Raport z projektu. Przedmiot: Algorytmy i struktury danych 1 Projekt: Wieża Hanoi Autor: Wojciech Topolski

Transkrypt

1 Raport z projektu Przedmiot: Algorytmy i struktury danych 1 Projekt: Wieża Hanoi Autor: Wojciech Topolski

2 Problem wieży Hanoi W wielkiej świątyni Benares w Hanoi, pod kopułą, która zaznacza środek świata, znajduje się płytka z brązu, na której umocowane są trzy diamentowe igły, wysokie na łokieć i cienkie jak talia osy. Na jednej z tych igieł, w momencie stworzenia świata, Bóg umieścił 64 krążki ze szczerego złota. Największy z nich leży na płytce z brązu, a pozostałe jeden na drugim, idąc malejąco od największego do najmniejszego. Jest to wieża Brahma. Bez przerwy we dnie i w nocy kapłani przekładają krążki z jednej diamentowej igły na drugą, przestrzegając niewzruszonych praw Brahma. Prawa te chcą, aby kapłan na służbie brał tylko jeden krążek na raz i aby umieszczał go na jednej z igieł w ten sposób, by nigdy nie znalazł się pod nim krążek mniejszy. Wówczas, gdy 64 krążki zostaną przełożone z igły, na której umieścił je Bóg w momencie stworzenia świata, na jedną z dwóch pozostałych igieł, wieża, świątynia, bramini rozsypią się w proch i w jednym oka mgnieniu nastąpi koniec świata. Dla 3 krążków problem można rozwiązać stosując prosty algorytm rekurencyjny, lub iteracyjny. Algorytm rekurencyjny jest postaci: void Hanoi(int n, int d) if (n == 0) return; Hanoi(n 1, -d); Przenies(n, d); Hanoi(n 1, -d); // Przenoszenie n-tego krazka od d pozycji Można jednak rozwiązać ten problem za pomocą algorytmu iteracyjnego. Aby to osiągnąć należy zauważyć, że krążki są przemieszczane sposób ustalony za pomocą następującego wzoru: np. n-ty krążek zaczyna z pozycji 1 słupka i jest przenoszony co 2 n 2 n 1 o x= 1 n 1, gdzie jeśli x = 1 to przenosimy krążek na słupek po prawej stronie, natomiast jeśli x = -1 to przenosimy krążek na słupek po lewej stronie. Możemy to rozpisać: Krążek nr. 1 przemieszcza się co 2^1 przeniesienie 1, 3, 5, 7, 9,..., 2^k 2^(1 1) zaczynając od 2^0 Krążek nr. 2 przemieszcza się co 2^2 przeniesienie 2, 6, 10, 14,..., 2^k 2^(2 1) zaczynając od 2^1 Krążek nr. 3 przemieszcza się co 2^3 przeniesienie 4, 12, 20, 28,..., 2^k 2^(3 1) zaczynając od 2^2... Krążek nr. n przemieszcza się co 2^n przeniesienie 2^n 2^(n 1) zaczynając od 2^(n 1) int ilosc_przeniesien = potega(ilosc_do_przelozenia) - 1; for (int j = 1; j <= ilosc_przeniesien; j++) // Sprawdzam ktory krazek mam przesunac // k to jest krazek do przeniesienia int k = 0; while (true) int z = potega(k); int y = z * 2; // Na podstawie numeru przeniesienia obliczam ktory krazek ma zosrac // przeniesiony. Robie to za pomoca wzory j - 2^k % 2^(k+1) == 0 // gdzie z = 2^k, y = 2^(k+1) if (((j - z) % y) == 0) // Przesuwam krazek krazek[k] += ((k + 1) % 2)? 2 : 1; krazek[k] = krazek[k] % 3; break; k++;

3 Testy dla n krążków i k słupków Ilość kr. 3 słupki 4 słupki 5 słupków 6 słupków 7 słupków 8 słupków 9 słupków Ilość przeniesień Ilość przeniesień Ilość krążków 3 słupki 4 słupki 5 słupków 6 słupków 7 słupków 8 słupków 9 słupków

