Prova Esonero Elettromagnetismo (a.a. 2017/18, S. Giagu/F. Lacava/F. Piacentini) Esercizio 2 θ L

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Włodzimierz Franciszek Wróblewski
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Pova Esoneo Elettomagnetismo - 0.0.08 (a.a. 07/8, S. Giagu/F. Lacava/F. Piacentini) Risolvee i due esecizi poposti: tempo massimo oe.

1 Pova Esoneo Elettomagnetismo (a.a. 07/8, S. Giagu/F. Lacava/F. Piacentini) Risolvee i due esecizi poposti: tempo massimo oe. Esecizio Su un conduttoe sfeico di aggio R e depositata una caica Q. Concentico al conduttoe e posto un guscio sfeico, di aggio inteno e aggio esteno R, sul quale e distibuita una caica localizzata la cui densita di volume ρ() dipende solo dalla distanza dal cento del sistema. Si chiede di: a) deteminae la funzione ρ() che pemette di avee un campo elettico in modulo costante su tutto il guscio; b) calcolae la caica totale Q contenuta nel guscio sfeico; c) veificae che il campo elettico e continuo pe > R, e disegnane l andamento in funzione di ; d) icavae l espessione dell enegia elettostatica U del sistema (senza calcolo numeico). <latexit sha_base6="v+scgv+sfpedwsjfwe5ujimjgi=">aaab6nicbvdlsgnbeoynxhfuy9ebopgkewgqy9blx7jiw9ilja7mugzmum7cwpijxjwotuv8ubfoenoifduvvn9dqskfqdf9dgp6xubw8xt0s7uv5b+fcozejum95syxj6cgs6fewvk0pegetsy8z89hpxrstqescj9ym6vciujkkvhu77tx65lbdocgq8xjsgrynfvmnhzgngftfjjup6boj9rjyjjpiusmtysz0yluwkhpxfzu6fzcodesbaliyv9pzdqyzhiftjoiodllz8z+umgf75mvbjilyxxaiwlqrjmvubditmdoxeesq0slcsnqkamtplgwivllq6rvqpubu7qnsv8zikcakncaexeidbqebtwawhgdhtdhoi/ou/oxac0+cwx/ihz+qptqy7</latexit> R R <latexit sha_base6="xaesmgk/whbs0ljwee6gvkza=">aaab6nicbvdlsgnbeoynxhfuy9ebopgkeyqomegf/xqcs5id9czdzmexmvhlpelxu8eoxefnvncr70mschqkqm+6uibfcg9f9dgoqvg8xn0tbzu5eef+gqenumwywwmsqhvcngtsggethofnaoetolrzdrvpahspjapzpygh9gb5cfnfjpb5itxko7amxqkpek9+zfli5sgcapxmtdugcetdvgncygosgoppbfqp5udoienvumtmfapcez9fderiotxfgoynqhnrm/ezuhfd+xmwsgprsvihmbtexmf5n+lwhmjscwwksjgjfmbhplgwiully6r5vvxcqnduald5euqiorq8uiqaeidgsbgam/wcm+ocf6cd+djlpw8pld+apn8wfuxy8</latexit> <latexit sha_base6="jt8+x0hshxpwh+dattestxm=">aaab6nicbvdlsgnbeoynxhfuy9ebopgkeykei9blx7jiw9ilja7mugzmum7cwpijxjwotuv8ubfoenoifduvvn9dqskfqdf9dgp6xubw8xt0s7uv5b+fcozejum95syxj6cgs6fewvk0pegetsy8z89hpxrstqescj9ym6vciujkkvhu77x9ccavuhgsvedmpqi5gv/zvg8qsjbhcjqxxc9n0m+orsen5z6qeejzwm65flfy8bp5qvnyzpubcwntsygzq78nmhozmcxlrhjllbyb+5vtdk/8tkgra7yylgysoixmfnbjzhnjicwvafsjgfngdp0sjyeb/nlvdk6qhpubu7nsv8zikcakncaekaot9cajjaywjo8wpsjnrfnflytbacfoyy/sd5/ahrvy6</latexit> Q <latexit sha_base6="fwifxdwmnnzosg6qgv7+fpwi8=">aaab6nicbvbns8naejuq/qh69lbbbu0leqmeif8tg9oq9lsj+szsbsboqs+ho8efdeq7/im//gbzudtjyelww8y8ibfcg9f9dgobmvbo8xd0t7+wefr+fienumwyxwmsqgcngtsgwedhofnaoedoljdzvpkhspjapzpqgh9gr5cfnfjpotnwbuwkwuxiovey0fcjqg5a/+mgzphniwqbxuew5i/iwqw5nawamfawom9ar9iyvneltzttz+tckmsxsqwngsh/p7iaktnapsz0tnwk96c/e/5ea8mbpuexsg5itfwpicym87/jctrwtouxxeythy6oomzadgbw5nbsvqp5b9zxlfpthcrzuaclsgdgtthhhqagyjeizxehoe8+k8ox/loktz5zchzifp9ajx=</latexit> () <latexit sha_base6="enztwf06dhaodygjdahhycwceiw=">aaab7nicbvdlsgnbeozgem6thlybdijeykomegf8rzaosjcxoosmqzllzlyisz7ciwdfvpo9vwbj8enlggoajqpssgqve/vbxjct7cjocxdv/+cwdhtcncvdbtmcaxbetuoumsg5vzgo9fi0hgkxfzfzwedlxy0wtdmalhbgznaxtsfxrk5x9qj8hwsvbtsqqo9fxx7iquxsssenayt+inm6otzwknxw5qmkfstifycvtsgeyzc+dnon9mlaavfsn6eykjstgtohkdmbujs+znxp+8tmohnhgzzjalgyxajakyhwz/u76xcozyuiizzq7wwbuuzdqvxqjb8suphlzdfxq8hbvtmcrtgfm6gagfcqwuoqnydcgzifny/xxx7pruublmyfwb97nd7u8jyg=</latexit> Dati: R = 5.00 mm, = 7.50 cm, R = 0.0 cm, Q =.50 nc A S=L Esecizio θ L Una lasta dielettica quadata di spessoe d e lato L d e costituita da mateiale dielettico h pefetto ed isotopo di costante dielettica elativa. La lasta e posta al cento (vedi figua) di un condensatoe piano con amatue quadate di lato L, inizialmente caicato in modo che il campo elettico nello spazio inteno vuoto abbia valoe E0. I due estemi della lasta sono connessi come in figua a due molle ideali di costante elastica e lunghezza a iposo nulla. La lasta si tova in equilibio e foma un angolo θ ispetto alla diezione paallela alle amatue del condensatoe. B Tascuando gli effetti di bodo, e assumendo che il campo elettico in possimita delle supefici estene del dielettico consevi la diezione otogonale alle supefici del condensatoe, deteminae, in funzione dell angolo θ: a) l espessione del campo elettico E all inteno della lasta e l angolo θ0 che esso foma con la nomale alla supeficie della lasta stessa; b) le densita di caica di polaizzazione nel dielettico; c) l espessione della enegia elettostatica all inteno del dielettico (si assuma la densita di enegia elettostatica unifome all inteno del dielettico). Infine si tovi: d) l espessione del momento meccanico complessivo agente sul dielettico e l espessione di cos θ (consideae le molle come oizzontali). Si suppongano noti: d,, h, L,, E0 ]

