Łamigłówki i zadania na weekend W łamigłówkach 4, 4 i 4 oprócz tworzenia liczb z podanych cyfr wolno użyć w dowolnej ilości pięciu działań (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie), silni, pierwiastka kwadratowego oraz nawiasów dla oznaczenia kolejności działań. 4. Zapisz liczbę 60 używając trzykrotnie cyfry. Podaj dwa istotnie różne rozwiązania. 4. Zapisz liczbę 4 używając trzykrotnie cyfry. Podaj dwa istotnie różne rozwiązania. 4. Zapisz liczbę 45 używając cyfr, i 5. Autorski Tygodnik Matematyczny JAROS LAWA WRÓBLEWSKIEGO TRAPEZ Nr 5 (/06) Piątek, kwietnia 06 r. Facebookowy konkurs Trapezu Zadanie Tygodnia 44. Długość krótszej przyprostokątnej trójkąta prostokątnego zwiększono o 00%, wskutek czego długość krótszej przyprostokątnej zwiększyła się o 00%. O ile procent zwiększyła się długość przeciwprostokątnej? Zaokrąglij odpowiedź do trzech cyfr po przecinku. Zadanie wokół chińskiego twierdzenia o resztach 45. Udowodnij istnienie takich liczb naturalnych a, b, c, d, e, f, g, h, i, A, B, C, D, E, F, G, H, I, większych od, że kwadraty a b c d e f g h i oraz A a B b C c D d E e F f są magiczne. G g H h I i W kwadracie magicznym suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i na każdej z dwóch przekątnych jest taka sama, a ponadto liczby wpisane w pola kwadratu są różne. Rozwiązania zadań 46 40 46. 45 5! +5 47. 604!+44 48. 56 5 5!... 5! (7 pierwiastków) 4. Kongruencja n 7 n 0(mod 7) jest równoważna układowi trzech kongruencji n 7 n (mod 7) n 7 n (mod ) () n 7 n (mod ) Dla każdej trójki reszt (r 7, r, r ) spełniających warunki r 7 {0,,,, 4, 5, 6}, r {0,,, 4,, 0, } oraz r {0,, 7, 8,,, 8} () układ kongruencji n r 7 (mod 7) n r (mod ) n r (mod ) ma jedyne rozwiązanie nieujemne n < 7, a przy tym rozwiązaniami układu () są te i tylko te liczby, które spełniają układ () dla pewnej trójki reszt (r 7, r, r ) spełniającej warunki (). Ponieważ takich trójek reszt jest 4, liczb całkowitych nieujemnych n < 7 spełniających układ () jest właśnie 4. Skoro jedną z tych liczb jest liczba 0, a pytanie w treści zadania dotyczy liczb dodatnich, warunki zadania są spełnione przez 4 liczby. ()
- - Piątek, kwietnia 06 r. Trapez 5 (/06) 40. Z warunku f(5) f(8) wynika f(5) 44. Z nierówności f(4) f(5) oraz f(80) f(8) otrzymujemy odpowiednio skąd f()+57 f(5) oraz f(5)+76 4 f(), f(5)+76 4 ( f(5) 57) 8 f(5) 8, co prowadzi do 04 7 f(5), czyli f(5) 44. Zatem f(5) 44. Z nierówności f(7) f(5) 88 wynika f() 0, skąd otrzymujemy f(48) 06, a to wobec f(50) 07 prowadzi do f(7) 5. Ponadto korzystając z nierówności f(48) f(4) 06 uzyskujemy f() 0. Gdy zauważymy, że liczby f() i f(6) są parzyste, bez trudu wypełnimy prawie całą tabelkę. W końcówce nierówność f(88) f(87) 44 pozwala nam ustalić, że f(47) 06. 