Algorytmy i Struktury Danych.
|
|
|
- Joanna Sowińska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Algorytmy i Struktury Danych. Problem Sortowania, cd. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 1 / 49
2 Jak szybko można sortować? Wszystkie do tej pory omówione algorytmy sortujace należa do grupy sortowania przez porównywanie - czyli podstawowa operacja ustalajaca porzadek pomiędzy elementami jest opercja porównywania pary elementów (mniejsze niż, większe niż, mniejsze lub równe, większe lub równe, równe). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 2 / 49
3 Jak szybko można sortować? Wszystkie do tej pory omówione algorytmy sortujace należa do grupy sortowania przez porównywanie - czyli podstawowa operacja ustalajaca porzadek pomiędzy elementami jest opercja porównywania pary elementów (mniejsze niż, większe niż, mniejsze lub równe, większe lub równe, równe). Sortowanie babelkowe (ang. bubblesort) Sortowanie przez wstawianie (ang. insertion sort) Sortowanie przez scalanie (ang. merge sort) Sortowanie przez wybieranie (ang. selection sort)) Sortowanie szybkie (ang. quicksort) Sortowanie przez kopcowanie (ang. heapsort) - omówione na wykładach późniejszych Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 2 / 49
4 Jak szybko można sortować? Wszystkie do tej pory omówione algorytmy sortujace należa do grupy sortowania przez porównywanie - czyli podstawowa operacja ustalajaca porzadek pomiędzy elementami jest opercja porównywania pary elementów (mniejsze niż, większe niż, mniejsze lub równe, większe lub równe, równe). Sortowanie babelkowe (ang. bubblesort) Sortowanie przez wstawianie (ang. insertion sort) Sortowanie przez scalanie (ang. merge sort) Sortowanie przez wybieranie (ang. selection sort)) Sortowanie szybkie (ang. quicksort) Sortowanie przez kopcowanie (ang. heapsort) - omówione na wykładach późniejszych Najlepsza złożoność optymistyczna powyżej wymienionych algorytmów jest O(n log 2 n). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 2 / 49
5 Jak szybko można sortować? Wszystkie do tej pory omówione algorytmy sortujace należa do grupy sortowania przez porównywanie - czyli podstawowa operacja ustalajaca porzadek pomiędzy elementami jest opercja porównywania pary elementów (mniejsze niż, większe niż, mniejsze lub równe, większe lub równe, równe). Sortowanie babelkowe (ang. bubblesort) Sortowanie przez wstawianie (ang. insertion sort) Sortowanie przez scalanie (ang. merge sort) Sortowanie przez wybieranie (ang. selection sort)) Sortowanie szybkie (ang. quicksort) Sortowanie przez kopcowanie (ang. heapsort) - omówione na wykładach późniejszych Najlepsza złożoność optymistyczna powyżej wymienionych algorytmów jest O(n log 2 n). Czy można mieć lepszy algorytm sortujacy? Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 2 / 49
6 Jak szybko można sortować? Wszystkie do tej pory omówione algorytmy sortujace należa do grupy sortowania przez porównywanie - czyli podstawowa operacja ustalajaca porzadek pomiędzy elementami jest opercja porównywania pary elementów (mniejsze niż, większe niż, mniejsze lub równe, większe lub równe, równe). Sortowanie babelkowe (ang. bubblesort) Sortowanie przez wstawianie (ang. insertion sort) Sortowanie przez scalanie (ang. merge sort) Sortowanie przez wybieranie (ang. selection sort)) Sortowanie szybkie (ang. quicksort) Sortowanie przez kopcowanie (ang. heapsort) - omówione na wykładach późniejszych Najlepsza złożoność optymistyczna powyżej wymienionych algorytmów jest O(n log 2 n). Czy można mieć lepszy algorytm sortujacy? W odpowiedzi na to pytanie pomoga drzewa decyzyjne. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 2 / 49
7 Drzewo decyzyjne - przykład Każdy wierzchołek wewnętrzny etykietowany jest przez i : j, gdzie i, j {1,..., n}. Lewe podrzewo pokazuje kolejne porównywania w przypadku, gdy a i a j Prawe podrzewo pokazuje kolejne porównywania w przypadku, gdy a i a j Sortowanie ciagu (a 1, a 2,..., a n ): 1:2 2:3 1:3 1: : Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 3 / 49
8 Drzewo decyzyjne - przykład Każdy wierzchołek wewnętrzny etykietowany jest przez i : j, gdzie i, j {1,..., n}. Lewe podrzewo pokazuje kolejne porównywania w przypadku, gdy a i a j Prawe podrzewo pokazuje kolejne porównywania w przypadku, gdy a i a j Sortowanie ciagu (a 1, a 2,..., a n ) = (9, 4, 6): 1:2 2:3 1:3 1: : Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 4 / 49
9 Drzewo decyzyjne - przykład Każdy wierzchołek wewnętrzny etykietowany jest przez i : j, gdzie i, j {1,..., n}. Lewe podrzewo pokazuje kolejne porównywania w przypadku, gdy a i a j Prawe podrzewo pokazuje kolejne porównywania w przypadku, gdy a i a j Sortowanie ciagu (a 1, a 2,..., a n ) = (9, 4, 6): 1:2 2:3 1:3 1: : Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 5 / 49
10 Drzewo decyzyjne - przykład Każdy wierzchołek wewnętrzny etykietowany jest przez i : j, gdzie i, j {1,..., n}. Lewe podrzewo pokazuje kolejne porównywania w przypadku, gdy a i a j Prawe podrzewo pokazuje kolejne porównywania w przypadku, gdy a i a j Sortowanie ciagu (a 1, a 2,..., a n ) = (9, 4, 6): 1:2 2:3 1:3 1: : Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 6 / 49
11 Drzewo decyzyjne - przykład Każdy liść zawiera permutację π(1),π(2),...,π(n) wskazujac a ustanowiony porzadek a π(1) a π(2) a π(n) Sortowanie ciagu (a 1, a 2,..., a n ) = (9, 4, 6): 1:2 2:3 1:3 1: : Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 7 / 49
12 Drzewo decyzyjne Drzewo decyzyjne może modelować dowolna metodę sortujac a oparta na modelu porównywania elementów. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 8 / 49
13 Drzewo decyzyjne Drzewo decyzyjne może modelować dowolna metodę sortujac a oparta na modelu porównywania elementów. Drzewo decyzyjne zawiera wszystkie możliwe wykonania (porównywania) algorymu. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 8 / 49
14 Drzewo decyzyjne Drzewo decyzyjne może modelować dowolna metodę sortujac a oparta na modelu porównywania elementów. Drzewo decyzyjne zawiera wszystkie możliwe wykonania (porównywania) algorymu. Jest dokładnie jedno drzewo decyzyjne dla wejścia o rozmiarze n - drzewo decyzyjne jest zależne od rozmiaru wejścia, tj. od n. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 8 / 49
15 Drzewo decyzyjne Drzewo decyzyjne może modelować dowolna metodę sortujac a oparta na modelu porównywania elementów. Drzewo decyzyjne zawiera wszystkie możliwe wykonania (porównywania) algorymu. Jest dokładnie jedno drzewo decyzyjne dla wejścia o rozmiarze n - drzewo decyzyjne jest zależne od rozmiaru wejścia, tj. od n. Rozmiar drzewa (ilość liści) jest wykładniczy ze wględu na rozmiar danych wejściowych. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 8 / 49
