Kolegium Dziekańskie Dziekan: Prof.dr hab.inż. Tadeusz Glinka Prodziekani: Doc.dr hab.inż. Krzysztof Kluszczyński Doc.dr hab.inż.

Transkrypt

1 WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY Wydział Elektryczny został powołany do życia w 1945 roku jako jeden z pierwszych czterech wydziałów Politechniki Śląskiej. W jego skład wchodzą cztery instytuty: - Instytut Elektroenergetyki i Sterowania Układów (REI) - Instytut Metrologii i Automatyki Elektrotechnicznej (RE2) - Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Przemysłowej (RE3) - Instytut Maszyn i Urządzeń Elektrycznych (RE4) Kadra dydaktyczna Wydziału to obecnie 109 nauczycieli akademickich, w tym 6 z tytułem profesora, 15 samodzielnych pracowników naukowych ze stopniem naukowym doktora habilitowanego i 53 adiunktów. Wydział posiada prawa nadawania stopni naukowych doktora i doktora habilitowanego. Wydział prowadzi pięcioletnie studia na kierunku Elektrotechnika w następujących specjalnościach: - automatyka i metrologia elektryczna, - elektroenergetyka, - maszyny i urządzenia elektryczne, - przetwarzanie i użytkowanie energii elektrycznej, - trakcja elektryczna. W około 70% program studiów jest wspólny dla wszystkich specjalności. Pozostałe 30% zajęć programowych odbywa się - począwszy od siódmego semestru w ramach specjalności i kierunków 'dyplomowania. Program studiów charakteryzuje się dużym udziałem elektroniki, energoelektroniki, automatyki, informatyki i techniki mikroprocesorowej. Pozwala to na nabycie gruntownej wiedzy w zakresie projektowania, konstrukcji i eksploatacji urządzeń i układów stosowanych w różnych dziedzinach nowoczesnego przemysłu: aparatury kontrolno-pomiarowej i zautomatyzowanych systemów pomiarowych, układów regulacji i systemów sterowania, półprzewodnikowych układów zasilających i napędowych, układów automatyki zabezpieczeniowej, systemów informatycznych i diagnostycznych itd.

2 Bazę lokalowo-techniczną Wydziału stanowi ra.in. dwadzieścia nowocześnie wyposażonych laboratoriów dydaktycznych i badawczych. Wyróżniający się \.studenci mogą współuczestniczyć w pracach naukowo-badawczych prowadzonych przez działające na Wydziale instytuty. Na Wydziale działa również studenckie koło komputerowe dysponujące własnym sprzętem. Zainteresowani mogą także uczestniczyć w otwartych seminariach z języka angielskiego (technicznego). Wydział przywiązuje dużą wagę do adaptacji studentów do studiów. W tym celu skorygowano programy nauczania na początkowych semestrach oraz wprowadzono system stałych indywidualnych opiekunów dydaktycznych (tzw. tutorów). W analizie socjologicznej, przeprowadzonej wśród studentów pierwszego roku w 1991 roku, Wydział uzyskał za te działania - a także za dobrą pracę dziekanatu - najwyższe na całej Uczelni oceny. Wydział prowadzi szeroką działalność naukową i badawczą. Prace te są finansowane przez Komitet Badań Naukowych, są wykonywane na zlecenie zakładów przemysłowych, bądź też są podejmowane przez pracowników w ramach tzw. prac własnych. Prace naukowo-badawcze obejmują następującą tematykę: - analiza, automatyzacja i sterowanie systemów elektroenergetycznych, linie t przesyłowe i stacje rozdzielcze, automatyka zabezpieczeniowa, projektowanie i eksploatacja urządzeń elektrycznych, technika izolacyjna, systemy ekspertowe dla komputerowych systemów wspomagania dyspozytorów elektroenergetycznych, - teoria i komputerowo wspomagane projektowanie maszyn elektrycznych, energoelektroniczne układy zasilania i regulacji maszyn elektrycznych, mikroprocesorowe układy sterowania, trakcja elektryczna, elektronizacja taboru trakcyjnego, elektrotermia, - analiza i synteza obwodów elektrycznych, numeryczna analiza pól magnetycznych i elektrycznych, teoria mocy, miernictwo wielkości elektrycznych i nieelektrycznych, miernictwo dynamiczne i stochastyczne, mikroprocesorowe systemy pomiarowe. Kolegium Dziekańskie Dziekan: Prof.dr hab.inż. Tadeusz Glinka Prodziekani: Doc.dr hab.inż. Krzysztof Kluszczyński Doc.dr hab.inż. Kurt Zmuda

3 SPIS TREŚCI str. 1. Krzysztof Kluszczyński, Piotr Malicki: Model matematyczny indukcyjnego silnika klatkowego uwzględniający prądy poprzeczne w wirniku 7 2. Krzysztof Kluszczyński, Piotr Malicki: Komputerowa analiza wpływu prądów poprzecznych w wirniku indukcyjnego siinlka klatkowego na momenty pasożytnicze Krzysztof Kluszczyński, Roman Miksiewicz: Pasożytnicze momenty synchroniczne w silniku indukcyjnym w obecności składowej przeciwbieżnej pola magnetycznego Krzysztof Kluszczyński, Piotr Malicki: Dobór dodatkowegca. pierścienia zwierającego w środku pakietu wirnika silnika indukcyjnego Krzysztof Kluszczyński, Dariusz Spałek: Nieharmoniczna analiza pracy maszyny asynchronicznej Krzysztof Kluszczyński, Dariusz Spałek: Symulacja komputerowa stanów ustalonych i nieustalonych maszyny asynchronicznej dla modelu o współczynnikach Indukcyjnych wzajemnych przedziałami stałych Margarita Arutiujan, Siergiej Biegulian: Równania nieustalonego prądu zwarcia trójfazowego generatora synchronicznego asynchronizowanego Bogusław Grzesik, Zbigniew Kaczmarczyk: Program komputerowej analizy przekształtników diodowych z uogólnionym badaniem struktury komutacji Zofia Cichowska: Modele ze źródłami sterowanymi cewek sprzężonych magnetycznie H? 10. Lesław Topór-Kamiński: Rozszerzenie przecięcia dwójnika rezystancyjnego na uogólnione dwójniki osobliwe Marian Pasko: Dobór kompensatorów optymalizujących pracę rzeczywistego źródła napięć odkształconych i linii przesyłowej Janusz Walczak, Marian Pasko: Generator okresowych przebiegów odkształconych Wspomnienie o Bronisławie Śliwie Wspomnienie o Marianie Kolmerze Wspomnienie o Zbigniewie Ryczko 179 4

4 CONTENTS 1. Krzysztof Kluszczyński, Piotr Malicki: Mathematical model of squirrel-care motor allowing for transverse currents in rotor Krzysztof Kluszczyński, Piotr Malicki: Computer analysis of influence of transverse currents in rotor of squirrel-cage motor on parasitic torques Krzysztof Kluszczyński, Roman Miksiewicz: Parasitic synchronous torques in 3-phase squirrel-cage motor in presence of backward rotating magnetic field Krzysztof Kluszczyński, Piotr Malicki: Choice of additional ring in the midst of rotor core in squirrel-cage motor Krzysztof Kluszczyński, Dariusz Spalek: Non-harmonic analysis of behaviour asynchronous machine Krzysztof Kluszczyński, Dariusz Spalek: Computer simulation of steady transient states of asynchronous machine according to model with piecewise constant mutual inductance coefficients Margarita Arutiujan, Siergiej Biegulian: Equation of transient short-circuit current of three-phase synchronous generator working in asynchronous state Bogusław Grzesik, Zbigniew Kaczmarczyk: Program for generalized analysis of commutation structure of diode power electronic converters Zofia Cichowska: Models with control sources for magnetically coupled coils Lesław Topór-Kamińskl: Enlargement of notion of resistive one-port upon generalized peculiar one-ports Marian Pasko: Selection of compensations optimizing the work of real source of deformedvoltages and transmission line Janusz Walczak, Marian Pasko: Generator of nonsinusoidal waveform 15 7

5 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1992 Seria: ELEKTRYKA z.126 Nr kol Krzysztof KLUSZCZYŃSKI Piotr MALICKI Instytut Maszyn i Urządzeń Elektrycznych Politechniki Śląskiej MODEL MATEMATYCZNY INDUKCYJNEGO SILNIKA KLATKOWEGO UWZGLĘDNIAJĄCY PRĄDY POPRZECZNE W WIRNIKU Streszczenie. W artykule opisano model matematyczny indukcyjnego silnika klatkowego, uwzględniający zarówno wyższe harmoniczne przestrzenne przepływu uzwojeń stojana i wirnika, jak i prądy poprzeczne w wirniku. Przedstawiono analityczne rozwiązanie dla modelu z równomiernym ciągłym rozkładem rezystancji pomiędzy prętami wirnika dla stanu ustalonego. MATHEMATICAL MODEL OF SQUIRREL-CAGE MOTOR ALLOWING FOR TRANSVERSE CURRENTS IN ROTOR Summary. A mathematical model of squirrel-cage motor allowing for both MMF space harmonics of stator and rotor windings and transverse currents in rotor iron has been presented. Analitical solution for a model with continuous distribution of bar-to-bar resistance has been found at steady-state. MATEMATHHECKAR MOflERb ACHHXPOHHOTO K0P0TK03AMKHYT0r0 RBHFATEJ15I YHHTNBAIOIUASI noiiepehhble TOKH B POTOPE Pe3Btie. B CTaTbe orihcaha MaTeMaTHHecKaa Monenb achhxpohhoro KopoTKoiaMKHyroro rtburatens, yhhthbaiomaa ksk BbicioHe npoctpahctbehhbie rapmohhkh MarHHTOHBHSybeft cnnbi, Tax h nonepehhbie tokh b potope. ripenctabnehbi ahanhthheckhe peaema ana Monenn c pabnotiephbm, cnnouihbim pacnpeqenehhem akthbhoro conpothbnehhs Me*ny ctep*hsmh potopa b yctahobhbluhmcfl COCTOSHHH.

6 8 K. Kluszczyński, P. Malicki, 1. WSTĘP W indukcyjnych silnikach klatkowych nieizolowane pręty klatki wirnika, zwłaszcza wirnika zalewanego aluminium, przylegają bezpośrednio do powierzchni pakietu żelaza, w wyniku czego pomiędzy prętami pojawiają się prądy poprzeczne. Prądy te mogą wywierać istotny wpływ na wartości pasożytniczych momentów elektromagnetycznych generowanych przez wyższe harmoniczne przestrzenne pola magnetycznego. Celem niniejszego artykułu jest sformułowanie modelu matematycznego maszyny uwzględniającego zarówno wyższe harmoniczne przestrzenne pola magnetycznego, jak i prądy poprzeczne w wirniku, a więc - modelu stwarzającego możliwość teoretycznego przeanalizowania wpływu prądów poprzecznych w żelazie wirnika na asynchroniczne i synchroniczne momenty pasożytnicze, powstające w silniku. 2. MODEL FIZYCZNY INDUKCYJNEJ MASZYNY KLATKOWEJ UWZGLĘDNIAJĄCY PRĄDY POPRZECZNE W WIRNIKU Rezystancja R ^ dla prądów poprzecznych płynących poprzez żelazo pomiędzy sąsiednimi prętami klatki wirnika zależy przede wszystkim od rezystancji styku pręta z blachami pakietu żelaza. Wartość tej rezystancji jest różna dla różnych egzemplarzy silników tego samego typu i ustala się w sposób przypadkowy w zależności od przebiegu procesu technologicznego zalewania klatki wirnika aluminium bądź też w zależności od ułożenia się prętów miedzianych w żłobkach wirnika. Rezystancja ta ponadto zmienia swoją ^wartość w trakèie eksploatacji silnika. Może być ona wyznaczona pomiarowo, wymaga to jednak rozcięcia pierścieni zwierających klatkę, a więc - zniszczenia wirnika. Pomiary przeprowadzone na silnikach średniej mocy z wirnikami zalewanymi aluminium wskazują, Ze rezystancja ta przyjmuje wartość rzędu kilkudziesięciu pil [5]. W modelu fizycznym silnika można stworzyć możliwość płynięcia prądów poprzecznych pomiędzy prętami wirnika poprzez wprowadzenie pewnej liczby fikcyjnych skupionych rezystancji pomiędzy sąsiednimi prętami klatki. Celowe jest przy tym zastąpienie żłobków skośnych żłobkami odcinkami prostymi, tak jak to przedstawiono na rys.1.

7 Model matematyczny indukcyjnego. 9 Rys.l. Wirnik podzielony n plastrów (n=5) Fig. 1. Rotor divided into n slice-rotors Wprowadzone rezystancje dzielą analizowany wirnik na n wirnikówplastrów o (jługości i, sprzężonych ze sobą galwanicznie i skręconych względem siebie o kąt ^ (gdzie: y - kąt skosu żłobków wirnika, 1 - długość wirnika). Jeżeli Rfeb jest zmierzoną wartością rezystancji 1 dla prądów poprzecznych płynących pomiędzy sąsiednimi prętami, to wprowadzone do modelu fikcyjne rezystancje skupione przyjmują wartość (n-l)r... Takiemu modelowi wirnika ódpowiada schemat przedstawiony na rys.2. Każdy z wirników-plastrów jest sprzężony elektromagnetycznie ze stojanem oraz -'sprzężony galwanicznie z sąsiednimi wirnikamiplastrami. StoJan sprzęga się elektromagnetycznie ze wszystkimi wirnikami- plastrami. Rys.2. Rozwinięty schemat elektryczny wirnika ze skupionymi rezystancjami dla prądów poprzecznych Fig.2. Developed electric scheme of rotor with lumped-resistance for transverse currents

8 10 K. Kluszczyński, P. Malicki 3. MODEL MATEMATYCZNY INDUKCYJNEJ MASZYNY KLATKOWEJ UWZGLĘDNIAJĄCY PRĄDY POPRZECZNE W WIRNIKU Przy formułowaniu równań różniczkowych przedstawionego modelu fizycznego maszyny założono, że: - szczelina powietrzna między stojanem i wirnikiem jest równomierna i gładka, - obwód magnetyczny jest liniowy (nienasycony), - składowa osiowa pola magnetycznego głównego jest równa zeru (pole w szczelinie powietrznej jest płaskie), - nie zachodzi zjawisko wypierania prądu w prętach wirnika. Powyższe założenia oznaczają, że model uwzględnia wyższe harmoniczne przestrzenne przepływu uzwojeń, nie uwzględnia zaś wyższych harmonicznych permeancyjnych (przewodnośćiowych) oraz nasyceniowych. W rozkładzie przestrzennym przepływu stojana i wirnika uwzględnia się wszystkie harmoniczne przestrzenne generowane przez uzwojenia stojana i wirnika aż do rzędu 1, przy czym za harmoniczną pierwszą, czyli harmoniczną podstawową (i>=l), przyjmuje się harmoniczną przestrzenną o okresie odpowiadającym pełnemu obwodowi maszyny. Harmoniczna główna, czyli pracująca, posiada więc rząd i>=p [8]. Jako zmienne przyjęto prądy fazowe w stojanie oraz prądy oczkowe w poszczególnych wirnikach-plastrach tak, jak to zaznaczono na rys.2 (można wykazać, korzystając z warunków symetrii konstrukcji klatki, że wszystkie prądy oczkowe związane z rzeczywistymi pierścieniami i z pierścieniami fikcyjnych wirników-plastrów są równe zeru). Układ równań różniczkowych stanu elektromagnetycznego dla przedstawionego modelu fizycznego maszyny składa się z 3 równań dla stojana oraz nq^ równań dla wirnika (gdzie O^-liczba żłobków wirnika). Równania te przetransformowano do 2-osiowego układu współrzędnych za pomocą macierzy transformacji 2-osiowej: cos 0 cos a cos 2a s W i ł -sin 0 -sin a s -sin Za J VI VI VI ^, 2 gdzie a = n s 3 dla stojana (1)