4 Rozwiązywanie problemu Aby przenieść n-krążkową wieżę z jednego słupka na inny, należy podzielić słupki na 3 bazowe i k 3 słupki pomocnicze. Z n krążkowej kupki zdejmujemy n (k 3) krążki na inny słupek pomocniczy, a pozostałe krążki rozkładamy na słupki pomocnicze tak aby na każdym leżał tylko jeden krążek. Następnie składamy krążki z słupków pomocniczych na słupek docelowy, który jest wybrany ze słupków pomocniczych. Krok ten powtarzamy, aż n-krążkowa wieża nie zostanie przeniesiona na słupek docelowy. Analiza algorytmu dla 3 słupków Wieżę Hanoi z n krążkami oznaczmy przez h n. Z przeprowadzonych testów można zauważyć, że: h 1 =2 1 1 ;h 2 =2 2 1 ;h 3 =2 3 1 ;..., gdzie potęga jest równa indeksowi liczby h. Na tej podstawie można przypuszczać, że h n =2 n 1 dla dowolnej liczby krążków n. Z rekurencyjnego algorytmu rozwiązywania łamigłówki wieża Hanoi wynika następująca zależność rekurencyjna = między liczbami: h 1 dla n=1 n 2 h n 1 1 dla n 1 Powyższą zależność możemy sprawdzić indukcyjnie. Wiemy, że: h 1 =2 1 1 =1, załóżmy że h n =2 n 1, a zatem h n 1 =2 h n 1 =2 2 n 1 1 =2 n 1 1 Udowodniliśmy zatem, że złożoność algorytmu wynosi O 2 n. Analiza algorytmu dla 4 słupków Choć dla 4 słupków algorytm zachowuje się inaczej niż dla 3 to złożoność obliczeniowa jest identyczna z tą dla 3 słupków. Wynika to z tego, iż dla np. n krążków pierwszym krokiem dla przeniesienia ich na inny słupek jest przeniesienie n 1 krążków metodą wieży Hanoi dla 3 słupków, a następnie n-tego krążka. Krok ten powtarza się dopóki cała kupka nie zostanie przeniesiona. Dla przykładu przeniosę kupkę n = 5 31 =h 5 = h 4 1 h 3 1 h 2 1 h 1 1 h 1 = =31 Analiza algorytmu dla 5 słupków Analizując wyniki algorytmu dla 5 słupków dochodzimy do wzoru rekurencyjnego w postaci: = 2 n 1 dla n=1..3 h n 2 h n 1 n 2 dla n=2 k 3, k Z 2 h n 1 n 3 dla n=2 k 2, k Z Niestety nie udało mi się uprościć tej funkcji rekurencyjnej, ale pomimo tego można na zauważyć złożoność algorytmu dla 5 słupków. Dla przykładu: h 6 =2 h 5 n 3 =2 2 h 4 n 2 n 3 =2 2 2 h 3 n 3 n 2 n 3 = = n 3 n 2 n 3 = n 3 n 2 n 3 = = n 1 n 2 n 3 = n 2 n 2 n 3 = = n 4 n 3 = n 8 n 3 = n 11 Obcinając końcówkę możemy uogólnić wzór i podpierając się notacją, O złożoność algorytmu wyznaczamy przez O 3 2 n =3 O 2 n

5 Wnioski Właściwy algorytm wież Hanoi, a więc dla 3 słupków jest algorytmem optymalnym i ma złożoność O 2 n. Wraz z dokładaniem słupków wydajność wzrasta, a ilość przełożeń potrzebnych do wykonania algorytmu maleje. Niestety prezentowane rozwiązanie nie należy do optymalnych, należy jednak zwrócić uwagę, iż nie znaleziono dotychczas algorytmu, który dokonał by przełożenia wszystkich krążków w minimalnej liczbie ruchów. Akceptowane będą wszystkie rozwiązania, które dadzą wynik nie gorszy od naszego i będą miały nie gorszą złożoność.