16 Drzewo decyzyjne Drzewo decyzyjne może modelować dowolna metodę sortujac a oparta na modelu porównywania elementów. Drzewo decyzyjne zawiera wszystkie możliwe wykonania (porównywania) algorymu. Jest dokładnie jedno drzewo decyzyjne dla wejścia o rozmiarze n - drzewo decyzyjne jest zależne od rozmiaru wejścia, tj. od n. Rozmiar drzewa (ilość liści) jest wykładniczy ze wględu na rozmiar danych wejściowych. Z uwagi na powższe drzewa decyzyjne nie sa dogodna metoda reprezentacji algorymów. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 8 / 49
17 Drzewo decyzyjne Drzewo decyzyjne może modelować dowolna metodę sortujac a oparta na modelu porównywania elementów. Drzewo decyzyjne zawiera wszystkie możliwe wykonania (porównywania) algorymu. Jest dokładnie jedno drzewo decyzyjne dla wejścia o rozmiarze n - drzewo decyzyjne jest zależne od rozmiaru wejścia, tj. od n. Rozmiar drzewa (ilość liści) jest wykładniczy ze wględu na rozmiar danych wejściowych. Z uwagi na powższe drzewa decyzyjne nie sa dogodna metoda reprezentacji algorymów. Drzewo decyzjyne nie jest jednak zupełnie bezużyteczne - pozwala na określenie dolnego ograniczenia dla optymistycznego czasu działania algorymu. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 8 / 49
18 Drzewo decyzyjne Drzewo decyzyjne może modelować dowolna metodę sortujac a oparta na modelu porównywania elementów. Drzewo decyzyjne zawiera wszystkie możliwe wykonania (porównywania) algorymu. Jest dokładnie jedno drzewo decyzyjne dla wejścia o rozmiarze n - drzewo decyzyjne jest zależne od rozmiaru wejścia, tj. od n. Rozmiar drzewa (ilość liści) jest wykładniczy ze wględu na rozmiar danych wejściowych. Z uwagi na powższe drzewa decyzyjne nie sa dogodna metoda reprezentacji algorymów. Drzewo decyzjyne nie jest jednak zupełnie bezużyteczne - pozwala na określenie dolnego ograniczenia dla optymistycznego czasu działania algorymu. Czas działania algorytmu dla danego wejścia jest równy długości ścieżki w drzewie decyzyjnym dla tego wejścia. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 8 / 49
19 Drzewo decyzyjne Drzewo decyzyjne może modelować dowolna metodę sortujac a oparta na modelu porównywania elementów. Drzewo decyzyjne zawiera wszystkie możliwe wykonania (porównywania) algorymu. Jest dokładnie jedno drzewo decyzyjne dla wejścia o rozmiarze n - drzewo decyzyjne jest zależne od rozmiaru wejścia, tj. od n. Rozmiar drzewa (ilość liści) jest wykładniczy ze wględu na rozmiar danych wejściowych. Z uwagi na powższe drzewa decyzyjne nie sa dogodna metoda reprezentacji algorymów. Drzewo decyzjyne nie jest jednak zupełnie bezużyteczne - pozwala na określenie dolnego ograniczenia dla optymistycznego czasu działania algorymu. Czas działania algorytmu dla danego wejścia jest równy długości ścieżki w drzewie decyzyjnym dla tego wejścia. Czas pesymistyczny algorymu jest równy wysokości drzewa. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 8 / 49
20 Ograniczenie dolne dla sortowania opartego o drzewo decyzyjne Twierdzenie Każde drzewo decyzyjne, które może posortować n elementów ma wysokość Ω(n log 2 (n)). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 9 / 49
21 Ograniczenie dolne dla sortowania opartego o drzewo decyzyjne Twierdzenie Każde drzewo decyzyjne, które może posortować n elementów ma wysokość Ω(n log 2 (n)). Dowód Ponieważ mamy n! permutacji dla danego ciagu wejściowego o rozmiarze n, to drzewo powinno zawierać conajmniej n! liści. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 9 / 49
22 Ograniczenie dolne dla sortowania opartego o drzewo decyzyjne Twierdzenie Każde drzewo decyzyjne, które może posortować n elementów ma wysokość Ω(n log 2 (n)). Dowód Ponieważ mamy n! permutacji dla danego ciagu wejściowego o rozmiarze n, to drzewo powinno zawierać conajmniej n! liści. Drzewo binarne o wysokości h ma 2 h liści. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 9 / 49
23 Ograniczenie dolne dla sortowania opartego o drzewo decyzyjne Twierdzenie Każde drzewo decyzyjne, które może posortować n elementów ma wysokość Ω(n log 2 (n)). Dowód Ponieważ mamy n! permutacji dla danego ciagu wejściowego o rozmiarze n, to drzewo powinno zawierać conajmniej n! liści. Drzewo binarne o wysokości h ma 2 h liści. Zatem mamy: n! 2 h h log 2 (n!) log 2 ((n/e) n ) = n log 2 (n) n log 2 (e) h Ω(n log 2 (n)) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 9 / 49
24 Sortowanie stabilne Dana metoda sortowania jest stabilna, jeśli zachowuje względna kolejność elementów ze zdublowanymi kluczami. Przykładowo, jeżeli ułożona alfabetycznie listę studentów posortujemy według roku studiów, to metoda stabilna zwróci w wyniku alfabetycznie ułożona listę osób podzielona ze wzgledu na rok studiów. Metoda niestabilna pozwala na sortowanie tylko względem jednego klucza. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 10 / 49
25 Sortowanie stabilne - przykład Dane Wejściowe Sortowanie niestabilne Sortowanie stabilne Adams 1 Adams 1 Adams 1 Black 2 Smith 1 Smith 1 Brown 4 Washington 2 Black 2 Jackson 2 Jackson 2 Jackson 2 Jones 4 Black 2 Washington 2 Smith 1 White 3 White 3 Thompson 4 Wilson 3 Wilson 3 Washington 2 Thompson 4 Brown 4 White 3 Brown 4 Jones 4 Wilson 3 Jones 4 Thompson 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 11 / 49
26 Sortowanie stabilne - algorytmy Sortowanie babelkowe (ang. bubblesort) Sortowanie przez wstawianie (ang. insertion sort) Sortowanie przez scalanie (ang. merge sort) Sortowanie przez zliczanie (ang. counting sort) Sortowanie pozycyjne (ang. radix sort) - omówione w następnej części wykładu Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 12 / 49
27 Sortowanie niestabilne - algorytmy Sortowanie przez wybieranie(ang. selection sort)) Sortowanie szybkie (ang. quicksort) Sortowanie przez kopcowanie (ang. heapsort) - omówione na wykładach późniejszych Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 13 / 49
28 Sortowanie przez zliczanie -idea Zadanie: Posortujmy ciag: 3,6,3,2,7,1,7,1. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 14 / 49
29 Sortowanie przez zliczanie -idea Zadanie: Posortujmy ciag: 3,6,3,2,7,1,7,1. Po zliczeniu (w jednym korku) operujemy danymi na temat liczności poszczególnych liczb: Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 14 / 49
30 Sortowanie przez zliczanie -idea Zadanie: Posortujmy ciag: 3,6,3,2,7,1,7,1. Po zliczeniu (w jednym korku) operujemy danymi na temat liczności poszczególnych liczb: Liczba 1 występuje 2 razy Liczba 2 występuje 1 raz Liczba 3 występuje 2 razy Liczba 4 występuje 0 razy Liczba 5 występuje 0 razy Liczba 6 występuje 1 raz Liczba 7 występuje 2 razy Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 14 / 49
