Rozwiązania zadań z ksiąŝki pt. Podstawy matematyki ubezpieczeń na Ŝycie T.Rolskiego, B.Błaszczyszyna (dodatkowo teoria)

Transkrypt

1 Jab Grabow Rozwązaa zaań z ąŝ Poawy aeay bezeczeń a Ŝyce TRoego, BBłazczyzya oaowo eora Raor echczy r 8 Kaery Sayy Wrocław 8

2 Coyrgh by Jab Grabow a Dearae of Sac Wrocław 8

3 S reśc Rozzał Teora z aeay bezeczeń a Ŝyce Rozzał Rozwązae zaaa z rozzał : Eeey aeay faowej 7 Rozzał Rozwązae zaaa z rozzał : Tabce rwaa Ŝyca 8 Rozzał Rozwązae zaaa z rozzał : Ubezeczea a Ŝyce 8 Rozzał 5 Rozwązae zaaa z rozzał 5: Rey Ŝycowe 7 Rozzał 6 Rozwązae zaaa z rozzał 6: Sła rezerwy eo 89 Rozzał 7 Rozwązae zaaa z rozzał 7: Sła rezerwy w rayce aaraej Rozzał 8 Rozwązae zaaa z rozzał 8: Ubezeczea a we oób 6 Rozzał 9 Rozwązae zaaa z rozzał 9: Ubezeczea weoocyje Lerara 5

4 Rozzał Teora z aeay bezeczeń a Ŝyce Orócz rozwązaych zaań, ejzy raor zoał rozzerzoy o eeey eor, óra ława zrozee eoreyczych aeów aeay bezeczeń a Ŝyce W częśc ej oae ą owoy eórych wzorów, ch właośc, óre w erarze zwązaej z aą eayą zwye oawae ą bez wyjaśeń W ejzy raorce oowaa je erooga zarooowaa w Raorce Techczy Kaery Sayy r 8 [] Maowce eywość,a e aęŝee czy ła, a aŝe warość aaa zaa warośc obecej Przy rozwązywa eórych zaań orzyao z aych zawarych w abcach rwaa Ŝyca zawarych w ąŝce Zazwyczaj bęą wyae yo oree warośc orzebe o rozwązaa zaań Po oyczy roozycj bowy za aaych warośc wóch re Neończoa rea aejąca z góry, w órej łaośc aęją razy w ro, ae e ą ałe, yo aeją razy w ro załaay, Ŝe ze ając czbę całową, Ŝe, ą czba całowy Ozaczy aą reę rzez D a Wyoość łaośc ch cza rzeawy w abe: Tabea Cza / /-/ / // /-/ / // /-/ I Gze > / / / Płaośc Porajy ą reę jao cąg re ałych, gze erwza łaość / je ooywaa w oree o o /-/ rga Płaość / w oree / o /-/ Koeje warośc aae ozw re ałych, łaych o /, / wyozą: W,

5 5 W, W, W, I Wać, Ŝe: W W W a D Poawając, za W,, warośc obczoe wyŝej, orzyjey: a D Poowjąc, wzór a eończoą reę aejącą z góry, w órej łaośc aęją razy w ro, ae e ą ałe, yo aeją razy w ro załaay, Ŝe ze ając czbę całową, Ŝe, ą czba całowy, wyo: D a Da orzyjey: a D Je o eończoa rea aejąca z góry, w órej łaośc aeją owo rorocze o

6 6 Neończoa rea aejąca z oł, w órej łaośc aęją razy w ro, ae e ą ałe, yo aeją razy w ro załaay, Ŝe ze ając czbę całową, Ŝe, ą czba całowy Ozaczy aą reę rzez a D Wyoość łaośc ch cza rzeawy w abe: Tabea Cza Płaośc / /-/ / // /-/ / // /-/ / I / / / Gze > Porajy ą reę jao cąg re ałych, gze erwza łaość / je ooywaa w oree o / o / rga Płaość / w oree // o / Koeje warośc aae W re ałych, łaych o /, / wyozą: W,, W, W, W, I Wać, Ŝe: W W W a D

7 7 Poawając, za W,, warośc obczoe wyŝej, orzyjey: a D Poowjąc, wzór a eończoą reę aejącą z oł, w órej łaośc aęją razy w ro, ae e ą ałe, yo aeją razy w ro załaay, Ŝe ze ając czbę całową, Ŝe, ą czba całowy, wyo: D a Da orzyjey: Da Je o eończoa rea aejąca z oł, w órej łaośc aeją owo rorocze o Woe: Zazey zaeŝość ęzy woa oay rea: a D a D Da orzyjey: Da a D Zachoz rówość [ ] F e µ, a Dowó: [ ] µ

8 µ [ ] e [ ] µ o Zachozą aęjące rówośc a aayczych raw śereośc : Prawo e More a De More oował ee ayaego we jeo ω a Rozła T ał być wey jeoajy a rzezałe [,ω ] Zachozą wey aęjące wzory: -, ω ω Dowó: a Da rozła jeoajego F, a b May: b a - µ ω Pr T > F ω ω Dowó: ' µ ω ω ω - ω Dowó: ω ω ω Prawo Goerza goerz oował, Ŝe eywość zgoów je wyłacza oac µ Bc a >, gze B>, c> ą ewy ały Zachozą wey aęjące wzory: B - e c, gze c Dowó: e e B e Bc c c c 8

9 - e c c Dowó: c Bc B c c e e e c Prawo Maehaa Maeha oował,ŝe eywość zgoów je wyłacza, owęzoe o ewą ałą, óra a erreację wyaowej eywośc zgoów Zachozą wey aęjące wzory: B - e c, c Dowó: e e B Bc c c - c c e e c Dowó: e Bc e [ ] B c c B c B c c c e c c e Prawo WebaWeb załaał, Ŝe eywość zgoó rośe ja ewa oęga : µ, a, gze >, > Zachozą wey aęjące wzory: - e, gze Dowó: - e e e, gze Dowó: e e e 9