0 4 8 5 44 6 4 7 5 8 57 60 0 6 66 68 70 4 7 5 74 6 76 7 78 8 7 8 0 8 8 85 86 4 87 5 88 6 8 7 0 8 0 4 5 6 4 7 5 7 6 8 7 8 00 00 40 0 4 0 4 0 4 0 44 04 45 04 46 05 47 06 48 06 4 06 50 07 5 08 5 08 5 08 54 0 55 0 56 0 57 58 5 60 6 6 6 64 4 65 4 66 5 67 5 68 6 6 6 70 6 7 7 7 7 7 7 74 8 75 8 76 77 78 7 80 0 8 0 8 8 84 85 86 87 88 8 0 4 4 4 5 5 5 6 5 7 5 8 5 6 00 6 0 6 0 7 0 7 04 7 05 7 06 7 07 7 08 8 0 8 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 4 5 6 7 8 0 4 4 4 4 5 4 6 5 7 5 8 5 5 40 5 4 6 4 6 4 6 44 6 45 6 46 6 47 6 48 7 4 7 50 7 5 7 5 8 5 8 54 8 55 8 56 8 57 8 58 8 5 8 60 6 6 6 64 40 65 40 66 40 67 40 68 40 6 40 70 4 7 4 7 4 7 4 74 4 75 4 76 4 77 4 78 4 7 4 80 4 8 4 8 4 8 4 84 4 85 4 86 4 87 44 88 44
- - Piątek, kwietnia 06 r. Trapez 5 (/06) 0 5 5 5 484 847 484 847 4 7 7 775 7 775 75 484 8480 484 8480 4 80 Óadne kfiatki I 6 65 6 65 5 654 545 654 545 6 5 4 6 4 6 4 6 68 880 68 880 6 80 6 64 6 64 4 4 8 4 8 4 8 74 44 74 44 7 4 44 4 44 4 4 75 550 75 550 7 50 Óadne kfiatki II + + + + + + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 +! 76+4! +! 76+4! Policz całki oznaczone: xdx e e lnxdx + 76+4 e x dx Óadne kfiatki III 0 5 8 0 8 5 Óadne kfiatki IV Óadne kfiatki V e ( + x) x dx +4! 87+5! 5 5 6 4 5 6 5 4 +4! 87+5! 7 +4 87+5 7 x 7 +06x 7 +57dx Odpowiedź: Jest pięć całek. Óadne kfiatki VI 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 Óadne kfiatki VII log log log ( ) log 4 8 log 4 64log 4 (8 64) log 5 5 log 5 5 log 5(5 5 ) Óadne kfiatki VIII ( 4 log +log log (+) log 5 4+log 5 log 5 4+ 4 ) ( 5 log 7 +log 5 5 7 log 7 + 5 ) Óadne kfiatki IX ++6 + + 6 +4+6 6 + 4+ 6 6 +6+8 4 + 6+ 8 4
- 4 - Piątek, kwietnia 06 r. Trapez 5 (/06) Óadne kfiatki X Oblicz / liczby 4. Rozwiązanie: Ponieważ 4 4, najpierw podzielimy liczbę 4 przez, a następnie pomnożymy liczbę przez otrzymany wynik dzielenia. Dzielenie pisemne prowadzi do 4 : 7, a mnożenie pisemne do 7 6: 4: 4: 4:7 4:7 4: 7 4 4: 7 4 4:7 7 4 + 6 Odpowiedź: / liczby 4 to 6. Óadne kfiatki XI Oblicz / liczby 6. Rozwiązanie: Ponieważ 6 6, najpierw podzielimy liczbę 6 przez, a następnie pomnożymy liczbę przez otrzymany wynik dzielenia. Dzielenie pisemne prowadzi do 6 : 5, a mnożenie pisemne do 5 4: 6: 6: 6 6:5 6 0 0 6:5 6 0 0 6: 6 0 5 5 6: 6 0 5 5 Odpowiedź: / liczby 6 to 4. Óadne kfiatki XII z +4i (z) 7 7 z z 7 z 7 z 7 z 7 z 7 5 z 7 Óadne kfiatki XIII 6:5 6 0 5 5 + 4 4/ ( 4) / 8 / 65 5 4 5 ( 5 ) 5 65 Óadne kfiatki XIV +5+7 4 + 5+ 7 4 8+64+000 4 8+ 64+ 000 4
- 5 - Piątek, kwietnia 06 r. Trapez 5 (/06) + 6 Óadne kfiatki XV + 6 + 8 4 4 Óadne kfiatki XVI Oblicz 4/ liczby 0. Rozwiązanie: Ponieważ 4 0 0 4, najpierw podzielimy liczbę 0 przez, a następnie pomnożymy liczbę 4 przez otrzymany wynik dzielenia. Dzielenie pisemne prowadzi do 0 : 46, a mnożenie pisemne do 4 46 40: 0:4 0: 4 76 0: 46 76 4 4 0:46 76 4 4 Odpowiedź: 4/ liczby 0 to 40. Oblicz /4 liczby 40. Rozwiązanie: Ponieważ 0:4 76 4 Óadne kfiatki XVII 40 40 4, 4 46 84 0:4 76 4 4 46 84 56 0: 46 76 4 4 46 84 + 56 40 4 najpierw podzielimy liczbę 40 przez 4, a następnie pomnożymy liczbę przez otrzymany wynik dzielenia. Dzielenie pisemne prowadzi do 40 : 4 8, a mnożenie pisemne do 8 0: 40:4 40: 4 8 40: 48 8 40:48 8 Odpowiedź: /4 liczby 40 to 0. 40:4 8 8 5 40:4 8 Óadne kfiatki XVIII 4 + 5 + 4 4+5+4 40 8 + 8 + 4 5 8+8+4 5 45 7 + 4 + 0 5 7+4+0 5 56 8 5 8 40: 48 8 8 5 + 8 0