31 Sortowanie przez zliczanie -idea Zadanie: Posortujmy ciag: 3,6,3,2,7,1,7,1. Po zliczeniu (w jednym korku) operujemy danymi na temat liczności poszczególnych liczb: Liczba 1 występuje 2 razy Liczba 2 występuje 1 raz Liczba 3 występuje 2 razy Liczba 4 występuje 0 razy Liczba 5 występuje 0 razy Liczba 6 występuje 1 raz Liczba 7 występuje 2 razy Na podstawie tych danych tworzymy posortowany ciag: 1,1,2,3,3,6,7,7. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 14 / 49
32 Sortowanie przez zliczanie - uwagi Proces zliczania odbywa się w jednym kroku Nie dochodzi do ani jednej zamiany elementów Proces tworzenia tablicy wynikowej odbywa się w jednym kroku Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 15 / 49
33 Sortowanie przez zliczanie - algorytm Wejście: A[1..n], gdzie A[j] {1, 2,..., k}. Wyjście: B[1..n], posortowana. Tablica Pomocnicza: C[1..k]. {A=[0,...,n-1]} Algorytm: Counting-sort(A,B,k) 1: for all i = 1 to k do 2: C[i] := 0; 3: end for 4: for all j = 1 to n do 5: C[A[j]] := C[A[j]]+1; 6: end for{//c[i] zawiera teraz liczbe elementów równych i} 7: for all i = 2 to k do 8: C[i] := C[i]+C[i 1]; 9: end for{//c[i] zawiera teraz liczbę elementów mniejszych badź równych i} 10: for all j = n downto 1 do 11: B[C[A[j]]] := A[j]; 12: C[A[j]] := C[A[j]] 1; 13: end for Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 16 / 49
34 Sortowanie przez zliczanie -przykład Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 17 / 49
35 Sortowanie przez zliczanie - pętla nr. 1 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 18 / 49
36 Sortowanie przez zliczanie - pętla nr. 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 19 / 49
37 Sortowanie przez zliczanie - pętla nr. 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 20 / 49
38 Sortowanie przez zliczanie - pętla nr. 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 21 / 49
39 Sortowanie przez zliczanie - pętla nr. 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 22 / 49
40 Sortowanie przez zliczanie - pętla nr. 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 23 / 49
41 Sortowanie przez zliczanie - pętla nr. 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 24 / 49
42 Sortowanie przez zliczanie - pętla nr. 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 25 / 49
43 Sortowanie przez zliczanie - pętla nr. 3 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 26 / 49
44 Sortowanie przez zliczanie - pętla nr. 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 27 / 49
45 Sortowanie przez zliczanie - pętla nr. 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 28 / 49
46 Sortowanie przez zliczanie - pętla nr. 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 29 / 49
47 Sortowanie przez zliczanie - pętla nr. 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 30 / 49
48 Sortowanie przez zliczanie - pętla nr. 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 31 / 49
49 Sortowanie przez zliczanie - Złożoność obliczeniowa Algorytm: Counting-sort(A,B,k) 1: for all i = 1 to k do 2: C[i] := 0; 3: end for{θ(k)} 4: for all j = 1 to n do 5: C[A[j]] := C[A[j]]+1; 6: end for{θ(n)} 7: for all i = 2 to k do 8: C[i] := C[i]+C[i 1]; 9: end for{θ(k)} 10: for all j = n downto 1 do 11: B[C[A[j]]] := A[j]; 12: C[A[j]] := C[A[j]] 1; 13: end for{θ(n)} Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 32 / 49
50 Sortowanie przez zliczanie - Złożoność obliczeniowa Algorytm: Counting-sort(A,B,k) 1: for all i = 1 to k do 2: C[i] := 0; 3: end for{θ(k)} 4: for all j = 1 to n do 5: C[A[j]] := C[A[j]]+1; 6: end for{θ(n)} 7: for all i = 2 to k do 8: C[i] := C[i]+C[i 1]; 9: end for{θ(k)} 10: for all j = n downto 1 do 11: B[C[A[j]]] := A[j]; 12: C[A[j]] := C[A[j]] 1; 13: end for{θ(n)} Złożoność obliczeniowa Counting-sort = Θ(n+k) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 32 / 49
51 Sortowanie przez zliczanie - Złożoność obliczeniowa Można sortować tylko wartości całkowite. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 33 / 49
52 Sortowanie przez zliczanie - Złożoność obliczeniowa Można sortować tylko wartości całkowite. Efektywnośc sortowania silnie zależy od zakresu k. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 33 / 49
53 Sortowanie przez zliczanie - Złożoność obliczeniowa Można sortować tylko wartości całkowite. Efektywnośc sortowania silnie zależy od zakresu k. Jeżeli k jest małe, np. k = O(n), to czas sortowania jest bardzo dobry, tzn. Θ(n). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 33 / 49
54 Sortowanie przez zliczanie - Złożoność obliczeniowa Można sortować tylko wartości całkowite. Efektywnośc sortowania silnie zależy od zakresu k. Jeżeli k jest małe, np. k = O(n), to czas sortowania jest bardzo dobry, tzn. Θ(n). Przykładowo, dla danych kodowalnych na 1 bajcie, k = 2 8 = pomocnicza tablica ma zatem rozmiar 256. Wówczas counting-sort działa naprawdę szybko, tj. w czasie (256+n) = Θ(n). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 33 / 49
55 Sortowanie przez zliczanie - Złożoność obliczeniowa Można sortować tylko wartości całkowite. Efektywnośc sortowania silnie zależy od zakresu k. Jeżeli k jest małe, np. k = O(n), to czas sortowania jest bardzo dobry, tzn. Θ(n). Przykładowo, dla danych kodowalnych na 1 bajcie, k = 2 8 = pomocnicza tablica ma zatem rozmiar 256. Wówczas counting-sort działa naprawdę szybko, tj. w czasie (256+n) = Θ(n). Jeżeli k jest duże, to algorym już nie jest taki dobry!!!. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 33 / 49
56 Sortowanie przez zliczanie - Złożoność obliczeniowa Można sortować tylko wartości całkowite. Efektywnośc sortowania silnie zależy od zakresu k. Jeżeli k jest małe, np. k = O(n), to czas sortowania jest bardzo dobry, tzn. Θ(n). Przykładowo, dla danych kodowalnych na 1 bajcie, k = 2 8 = pomocnicza tablica ma zatem rozmiar 256. Wówczas counting-sort działa naprawdę szybko, tj. w czasie (256+n) = Θ(n). Jeżeli k jest duże, to algorym już nie jest taki dobry!!!. Przykładowo, dla danych kodowalnych na 4 bajtach, k = 2 32, czyli okolo 4.2 biliona. Zatem k jest całkiem duże. Wymagana pomocnicza tablica ma rozmiar 4.2 biliona, czyli zajmie około 16 giga-bajtów. Czyli na samym starcie już nie jest dobrze... potrzebny jest super komputer z conajmniej 16 gigabajtami RAM-u. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 33 / 49
57 Sortowanie przez zliczanie jest stabilne Sortowanie przez zliczanie jest stabilne: zachowuje wejściowy porzadek wśród równych elementów. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 34 / 49
58 Herman Hollerith ( ) Wynalazca kart perforowanych. Ustalił standardowy format karty perforowanej o rozmiarze banknotu jednodolarowego. W 1890 zbudował pierwszy tabulator -sorter kart dziurkowanych - urzadzenie oparte na idei Jacquarda, służace do mechanicznego sporzadzania zestawień danych, ich klasyfikowania, przetwarzania i powielania. Pozwoliło ono przeprowadzić w USA (wtedy 60 milionów ludzi) spis powszechny w dwa i pół roku. Hollerith w 1911 założył firmę Tabulating Machine Company, z której w 1924 wyłoniła się firma IBM (International Business Machines). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 35 / 49