10 Zachoz rówość Dowó: K K K K K K K K Pr Pr Pr Pr Pr Pr [ ] K K Pr Sełoa je hoeza agregacj jeś K K K Pr Pr, a całowego, węzego o zera Przy hoeze agregacj H : [ ] 5 Nech ay bęze rozła K Wówcza rozła T eła HB wey yo wey, gy zachoz w óry,, : [ ] [ ] [ ] Dowó: Waoo, Ŝe [ ], ą o rzezałce ay [ ] Waoo aŝe, Ŝe [ ], ą orzyjey [ ] MoŜey eraz zaać: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Orzyaśy : [ ] Przezałćy ją aej : [ ] [ ] Wey, Ŝe rzy HB [ ] [ ] Daego:

11 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 6 Rozła T eła hoezę jeoajośc HU, jeś fcja Pr T > zeej je cągła owa w rzezałach [,, Zae je fcją cągłą łączącą oeje y,, a -,, czy Przy załoŝe hoezy jeoajośc HU zachozą rówośc: [ ], a <,, Zaąśy za za by rozwązae było barzej czyee Dowó: Waoo, Ŝe Przy HU Zazey : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] / / [ ] µ,a <,, Dowó: Przy HU Weząc,Ŝe ay: [ ] µ ZawaŜy, Ŝe rzy załoŝe HU oŝa zaać:

12 [ ] [ ] [ ], a < Dowó: Lewa roa rówaa wyraŝa aęjące rawooobeńwo: [ ] T < Pr Prawą roę rówaa aeŝy zerreować jao: Pr < T < Pr T < Pr T T < Pr < Pr T [ ] [ ] [ ] Waoo, Ŝe rzy HU ay, aego rawą roę oŝey zaać: Pr < T < Pr T [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 7 I : : : I Uwaga: wzór e zoał źe zaay w rzerabaej ąŝce W ąŝce je zaae błęe w aejący oób I :, owo być I : co je rówowaŝe z : : Dowó : [ ] [ ] [ ] [ ] I

13 Dowó : Przeawy : I za oocą ry: Ta a rye orzyay a Rozzy : I : [ ] [ ] [ ] : I : : 8 Przy załoŝe hoezy HU ay zaeŝość: δ Dowó: Uwaga: w owoze zawary w ąŝce je błą, oewaŝ w cała owa być zaaa [ ] e δ Uowoy ay wzór w y oób Ŝ wazay w ąŝce: E E E δ og [ ] [ ] o [ ] [ ] [ ] -

14 9 Day je wzór Dowó: [ ] [ ] j j j j Sełoa je hoezy jeoroej oacj HJP jeś T T T Pr Pr, a, węzego o zera Przy załoŝe hoezy jeoroej oacj HJP ay : z z z z z z z z µ δ µ δ µ Dowó: I I µ µ µ Wyzaczyy ozczegóe łaowe I I Najerw obczyy : y y y y µ µ µ µ e Czy I wyo: I µ µ µ µ µ µ I wyzaczyy orzyając z całowaa rzez częśc:

15 5 I µ µ µ µ δ µ Wyjaśy jezcze ja orzyaśy µ δ : µ µ µ µ µ µ δ µ δ Oaecze ay: z z z z z z z z µ δ µ δ µ Przy H Zachoz rówość Dowó : [ ] Przy H Zachoz rówość I I Dowó: [ ] I [ ] j j j j j

16 6 j j j j j j j j I Przy HU zachoz rówość [ ], a < Dowó: Ogóe zazey [ ] : [ ] [ ] [ ] ZawaŜy, Ŝe rzy załoŝe HU oŝa zaać: [ ] [ ] [ ] Dowó właośc oaej owyŝej zajje ę w ce 6 Dzę ej właośc, a aŝe rówa [ ], oŝey [ ] zaać w aęjący oób: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Paęając, Ŝe rzy HU zając wzory a jeorazowe ła eo JSN bezeczeń łaych a oec ore śerc, [ ] zazey oaecze : [ ]

17 Rozzał Rozwązae zaaa z rozzał : Eeey aeay faowej Zaae W cąg 5 a ooao wła/wyła wełg abe: Obczyć warość aaą zaowaą ych wła, gy % Rozwązae Korzyay ze wzorów zwązaych z rzeływe eąza, gze: - właa w ro ;,,, B - wyłaa w ro, C G S B, j j j C C j Ro 5 Właa - - warość aaa rzeływ eąza, j j - zaowaa warość rzeływ eąza W zaa rzeba obczyć G 5 S 5 Porzeby o ego je czy yoa, óry rówa ę, 96 Korzyając z aych zawarych w abe aej w zaa, orzyjey: 5 G,96,96,96,96,, 5 5 S,,,, 5,7 5 Zaae Obczyć zaowae warośc o rzech aach a rzeływów eąza, B C wełg abe Wara C C C B C Przerowazć owó, Ŝe obczae aaych zaowaych warośc rowaz o ego aego orząowaa Do obczeń rzyjąć 6% Rozwązae Zaowae warośc ą rówe ooweo o aach: - a wara : S,6,6,6 69, 9, 7

18 - a wara B: S,6,6,6 7,, - a wara C: S,6,6,6 7, 5 Warośc aae ą rówe a, 9 :,6 - a wara : G,9,9 9,, - a wara B: G,9,9, 596, - a wara C: G,9,9, 76 Obczee aaych zaowaych warośc a ozczegóych waraów rowaz o ego aego wo W rozaryway rzya ajezy je wara C Zaae Obczyć warość aaą W aęjącego rzeływ eąza: w aach arzyych,, włay w wyoośc, w aach earzyych,, włay w wyoośc ½ Zaać owyŝzą warość aaą rzy Ŝyc ybo rey bezerowej oraz czya yoa Rozarzyy rzeływ eąza z, ae w oree a, j gy,, Obczyć zaowaą warość ZW o wóch aach Rozwązae W- warość aaa W,5,5,5 ZW- zaowaa warość,5 5 a,5 ZW,5,5,5 Zaae Obczyć efeywą oę roceową, jeś oa oaa wyo 5% oraz: aazacja je waraa, aazacja je ółrocza, aazacja je cągła Rozwązae Noaa oa roceowa wyo 5 % 5 8

