PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W ZESPOLE SZKÓŁ NR 3 W SKIERNIEWICH

Transkrypt

1 PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W ZESPOLE SZKÓŁ NR 3 W SKIERNIEWICH 1. Ocenianie bieżące. Ocenianiu podlegają: prace klasowe obejmujące większą część materiału, zapowiadane z minimum tygodniowym wyprzedzeniem, z możliwością poprawienia oceny w terminie ustalonym z nauczycielem, kartkówki zapowiedziane lub niezapowiedziane, obejmujące trzy ostatnio realizowane tematy, odpowiedzi ustne, zadania domowe, praca na lekcji, w tym praca w grupach, udział w konkursach i olimpiadach. 2. Zasady oceniania sprawdzianów pisemnych. Pisemne sprawdziany wiadomości oceniane są punktowo i przeliczane na oceny według zasady: 100% - 99% : celujący, 98% - 86% : bardzo dobry, 85% - 70% : dobry, 69% - 55% : dostateczny, 54% - 40% : dopuszczający, 39% - 0% : niedostateczny. 3. Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny. Uczeń otrzymuje ocenę: dopuszczający, jeśli rozwiązuje zadania na wykorzystanie i tworzenie informacji oraz wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji, w szczególności odczytuje informacje bezpośrednio wynikające z treści zadania, stosuje podany wzór lub podany przepis postępowania,

2 wykonuje rutynową procedurę dla typowych danych, poprawnie wykonuje działania na liczbach, rozwiązuje typowe równania, układy równań i nierówności, odczytuje i interpretuje dane z wykresów, diagramów, rysunków, stosuje dobrze znaną definicję lub twierdzenie w typowym kontekście, podaje przykład obiektu matematycznego spełniającego zadane warunki. dostateczny, jeśli spełnia wymagania na ocenę dopuszczającą oraz rozwiązuje zadania na modelowanie matematyczne, w szczególności dobiera wyrażenie algebraiczne, funkcję, równanie, układ równań, nierówność, interpretację geometryczną do przedstawionej treści zadania, przetwarza informacje przedstawione w jednej postaci w postać ułatwiającą rozwiązanie zadania, buduje modele sytuacji praktycznych z uwzględnieniem ograniczeń i zastrzeżeń, ocenia przydatność otrzymanych wyników z perspektywy sytuacji, dla której zbudowano model. dobry, jeśli spełnia wymagania na ocenę dostateczną oraz rozwiązuje zadania na użycie i tworzenie strategii, w szczególności ustala zależności pomiędzy podanymi informacjami, dobiera odpowiedni algorytm do danej sytuacji problemowej, planuje kolejność wykonywania czynności, wykonuje ciąg czynności prowadzących do rozwiązania problemu, krytycznie ocenia przydatność otrzymanych wyników. bardzo dobry, jeśli spełnia wymagania na ocenę dobrą oraz rozwiązuje zadania na rozumowanie i argumentację, w szczególności prowadzi rozumowanie składające się z kilku kroków, wyprowadza wniosek z układu przesłanek i go uzasadnia, tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność, stosuje twierdzenia, które nie występują w treści zadania, przeprowadza dowód. celujący, jeśli spełnia wymagania na ocenę bardzo dobrą oraz rozwiązuje zadania w sposób twórczy, kreatywny, nieszablonowy lub rozwiązuje zadania nietypowe, o podwyższonym stopniu trudności lub stosuje

3 wiedzę wykraczającą poza program nauczania lub bierze udział i osiąga sukcesy w konkursach matematycznych. 4. Ocenianie śródroczne i roczne. Ocenę wyjściową do wystawienia oceny śródrocznej i rocznej stanowi średnia ważona liczona według zasady: prace klasowe z wagą 3, kartkówki i odpowiedzi z wagą 2, pozostałe aktywności z wagą 1. Ponadto obowiązuje następująca skala: średnia ważona ocena 1,00 1,74 niedostateczny 1,75 2,74 dopuszczający 2,75 3,74 dostateczny 3,75 4,74 dobry 4,75 5,49 bardzo dobry 5,50 6,00 celujący Oceny śródroczne i roczne wystawia się przy użyciu wyżej wymienionej skali, jednak z uwzględnieniem takich aspektów, jak stosunek danego ucznia do nauczanego przedmiotu, jego systematyczność, pracowitość, chęć zdobywania wiedzy i nadrabiania braków, udział w oferowanych przez szkołę przedmiotowych zajęciach pozalekcyjnych, udział w konkursach i olimpiadach.

4 WYMAGANIA PROGRAMOWE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE

5 ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH I JEGO PODZBIORY OCENA dopuszczający Podaje przykłady zbiorów skończonych, nieskończonych. Zna pojęcie zbioru pustego, podzbioru. Określa relacje między zbiorami ( równość, zawieranie, rozłączność ). Zna określenie sumy, iloczynu i różnicy zbiorów oraz poprawnie wyznacza zbiory będące sumą, iloczynem i częścią wspólną zbiorów. Poprawnie używa spójników lub oraz i do opisywania relacji między zbiorami i elementami. Rozumie ideę prostego dowodu twierdzenia, potrafi wskazać założenie i tezę w twierdzeniu matematycznym. Rozróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne, podaje przykłady, zaznacza na osi liczbowej. Potrafi rozłożyć liczbę naturalną na czynniki pierwsze. Zna i stosuje prawa działań na liczbach rzeczywistych. Oblicza potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym i wykonuje na nich działania z zastosowaniem praw działań. Oblicza pierwiastki dowolnego stopnia, w tym pierwiastki sześcienne z liczb ujemnych. Zapisuje potęgi o wykładnikach wymiernych za pomocą pierwiastków. Przedstawia liczby w postaci potęg o wykładniku wymiernym. Przedstawia liczby w notacji wykładniczej. Zna i potrafi stosować prawa działań na pierwiastkach. Wyłącza czynnik przed pierwiastek. Usuwa niewymierność z mianownika ułamka w postaci: a b Zna wzory skróconego mnożenia: : (a ± b) 2, a 2 b 2, (a ± b) 3, a 3 ± b 3 i wykonuje na nich działania. Wykonuje działania na liczbach postaci: a + b c. Oblicza procent danej liczby, wyznacza liczbę, gdy dany jest jej procent, oblicza jakim procentem danej liczby jest druga liczba. Rozumie pojęcie przedziału liczbowego i zaznacza na osi liczbowej podane przedziały liczbowe. Wykonuje działania na przedziałach, zapisuje zbiory za pomocą przedziałów. Zna definicję wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej, jej interpretację geometryczną i oblicza wartość bezwzględną liczby. Zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności typu: x a = b, x a < b, x a b Wyznacza przybliżenie dziesiętne liczby rzeczywistej z zadaną dokładnością. Zna pojęcie błędu bezwzględnego i względnego oraz wyznacza błąd względny i bezwzględny. Zna określenie logarytmu liczby dodatniej i oblicza te logarytmy. dostateczny Potrafi wyznaczyć największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb naturalnych. Porównuje liczby zapisane w postaci potęg o tej samej podstawie lub o tym samym wykładniku. Sprawnie wykonuje działania na wyrażeniach zawierających potęgi oraz pierwiastki z zastosowaniem praw działań. Wykonuje działania na logarytmach z zastosowaniem praw działań.