9 Model matematyczny Indukcyjnego. 11* oraz: cos 0 cos a r cos 2a r cos (Qr-l)a -sin 0 -sin a r -sin 2a r. -sin (Qr-l)a cos 0 cos 2a r cos 4a r cos 2(Qr-l)ar sin 0 -sin 2ar -sin 4a r. -sin 2(Qr-l)«r ( 2 ) VI VI VI VI.4 4 2X 1 gdzie a = g- r dla wirnika. Pary kolejnych współrzędnych 2-osiowych wyznaczają wektory przestrzenne, które można zapisać w postaci liczb zespolonych. Jeżeli przyjąć założenie, że reakcją wirnika na w-tą harmoniczną przestrzenną stojana jest wyłącznie harmoniczna przestrzenna o rzędzie v, wówczas staje się możliwe wyprowadzenie, na podstawie stransformowanych równań różniczkowych, schematu zastępczego maszyny pozwalającego na wyznaczenie tzw. prądu reakcji pierwotnej stojana i (składowej prądu stojana o częstotliwości równej częstotliwości sieci u q w Steinie ustalonym) oraz prądów reakcji pierwotnej wirnika dla poszczególnych harmonicznych przestrzennych (składowych prądu u -vu o wirnika o częstotliwościach w stanie ustalonym, gdzie: s = v w - prędkość kątowa wirnika). Innymi słowy, będzie to schemat zastępczy maszyny odpowiadający założeniu, że w maszynie reakcja wtórna i reakcje wyższych rzędów uzwojeń stojana i wirnika związane z tzw. prądami obcej częstotliwości (dla uzwojenia stojana - częstotliwości różnej od częstotliwości sieci, dla uzwojenia wirnika- częstotliwości różnych od częstotliwości poślizgu cjq sł>) są pomijalnie małe. Znajomość wyznaczonych na podstawie takiego schematu zastępczego prądów reakcji pierwotnej stojana 1 wirnika jest wystarczająca do U wyznaczenia dominujących składowych momentów pasożytniczych asynchronicznych i synchronicznych (tzw. momentów pasożytniczych I rzędu). Opiszmy pokrótce drogę prowadzącą do sformułowania uproszczonego schematu zastępczego maszyny. Po przyjęciu założenia dotyczącego reakcji wirnika na v-tą harmoniczną przestrzenną stojana układ równań różniczkowych wirnika dla wektorów przestrzennych rozprzęga się na niezależne układy równań, związane

10 12 K. Kluszczyński, P. Malicki z poszczególnymi harmonicznymi przestrzennymi (uzyskuje się 5 układów n-tego stopnia). Umożliwia to przekształcenie równań zawierających współczynniki okresowo zmienne względem kąta obrotu wirnika w równania o stałych współczynnikach za pomocą odpowiednich transformacji i#brotu, różnych dla poszczególnych harmonicznych przestrzennych. Transformacja obrotu dla układu równań wirnika związanego z v-tą harmoniczną przestrzenną ma, zależnie od kierunku wirowania pola tej harmonicznej w stanie ustalonym, jedną z czterech następujących postaci: (3a) (3b) gdzie: *Cwri> " współczynni'c uzwojenia wirnika dla i>-tej harmonicznej, Icwsi' ~ współczynnik uzwojenia stojana dla v-tej harmonicznej, Ng - liczba zwojów uzwojenia stojana, - kąt obrotu wirnika, * (k) n r ~ wektor przestrzenny prądu generowanego przez v-tą harmoniczną przestrzenną pola magnetycznego stojana w i-tym wirniku-plastrze (wektor wyrażony na płaszczyźnie wirnika), ij.j powyższy wektor wyrażony na płaszczyźnie nieruchomej (płaszczyźnie stojana). Kierunki wirowania pól poszczególnych harmonicznych przestrzennych wirnika można łatwo określić np. na podstawie tzw. schematu rozkładu maszyny na maszyny elementarne, którego konstrukcja jest opisana w pracach [3], 14]. Stransformowanym równaniom różniczkowym maszyny dla wektorów przestrzennych odpowiada w stanie ustalonym schemat zastępczy przedstawiony na rys.3. Schemat ten ma postać łańcucha. Można w nim wyróżnić podłańcuchy związane z kolejnymi harmonicznymi przestrzennymi (na rys. 3 zaznaczono symbolicznie podłańcuchy związane z harmoniczną i>-tą oraz K-tą). Każdy z podłańcuchów zawiera' elementy odpowiadające kolejnym n wirnikom-plastrom. Podłańcuchy odpowiadające harmonicznym przestrzennym przepływu, wirującym w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara są analogiczne do podłańcucha r-tego, a podłańcuchy odpowiadające harmonicznym przestrzennym wirującym w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara - do podłańcucha K-tego.

11 Model matematyczny Indukcyjnego. 13 Rys. 3. Schemat zastępczy maszyny klatkowej ze skupionymi rezystancjami pomiędzy prętami Fig. 3. Lumped-interbar resistance equivalent circuitof squirrel-cage motor

12 14 K. Kluszczyński, P. Malicki Parametry schematu według następujących wzorów: ' zastępczego przedstawionego na rys.3 oblicza się - reaktancja magnesująca dla y-tej harmonicznej przestrzennej: X = u L (4) V 0 I V gdzie: v - rząd harmonicznej przestrzennej, "o = 2 * V (5) f - częstotliwość sieci, L = n 2 k 2 A (6) my 2 s wsy 2 y 4 fi r 1 A = -?--- ^ (7) n S k k cs cr t - podziałka biegunowa dla podstawowej harmonicznej,. lfe - długość czynna maszyny, S - grubość szczeliny powietrznej, kcg - współczynnik Cartera dla stojana, kcr - współczynnik Cartera dla wirnika, - sprowadzona rezystancja pręta wirnika dla y-tej harmonicznej przestrzennej: Hw = \ (1'2cosAar) cl (8) gdzie: - rezystancja pręta wirnika, A - liczba porządkowa wektora przestrzennego prądu wirnika dla y-tej harmonicznej przestrzennej, k wry - sprowadzona reaktancja rozproszenia wirnika dla y-tej harmonicznej przestrzennej: X = <*> L (10) <rry o (rry K ' gdzie: L* = 2L, + Lj (11) <rry <rby dry Ló:by = L<rb (1"2cosXotr) cy (12) L b - indukcyjność rozproszenia pręta wirnika, Ldry = Ldry V (13) - indukcyjność rozproszenia różnicowego dla y-tej harmonicznej przestrzennej,

13 Model matematyczny indukcyjnego sprowadzona rezystancja segmentu pierścienia zwierającegodla v-tej harmonicznej przestrzennej: R = R c2 (14) ery er v gdzie R - rezystancja segmentu pierścienia zwierającego, er - sprowadzona reaktancja rozproszenia segmentu pierścienia zwierającego dla r-tej harmonicznej przestrzennej: X = <*> L (reri> o <re ri> gdzie: (15) L = L c2 (16) <rerv <rer v L - indukcyjność rozproszenia segmentu, crer - sprowadzona rezystancja dla prądów poprzecznych dla g-tej harmonicznej przestrzennej: Rbbr = ^bb Cw tl7) 4. MODEL MATEMATYCZNY INDUKCYJNEJ MASZYNY KLATKOWEJ 0 CIĄGŁYM ROZKŁADZIE REZYSTANCJI DLA PRĄDÓW POPRZECZNYCH W WIRNIKU Jeżeli przyjmiemy, te wirnik maszyny składa sie z nieskończenie wielkiej liczby wirników-plastrów o długości dx, to wówczas uzyskamy schemat zastępczy, przedstawiony na rys.4, opisujący ciągły rozkład prądów poprzecznych wzdłuż długości pręta wirnika. Oznaczając parametry schematu zastępczego dla g-tej harmonicznej odpowiednio: R. *, («) Dl^S S RDbr W s v (19) R R = e1, (20) ervs s V a =!LZ, (21) V 1 jeśli v-ta harmoniczna przestrzenna stojana wiruje współbieżnie,

14 16 K. Kluszczyński, P. Malicki l, n, j*u (t Rm i j*., r JX» f 4 M pif r jt- P Bi«! Ś * *$ J**»* j j; w f J,!»(xł<M < 1 jx m t i r 3);X..^,We-J^' jxmufltw* i*-* A J * s tm ) 'A I r. M T, { \i~5, L \ A. f I'rmk'R*) i«i * " * S M * * " \ t) i r i»» SJ-~Ś* JA<tr* f r T i - I «ł Rys.4. Schemat zastępczy maszyny klatkowej z rozłożoną rezystancją pomiędzy prętami Fig.4. Distributed-interbar resistance equivalent circuit of squirrel-cage motor

15 Model matematyczny indukcyjnego. 17 lub: R =, (22) b R S 2 - s ^ R R b b R S e r R S r = bbł ^~sv R' = 5^ 2-s R (23) (24) oraz: or., _. Ü I (25) *R 1 jeśli R-ta harmoniczna przestrzenna stojana wiruje przeciwbieżnie, z = 2R,, + jx + jx (26) t r brs o t r mr z = R + jx (2.7) err errs rrerr można, na podstawie drugiego prawa Kirchhoffa dla wirnika-plastra o grubości dx, zapisać równanie: dx -j,x dx 1 1 IX x e +z i* (x)+r,, di (x)-r,, di (x+dx)=0. (28) J mr s tr 1 tr bbrsdx rr bbvsdx Po przekształceniach otrzymuje się równanie różniczkowe opisujące rozkład prądu wirnika generowanego przez R-tą harmoniczną przestrzenną stojana wzdłuż długości pręta: d IrZ - _ - Ü i (x) = -V I e"j V. (29) ^ «bbrs1' rv «bbrs1" S Rozwiązanie tego równania ma następującą postać:

16 18 K. Kluszczyński, P. Malicki Stałe ^2v wyznaczyć można z warunków brzegowych. Dla x=0 i x=l zachodzi równość spadków napięć w pakiecie żelaza wirnika i pierścieniu zwierającym (przy założeniu, że impedancja odcinka pręta wystającego poza pakiet żelaza jest pomijalnie mała): gdzie: f {0) Zerv = W 0) ^ b w s 1 V v (1) Zerw =-Jbbw(1) Rbbws 1 (33) Jbbw*X ^ - Sóstość liniowa prądu poprzecznego płynącego pomiędzy sąsiednimi prętami, generowanego przez w-tą harmoniczną przestrzenną pola magnetycznego stojana (prąd poprzeczny wirnika sprowadzony na płaszczyznę nieruchomą względem płaszczyzny stojana). Gęstość ta wyraża się następującym wzorem: di (x) -ja x k x -k x j! (x) = ^ = B bbi> dx i -Jv +k/ i, e -k/ 2,e " - (34) Oznaczając: kprbbi s^+zeri'=t'lv ky^bbfs^ Zerv=^2v ^ai/rbbws^+zerw*^li» (35a) (35b) (36a) otrzymujemy: J* A b w s 1_2e r ^ D2i; A 1 ~ K l C_ D. e - C, D_ e if _ 2v lw lw2w (36b) lw ~ -k l k 1 (37a) C2 e v L 2 v * - C2 v Clw e V ' K 1 C, D, e - C D e,. 1» lv Zv 2v K2 w k 1 F I ' (37b) c 2 e v - C2 e v L 2 v * Clw 6 W przypadku żłobków prostych otrzymujemy: -k 1 _ C2w e + C lw. Iw 2 -k^l a kvl Zerw (38a) C2w 6 " Clw e

17 Model matematyczny Indukcyjnego. 19 Na podstawie schematu zastępczego można wyznaczyć Impedancję maszyny w obecności prądów poprzecznych jako sumę Impedancji poszczególnych podłańcuchów, odpowiadających kolejnym harmonicznym przestrzennym oraz rezystancji i reaktancji rozproszenia stojana: z = R + JX + S S J 0-S (39) gdzie: impedancja podłańcucha dla y-tej harmonicznej z =jx y J my 1+B 1 + ly O v i r n (ja +k )1 V V e -1 2v + (ja - k j l (J V kyu, e -1 (40) 5. PASOŻYTNICZE MOMENTY ASYNCHRONICZNE Moment asynchroniczny I rzędu powstaje wskutek oddziaływania y-tej harmonicznej przestrzennej pola magnetycznego stojana z y-tą harmoniczną przestrzenną pola magnetycznego wirnika, będącą reakcją na y-tą harmoniczną przestrzenną pola magnetycznego stojana. Moment asynchroniczny I rzędu wytwarzany za pośrednictwem harmonicznej głównej, czyli pracującej (y=p), jest momentem głównym. Pozostałe momenty są momentami pasożytniczymi, pogarszającymi warunki przetwarzania energii elektrycznej w energię mechaniczną. Jeżeli wirnik jest podzielony na n wirników plastrów, to moment asynchroniczny I rzędu i-tego plastra wytwarzany za pośrednictwem y-tej harmonicznej przestrzennej pola magnetycznego ma w stanie ustalonym wartość L [» ± jy y my _., *, n M = y -- Re-^ ±j i i e eyi n s rty (41) Znak w nawiasie zależy od kierunku wirowania pola magnetycznego y-tej harmonicznej przestrzennej stojana: "+" dla kierunku przeciwnego do ruchu wskazówek zegara, dla kierunku zgodnego z ruchem wskazówek zegara. Wypadkowy moment asynchroniczny maszyny, wytwarzany za pośrednictwem y-tej harmonicznej przestrzennej pola magnetycznego, jest sumą momentów wytwarzanych przez wszystkie maszyny-pl^try:

18 20 K. Kluszczyński, P. Malicki M = Y M = v L Rej+j i* i V i e ^ } ev> e y i m i1 s n r i y i=l i=l > W przypadku ciągłego rozkładu prądów poprzecznych (n-w>): M = y L Re' ev my * f 1 J yx ł ±J Js ( I l rvm e dx ) (42) (43) gdzie: J % x ij.p(x) e dx (44) = I B s v ly 1 + < JVky}1 lk * v n, e -1 2v (ja -k )1 v v e -1 W przypadku żłobków prostych: M = y L Reey * i 1,,, j 1 T i x d x S [ i r y j t i (45) 6. PASOŻYTNICZE MOMENTY SYNCHRONICZNE I RZĘDU Moment synchroniczny I rzędu powstaje wskutek oddziaływania y-tej harmonicznej przestrzennej pola magnetycznego stojana z y-tą harmoniczną przestrzenną pola magnetycznego wirnika, będącą reakcją na p-tą harmoniczną przestrzenną pola magnetycznego stojana. Wzór na moment synchroniczny I rzędu przyjmuje postać: i 1 J «x M i (x)e dx e±j(y±p)# ey(p) c my y l S 1 r P ti jeśli moment pasożytniczy powstaje w maszynie zatrzymanej lub: (46a) M,.= y L Re ±ji ei>(p) c m^ y -j v i (x)e dx rp e±j(y±p)ó e (46b) jeśli moment pasożytniczy powstaje w maszynie przy prędkości różnej od zera.