19 ,5,595 5,95%,5,565 5,65% δ,5 e e,57 5,7% Zaae 5 Przyśćy, Ŝe łaay eąze w ba, gy eywość oy roceowej δ,5 Po ja oree owoy az wła? jeś eywość oy roceowej wyo δ,? Załaay oe aazacj cągłej, Rozwązae Wzór a aazacja cągłej je aęjący: e δ Gze: - - aał w oree, - - aał w oree aał ocząowy, - δ - eywość oy roceowej δ co, - - ore W zaa δ, 5 Kaał zoae owojoy jeś, oawając o wzor ay : JeŜe δ, o 6, 9,,5 e,5 e,5,86,5 Ooweź: Przy δ, 5 aał zoae owojoy o oree, 86 Załaając, Ŝe ore oyczy a o aał zoae owojoy o ooło aach Da δ, o 7 aach 9

20 Zaae 6 Przeływy eąza ewej weycj ą aęjące: ro ro ro ro ro Czy a weycja je ołacaa a ogoś, o oŝe oŝyczać ozczęzać rzy roczej oe roceowej 6%? Zaeźć warość graczą oy roceowej, rzy órej a weycja rzeaje być ołacaa Wazówa Trzeba rawzć, czy warość aaa ej weycj je oaa Rozwązae Obczyy warość aaą W ego rzeływ eąza: 6 5 W 5 5,7,6,6,6,6 Ooweź: Iweycja a e je ołacaa, oewaŝ warość aaa je jea wazówa: wy aego rzeływ eęŝego ajeej obczać za oocą aaora faowego b rogra oerowego Ece Zaae 7 Z ył rey bezerowej ooywae ą aęjące łaośc: - a ońc erwzego ro óźej co aa, - a ońc erwzego ro óźej co aa, - 5 a ońc erwzego ro óźej co aa, - 7 a ońc erwzego ro óźej co aa Soa roceowa wyo 5 % Zaeźć warość aaą rey- oać ajbŝzą warość Ooweź 7,5, B 7,68, C 76,58, D 77,56, E 8, Rozwązae W- warość aaa W W zaa 5%, czy, Poawając o wzor a W warość,5,95895 orzyjey W 77, 5699 Orzyaa warość ajbŝza je warość 77,56 Prawłowa ooweź o D

21 Zaae 8 Ba rooje aęjący ora Ooba 55-ea właca rzez a łaę roczą Π z góry aęe o 65 ro Ŝyca orzyje roczą reę bezerową w wyoośc Zaeźć Π, jeś Π je łaą eo, z obczoą rzy war, Ŝe warość aaa całego rzeływ wyo Przyjąć 5% Rozwązae W zaa ay rzeływ eąza : Π, Π,, Π,,, Π, B,, B, B,, 9 B Gze o właa, a B o wyłaa a, Załaay, Ŝe rocza rea bezerowa je łaa z góry Obczay warość aaą W ego rzeływ eąza : Zgoe z reścą zaaa W Z ego rówaa wyzaczyy Π : 9 j j j W Π, czy 9 j j j Π j j 9 Poawając Π 9, Π, Π, Π bo e oŝe być rówe orzyjey Π, 5,5,5 Ooweź: Szaa łaa eo Π rówa ę,5 Zaae 9 Przewjąc ałą oę facj %, aoo, Ŝe jeorazowa łaa łg j o wóch aach wyee 9 j Reaa rocza oa oz łg wyoła : 5,8%, jeś ozo facj był zgoy z rzewywaa;,%, jeś w erwzy ro oa facj wyoła %, a w rg 8%; 9,%, jeś śrea rocza oa facj wyoła 6% Prawzwe ą jeye :, B, C, D, E Ŝae Wazówa W rzya wyęowaa facj wzee obczea aeŝy rowazć w zw ały eąz MoŜa węc woę warą oae R w chw wyrazć w aay eąz ołgjąc ę zaeŝoścą

22 ~ R R, Gze f je oą facj Wówcza R ~ je reaą waroścą w chw woy oaej R, wyraŝoą w ały eąz Rozwązae Korzyając z wzor f wyraŝoą w ały eąz obczay : ~ 9 f ~ R R a reaą warość R ~ w chw woy oaej R, R 7,65, Czy 7, 65 oa oz łg, ą,98% gze o reaa rocza ~ 9 R,67 Czy, 67,,8 ~ 9 R 9,68 Czy 9, 68,6,6, ą,%, ą 9,% Ooweź: B Zaae Przez, >, ozaczoo roczą oaą oę roceową z -roą aazacją oee w cąg ro, rzez ef ozaczoo oowaającą jej oę efeywą, zaś rzez c rówowaŝą oę oroceowaa cągłego eywość oy roceowej Jeś >, o < ef, Jeś > oraz o c < c, Jeś ef ef o c c, o Jeś ef ef c Prawzwe ą jeye:, B, C, D Ŝae, E wzye Rozwązae W zaa orzyać bęzey z rówośc Prawa, ef e c Dowó: Sorzyay ze wzor Newoa : a b a a b a b b

23 May: ef > Są orzyjey, Ŝe ef > a > Nerawa, Ŝe jeś > oraz o c < c Dowó: Korrzyła Nech, oraz, wey:, e c, e c,7 e c,5 e c Prawa, Ŝe jeś ef c,99578 > c, 9758 ef o c c Dowó: Wey, Ŝe e c e c Korzyając z załoŝea ef ef ef, ay ef c c e e, a o je rówe c Nerawa, Ŝe jeś o ef ef Dowó: Korrzyła Korzyając z Czy c c ef Ooweź: Prawłowa ooweź o C c ef c c jeŝe, c,95 ef o: Zaae Doojey a rzea w oęach -ygoowych wła wyła w wyoośc o/z fz erwzą oeracją je w chw obecej właa Po aach owaa warość aał zgroazoego w fz wyo 5 wzgęay oaą właę a oec rgego ro Zaeźć roczą efey6wą oę oroceowaa fz Poać ajbŝzą warość ro eęcy8 ygo Ooweź ooweź e je jeozacza, B %, C %, D 5%, E 6% Rozwązae Porajy jao -ygową oę roceową załóŝy, Ŝe ygoe o oawowa jeoowa cza, aby bazować a czbach całowych Szaa oa roceowa bęze rówowaŝa azej -ygoowej oe roceowej