6 Wykonuje działania na logarytmach, wykorzystując twierdzenie o zamianie podstaw logarytmu. d Usuwa niewymierność z mianownika ułamka w postaci: a+b c Rozwiązuje równania typu : x = a Przedstawia ułamki okresowe w postaci ułamków zwykłych. Odróżnia pojęcie procentu od punktu procentowego i stosuje w zadaniach. dobry Rozwiązuje zadania tekstowe dotyczące własności liczb rzeczywistych. Przekształca bardziej złożone wyrażenia z zastosowaniem praw działań na potęgach oraz wzorów skróconego mnożenia. Wykorzystuje własności potęg oraz logarytmów w zagadnieniach związanych z innymi dziedzinami wiedzy np. fizyką, chemią, informatyką. Rozwiązuje zadania związane z wykonywaniem działań na przedziałach, wykorzystując definicję i własności wartości bezwzględnej. bardzo dobry Prowadzi rozumowania, w których wykorzystuje podzielność w zbiorze liczb naturalnych, całkowitych. Prowadzi rozumowania, w których mowa o liczbach pierwszych, złożonych i o dzieleniu z resztą. Rozwiązuje złożone zadania praktyczne wymagające stosowania obliczeń procentowych, wyznaczania punktów procentowych. Rozumie i wyjaśnia ideę dowodu niewymierności niektórych liczb rzeczywistych. celujący Prowadzi rozumowanie, rozwiązując zadania typu :,, wykaż,,, udowodnij itp. dotyczące zbioru liczb rzeczywistych i jego podzbiorów. Uzasadnia poznane własności działań na potęgach, pierwiastkach i logarytmach. Rozwiązuje trudniejsze zadania tekstowe dotyczące własności liczb rzeczywistych, z użyciem parametru itp. FUNKCJA I JEJ WŁASNOŚCI OCENA dopuszczający Zna definicję funkcji i sposoby jej opisywania. Odróżnia funkcje od innych przyporządkowań i podaje przykłady funkcji. Zna pojęcie wykresu funkcji i potrafi narysować wykres funkcji liczbowej. Zna pojęcie dziedziny, zbioru wartości, miejsca zerowego, znaku, monotoniczności funkcji. Odczytuje z wykresu podstawowe własności funkcji. Oblicza ze wzoru funkcji wartość dla danego argumentu oraz argument, dla którego funkcja przyjmuje daną wartość. dostateczny Określa dziedzinę funkcji i oblicza miejsca zerowe funkcji opisanej wzorem.

7 Wyznacza zbiór wartości funkcji danej wzorem, jeśli podana jest jej dziedzina. Potrafi zbadać, czy funkcje są równe i wskazać funkcje równe. Rozpoznaje na wykresie funkcje okresowe. dobry Określa dziedzinę funkcji danej wzorem, gdy wyznaczenie dziedziny wymaga rozważenia układu warunków. Szkicuje wykresy funkcji monotonicznych określonych wzorem oraz spełniających podane warunki. Bada na podstawie definicji monotoniczność funkcji. bardzo dobry Stosuje wiadomości o funkcjach do opisywania zależności występujących w przyrodzie i życiu codziennym. Szkicuje wykresy funkcji określonych w różnych przedziałach różnymi wzorami. Potrafi ustalić okres podstawowy funkcji okresowej. celujący Potrafi interpretować informacje dotyczące różnych zjawisk w przyrodzie, ekonomii, zjawisk fizycznych na podstawie wykresów funkcji lub ich wzorów. FUNKCJA LINIOWA OCENA dopuszczający Zna określenie proporcjonalności prostej i potrafi wskazać wartość zmiennej wprost proporcjonalnej do drugiej. Zna pojęcie funkcji liniowej i właściwie interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej. Potrafi sprawdzić, czy dany punkt należy do wykresu funkcji liniowej. Potrafi naszkicować wykres funkcji liniowej danej wzorem i odczytać z wykresu własności funkcji liniowej. Rozwiązuje proste równania liniowe. Rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą, przedstawia zbiór rozwiązań nierówności na osi liczbowej. Rozwiązuje algebraicznie i graficznie układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Potrafi sprawdzić,czy dana liczba jest rozwiązaniem równania liniowego, nierówności liniowej z jedną niewiadomą. Potrafi sprawdzić, czy proste o podanych równaniach są równoległe czy prostopadłe. Rysuje wykres funkcji liniowej w przedziałach, w których jest określona i omawia jej własności. dostateczny Potrafi określić liczbę rozwiązań równania liniowego z jedną niewiadomą. Rozpoznaje układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny i podaje ich interpretację geometryczną. Potrafi wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia się dwóch prostych.

8 Potrafi wyznaczyć wzór funkcji liniowej na podstawie jej wykresu lub podanych informacji o jej własnościach. Rozwiązuje zadania dotyczące równoległości i prostopadłości wykresów funkcji liniowych, gdy wzór funkcji zapisany jest z użyciem parametru. Potrafi opisać figurę geometryczną w prostokątnym układzie współrzędnych za pomocą odpowiedniego układu nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi. Potrafi narysować w prostokątnym układzie współrzędnych figurę geometryczną zapisaną za pomocą układu nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi. Rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną typu: x a = b, x a < b, x a b dobry Rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do równań liniowych z jedną niewiadomą lub układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Potrafi rozwiązać zadania dotyczące funkcji liniowej opisanej wzorem zawierającym parametr. Rozwiązuje równania i nierówności liniowe z parametrem. Sporządza wykres funkcji liniowej określonej wzorem z wartością bezwzględną. Rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną typu: x = 3, x x 5 < 12 bardzo dobry Rozwiązuje zadania złożone dotyczące równoległości i prostopadłości prostych. Rozwiązuje układy równań liniowych z parametrem. celujący Rozwiązuje problemy typu uzasadnij dotyczące np. monotoniczności i różnowartościowości funkcji liniowej. WEKTORY OCENA dopuszczający Zna określenie wektora na płaszczyźnie i w układzie współrzędnych oraz podaje jego cechy. Rozróżnia wektory równe i różne. Oblicza współrzędne wektora, gdy zna początek i koniec wektora. Rozróżnia wektory przeciwne. Wyznacza długość wektora, znając jego współrzędne. dostateczny Oblicza współrzędne początku lub końca wektora, mając dane współrzędne wektora oraz odpowiednio współrzędne końca (początku) wektora.