19 Model matematyczny indukcyjnego. 21 W przypadku żłobków prostych otrzymujemy odpowiednio: M i i* ew(p) lub: ew(p) c w L Re c my V 1 e±j (y±p)<? ±ji r (x) dx s 1 rp i c * 1 ±j(y±p)0 J 2 V y L Re* r (x) dx e e c my ^ s 1 rp ti J (47a) (47b) Całka we wzorach (46a,b) ma postać: ±ja x i (x) e dx = i B r P s p j(±a -o )1 v P (±ia +k )1 Iw e ^ p -1 (±ja +k )1 J v p Znaki T ± 3 v y i j(+a -a )1 e ' p -1 (±JV kp )1, e -1 (46) we wzorach zależą od kierunku wirowania pól magnetycznych w-tej i p-tej harmonicznej przestrzennej stojana i wirnika. 8. PODSUMOWANIE Opisany w artykule model indukcyjnego silnika klatkowego umożliwia obliczanie w stosunkowo prosty sposób wartości pasożytniczych momentów synchronicznych i asynchronicznych przy uwzględnieniu prądów poprzecznych w wirniku. LITERATURA 1. Heller V., Hamata V.: Harmonie Field Effects in Induction Machines. Academia Publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences, Praque Jordan H., Weis M.: Nutenschrägung und ihre Wirkungen. ETZ-A Bd.88 (1967), H Kluszczyński K.: Momenty pasożytnicze w maszynach asynchronicznych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Elektryka, z.102., Gliwice Kluszczyński K.: Graphical method of choice of the number of slots in asynchronous machines. Proc. of ICEM, 88, Pisa, Italy 1988 pp

20 22 K. Kluszczyński, P. Malicki 5. Krzymiński L.: Wpływ nieizolowania klatki na asynchroniczne momenty pasożytnicze w silnikach indukcyjnych. Prace Instytutu Elektrotechniki, z. 32, Warszawa Pawelec Z. : Wpływ prądów upływu do pakietu blach wirnika na parametry modelu matematycznego silnika indukcyjnego. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Elektryka, z.110,gliwice 1990, s Sobczyk T.: Analiza procesów stacjonarnych maszyn elektrycznych. Zeszyty Naukowe AGH, Elektryfikacja i Mechanizacja Górnictwa i Hutnictwa, z.97, Kraków Wach P.: Niesymetrie wewnętrzne maszyn indukcyjnych. Zeszyty Naukowe WSI, z. 19, Opole Wpłynęło do Redakcji dnia 4 listopada Recenzent: Prof. dr hab. inż. Piotr Wach MATHEMATICAL MODEL OF SQUIRREL-CAGE MOTOR ALLOWING FOR TRANSVERSE CURRENTS IN ROTOR Abstract In the cage of an induction machine with skewed bars insulated from the rotor iron, particularly in a motor with a cast aluminium cage, considerable transverse currents flow from one bar through the iron to the adjacent bar. The values of these bar-to-bar currents depend mainly on the interbar resistance R ^ which is continuosly distributed along individual bars. In order to derive an equivalent circuit of a machine it will be advantageous to divide the actual rotor into n slice-rotors of the length ^ (where: 1 - length of rotor) and to replace each portion of the distributed bar-to-bar resistance by the lumped resistance of the value (n-l)rbb. It is also convenient to substitute the skewed segments of bars referring to consecutive slice rotors for unskewed ones, which, in other words, means that zig-zag bars consisting of n straight pieces will be considered instead of the real skewed bars (Fig. 1). As a result, we get a model of a machine composed of n slice-rotors mutually turned around a shaft by the angle (where: y - skew angle). Developed j~otor electric scheme and the

21 Model matematyczny indukcyjnego. 23 lumped-parameter equivalent-circuit corresponding to such a model are presented In Fig.2 and 3, respectively. Assuming that the rotor consists of infinitive number of slice-rotors of length dx (n-*m) we can change the lumped-parameter equivalent circuit presented in Fig.3 in a distributed-parameter equivalent circuit shown in Fig.4. The differential equation of second order resulting from this equivalent circuit which describes the distribution of bar current generated by i>-th MMF stator space harmonic has the form (1). Its solution is given by the relation (2). The distributed-parameter equivalent circuit and Exp. (2) allow to determine expressions for asynchronous and synchronous parasitic torques. They are given in the form of integrals (5) and (6). The model of a squirrel-cage motor allowing for both MMF space harmonics and transverse bar-to-bar currents in the rotor iron enables us to calculate synchronous and asynchronous parasitic torques and to analyse influence of interbar currents on the values of parasitic torques.

22 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1992 Seria: ELEKTRYKA z. 126 Nr kol Krzysztof Kluszczyński Piotr Malicki Instytut Maszyn i Urządzeń Elektrycznych Politechniki Śląskiej KOMPUTEROWA ANALIZA WPŁYWU PRĄDÓW POPRZECZNYCH W WIRNIKU INDUKCYJNEGO SILNIKA KLATKOWEGO NA MOMENTY PASOŻYTNICZE Streszczenie. Opierając się na modelu matematycznym maszyny asynchronicznej, uwzględniającym zarówno wyższe harmoniczne przestrzenne przepływu, jak i prądy poprzeczne w żelazie wirnika, opracowano program komputerowy, umożliwiający obliczanie momentów pasożytniczych, powstających w silniku. Przeanalizowano wpływ prądów poprzecznych pomiędzy prętami wirnika na amplitudy synchronicznych momentów pasożytniczych oraz na charakterystyki mechaniczne momentów asynchronicznych, związanych z wyższymi harmonicznymi przestrzennymi. Wyjaśniono, dlaczego prądy poprzeczne w żelazie wirnika osłabiają działanie skosu w odniesieniu do tłumienia momentów pasożytniczych. COMPUTER ANALYSIS OF INFLUENCE OF TRANSVERSE CURRENTS IN ROTOR OF SQUIRREL-CAGE MOTOR ON PARASITIC TORQUES Summary. Basing on a mathematical model of an asynchronous machine allowing for MMF space harmonics and transverse currents in rotor iron a computer program has been elaborated enabling us to calculate parasitic torques arising in a motor. Influence of transverse bar-to-bar currents on amplitudes of synchronous parasitic torques and on asynchronous torque-speed curves connected with higher space harmonics is considered. It is explained why transverse currents in rotor iron reduce suppressing influence of skewing on parasitic torques. KOMTIlOTEPHblM AHAJW3 BflMSIHHSI nonepe'lhbix TOKOB B POTOPE ACMHXPOHHOrO KOPOTK03AMKHyTOrO HBHrATEJlS! HA napa3hthble MOMEHTN Pe3 c n e. Onwpascb Ha MaTeMaTHHecKyc Monenb achhxpohhoft Marami yhhthb atomy» xax Biicrae npoctpahctb ehhbie rapmohhkh MarHHTO/jBH*ymeH CHJiu, Tax u nonepenmie tokh b porope, 6 bina paspa6 otaha riporpamma, xotopas nenaet B 0 3 Mo*miM bbihhcnehhe napa3 HTHbix momchtob, b 0 3 hhkaicuthx d HBHraTene. npoaharih3 HpoBaHO BnHSHne nonepesmix tokob npotexaiorax Me*ny crep*hsmh potopa Ha ajinnhtynli napaauthbix CHHxpoHHbix momchtob h Ha MeXaHHHeCKHe XapaKTepH CTHKH a CHHXpoHHbIX MOMeHTOB CBS3 ahbix C BblCUlHMH npoctpahctb ehhbimh r a p M O H H K a M H. BbiscHeHo, nonemy nonepehhbie tokh b potope ocnabnact BHHHHHe ckoca na3 0 B Ha nonabnehhe napa3 HTHbix MOMeHTOB.

23 26 K. Kluszczyński, P. Malicki 1. WSTĘP W wyniku elektrodynamicznego oddziaływania wyższych harmonicznych przestrzennych pola magnetycznego powstają w maszynie indukcyjnej pasożytnicze momenty elektromagnetyczne, zniekształcające charakterystykę mechaniczną silnika odpowiadającą głównej harmonicznej przestrzennej. Pasożytnicze momenty synchroniczne są przyczyną zależności momentu rozruchowego silnika od kąta początkowego położenia wirnika, pogarszają własności dynamiczne maszyny przy rozruchu i nawrotach, wywołują drgania i wibracje korpusu i wału oraz generują hałasy magnetyczne. Jedna z metod ograniczania synchronicznych momentów pasożytniczych w indukcyjnych silnikach klatkowych polega na wprowadzeniu skosu żłobków wirnika. W praktyce sposób ten nie jest jednak tak skuteczny, jak wynikałoby to z obliczeń. Nieizolowane pręty klatki wirnika, zwłaszcza wirnika zalewanego aluminium, przylegają bowiem bezpośrednio do powierzchni pakietu żelaza, w wyniku czego pomiędzy prętami wirnika pojawiają się prądy poprzeczne. Te właśnie prądy powodują, Ze oddziaływanie skosu żłobków na momenty pasożytnicze jest znacznie mniej efektywne. Celem niniejszego artykułu jest przeanalizowanie wpływu prądów poprzecznych na momenty pasożytnicze synchroniczne i asynchroniczne oraz wskazanie, w jakim stopniu prądy poprzeczne mogą niweczyć działanie skosu żłobków w zakresie tłumienia momentów pasożytniczych. Przykładowe obliczenia przeprowadzono dla silnika średniej mocy o następujących danych: Pr= 3 kw, Ur= 380 V, p=3, liczba żłobków stojana Q =36, liczba żłobków wirnika Q =33. s r Silnik ten posiada w wykonaniu fabrycznym skos żłobków wirnika b,= 0,45 sk (b k - skos względny odniesiony do podziałki żłobkowej wirnika). W silniku tym powstaje pasożytniczy moment synchroniczny o znacznej amplitudzie w zakresie pracy hamulcowej przy prędkości (-90,9)obr/min oraz pasożytniczy moment synchroniczny o znacznie mniejszej amplitudzie w zakresie pracy silnikowej przy prędkości 45,5 obr/min. Pierwszy z tych momentów związany jest z parą harmonicznych przestrzennych (iz,p ) = (3,69) (i>=3 - harmoniczna główna, p=69 - harmoniczna żłobkowa stojana o rzędzie określonym wzorem p - cqg~p dla c=2 i zarazem harmoniczna żłobkowa wirnika), drugi - z parami harmonicznych przestrzennych (l'j.pj) = (3,129), (i>2,p2 ) = (21,111) (izj = 3 - harmoniczna główna, p^ = harmoniczna żłobkowa wirnika, = 21 -

24 Komputerowa analiza wpływu. 27 harmoniczna strefowa stojana niskiego rzędu, = harmoniczna żłobkowa stojana określona równaniem p=cqs+p dla c=3). Istotne znaczenie dla prawidłowego określenia wartości prądów poprzecznych posiada znajomość impedancji pomiędzy prętami wirnika. Impedancja ta ma praktycznie charakter czysto omowy, a o jej wartości w zasadniczy sposób decyduje rezystancja styku pomiędzy prętem a żelazem. Wartość ta w procesie technologicznym ustala się w sposób przypadkowy (dla określonego procesu technologicznego można co najwyżej wskazać dość szerokie granice, w których zazwyczaj ta wartość się mieścił, a ponadto - zmienia się wraz z czasem eksploatacji silnika. W prezentowanych obliczeniach przyjmowano przeważnie wartość rezystancji pomiędzy prętami Rbb= 30 MÎ2 (średnie wartości rezystancji dla prądów poprzecznych dla wirników zalewanych aluminium [11,[71). W przypadku analizy wpływu prądów poprzecznych na charakterystyki mechaniczne asynchronicznych momentów pasożytniczych związanych z wyższymi harmonicznymi przestrzennymi przyjęto wartość 0.6 mil, przy której to wartości charakterystyczna deformacja charakterystyk jest szczególnie wyraźna. Wartość tej rezystancji wpływa na wartości prądów poprzecznych, lecz nie oddziałuje w znaczący sposób na charakter przebiegów. 2. ROZKŁAD PRĄDÓW POPRZECZNYCH W WIRNIKU Wykorzystując model silnika indukcyjnego opisany w pracy [5] zbadano rozkład wzdłuż osi wirnika prądów poprzecznych wypływających z pręta i płynących poprzez żelazo do sąsiednich prętów wirnika. Na rys. 1 i 2 przedstawiono rozkłady amplitud i kątów przesunięć fazowych gęstości liniowej prądów poprzecznych generowanych przez 3 (główną) i 69 (żłobkową) h irmoniczną przestrzenną pola magnetycznego. W wirniku o żłobkach prostych amplitudy prądów poprzecznych są znacznie mniejsze niż w wirniku o żłobkach skośnych, przy czym w połowie długości wirnika są równe zeru (rys.la). Wynika to z tego, Ze w maszynie o żłobkach prostych prądy poprzeczne są wymuszane wyłącznie przez spadki napięcia w odcinkach pierścienia zwierającego, zawartych pomiędzy rozważanymi prętami. Jeśli założyć, Ze spadek ten jest równy zero - prądy w żelazie przyjmują wartości zerowe. W maszynie o żłobkach skośnych prądy poprzeczne są przede wszystkim wynikiem tego, Ze siły elektromotoryczne, indukowane w poszczególnych odcinkach

25 28 K. Kluszczyński, P. Malicki n) Rys. Fig. Rozkład gęstości liniowej prądów poprzecznych od 3-ciej harmonicznej przestrzennej, a-amplituda, b-przesunięcie fazowe, s = 1, R^ = 30 p l (klatka nieizolowana), bgk = 0, 0.1, 0.5, 1 Distribution of linear density of transverse current connected with 3-rd space harmonic, a-amplitude, b-angle shift, s = 1, Rbb = 30 pfi (uninsulated rotor), bgk = 0, 0.1, 0.5, 1 a! Rys. 2 Fig.2.. Rozkład gęstości liniowej prądów poprzecznych od 69-tej harmonicznej przestrzennej, a-amplituda, b-przesunięcie fazowe, s = 1, R^ = 30 p 5 (klatka nieizolowana), b, = 0, 0.1, 0.5, 1 SK Distribution of linear density of transverse current connected with 69-th space harmonic, a-amplitude, b-angle shift, s = 1, R^ = 30 pfi (uninsulated rotor), b =0; 0.1, 0.5, 1

26 Komputerowa analiza wpływu. 29 prętów przez strumienie magnetyczne w szczelinie powietrznej, posiadają różne przesunięcie fazowe. Stąd też amplitudy oraz fazy prądów poprzecznych w wirniku o żłobkach skośnych zmieniają się w szerokich granicach wzdłuż osi wirnika. Zmiany fazy prądów poprzecznych wzdłuż osi wirnika są tym większe, im większy jest skos żłobków (rys.ib i 2b), zaś amplitudy prądów poprzecznych w zasadniczy sposób zależą od relacji pomiędzy długością fali harmonicznej przestrzennej, generującej te prądy poprzeczne, a wielkością skosu żłobków wirnika. Amplitudy prądów poprzecznych osiągają największe wartości, gdy podziałka skosu jest równa bądź porównywalna z długością fali harmonicznej przestrzennej, generującej te prądy. Taki przypadek przedstawiono na rys.2a, gdzie skoś bsk=0,5 odpowiada w przybliżeniu długości fali 69 harmonicznej przestrzennej. 3. WPŁYW PRĄDÓW POPRZECZNYCH NA MOMENTY PASOŻYTNICZE Opierając się na modelu silnika przedstawionym w pracy (5] oraz na wyprowadzonych w postaci całkowej wzorach na pasożytnicze momenty asynchroniczne i synchroniczne, przeanalizowano wpływ izolowania klatki na: - amplitudy pasożytniczych momentów synchronicznych, - pasożytnicze momenty asynchroniczne (rys.3,4,5,6), - wypadkową charakterystykę mechaniczną uwzględniającą pasożytnicze momenty synchroniczne i asynchroniczne (rys.7 i 8). Rozważmy najpierw przypadek silnika z prostymi 'żłobkami wirnika. rozważanej maszynie, przy założeniu że klatka jest idealnie izolowana (R^-wn), dominujący moment synchroniczny o amplitudzie 27,8 Nm powstaje w zakresie pracy hamulcowej przy prędkości (-90,9) obr/min. W przypadku klatki nieizolowanej moment ten ma praktycznie taką samą amplitudę. wspomniano, W Jak już dominujący moment pasożytniczy w zakresie pracy hamulcowej związany jest z parą harmonicznych (w, p) = (3,69). Jego amplitudę można znacznie ograniczyć poprzez wprowadzenie skosu żłobków wirnika, powodującego, że siły elektromotoryczne indukowane wzdłuż pręta przez pole magnetyczne 69 harmonicznej wzajemnie zrównoważą się wskutek różnego przesunięcia fazowego i nie doprowadzą do powstania prądów, odpowiadających 69 harmonicznej przestrzennej. Po wprowadzeniu skosu żłobków wirnika b =0,45 (taki skos odpowiada w przybliżeniu długości fali 69 harmonicznej słc przestrzennej pola magnetycznego) współczynnik skosu dla 69 harmonicznej maleje do wartości 0,062. Zgodnie z przewidywaniami, dzięki takiemu skosowi

27 30 K. Kluszczyński, P. Malicki os r~ "! I A I! I i 10, k = t ; 1 T i Ł...! S 1! S T " i 1 1! fr i i i 1 1 j 1 i! i i 1! U-. 1 j! I! i 1!!!! ii'! r! ; (J o r e d k o sc o b ro to w a C o b r /m n J Rys.3. Charakterystyka mechaniczna pasożytniczego momentu asynchronicznego od 21 harmonicznej przestrzennej. = (idealnie izolowana klatka), b, = 0, 0.45 sk Fig.3. Asynchronous torque-speed curve for 21-st space harmonic, R,. = bb (fully-insulated rotor), b,= 0, 0.45 sk!!!. - i 1! I r i ~ ' ' I 1! I! / I j! { 'i i I i I p r ę d k o ś ć o b ro to w a [ o b r / n i n J Rys.4. Charakterystyka mechaniczna pasożytniczego momentu asynchronicznego od 21 harmonicznej przestrzennej, bsk= 0.45, Rbb= (idealnie izolowany wirnik) i Rbfa=0.6 m J (nieizolowany wirnik) Fig. 4. Asynchronous torque-speed curve for 21-st space b, = 0, Rtl = to sk bb (fully-insulated rotor) and R =0.6 mil (non-insulated rotor)