24 May ZW [ ] [ 9 9 ] Waoo z reśc zaaa, Ŝe ZW5 Wyaczyy : 5 5,5, 5 5 Obczyy zaą oę ef za oocą rówośc: Są orzyjey,5 5% Ooweź: D ef ef Zaae Iwejey aał rówy w fz oroceoway w oób cągły z roczą eywoścą oroceowaa w -y ro rówą δ Zaeźć wzye warośc δ ae, Ŝe oe zaowae a oec ąego ro wyarczą o zaea rey cągłej 5-eej z roczą eywoścą łaośc w oece rówą 5 δ, rzy roczej eywośc oroceowaa δ Ooweź δ og5 / 5, B δ og5 / 5, C δ og5 / 5, D δ b δ og5 / 5, E Ŝaa z owyŝzych Rozwązae Z warów zaaa orzyjey, Ŝe e 5δ Ooweź: E e 5δ 5δ e δ e δ e5δ 5δ δ 5 e 5δ 5e 5δ 5e δ 5 δ 5 5δ 5 δ δ δ 5 5 a 5

25 Zaae Kóre z oŝzych oŝaośc ą rawzwe:,, 6 8 I, 7 8 Ooweź yo, B yo, C yo, Dyo, E Ŝaa ośró oowez, B, C, D e je rawzwa Rozwązae Sorzyay z rówośc a May: a a a ToŜaość erawzwa Sorzyay z wzor 6 Soowo rozwąŝey aa oŝaość: 6 6 5

26 6 6 6 Są wać, Ŝe oŝaość je erawzwa, bo 6 a Waoo, Ŝe Ia oraz 8 I je rawzwa: a > I 8 I a7 7 Ia Srawzy czy oŝaość

27 ToŜaość je rawzwa JeŜe o oŝey zaać,ŝe: Czy aogcze Czy Zaojey e właośc o oreśea czy rawzwa je oŝaość: Przezałcay rówae o oac: Poaway orzyjąc: ToŜaość je rawzwa

28 Rozzał Rozwązae zaaa z rozzał : Tabce rwaa Ŝyca Zaae Przyjąć HU obczyć,5, weząc Ŝe 5, 6, 7, 7 ae ochozą z abcy Haeya- arz abca D z oa D z ąŝ Poawy aeay bezeczeń a Ŝyce TRoego, BBłazczyzya Rozwązae Przy hoeze jeoajośc HU ay : Zaae rozwązjey aęjąco:,5,5 [,5,5 ],5,5,5 Waoo aŝe, Ŝe, 5,5,5,5,979,5,956,8, 677 Zaae Przyzły cza Ŝyca ooby owo rozoej a rozła wyłaczy z araere, Obczyć: rawooobeńwo śerc e óźej Ŝ w 5 ro Ŝyca, rawooobeńwo oŝyca 8 a, rawooobeńwo śerc ęzy 5 a 8 roe Ŝyca Rozwązae JeŜe rzyzły cza Ŝyca a rozła wyłaczy o: λ, F λ e Dae je, 5 F 5 e, 6 5,8,8 e e, ,8, 5 e e, Zaae Weząc, Ŝe zachoz HCFM, zaeźć a oawe TTś-PL97 arz abca D:,5 56, µ 58, 75 Rozwązae Hoeza rzezała ałego aęŝea HCFM zachoz jeŝe zeej w rzezałach,,, czy µ [ ] je ałą fcją 8

29 JeŜe zachoz HCFM o µ µ [ ] [ ] [ ] May: 9759, ,5 57, 56 Przy załoŝe HCFM µ [ ] µ [ ] [ ], O µ <,, 59 µ 58,75 µ 58 58,9969,7 58 Zaae Na oawe TTś-PL97 abd obczyć,5 5 rzyjąć HU Rozwązae,5,5,5,5, , Zaae 5 Obczyć,,,, rzyjjąc, Ŝe rozła rwaa Ŝyca ooby owo rozoej oega raw Goerza z araera B,655 c,786 Porówać z abca TTś-PL97 abd Rozwązae JeŜe zachoz rawo Goerza o c c B,655 c,786 Obczay, 7 c,786 Poawając ae o wzor orzyjey: e Dae ą B,655,,7,786,786, 9996 e,,7,786,786, e,,7,786,786, e, 9

30 ,7,786,786, e W orówa warośc rawooobeńw zawarych w TTś-PL97 warośc rawooobeńw obczoych wg rawa Goerza róŝce ą ewee Zaae 6 Ozacować e, jeś cza Ŝyca je oay rzez TTś Haeya ab D Ja je oŝwy błą owooway rwae ę abc a 8, jeś rzyjjey, Ŝe ω? Rozwązae May e 99 Poawając ae z TTś Haeya orzyjey obczea wyoae w rograe Ece : 9 e,9 Z abc oczyjey, aego błą a 8,, 99 je ejzy Ŝ 5 /, 8 Zaae 7 Załaając, Ŝe eywość śereośc je ałą a 5 oraz e 5, obczyć 6 Rozwązae Z reśc zaaa waoo, Ŝe eywość śereośc je ała a 5 Wyzaczyy o e 5 w aęjący oób o e 5 o Waoo, Ŝe e 5 aego e Szae rawooobeńwo wyo Zaae 8 Zaeźć µ 65, 5 rzy załoŝe: µ e µ e µ µ ą ay, Ŝe µ µ 6 e µ e e o µ

31 HU, HCFM, HB, Jeś rozła obcęego cza Ŝyca je ay rzez TTś-PL97 ab D Rozwązae HU HB zoały wyjaśoe w rozzae ejzego oracowaa Naoa hoeza rzezała ałego aęŝea HCFM zachoz jeŝe rzezałach,,, czy µ µ [ ] [ ] [ ] µ je ałą fcją zeej w Przy załoŝe HU zachoz µ [ ] [ ], O µ <,, May: µ 65, ,5 65 [ ] [ ] 8599, , , Przy załoŝe HCFM µ [ ] µ [ ] [ ], O µ <,, May: 8886 µ 65,5 µ 65 65, Przy załoŝe HB µ [ ] [ ], O µ <,, May: [ ] µ ,5,8, ,75, Zaae 9 Zaeźć, jeś oraz: µ a µ a a b b Rozwązae Waoo, Ŝe oraz e Wyzaczyy w aęjący oób: µ Dae ą µ a e µ