9 dobry Wykonuje działania na wektorach na płaszczyźnie i w układzie współrzędnych. Rozumie pojęcie wektora zaczepionego i wektora swobodnego. bardzo dobry Rozwiązuje problemy geometryczne, wykorzystując równość wektorów. celujący Rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności, wykorzystując równość wektorów oraz umiejętność wykonywania działań na wektorach. PRZEKSZTAŁCANIE WYKRESÓW FUNKCJI OCENA dopuszczający Zna pojęcie symetrii osiowej względem prostej oraz symetrii środkowej względem punktu. Potrafi wyznaczyć współrzędne punktów symetrycznych względem osi układu współrzędnych oraz względem początku układu współrzędnych. Przekształca wykresy funkcji względem osi układu współrzędnych oraz względem początku układu współrzędnych. Przesuwa wykres funkcji równolegle do osi x i równolegle do osi y. Potrafi wyznaczyć obraz funkcji w przesunięciu równoległym o dany wektor. dostateczny Wyznacza wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do danego wykresu względem osi układu współrzędnych lub względem początku układu współrzędnych. Sporządza wykresy funkcji, których wzory zawierają wartość bezwzględną i odczytuje własności funkcji z wykresów. dobry Wyznacza wzór funkcji, której wykres powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = f(x) równolegle do osi układu współrzędnych. Na podstawie wykresu funkcji y = f(x)) szkicuje wykresy: y = k f(x), y = f(kx), x 0 bardzo dobry Potrafi składać ( w prostych przypadkach) symetrie i przesunięcia wykresów funkcji. Wyznacza wzór funkcji na podstawie informacji o jej wykresie. celujący Rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności.

10 FUNKCJA KWADRATOWA OCENA dopuszczający Szkicuje wykres i odczytuje własności funkcji y = ax 2, a 0 Zna wzory oraz sprawnie oblicza: wyróżnik funkcji kwadratowej, miejsca zerowe, współrzędne wierzchołka paraboli. Zna wzory opisujące postać ogólną, kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej i przekształca jedną postać na drugą. Szkicuje wykres funkcji kwadratowej i odczytuje jej własności z wykresu. Rozwiązuje równania kwadratowe z jedną niewiadomą, stosując wzory skróconego mnożenia, rozkład na czynniki oraz wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Rozwiązuje nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą, wykorzystując interpretację geometryczną nierówności kwadratowej. Zna i stosuje wzory Vietea w prostych przykładach. dostateczny Wyznacza największą oraz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w danym przedziale domkniętym. Wyznacza wzór funkcji kwadratowej w dowolnej postaci na podstawie wykresu. Rozwiązuje równania prowadzące do równań kwadratowych. Rozwiązuje układy równań za pomocą równań kwadratowych. Wyznacza zbiór rozwiązań układu nierówności kwadratowych. dobry Interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w dowolnej postaci. Rozwiązuje zadania dotyczące własności funkcji kwadratowej. Bada liczbę rozwiązań równania kwadratowego w zależności od parametru, gdy prowadzi to do rozwiązywania nierówności co najwyżej kwadratowych. Wykorzystuje wzory Vietea do analizy liczby rozwiązań równania kwadratowego. bardzo dobry Wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych. Rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do rozwiązywania równań i nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą. Szkicuje wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną, określonej w danym przedziale liczbowym. Wykorzystuje wzory Vietea do rozwiązywania zadań złożonych. celujący Wykorzystuje własności funkcji kwadratowej do interpretacji złożonych zagadnień osadzonych w kontekście praktycznym. Rozwiązuje zadania złożone o podwyższonym stopniu trudności.

11 PLANIMETRIA STOPIEŃ Dopuszczający Zna figury wypukłe i figury wklęsłe, podaje przykłady takich figur. Określa wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie. Zna pojęcia: kąt przyległy, kąt wierzchołkowy, kąty naprzemianległe i stosuje własności tych kątów w rozwiązywaniu prostych zadań. Rozpoznaje kąty powstałe w wyniku przecięcia dwóch prostych równoległych trzecią prostą. Zna określenie stycznej do okręgu (koła). Zna twierdzenie o stycznej do okręgu i wykorzystuje je w rozwiązywaniu prostych zadań. Zna pojęcie siecznej okręgu (koła). Zna twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu. Zna pojęcia: kąt środkowy, kąt wpisany w okrąg. Zna twierdzenie dotyczące kątów wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku i potrafi je stosować w rozwiązywaniu prostych zadań. Zna pojęcie symetralnej odcinka i dwusiecznej kąta. Zna twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i potrafi je stosować w rozwiązywaniu prostych zadań. Zna pojęcia: ortocentrum, środkowej i środka ciężkości trójkąta. Zna twierdzenie o środkowych trójkąta. Zna definicję trójkątów przystających, twierdzenie o cechach przystawania trójkątów i stosuje je w rozwiązywaniu prostych zadań. Zna definicję trójkątów podobnych, twierdzenie o cechach podobieństwa trójkątów i stosuje je w rozwiązywaniu prostych zadań. Rozumie pojęcie odległości na płaszczyźnie. Oblicza obwody i pola znanych wielokątów wypukłych. Zna twierdzenie Talesa oraz twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa i potrafi je stosować w rozwiązywaniu prostych zadań. Zna definicję jednokładności i definicję podobieństwa. Wyznacza obraz punktu, odcinka, wielokąta, koła w jednokładności o danym środku i danej skali. Zna i stosuje wzory na pole trójkąta. Zna i stosuje twierdzenia o obwodach i polach figur podobnych przy rozwiązywaniu typowych zadań. Zna i potrafi wykorzystać w rozwiązywaniu prostych zadań warunki, jakie musi spełniać czworokąt, aby można było opisać na nim okrąg. Zna i potrafi wykorzystać w rozwiązywaniu prostych zadań warunki, jakie musi spełniać czworokąt, aby można było wpisać w niego okrąg. Zna twierdzenie sinusów oraz cosinusów i potrafi je zastosować w prostych przykładach. dostateczny Bada wzajemne położenie prostej i okręgu. Określa wzajemne położenie dwóch okręgów w zależności od odległości środków tych okręgów i długości ich promieni. Wykorzystuje zależność między środkiem okręgu opisanego na trójkącie równobocznym i środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