2 Soluzione a) All inteno dello stato sfeico, indicando con E il valoe costante del campo adiale, la pima equazione di Maxwell in coodinate sfeiche si scive: Ne segue: E = ρ() d d ( E ) = ρ() d d ( E ) = ρ() E = ρ() ρ() = E Allo stesso isultato si peviene natualmente dal teoema di Gauss applicato all inteno dello stato (R < < ): Φ E () = Q + Q () π E = Q + ρ( )π d essendo Q () la caica nello stato a distanza adiale dal cento compesa ta e. Diffeenziado i due membi: 8πE d = dq () = π ρ() d e quindi: ρ() = E Il valoe del campo elettico E è deteminato dalla ichiesta di campo costante su tutto lo stato, quindi anche pe = dove è pesente il campo geneato dalla sola caica Q : E = Q π =.99 V/m E quindi pe ρ si tova: ρ() = Q π In altenativa il valoe di E si può tovae applicando il teoema di Gauss su una supeficie sfeica di aggio intena allo stato (con < < R ): π E = Q + Q () Q () = ρ( )π d = E π d = π E ( ) che inseita nella pecedente pemette di icavae pe E il valoe già scitto sopa. b) Da quanto tovato in pecedenza, la caica totale nello stato Q = Q (R ) isulta: ( ) R Q = π E (R ) = Q =.9 nc c) All inteno del conduttoe ( < R ) il campo elettico è nullo. Dal teoema di Gauss pe R < è immediato: Pe R il campo è E e pe R : E() = π Q E( ) = E = π Q E() = π Q + Q () = π Q E(R ) = E