32 a e a e Dae ą µ a a b b e µ e a a b b ab ab ab ab e ab ab ab a b ab ab ab ab e ab ab ab ab ab ab [ ab / ab ab ab ab ]^ a b a b a b Zaae Wyzaczyć , jeś, a Rozwązae Sorzyay z wzor Dae je Zaae Obczyć rawooobeńwo, Ŝe 7-ae rze ęzy 7,5 a 7,5 roe Ŝyca, jeś,, 5 7, 7 oraz zachoz :

33 HU, HB Rozwązae W zaa rzeba obczyć,5 7 Dae ą 7, 7, 5 Przy za załoŝe HU zachoz rawooobeńwo:,5 7 5,57,57,5 7,57,57 7, 7 Obczay zae,5,5,5,5,,5,, Przy za załoŝe HB zachoz zae rawooobeńwo: Obczay,5 7 5,57,57,5 7,57,57 7, 7,5,5,5 7,5, , Zaae Obczyć e oraz e o, gy: T a rozła wyłaczy z araere µ, T eła rawo e More a Rozwązae o Zae ą wzory e oraz e JeŜe T a rozła wyłaczy z araere µ o e µ May o e e µ e µ [ ] µ, µ e µ e e µ e µ e µ Jeś T eła rawo e More a o o ω e e ω ω [ ] ω ω oraz ω May ω βω ω ω ω, ω ω ω ω ω ω

34 Zaae Obczyć,5 56, 56, 5 56, 5, załaając, Ŝe rawo Ŝyca je oae rze TTś-PL97 ab D oraz: HU, HCFM, Zaoberwować ewee róŝce wyów obczoych rzy róŝych hoezach Rozwązae Korzyając z załoŝea HU obczay ojąc oowee wzory ozae we wcześejzych zaaach: ,5 56,5 56,5,5, 989, 56 97, , , , ,5,5,5, , , , ,5 98, , ,5 56,5 56,5,5, ,5, ,5 56,5, ,5 56,5, , ,5, ,5, , ,5,5, ,5 97 Korzyając z załoŝea HCFM obczay :,5,,5, , , 5 -, ,5, ,5, 9869,5, 5,5, ,5, -

35 56,5,5,5 56, ,556,5, 5,5 56, , , , ,5, , ,5,7555 Zaae Nech µ, 56 oraz µ, 678 T eła rawo Goerza Obczyć 5 Rozwązae B W rawe Goerza e c c Korzyając z aych zawarych w c zaa obczyy c B,a oe wyzaczyy zae rawooobeńwo May ae,56 µ, 56 Bc µ, 678 Bc W erwzej rówośc B, c,678 w rgej rówośc B Wyzaczyy c : c,56,678 c c c,9,678 Poawając c,9 o rówaa B orzyjey B, c Mając wzye orzebe ae obczyy zae rawooobeńwo: 5 5,9,9, 87669, 5 e,9 Zaae 5 Korzyając z abc TTś-PL97 ab D, oać ozacowae a 58, oraz Uzaać z jach hoez aeŝy orzyać, 58,,

36 Rozwązae Do rozwązaa zaaa aeŝy orzyać z hoez eroacyjych Sorzyajy z HCFM Korzyając ze zaych wzorów aych z TTś-PL97 zazey: , Czy: 58 58,99 Oczyjąc z abcy ozacjey : 58,99, Mając ae 777 oŝey ozacować 58 : 58 Poobe oęjey zacjąc Są ay : : 58 58, , , ,

37 58, Szae rawooobeńwa ozacjey w aęjący oób rzy załoŝe HCFM: , , , 856 Waoo, Ŝe Korzyając z warośc ozacowaych wcześej ay: , Zaae 6 Uzaać aczego oŝa Ŝywać rzybŝea µ ZałoŜyć HCFM Rozwązae Przy HCFM zachoz µ [ ] µ [ ] [ ], <,, PoewaŜ je be zer, aego oŝa zaać µ Zaae 7 Uzełć aęjącą abcę rwaa Ŝyca rzy załoŝe HU, weząc, Ŝe, 99969,, : 98587,5,5 7

38 Rozwązae 98587, , Dae je, Są,99969, Wyzaczy, 5 Waoo, Ŝe :,5,5 Czy,5,5 je ae rówe My wyzaczyć :,5,5 Poawając o wzor wyzaczay, 5 : Dae je, Wyzaczy :,5,5,, , ,5, , Przy HU ay,5,5,, 9998 Wyzaczy, 5 :,5, ,5,5 Dae je, Są,, Wyzaczy : 98566,

39 Zaae 8 Na oawe oaej abe rzy załoŝe HU obczyć 5 5 5, ,,,,,,, Rozwązae Korzyając z aych zawarych w abe obczay:, Waoo, Ŝe rzy HU,, May: 5, 5 5, , ,7, ,7, 9 Korzyając z aych zawarych w abe obczay: 5,, Zaae 9 Obczyć e o ab D Rozwązae a 7 ; orzyać z oy zawerającej z abcy TTś-PL97 o Sorzyay ze wzor e e, gze Korzyając z aych z abcy załoŝea ae z abcy, orzyjey o o e e, zę óre oŝey wyorzyać o o 7,66667 e 7 7 e8,66667,667 9