28 Komputerowa analiza wpływu C p r ę d k o ś ć o b r o t o w a t o b r / n i n ] Rys.5. Charakterystyka mechaniczna pasożytniczego momentu asynchronicznego od 39 harmonicznej przestrzennej, Rbb = «(idealnie izolowana klatka). b. =0, 0.45 sk Fig.5. Asynchronous torque-speed curve for 39-th space harmonic, (fully-insulated rotor), bsk= 0, 0.45 Rbb = Ha ENnI !... j I P.» 0. 6 <TiO a b i " " j \ Í! i! M i!! i i R b b * 0 I ^ i V i j Á i / N i / * I \ L - Í I I p r ę d k o ś ć o b r o t o w a [ o b r / w i n i Rys. 6. Charakterystyka mechaniczna pasożytniczego momentu asynchronicznego od 39 harmonicznej przestrzennej, b,= 0.45, R, = m (idealnie izolosk bb wany wirnik)i Rb^=0.6 mfi (nieizolowany wirnik) Fig.6. Asynchronous torque-speed curve for 39-th space bgk = 0, (fully-insulated rotor) and R, =0. 6 mfi (non-insulated rotor) b b R, bb

29 32 K. Kluszczyński, P. Malicki Ne IMhJ * prędkość obrotowe lobr/nin] Rys. 7. Wypadkowa charakterystyka mechaniczna, b = 0, it = co (idealnie izolowany wirnik) Fig. 7. Resultant torque-speed curve, bsk= 0, Rfeb = co (fully-insulated rotor) prędkość obrotowa [obr/ninl Rys. 8. Wypadkowa charakterystyka mechaniczna, bgk = 0.45, Rfcb = a> (idealnie izolowany wirnik)! R^ = 30 (id (nieizolowany wirnik) Fig. 8. Resultant torque-speed curve, b, = 0.45, RtL = co (fully-insulated sk bb rotor) and R^ = 30 pil (non-insulated rotor)

30 Komputerowa analiza wpływu. 33 w silniku z klatką idealnie izolowaną następuje ograniczenie amplitudy momentu pasożytniczego do wartości 1,02 Nm. Jednak w przypadku silnika z klatką nielzolowaną wprowadzenie takiego skosu żłobków pociąga za sobą znaczne powiększenie wartości prądów poprzecznych (rys.2a), na skutek czego amplituda momentu pasożytniczego maleje tylko do wartości 5,54 Nm. Tak więc wprowadzenie skosu żłobków wirnika spowodowało w maszynie z klatką izolowaną ok. 27-krotne, a w maszynie z klatką nielzolowaną - tylko ok. 5-krotne zmniejszenie wartości synchronicznego momentu pasożytniczego. Jak widać - prądy poprzeczne w silniku z klatką nieizolowaną w istotny sposób osłabiają skuteczność działania skosu żłobków w odniesieniu do tłumienia pasożytniczych momentów synchronicznych. Dominujące pasożytnicze momenty asynchroniczne są związane z harmonicznymi przestrzennymi strefowymi niskich rzędów, np. w = 5p, 7p, lip, 13p... oraz harmonicznymi żłobkowymi stojana i>=cqs±p [10]. Przykładowo, za pośrednictwem 21 harmonicznej przestrzennej pola magnetycznego powstaje w analizowanej maszynie pasożytniczy moment asynchroniczny przedstawiony na rys. 3 i 4, zaś za pośrednictwem 39 harmonicznej przestrzennej - pasożytniczy moment asynchroniczny przedstawiony na rys. 5 i 6. W maszynie z klatką izolowaną (rys. 3 i 5) wprowadzenie skosu żłobków wirnika powoduje znaczne (kilkakrotne) ograniczenie tego momentu w całym zakresie charakterystyki. Natomiast w maszynie z klatką nieizolowaną w wyniku wprowadzenia skosu żłobków wirnika następuje - wręcz przeciwnie - powiększenie wartości momentów asynchronicznych w dużym zakresie prędkości obrotowych oraz silne zniekształcenie charakterystyki, polegające na pojawieniu się charakterystycznych "garbów", a pomiędzy wartościami krytycznymi momentów a garbami - szerokich siodeł. Takie oddziaływanie prądów poprzecznych na charakterystykę momentu asynchronicznego zostało opisane w pracy [2], Na rys. 7 przedstawiono wypadkową charakterystykę mechaniczną w przypadku prostych żłobków wirnika, zaś na rys. 8 - w przypadku skośnych żłobków (bsk=0,45). Wprowadzenie skosu żłobków wirnika, przy założeniu że wirnik jest Idealnie izolowany, powoduje znaczne ograniczenie momentów pasożytniczych (rys. 8, Rbb-*»). Uwzględnienie prądów poprzecznych w silniku z klatką nieizolowaną prowadzi jednak znów do znacznego uwydatnienia pasożytniczych momentów asynchronicznych i synchronicznych (rys. 8, Rbb=30piJ). Charakterystyka mechaniczna ulega znacznemu podniesieniu w zakresie pracy hamulcowej. Taki wpływ nieizolowania klatki na charakterystykę potwierdzają wyniki badań laboratoryjnych prezentowane w pracy [7],

31 K. Kluszczyński, P. Malicki 4. PODSUMOWANIE Wprowadzenie skosu żłobków wirnika prowadzi z jednej strony do pomniejszenia wartości momentów pasożytniczych na skutek osłabienia sprzężenia elektromagnetycznego pomiędzy uzwojeniami stojana i wirnika dla wybranych harmonicznych przestrzennych, z drugiej zaś strony powoduje znaczne zwiększenie wartości prądów poprzecznych płynących poprzez żelazo pomiędzy prętami wirnika. Prądy poprzeczne prowadzą do uwydatnienia momentów pasożytniczych i są przyczyną znacznego osłabienia skuteczności oddziaływania skosu żłobków w odniesieniu do momentów pasożytniczych. LITERATURA 1. Heller V., Hamata V.: Harmonie Field Effects in Induction Machines Academia Publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences, Praque Jordan H., Weis M. : Nutenschragung und ihre Wirkungen. ETZ-A Bd.88 (1567), H Kluszczyński K. : Momenty pasożytnicze w maszynach asynchronicznych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Elektryka, Giiwice 1986, z Kluszczyński K. : Graphical method of choice of the number of slots in asynchronous machines. Proc. of ICEM, 88, Pisa, Italy 1988 pp Kluszczyński K., Malicki P.: Model matematyczny indukcyjnego silnika klatkowego uwzględniający prądy poprzeczne w wirniku. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Elektryka, Gliwice 1992, z Kluszczyński K., Malicki P. : Influence of bar-to-bar transverse currents on parasitic torques in squirrel cage motor. Proc. ot C1CEM-91, Wuhan, China Krzymiński L. : Wpływ nieizo)owania klatki na asynchroniczne momenty pasożytnicze w silnikach indukcyjnych. Prace Instytutu Warszawa 1963, z.32. Elektrotechniki, 8. Pawelec Z. : Wpływ prądów upływu do pakietu blach wirnika na parametry modelu matematycznego silnika indukcyjnego. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Elektryka, Gliwice 1990, z.110. s

32 Komputerowa analiza wpływu Sobczyk T.: Analiza procesów stacjonarnych maszyn elektrycznych. Zeszyty Naukowe AGH, Elektryfikacja i Mechanizacja Górnictwa i Hutnictwa, Kraków 1977, z Śliwiński T., Głowacki A.: Parametry rozruchowe silników Indukcyjnych. PWN, Warszawa Wach P.: Niesymetrie wewnętrzne maszyn indukcyjnych. Zeszyty Naukowe WSI, z.19, Opole Wpłynęło do Redakcji dnia 4 listopada Recenzent: Prof. dr hab. inż. Piotr Wach COMPUTER ANALYSIS OF SQUIRREL-CAGE MOTOR ON PARASITIC TORQUES INFLUENCE OF TRANSVERSE CURRENTS IN ROTOR OF A b s t r a c t In the paper the influence of transverse bar-to-bar currents in a rotor of a squlrrel-cage motor on parasitic torques is considered. Analysis is based on a mathematical model of a squlrrel-cage motor allowing for both MMF space harmonics and for transverse currents in rotor iron, which is described and solved at steady-state in [5]. According to this model a computer program is elaborated which enables us to calculate the distribution of transverse bar-to-bar currents along a, bar as well as amplitudes of synchronous parasitic torques and parasitic asynchronous torque-speed curves for different space harmonics. In the motor in point, which has the following ratings: Pr=3 kw, Un=380V, p=3, 36/33 slots - the predomonant synchronous torque arises in the brake region at the speed u = -90 rpm and the less synchronous torque is generated in the motor region at the speed u - 45,5 rpm. The first of them is connected with the pair of space harmonics (i>, p)=(3,69) and the second of them - with the pair of harmonics (i>j,p^)=(3,129), (, P2)= (21, 111). In Fig.2 and 3 the distributions of linear density of transverse currents connected with 3-rd and 69-th space harmonic are presented, respectively. As seen the bigger skewing of rotor bar, the larger values of transverse currents. In Fig.3-6 asynchronous torque-speed curves related to 21-st and to 39-th space harmonic for fully-insulated and for non-insulated rotor are

33 36 K. Kluszczyński, P. Malicki shown. It results from these characteristics that transverse currents cause an increase in values of asynchronous torques and give reason for very peculiar distortion of curves. The resultant torque-speed curves taking into account both asynchronous and synchronous parasitic torques are presented in Fig.7 (unskewed rotor slots) and in Fig.8 (skewed bars, fully-insulated and non-insulated rotor). Comparing the curves for the motor with insulated bars anc* with uninsulated bars (R,. = 30 uq), we can see that transverse currents increase bb the amplitudes of parasitic synchronous torques and cause a substantial rise of the resultant torque-speed curve in the braking range. The basic conclusion is that in squirrel-cage motor with uninsulated bars the skewing which is one of the most commonly used means for suppressing parasitic torques is much less effective then in the motor with insulated bars because of considerable bar-to-bar transverse currents.

34 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1992 Seria: ELEKTRYKA z.126 Nr kol Krzysztof KLUSZCZYŃSKI Roman MIKSIEWICZ Instytut Maszyn i Urządzeń Elektrycznych Politechniki Śląskiej PASOŻYTNICZE MOMENTY SYNCHRONICZNE W SILNIKU INDUKCYJNYM w OBECNOŚCI SKŁADOWEJ PRZECIWBIEŻNEJ POLA MAGNETYCZNEGO Streszczenie. Przedstawiono ogólną zasadę, która określa,jakie nowe synchroniczne momenty pasożytnicze i przy jakich prędkościach powstają w 3-fazowych silnikach indukcyjnych w warunkach niesymetrycznego zasilania z sieci 1-fazowej. Podano wzory, które umożliwiają obliczanie pasożytniczych momentów synchronicznych w obecności składowej przeciwnej prądów stojana i wirnika. Wskazano, jakie 3-fazowe silniki nie powinny być zasilane z sieci 1-fazowej ze względu na zasadnicze pogorszenie własności rozruchowych. PARASITIC SYNCHORNOUS TORQUES IN 3-PHASE SQUIRREL-CAGE MOTOR PRESENCE OF BACKWARD ROTATING MAGNETIC FIELD IN Summary. General rule indicating what, new synchronous torques and at what speeds arise in 3-phase squirrel-cage motor under unbalanced conditions e.g. in 3-phase motor supplied from 1-phase network has been presented in this paper. Expressions enabling us to calculate parasitic synchronous torques in presence of negative components of stator and rotor currents are derived. It is considered which 3-phase induction motors cannot be recommended for supplying from 1-phase network because of considerable deteriorating starting properties. OUEHKA BilHSHMSI tlpothborionokhotf COCTABnSTOlUEM MATHHTHOPO HAilAPA3MTHHE CHHXPOHHbE MOMEHTbl HHflYKlIHOHHOrO flbh ra TEI13 P e 3 P M e. Ilp e n c T a B n e H o 6 u ih h n p H H U H n, o n p e fle n s io iu H H n a p a 3 H THbie C H H X po H H ble M OMeHTbl H CKOpOCTH B T pex tf> a3 HbIX ac HHXpO HHbIX f lb H r a T e n s x B y c n o B H S X n o n x n c n e H H S k H e ch M M et ph H H O H onho<j>a3 HO ft c e T H. rip H B e n e H b i 3 ab H CHM OCTH, flaloluhe B 03 M0HH0 C T b O LieH H Tb n a p a 3 H T H bie CHHXpO H Hble MOMeHTbl b 3 a B H c h m o c th o t n p o T H B o n o n o * H O H c o c T a B n s n o m e lt TOKOB C T a T o p a H p O T O p a. Ila H b i p e K O M e H fla u H H n o n p H M e H e H H io o T fle n b H b ix a c H H x p o H H b ix a b h p a T e n e n n p H n o flk n P H e H H H k o n n o jia s H o f i c e T H c t o h k h 3 p e H H B y x y n m e H H H n y c x o B w x C B O iłc T B.

35 38 K. Kluszczyński, R. Miksiewicz 1. MOMENTY PASOŻYTNICZE W MASZYNIE INDUKCYJNEJ ZASILANEJ SYMETRYCZNIE Synchroniczne momenty pasożytnicze w maszynach indukcyjnych są wynikiem elektromagnetycznego i elektrodynamicznego oddziaływania na siebie harmonicznych przestrzennych pola magnetycznego w szczelinie powietrznej. Wypadkowy moment synchroniczny przy danej prędkości może być przedstawiony w postaci sumy składników związanych z różnymi parami harmonicznych (i>,p). Liczba par harmonicznych przestrzennych uczestniczących w danej maszynie w powstawaniu synchronicznych momentów pasożytniczych zależy od liczby par biegunów p oraz liczby żłobków wirnika Q, zaś to, które z nich przyjmą r wartości dominujące - dodatkowo od liczby żłobków stojana Q, współczynnika S uzwojeń stojana i skosu żłobków wirnika. Rzędy harmonicznych przestrzennych biorących udział w generowaniu momentów pasożytniczych oraz wzory pozwalające na ich obliczenie mogą być łatwo określone za pomocą graficzno-analitycznej metody obliczania momentów pasożytniczych opartej na schematach rozkładu maszyny asynchronicznej na maszyny elementarne [2]. Jeśli nie uwzględni się reakcji wtórnej uzwojeń stojana, to pasożytniczy moment związany z uporządkowaną parą harmonicznych przestrzennych przepływu ( v, p ) może być opisany następującym wzorem: ( 1 ) gdzie: L - indukcyjność magnesująca dla p-tej harmonicznej przestrzennej, ap rl>, sp.?rp. skp współczynnik uzwojenia stojana, uzwojenia wirnika i skosu, odpowiednio dla i>-tej i p-tej harmonicznej przestrzennej przepływu. i - prąd stojana (wektor przestrzenny), S i - prąd wirnika (wektor przestrzenny) dla i>-tej harmonicznej przes- r V trzennej wyrażony w nieruchomym układzie współrzędnych (związanym ze stojanem), <p - kąt położenia wirnika.

