WZÓR OGÓLNY CIĄGU GEOMETRYCZNEGO, to ciąg, którego kolejne wyrazy powstają poprzez mnożenie poprzednich wyrazów przez liczbę, którą nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego i oznaczamy: q Do opisu ciągu geometrycznego, oprócz ilorazu, tak jak w przypadku ciągu arytmetycznego potrzebujemy wartości pierwszego wyrazu ciągu: a 1 Przykład 1. Dla danego ciągu iloraz ciągu, czyli liczba przez jaką mnożymy dany wyraz, aby uzyskać następny, wynosi 2, a wartość pierwszego wyrazu wynosi 3. Znając iloraz i wartość pierwszego wyrazu, możemy zapisać wzór ciągu. Dla rozpatrywanego przykładu, wzór ogólny będzie miał postać: Przykładowo, dla rozpatrywanego ciągu, obliczymy jego dziesiąty wyraz. 1
MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU GEOMETRYCZNEGO nie zawsze jest monotoniczny. Umiejętność określania monotoniczności ciągu geometrycznego ze wzoru nie jest jednak wymagana na poziomie maturalnym podstawowym, więc nie będziemy tego rozpatrywać. W prosty sposób można natomiast ocenić monotoniczność ciągu geometrycznego mając do dyspozycji kilka pierwszych wyrazów ciągu. Przykład 1. Dany jest ciąg 1, 2, 4, 8, 16... Powyższy ciąg jest rosnący, bo każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego. Przykład 2 Dany jest ciąg : 2, -6, 18, -54, 162... Powyższy ciąg nie jest monotoniczny. Kolejne jego wyrazy są na przemian większe i mniejsze. SPRAWDZANIE CZY CIĄG JEST GEOMETRYCZNY sposób 1: mając dane kilka początkowych wyrazów ciągu: iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciągu zawsze musi wynosić tyle samo, tzn. drugi wyraz dzielony przez pierwszy musi się równać trzeciemu wyrazowi dzielonemu przez drugi itd. Przykład. Czy podany ciąg, jest ciągiem geometrycznym? Odpowiedź: Ciąg jest geometryczny. sposób 2: mając dany wzór ciągu, musimy wykonać dzielenie: a n+1 / a n. Dany ciąg jest geometryczny, jeżeli otrzymamy wartość liczbową Przykład. Czy ciąg, Zapisujemy wyrażenie jest ciągiem geometrycznym? 2
Otrzymaliśmy wartość liczbową, a więc ciąg jest geometryczny. Przykład 1. Czy podany ciąg, jest ciągiem geometrycznym? Odpowiedź: Ciąg nie jest geometryczny. Gdy mamy podane więcej niż trzy wyrazy ciągu, równanie będzie kilkuczłonowe (musimy sprawdzić zgodność dla wszystkich wyrazów). Przykład 2. Czy podany ciąg, jest ciągiem geometrycznym? Odpowiedź: Ciąg nie jest geometryczny. 3
SPRAWDZANIE DLA JAKIEJ WARTOŚCI X PODANE WYRAŻENIA SĄ KOLEJNYMI WYRAZAMI CIĄGU GEOMETRYCZNEGO Zapisujemy i rozwiązujemy równanie: Przykład. Dla jakiej wartości x dane wyrażenia stanowią kolejne wyrazy ciągu geometrycznego? Odpowiedź: Podane wyrażenia stanowią kolejne wyrazy ciągu geometrycznego dla x = 1 lub x = 9. PRZYKŁADY ZADAŃ Wszelkie zadania związane z ciągiem geometrycznym, sprowadzają się w istocie do obliczenia wartości pierwszego wyrazu oraz ilorazu ciągu. Przy rozwiązywaniu zadań z ciągu geometrycznego warto wykorzystywać poniższy schemat: a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 itd. Wnioski logiczne z powyższego schematu: 1. a 2 = a 1 2. a 3 = a 1 3. a 5 = a 2 itd. 4
Przykład 1. Oblicz jedenasty wyraz ciągu geometrycznego, jeżeli pierwszy wyraz ma wartość 2, a czwarty ma wartość 54. UWAGA: Należy uważać na tym etapie rozwiązania. Gdyby wykładnik przy q był parzysty (2, 4, 6 ), wtedy mielibyśmy dwa rozwiązania (ujemne i dodatnie) i resztę obliczeń wykonywalibyśmy osobno dla tych dwóch rozwiązań. Przykład 2. Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego: 20
Przykład 3. Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego, którego iloraz wynosi -2, a trzeci wyraz ma wartość -4. Przykład 4. Podaj wzór ogólny ciągu geometrycznego, jeżeli jego drugi wyraz ma wartość 1, a szósty ma wartość 81. 21
SUMA WYRAZÓW CIĄGU GEOMETRYCZNEGO Sumę wyrazów ciągu geometrycznego obliczamy ze wzoru: 22
Aby obliczyć sumę potrzebujemy więc: wartość pierwszego wyrazu (a 1), wartość ilorazu (q) oraz numer (n) (numer ostatniego wyrazu). Przykład. Oblicz sumę jedenastu pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, którego pierwszy wyraz ma wartość -1, a iloraz wynosi 2. Gdy w zadaniu brakuje nam którejś z wymaganych wielkości, należy w pierwszej kolejności je obliczyć. Kiedy brakuje nam wartości pierwszego wyrażenia lub ilorazu, obliczamy je, tak jak pokazano w powyższych przykładach. 23