12 Wykorzystuje wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny w zależności od długości boków tego trójkąta. Zna i stosuje wzór na pole trójkąta w zależności od jego obwodu i promienia okręgu wpisanego w trójkąt. Stosuje twierdzenie o odcinkach stycznych do rozwiązywania zadań. Bada współliniowość punktów. Stosuje własności jednokładności przy rozwiązywaniu typowych zadań. Potrafi rozwiązywać proste zadania geometryczne z zastosowaniem twierdzenia sinusów i cosinusów. dobry Uzasadnia, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180. Potrafi udowodnić twierdzenie Pitagorasa. Stosuje twierdzenie o środkowych trójkąta do rozwiązywania zadań. Stosuje twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion trójkąta. Uzasadnia podobieństwo trójkątów, stosując twierdzenie o cechach podobieństwa trójkątów. Potrafi udowodnić twierdzenie Talesa. Oblicz pola figur płaskich, w tym trójkątów, czworokątów, kół, stosując trygonometrię oraz twierdzenie sinusów i cosinusów. bardzo dobry Bada korzystając z nierówności trójkąta, współliniowość punktów, gdy odległości między nimi opisane są z użyciem parametru. Potrafi udowodnić twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu. Potrafi ocenić, czy trójkąt jest prostokątny, ostrokątny czy rozwartokątny oraz to uzasadnić. Uzasadnia,że w trójkącie środkowe dzielą się w stosunku: 1 2 Potrafi udowodnić twierdzenie o odcinku łączącym środki ramion trójkąta. Uzasadnia, że w trójkącie prostokątnym długość wysokości jest średnią geometryczną długości odcinków, na które ta wysokość dzieli przeciwprostokątną. Stosuje wektory do badania własności figur jednokładnych. Dowodzi poznane twierdzenia dotyczące czworokątów wpisanych i opisanych na okręgu. Dowodzi twierdzenie sinusów i cosinusów. celujący Rozwiązuje nietypowe zadania złożone o podwyższonym stopniu trudności dotyczące stycznych do okręgu oraz zależności między kątem środkowym i kątem wpisanym. Rozwiązuje nietypowe zadania geometryczne z wykorzystaniem własności figur jednokładnych i podobnych, dotyczące czworokątów wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu oraz wykorzystujących twierdzenie sinusów i cosinusów.

13 WIELOMIANY STOPIEŃ Dopuszczający Zna i wskazuje jednomiany podobne oraz zna i odróżnia równania wielomianowe od innych równań. Dodaje, odejmuje, mnoży sumy algebraiczne. Stosuje wzory skróconego mnożenia: (a ± b) 2, a 2 b 2 Rozkłada wyrażenia algebraiczne na czynniki stosując wzory skróconego mnożenia, metodę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodę grupowania wyrazów. Rozwiązuje proste równania, stosując metodę rozkładu na czynniki. Stosuje wzory skróconego mnożenia: (a ± b) 3, a 3 ± b 3 Zna pojęcie wielomianu jednej i wielu zmiennych oraz określa stopień wielomianu. Wykonuje dzielenie wielomianu przez dwumian: ax + b Zna i stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez: x p Sprawdza, czy podana liczba jest pierwiastkiem wielomianu. Zna i stosuje twierdzenia o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianu. Rozwiązuje zadania, w których mowa o podzielności wielomianów. Zna i stosuje twierdzenie Bezouta. Rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe, gdy wielomian jest zapisany w postaci iloczynowej. Określa krotność pierwiastków wielomianu. dostateczny Ustala dziedzinę wyrażenia algebraicznego opisującego sytuację np. z planimetrii. Rozwiązuje równania typu x n = a, n 2 Rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe, rozkładając wielomian na czynniki. dobry Rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do równań liniowych, kwadratowych lub wyższych stopni. Rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe o podwyższonym stopniu trudności. Rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do rozwiązywania nierówności wielomianowych. bardzo dobry Podaje równanie wielomianowe, gdy zna jego pierwiastki. Potrafi udowodnić twierdzenia o pierwiastkach całkowitych i wymiernych wielomianu. Rozwiązuje zadania tekstowe o podwyższonym stopniu trudności, korzystając z równań wielomianowych.

14 celujący Rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności, korzystając z nierówności wielomianowych oraz poznanych twierdzeń. WYRAŻENIA WYMIERNE STOPIEŃ dopuszczający Wskazuje przykłady wielkości odwrotnie proporcjonalnych. Zna i odróżnia równania wymierne od innych równań. Rozwiązuje proste równania wymierne prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych. Wyznacz dziedzinę równania, gdy w mianowniku jest wielomian co najwyżej drugiego stopnia lub wyrażenie zapisane w postaci iloczynowej. Oblicza wartość liczbową wyrażenia dla danej wartości zmiennej. Szkicuje wykres funkcji f(x) = a x, gdzie a 0, x 0 i opisuje jej własności. Dodaje, odejmuje, mnoży, dzieli, skraca, rozszerza wyrażenia wymierne. Rozwiązuje proste nierówności wymierne. dostateczny Przekształca wzory z innych dziedzin, np. fizyki, chemii oraz wyznacza wskazane zmienne z ich równań. Szkicuje wykresy funkcji f(x) = a + q, i opisuje ich własności. x p Rozwiązuje zadania tekstowe, stosując własności proporcjonalności odwrotnej. Przekształca wyrażenia wymierne. dobry Wyznacza wzór funkcji wymiernej na podstawie jej wykresu. Rozwiązuje zadania tekstowe dotyczące drogi, prędkości, czasu, prowadzące do równań wymiernych. Sporządza wykresy funkcji y = f(x) gdy f(x) = a x p bardzo dobry Sporządza wykres funkcji opisujący wielkości odwrotnie proporcjonalne. Rozwiązuje równania wymierne wymagające wykonania odpowiednich przekształceń. Rozwiązuje nierówności wymagające wykonania bardziej złożonych przekształceń. celujący Rozwiązuje zadania tekstowe o podwyższonym stopniu trudności, korzystając z równań wymiernych. Dowodzi tożsamości, w których występują wyrażenia wymierne. Rozwiązuje zadania tekstowe o podwyższonym stopniu trudności, korzystając z równań i nierówności wymiernych.

15 CIĄGI LICZBOWE STOPIEŃ dopuszczający Zna pojęcie ciągu liczbowego. Zna i stosuje wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Zna i stosuje wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego. i geometrycznego. Oblicza dowolny wyraz ciągu, gdy dany jest wzór ogólny. Sporządza wykres ciągu. Wyznacza pierwszy wyraz ciągu i jego różnicę na podstawie dwóch dowolnych wyrazów ciągu arytmetycznego. Wyznacza pierwszy wyraz ciągu i jego iloraz na podstawie dwóch dowolnych wyrazów ciągu geometrycznego. Zna pojęcie procentu składanego i stosuje go przy rozwiązywaniu prostych zadań. Wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem rekurencyjnym. Rozumie intuicyjnie pojęcie granicy ciągu. Rozpoznaje ciągi zbieżne do zera typu: 1 n, 1 n 2 Zna i stosuje twierdzenia o działania na granicach. Zna warunek zbieżności szeregu geometrycznego i bada zbieżność szeregu geometrycznego. dostateczny Sprawdza, które wyrazy ciągu należą do danego przedziału. Wyznacza różnicę ciągu na podstawie wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Wyznacza iloraz ciągu na podstawie wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego Wykorzystuje własność ciągu arytmetycznego do obliczania wyrazów ciągu arytmetycznego. Wykorzystuje własność ciągu geometrycznego do obliczania wyrazów ciągu geometrycznego. Oblicza kapitał zgromadzony w ciągu kilku lat przy stałym oprocentowaniu i kapitalizacji rocznej lub krótszej niż rok. Bada monotoniczność ciągu. Wskazuje ciągi, które nie mają granic. Wyznacza granice niewłaściwe ciągów. Oblicza sumę szeregu geometrycznego zbieżnego. dobry Bada na podstawie definicji, czy ciąg dany wzorem ogólnym jest ciągiem arytmetycznym, geometrycznym. Rozwiązuje zadania, które dotyczą ciągu arytmetycznego (geometrycznego) a ich rozwiązanie sprowadza się do rozwiązania układów równań liniowych z dwiema niewiadomymi lub równań kwadratowych. Rozwiązuje zadania związane z monotonicznością ciągu arytmetycznego (geometrycznego) Podaje wzór rekurencyjny, gdy dany ciąg jest określony wzorem ogólnym.