36 Pasożytnicze momenty synchroniczne :. t : Tak jak i>-ta harmoniczna przestrzenna oddziałuje na p-tą harmoniczną przestrzenną, p-ta harmoniczna oddziałuje na harmoniczną v-tą. Stąd z parą harmonicznych o odwrotnym uporządkowaniu elementów (p,i>) możemy związać składową momentu pasożytniczego opisaną przez wzór analogiczny do wzoru (1). Wyrażenie Cl) może przyjmować różne postacie w zależności od tego, czy w stanie ustalonym przy zasilaniu maszyny symetrycznym 3-fazowym sinusoidalnym układem napięć kołowe pola magnetyczne stojana i wirnika związane' odpowiednio z p-tą i p-tą harmoniczną przestrzenną wirują współbieżnie, czy i też przeciwbieżnie, 32 różne postacie wzoru (1) realizują się poprzez różne kombinacje znaków (±) oraz występowanie lub brak znaku sprzężenia. Można wykazać, że rzędy harmonicznych przestrzennych uczestniczących w generowaniu momentów pasożytniczych spełniają zawsze relację: p + v = c Q (gdzie: c - r liczbą całkowita), co pozwala nadać wzorowi (1) postać: a Re ± j i* i'* e±j CV (2 ) Dla symetrycznie zasilanej maszyny asynchronicznej hodografy wektorów przestrzennych prądów stojana i wirnika przyjmują w stanie ustalonym postać okręgów opisanych relacjami: i = I ej.4 S s i = I ej oł rv rt> (3) gdzie: <P = (i) t +». u - częstotliwość sieci zasilającej, O <f O - położenie wirnika w chwili t=0 (w chwili zaistnienia stanu ustalonego). Prąd stojana I oraz prąd wirnika dla wyższych harmonicznych przestrzennych: ~ S I, I, wyznacza się ze schematu zastępczego przedstawionego na rys.1. r V r p W wyniku podstawienia (3) do (1) można otrzymać dwa różne przypadki:

37 40 K. Kluszczyński, R. Miksiewicz Pulsujący moment pasożytniczy opisany wzorem (4) przekształca się w stały w czasie moment synchroniczny przy prędkości określonej równaniem: -2o> ± c Q u = 0 (6) o r Rozwiązanie równania ma postać: 2 u.. _ X o co oznacza, że synchroniczny moment pasożytniczy powstaje w zakresie pracy silnikowej albo w zakresie pracy hamulcowej. W przypadku opisanym wzorem (5) synchroniczny moment pasożytniczy pojawia się w maszynie przy zatrzymanym wirniku (w = 0). Rys.l. Schemat zastępczy dla silnika indukcyjnego zasilanego symetrycznie. Fig.1. Equivalent circuit for symmetrically-fed induction motor 2. MOMENTY PASOŻYTNICZE W MASZYNIE ASYNCHRONICZNEJ ZASILANEJ NIESYMETRYCZNIE Z celowym niesymetrycznym zasilaniem 3-fazowej maszyny klatkowej mamy do czynienia wówczas, gdy do dyspozycji użytkownika pozostaje wyłącznie sieć 1-fazowa. Przypadek taki wymaga specjalnego połączenia uzwojeń stojana oraz / zastosowania dodatkowych elementów w postaci kondensatorów lub dławików. Typowe układy umożliwiające zasilanie 3-fazowego silnika indukcyjnego z sieci 1-fazowej przy zastosowaniu jednego kondensatora przedstawiono na

38 Pasożytnicze momenty synchroniczne. 41 rys. 2. Podczas zasilania silnika ze źródła 1-fazowego warunki przetwarzania energii elektrycznej w mechaniczną są mniej korzystne, albowiem wirujące pole magnetyczne związane z harmoniczną główną (v=p) nie jest polem kołowym, lecz eliptycznym (z wyjątkiem co najwyżej jednej wartości poślizgu). Pogarsza to znacznie własności eksploatacyjne silnika i powoduje, że w układach z jednym kondensatorem roboczym uzyskuje sle moc około 70-80% jego mocy znamionowej. Eliptyczny kształt pola magnetycznego w szczelinie powietrznej maszyny jest wynikiem pojawienia się w uzwojeniach stojana 1 wirnika (na skutek niesymetrii zasilania i asymetrii układów połączeń) składowych przeciwnych prądu 1, 1. 8 r Rys.2. Układy połączeń uzwojeń stojana silnika 3-fazowego umożliwiające zasilanie z sieci 1-fazowej Fig.2. Connections of stator windings allowing to supply 3-phase motor from 1-phase network Wektory przestrzenne, mające przy polu kołowym postać (3), przekształcają się przy polu eliptycznym do postaci: i = I+ e 1 + r * e -J»1 ( 8 ) i = I+ e I"* e - J V r r r gdzie: 1, 1 - składowa zgodna i przeciwna prądu stojana, I+. i" r r - składowa zgodna i przeciwna prądu wirnika. Składowe zgodne prądu są określone przez ten sam schemat zastępczy co prądy w maszynie zasilanej symetrycznie (rys.l), natomiast składowe przeciwne prądu przez schemat zastępczy przedstawiony na rys.3.

39 42 K. Kluszczyński, R. Miksiewicz 2 - > r - Ć = D X*r ł Î A X*r X, 1 R/ 2 - s, X.'r 5 Xm* } r: C Z Z j * Xm* Xtr! Rys.3. Schemat zastępczy silnika indukcyjnego dla składowej przeciwnej Fig.3. Equivalent circuit of induction motor for negatlve-sequence component Podstawiając (8) do (1), otrzymujemy dwa możliwe wzory odpowiadające przypadkom (4) i (5) przy zasilaniu symetrycznym:

40 Pasożytnicze momenty synchroniczne. 43 Jak widać, w obu przypadkach (9) i (10) synchroniczny moment pasożytniczy powstający w symetrycznie zasilanej maszynie ulega w warunkach niesymetrii rozszczepieniu na 3 składowe mające 3 różne prędkości synchroniczne. Ogólną zasadę określającą, jakie nowe momenty synchroniczne i przy jakich prędkościach pojawią się w niesymetrycznie zasilanej maszynie w obecności składowych przeciwnych prądu, w odniesieniu do momentów synchronicznych powstających w maszynie w warunkach symetrycznych, zilustrowano graficznie na rys. 4. W celu eksperymentalnego zweryfikowania powyższej zasady silnik 3-fazowy o danych : P^ = 2. 2 kw, UN = 380 V (A), p = 4, Qs = 48, = 44, zasilono symetrycznie, a następnie odłączono fazę. W obu przypadkach Zasilanie symetryczne Zasilanie niesymetryczne Balanced conditions Unbalanced conditions Rys. 4. Ilustracja ogólnej zasady generowania pasożytniczych momentów synchronicznych w niesymetrycznie zasilanym silniku indukcyjnym Fig.4. Interpretation of general rule for generating torques in asymmetrically-fed machine synchronous parasitic zmierzono (metodą statyczną) charakterystykę mechaniczną w przedziale obejmującym występowanie pasożytniczych momentów synchronicznych (rys.5). Dominujący pasożytniczy moment synchroniczny, występujący w maszynie 2h> zasilanej symetrycznie przy prędkości o> = - ggp, uległ przy zasilaniu niesymetrycznym rozszczepieniu na 3 składowe odpowiadające prędkościom: 2 cj 2w u = - gg- (zakres pracy hamulcowej), u = 0 (maszyna zatrzymana) i o> = gg- (zakres pracy silnikowej).

41 44 K. Kluszczyński, R. Miksiewicz Tak więc przyczyną pogorszenia się własności ekploatacyjnych silnika zasilanego niesymetrycznie jest nie tylko składowa przeciwna momentu asynchronicznego związana z harmoniczną główną (i>=p), lecz również nowe dodatkowe synchroniczne momenty pasożytnicze pojawiające się w zakresie pracy silnikowej i hamulcowej oraz przy rozruchu silnika, pomimo Ze w maszynie zasilanej symetrycznie występowały one wyłącznie w jednym zakresie pracy. Rys. 5. Charakterystyka mechaniczna dla symetrycznie i niesymetrycznie (odłączenie fazy) zasilanego silnika indukcyjnego (pomiary) Fig. 5. Measured torque-speed curve for symmetrically and asymmetrically-fed induction motor (interrupted phase) 3. PASOŻYTNICZE MOMENTY SYNCHRONICZNE U SILNIKU 3-FAZOWYM INDUKCYJNYM ZASILANYM Z SIECI 1-FAZOWEJ W praktyce znajdują zastosowanie różne układy połączeń uzwojeń fazowych stojana umożliwiające zasilanie 3-fazowego silnika indukcyjnego z sieci 1-fazowej. W każdym z powyższych przypadków można wyznaczyć wypadkową charakterystykę mechaniczną, o ile znane są składowe symetryczne prądów:

42 Pasożytnicze momenty synchroniczne. 45 l 1 Io 1 c. 1 a a 2 1 a a I (11) Relacje między składowymi symetrycznymi a napięciem 1-fazowej sieci U wynikają z układu równań opisującego połączenia uzwojeń stojana. Przykładowo, układowi połączeń przedstawionemu na rys.2a odpowiadają następujące równania wynikające z praw Kirchhoffa: U = U, -b - u + U + U = 0, a b c U I - I -c -jx Podstawiając (11) oraz: U+ = Z+ I +, u- = z r, do równań (12) otrzymujemy: = 0. ( 1 2 ) (13) I+ = 43 U [ Z - (1- <x2) JX C J <x2z+ IL. z _ - (1- a2) JXC ] - az L? + - (1- a) I = a V - 43 U [ z+ - (1- a ) JXc 1 [ u _ z" - (1- a2) JXc ] az l? + - (1- a) gdzie: _+ Z+- impedancja dla składowej zgodnej wynikająca ze schematu zastępczego na rys.1, Z_- impedancja dla składowej przeciwnej wynikająca ze schematu zastępczego na rys.3. Znając składowe symetryczne prądów, możemy wyznaczyć zarówno współbieżne przeciwbieżne składowe momentu asynchronicznego związanego z harmoniczną łłówną oraz z wyższymi harmonicznymi przestrzennymi przepływu, (14) jak i >asożytnicze momenty synchroniczne powstające w maszynie (wzory (9) i (10)). ilniki indukcyjne 3-fazowe projektuje się w taki sposób, aby w maszynie nie

43 46 K. Kluszczyński, R. Miksiewicz występowały znaczące synchroniczne momenty pasożytnicze bądź też były one związane wyłącznie z hamulcowym zakresem pracy silnika. Jest oczywiste, że w silniku, w którym znaczące momenty pasożytnicze nie występują przy pracy symetrycznej, nie pojawią się również znaczące momenty synchroniczne przy zasilaniu niesymetrycznym (o ile rozważania ograniczymy do klasy niesymetrii związanych z generowaniem składowych przeciwnych prądu). Do dalszych przykładowych rozważań wybrano więc silnik, w którym dominujący pasożytniczy moment synchroniczny występuje w hamulcowym zakresie pracy. Moment ten jest związany z parą harmonicznych przestrzennych (i>,p) = (4; 92), gdzie: v = p = 4 - harmoniczna główna, zaś p = 92 - harmoniczna strefowa (pasmowa) stojana określona równaniem: p = c Qr+ p dla c=2. Silnik ten zasilono z sieci 1-fazowej przy układzie połączeń uzwojeń fazowych stojana prezentowanym na rys.4a i zmierzono jego charakterystyki mechaniczne w zakresie występowania pasożytniczych momentów synchronicznych. Pomierzoną charakterystykę mechaniczną dla pojemności kondensatora C = 108 pf (pojemność kondensatora dobrano tak, aby pole magnetyczne w szczelinie było zbliżone do pola kołowego przy rozruchu silnika) przedstawiono na rys. 6, natomiast obliczoną na rys.7. Rys.6. Charakterystyka mechaniczna silnika indukcyjnego zasilanego symetrycznie i dla silnika zasilanego z sieci jednofazowej (pomiary) Fig.6. Measured torque-speed curve for symmetrically-fed motor and for motor supplied from 1-phase network

44 Pasożytnicze momenty synchroniczne. 47 Rys.7. Charakterystyka mechaniczna silnika indukcyjnego zasilanego symetrycznie i dla silnika zasilanego z sieci jednofazowej (obliczenia) Fig.7. Calculated torque-speed curve for symmetrically-fed motor and for motor supplied from 1-phase network Zgodnie z przewidywaniami opartymi na ogólnej zasadzie generowania synchronicznych momentów pasożytniczych w warunkach niesymetrii (rys. 4), 2 u dominujący moment synchroniczny przy prędkości u = - gs rozszczepił się na 2c«). 2.0) 3 składowe związane z prędkościami u = - gg-, o> = 0 i u = gg-. Powyższe rozważania i badania laboratoryjne pozwalają na sformułowanie ogólnego wniosku dotyczącego doboru silników 3-fazowych przeznaczonych do zasilania z sieci 1-fazowej: indukcyjne silniki 3-fazowe, w których przy zasilaniu symetrycznym występuje synchroniczny moment pasożytniczy o znacznej amplitudzie przy pracy hamulcowej, nie powinny być zasilane z sieci 1-fazowej, albowiem wystąpi wówczas w nich znaczny synchroniczny moment pasożytniczy przy prędkości u = 0, pogarszający w istotny sposób właściwości rozruchowe. Amplituda synchronicznego momentu pasożytniczego w zasadniczy sposób zależy od wartości składowej przeciwnej prądu. Wartość składowych przeciwnych prądu można kształtować poprzez dobór pojemności kondensatora C. Zwykle pojemność kondensatora dobiera się w taki sposób, aby kołowe pole magnetyczne w szczelinie maszyny występowało przy rozruchu albo przy obciążeniu znamionowym. W przypadku silników 3-fażowych z dominującymi

45 48 K. Kluszczyński, R. Miksiewicz momentami synchronicznymi pasożytniczymi w zakresie pracy hamulcowej celowy jest (z punktu widzenia momentów pasożytniczych) wybór pierwszej możliwości, a więc - pola kołowego bądź maksymalnie zbliżonego do kołowego przy zatrzymanym silniku. W przeciwnym razie może się zdarzyć, że nie będzie możliwe dokonanie rozruchu silnika z powodu zbyt małego momentu rozruchowego. Przyczyną będzie nie tylko składowa momentu asynchronicznego związana ze składową przeciwną prądów, pomniejszająca wartość średnią momentu rozruchowego, ale również znaczny pasożytniczy moment synchroniczny w maszynie zatrzymanej (u = 0), powodujący dużą zależność wypadkowego momentu rozruchowego od przypadkowego początkowego położenia wirnika. C [pf] 108,0 54,3 35,8 21,7 Tabela 1 T e(0) T ea 0,33 0,67 1,05 1,78 Względne wartości amplitud pasożytniczych momentów synchronicznych przy rozruchu maszyny T (0), odniesione e do średnich wartości asynchronicznego momentu rozruchowego T, dla różnych pojemności kondensatora zestawiono w tabeli 1. Wynika z niej, że dla C < 36 pf Te(0) spełniona jest nierówność -- > 1, co oznacza, że ea dla pewnych położeń wirnika niemożliwe jest przeprowadzenie rozruchu silnika z tego powodu, asynchroniczny przez ujemny pasożytniczy moment synchroniczny. że dodatni moment rozruchowy jest zrównoważony i Wśród różnych możliwych połączeń uzwojeń stojana są takie, w których powstają również składowe zerowe prądu stojana. Składowa zerowa prądu generuje wyższe harmoniczne przestrzenne o rzędach v = 3+6c (gdzie: c- liczba całkowita), które również mogą uczestniczyć w powstawaniu momentów pasożytniczych.^ Można wykazać, że te nowe, dodatkowe momenty synchroniczne, związane ze składową zerową, mogą wzmacniać istniejące momenty synchroniczne bądź mogą pojawić się przy nowych prędkościach. Dla większości silników 3-fazowych zasilanych z sieci 1-fazowej momenty te są jednak pomijalnie małe. Problemy, jak obliczać pasożytnicze momenty synchroniczne związane ze składowymi zerowymi prądu oraz w jakich niesymetrycznie zasilanych silnikach indukcyjnych (warunki dla liczby żłobków) mogą one osiągnąć znaczne wartości, zostaną przeanalizowane w oddzielnej pracy.

46 Pasożytnicze momenty synchroniczne. 49 PODSUMOWANIE Każdy z synchronicznych momentów pasożytniczych pojawiający się w symetrycznie zasilanym 3-fazowym silniku indukcyjnym przy prędkości zostaje przy zasilaniu niesymetrycznym (przy wystąpieniu składowej przeciwnej prądu) rozszczepiony na 3 składowe, odpowiadające prędkościom: u 0, -w. Z tego powodu 3-fazowe silniki klatkowe ze znacznym momentem s'. synchronicznym w zakresie pracy hamulcowej nie powinny być stosowane do pracy przy zasilaniu z sieci 1-fazowej, bądź też kondensator C powinien być w tych warunkach tak dobrany, aby zapewnić powstanie pola kołowego (bądź pola wirującego zbliżonego do pola kołowego) przy prędkości u = 0. LITERATURA 1. Heller B., Hamata V. : Harmonie Field Effects in Induction Machine, Prague, Academia Publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences, Kluszczyński K.: Momenty pasożytnicze w maszynach indukcyjnych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Elektryka, z.102,1986, Gliwice. 3. Kluszczyński K., Miksiewicz R.: Squirrel-cage motor with additional ring in rotor, Proc. of International Conference on Electrical Machines ICEM 90, pp ,mit, Boston, USA, August Wpłynęło do Redakcji dnia 2 grudnia 1991 r. Recenzent : prof. dr inź. Ryszard Sochocki PARASITIC SYNCHRONOUS TORQUES IN 3-PHASE SQUIRREL-CAGE MOTOR IN PRESENCE OF BACKWARD ROTATING MAGNETIC FIELD COMPONENT A b s t r a c t The paper presents a method allowing us to find and to calculate synchronous parasitic torques arising in an asymmetrically-supplied 3-phase squirrel-cage motor. With the help of Exps.(9),(10), Fig.1, Fig.3, this

47 50 K. Kluszczyriski, R. Miksiewicz method different possible connections of stator windings enabling us to supply 3-phase squirrel-cage motor from 1-phase network are analysed (Fig. 2a,bl. It is shown that in a machine fed in such a way synchronous parasitic torques occur at higher number of different synchronous speeds than in the same machine supplied from 3-phase balanced network. The reason for this is that each synchronous parasitic torque generated underbalanced conditions splits in 3 parasitic torques under unbalanced conditions (Exprs. 9,10). This general rule is illustrated in Fig. 4. As has seen, the new parasitic torques arise at standstill and in the motor region even if in a symmetrically-fed machine they are generated only in the brake region. The amplitudes of these synchronous torques depend on the values of positiveand negative-sequence currents in the stator and rotor windings. The problem becomes even more complicated when zero-sequence current can be carried in the stator winding because in such a case an additional group of parasitic torques related to MFF space harmonics of orders i>=3+6n occur in the motor (Fig.2c). The main conclusion included in the paper is that the reason for less favourable operating properties of 3-phase motors supplied from 1-phase network is not only asynchronous torque component connected with working magnetic-field space harmonic (i>=p) and due to negative-sequence currents but also new additional synchronous parasitic torques arising at standstill and in the motor region which deteriorate starting properties of the machine. This conclusion is verified experimentally (Fig. 6 and Fig.7). It results from this consideration that a 3-phase squirrel-cage motor in which large synchronous torque occurs in the brake region under balanced conditions cannot be recommended, in general, for supplying from 1-phase source.

