Matematyka w Szkole. Lubiê dwie kostki. Stomachion Przez œcis³oœæ do absurdu. Czasopismo dla nauczycieli szkó³ podstawowych i gimnazjów

Transkrypt

1 Matematyka w Szkole nr 49 marzec/kwiecieñ/2009 Czasopismo dla nauczycieli szkó³ podstawowych i gimnazjów cena 7,40 z³ ISSN Lubiê dwie kostki Stomachion Przez œcis³oœæ do absurdu

2 ZOSTAŃ PRENUMERATOREM MATEMATYKI W SZKOLE numer za 7,40 zł 5 numerów za 37 zł Matematyka w Szkole to czasopismo dostępne wyłącznie w prenumeracie. Wpłaty można dokonać, posługując się blankietem dostępnym na poczcie lub w banku. Internauci mogą przelać pieniądze za pośrednictwem internetu. W obu przypadkach prosimy pamiętać o wpisaniu symbolu naszego czasopisma (MSPG) oraz numerów, które Państwo zamawiają. Wzór wypełnienia blankietu Na blankiecie proszę wpisać symbol naszego czasopisma MSPG Jeżeli prenumerata jest opłacana i odbierana przez instytucję (np. szkołę), w rubryce NAZWA ZLECENIODAWCY należy wpisać nazwę, adres oraz NIP tej instytucji. Jeśli adres opłacającego prenumeratę jest inny niż odbiorcy (np. gmina kupuje czasopismo dla szkoły), należy przesłać faksem adres płatnika i odbiorcy czasopisma numer faksu Przy wypełnianiu blankietu w rubryce NAZWA ZLECENIODAWCY należy wpisać dane instytucji opłacającej prenumeratę. Wszelkie pytania i wątpliwości prosimy zgłaszać do działu handlowego pod numerem telefonu

3 2 ZAPRASZAM DO LEKTURY! Prawdopodobnie warto uczyć prawdopodobieństwa Bardzo rzadko badania naukowe są w dydaktyce matematyki oparte na eksperymentach wykonanych na dużej próbie uczniów. Naukowcy pracujący na uczelniach nie mają środków i możliwości organizacyjnych, by takie eksperymenty prowadzić. Aż tu pewnego razu nadarzyła się okazja, by zaplanować i wykonać badania umiejętności matematycznych na grupie kilkudziesięciu tysięcy uczniów. Wszystko dzięki prowadzonym przez Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe Sesjom z plusem. Wyniki tych badań opisuje w kolejnych numerach naszego pisma Agnieszka Demby. Tym razem z artykułu zamieszczonego na stronach 9 2 dowiedzą się Państwo nie tylko tego, z czym mają kłopoty uczniowie na początku czwartej klasy, ale też jakimi zadaniami można pomóc im te trudności pokonać. W mojej klasie tej sprzed lat, w której sam byłem uczniem znaczna większość koleżanek i kolegów nie dała się przekonać, że zadania z rachunku prawdopodobieństwa mają jakikolwiek związek z rozumowaniem i oczywiście nikt z nich nie potrafił ich rozwiązywać. Pozostała część klasy potrafiła zadania rozwiązywać, choć nie bardzo wiedzieli, dlaczego wyszło akurat tak, jak wyszło. To było liceum. A jak uczyć o prawdopodobieństwie w gimnazjum? Czy w ogóle warto tego uczyć? Mam nadzieję, że w artykułach z działu Temat numeru znajdą Państwo odpowiedź na te i inne pytania. Może kiedyś przyjdzie czas na rzetelne zbadanie także i tej części szkolnej matematyki. Na deser proszę przeczytać list z Antwerpii (s. 6 8), z którego wynika, że Jacek Lech ma w tej Belgii sprytną tablicę. No trudno, skoro nie może mieć naszych polskich sprytnych uczniów, niech chociaż ma tablicę.

