Algorytm Chaitin a. Problem kolorowania grafu. Krzysztof Lewandowski Mirosław Jedynak

Transkrypt

1 Algorytm Chaitin a Problem kolorowania grafu Krzysztof Lewandowski Mirosław Jedynak

2 Wstęp Szybkie zwiększenie prędkości procesorów wolniejszy rozwój prędkości dostępu do pamięci Kilkupoziomowy dostęp do pamięci (rejestry L1, L2, RAM, HD) Problem optymalnego wykorzystania poszczególnych rodzajów pamięci zadanie dla kompilatora

3 Przydział rejestrów Dostęp do rejestrów - najszybszy Zależne od architektury ilość i rodzaj rejestrów Z wymianą zawartości rejestrów związany jest dodatkowy koszt czas Najbardziej popularna metoda to k-kolorowanie grafu takie oznaczenie wszystkich wierzchołków grafu (korzystając z k kolorów), aby żadne sąsiadujące wierzchołki nie miały tego samego koloru G.J. Chaitin w publikacji pt. Register allocation via graph coloring zademonstrował, że problem przydziału rejestrów jest izomorficzny ze znanym problemem kolorowania grafu. k ilość rejestrów procesora Problem NP-zupełny dla k>2 algorytmy heurystyczne

4 Graf zależności W oparciu o kolejność instrukcji kompilator tworzy szereg grafów zależności (interference graph) Wierzchołek reprezentuje tymczasową wartość Krawędź (t 1,t 2 ) wskazuje że zmienne t 1 i t 2 nie mogą zostać przypisane do jednego rejestru (obie wartości są używane równocześnie)

5 Algorytm kolorowania 1. Build budowa grafów zależności na podstawie informacji o czasie życia zmiennych 2. Simplify Odkładanie na stos lokalnie kolorowalnych wierzchołków 3. Spill Jeśli nie jest możliwe k-kolorowanie grafu to wybranie wierzchołka przeznaczonego do przechowania w pamięci 4. Select Ściąganie ze stosu i kolorowanie wierzchołków

6 Algorytm kolorowania Dla grafu G i k kolorów: (1) Usuń z G wierzchołek v, którego ilość sąsiadów jest mniejsza niż k i odłóż go na stos (2) Usuń wszystkie krawędzie wychodzące v i powtarzaj (1) dopóki (a) v (b): (a) Graf G jest pusty (b) Nie ma wierzchołka z mniej niż k sąsiadami (3) Jeśli spełniony warunek (2a) to pokoloruj graf ściągając ze stosu wierzchołki v odtwarzając strukturę grafu, przypisując wierzchołkowi v kolor c, którym nie jest pokolorowany żaden z sąsiadów v (4) Jeśli spełniony (2b) wybierz wierzchołek v przeznaczony do przesłania do pamięci, usuń go z grafu i rozpocznij od początku

7 x = y++ + z

8 x = y++ + z #1: leaf y #2: operate #1 + 1 #3: assign y := #2 : leaf z : operate #2 + : assign x :=

9 x = y++ + z #1 #1: leaf y #2: operate #1 + 1 #3: assign y := #2 : leaf z : operate #2 + : assign x := #3 #2

10 x = y++ + z #1 #1: leaf y #2: operate #1 + 1 #3: assign y := #2 : leaf z : operate #2 + : assign x := #3 #2

11 x = y++ + z #1 #1: leaf y #2: operate #1 + 1 #3: assign y := #2 : leaf z : operate #2 + : assign x := #3 #2

12 #1 #2 #3 Problem przydziału 3 rejestrów 3-kolorowanie grafu #8 #0 #9

13 #1 #2 #3 #8 #9 #0 Wybieranie wierzchołków o ilości sąsiadów mniejszej niż 3

14 #1 #2 #3 #8 #9 #0 Wybieranie wierzchołków o ilości sąsiadów mniejszej niż 3

15 # #9 #0 Wybieranie wierzchołków o ilości sąsiadów mniejszej niż 3

16 # #9 #0 Brak wierzchołków o ilości sąsiadów mniejszej niż 3 rozpoczynanie od początku bez wierzchołka #8

17 #1 #2 #3 #9 #0 Wybieranie wierzchołków o ilości sąsiadów mniejszej niż 3

18 3 2 1 #9 #0 Wybieranie wierzchołków o ilości sąsiadów mniejszej niż 3

19 Wybieranie wierzchołków o ilości sąsiadów mniejszej niż 3

20 Wybieranie wierzchołków o ilości sąsiadów mniejszej niż 3

21 7 #1 #2 # # #9 Ściąganie ze stosu i kolorowanie wierzchołków

22 7 #1 #2 # # #9 Ściąganie ze stosu i kolorowanie wierzchołków

23 7 #1 #2 # # #9 Ściąganie ze stosu i kolorowanie wierzchołków

24 7 #1 #2 # # #9 Ściąganie ze stosu i kolorowanie wierzchołków

25 7 #1 #2 # # #9 Ściąganie ze stosu i kolorowanie wierzchołków

26 7 #1 #2 # # #9 Ściąganie ze stosu i kolorowanie wierzchołków

27 7 #1 #2 # #0 3 2 #9 3-kolorowanie zakończone 1

28 Niedoskonałości Nawet dla prostych grafów może nie znaleźć rozwiązania (niemożliwe 2-kolorowanie): Nie jest zorientowany na przepływ sterowania (np. pętle) Działa na etapie kompilacji bardziej wydajny byłby na etapie linkowania wywołania procedur; zmienne globalne

29 Podsumowanie Bardzo prosty algorytm dla grafów, które są k-kolorowalne działa w liniowym czasie w stosunku do liczby wierzchołków Inne bardziej wydajne algorytmy np. Chaitin-Briggs i Callahan-Koblenz Implementowany w większości kompilatorów