48 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: ELEKTRYKA z.126 Krzysztof KLUSZCZYŃSKI Piotr MALICKI Instytut Maszyn i Urządzeń Elektrycznych Politechniki Śląskiej DOBÓR DODATKOWEGO PIERŚCIENIA ZWIERAJĄCEGO W ŚRODKU PAKIETU WIRNIKA SILNIKA INDUKCYJNEGO Streszczenie. Omówiono podstawowe własności pasożytniczych momentow synchronicznych, powstających w indukcyjnych silnikach klatkowych. Przedstawiono sposób reuukcji wybranego pasożytniczego momentu synchronicznego, polegający na wprowadzeniu dodatkowego pierścienia zwierającego w środek rdzenia wirnika i na skręceniu tak powstałych połówek dookoła wału o pewien kąt jr. Omówiono zasady projektowania dodatkowego pierścienia zwierającego. CHOICE OF ADDITIONAL RING IN THE MIDST OF ROTOR CORE IN SQUIRREL-CAGE MOTOR Summary. Basic properties of synchronous parasitic torques arising in squirrel-cage motors have been described. A method for reducing chosen synchronous parasitic torque based on inserting an additional ring in the midst of a rotor core and on shifting both halves of the rotor by the certain angle y around a shaft is presented. Rules for designing of such an additional ring are given in the paper. rioflbop HOBABOHHOrO K0P0TK03AMHKAKliiETO KOIibilA B REHTPE I1AKETA CEPIIEHHMKA POTOPA ACMIIXPOHHOrO HBW ATEIlSi C BEHHHbEM KÍ1ETK0H Pe3KMe. Orrncam,i ochobhbie cbohctba napa3hthbix CHHxpoHHbix MOMeHTOB, Bo3HiikaiouiHx B achhxpohhbix flbhratenax c BenHMbeft KneTKOH. ripencxabneh cnoco6 ynehbuiehhs H36paHHoro napa3hthoro CHHxpoHHoro MOMeHTa, KOTopbift 3aKiiioHaeTcs bo bbenenhh no6abomhoro KopoTK03aMbiKaioui,ero xonbua b uohtp cepqehhhka potopa h b nob opore bo3hhkuihx Taicrm o6pa30m nonobhhok Ha HeKOTopbiñ yi on y. OnwcaHbi nphhunnbi npoekthpob ahms no6abohhoro KopoTK03aMbiKaioiuero xonbua.

49 52 K. Kluszczyński, P. Malicki 1. WSTĘP Istotnym wymogiem przy projektowaniu indukcyjnych silników klatkowych jest uniknięcie - poprzez właściwy dobór parametrów konstrukcyjnych, a zwłaszcza liczby żłobków stojana i wirnika - znaczących pasożytniczych momentów synchronicznych. Momenty te, powstające w silniku na skutek wzajemnego elektrodynamicznego oddziaływania wyższych harmonicznych przestrzennych pola magnetycznego w szczelinie maszyny, są przyczyną zależności momentu rozruchowego silnika od kąta początkowego położenia wirnika, pogarszają jego własności dynamiczne przy rozruchu i nawrotach, wywołują wibracje korpusu oraz drgania skrętne wału oraz wzmagają hałas. Jednym ze skutecznych sposobów ograniczania pasożytniczych momentów synchronicznych w indukcyjnych silnikach klatkowych, znajdującym zastosowanie również w polskim przemyśle elektromaszynowym, jest wprowadzenie dodatkowego pierścienia zwierającego w środek pakietu wirnika i wzajemne skręcenie powstałych w ten sposób połówek wirnika wokół wału o odpowiednio dobrany kąt y. W zależności od tego, czy wirnik posiada żłobki proste, czy też skośne oraz od tego, jaki jest kąt skręcenia y, możliwe są 3 różne przypadki przedstawione na rys.l. q) b) c) Rys.l. Fragment rozwiniętego obwodu wirnika ze żłobkami prostymi (a) i skośnymi (b), (c) Fig.1. Portion of a developed rotor periphery with unskewed (a) and skewed slots (b), (c)

50 Dobór dodatkowego pierścienia. 53 Rys.lc przedstawia szczególny przypadek. Ze względu na to, że odcinek a, o jaki przesunięte są na obwodzie obie połówki wirnika, jest równy połowie odcinka skosu pręty obydwu połówek wzajemnie przedłużają się. Analizując silnik z dodatkowym pierścieniem w środku pakietu rdzenia dogodnie jest traktować obie połówki wirnika, powstałe w wyniku wprowadzenia pierścienia dodatkowego, jako dwa oddzielne wirniki I i II, mające jeden z pierścieni zwierających wspólny. To, jak określa się kąt jr wzajemnego 2a skręcenia wirnika I. względem wirnika II (y =, dr~ średnica wirnika) w r przypadku skośnych żłobków wirnika, tłumaczy rys.ib. Głównym celem niniejszej pracy jest przedstawienie sposobu doboru dodatkowego pierścienia w środku pakietu żelaza, wzajemnego a mianowicie - kąta skręcenia połówek y oraz wymiarów geometrycznych pierścienia dodatkowego tak, aby doprowadzić do wytłumienia wybranego niepożądanego momentu synchronicznego. 2. MECHANIZM POWSTAWANIA PASOŻYTNICZYCH MOMENTÓW SYNCHRONICZNYCH 3-fazowe 2p-biegunowe uzwojenie stojana zasilane symetrycznym 3-fazowym układem napięć generuje w szczelinie powietrznej maszyny przepływ magnetyczny zawierający harmoniczne przestrzenne o rzędach i> = p, 5p, 7p, lip, 13p... (rzędy harmonicznych przestrzennych określono w odniesieniu do pełnego obwodu maszyny, tak więc pierwszą harmoniczną i>=l jest harmoniczna podstawowa, o okresie odpowiadającym pełnemu obwodowi szczeliny maszyny, zaś harmoniczna główna, czyli pracująca, posiada rząd i>=p). Wśród wyższych harmonicznych przestrzennych przepływu stojana największe amplitudy osiągają harmoniczne strefowe niskiego rzędu (i> = 5p, 7p, lip, 13p) oraz harmoniczne żłobkowe stojana o rzędach określonych relacją i*=cqg±p, gdzie: c - liczba całkowita, Q - liczba żłobków stojana (wynika to z tego, że harmoniczne s żłobkowe stojana charakteryzują się tym samym współczynnikiem uzwojenia, co harmoniczna główna). Q^-żłobkowe uzwojenie klatkowe wirnika, pobudzane p-tą harmoniczną przestrzenną pola magnetycznego, generuje przepływ magnetyczny zawierający

51 54 K. Kluszczyński, P. Malicki harmoniczne przestrzenne o rzędach określonych równością i>=cq ±p, gdzie c - liczba całkowita. Największe amplitudy osiągają harmoniczne żłobkowe wirnika będące reakcją uzwojenia klatkowego na harmoniczną p-tą (główną). Harmoniczne te posiadają rzędy i>=cq ±p. Wskutek oddziaływania i>-tej harmonicznej przestrzennej stojana z i>-tą harmoniczną przestrzenną wirnika, wytworzoną przez uzwojenie wirnika pobudzone p-tą harmoniczną przestrzenną stojana (v*p), powstaje w maszynie pasożytniczy moment pulsujący, który przy prędkości obrotowej zwanej prędkością synchroniczną momentu pasożytniczego przyjmuje w stanie ustalonym wartość stałą. Przy innych prędkościach obrotowych moment ten jest momentem pulsującym o częstotliwości zmieniającej się wraz z prędkością wirowania wirnika. W zależności od rzędów par harmonicznych (r>,p), uczestniczących w powstawaniu momentu pasożytniczego, prędkość synchroniczna może być równa: 2u 2u r* O,, O <d =0, id = - lub Cd (2 ) # s s p± V s p±v gdzie cd - częstotliwość sieci, o Można wykazać, że wszystkie pary harmonicznych przestrzennych (i>,p), uczestniczące w powstawaniu pasożytniczych momentów synchronicznych, spełniają relację: gdzie c - liczba całkowita. u±p=cqr (3 ) Reasumując, ze wzoru (2) i (3) wynika, że pasożytniczy moment synchroniczny powstaje w maszynie zatrzymanej, a więc przy cd =0, albo w 2id s zakresie pracy silnikowej przy prędkości <d =, bądź też - w zakresie s cq 2*o r pracy hamulcowej przy prędkości *s=-~^q - Momenty synchroniczne powstające r przy prędkości równej zeru są przyczyną zależności momentu rozruchowego od początkowego położenia wirnika, albowiem na moment rozruchowy maszyny składa się moment asynchroniczny, niezależny od kąta wirnika oraz pasożytniczy moment synchroniczny, zależny od niego. Pasożytnicze momenty synchroniczne powstające w zakresie pracy silnikowej pogarszają dynamiczne własności rozruchowe maszyny, powodują wydłużenie czasu rozruchu oraz oscylacje wirnika przy przechodzeniu przez prędkości synchroniczne. Przy bardzo dużej amplitudzie pasożytniczego momentu synchronicznego, niekorzystnym początkowym położeniu wirnika oraz dużym momencie obciążenia lub momencie bezwładności silnik może zostać wciągnięty

52 Dobór dodatkowego pierścienia. 55 w synchronizra przez synchroniczny moment pasożytniczy, w wyniku czego wirnik nie osiągnie prędkości znamionowej, lecz będzie wirować z niewielką prędkością, odpowiadającą prędkości synchronicznej. Pasożytniczy moment synchroniczny powstający w zakresie pracy hamulcowej w mniejszym stopniu oddziałuje na przebieg rozruchu silnika. Jego niekorzystny wpływ zaznacza się jednak wyraźnie przy dokonywaniu nawrotów. 3. PASOŻYTNICZE MOMENTY SYNCHRONICZNE W SILNIKU Z DODATKOWYM PIERŚCIENIEM ZWIERAJĄCYM W silniku z dodatkowym pierścieniem zwierającym w środku pakietu rdzenia wirnika wypadkowy pasożytniczy moment synchroniczny, związany z uporządkowaną parą harmonicznych (u, p ), jest sumą momentów wytworzonych przez współdziałanie prądu stojana z prądami I i II wirnika i może być obliczony wg następującego ogólnego wzoru: (. *r C ) ( ) ±j(v±p)yl Te(i>,p) k Re{±jlsLrIp+IrIIpe Je } gdzie:, Ig - prąd stojana, k k k (4) 1 wsp wru sklu v 2 mu k kwr k. wsv p skip 1, 1 - prąd I i II wirnika, związany z p-tą harmoniczną przestrzenną, rlp rllp d - kąt położenia wirnika w chwili zaistnienia stanu ustalonego, L - indukcyjność magnesująca maszyny dla u-tej harmonicznej przestrzeńini' nej, k,k,k,k - współczynnik uzwojenia stojana i wirnika dla u-tej wsu wru wsp wrp i p-tej harmonicznej przestrzennej, k,k, - współczynnik skosu odniesiony do połowy długości maszyny (dla sklu skip połówki maszyny) dla u-tej i p-tej harmonicznej przestrzennej. Znaki ± oraz znak sprzężenia (*) we wzorze (4) zależą od kierunków wirowania u-tej harmonicznej przestrzennej przepływu stojana i wirnika oraz p-tej harmonicznej przestrzennej przepływu stojana i wirnika. Prąd Ig oraz I i I można wyznaczyć opierając się na schemacie zastępczym silnika rlp rllp [3][41.

53 56 K. Kluszczyński, P. Malicki Kąt «o> określający położenie wirnika w chwili zaistnienia stanu ustalonego, może być również zdefiniowany w inny sposób jako kąt zawarty pomiędzy osią pierwszego uzwojenia fazowego stojana a osią symetrii pierwszego oczka klatki wirnika, widoczny przy oświetlaniu maszyny - wirującej z prędkością równą prędkości synchronicznej momentu pasożytniczego wg - lampą stroboskopową, rozbłyskującą z częstotliwością kołową równą prędkości synchronicznej Kąt ten spełnia tę samą rolę, co kąt mocy w teorii maszyny synchronicznej. Charakterystyka Te(^ j = f(«q) nosi nazwę charakterystyki kątowej pasożytniczego momentu synchronicznego i jest - jak wynika ze wzoru (4) - krzywą sinusoidalną o okresie T = = _ L v±p cqr c gdzie rr - podziałka żłobkowa wirnika. Pasożytniczy moment synchroniczny powstający przy danej prędkości synchronicznej jest zazwyczaj wynikiem działania kilku różnych par harmonicznych, co oznacza, że dla wyznaczenia wypadkowej charakterystyki kątowej momentu synchronicznego przy prędkości t i # ) = y t,. (» ). e o L e{v,p) o należy obliczyć sumę: 0 tym, czy charakterystyka Tg (do) jest funkcją sinusoidalną, czy też niesinusoidalną, decydują więc okresy charakterystyk składowych, związapych z poszczególnymi parami harmonicznych (v,p). Okazuje się, że pasożytnicze momenty synchroniczne związane z różnymi parami harmonicznych (v,p), ale posiadające tę samą prędkość synchroniczną, znajdującą się w zakresie pracy silnikowej, bądź też w zakresie pracy hamulcowej, mają równe okresy charakterystyk kątowych o wartości! U* 1 T=it CO o (5) czyli wypadkowa charakterystyka kątowa momentów synchronicznych związanych z takimi prędkościami jest zawsze krzywą sinusoidalną. Ze względu na wzajemne przesunięcie kątowe charakterystyk wypadkowej Te (0Q) p )(dq) amplituda charakterystyki jest jednak mniejsza od sumy arytmetycznej amplitud poszczególnych charakterystyk składowych. Czasami - ze względu na znaczne uproszczenie obliczeń - dokonuje się tylko oszacowania górnej wartości amplitudy wypadkowego momentu synchronicznego poprzez arytmetyczne zsumowanie amplitud sinusoidalnych charakterystyk kątowych związanych z poszczególnymi parami harmonicznych (i>,p).