4 Matematyka wszkole Czasopismo dla nauczycieli szkół podstawowych i gimnazjów Adres redakcji: Gdańsk al. Grunwaldzka 43, tel Dział sprzedaży: tel fax prenumerata@gwo.pl Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół podstawowych i gimnazjów skr. poczt Gdańsk 52 gazetamws@gwo.pl Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Sp. z o.o Gdańsk, al. Grunwaldzka 43 KRS przy Sądzie Rejonowym w Gdańsku Redaktor naczelny: Marcin Karpiński Redaguje kolegium: Marcin Braun Małgorzata Domian Agnieszka Frączyk Aleksandra Golecka-Mazur Jacek Lech Agnieszka Szulc Projekt graficzny: Rafał Szczawiński / Pracownia Ilustracje: Sławomir Kilian Skład: Maria Chojnicka Agnieszka Frączyk SPIS TREŚCI EDUKACJA 4 Zuzanna Mikołajska Co tam, panie, w podstawie? 6 Jacek Lech Listy z Antwerpii 9 Agnieszka Demby Umiejętności uczniów na początku klasy IV (część 2) 3 Nauczanie w Europie. Czy studenci płacą za studia? TEMAT NUMERU PRAWDOPODOBIEŃSTWO 4 Jolanta Ostrowska W zakamarkach starej szafy (część ) 7 Agnieszka Orzeszek Częstość zdarzeń 9 Marcin Braun Prawdopodobieństwo wraca? 2 Adam Miziołek Lubię dwie kostki 23 Elżbieta Drewczynska, Nikodem Mrożek Kostki Borsuka NAUCZANIE MATEMATYKI 25 Małgorzata Rucińska-Wrzesińska Kwadraty magiczne trzeciego stopnia 28 List od Czytelnika 29 Mam pomysł 3 Danuta Zaremba Jeszcze o proporcjonalności 33 Małgorzata Rucińska-Wrzesińska Nie takie straszne zadania tekstowe 37 Marcin Braun Przez ścisłość do absurdu 39 Agnieszka Piecewska-Łoś Trzynaście ksiąg. Wprost i nie wprost 4 Aneta Góra Stomachion MATERIAŁY 42 Agnieszka Czesna, Magdalena Rojek Test w szóstej klasie 44 Jerzy Janowicz VI Bolesławiecki Konkurs Matematyczny ZOSTATNIEJŁAWKI 46 Morskie opowieści Zdjęcie na okładce: Leszek Jakubowski Druk i oprawa: Normex, Gdańsk Nakład: 4500 egz.

5 TEMAT NUMERU 23 Elżbieta Drewczynska, Nikodem Mrożek KOSTKI BORSUKA Kostki do gry, podobnie jak monety, należą do podstawowych pomocy w nauczaniu rachunku prawdopodobieństwa. Można je w wieloraki i ciekawy sposób urozmaicać, na przykład poprzez zmianę rozkładu oczek na kostce standardowej (przykładowo jedna ściana z jednym oczkiem, dwie ściany z dwoma oczkami oraz trzy ściany z trzema oczkami) lub zmianę liczby ścian. W artykule tym chcielibyśmy pokazać, w jaki sposób można wykorzystać kostki (łączące w sobie obie te cechy) z gry Hodowla zwierzątek. Zwierzęta zamiast oczek Gra Hodowla zwierzątek, znana także pod nazwą Superfarmer, została opracowana przez polskiego matematyka Karola Borsuka podczas drugiej wojny światowej. Rekwizytami potrzebnymi do gry były między innymi dwie różne dwunastościenne kostki. Były dość nietypowe zamiast oczek na ścianach widniały rysunki zwierząt. Pierwsza kostka była zbudowana następująco: królik na sześciu ścianach, owca na trzech, po jednej ścianie dla świni, krowy i wilka. Na drugiej kostce narysowano: królika na sześciu ścianach, świnię na dwóch, owcę na dwóch oraz po jednej ścianie dla konia i lisa. Na potrzeby tego artykułu zestaw takich kostek nazwiemy Kostkami Borsuka. Na lekcji Ciekawym elementem lekcji mogłoby być zbudowanie przez uczniów Kostek Borsuka. Oczywiście pracę należy rozpocząć od skonstruowania dwunastościanu foremnego. (Można też na gotowe kostki naklejać rysunki zwierząt). Lekcja może być ciekawsza, jeśli nie podamy dzieciom, na ilu ściankach znajdują się poszczególne zwierzęta, ale pozwolimy im samodzielnie to odgadnąć. Proponujemy w tym celu wykonanie następującego ćwiczenia. Ćwiczenie Szanse wyrzucenia każdego zwierzęcia na pierwszej i drugiej kostce dwunastościennej zamieszczone są w poniższej tabeli. Na jej podstawie wypełnij ściany Kostek Borsuka. Zwierzę I kostka II kostka królik owca świnia koń 0 krowa lis 0 wilk