59 Karta dziurkowana Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 36 / 49
60 Herman Hollerith ( ) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 37 / 49
61 Geneza sortowania pozycyjnego Oto cytat z roku 1889 opisujacy patent (maszynę tabulacyjna) Hollerith a The most complicated combinations can readily be counted with comparatively few counters or relays by first assorting the cards according to the first items entering into the combinations, then reassorting each group according to the second item entering into the combination, and so on, and finally counting on a few counters the last item of the combination for each group of cards. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 38 / 49
62 Sortowanie pozycyjne Pochodzenie: sorter kart dziurkowanych Herman Hollerith a. Sortowanie cyfra po cyfrze. Niepoprawna idea Hollerith a: sortowanie wzgledem najbardziej znaczacej cyfry. Właściwa idea: sortowanie stabilne przy użyciu pomocniczego algorytmy sortujacego wzgledem najmniej znaczacej cyfry. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 39 / 49
63 Sortowanie pozycyjne Pochodzenie: sorter kart dziurkowanych Herman Hollerith a. Sortowanie cyfra po cyfrze. Niepoprawna idea Hollerith a: sortowanie wzgledem najbardziej znaczacej cyfry. Właściwa idea: sortowanie stabilne przy użyciu pomocniczego algorytmy sortujacego wzgledem najmniej znaczacej cyfry. Idea Sortowanie pozycyjne (ang. radix sort) porzadkuje stabilnie ciagi wartości (liczb, słów) względem konkretnych cyfr, znaków itp., kolejno od najmniej znaczacych do najbardziej znaczacych pozycji. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 39 / 49
64 Sortowanie pozycyjne - algorytm Require: Zbiór n-elementowych ciagów A Algorytm: RadixSort 1: for all i = n downto 1 do 2: sortuj stabilnie ciagi według i-tej pozycji; 3: end for Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 40 / 49
65 Sortowanie pozycyjne - przykład Wejście: Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 41 / 49
66 Sortowanie pozycyjne - przykład Wejście: I przebieg: Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 41 / 49
67 Sortowanie pozycyjne - przykład Wejście: I przebieg: II przebieg: Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 41 / 49
68 Sortowanie pozycyjne - przykład Wejście: I przebieg: II przebieg: III przebieg: Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 41 / 49
69 Sortowanie pozycyjne - przykład Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 42 / 49
70 Sortowanie Pozycyjne -poprawność Indukcja ze względu na pozycje cyfry Załóżmy, że liczby sa posortowane niemalejaco względem t 1 cyfry. Sortujemy według cyfry t Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 43 / 49
71 Sortowanie Pozycyjne -poprawność Sortujemy według cyfry t Liczby różnia się na t-tej cyfrze: Ponieważ sortujemy względem najbardziej znaczacej cyfry (w tym przypadku jest to t ta cyfra), to wybrana przez nas metoda sortowania (dowolna stabilna) ustawi liczby o długości t we właściwym porzadku. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 44 / 49
72 Sortowanie Pozycyjne -poprawność Sortujemy według cyfry t Liczby sa równe na t-tej cyfrze: Ponieważ z założenia wykonujemy sortowanie stabilne na cyfrach, dwie liczby równe na t-tej cyfrze pozostaja w tym samym porzadku. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 45 / 49
73 Sortowanie pozycyjne - analiza Złożoność algorymu zależy od wybranego pomocniczego stabilnego algorytmu sortujacego. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 46 / 49
74 Sortowanie pozycyjne - analiza Złożoność algorymu zależy od wybranego pomocniczego stabilnego algorytmu sortujacego. Zatem nie powinniśmy wybrać żadnego z poniższych, jeśli zależy nam na sortowaniu w czasie liniowym: Sortowanie babelkowe (ang. bubblesort) Sortowanie przez wstawianie (ang. insertion sort) Sortowanie przez scalanie (ang. merge sort) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 46 / 49
75 Sortowanie pozycyjne - analiza Złożoność algorymu zależy od wybranego pomocniczego stabilnego algorytmu sortujacego. Zatem nie powinniśmy wybrać żadnego z poniższych, jeśli zależy nam na sortowaniu w czasie liniowym: Sortowanie babelkowe (ang. bubblesort) Sortowanie przez wstawianie (ang. insertion sort) Sortowanie przez scalanie (ang. merge sort) Właściwy wybór to: Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 46 / 49
76 Sortowanie pozycyjne - analiza Złożoność algorymu zależy od wybranego pomocniczego stabilnego algorytmu sortujacego. Zatem nie powinniśmy wybrać żadnego z poniższych, jeśli zależy nam na sortowaniu w czasie liniowym: Sortowanie babelkowe (ang. bubblesort) Sortowanie przez wstawianie (ang. insertion sort) Sortowanie przez scalanie (ang. merge sort) Właściwy wybór to: sortowanie przez zliczanie Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 46 / 49
77 Sortowanie pozycyjne - analiza Załóżmy, że wybranym sortowaniem pomocniczym jest sortowanie przez zliczanie. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 47 / 49
78 Sortowanie pozycyjne - analiza Załóżmy, że wybranym sortowaniem pomocniczym jest sortowanie przez zliczanie. Wiemy, że sortowanie przez zliczanie pracuje w czasie Θ(n + k), aby posortować n liczb z zakresu od 0 do k 1. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 47 / 49
79 Sortowanie pozycyjne - analiza Załóżmy, że wybranym sortowaniem pomocniczym jest sortowanie przez zliczanie. Wiemy, że sortowanie przez zliczanie pracuje w czasie Θ(n + k), aby posortować n liczb z zakresu od 0 do k 1. Zatem, jeśli b-bitowe słowo (b-bitowa liczba) zostanie podzielone na r-bitowe kawałki, to każdy przebieg sortowania przez zlicznie będzie wykonany w czsie Θ(n+2 r ). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 47 / 49
80 Sortowanie pozycyjne - analiza Załóżmy, że wybranym sortowaniem pomocniczym jest sortowanie przez zliczanie. Wiemy, że sortowanie przez zliczanie pracuje w czasie Θ(n + k), aby posortować n liczb z zakresu od 0 do k 1. Zatem, jeśli b-bitowe słowo (b-bitowa liczba) zostanie podzielone na r-bitowe kawałki, to każdy przebieg sortowania przez zlicznie będzie wykonany w czsie Θ(n+2 r ). Ponieważ w sortowaniu pozycyjnym będziemy mieli b/r przebiegów, to czas wykonania sortowania będzie: T(n, b) = Θ( b r (n+2r )) Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 47 / 49