16 bardzo dobry Podaje wzór ogólny, gdy dany ciąg jest określony wzorem rekurencyjnym. Oblicza granice ciągów, korzystając z granic już znanych ciągów i stosując twierdzenia o działaniach na granicach. Potrafi napisać wzór ciągu na podstawie jego kilku początkowych wyrazów. Wyznacza dowolny wyraz lub liczbę wyrazów ciągu na podstawie informacji, wśród których jest dana suma n początkowych wyrazów ciągu. Rozpoznaje ciągi arytmetyczne i geometryczne w zadaniach tekstowych i rozwiązuje je. Wyznacza roczną stopę procentową, jeśli zna kapitał początkowy i oprocentowanie w podanym okresie kapitalizacji. Wyznacz liczbę lat, po której kapitał początkowy osiągnie daną wartość. Potrafi uzasadnić twierdzenia o działaniach na granicach ciągów. Potrafi uzasadnić, że ciąg nie ma granicy. Rozwiązuje zróżnicowane zadania, w których odwołuje się do warunku zbieżności szeregu geometrycznego. celujący Rozwiązuje zadania złożone o podwyższonym stopniu trudności dotyczące ciągu arytmetycznego, geometrycznego. Prowadzi proste rozumowania, np. dowodząc własności ciągu arytmetycznego, geometrycznego lub odwołując się do tych własności. Rozwiązuje problemy złożone, o podwyższonym stopniu trudności, w których odwołuje się do warunku zbieżności szeregu geometrycznego. TRYGONOMETRIA STOPIEŃ dopuszczający Zna definicje funkcji sinus, cosinus i tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Zna definicje funkcji sinus, cosinus i tangens kątów o miarach od 0 do 180. Wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o danych długościach boków. Odczytuje z tablic lub oblicza za pomocą kalkulatora wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta ostrego. Potrafi znaleźć w tablicach miarę kąta o danej wartości funkcji trygonometrycznej. Wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych kątów o miarach od 0 do 180. Rozwiązuje zadania geometryczne z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych kątów o miarach : 30, 45, 60. Zna pojęcia: kąt skierowany, kąt umieszczony w układzie współrzędnych. Zna pojęcie miary łukowej i zamienia stopnie na radiany i radiany na stopnie. Zna definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta. Przedstawia kąt o dowolnej mierze stopniowej w postaci : α=k 360 +β, gdzie 0 β 360 i k jest liczba całkowitą. Oblicza wartości funkcji trygonometrycznych, znając współrzędne punktu leżącego na ramieniu końcowym kąta.

17 Wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych. Stosuje wzory redukcyjne. Szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych i na podstawie wykresów określa własności tych funkcji. Rozwiązuje elementarne równania trygonometryczne z wykorzystaniem wykresów funkcji trygonometrycznych w określonych przedziałach. dostateczny Oblicza długości boków trójkąta, wykorzystując wartości funkcji trygonometrycznych. Potrafi obliczać wartości wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne kątów o miarach: 120, 135, 150. Rozwiązuje zadania z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych kątów o miarach od 0 do 180. Wyznacza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, gdy dana jest wartość jednej z nich. Stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów oraz sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. Stosuje wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta. Rozwiązuje proste nierówności trygonometryczne z wykorzystaniem wykresów funkcji trygonometrycznych w określonych przedziałach. dobry Zna i stosuje podstawowe tożsamości trygonometryczne. Stosuje zależności typu :sin(90 α) = cos α Rozwiązuje zadania geometryczne z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych. Szkicuje wykresy typu: y = k f(x), y = f(k x) gdzie f jest funkcją trygonometryczną. Rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu: sin 2x = 1 2, sin 2x + cos x = 1, sin x + cos x = 1, cos 2x < 1 2 bardzo dobry Potrafi wykazać prawdziwość bardziej złożonych tożsamości trygonometrycznych. Wyznacza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta o miarach od 0 do 180, wykorzystując proste tożsamości trygonometryczne. Wykorzystuje przekształcenia: symetrie, przesunięcie o wektor, wartość bezwzględną do szkicowania wykresów funkcji trygonometrycznych. Potrafi napisać wzór funkcji, której wykres otrzymano po przekształceniach danej funkcji trygonometrycznej. Uzasadnia wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów oraz sumę i różnicę sinusów i cosinusów kątów. celujący Rozwiązuje złożone zadania geometryczne z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych. Rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne o podwyższonym stopniu trudności. Przeprowadza trudniejsze dowody tożsamości trygonometrycznych.

18 GEOMETRIA ANALITYCZNA STOPIEŃ dopuszczający Zna równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej i sprawnie je zamienia. Sprawdza, czy punkt o danych współrzędnych należy do prostej opisanej równaniem. Potrafi napisać równanie prostej, gdy zna współrzędne dwóch punktów należących do niej lub gdy zna jej współczynnik kierunkowy i współrzędne punktu do niej należącego. Wyznacza współrzędne środka odcinka oraz długość odcinka. Wyznacza współrzędne punktu przecięcia się prostych. Zna i stosuje wzór na odległość punktu od prostej. Zna równanie okręgu w postaci ogólnej i kanonicznej oraz stosuje je w prostych przykładach. Zna nierówność opisującą koło oraz stosuje ją w prostych przykładach. dostateczny Bada za pomocą równania prostej, czy punkty są współliniowe. Wyznacza jeden z końców odcinka, gdy zna współrzędne drugiego końca i środka odcinka. Wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dany punkt i równoległej (prostopadłej ) do danej prostej. Zamienia równanie ogólne okręgu na kanoniczne. Oblicza odległość między prostymi równoległymi. dobry Bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych ( zapisanych również z użyciem parametru). Znajduje równanie prostej na podstawie podanych jej własności. Potrafi napisać równanie okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. Sprawdza położenie punktu względem danego okręgu (koła). Bada wzajemne położenie dwóch okręgów (kół). Wyznacza współrzędne punktów wspólnych prostej i okręgu. bardzo dobry Rozwiązuje zadania dotyczące figur geometrycznych, w których wykorzystuje umiejętność obliczania odległości dwóch punktów, wyznaczania środka odcinka oraz wyznaczania równań prostych równoległych lub prostopadłych do danych. Rozwiązuje zadania z parametrem dotyczące prostych i punktów w układzie współrzędnych. Potrafi napisać równania okręgu opisanego na dowolnym trójkącie lub wpisanego w dowolny trójkąt. Wyznacza równanie stycznej do okręgu x 2 + y 2 = r 2 gdy zna współrzędne punktu styczności. Potrafi napisać równanie stycznej do dowolnego okręgu, gdy zna punkt należący do tej prostej lub jej współczynnik kierunkowy. Potrafi napisać równanie okręgu stycznego do prostej o danym równaniu. celujący Rozwiązuje zadania złożone o podwyższonym stopniu trudności.

