... VI 2010r. prof. dr hab. Adam Jakubowski...

Transkrypt

1 ... VI 2010r. prof. dr hab. Adam Jakubowski... Dziekan Wydziału Podstawowych Problemów Techniki Politechniki Wrocławskiej Wybrzeże Wyspiańskiego Wrocław fax: Recenzja naukowego, dydaktycznego i organizacyjnego dorobku prof. dr. hab. Tomasza Byczkowskiego w związku z wystąpieniem do JM Rektora Politechniki Wrocławskiej o nagrodę im. Hugona Steinhausa Pierwsze publikacje prof. T. Byczkowskiego (prace [1] [10] w załączonej bibliografii, oprócz prac [5] i [8], poświęconych topologii), dotyczyły miar i ich produktów na grupach. Przełomowym dla tej tematyki był rok 1979, kiedy to Tomasz Byczkowski zapoczątkował dzialalność nowego seminarium w Instytucie Matematyki Politechniki Wrocławskiej. Seminarium poświęcone było badaniu miar (zwłaszcza gaussowskich i stabilnych) na przestrzeniach liniowych. Była to wówczas tematyka bardzo żywotna i atrakcyjna, w której pracowali tacy znani matematycy jak de Acosta, Fernique, Gine, Kallianpur, Kwapień, Pisier czy Talagrand. Z prac tego seminarium wynikły cztery pierwsze doktoraty, których prof. Byczkowski był promotorem (T. Żak, T. Jurlewicz, M. Ryznar i M. Lewandowski). Do najważniejszych prac, napisanych przez prof. Byczkowskiego w tym okresie ( ) można zaliczyć [16], [21], [26], [28] i [29]. Na przykład w pracy [16] wykazano, przy badzo ogólnych założeniach co do seminormy q i półgrupy miar (µ t ), istnienie granicy lim t 0+ µ t t{q(x) > s} = θ(s), 1 gdzie funkcja θ ma ścisły związek z miarą Lévy ego miary µ 1. Dużym wyzwaniem w owym czasie było zbadanie absolutnej ciągłości rozkładu supremum procesu gaussowskiego i, ogólniej, stabilnego temat ważny m.in. ze względu na zastosowania do modelowania matematycznego. Cirelson w roku 1975 wykazał, że dystrybuanta supremum procesu gaussowskiego może mieć skok w zerze, ale na prawo od punktu skoku jest już funkcją absolutnie ciągłą. Bardziej elegancki dowód tego faktu, oparty na logarytmicznej wklęsłości miary gaussowskiej, podali w 1979 roku Hoffman- Jorgensen, Dudley i Shepp. Ponieważ miary stabilne nie mają wspomnianej 1