81 Wybór r T(n, b) = Θ( b r (n+2r )) Aby algorym sortowania pozycyjnego pracował szybko (tzn. w czasie liniowym ), należy odpowiednio dobrze dobrać r. W szczególności duże r oznacza, że będzie tylko kilka przebiegów. Należy jednka zwrócić uwagę, aby r nie było zbyć duże, gdyż jeśli r > log 2 (n), to czas sorowania pomocniczego (przez zliczanie) i potrzebna mu pamięć będzie zbyt duża!!! Aby zminimalizować T(n, b), należy wybrać r = log 2 (n), co implikuje T(n, b) = Θ(b n/log 2 (n))). Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 48 / 49
82 Wybór r T(n, b) = Θ( b r (n+2r )) Aby algorym sortowania pozycyjnego pracował szybko (tzn. w czasie liniowym ), należy odpowiednio dobrze dobrać r. W szczególności duże r oznacza, że będzie tylko kilka przebiegów. Należy jednka zwrócić uwagę, aby r nie było zbyć duże, gdyż jeśli r > log 2 (n), to czas sorowania pomocniczego (przez zliczanie) i potrzebna mu pamięć będzie zbyt duża!!! Aby zminimalizować T(n, b), należy wybrać r = log 2 (n), co implikuje T(n, b) = Θ(b n/log 2 (n))). Powyższe r można uzyskać poprzez zróżniczkowanie fukcji T(n, b) względem zmiennej r i podstawieniu pod powstała funkcję wartości 0. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 48 / 49
83 Uwagi końcowe W praktyce sortowanie pozycyjne jest bardzo dobre dla dużych danych. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 49 / 49
84 Uwagi końcowe W praktyce sortowanie pozycyjne jest bardzo dobre dla dużych danych. Przykładowo dla liczb 32-bitowych przy sortowaniu 2000 danych sortowanie pozycyjne wykona (b n/log 2 (n))) = /log 2 (2000) operacji. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 49 / 49
85 Uwagi końcowe W praktyce sortowanie pozycyjne jest bardzo dobre dla dużych danych. Przykładowo dla liczb 32-bitowych przy sortowaniu 2000 danych sortowanie pozycyjne wykona (b n/log 2 (n))) = /log 2 (2000) operacji. Dla porównania, sortowanie szybkie wykona n log 2 (n) = 2000 log 2 (2000) operacji. Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 3 49 / 49
Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C. Wykład 9
Wstęp do programowania 1 Podstawowe algorytmy i ich implementacje w C Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Element minimalny i maksymalny zbioru Element minimalny
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Organizacja wykładu. Problem Sortowania. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 1 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Problem Sortowania. Metoda Dziel i zwyciężaj - cd. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy
Sortowanie w czasie liniowym
Sortowanie w czasie liniowym 1 Sortowanie - zadanie Definicja (dla liczb): wejście: ciąg n liczb A = (a 1, a 2,, a n ) wyjście: permutacja (a 1,, a n ) taka, że a 1 a n Po co sortować? Podstawowy problem
Programowanie Proceduralne
Programowanie Proceduralne Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 1 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Programowanie Proceduralne Wykład 1 1 / 59 Cel wykładów z programowania
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Problem Sortowania. Metoda Dziel i zwyciężaj - cd. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Metoda Dziel i zwyciężaj. Problem Sortowania, cd. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy
Algorytmy i struktury danych Sortowanie IS/IO, WIMiIP
Algorytmy i struktury danych Sortowanie IS/IO, WIMiIP Danuta Szeliga AGH Kraków Spis treści I 1 Wstęp 2 Metody proste 3 Szybkie metody sortowania 4 Algorytmy hybrydowe Sortowanie hybrydowe Sortowanie introspektywne
Podstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 7 i 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 7 i 8 1 / 44 Struktura danych - tablica
Sortowanie przez scalanie
Sortowanie przez scalanie Wykład 2 12 marca 2019 (Wykład 2) Sortowanie przez scalanie 12 marca 2019 1 / 17 Outline 1 Metoda dziel i zwyciężaj 2 Scalanie Niezmiennik pętli - poprawność algorytmu 3 Sortowanie
Algorytmy i Struktury Danych
Algorytmy i Struktury Danych Kopce Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 11 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych Wykład 11 1 / 69 Plan wykładu
Rekurencja. Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)!
Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Przykład: silnia: n! = n(n-1)! Pseudokod: silnia(n): jeżeli n == 0 silnia = 1 w przeciwnym
Analiza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r 0 Jaka wartość zostanie zwrócona przez powyższą
INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH.
INFORMATYKA SORTOWANIE DANYCH http://www.infoceram.agh.edu.pl SORTOWANIE Jest to proces ustawiania zbioru obiektów w określonym porządku. Sortowanie stosowane jest w celu ułatwienia późniejszego wyszukania
prowadzący dr ADRIAN HORZYK /~horzyk e-mail: horzyk@agh tel.: 012-617 Konsultacje paw. D-13/325
PODSTAWY INFORMATYKI WYKŁAD 8. prowadzący dr ADRIAN HORZYK http://home home.agh.edu.pl/~ /~horzyk e-mail: horzyk@agh agh.edu.pl tel.: 012-617 617-4319 Konsultacje paw. D-13/325 DRZEWA Drzewa to rodzaj
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 20
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Problem Sortowania. Metoda Dziel i zwyciężaj. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy
Zadanie 1 Przygotuj algorytm programu - sortowanie przez wstawianie.
Sortowanie Dane wejściowe: ciąg n-liczb (kluczy) (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n ) Dane wyjściowe: permutacja ciągu wejściowego (a 1, a 2, a 3,..., a n 1, a n) taka, że a 1 a 2 a 3... a n 1 a n. Będziemy
Wykład 5. Sortowanie w czasie liniowologarytmicznym
Wykład 5 Sortowanie w czasie liniowologarytmicznym 1 Sortowanie - zadanie Definicja (dla liczb): wejście: ciąg n liczb A = (a 1, a 2,, a n ) wyjście: permutacja (a 1,, a n ) taka, że a 1 a n 2 Zestawienie
Sortowanie bąbelkowe
1/98 Sortowanie bąbelkowe (Bubble sort) prosty i nieefektywny algorytm sortowania wielokrotnie przeglądamy listę elementów, porównując dwa sąsiadujące i zamieniając je miejscami, jeśli znajdują się w złym
Programowanie w VB Proste algorytmy sortowania
Programowanie w VB Proste algorytmy sortowania Sortowanie bąbelkowe Algorytm sortowania bąbelkowego polega na porównywaniu par elementów leżących obok siebie i, jeśli jest to potrzebne, zmienianiu ich
Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia
Algorytmy i Struktury Danych, 2. ćwiczenia 2017-10-13 Spis treści 1 Optymalne sortowanie 5 ciu elementów 1 2 Sortowanie metodą Shella 2 3 Przesunięcie cykliczne tablicy 3 4 Scalanie w miejscu dla ciągów
Zasady analizy algorytmów
Zasady analizy algorytmów A więc dziś w programie: - Kilka ważnych definicji i opisów formalnych - Złożoność: czasowa i pamięciowa - Kategorie problemów - Jakieś przykłady Problem: Zadanie możliwe do rozwiązania
Sortowanie - wybrane algorytmy
Sortowanie - wybrane algorytmy Aleksandra Wilkowska Wydział Matematyki - Katedra Matematyki Stosowanej Politechika Wrocławska 2 maja 2018 1 / 39 Plan prezentacji Złożoność obliczeniowa Sortowanie bąbelkowe
PODSTAWY INFORMATYKI wykład 5.