54 Dobór dodatkowego pierścienia. 57 Zupełnie odmiennie przedstawia się sytuacja w przypadku wypadkowego momentu synchronicznego, powstającego przy prędkości o>s=0, albowiem - jak można wykazać - charakterystyki kątowe związane z różnymi parami T harmonicznych przestrzennych mogą mieć różne okresy o wartości T=, gdzie c = 1,2,3,... Charakterystyka wypadkowego momentu synchronicznego w maszynie zatrzymanej jest więc w ogólnym przypadku krzywą niesinusoidalną. Należy zwrócić uwagę, że dla momentów synchronicznych powstających przy o>s=0 charakterystyka kątowa jest równocześnie charakterystyką określającą zależność pasożytniczego momentu synchronicznego od kąta początkowego położenia wirnika. Wypadkowa charakterystyka momentu rozruchowego silnika jest sumą momentu asynchronicznego o wartości stałej, niezależnej od położenia wirnika oraz charakterystyki kątowej momentu synchronicznego, opisanej powyżej. Na rys.2 przedstawiono przykładowy przebieg charakterystyki momentu rozruchowego Tr= f(0q), przy założeniu że w maszynie przy u =0 powstają pasożytnicze momenty synchroniczne o charakterystykach s x kątowych, mających okresy t, -g. Rys.2. Charakterystyka momentu rozruchowego: a) charakterystyki momentów składowych: asynchronicznego (1) i pasożytniczych momentów synchronicznych (2), (3) b) charakterystyka wypadkowa Fig.2. Starting torque - rotor angle curve: a) curves for components: asynchronous (1) and synchronous parasitic torques (2), (3) b) resultant curve

55 58 K. Kluszczyński, P. Malicki 4. ZASADY DOBORU PIERŚCIENIA DODATKOWEGO Jeśli przyjąć wstępne założenie, że rezystancja i indukcyjność rozproszenia dodatkowego pierścienia zwierającego są to spełniona jest równość: 1 r = I tt = I -rlp -rllp -p a wzór (4) przyjmuje wówczas postać: T,,= k Re e(i>,p) Wynika stąd, że przy ±j(v±p)«% i(*)[l+e±j(l'±p)y { ±JlIs rp [ i 6 } n = v±p cq r ~2c następuję całkowite stłumienie pasożytniczego związanego z parą harmonicznych (i>,p). Biorąc pod uwagę, że T = l, otrzymujemy równość nieskończenie małe, ( 6 ) (7) ( 8 ) momentu synchronicznego, T r = T. (9) która pozwala na fizyczną interpretację istoty działania pierścienia dodatkowego. Poprzez wprowadzenie dodatkowego pierścienia zwierającego i skręcenie obu połówek wirnika o kąt równy następuje przesunięcie charakterystyk kątowych pasożytniczych momentów synchronicznych związanych odpowiednio z I i II wirnikiem o kąt równy połowie okresu tych charakterystyk, a to prowadzi w konsekwencji do zrównoważenia się momentów synchronicznych i ich wzajemnego wygaszenia. Efekt ten zilustrowano na rys.3. Rys.3. Charakterystyki kątowe pasożytniczych momentów synchronicznych związanych z połówkami wirnika skręconymi o kąt T/2 Fig.3. Synchronous parasitic torque angle V o curves connected with the halves of a rotor turned by the angle T/2

56 Dobór dodatkowego pierścienia. 59 W rzeczywistości pierścień dodatkowy posiada skończoną wartość rezystancji i indukcyjności rozproszenia, co oznacza, że nie jest możliwe całkowite wytłumienie pasożytniczego momentu synchronicznego, tak jak to przedstawiono na rys.3. Minimalna wartość, do której można zredukować pasożytniczy moment synchroniczny, związany z parą harmonicznych (v,p) przy zadanej rezystancji R& i indukcyjności rozproszenia pierścienia dodatkowego, wynika ze wzoru (4). Rozważmy jako przykład 3-fazowy silnik klatkowy średniej mocy o następujących danych: Pn= 3 kw, Un= 380 V, p=3, liczba żłobków stojana Qs=36, liczba żłobków wirnika Qr=33. W silniku tym dominujący synchroniczny moment pasożytniczy powstaje w zakresie pracy hamulcowej i jest związany z parą harmonicznych przestrzennych o rzędach (i>,p) = (3,69) (gdzie: i>=3 - harmoniczna główna, p=69 - harmoniczna żłobkowa stojana określona wzorem p=cqg-p dla c=2). Prędkość synchroniczna tego momentu wynosi: 2u 2u, u = 2- = - = ^ -, (1 0 ) s v-p 66 s a okres charakterystyki kątowej momentu synchronicznego jest - zgodnie ze * tł wzorem (5) - równy: 1» I T=n = = rad. (11) 0) * o Znaczne ograniczenie wartości pasożytniczego momentu synchronicznego można uzyskać przez wprowadzenie dodatkowego pierścienia zwierającego i T wzajemne skręcenie obu połówek wirnika wokół wału o kąt y=-^-= rad. Moment synchroniczny 3 ) y= rad., przypadek z rys. lc. Tablica I. R [CJ] «ID'3 10'4 IG' a L [H] era ' O 1ON

57 60 K. Kluszczyński, P. Malicki W tablicy I przedstawiono wpływ, jaki rezystancja i indukcyjność rozproszenia pierścienia dodatkowego wywiera na amplitudę synchronicznego momentu pasożytniczego, zaś na rys. 4 i 5 scharakteryzowano te zależności Rys.4. Zależność pasożytniczego momentu synchronicznego T. od ret e(69, 3) zystancji segmentu pierścienia dodatkowego: 13 L<ra= 10~5h> 23 L<ra= 10_6h- 3) LM = 10'?H. 4) L = 10_8H o«<ra (ra era Fig.4. Relationship between synchronous parasitic torque Te(69 3) and resistance of an additional ring: 13 L<ra= 10_5h 23 L**= i0'6h- 3) L = 10_7h- 4) L = 10'8H (ra <ra era graficznie za pomocą rodziny krzywych. Jak widać, skuteczność oddziaływania pierścienia dodatkowego na momenty synchroniczne w istotny sposób zależy od wartości obu tych parametrów. Właściwe działanie pierścienia dodatkowego wymaga, aby zarówno rezystancja pierścienia, jak i jego indukcyjność rozproszenia były mniejsze od pewnych wartości krytycznych R i L _o akr trakr' Jeżeli przykładowo ^ oraz L^clO H, wówczas wartość amplitudy momentu synchronicznego spada poniżej 1.5% wartości, jaką moment ten przyjmuje w silniku bez pierścienia dodatkowego, a więc - moment jest. praktycznie wygaszony. Jeśli jednak R >10~3n lub L >10~5H, wówczas - pomimo a era r wprowadzenia pierścienia i odpowiedniego skręcenia połówek - moment synchroniczny pozostaje praktycznie niezmieniony.

58 Dobór dodatkowego pierścienia. 61 Rys. 5. Zależność pasożytniczego momentu synchronicznego od indukcyjności rozproszenia segmentu pierścienia dodatkowego: 1) R = 10~3fi, 2) R = 10 V 3) R = 10 5n, 4) R,= 10~6n a a 3. 3 Fig. 5. Relationship between synchronous parasitic torque 3) and leakage inductance of an additional ring: 1) R = 10-3n, 2) R = 1 0 ~ V 3) R = 10'5n, 4) R = 10_6iJ a Wartość rezystancji i indukcyjności rozproszenia pierścienia dodatkowego kształtuje się poprzez dobór odpowiednich wymiarów geometrycznych żłobka. Żłobek, w którym jest umieszczony pierścień dodatkowy, jest żłobkiem prostokątnym otwartym. Przy zadanej wysokości żłobka rezystancję i indukcyjność rozproszenia można pomniejszać poprzez powiększanie jego szerokości, pociąga to jednak za sobą konieczność zwiększenia długości maszyny. Stąd też Istotne jest określenie dla projektowanej maszyny - wzór (4) i schemat zastępczy maszyny - wartości krytycznej rezystancji i indukcyjności pierścienia dodatkowego i przyjęcia wymiarów żłobka odpowiadających wartościom nieznacznie tylko mniejszym od krytycznych. Reasumując, poprzez wprowadzenie dodatkowego pierścienia zwierającego w środek pakietu żelaza wirnika, właściwy dobór jego parametrów oraz wzajemne skręcenie połówek wirnika o odpowiednio dobrany kąt można praktycznie całkowicie wytłumić wszystkie pasożytnicze momenty synchroniczne, które posiadają jednakowy okres charakterystyki kątowej. Oznacza to, Ze za pomocą dodatkowego pierścienia można wyeliminować momenty synchroniczne w silniku we wszystkich przypadkach przedstawionych na rys. 6. W przypadku gdy pasożytniczy moment synchroniczny powstaje przy prędkości ws=0 i zawiera składowe o różnych okresach charakterystyki kątowej, tak jak to

59 62 K. Kluszczyński, P. Malicki a) b) c) Rys.6. Rozkłady pasożytniczych momentów synchronicznych, przy których możliwe jest ich wygaszenie Fig.6. Distributions of synchronous parasitic torques at which is possible to suppress them przedstawiono np. na rys.2, możliwe jest wygaszenie tylko jednej z tych składowych. Podobnie w przypadku gdy pasożytnicze momenty synchroniczne powstają przy dwóch lub więcej prędkościach synchronicznych, dodatkowy pozwala na wytłumienie tylko jednego z tych momentów. pierścień Istotną zaletą przedstawionego sposobu wytłumiania momentów pasożytniczych za pomocą pierścienia dodatkowego jest to, że jest on skuteczny zarówno w silnikach indukcyjnych z klatką izolowaną, jak i nieizolowaną, a więc - że prądy poprzeczne, płynące pomiędzy prętami klatki poprzez żelazo wirnika, nie osłabiają tłumiącego działania pierścienia dodatkowego. Jest to istotna zaleta omówionej metody w porównaniu do sposobu polegającego na wprowadzeniu ukośnych żłobków w wirniku. W silnikach indukcyjnych z klatką nieizolowaną, a zwłaszcza w przypadku silników z klatką zalewaną aluminium, wprowadzenie skosu żłobków prowadzi do silnego wzrostu prądów poprzecznych, a te zaś - do silnego osłabienia wpływu skosu na momenty pasożytnicze i - w konsekwencji - do znacznego ograniczenia skuteczności metody. Celowe wydaje się natomiast łączenie obu wymienionych sposobów - dodatkowego pierścienia oraz skosu żłobków - w jednej maszynie, tak jak to przedstawiono na rys.ib,c. Stwarza to możliwość, aby niektóre z momentów pasożytniczych redukować poprzez wprowadzenie pierścienia dodatkowego, inne zaś - za pomocą skosu żłobków wirnika. Pamiętać jednak należy o tym, że wartość skosu należy wybrać i obliczyć w stosunku do połowy długości wirnika, a więc dla połówki wirnika, a nie w odniesieniu do całej długości wirnika.

60 Dobór dodatkowego pierścienia. 63 Przy doborze pierścienia dodatkowego konieczna jest również znajomość gęstości prądu w pierścieniu. Można wykazać, że magnetyczny strumień osiowy, przenikający przez szczelinę powietrzną i sprzęgający uzwojenie, stojana z pierścieniem dodatkowym, jest równy zero (rys. 7). Stąd też prąd oczkowy w [ c T = t Rys.7. Silnik z dodatkowym pierścieniem zwierającym Fig. 7. Motor with additional ring ] pierścieniu dodatkowym jest równy zero, a wartość prądu w pierścieniu dodatkowym jest określona wyłącznie przez różnicę prądów Oczkowych w I i II wirniku. W przypadkach przedstawionych na rys. la, b w wyniku tego, że pręty obu połówek wirnika łączą się z pierścieniem dodatkowym w różnych punktach, prądy w sąsiednich segmentach pierścienia dodatkowego są różne. Przy założeniu że rezystancja i indukcyjność rozproszenia pierścienia dodatkowego jest pomijalnie mała i pierścień dodatkowy stanowi idealne zwarcie. prąd w segmencie wspólnym dla pierwszego oczka I wirnika i pierwszego oczka II wirnika związany z u-tą harmoniczną przestrzenna jest określony wzorem: I t>y sin avll i>a bv> sin gdzie: I - prąd pręta związany z i>-tą harmoniczną przestrzenną, bv 2it Q_ oraz w segmencie wspólnym dla pierwszego oczka I wirnika i drugiego oczka II ( 1 2 ) wirnika - wzorem: v(ar-y) sin ai>12 sin - bi> (13) W przypadku skręcenia obu połówek wirnika o odcinek a-, które to skręcenie zapewnia stłumienie pasożytniczego momentu synchronicznego o T okresie charakterystyki kątowej, prądy te przyjmują wartości:

61 64 K. KiuszczyńsKi, P. Malicki I 114) 2c-l sin I avl2. vn -I sin (15) Wartości obu tych prądów można stosunkowo łatwo oszacować. Przyjmując, że dominującym składnikiem prądu wirnika, będącego sumą prądów związanych z poszczególnymi harmonicznymi przestrzennymi, jest składnik związany z harmoniczną główną (pracującą) o rzędzie w=p, czyli - że: I sl all apir I sl a!2 ap!2 oraz zakładając, że: cos sl - otrzymujemy: ( 16) gdzie I - prąd pręta związany z p-tą (główną) harmoniczną przestrzenną. W rzeczywistości prądy w obu segmentach pierścienia dodatkowego będą o kilka do kilkunastu procent większe od podanych wartości szacunkowych. Znajomość powyższych wzorów pozwala skontrolować prawidłowość doboru wymiarów pierścienia dodatkowego ze względów cieplnych. 5. WNIOSKI Dodatkowy pierścień zwierający w środku pakietu rdzenia wirnika jest skutecznym środkiem pozwalającym na wytłumienie wybranych pasożytniczych momentów synchronicznych w indukcyjnym silniku klatkowym, w którym - ze względów technologiczno - ekonomicznych - nie można było uniknąć pasożytniczych momentów synchronicznych poprzez inny dobór liczby żłobków stojana i wirnika. Dla prawidłowego działania pierścienia dodatkowego konieczne jest wprowadzenie odpowiedniego kąta skręcenia obu połówek wirnika (o kąt równy połowie okresu charakterystyki kątowej tłumionego momentu

62 Dobór dodatkowego pierścienia. 65 synchronicznego) oraz dobór odpowiednich wymiarów geometrycznych pierścienia (rezystancja i indukcyjność rozproszenia pierścienia dodatkowego muszą być mniejsze od pewnej wartości krytycznej). LITERATURA 1. Heller V., Hamata V. : Harmonie Field Effects in Induction Machines. Academia Publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences, Praque Kluszczyński K.: Momenty pasożytnicze w maszynach asynchronicznych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Elektryka, z.102., Gliwice Kluszczyński K., Miksiewicz R. : Squirrel-cage motor with additional ring in rotor. Proc. of ICEM 90, Cambridge, Massachusetts, USA, Kluszczyński K., Malicki P.: Influence of bar-to-bar transverse currents on parasitic torques in squirrel cage motor. Proc. of CICEM-91, Wuhan, China Krzymiński L. : Wpływ nieizolowania klatki na asynchroniczne momenty pasożytnicze w silnikach indukcyjnych. Prace Instytutu Elektrotechniki, z.32, Warszawa Sobczyk T., Kielski T.: Analiza wpływu pierścienia pośredniego na własności silnika klatkowego. Elektrotechnika - kwartalnik AGH, T.6, z. 2,3, 1987 Wpłynęło do Redakcji dnia 1 marca 1992 r. Recenzent: Prof.dr hab.inż. Eugeniusz Koziej CHOICE OF ADDITIONAL RING IN THE MIDST OF ROTOR CORE IN SQUIRREL-CAGE MOTOR A b s t r a c t Synchronous parasitic torques arising in induction motors deform the torque-speed curve and deteriorate considerably dynamic properties of a motor at starting and reversals. One of effective methods for suppressing chosen synchronous parasitic torque is an additional ring in the midst of a

63 66 K. Kluszczyński, P. Malicki rotor dividing the rotor into two halves turned mutually around a shaft by the certain angle y (Fig.1). These two halves can be treated as two separate rotors: rotor I and rotor II having one ring in common. The value of parasitic synchronous torque at the synchronous speed u> depends on the angle (where: - the angle between the axis of the 1-th stator phase winding and the axis of the 1-th mesh of a rotor cage at the time instant when steady-state occurs), which plays the same role as the socalled power angle in the theory of a synchronous machine (Exp.4). The synchronous parasitic torque - angle &q curve is sinusoidal if synchronous speed is situated in the brake or motor region and, in general, non-sinusoidal if synchronous torque arises at standstill (Fig.2). The period T of synchronous torque - angle 0 curve is equal to t / c (whereo r Tr~ r tor slot pitch, c - integer number) and is related to the value of synchronous speed (Exp. 5). In the motor having an additional ring electromagnetic torque arises as a result of a stator current I acting upon the currents of rotor I and rotor II which means that the torque - angle 0q curve of synchronous torque is the sum of the two torque - angle 0q curves but shifted mutually by the angle y (Exp.4). If the angle y is equal to the half of the period Tg of the torque - angle 0q curve (Exp.9) then parasitic synchronous torque connected with rotor I will suppress synchronous torque connected with rotor II and synchronous parasitic torque will be remarkably reduced (Fig.3),It is to be noticed that the minimum value of the reduced torque depends on the resistance and leakage inductance of an additional ring which must be less than the certain critical values (Table I, Figs.4 and 5). Because of the (fact that axial magnetic flux and, as a consequence, the mesh current of an additional ring equals zero (Fig.7), the currents in the various segments of an additional ring (there are possible three different cases presented in Fig.la,b,c) are equal to the difference of mesh current! associated with rotor I and rotor II - and are finally determined by Exps. 14 and 15.

