h. Htogra oŝ być przyblŝony za poocą pokazanj cągłj ln. przyblŝony krzywą cągłą. MoŜy, zat traktować unkcję rozkładu (h) jako unkcję cągłą, przdzał zapać jako dh zatąpć uy w równanach () do (4) całka: ( h) dh (6) ( h) h h dh (7) ( h) g h ( h) g ( ) dh (8)
4 ( h ) h ( h) dh (9) Prawdopodobńtwo, Ŝ przypadkowo wybrana ooba a wzrot w przdzal h, h + dh jt równ (h)dh. Wygodną wlkoścą charaktryzującą rozkład jt odchyln tandardow σ zdnowan jako: [( x x ) ] σ (0a) Rozwjając prwatk kwadratowy po prawj tron otrzyay lub σ ( x xx + x ) ( x ) x x + x r ( x ) σ x (0b) Odchyln tandardow rzy rozkład danych wartośc wokół wartośc dnj. Dla wękzośc rozkładów jt ało wartośc, któr róŝnły by ę od wartośc dnj węcj nŝ klka wlokrotnośc σ. Dla znango rozkładu noralngo Gaua (tgo o kztałc dzwonu), dw trzc wartośc śc ę w x ±σ. v ax v v.kw przdzal Jt zaadą, Ŝ dla dowolngo rozkładu dna wartość kwadratowa jt zawz wękza od wartośc dnj (chyba Ŝ, ob wartośc ą tak a). Zgodn z równan (0b) kwadrat dnj wartośc kwadratowj (x ) nu kwadrat wartośc dnj (x ) jt równy σ, która to wartość z dncj jt zawz dodatna. Rozkład Maxwlla. Rozkład prędkośc czątczk gazu oŝna rzyć bzpodno za poocą aparatury przdtawonj na ryunku 3a. a ryunku 3b prędkośc t przdtawon ą dla dwu róŝnych tpratur. Wlkość (v) przdtawona na ryunku 3b nazywa ę unkcją rozkładu prędkośc Maxwlla. W gaz kładający ę z czątk, lość czątk poadających prędkośc z przdzału v, v+dv wyno d:
5 Ryunk 3 (a) Schat aparatury do okrślana rozkładu prędkośc czątczk gazu. Subtancja paruj w pcu jj czątczk ogą wydotawać ę przz otwór do koory próŝnowj. Czątczk ą orowan w potac wąkj wązk. Wązka jt krowana w krunku dtktora, który zlcza lczbę czątczk docrających do ngo w okrślony cza. Wękza część wązk jt zatrzyywana przz obracający ę cylndr. Mał praln wyŝłobna w cylndrz (tylko jdno pokazan jt na ryunku) uoŝlwają tylko ty czątko przdotać ę do dtktora, któr ają prędkośc zawart w ały przdzal, któr ą zdtrnowan prędkoścą kątową obracającgo ę cylndra. Ilość czątczk z kaŝdgo przdzału prędkośc traających do dtktora jt okrślana poprzz zany prędkośc kątowj cylndra (b) Rozkład prędkośc czątczk gazu dla dwu prędkośc T T > T. Zacnona powrzchna (v)dv okrśla ułak czątk ających okrśloną prędkość zczącą ę w wąk przdzal dv. Prędkość dna dna prędkość kwadratowa ą trochę wękz od prędkośc najbardzj prawdopodobnj v ax. Źródło Dtktor v ax v v.kw d ( v) dv () Ułak d/ (v)dv w okrślony przdzal dv jt równy zacnonj powrzchn na ryunku. Funkcja rozkładu Maxwlla prędkośc jt wyprowadzana na baz chank tatytycznj. W rzultac otrzyujy wyraŝn w potac: 3/ 4 π kt () v / kt ( v) v Funkcja Maxwlla rozkładu prędkośc
6 ajbardzj prawdopodobną prędkoścą v ax jt prędkość, dla którj unkcja (v) oąga aku. MoŜna pokazać, Ŝ kt RT v ax (3) µ Porównując tę wlkość z równan 3.3 wdzy, Ŝ wartość prędkośc najbardzj prawdopodobna jt trochę wękza od dnj prędkośc kwadratowj. Przykład UŜywając unkcj rozkładu Maxwlla oblcz dną wartość v czątczk gazu. Analza zadana. Śrdna wartość v oŝ być polczona za poocą wyraŝna (9) podtawając v zaat h (v) daną równan (). 0. Zgodn z dncją ( ) v ( v) v v / kt. Korzytając z () ( v ) v v dv 0 π kt dv 4 π kt 3/ 4 0 v 4 v 3/ / kt 3. Całkę z punktu oblczay korzytając z tablc całk tandardowych 0 v 4 v / kt 3 dv 8 π kt dv 5 / 4. PowyŜzy wynk wykorzytaj do oblczna (v ) ( v ) 3/ 4 3 kt π π kt 8 5/ 3kT Uwaga. Zwróć uwagę, Ŝ otrzyany wynk zgadza ę z wzor 3-3 v kw. 3kT / a podtaw wzoru 3-3 oŝna polczyć, Ŝ dna prędkość kwadratowa czątczk wodoru wyno,93k/. Jt to około jdnj zótj prędkośc ucczk z powrzchn z, która jak twrdzlśy w jdny w wczśnjzych wykładów wyno,k/. Dlaczgo zat wobodny wodór n wytępuj w atorz z? Jak oŝna zauwaŝyć z ryunku 3b,
7 znaczący ułak czątk gazu w tan równowag a prędkośc wękz nŝ dna prędkość kwadratowa. Kdy dna prędkość kwadratowa tanow od 5% do 0% drugj prędkośc kocznj dotatczn duŝa lość czątczk a prędkość wękz nŝ prędkość ucczk, a zat gaz n oŝ tnć w atorz planty. Dlatgo n a wodoru. Z drugj trony dna prędkość kwadratowa czątczk tlnu tanow około jdnj czwartj dnj prędkośc kwadratowj czątczk wodoru, co tanow tylko około 4% prędkośc ucczk z powrzchn z. Dlatgo tŝ, tylko nwl czątk tlnu a prędkość wękzą od prędkośc ucczk dlatgo tln znajduj ę w atorz zkj. Rozkład nrg. Rozkład Maxwlla prędkośc dany równan () oŝ być równŝ zapany za poocą rozkładu nrg. Zapzy lczbę czątk o nrg E w przdzal E, E + de w potac d F( E) de gdz F(E) jt unkcją rozkładu nrg. Będz to ta aa lość czątk, która dana jt równan (), jŝl nrga ta zwązana jt z prędkoścą v czątk równan Wtdy de vdv d ( v) dv F(E)dE v E. MoŜy zapać d (v) dv Cv / v / kt -E/kT E / kt dv Cv E vdv C de gdz C ( 4/ )( / kt ) 3/ π. Wtdy unkcja rozkładu F(E) dana jt wzor: 4 F ( E) π kt 3/ / E / E / kt
8 Uprazczając, otrzyay unkcję rozkładu Maxwlla dla nrg: F ( E) π kt 3/ E / E / kt (4) Funkcja rozkładu Maxwlla dla nrg W języku chank tatytycznj rozkład nrg jt traktowany jako loczyn dwóch czynnków: jdn, zwany gętoścą tanów jt proporcjonalny do E /, a drug jt prawdopodobńtw obadzna dango tanu, który jt równy -E/kT zwany jt czynnk Boltzanna.