19 Rozwiązuje nietypowe zadania dotyczące figur geometrycznych oraz ich przekształceń w tym również z użyciem wektorów. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA STOPIEŃ dopuszczający Zna pojęcia potęg o wykładnikach: naturalnym, całkowitym, wymiernym, rzeczywistym oraz sprawnie stosuje prawa działań na tych potęgach. Zna definicję i własności pierwiastka oraz sprawnie stosuje prawa działań na pierwiastkach. Zna definicję funkcji wykładniczej, szkicuje wykresy funkcji wykładniczych oraz odczytuje własności na podstawie tych wykresów. Sprawdza, czy punkt należy do wykresu funkcji wykładniczej. Zna pojęcie logarytmu, oblicza logarytmy, wykonuje działania na logarytmach z wykorzystaniem poznanych praw. Zna definicję funkcji logarytmicznej, określa jej dziedzinę, szkicuje wykresy funkcji logarytmicznych oraz odczytuje własności na podstawie tych wykresów. dostateczny Przekształca wyrażenia zawierające pierwiastki i potęgi. Przekształca wykresy funkcji wykładniczych przez symetrie oraz przesunięcie równoległe względem osi układu współrzędnych. Przekształca wykresy funkcji logarytmicznych przez symetrie oraz przesunięcie o wektor. dobry Wyznacza wzór funkcji wykładniczej na podstawie wykresu funkcji. Szkicuje wykresy funkcji y = f(x) na podstawie wykresu funkcji wykładniczej ( logarytmicznej ) y = f(x). bardzo dobry Zapisuje wzór funkcji, której wykres otrzymano w wyniku dokonanych przekształceń danej funkcji wykładniczej. Zapisuje wzór funkcji, której wykres otrzymano w wyniku dokonanych przekształceń danej funkcji logarytmicznej. celujący Stosuje wiadomości o funkcjach wykładniczej i logarytmicznej do rozwiązywania problemów matematycznych osadzonych w kontekście praktycznym.

20 GRANICA I POCHODNA FUNKCJI STOPIEŃ dopuszczający Zna definicję granicy funkcji w punkcie. Zna definicję ciągłości funkcji w punkcie. Zna podstawowe funkcje, które są ciągłe w punkcie. Zna twierdzenia dotyczące funkcji ciągłych w punkcie (sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu). Zna twierdzenia dotyczące granic funkcji (sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu). Zna definicję granicy niewłaściwej funkcji w punkcie. Zna definicję granicy funkcji w plus i minus nieskończoności. Zna twierdzenia dotyczące granic funkcji w nieskończoności (sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu). Zna definicje granic jednostronnych w punkcie. Zna twierdzenia wyrażające zależność między granicą funkcji w punkcie a granicami jednostronnymi tej funkcji w danym punkcie. Zna pojęcie ilorazu różnicowego. Zna pojęcie pochodnej funkcji w punkcie i w zbiorze. Zna warunki, jakie musi spełniać pochodna funkcji, aby dana funkcja była monotoniczna w przedziale liczbowym. Zna warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji. Interpretuje geometrycznie granicę funkcji w punkcie oraz ilustruje ją na przykładach. Oblicza proste granice funkcji w punkcie, korzystając z ciągłości funkcji w punkcie. Oblicza proste granice funkcji w punkcie, korzystając z poznanych twierdzeń. Oblicza granice prawostronne i lewostronne funkcji w punkcie. Interpretuje geometrycznie granice jednostronne w punkcie. Odczytuje z wykresu funkcji jej granice jednostronne w danym punkcie. dostateczny Wyznacza równania asymptot pionowych. Wyznacza równania asymptot poziomych. Interpretuje geometrycznie ciągłość funkcji w punkcie. Interpretuje geometrycznie funkcję, która nie jest ciągła w punkcie. Wskazuje punkty nieciągłości funkcji. Oblicza wartość ilorazu różnicowego funkcji w punkcie. Rozumie różnicę między pojęciami pochodna funkcji w punkcie i pochodna funkcji. Wskazuje na wykresie funkcji jej ekstrema lokalne. Sprawdza warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego funkcji. Oblicza granice niewłaściwe funkcji wymiernych w punkcie. Oblicza granice funkcji wielomianowych i wymiernych w nieskończoności, korzystając z poznanych twierdzeń dotyczących granic. Wyznacza na podstawie twierdzeń o działaniach na pochodnych (iloczynu funkcji i stałej c, sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji) pochodne funkcji wielomianowych i wymiernych w zbiorze.

21 dobry Oblicza na podstawie definicji granice funkcji wielomianowych lub wymiernych w punkcie. Interpretuje geometrycznie uzyskane wyniki obliczonych granic funkcji w nieskończoności. Bada ciągłość funkcji w przedziale liczbowym, w którym funkcja jest określona. Oblicza z definicji pochodne znanych funkcji w danym punkcie. Interpretuje pochodną funkcji w punkcie (jako tangens kąta, który tworzy styczna do wykresu funkcji w tym punkcie z osią x). Wyznacza równanie stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie. Bada znak pochodnej i wyznacza przedziały, w których funkcja jest: rosnąca, malejąca, stała. Wyznacza minimum i maksimum lokalne funkcji w przedziale domkniętym. Wyznacza najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziale liczbowym, korzystając z wyznaczonych ekstremów lokalnych oraz przedziałów monotoniczności funkcji. Wyznacza zbiór wartości funkcji. Szkicuje wykresy funkcji wielomianowych i wymiernych, korzystając z wyznaczonych granic funkcji, asymptot wykresu funkcji i własności funkcji pochodnej. Stosuje pochodne funkcji wielomianowych i wymiernych do rozwiązywania zadań optymalizacyjnych. bardzo dobry Podaje przykłady funkcji, które nie mają granicy w punkcie. Uzasadnia, na podstawie definicji, istnienie granicy funkcji w punkcie lub brak granicy funkcji w danym punkcie. Bada ciągłość funkcji zdefiniowanych wzorami, w tym wzorami klamerkowymi, w danych punktach. Wykorzystuje w praktyce twierdzenia dotyczące funkcji ciągłych w punkcie (sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu). Oblicza granice funkcji w punkcie, korzystając z ciągłości funkcji w punkcie i poznanych twierdzeń. Podaje przykłady funkcji, które mają granice niewłaściwe w punkcie. Oblicza granice w nieskończoności funkcji o bardziej skomplikowanych wzorach. Podaje przykłady funkcji, które mają granicę lewostronną, a nie mają granicy prawostronnej w tym samym punkcie (i odwrotnie). Zna i rozumie interpretację geometryczną i fizyczną ilorazu różnicowego. Wyznacza pochodne funkcji wielomianowych i wymiernych w dowolnym punkcie. Podaje interpretację fizyczną pochodnej funkcji w punkcie (np. prędkość ruchu ciała w chwili t0 jako pochodna funkcji będącej drogą s(t) w punkcie t0). Stosuje do rozwiązywania zadań interpretację geometryczną i fizyczną pochodnej funkcji w punkcie. Rozróżnia ekstrema lokalne funkcji od najmniejszej i największej wartości funkcji. Bada przebieg zmienności funkcji i szkicuje jej wykres. celujący Rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące: granicy funkcji w punkcie i w nieskończoności, ciągłości funkcji w punkcie, ciągłości funkcji w przedziale liczbowym, pochodnej funkcji