PODSTAWY INFORMATYKI wykład 5. Adrian Horzyk Web: http://home.agh.edu.pl/~horzyk/ E-mail: horzyk@agh.edu.pl Google: Adrian Horzyk Gabinet: paw. D13 p. 325 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEAIiE,
Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie
Więcej o sprawności algorytmów Porównanie czasów działania algorytmów sortowania przez wstawianie i scalanie Załóżmy, że możemy wykonać dane zadanie przy użyciu dwóch algorytmów: jednego o złożoności czasowej
Sortowanie przez wstawianie Insertion Sort
Sortowanie przez wstawianie Insertion Sort Algorytm sortowania przez wstawianie można porównać do sposobu układania kart pobieranych z talii. Najpierw bierzemy pierwszą kartę. Następnie pobieramy kolejne,
Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r.
Egzamin, AISDI, I termin, 18 czerwca 2015 r. 1 W czasie niezależnym do danych wejściowych działają algorytmy A. sortowanie bąbelkowego i Shella B. sortowanie szybkiego i przez prosty wybór C. przez podział
Złożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to
Złożoność obliczeniowa algorytmu ilość zasobów komputera jakiej potrzebuje dany algorytm. Pojęcie to wprowadzili J. Hartmanis i R. Stearns. Najczęściej przez zasób rozumie się czas oraz pamięć dlatego
Definicja. Ciąg wejściowy: Funkcja uporządkowująca: Sortowanie polega na: a 1, a 2,, a n-1, a n. f(a 1 ) f(a 2 ) f(a n )
SORTOWANIE 1 SORTOWANIE Proces ustawiania zbioru elementów w określonym porządku. Stosuje się w celu ułatwienia późniejszego wyszukiwania elementów sortowanego zbioru. 2 Definicja Ciąg wejściowy: a 1,
Podstawy Informatyki. Sprawność algorytmów
Podstawy Informatyki Sprawność algorytmów Sprawność algorytmów Kryteria oceny oszczędności Miara złożoności rozmiaru pamięci (złożoność pamięciowa): Liczba zmiennych + liczba i rozmiar struktur danych
Algorytmy sortujące i wyszukujące
Algorytmy sortujące i wyszukujące Zadaniem algorytmów sortujących jest ułożenie elementów danego zbioru w ściśle określonej kolejności. Najczęściej wykorzystywany jest porządek numeryczny lub leksykograficzny.
Wykład 4. Sortowanie
Wykład 4 Sortowanie 1 Sortowanie - zadanie Definicja (dla liczb): wejście: ciąg n liczb A = (a 1, a 2,, a n ) wyjście: permutacja (a 1,, a n ) taka, że a 1 a n Po co sortować? Podstawowy problem dla algorytmiki
Wstęp do Programowania potok funkcyjny
Wstęp do Programowania potok funkcyjny Marcin Kubica 2010/2011 Outline Zasada dziel i rządź i analiza złożoności 1 Zasada dziel i rządź i analiza złożoności Definition : Zbiór wartości: nieograniczonej
Strategia "dziel i zwyciężaj"
Strategia "dziel i zwyciężaj" W tej metodzie problem dzielony jest na kilka mniejszych podproblemów podobnych do początkowego problemu. Problemy te rozwiązywane są rekurencyjnie, a następnie rozwiązania
Porównanie Heap Sort, Counting Sort, Shell Sort, Bubble Sort. Porównanie sortowao: HS, CS, Shs, BS
Czas sortowania w milisekundach Czas sortowania w milisekundach Sortowanie Porównanie, Counting Sort, Shell Sort, Bubble Sort 4 Porównanie sortowao: HS, CS, Shs, BS 35 3 25 2 15 5 Counting Sort Shell Sort
1. Analiza algorytmów przypomnienie
1. Analiza algorytmów przypomnienie T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein Wprowadzenie do algorytmów, rozdziały 1-4 Wydawnictwa naukowo-techniczne (2004) Jak mierzyć efektywność algorytmu?
Wykład 1_2 Algorytmy sortowania tablic Sortowanie bąbelkowe
I. Struktury sterujące.bezpośrednie następstwo (A,B-czynności) Wykład _2 Algorytmy sortowania tablic Sortowanie bąbelkowe Elementy języka stosowanego do opisu algorytmu Elementy Poziom koncepcji Poziom
Zaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań teoretycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania teoretyczne z egzaminu pisemnego z 25 czerwca 2014 (studia dzienne)
Podstawy programowania. Przykłady algorytmów Cz. 2 Sortowanie
Podstawy programowania Przykłady algorytmów Cz. 2 Sortowanie Złożoność obliczeniowa Złożoność obliczeniowa to ilość zasobów niezbędna do wykonania algorytmu. Wyróżnia się dwa rodzaje: Złożoność czasową
Sortowanie. Kolejki priorytetowe i algorytm Heapsort Dynamiczny problem sortowania:
Sortowanie Kolejki priorytetowe i algorytm Heapsort Dynamiczny problem sortowania: podać strukturę danych dla elementów dynamicznego skończonego multi-zbioru S, względem którego są wykonywane następujące
Wprowadzenie do złożoności obliczeniowej
problemów Katedra Informatyki Politechniki Świętokrzyskiej Kielce, 16 stycznia 2007 problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów
Sortowanie przez wstawianie
Sortowanie przez wstawianie Wykład 1 26 lutego 2019 (Wykład 1) Sortowanie przez wstawianie 26 lutego 2019 1 / 25 Outline 1 Literatura 2 Algorytm 3 Problem sortowania Pseudokod 4 Sortowanie przez wstawianie
Jednym z najprostszych sposobów porządkowania jest technika stosowana przy sortowaniu listów:
Jednym z najprostszych sposobów porządkowania jest technika stosowana przy sortowaniu listów: Listy rozkładane są do różnych przegródek. O tym, do której z nich trafi koperta, decydują różne fragmenty
Informatyka A. Algorytmy
Informatyka A Algorytmy Spis algorytmów 1 Algorytm Euklidesa....................................... 2 2 Rozszerzony algorytm Euklidesa................................ 2 3 Wyszukiwanie min w tablicy..................................
Algorytmy sortujące. sortowanie kubełkowe, sortowanie grzebieniowe
Algorytmy sortujące sortowanie kubełkowe, sortowanie grzebieniowe Sortowanie kubełkowe (bucket sort) Jest to jeden z najbardziej popularnych algorytmów sortowania. Został wynaleziony w 1956 r. przez E.J.