2 własności, a rozkład supremum procesów stabilnych jest równie ważny, jak gaussowskich, należało wymyślić nowe techniki badawcze. W pracach [21], [28] i [29] wykazano miedzy innymi, że analogiczny rezultat jest prawdziwy dla miar stabilnych. W trakcie tych badań otrzymano także bardzo ogólną wersję klasycznego twierdzenia Ito-Nisio (praca [26]). Podstawowe prace z tego okresu ukazały się w bardzo dobrych czasopismach (np. Studia Mathematica czy Annals of Probability), choć nie było wówczas tzw. listy filadelfijskiej, a wysyłanie prac do redakcji np. do USA wiązało się z dodatkowymi opóźnieniami (list w jedną stronę szedł zwykle ponad miesiąc). W roku 1989 pojawiła się nowa, dodatkowa tematyka na seminarium - rachunek Malliavina dla procesów skokowych, rozwijany głównie przez Byczkowskiego we współpracy z kolejnym doktorantem P. Graczykiem. W roku 1993 nastąpiła gruntowna zmiana tematyki: główne zainteresowanie seminarium skoncentrowane zostało na teorii potencjału procesów stabilnych. Przełomowym momentem było tu udowodnienie przez K. Bogdana brzegowej zasady Harnacka dla niezmienniczych na obroty procesów stabilnych o wartościach w R d. To twierdzenie pozwoliło rozszerzyć i uogólnić rezultaty znane dla przypadku gaussowskiego (w jezyku analizy: dla operatora Laplace a) na przypadek stabilny (tzn. pewnego pseudoróżniczkowego operatora nazywanego ułamkowym laplasjanem, będącego generatorem procesu stabilnego). Z podjęcia tej tematyki wynikły trzy kolejne doktoraty, napisane pod kierunkiem prof. Byczkowskiego przez K. Bogdana, T. Kulczyckiego i J. Małeckiego. Dodatkowo, badania procesów stabilnych na fraktalach zaowocowały doktoratem A. Stósa, napisanym również pod opieką T. Byczkowskiego. Wyniki otrzymane w teorii potencjału Riesza dały punkt wyjścia do dalszych badań. Bardzo ważnym wątkiem okazała się teoria potencjału na przestrzeniach hiperbolicznych. Ruch Browna na przestrzeni hiperbolicznej jest dyfuzją, która nie jest jednostajnie eliptyczna. Powoduje to wiele trudności technicznych i nie można do tych badań stosować ogólnych metod związanych z teorią jednostajnie eliptycznych dyfuzji. Dodatkowo, głównym celem badawczym prof. T. Byczkowskiego stało sie poszukiwanie zamknietych formuł na obiekty hiperbolicznej teorii potencjału takie, jak jądro Poissona i funkcja Greena. Prowadzi to do niezmiernie skomplikowanych rozważań analityczno-algebraicznych dotyczących funkcji specjalnych Bessela, McDonalda, Mathieu i innych. Graniczy z cudem niezwykły sukces tego programu i znaczna liczba jawnych lub półjawnych wzorów otrzymanych w tej teorii. 2

3 Referat na ten temat prof. T. Byczkowski wyglosił niedawno na UMK w Toruniu, i ta tematyka jest jedną z ciekawszych w polskiej probabilistyce i analizie. Serię artykułów na ten temat rozpoczyna praca [45], w której podano wzory na jądro Poissona kuli w d-wymiarowym dysku hiperbolicznym D d. Metody używane w pracy są bardzo zaawansowane i wykorzystują teorię funkcji specjalnych. Kolejne prace z tego cyklu dotyczą modelu pólprzestrzeni hiperbolicznej H d. W przełomowej pracy [46] przeprowadzono wszechstronną analizę jądra Poissona dla podprzestrzeni przestrzeni H d. Uzyskano szereg reprezentacji całkowych i wykorzystano je do efektywnego zbadania wielu własności asymptotycznych jądra Poissona. Praca ta jest pięknym przykładem zastosowania analizy zespolonej wraz z teorią funkcji specjalnych - w tym przypadku funkcji Bessela. Prace [43] oraz [50] zasadniczo kontynuują tematykę teorii potencjału dla hiperbolicznego ruchu Browna. Uzyskano w nich pewne uogólnienia poprzednich wyników. Miedzy innymi, zbadano rozkład pewnych funkcjonałów wykładniczych oraz uzyskano wzory na λ-jądra Poissona oraz λ-funkcje Greena dla kul i podprzestrzeni. Drugim obszarem bieżących zainteresowań prof. Byczkowskiego jest teoria potencjału relatywistycznych procesów stabilnych. Procesy te maja głęboki związek z relatywistyczną fizyką, ponieważ ich generatory (dla indeksu stabilności równego 1) są hamiltonianami dla cząstki relatywistycznej. Ponadto, procesy te mają związek z potencjałami Bessela wykorzystywanymi w teorii przestrzeni aproksymacyjnych. W pracy [47] znaleziono jawne wzory opisujące jądro Poissona oraz funkcję Greena dla półprzestrzeni, dla potencjału Bessela, za pomocą metod analitycznych (transformata Fouriera oraz analiza zespolona). W pracy [49] do uzyskania i rozszerzenia tych wyników zastosowano metody probabilistyczne. Wykorzystano fakt, że szeroka klasa procesów skokowych, zawierająca izotropowe procesy stabilne oraz relatywistyczne, powstaje jako ślad dyfuzji na podprzestrzeni mniejszego wymiaru. W rezultacie otrzymano wiele wzorów w terminach funkcji specjalnych opisujących rozkłady trafienia procesów stabilnych i relatywistycznych. W pracy [44] zastosowano otrzymane w [47] wzory do analizy funkcjonałów wykładniczych dla procesów relatywistycznych. Cieszy rozwój tej tematyki ponieważ w ten sposób powstaje w Polsce silna szkoła rachunku stochastycznego, potężnej ale i trudnej metody matematycznej stanowiącej pewne rozwinięcie klasycznego rachunku różniczkowo-całkowego. Podsumowując tę cześć działalności naukowej prof. Byczkowskiego należy podkreślić, że zagadnienie otrzymania wzorów dla jądra Poissona oraz funkcji Greena ma kluczowe znaczenie dla teorii potencjału rozpatrywanych proce- 3