40 Zaae Korzyając z abc TTś-PL97 abd oraz TTś-PL97 ab D, obczyć,5 55 oraz,5 55 Rozwązae Przy załoŝe HU:,5,5,5, ,5 55,55,5 5,5 5,5,5, , Da TTZ-PL97 : ,5 55,5,5, 9, ,5 55,5,5, Da TTZ-PL97 : ,5 55,5,5, 7866, ,5 55,5,5, Zaae W oacj eywość zgoów je aa wzore µ a <, B a w oacj B wzore µ a <, gze je araere Waoo oao, Ŝe oob z oacj ają rze obą rzecęe o % węcej Ŝyca, Ŝ oob z B w y ay we Wówcza:,, B,5, C,, D,, E Ŝaa z owyŝzych Rozwązae W reśc zaaa ay oaową forację, Ŝe oob z oacj ają rze obą rzecęe o % węcej Ŝyca, Ŝ oob z B w y ay we Wyorzyjąc ą forację y zać warośc oczewae ob oacj by obczyć e o y zać rawooobeńwa, Ŝe -ae rzeŝyje węcej Ŝ a ZałóŜy hoezę jeoroej oacj HJP czy Pr T > Pr T > T >, a órej e µ

41 Da oacj B: e µ e e[ ] e[ ] e Ware < ozacza, Ŝe góra graca całowaa we wzorze a warość oczewaą wyo - Czy a oacj B warość oczewaa wyo: e o B [ ] B Jeś o eywość µ je rówa µ Da oacj warość oczewaa wyo o e Oaecze ay Są, o e o B,e, Ooweź: C Zaae Ieywość zgoów oje fcja µ be, gze araer b> Da jaej warośc araer b rawooobeńwo ego,ŝe -ae rzeŝyje aęych a, o czy rze w cąg oejych 5 a, wyo r, oraz rawooobeńwo r Ooweź 5/ e5 e, B 5/ e5 e, C 5 / e5 e, D 5 / e5 e, E 5 /e5 e Rozwązae Z reśc zaaa waoo, Ŝe r 5r 5 Korzyając z wzor wyzaczyy W azy rzya ay 5 5 Poawając r 5r 5 orzyjey 5 5 ą ay

42 Wyzaczyy zae b weząc, Ŝe e µ µ be 5 May 5 e µ e b e e b ee5 Wawając 5 o owyŝzego rówaa wyczay b : 5 e b ee5 5 5 Są orzyjey b e5 e Ooweź: E Zaae Ieywość zgoów oje fcja µ / Obczyć rawooobeńwo ego,ŝe ooba w we 5 a rze ęzy rzyzey ąy a czerzey ąy roe Ŝyca Ooweź e / e8, B e 5 / e8, C e 6 / e8, D e / e9, E e 5 / e9 Rozwązae Trzeba obczyć Pr < T5 5 5 Sorzyajy z ego, Ŝe µ [ ] Z owyŝzej rówośc wyrowazay w aęjący oób : µ [ ] µ e µ [ ] [ ] e Czy 5 5 Pr < T5 5 5 e e 5 9 e e e e e e Ooweź: D

43 Zaae W aej oacj śereoścą rząz rawo e More a z wee graczy ω O we waoo, Ŝe ooby w y we erają w cąg oby wa razy rzazej Ŝ ooby wroe arze Obczyć rawooobeńwo, Ŝe ooba w we oŝyje we Ooweź /, B /, C /, D /, E / Rozwązae W rawe e More a µ a ω ω ω Trzeba obczyć rawooobeńwo, Ŝe ooba w we oŝyje we, czy ω ω ω ω ω ω ω ω ω by obczyćω, orzyay z ego, Ŝe o we waoo, Ŝe ooby w y we erają w cąg oby wa razy rzazej Ŝ ooby wroe arze µ µ ω ω Po roych rachach orzyjey ω Poawającω o wzor a orzyay: Ooweź: C Zaae 5 Jaa je oczewaa czba oób z oacj oa 5-aów, óre rą o ończe 6 a eęcy Ŝyca rze ończee 7 a 8 eęcy? Przyjjey załoŝee Baccego, oyczące eraośc w oreach łaowych Dae ą róweŝ:, 5, Przyjąć,Ŝe eąc o / ro Poać ajbŝzą warość Ooweź 99, B 99, C 995, D 9966, E 9976 Rozwązae JeŜe je ełoa hoeza Baccego HB o zachoz aęjący wzór: [ ] [ ] Przezałćy ae z zaaa o oowech zeych jęych we wzorze wyŝej:

44 ,997, ,99,,99 Oczewaa czba oób z oacj oa 5-aów, óre rą o ończe 6 a eęcy Ŝyca rze ończee 7 a 8 eęcy, zoae obczoa w aęjący oób: [5] 6 6 [5] [5] [5] 6 [5] [5] [5] ,99,99 6,997,997,99 99,99,99,99 [5] Ooweź: B Zaae 6 Kóry z oŝzych wzorów a E T - całowy we je rawzwy rzy załoŝe o ały aęŝe wyeraa oób z aego rocza µ, 5 ozacza ozo eywośc wyeraa w rzezae weowy,? E T, B E T, µ, 5 µ, 5 C E T og, D E T, µ, 5 µ, 5 E śae z owyŝzych wzorów e je rawzwy Rozwązae ZawaŜy, Ŝe zy HCFM µ [ ] µ [ ] [ ], a <,, Daego oŝey zaać w azy rzyłaze zaać µ [ ], 5 µ [ ] Szaa warośc wyo:

45 E T e µ µ, 5 e µ µ, 5 µ, 5 µ µ,5,5 e µ µ, 5 µ, 5 µ µ µ,5,5 µ, 5 Ooweź D Zaae 7 Wyzaczyć rawooobeńwo rzeŝyca rzez oobę 55-eą co ajej a, jeś aaogcze rawooobeńwo a ooby 5-eej wyo,8 oraz eywość zgoów oje fcja µ a > Ooweź,, B,6, C,8, D,8, E,9 Rozwązae Zay je wzór e µ Wyzaczyy 55, weząc Ŝe µ : e e 6 JeŜe waoo, Ŝe e e, 8 o zae rawooobeńwo wyo e 6 e,8, 6 Ooweź: B 55 5

46 Zaae 8 Na oawe abcy TTś-P97 zarojeować aęjące abce warae wyjaść eoę: We Lczba oŝywających 986 Lczba zarłych Przez ozaczay czbę -aów, órzy zar w rzecąg a Rozwązae We Lczba oŝywających Lczba zarłych Obczea zróby rzy załoŝe HCFM Z TTś-PL97 oczyjey, Przy HCFM zazey: Wyzaczy, 5 :,5,5,5,5,99977, ,5, ,5,5 Wyzaczy, 5 :,5, ,5,5 6