22 w punkcie, własności pochodnej funkcji w zbiorze, związku monotoniczności funkcji z pochodną danej funkcji, ekstremum lokalnego funkcji, najmniejszej i największej wartości funkcji w przedziale liczbowym, związku monotoniczności funkcji i jej ekstremów lokalnych z pochodną danej funkcji. Rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności (w tym zadania z parametrem). STEREOMETRIA STOPIEŃ dopuszczający Zna definicję graniastosłupa. Wskazuje podstawy, ściany boczne, krawędzie podstaw, krawędzie boczne, wysokość, wierzchołki graniastosłupa. Zna pojęcie graniastosłupa prawidłowego. Wskazuje przekątne graniastosłupa. Rozróżnia graniastosłupy proste i pochyłe. Rozumie pojęcie graniastosłupa prawidłowego. Zna definicję ostrosłupa. Wskazuje podstawę, ściany boczne, krawędzie podstawy, krawędzie boczne, wysokość, spodek wysokości, wierzchołki ostrosłupa. Zna pojęcie ostrosłupa prawidłowego. Zna pojęcie kąta dwuściennego. Zna definicję walca. Wskazuje podstawy, powierzchnię boczną, tworzącą, wysokość, oś walca. Zna definicję stożka. Wskazuje podstawę, powierzchnię boczną, tworzącą, wysokość, oś stożka. Zna definicję kuli i sfery. Wskazuje: środek i promień kuli i sfery, koło wielkie kuli. Oblicza w prostych przykładach pole powierzchni całkowitej i objętość poznanych graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka, kuli. dostateczny Określa położenie dwóch płaszczyzn w przestrzeni. Określa położenie prostej i płaszczyzny w przestrzeni. Określa położenie dwóch prostych w przestrzeni. Rozróżnia proste prostopadłe, równoległe, skośne. Charakteryzuje prostopadłość i równoległość prostej i płaszczyzny. Rozumie pojęcie kąta nachylenia prostej do płaszczyzny. Rysuje siatki graniastosłupów. Rysuje siatki ostrosłupów. Rozumie pojęcie kąta dwuściennego. Rozumie pojęcia: przekrój osiowy walca, przekrój poprzeczny walca. Rysuje siatki walców. Rozumie pojęcia: przekrój osiowy stożka, przekrój poprzeczny stożka i kąt rozwarcia stożka. Rysuje siatki stożków.

23 dobry Charakteryzuje równoległość i prostopadłość prostej i płaszczyzny. Charakteryzuje prostopadłość i równoległość dwóch płaszczyzn. Określa, jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu. Rozwiązuje zadania geometryczne dotyczące graniastosłupów z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń. Wskazuje kąty między krawędziami ostrosłupa, krawędziami i przekątnymi podstawy ostrosłupa; oblicza miary tych kątów. Wskazuje kąty między krawędziami ostrosłupa i jego ścianami, przekątnymi podstawy ostrosłupa i jego ścianami; oblicza miary tych kątów. Rozwiązuje zadania geometryczne dotyczące ostrosłupów z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń. Rozpoznaje kąty między ścianami w graniastosłupach i ostrosłupach. Rozpoznaje w walcach kąty między odcinkami oraz kąty między odcinkami i płaszczyznami; oblicza miary tych kątów. Rozpoznaje w stożkach kąty między odcinkami oraz kąty między odcinkami i płaszczyznami, w tym kąt między tworzącą i podstawą, kąt rozwarcia stożka, oblicza miary tych kątów w prostych sytuacjach. Określa jaką figurą jest dany przekrój prostopadłościanu. Określa, jaką figurą jest dany przekrój sfery płaszczyzną. Określa jaką figurą jest dany przekrój graniastosłupa płaszczyzną. Określa jaką figurą jest dany przekrój ostrosłupa płaszczyzną. Zna definicję brył podobnych. Zna definicję skali podobieństwa brył podobnych. Rozumie pojęcia: graniastosłup wpisany w walec, graniastosłup opisany na walcu. Rozumie pojęcia: stożek wpisany w walec, walec wpisany w stożek. Rozumie pojęcia: kula wpisana w walec, walec wpisany w kulę. Rozumie pojęcia: kula wpisana w wielościan, kula opisana na wielościanie. bardzo dobry Uzasadnia warunek prostopadłości oraz równoległości prostej i płaszczyzny, dwóch prostych, dwóch płaszczyzn. Wyznacza rzuty prostokątne różnych figur płaskich na płaszczyznę. Stosuje rzuty prostokątne przy określaniu odległości dwóch płaszczyzn równoległych oraz prostej równoległej do płaszczyzny i tej płaszczyzny. Stosuje rzut prostokątny przy określaniu kąta nachylenia prostej do płaszczyzny. Opisuje własności równoległościanu. Bada zależność między liczbą ścian, krawędzi i wierzchołków wielościanu. Wykorzystuje wzór Eulera do sprawdzenia, czy istnieje wielościan wypukły o danej liczbie wierzchołków, krawędzi i ścian. Oblicza miary kątów między krawędziami graniastosłupa a jego ścianami, przekątnymi a ścianami. Bada istnienie danego przekroju prostopadłościanu. Rozwiązuje nietypowe zadania, dotyczące graniastosłupów, o podwyższonym stopniu trudności, z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń. Wyznacza podstawowe zależności w ostrosłupie, w tym w czworościanie foremnym. Oblicza miary kątów między krawędziami ostrosłupa a jego ścianami, przekątnymi podstawy ostrosłupa a jego ścianami. Rozwiązuje nietypowe zadania, dotyczące ostrosłupów, o podwyższonym stopniu trudności, z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń. Wyznacza miary kątów dwuściennych między ścianami graniastosłupów i ostrosłupów.