6 24 TEMAT NUMERU Kiedy uczniowie zbudują kostki i rozmieszczą na nich zwierzęta, możemy zaproponować im kolejne zadania. Na początek proponujemy kilka zadań na rozgrzewkę i oswojenie się z kostkami. Ćwiczenie 2 Którą kostką należy rzucić, aby szansa wylosowania owcy była jak największa? Ćwiczenie 3 Rzucamy II Kostką Borsuka. Jaka jest szansa, że wylosujemy owcę lub konia? Ćwiczenie 4 Rzucamy dwa razy I Kostką Borsuka. Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie królika i krowy czy owcy i krowy? Następnie możemy przejść do trochę trudniejszych zadań, w których będziemy używali dwóch kostek jednocześnie. Ćwiczenie 5 Rzucamy Kostkami Borsuka. Jaka jest szansa, że wylosujemy parę: a) wilk i królik? b) lis i owca? *c) owca i świnia? Ćwiczenie 6 Rzucamy Kostkami Borsuka. Które pary zwierząt nigdy nie zostaną wylosowane? Możemy ułożyć ciekawe zadania, gdy zdecydujemy się na zaklejenie wybranej ściany kostki. Ćwiczenie 7 Na jedną ściankę II Kostki Borsuka Bartek nakleił inne zwierzę od tego, które się wcześniej na niej znajdowało. Jakie zwierzę nakleił i na jaką ściankę, skoro szansa wyrzucenia owcy wynosi teraz 2,aowcy lub konia 4? Ćwiczenie 8 Które ściany należy zakleić, aby mieć pewność, że nie zostanie wylosowana para: królik i owca? Jaka jest najmniejsza liczba ścian, które należy zakleić? Kolejnym, trudniejszym etapem zajęć, mogą być sytuacje wymagające rozpatrzenia serii rzutów. Ćwiczenie 9 Ania rzuciła kilka razy dwiema Kostkami Borsuka. Wśród zwierząt, które wylosowała były między innymi: 3 konie, 2 lisy, 2 króliki, owca. Jaka jest najmniejsza liczba rzutów, które mogła wykonać Ania? Przypominamy o konkursie Zdjęcie na okładkę Od 2 lutego do 9 sierpnia tego roku można przesyłać zdjęcia na konkurs fotograficzny organizowany przez Matematykę w Szkole. Zostanie przyznanych pięć nagród (jedna nagroda w każdej kategorii). Zwycięskie zdjęcia zostaną zamieszczone na okładkach numerów w roku szkolnym 2009/200, a ich autorzy otrzymają dostęp do elektronicznych wersji wszystkich numerów czasopisma oraz roczną prenumeratę papierowej wersji pisma. Szczegóły można znaleźć w poprzednim numerze Matematyki w Szkole (s. 39) oraz na stronie internetowej wzakładce Zdjęcie na okładkę.

7 NAUCZANIE MATEMATYKI 4 Aneta Góra STOMACHION Wszystkim jest znana popularna łamigłówka tangram kwadrat podzielony na 7 części. A kto słyszał o łamigłówce stomachion? To inaczej kwadrat Archimedesa. Jest prawdopodobnie najstarszą znaną łamigłówką typu puzzle. Został wymyślony ponad 2200 lat temu właśnie przez Archimedesa, a najbardziej popularny był (jak dotąd) w starożytnej Grecji. Układanka składa się z 4 elementów wielokątów o różnych wymiarach i kształtach, które razem złożone tworzą kwadrat. Ułożenie kwadratu nie jest łatwe. Oto jedno z możliwych rozwiązań: Okazuje się, że rozwiązań jest bardzo dużo. A ile dokładnie? Jako pierwszy obliczył to Archimedes. Niestety, jego obliczenia zaginęły. W 2003 roku matematyk Bill Cutler obliczył, że istnieje 536 sposobów ułożenia kwadratu. Późniejsze wyliczenia pokazują jednak, że wszystkich możliwości jest znacznie więcej, bo... aż Jak wykorzystać stomachion na lekcji? Nie polecam układania kwadratu. Jest to trudne zadanie i może zająć sporo czasu. Lepiej będzie, gdy chętni uczniowie spróbują swoich sił w domu. Łamigłówkę można wykorzystać w szkole w inny sposób. Pokazujemy kilka ułożonych kwadratów (z widoczną kratką). Na przykład takie, jak na poniższych rysunkach. Uczniowie mogą na rysunkach znajdować różne figury (równoległoboki, trapezy, sześciokąty itp.) i uzasadniać, że na przykład znaleziony trapez to rzeczywiście trapez. Ponieważ wszystkie figury mają całkowite pole, już w czwartej klasie zadaniem uczniów może być policzenie pól tych figur. Najtrudniejsze będzie policzenie pól niektórych trójkątów rozwartokątnych. Jeżeli uczniowie nie znają jeszcze twierdzenia Pitagorasa, mogą od pól większych figur odejmować mniejsze. Na przykład gdy chcą obliczyć pole trójkąta 4. z pierwszego kwadratu, od pola trójkąta składającego się z figur 4. i 7. odejmują pole trójkąta 7. To wcale nie jest dla uczniów takie łatwe. Życzę przyjemnej zabawy przy stomachionie.

8