4 sów i operatorów (z brzegowymi warunkami Dirichleta). Są to zagadnienia zwykle bardzo skomplikowane, i oprócz ruchu Browna oraz izotropowego procesu stabilnego w zasadzie jawnych wzorów do tej pory nie znano. Większość omówionych prac została opublikowana w czasopismach o bardzo wysokim prestiżu naukowym. Ponadto, wyniki te miały stymulujący wpływ na działalność i karierę naukową członków zespołu prof. Byczkowskiego, m.in. dr. hab. M. Ryznara i dr. T. Żaka, który jest w przededniu kokolwium habilitacyjnego. Są one dowodem na poparcie tezy, że problemy trudne do rozwiązania warto atakować. Działalność naukowa profesora T. Byczkowskiego, założone i prowadzone przez niego od ponad 30 lat seminarium oraz proponowanie kolejnych aktualnych i ważnych tematów badawczych, doprowadziły do powstania w Instytucie Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej niezwykle i prężnie rozwijającego się zespołu badawczego, znanego i docenianego w świecie. O szacunku dla dokonań zespołu świadczą wielokrotne zaproszenia uczestników seminarium do wygłoszenia referatów plenarnych na międzynarodowych konferencjach oraz częste zagraniczne wyjazdy naukowe członków zespołu. Dwóch uczniów profesora P. Graczyk i A. Stós pracuje obecnie na uniwersytetach we Francji, przy czym obaj czynnie współpracują z zespołem prof. T. Byczkowskiego. Wrocławscy członkowie zespołu rozszerzają coraz bardziej tematykę seminarium, wspólnie z wieloma czołowymi ośrodkami matematycznymi na świecie, m.in. współpracują z R. Bañuelosem z Purdue University (West Lafayette, USA), N. Kuzniecowem z Rosyjskiej Akademii Nauk w Sankt Petersburgu, K. Burdzym z University of Washington (Seattle, USA), P. Kimem z Seoul National University (Seul, Korea Południowa), R. Schillingiem z Technishe Universitaat Drezden (Drezno, Niemcy), N. Jacobem z University of Swansea (Swansea, Wielka Brytania). Rozwija sie także współpraca naukowa z Instytutem Matematycznym Uniwersytetu Wrocławskiego, m.in. z prof. E. Damek, dr. hab J. Dziubańskim i dr. hab. J. Zienkiewiczem. Struktura zespołu prof. T. Byczkowskiego jest wzorowa, obok 2 profesorów tytularnych (dodatkowo P. Graczyk ma tytuł profesorski), jest 2 doktorów habilitowanych z perspektywami na tytuł naukowy w najbliższym czasie, ok. 5 doktorów z bliską perspektywą habilitacji, kilku aktywnie pracujących doktorantów i kilku studentów. Jest to m. in. efekt organicznej pracy dydaktycznej prowadzonej przez członków zespołu ze studentami, począwszy od pierwszych lat studiów. T. Byczkowski jest aktywnym członkiem Rady Naukowej Instytutu Matematyki i Informatyki, współuczestniczącym w ustalaniu polityki i kierunków 4

5 rozwoju i współpracy dla macierzystej instytucji. Prof. T. Byczkowski należy do komitetów redakcyjnych Probability and Mathematical Statistics, wrocławskiego czasopisma matematycznego założonego przez prof. K. Urbanika, oraz Colloquium Mathematicum. Profesor Tomasz Byczkowski jest aktywnym członkiem zespołu matematyków oceniającego wnioski o granty MNiSW... Działalność prof. Byczkowskiego i jego zespołu jest doceniania w skali ogólnopolskiej i jest postrzegana... 5