47 Wyzaczy, 75 :,75, ,75,75 Wyzaczy b oczyajy z TTś-PL97:, Zaae 9 Zaae rozwązae w oowezach o zaań 7

48 Rozzał Rozwązae zaaa z rozzał : Ubezeczea a Ŝyce Zaae Korzyając z TTś-PL97 abd oraz weząc, Ŝe, 8, obczyć obowązjącą oę roceową : Rozwązae Sorzyay z : May: :,8,8, ,8,86,596 Zaae Obczyć rg oe OW bezeczea Z erowego a aa a 65-aa a ę bezeczea, gy : Śereość arz TTś-PL97 abd, oa roceowa 5% Rozwązae Sorzyay z : [ ] Waoo, Ŝe rzy H [ ] May: 65: Z E Z E 65,8,5 5,9568,5, Zaae Obczyć a oawe TTś-PL97 oraz rzy: %, %, : Przerowazć owyŝze obczea róweŝ a oawe TTś-HLLEY ab D 8

49 Rozwązae Zazey :, 5, 9, 6 Z abc oczyjey Da % : : 6 5,557, 9, 9, 9 Da %: : 6 5,6859, 9, 9, 9 Da TTś-HLLEY : Obczyy ajerw,, Sorzyay ze wzor, ając ae 6, 7, 7, 7 May: , , - Poawając o wzor a - a %, 69699, : - a %, : wyczoe warośc orzyjey : : Zaae Obczyć waracje warośc aaej bezeczea erowego a aa a ę bezeczea, a -aa, a oawe TTś-PL97 oraz % Rozwązae Waoo, Ŝe Var E Z E Z Wyzaczy warośc oczewae a Z Z^ rzy Ŝyc aych w zaa TTś-PL97 9

50 E Z E, 9,,56 7, Naoa Z E E obczyy aęjąco: 6 9, Z E 8 8, 56,99 9 6, 6 9, Waracja wyo: Var E Z E Z 56,99 7,9 9656, Zaae 5 Nech a oraz 5%; obczyć I Załaay orzebe hoezy Rozwązae Waoo, Ŝe rzy załoŝe H [ ] Pr K Z reśc zaaa wya, Ŝe -ae e rzeŝyje węcej Ŝ a, czy ayae bęze Ŝył 6 a, oewaŝ, a Korzyając aych zawarych w zaa I wyo: I Pr K

51 Weząc, Ŝe 6,5,5 Orzyjey: I 5, 7 Zaae 6 Załaając rawo e More a rzeŝyca a -aa z ω, obczyc JSN a bezeczea a oŝyce : Przerowazć obczea a δ, 6 Rozwązae δ : : f : δ e e δ δ e JeŜe w zaa je załoŝoe rawo e More a ae je ω, o 96, oewaŝ w rawe y załoŝoe je ω 96 Daego aze rawooobeńwo zazey a 96-aa wyo oo zgoe z rawe e More a W azy rzya ω 96,5 Zazey: 96 δ e δ 96: e 96 δ,6 e e,6,6 96,668 Zaae 7 Obczyć rzy %, gy: : rzyzły cza Ŝyca je oary a TTś-PL97 abd, rzyzły cza Ŝyca je oary a TTś-HLLEY ab D Rozwązae Do obczea : orzebjey zać rozwązjey zaae: 9 : : : Oczyjąc ae z abc,6887 aogcze a TTś-HLLEY, yo oaway e ae z abcy 5

52 Zaae 8 Zaać za oocą fcj oacyjych JSN a oy a -aa, z órej wyłaca ę C a oec ro śerc o we 65 a, aoa C- gy śerć aąła o 65 ro Ŝyca Rozwązae C M M C D C C :5 :5 :5 D Zaae 9 Wyazać, Ŝe jeś rzyzły cza Ŝyca eła rawo Maehaa, o / a µ a, Gze je ałą ze wzor a rawo Maehaa oraz oe roceowej Rozwązae W zaa błą, oewaŝ owo być Bc µ, gze,7 <, µ < c May Bc Bc c a zaa / a je obczoe rzy ecjaej a Z rawa Maehaa waoo, Ŝe Bc Bc Gze je czye a ecjaej oe roceowej, a ecjaej oe roceowej c a / a µ / a je obczoe rzy ej Zaae Rozarzy aęjące bezeczee roące, w óry a bezeczea rośe oejo w rzezałach łgośc / o /, ocząwzy o / w rzezae [,/ Wyłaa je a oec ro śerc Wyazać,Ŝe JSN a ego bezeczea, rzy załoŝe HU, wyo I Rozwązae W azy rzya ay I T E / E T / I [ / ], T gze ozacza ajejzą czbę całową węzą bąź rówą Zaae Korzyając z TTś-PL97 ab D, zaeźć aroyacje a oraz roceowej % : rzy oe 5

53 Rozwązae Zae ą wzory 9 oraz : : δ δ δ δ Oaecze wy orzyjey oawając oeje warośc z abc o wzorów wyŝej Obczea oęo ze wzgę a ość aych z abcy, óre rzeba Ŝyć, a aŝe rooe rozwązaa Zaae Porfe łaa ę z o a Ŝyce -aów, z órych wyłaca ę jeoę Ja być zabezeczoy fz w chw, aby były oŝwe wyłay w ajbŝzy ro z rawooobeńwe,95; w cąg ro e wływają ła e berzey o wagę oy roceowej Sorzyać z abc TTś-PL97 abd Rozwązae W chw zaweraa owy o aŝej oy oberaa łaa Fz orfea a oczą je rówy e wływają ła w cąg ro Bęzey ozwać rozwązaa w oac h ε, gze ε je wółczye, o óry roorcjoae aeŝy zwęzyć łaę eo, aby zagwaraować wyłacaość z zaay rawooobeńwe je o zw Wółczy arz a ryzyo Naoa h o aa woa fz, óra aeŝy wyzaczyć, a C o a bezeczea Ozaczy rzez Z,, Z cąg warośc aaych ezaeŝych o Szay rozwązae erówośc: Pr Z h,95 Do rozwązae erówośc orzyay z ceraego werzea graczego: Pr ε Z Z h Pr Var Z Var Z Φ ε Var by rozwązać zaae aeŝy wezeć,ŝe,65, 95 Φ May : ε,65 Korzyając z abc TTś-PL97 z waoośc, Ŝe e berzey o wagę oy roceowej zay warośc fz, aby były oŝwe wyłay w ajbŝzy ro, wyzaczyy z owyŝzego rówaa ε Najerw obczyy aęając,ŝe e 5