Sortowanie. Bartman Jacek Algorytmy i struktury
Sortowanie Bartman Jacek jbartman@univ.rzeszow.pl Algorytmy i struktury danych Sortowanie przez proste wstawianie przykład 41 56 17 39 88 24 03 72 41 56 17 39 88 24 03 72 17 41 56 39 88 24 03 72 17 39
Laboratorium nr 7 Sortowanie
Laboratorium nr 7 Sortowanie 1. Sortowanie bąbelkowe (BbS) 2. Sortowanie przez wstawianie (IS) 3. Sortowanie przez wybieranie (SS) Materiały Wyróżniamy następujące metody sortowania: 1. Przez prostą zamianę
Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie
Efektywna metoda sortowania sortowanie przez scalanie Rekurencja Dla rozwiązania danego problemu, algorytm wywołuje sam siebie przy rozwiązywaniu podobnych podproblemów. Metoda dziel i zwycięŝaj Dzielimy
Algorytmy i struktury danych Sortowanie IS/IO, WIMiIP
Algorytmy i struktury danych Sortowanie IS/IO, WIMiIP Danuta Szeliga AGH Kraków Spis treści I 1 Wstęp 2 Metody proste Sortowanie bąbelkowe Sortowanie przez wstawianie Sortowanie przez selekcję Sortowanie
Podstawy Informatyki dla Nauczyciela
Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 2 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki dla Nauczyciela Wykład 2 1 / 1 Informacja
Analiza algorytmów zadania podstawowe
Analiza algorytmów zadania podstawowe 15 stycznia 2019 Zadanie 1 Zliczanie Zliczaj(n) 1 r 0 2 for i 1 to n 1 3 do for j i + 1 to n 4 do for k 1 to j 5 do r r + 1 6 return r P Jaka wartość zostanie zwrócona
Struktury Danych i Złożoność Obliczeniowa
Struktury Danych i Złożoność Obliczeniowa Zajęcia 2 Algorytmy wyszukiwania, sortowania i selekcji Sortowanie bąbelkowe Jedna z prostszych metod sortowania, sortowanie w miejscu? Sortowanie bąbelkowe Pierwsze
Algorytmy i Struktury Danych
Algorytmy i Struktury Danych Podstawowe informacje Prowadzący: Jan Tuziemski Email: jan.tuziemski@pg.edu.pl Konsultacje: pokój 412 GB (do ustalenia 412 GB) Podstawowe informacje literatura K. Goczyła Struktury
Laboratoria nr 1. Sortowanie
Laboratoria nr 1 Sortowanie 1. Sortowanie bąbelkowe (BbS) 2. Sortowanie przez wstawianie (IS) 3. Sortowanie przez wybieranie (SS) 4. Sortowanie przez zliczanie (CS) 5. Sortowanie kubełkowe (BS) 6. Sortowanie
Problemy porządkowe zadania
Problemy porządkowe Problemy porządkowe zadania Problemy porządkowe to zbiór różnych zadań obliczeniowych związanych z porządkowaniem zbioru danych i wyszukiwaniem informacji na takim zbiorze. Rodzaje
Źródła. N.Wirth Algorithms and Data Structures, 1985 D.E.Knuth The Art of Computer Programming. Vol. 3, 1973
Źródła N.Wirth Algorithms and Data Structures, 1985 D.E.Knuth The Art of Computer Programming. Vol. 3, 1973 Sortowanie Szukamy uporządkowania; mamy wiele algorytmów o różnych zaletach i różnych stopniach
Złożoność algorytmów. Wstęp do Informatyki
Złożoność algorytmów Złożoność pamięciowa - liczba i rozmiar struktur danych wykorzystywanych w algorytmie Złożoność czasowa - liczba operacji elementarnych wykonywanych w trakcie przebiegu algorytmu Złożoność
Wstęp do programowania
Wstęp do programowania Algorytmy na tablicach Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk (Wydział Fizyki) WP w. III Jesień 2013 1 / 23 Dwadzieścia pytań Zasady 1 Osoba 1 wymyśla hasło z ustalonej
Algorytm selekcji Hoare a. Łukasz Miemus
Algorytm selekcji Hoare a Łukasz Miemus 1 lutego 2006 Rozdział 1 O algorytmie 1.1 Problem Mamy tablicę A[N] różnych elementów i zmienną int K, takie że 1 K N. Oczekiwane rozwiązanie to określenie K-tego
Wstęp do programowania
Wstęp do programowania Złożoność obliczeniowa, poprawność programów Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. XII Jesień 2013 1 / 20 Złożoność obliczeniowa Problem Ile czasu
Kolejka priorytetowa. Często rozważa się kolejki priorytetowe, w których poszukuje się elementu minimalnego zamiast maksymalnego.
Kolejki Kolejka priorytetowa Kolejka priorytetowa (ang. priority queue) to struktura danych pozwalająca efektywnie realizować następujące operacje na zbiorze dynamicznym, którego elementy pochodzą z określonego
zajęcia 3. Marcin Andrychowicz, Tomasz Kulczyński,
zajęcia 3. Marcin Andrychowicz, Tomasz Kulczyński, Błażej Osiński Dane Metoda pozwalajaca sortować w czasie liniowym Ciag liczb z zakresu O, 1,..., M 5, 1, 4, 5, 1, 0, 4, 5, 1, 3, 5 Zliczamy wystapienia
Przykładowe sprawozdanie. Jan Pustelnik
Przykładowe sprawozdanie Jan Pustelnik 30 marca 2007 Rozdział 1 Sformułowanie problemu Tematem pracy jest porównanie wydajności trzech tradycyjnych metod sortowania: InsertionSort, SelectionSort i BubbleSort.
WSTĘP DO INFORMATYKI. Złożoność obliczeniowa, efektywność i algorytmy sortowania
Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej WSTĘP DO INFORMATYKI Adrian Horzyk Złożoność obliczeniowa, efektywność i algorytmy sortowania www.agh.edu.pl
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Liniowe struktury danych - Lista Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i struktury danych Matematyka III sem.
Algorytmy i struktury danych Matematyka III sem. 30 godz. wykł. / 15 godz. ćw. / 15 godz. projekt dr inŝ. Paweł Syty, 413GB, sylas@mif.pg.gda.pl, http://sylas.info Literatura T.H. Cormen i inni, Wprowadzenie
Teoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 4a: Rozwiązywanie rekurencji http://kiwi.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Czas działania programu Dla konkretnych
ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH
ALGORYTMY I STRUKTURY DANYCH Temat : Drzewa zrównoważone, sortowanie drzewiaste Wykładowca: dr inż. Zbigniew TARAPATA e-mail: Zbigniew.Tarapata@isi.wat.edu.pl http://www.tarapata.strefa.pl/p_algorytmy_i_struktury_danych/
Algorytmy i Struktury Danych. (c) Marcin Sydow. Introduction. QuickSort. Sortowanie 2. Limit. CountSort. RadixSort. Summary
Sortowanie 2 Zawartość wykładu: Własność stabilności algorytmów sortujących algorytm sortowania szybkiego () czy można sortować szybciej niż ze złożonością Θ(n log(n))? algorytm sortowania przez zliczanie
Algorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Treści programowe. Złożoność obliczeniowa algorytmu na przykładach. dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 1 Bożena Woźna-Szcześniak
Wstęp do Informatyki
Wstęp do Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 4 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 4 1 / 1 DZIELENIE LICZB BINARNYCH Dzielenie
Algorytmy i Struktury Danych
Algorytmy i Struktury Danych Drzewa poszukiwań binarnych dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 12 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych
liniowa - elementy następują jeden za drugim. Graficznie możemy przedstawić to tak:
Sortowanie stogowe Drzewo binarne Binary Tree Dotychczas operowaliśmy na prostych strukturach danych, takich jak tablice. W tablicy elementy ułożone są zgodnie z ich numeracją, czyli indeksami. Jeśli za
Zaawansowane algorytmy i struktury danych
Zaawansowane algorytmy i struktury danych u dr Barbary Marszał-Paszek Opracowanie pytań praktycznych z egzaminów. Strona 1 z 12 Pytania praktyczne z kolokwium zaliczeniowego z 19 czerwca 2014 (studia dzienne)
Algorytmy i struktury danych. Co dziś? Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne
Algorytmy i struktury danych Wykład VIII Elementarne techniki algorytmiczne Co dziś? Algorytmy zachłanne (greedyalgorithms) 2 Tytułem przypomnienia metoda dziel i zwyciężaj. Problem można podzielić na
Rekurencje. Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie:
Rekurencje Jeśli algorytm zawiera wywołanie samego siebie, jego czas działania moŝe być określony rekurencją. Przykład: sortowanie przez scalanie: T(n) = Θ(1) (dla n = 1) T(n) = 2 T(n/2) + Θ(n) (dla n
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 2. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Metody konstrukcji algorytmów: Siłowa (ang. brute force), Dziel i zwyciężaj (ang. divide-and-conquer), Zachłanna (ang.