- 6 - Piątek, kwietnia 06 r. Trapez 5 (/06) Óadne kfiatki XIX + 65 + 6556 + 0476 40 846 ( ) + 65 + 6556 + 0476 40 846 ( ) + 65+ 6556+ 0476 40 846 ( ) Óadne kfiatki XX 7 4 + 7 7 4 + 7 7 4 + 7 7 4 + 7 7 4 + 7 7 4 + 7 4 7 + 4 7 + 4 7 + 4 7 + 4 7 + 4 7 + 406 406 685 685 406 685 406 685 406 685 406 685 Óadne kfiatki XXI 4 60458477680 47667774560000 + 547 770 4 5544780 47667774560000 547 770 60458477680 4 47667774560000 + 547 5544780 770 4 47667774560000 547 770 60458477680 4 47667774560000 + 547 770 5544780 4 47667774560000 547 770 60458477680 4 47667774560000 + 547 770 5544780 4 47667774560000 547 770 60458477680 4 47667774560000 + 547 770 5544780 4 47667774560000 547 770 4 60458477680 47667774560000 + 547 770 Óadne kfiatki XXII 4 5544780 47667774560000 547 770 log + log (+) log + log (+) log + log (+) log / + log / (+) ( ) log + log + ( ) log 4 + log 4 + Óadne kfiatki XXIII 5 5 5 5 5 5 5 4 45 4 45 4 45 445 445 445 445 4! Óadne kfiatki XXIV ( ) 000! Tysiąc dwieście pięćdziesiątych! 00 4 50 50
- 7 - Piątek, kwietnia 06 r. Trapez 5 (/06) Óadne kfiatki XXV 4 0 04 4 0 04 4 4 4 4 Óadne kfiatki XXVI x +++7+8+4+7+... + + + + 7+ 8+ 4+... + (+++7+8+4+7+...) +x, x +x, 0 +x, x /. Wniosek : Suma liczb dodatnich może być ujemna. Wniosek : Suma liczb całkowitych nie musi być całkowita. Óadne kfiatki XXVII 6 4 6 4 6 4 5 5 5 5 5 5 Óadne kfiatki XXVIII Podwojenie kwadratu po raz pierwszy, czyli graficzny dowód wymierności liczby. rys. rys. rys. rys. 4 rys. 5 rys. 6 rys. 7
- 8 - Piątek, kwietnia 06 r. Trapez 5 (/06) Óadne kfiatki XXIX Podwojenie kwadratu po raz drugi, czyli graficzny dowód wymierności liczby. rys. 8 rys. rys. 0 rys. rys. rys. rys. 4 Óadne kfiatki XXX Óadne kfiatki XXXI +64 +6 4+7 +8 4+84 5+5 4+7 8+6 6+ 8+4 + 64 + 6 64 6 4 + 7 + 8 47 8 4 + 84 5 + 5 484 55 4 + 7 8 + 6 47 86 6 + 8 + 4 6 84 7 84 8 4 48 45 8 6 8 75 6 7 7 4 7 7 84 8 784 8 4 48 45 448 45 8 6 8 86 8 75 6 7 75 67 7 4 7 7 47
- - Piątek, kwietnia 06 r. Trapez 5 (/06) Óadne kfiatki XXXII Podwojenie kwadratu po raz trzeci, czyli graficzny dowód wymierności liczby. rys. 5 rys. 6 rys. 7 rys. 8 rys. rys. 0 rys. rys.
- 0 - Piątek, kwietnia 06 r. Trapez 5 (/06) 6 6 6 6 8 8 Óadne kfiatki XXXIII 6 6 8 4 6 4 4 6 4 6 5 5 5 5 5 5 Óadne kfiatki XXXIV Óadne kfiatki XXXV log log log (+) log 5 log 5 log 5 Oblicz wartość wyrażenia Óadne kfiatki XXXVI ( ) k sinx k n dla k, n, x 0. Rozwiązanie: ( ) k sinx k n k! sinx k! k! n k! sin x k! k! n six 6 6 6. k!! ( ) k sinx Odpowiedź: Wartość wyrażenia k n dla k, n, x 0 jest równa 6. Óadne kfiatki XXXVII 0 4 5 (+ 77 5 5 7 (+ 5 5 4 4 7 7 ( 7 ) ( ) + ) ( ) 5 + ) ( ) 7 + (+) ( Óadne kfiatki XXXVIII 6 64 6 64 4 Óadne kfiatki XL 5 56 5 56 5 56 6 0666 07 6 066 6 07 85 76 85 76 ) + + + 0 + + 5 5 + + 77 + 5 5 7 7 + 4 + 4 4 + +4 Óadne kfiatki XLI Óadne kfiatki XXXIX 6 65 : 5 6 65 : 5 5 : 5 7 7 7 7 066 07 85 76 5 + 5 + 5 + 5 + http://www.math.uni.wroc.pl/ jwr/trapez Pochwal się swoimi rozwiązaniami na Facebooku: facebook.com/imuwr