54 berzey o wagę oy roceowej oŝwe były wyłay z fz w ajbŝzy ro: 9 wyo ye ao co, oewaŝ e berzey o wagę oy roceowej, czy ε Poawając o rówaa, Orzyjey ε, 7759 Ozacza o, Ŝe bęze ę oberać łaę węzą o 77,59% Ŝ łaa eo, o orfe w y rzyłaze bęze wyłacay z rawooobeńwe,95 Oaecze aa woa fz h wyo:,7759,78 7, 958 h ε Zaae Rozarzy oę a Ŝyce a ooby owo rozoej, łaa a oec ro śerc wełg aęjącej a: We 5- owyŝej Korzyść 6 8 Rozwązae C C C C C M 5 M M D D D D D D D 5 Zaae Pro je rzeaway z 5-ea gwaracją, obecjącą zwro -% cey ro, jeś ę o oje w czae a Z ośwaczea waoo, Ŝe ro zaza ę w erwzy ro z rawooobeńwe,, w rg, rzec czwary ro- z rawooobeńwe,, a w ąy ro z rawooobeńwe, Poao załaa ę jeoajy rozła chw zozea w rzecąg ro Obczyć, jaą część cey ro aow cea gwaracj, óra je wyczoa wełg regły JSN rzy, 5

55 Rozwązae Ozaczyy rzez y ceę ro Zgoe z reścą zaaa, jeś zozee ro wyą w erwzy ro o zwro bęze w wyoośc 8% cey ro o - %8% Jeś zozee ro wyą w rg ro o zwro bęze w wyoośc 6% cey ro Jeś zozee ro wyą w rzec ro o zwro bęze w wyoośc % cey ro Jeś zozee ro wyą w czwary ro o zwro bęze w wyoośc % cey ro Jeś zozee ro wyą w ąy ro o zwro bęze w wyoośc % cey ro May,8 y,6y,y,y JSN,,,,,, 87 y 5,,,,, Obczyy, jaą część cey ro aow cea gwaracj w aęjący oób :,87 y,87 y Cea gwaracj aow,87 cey ro Zaae 5 -ae je bezeczee eeryae, łacąc łaę a oczą aŝego ro Ŝyca, o ończea 6 ro Ubezeczee o gwaraje wyłaę eeryry, órej warość aaa w oece ończea 6 a wyo, o ware, Ŝe bezeczoy oŝyje o 6 ro JeŜe aoa rze e oągąwzy 6 a Ŝyca, o bezeczyce zwróc całą włacoą łaę a oec ro śerc, bez aczaa roceów Jaa je warość oczewaa warośc aaej y wyła ego bezeczea? Przerowazć obczea, załaając TTś-PL97 oraz % Rozwązae Ozaczyy rzez Z jao warość aaą wyłay Zgoe z reścą zaaa ay: 9 E Z Oaecze wy orzyjey oawając oeje warośc z abc o owyŝzego wzor Obczea oęo ze wzgę a ość aych z abcy, óre rzeba Ŝyć, a aŝe rooe rozwązaa Zaae 6 Rozarjey człoów b w we, órzy włacają woę ω zł a fz Fra je zobowązaa o wyłay zł w chw śerc aŝego z człoów Obczyć ω, jeś fra owa ę wywązać z obowąz z rawooobeńwe,95 jeś, 6, Przyjjey, Ŝe rzyzłe czay Ŝyca człoów b ą ezaeŝe Rozwązae Bęzey ozwać rozwązaa w oac ω C ε, gze ε je wółczye, o óry roorcjoae aeŝy zwęzyć łaę eo, aby zagwaraować wyłacaość z zaay rawooobeńwe je o zw Wółczy arz a ryzyo Naoa ω o aa woa fz, óra aeŝy wyzaczyć, a C 55

56 o a bezeczea Ozaczy rzez Z,, Z cąg warośc aaych ezaeŝych o Szay rozwązae erówośc: Pr Z ω,95 Do rozwązae erówośc orzyay z ceraego werzea graczego: Pr ε CZ C C CZ ω Pr Var Z Var Z Φ ε Var by rozwązać zaae aeŝy wezeć,ŝe,65, 95 ε Φ May :,65 Wyzaczyy ε, oawając ae z zaaa o owyŝzego wzor Oaecze ω wyo: ε,,6 7 ω C Zaae 7 Obczyć, jeś µ µ oe roceowej % a aŝego > Wyoać obczea a µ rzy roczej Rozwązae JeŜe µ µ o [ ] e µ e e Weząc, Ŝe % wyzaczyyδ : δ, wyo: µ [ ] e e δ 56

57 e δ e,,6 Zaae 8 Obczyć aaą warość aaraą o wyłacea 5-aow o 5 aach Obczea wyoać a 6% oraz abc TTś-PL97 Rozwązae Korzyając z aych z TTś-PL97 ay: E Z 5 5 5: 5 5 5, , Zaae 9 Na Ŝyce 5-aa wyawoo bezerową oę, gwarającą wyłaę a oec ro, w óry aą śerć Wyzaczyć jeorazową łaę eo oać ajbŝzą warość, jeś waoo, Ŝe: aaogcza łaa a ooby o ro łozej wyo,6, oa roceowa %, ae ą warośc fcj oacyjych D 85 oraz D 765 Ooweź,65, B,65, C,657, D,66, E,66 Rozwązae o Perwzy oób Szaą warość zazey 5 9 9, Waoo oao, Ŝe Mając ae D 9 85, D 765 oraz % obczyy ze wzor D D9 85 D5 765 May 9 97 oraz ,, 9 Przezałcając 9, 6 orzyay,6 9 9 MoŜey zaać 9,6 9 9,