Wykład 2. Poprawność algorytmów
Wykład 2 Poprawność algorytmów 1 Przegląd Ø Poprawność algorytmów Ø Podstawy matematyczne: Przyrost funkcji i notacje asymptotyczne Sumowanie szeregów Indukcja matematyczna 2 Poprawność algorytmów Ø Algorytm
Kolokwium ze wstępu do informatyki, I rok Mat. (Ściśle tajne przed godz. 10 : grudnia 2005.)
Kolokwium ze wstępu do informatyki, I rok Mat. (Ściśle tajne przed godz. 10 : 15 1 grudnia 005.) 1. Program w C 1 zawiera deklaracje 1 void P1 ( int a, int b) { int i ; 3 for ( i =0;i
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami
Wstęp do Informatyki zadania ze złożoności obliczeniowej z rozwiązaniami Przykład 1. Napisz program, który dla podanej liczby n wypisze jej rozkład na czynniki pierwsze. Oblicz asymptotyczną złożoność
Struktury danych i złozoność obliczeniowa. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złozoność obliczeniowa Prof. dr hab. inż. Jan Magott Formy zajęć: Wykład 1 godz., Ćwiczenia 1 godz., Projekt 2 godz.. Adres strony z materiałami do wykładu: http://www.zio.iiar.pwr.wroc.pl/sdizo.html
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Algorytmy i struktury danych
Algorytmy i struktury danych ĆWICZENIE 2 - WYBRANE ZŁOŻONE STRUKTURY DANYCH - (12.3.212) Prowadząca: dr hab. inż. Małgorzata Sterna Informatyka i3, poniedziałek godz. 11:45 Adam Matuszewski, nr 1655 Oliver
[12] Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne).
![[12] Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne).](/thumbs/63/49952142.jpg "[12] Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne).")
[12] Metody projektowania algorytmów (dziel i rządź, programowanie dynamiczne i algorytmy zachłanne). Tworzenie projektów informatycznych opiera się w dużej mierze na formułowaniu i implementacji algorytmów,
Wykład 3. Metoda dziel i zwyciężaj
Wykład 3 Metoda dziel i zwyciężaj 1 Wprowadzenie Technika konstrukcji algorytmów dziel i zwyciężaj. przykładowe problemy: Wypełnianie planszy Poszukiwanie (binarne) Sortowanie (sortowanie przez łączenie
TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie
Temat: Algorytm kompresji plików metodą Huffmana
Temat: Algorytm kompresji plików metodą Huffmana. Wymagania dotyczące kompresji danych Przez M oznaczmy zbiór wszystkich możliwych symboli występujących w pliku (alfabet pliku). Przykład M = 2, gdy plik
Algorytmy równoległe: ocena efektywności prostych algorytmów dla systemów wielokomputerowych
Algorytmy równoległe: ocena efektywności prostych algorytmów dla systemów wielokomputerowych Rafał Walkowiak Politechnika Poznańska Studia inżynierskie Informatyka 2013/14 Znajdowanie maksimum w zbiorze
Algorytmy i struktury danych
Algorytmy i struktury danych Proste algorytmy sortowania Witold Marańda maranda@dmcs.p.lodz.pl 1 Pojęcie sortowania Sortowaniem nazywa się proces ustawiania zbioru obiektów w określonym porządku Sortowanie
Algorytmy sortujące 1
Algorytmy sortujące 1 Sortowanie Jeden z najczęściej występujących, rozwiązywanych i stosowanych problemów. Ułożyć elementy listy (przyjmujemy: tablicy) w rosnącym porządku Sortowanie może być oparte na
PODSTAWY INFORMATYKI wykład 6.
PODSTAWY INFORMATYKI wykład 6. Adrian Horzyk Web: http://home.agh.edu.pl/~horzyk/ E-mail: horzyk@agh.edu.pl Google: Adrian Horzyk Gabinet: paw. D13 p. 325 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEAIiE,
Dynamiczny przydział pamięci (język C) Dynamiczne struktury danych. Sortowanie. Klasyfikacja algorytmów sortowania. Algorytmy sortowania
Rok akademicki 2010/2011, Wykład nr 4 2/50 Plan wykładu nr 4 Informatyka 2 Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr III, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki 2010/2011
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW MASZYNY O DOSTEPIE SWOBODNYM (RAM) Bartosz Zieliński Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Zima 2011-2012 INSTRUKCJE MASZYNY RAM Instrukcja Argument Znaczenie READ
Algorytmy i Struktury Danych
Algorytmy i Struktury Danych Drzewa poszukiwań binarnych dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych Wykład 8 1 /
2:8,7 3:9,4 / \ / \ / \ / \ 4:7,3 5:8 6:9,2 7:4
Wykład: Sortowanie III Drzewa Turniejowe 1:9,8 2:8,7 3:9,4 4:7,3 5:8 6:9,2 7:4 8: 3 9:7 12:9 13:2 Insert(x,S) 1) tworzymy dwa nowe liście na ostatnim poziomie, 2) do jednego wstawiamy x a do drugiego wartość
Zadanie projektowe 1: Struktury danych i złożoność obliczeniowa
Łukasz Przywarty 171018 Data utworzenia: 24.03.2010r. Mariusz Kacała 171058 Prowadzący: prof. dr hab. inż. Adam Janiak oraz dr inż. Tomiasz Krysiak Zadanie projektowe 1: Struktury danych i złożoność obliczeniowa
Wstęp do Informatyki
Wstęp do Informatyki dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak, prof. AJD bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 8 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 8 1 / 32 Instrukcje iteracyjne
PODSTAWY INFORMATYKI wykład 10.
PODSTAWY INFORMATYKI wykład 10. Adrian Horzyk Web: http://home.agh.edu.pl/~horzyk/ E-mail: horzyk@agh.edu.pl Google: Adrian Horzyk Gabinet: paw. D13 p. 325 Akademia Górniczo-Hutniacza w Krakowie WEAIiE,
Algorytmy i złożoność obliczeniowa. Wojciech Horzelski
Algorytmy i złożoność obliczeniowa Wojciech Horzelski 1 Tematyka wykładu Ø Ø Ø Ø Ø Wprowadzenie Poprawność algorytmów (elementy analizy algorytmów) Wyszukiwanie Sortowanie Elementarne i abstrakcyjne struktury