3 E() E R R d) Pe tovae l enegia elettostatica si può integae la densità di enegia u = E / su tutto lo spazio. ( ) Q U = R π π d = Q ] 8π R R E U = π d = Q R R ] 8π R U = R ( Q ) π π d = Q R 8π R U T ot = U + U + U = Q 8π R + R ]

4 Soluzione a) Indicando con E 0 il campo elettico nel vuoto e con E il campo elettico nel dielettico, avemo che essendo la componente del campo elettico paallela alla supeficie del dielettico continua nel passaggio dal dielettico al vuoto: E = E 0 = E 0 sin θ. La componente dello spostamento elettico otogonale alla supeficie del dielettico è anche essa continua, inolte campo elettico e spostamento elettico sono legati dalla elazione D = ɛe, pe cui: D = D 0 ɛ E = E 0 E = E 0 = E 0 cos θ. ɛ ɛ E = E 0 cos θ ɛ ] + sin θ L angolo θ fomato da E con la nomale alla supeficie del dielettico isulta quindi dato da: tan θ = E E = ɛ tan θ. E si tova facilmente: b) cos θ = cos θ ɛ cos θ ɛ + sin θ ] sin θ = sin θ cos θ ɛ + sin θ ] Applicando il teoema di Gauss pe E ad una supeficie cilindica con asse pependicolae alla supeficie del dielettico e basi S una all inteno del dielettico e una all esteno, avemo: dφ = E 0 S E S = σ ps σ p = (E 0 E ) = E 0 cos θ( ɛ ). In altenativa si può calcolae l intensità di polaizzazione P dento il dielettico e poi la caica di polaizzazione σ P : che da quanto tovato in pecedenza pe E e cos θ isulta: come già tovato. P = (ɛ )E σ P = P ˆn ext = P cos θ σ P = (ɛ )E 0 cos θ ɛ = E 0 cos θ( ɛ )

5 c) La densità di enegia elettica all inteno del dielettico è data da: u E = D E = ɛ E = ɛ (E + E ) = ɛ E 0( cos θ ɛ + sin θ). assumendo unifome la densità di enegia all inteno del dielettico avemo pe l enegia: U E (θ) = u E dτ = dl u E = dl ɛ E0( cos θ ɛ + sin θ). d) Il momento meccanico agente sul dielettico è dato dalla somma della coppia meccanica dovuta alla foze elastiche applicate dalle due molle e dal momento dovuto al campo elettostatico che tende a allineae la lasta nella diezione θ = 0 (l enegia elettostatica all inteno del dielettico calcolata in (c) è infatti minima pe θ = 0. Avemo: M E = du E dθ M = L ( + cos θ) sin θ. = dl ɛ E0( cos θ sin θ ɛ + cos θ sin θ) = dl E0 cos θ sin θ(ɛ ); ɛ Uguagliando a zeo a somma dei due momenti e isolvendo ispetto a θ: dl E0 cos θ sin θ(ɛ ) + L ( + cos θ) sin θ = 0 ɛ cos θ = d E0 cos θ(ɛ ) + ( + cos θ) = 0 ɛ d ɛ0 ɛ E 0 (ɛ ) = d ɛ0 ɛ ( V0 h ) (ɛ ). 5

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