24 Rozwiązuje nietypowe zadania, dotyczące walców, o podwyższonym stopniu trudności, z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń. Rozwiązuje nietypowe zadania, dotyczące stożków, o podwyższonym stopniu trudności, z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń. Rozwiązuje nietypowe zadania, dotyczące kuli, o podwyższonym stopniu trudności, z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń. Wyznacza promień kuli wpisanej w wielościan wypukły w zależności od pola powierzchni całkowitej i objętości tego wielościanu. Stosuje twierdzenia o polu powierzchni całkowitej i objętości brył podobnych. Rozwiązuje zadania dotyczące brył wpisanych i opisanych. celujący Rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące krawędzi i przekątnych w graniastosłupie, pola powierzchni całkowitej i objętości graniastosłupa. Rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności związane z kątami dwuściennymi. Rozwiązuje nietypowe zadania złożone o podwyższonym stopniu trudności, z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych twierdzeń dotyczące ostrosłupa, kąta dwuściennego, pola powierzchni całkowitej i objętości walca, pola powierzchni i objętości stożka, pola powierzchni i objętości kuli, brył podobnych, brył wpisanych i opisanych oraz przekrojów. STATYSTYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA STOPIEŃ dopuszczający Przedstawia dane statystyczne za pomocą tabeli, diagramu słupkowego (pionowego lub poziomego), kołowego lub wykresu w układzie współrzędnych. Odczytuje dane statystyczne z tabel, diagramów i wykresów. Zna pojęcie średniej arytmetycznej i średniej ważonej skończonego zbioru danych i oblicza te średnie dla skończonego zbioru danych. Zna pojęcie mediany i mody i wyznacza medianę i modę skończonego zbioru danych. Zna pojęcie wariancji i odchylenia standardowego i w prostych przypadkach wyznacza wartość wariacji i odchylenia standardowego skończonego zbioru danych. Zna pojęcia: zdarzenie elementarne, zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, zdarzenie losowe. Opisuje możliwe wyniki danego doświadczenia losowego. Podaje przykład zdarzenia elementarnego w danym doświadczeniu losowym. Podaje przykład zdarzenia losowego w danym doświadczeniu losowym. Podaje przykład zdarzenia niemożliwego i zdarzenia pewnego w danym doświadczeniu losowym. Zna pojęcia: suma i iloczyn zdarzeń losowych, zdarzenie przeciwne do danego zdarzenia. Zna regułę mnożenia i regułę dodawania i stosuje je do zliczania obiektów w prostych zadaniach kombinatorycznych.

25 Zna klasyczną definicję prawdopodobieństwa i wyznacza w prostych przypadkach prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, stosując klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Zna pojęcie silni. Zna pojęcie permutacji, kombinacji, wariacji bez powtórzeń i wariacji z powtórzeniami. Zna pojęcie prawdopodobieństwa warunkowego i całkowitego. dostateczny najbardziej dogodny sposób przedstawienia analizowanych danych statystycznych. Porównuje dane statystyczne przedstawione na różne sposoby. Rozwiązuje zadania, w których wykorzystuje definicje średniej arytmetycznej, średniej ważonej, mediany i mody. Oblicza średnie, gdy dane są odpowiednio pogrupowane. Wyznacza wariancję i odchylenie standardowe, także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych. Oblicza częstość występowania określonych wyników na podstawie przeprowadzonego doświadczenia lub uzyskanych informacji. Wyznacza sumę i iloczyn zdarzeń losowych w danym doświadczeniu losowym. Wyznacza zdarzenie przeciwne do danego zdarzenia losowego. Wyznacza prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, korzystając z drzewa. Oblicza prawdopodobieństwo zdarzenia, wykorzystując prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do danego. Wyznacza liczbę permutacji, kombinacji zbioru n- elementowego. Stosuje pojęcie silni. Wyznacza liczbę k - elementowych wariacji bez powtórzeń i z powtórzeniami zbioru n-elementowego. Oblicza wartość symbolu Newtona. Opisuje doświadczenia wieloetapowe, używając drzewa. dobry Określa zależności między odczytanymi danymi. Interpretuje otrzymaną średnią arytmetyczną i średnią ważoną. Interpretuje wariancję i odchylenie standardowe. Wskazuje zdarzenia losowe wykluczające się. Oblicza prawdopodobieństwo sumy, iloczynu zdarzeń, korzystając z drzewa. Rozwiązuje zadania, w których wykorzystuje własności prawdopodobieństwa (w tym oblicza prawdopodobieństwo zdarzenia, wykorzystując prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do danego oraz oblicza prawdopodobieństwo sumy zdarzeń). Opisuje doświadczenia wieloetapowe. Rozwiązuje zadania kombinatoryczne, wykorzystując permutacje, kombinacje i wariacje. Rozwiązuje równania i nierówności, w których występują liczby zapisane za pomocą symbolu Newtona. Potrafi dobrać odpowiedni model do obliczenia mocy przestrzeni zdarzeń elementarnych i mocy zdarzenia losowego. Wyznacza prawdopodobieństwo warunkowe, korzystając z definicji. Wykorzystuje prawdopodobieństwo całkowite. bardzo dobry Rozwiązuje nietypowe zadania, o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące prezentacji danych statystycznych (przedstawia dane wymagające

26 pogrupowania w postaci szeregu rozdzielczego, porównuje zestawy danych pogrupowanych na podstawie opisujących je parametrów). Rozwiązuje zadania, w których dobiera algorytm postępowania, wykorzystując definicje i własności średniej arytmetycznej lub średniej ważonej (wyznacza cechy zestawu danych podanych w postaci szeregu rozdzielczego). Rozwiązuje zadania, w których dobiera algorytm postępowania, wykorzystując definicje i własności, mediany lub mody (wyznacza cechy zestawu danych podanych w postaci szeregu rozdzielczego). Rozwiązuje nietypowe problemy, w których wykorzystuje definicje poznanych parametrów statystycznych.. Rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności związane z częstością występowania. Rozwiązuje zadania złożone związane z doświadczeniami losowymi. Rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności związane z działaniami na zdarzeniach losowych. Rozwiązuje zadania złożone z wykorzystaniem reguły mnożenia i reguły dodawania. Rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności z wykorzystaniem różnych metod obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń. Rozwiązuje zadania o podwyższonym stopniu trudności w oparciu o znane własności prawdopodobieństwa Opisuje zdarzenia elementarne, przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe, używając języka zbiorów. Rozwiązuje nietypowe problemy, w których wykorzystuje pojęcia permutacji n- elementowej i k- elementowych wariacji bez powtórzeń i z powtórzeniami zbioru n-elementowego. Rozwiązuje nietypowe problemy, w których wykorzystuje definicję i własności k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego. Wyznacza prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, wykorzystując wzory na liczbę permutacji, wariacji bez powtórzeń, wariacji z powtórzeniami i kombinacji. Rozwiązuje nietypowe problemy, w których wykorzystuje klasyczną definicję prawdopodobieństwa. Oblicza prawdopodobieństwo całkowite z wykorzystaniem wzoru na prawdopodobieństwo całkowite. Rozwiązuje nietypowe problemy, w których wykorzystuje prawdopodobieństwo warunkowe i prawdopodobieństwo całkowite. Potrafi uzasadnić własności prawdopodobieństwa. Rozwiązuje nietypowe problemy, w których wykorzystuje własności prawdopodobieństwa. celujący Rozwiązuje różne złożone zadania o podwyższonym stopniu trudności związane z elementami statystyki opisowej oraz teorii prawdopodobieństwa i kombinatoryki.