64 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: ELEKTRYKA z Nr kol Krzysztof KLUSZCZYŃSKI Dariusz SPAŁEK Instytut Maszyn 1 Urządzeń Elektrycznych Politechniki Śląskiej NIEHARMONICZNA ANALIZA PRACY MASZYNY ASYNCHRONICZNEJ Streszczenie. W pracy przedstawiono nową koncepcję analizy działania maszyny asynchronicznej. Klasyczną analizę maszyny opartą na rozkładzie współczynników indukcyjności wzajemnej w szereg harmonicznych przestrzennych Fouriera zastąpiono analizą polegającą na stałoodcinkowej aproksymacji współczynników indukcyjności wzajemnej. W wyniku takiego rozkładu współczynników indukcyjności wzajemnej doprowadzono do separacji równań stanu elektrycznego od równań stanu mechanicznego. NON-HARMONIC ANALYSIS OF BEHAVIOUR OF ASYNCHRONOUS MACHINE Summary. In this paper the new method of analysis of an asynchronous machine has been presented. The classical analysis based on developing mutual inductance coefficients is changed for analysis relying on piecewiese-constans approximation of mutual inductance coefficients. In such a way separation of electrical statequations from a mechanical state equation is obtained. UNHARMONISCHE ANALYSE DES WIRKENS DER ASYNCHRONISCHEN MASCHINE Zasummenfassung. In diesem Artikel wurde eine neue Methode der Analyse der Wirkens der asynchronisehen Maschine dargestellt. Die klassische Analyse des Wirkens der Maschine, die auf der Entwicklung des Koeffizients der Gegeninduktivität in raumharmonische Fourierreihe basiert, wurde durch abschnittweise-konstanten Aproximation des Koeffizients der Gegeninduktivität ersetzt. Auf diese Weise erreichte man die Separation der elektrischen Zustandsgleichungen von der mechanischen Zustandsgleichungen.

65 68 K. Kluszczyński, D. Spałek 1. WPROWADZENIE Analizy stanu nieustalonego i ustalonego maszyny elektrycznej można dokonać opierając się na harmonicznej analizie współczynników indukcyjności wzajemnej uzwojeń stojana i wirnika. Dokładność rozwiązania zależy wówczas od liczby uwzględnionych harmonicznych przestrzennych szeregu Fouriera. Istotne znaczenie posiada poprawne rozwinięcie w szereg harmonicznych przestrzennych Fouriera współczynników indukcyjności wzajemnej uzwojeń stojan-wirnik, zależne tak od rozkładu przestrzennego przepływów poszczególnych uzwojeń, jak i od rozkładu przestrzennego permeancji szczeliny powietrznej. Przy założeniu równomiernej i gładkiej szczeliny powietrznej zagadnienie upraszcza się, albowiem wówczas harmoniczne przestrzenne współczynników indukcyjności zależą wyłącznie od harmonicznych przestrzennych przepływów uzwojeń stojana i wirnika. W wielu praktycznych zagadnieniach technicznych możliwe jest dalsze uproszczenie analizy poprzez uwzględnienie w analizie tylko głównej (v=p) harmonicznej przestrzennej. Pozwala to na uzyskanie prostego i przejrzystego schematu zastępczego maszyny. W latach sześćdziesiątych pojawiły się prace wskazujące na możliwość zastosowania innej - niż harmoniczna - analizy obwodów elektrycznych. Proponowana w miejsce analizy harmonicznej analiza sekwencyjna jest oparta na funkcjach prżedziałami stałych, takich jak funkcje Waisna, Rademachera, Haara itp. Celem niniejszej pracy jest wykazanie, że jest możliwe przeprowadzenie analizy asynchronicznej maszyny elektrycznej, przy założeniu że współczynniki indukcyjności wzajemnych -stojan-wirnik nie są funkcjami sinusoidalnymi bądź skończonymi sumami funkcji harmonicznych, ale funkcjami odcinkami stałymi o nieciągłościach 1-go rodzaju (funkcjami schodkowymi). 2. RÓWNANIA STANU ELEKTRODYNAMICZNEGO MASZYNY ELEKTRYCZNEJ Układ równań, opisujących nieustalony stan elektrodynamiczny maszyny składa się z równań stanu elektrycznego i stanu mechanicznego. Równania stanu elektrycznego maszyny elektrycznej stanowią nieliniowy układ równań o zmiennych współczynnikach, zaś równanie stanu mechanicznego maszyny elektrycznej jest równaniem sprzężonym z układem równań stanu elektrycznego w sposób nieliniowy za pośrednictwem wyrażenia na moment elektromagnetyczny.

66 Nieharmonlczna analiza pracy. 69 Układ równań maszyny asynchronicznej o -fazowym uzwojeniu stojana i m -fazowym uzwojeniu wirnika ma postać: 2 ni +m2 gdzie: ",», * L, l i V h < } V j > i= i i, j = 1,... mt+ m2> - indeks uzwojenia fazowego, (i) Rj - rezystancja i-tego uzwojenia fazowego, L - współczynnik indukcyjności rozproszenia i-tego uzwojenia fazowego (Ti (L =const), o-t - współczynnik indukcyjności wzajemnej pomiędzy i-tym a J-tym uzwojeniem fazowym maszyny, u,1 - odpowiednio chwilowa wartość napięcia i prądu i-tego uzwojenia fazowego. Równania stanu elektrycznego maszyny elektrycznej dla wszystkich (m^ mz) uzwojeń fazowych dogodnie jest zapisać w postaci macierzowej: u = r* i + St (L*!) (2) V = L*l (3) gdzie: u. i.y- wektor napięć, prądów i strumieni skojarzonych maszyny, R - diagonalna macierz rezystancji uzwojeń stojana i wirnika, L - macierz indukcyjności własnych i wzajemnych uzwojeń maszyny, o elementach: L = L 6 + M U o-i tj ij S - delta Kroneckera, U [_= diag[ Lffi] + M yj - macierz indukcyjności wzajemnych. Stan mechaniczny maszyny opisuje następujące równanie:

67 70 K. Kluszczyński, D. Spałek gdzie: ip - kąt mechaniczny obrotu wirnika maszyny, J - moment bezwładności maszyny (J = const), T - moment mechaniczny, T J- moment elektromagnetyczny maszyny: N N (5) l=lj=l (gdzie: N = mi+ ) lub w notacji macierzowej: T = e (6) 3. MODEL MATEMATYCZNY MASZYNY ASYNCHRONICZNEJ 0 WSPÓŁCZYNNIKACH INDUKCYJNOŚCI WZAJEMNEJ APROKSYMOWANEJ FUNKCJAMI PRZEDZIAŁAMI STAŁYMI Współczynniki indukcyjności wzajemnej stojan-wirnik są okresowymi funkcjami kąta obrotu, wirnika: dla: i = 1,... m oraz j = m + 1,.., m+m, lub j = 1,... m oraz i = m + 1,.., m + m W przypadku gdy maszyna elektryczna jest 2p-biegunową, a liczba żłobków na biegun i fazę jest całkowita, to okresem zmienności współczynników indukcyjności wzajemnej jest kąt: 2 n /p. Przyjmijmy, że rozważana maszyna elektryczna jest wielofazową maszyną asynchroniczną o gładkiej, nieużłobkowanej i równomiernej szczelinie powietrznej pomiędzy stojanem i wirnikiem. (7) W takiej maszynie o postaci funkcji (7) decyduje rozkład przestrzenny przepływu wzdłuż obwodu maszyny. W zależności od przyjętego sposobu aproksymacji rozkładu okładu prądowego wzdłuż podziałki żłobkowej stojana i wirnika funkcje (7) mogą mieć różny charakter.

68 Nieharinoniczna analiza pracy. 71 Zwykle przyjmuje się trzy przybliżenia: - okład prądowy żłobka jest stały wzdłuż podziałki żłobkowej, - okład prądowy żłobka jest rozłożony równomiernie wzdłuż otwarcia żłobka, - okład prądowy żłobka jest skupiony w środku żłobka w postaci impulsu Diraca. Jeżeli przyjmiemy, że okład prądowy żłobka jest skupiony w jego środku w postaci impulsu Diraca, to wówczas rozkład przestrzenny przepływu ma postać funkcji schodkowej, a współczynniki indukcyjności wzajemnej (7) przyjmują postać krzywych łamanych składających się z funkcji odcinkami liniowych. W klasycznej analizie maszyn elektrycznych dokonuje się dalej rozkładu tak określonych współczynników indukcyjności wzajemnej w szereg harmonicznych przestrzennych Fouriera, a następnie wyprowadza się schemat zastępczy maszyny przy uwzględnieniu tylko pierwszej harmonicznej takiego rozkładu. Oznacza to, że klasyczny schemat zastępczy obowiązuje, przy założeniu że współczynniki indukcyjności wzajemnej (7) są funkcjami sinusoidalnie zmiennymi. Załóżmy, że zamiast rozwinięcia funkcji (7) w szereg Fouriera dokonamy jej aproksymacji za pomocą funkcji przedziałami stałej, której wartości zmieniają się skokowo na granicach kolejnych przedziałów (rys.l); funkcja taka może być skończoną sumą funkcji Walsha. Rys.l. Aproksymacja współczynnika infukcyjności wzajemnej stojan-wirnik za pomocą funkcji przedziałami stałej Fig. 1. Approximation of stator-rotor mutual inductance coefficient with the help of piecewise-constant function

69 72 K. Kluszczyński, D. Spałek Jeżeli liczbę przedziałów stałości funkcji aproksymującej oznaczymy przez N, to układ równań stanu elektrycznego maszyny o współczynnikach okresowo zmiennych staje się układem równań różniczkowych liniowych o współczynnikach stałych w N kolejnych podprzedziałach, składających się na 1/p-tą część' obrotu wirnika maszyny. Kąty obrotu wirnika maszyny, przy których następują skokowe zmiany wartości współczynników indukcyjności wzajemnej, tworzą ciąg ip^, ip^, <p^,..., < p zaś odpowiadające im chwile czasowe tworzą ciąg tj, t2> t,...,t... Określmy teraz - przy powyższych założeniach - postać momentu elektromagnetycznego maszyny. Zgodnie ze wzorami (5), (6) w przedziałach stałości współczynników indukcyjności wzajemnej moment elektromagnetyczny nie powstaje - a więc T = 0. W punktach skokowej zmiany (nieciągłości) współczynników indukcyjności wzajemnej (7) powstaje w maszynie moment elektromagnetyczny będący funkcją Diraca. Oznacza to, że moment elektromagnetyczny rozwijany przez maszynę jest ciągiem funkcji Diraca o postaci: 00 (8 ) gdzie: ip - kąt obrotu wirnika, przy którym następuje skokowa zmiana wartości współczynnika indukcyjności wzajemnej, S(<p - <p^) - delta Diraca w punkcie <p, a^ - współczynnik. Z uwagi na to.że w przedziałach stałości współczynników indukcyjności wzajemnej moment elektromagnetyczny jest równy zero T = 0, równanie stanu e mechanic/nego (4) upraszcza się w tych przedziałach do postaci: W przedziałach stałości współczynników indukcyjności wzajemnej równania stanu elektrycznego i mechanicznego ulegają separacji i stają się autonomiczne. W wyniku przyjętej aproksymacji współczynników indukcyjności wzajemnej stojan-wirnik rozwiązanie równań stanu dla przedstawionego modelu maszyny elektrycznej sprowadza się do niezależnego rozwiązania równań stanu elektrycznego (2) oraz równania stanu mechanicznego maszyny (4).

70 Nieharmoniczna analiza pracy ANALIZA MODELU MALSZYNY ASYNCHRONICZNEJ OPARTEGO NA FUNKCJACH PRZEDZIAŁAMI STAŁYCH Analizę stanu nieustalonego maszyny elektrycznej na podstawie przedstawionego powyżej modelu przeprowadza się na przemian w przedziałach stałości współczynników indukcyjności wzajemnej (wg procedury opisanej w punkcie a) oraz w punktach nieciągłości współczynników procedury opisanej w punkcie b) indukcyjności wzajemnej (wg a) W przedziałach stałości współczynników indukcyjności wzajemnych: - równania stanu elektrycznego maszyny są układem równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach, - w maszynie nie powstaje moment elektromagnetyczny T = 0, - prędkość kątowa maszyny zmienia się tylko pod wpływem momentu mechanicznego T (równanie (9)). m Jeśli przyjąć, że wektorem stanu jest wektor strumieni skojarzonychy wówczas równania stanu elektrycznego (2) i (3) można przekształcić do następującej postaci: * gdzie: A = - R*L. (V ) = A*V+ U <10> a rozwiązanie powyższego układu równań ma w przedziale + postać:- gdzie: t V ( t ) = e A(t" tk )» [ V ( t it) e A( V t )*(J(t )cit ] (11) t k t - chwila czasowa, w której następuje skokowa zmiana wartości k współczynników indukcyjności wzajemnej (chwila czasowa t odpowiada kątowi obrotu wirnika maszyny <p^). W powyższym przedziale czasowym następuje zmiana prędkości kątowej zgodnie z równaniem (9). Przy założeniu stałej wartości momentu mechanicznego T prędkość kątowa w rozpatrywanym przedziale czasu zmienia się m według zależności: u(t) = u(tk) + Tm(t - tk)/j. (12)

71 74 K. Kluszczyński, D. Spałek b) W punktach skokowej zmiany wartości współczynników indukcyjności wzajemnych: - prądy w uzwojeniach fazowych ulegają skokowej zmianie z uwagi na warunek ciągłości strumienia magnetycznego sprzężonego z poszczególnymi uzwojeniami fazowymi stojana i wirnika, w maszynie powstaje moment elektromagnetyczny będący impulsem Diraca (wzór (8)): T_((p) = a^ 8[<p - <Pk ), prędkość kątowa maszyny ulega skokowej zmianie pod wpływem impulsu Diraca. Warunek ciągłości strumienia skojarzonego: V ( V > - Y ( t k+> = Y ( t k) (13) pozwala na wyznaczenie zmiany wartości prądów uzwojeń fazowych w chwilach t skokowej zmiany wartości współczynników indukcyjności wzajemnych: m k) = l(tk*)- (tk-) = [L 1(tk+)- L (14) Skok wartości prądów fazowych maszyny w chwili t^, opisany wzorem (14), oznacza skokową zmianę wartości energii magnetycznej, uzwojeniach maszyny: zmagazynowanej w Wm = \ Y T* Al (15) Ta skokowa zmiana wartości energii magnetycznej AW w chwili czasowej t (przy kącie obrotu wirnika <pfc) prowadzi - zgodnie ze wzorem (5) - do powstania momentu elektromagnetycznego mającego postać impulsu Diraca: T e ^ k ^ = AWa 5 ( 'P ~ ( P j - ( 1 6 ) Współczynniki ak we wzorze (8) są równe skokowym zmianom energii magnetycznej skojarzonej z uzwojeniami maszyny na końcach przedziałów stałości współczynników indukcyjności wzajemnej (ze znakiem minus). Zachowanie maszyny w chwili tfc (przy kącie ^ ) pod wpływem działania momentu elektromagnetycznego będącego impulsem Diraca jest opisane równaniem: J = - AW S(<f - w ) dt k (17)

72 Nieharmoniczna analiza pracy. 75 Mnożąc obie strony równania (17) przez w i całkując po czasie t w przedziale (t - At,t + At) otrzymujemy (At =* 0): k k t łat t +At k r. k Kr, Joj d(*> AWm S(<p - u dt (18) t -At t -At k k Ze względu na to, że lewa strona równości (18) przy At =* 0 jest różnicą energii kinetycznej wirnika w chwili tfc, zaś po prawej stronie zachodzi Ł>dt = d<p (czemu towarzyszy zmiana granic całkowania: tfc- At-» ip - t + At=* w + A ), możemy równaniu (18) nadać ostateczną postać: k k oraz A( ij u 2 ) = - AW (19> 2 m Pod wpływem momentu elektromagnetycznego, będącego impulsem Diraca, następuje skokowa zmiana prędkości kątowej. Skokowy ubytek energii magnetycznej zmagazynowanej w uzwojeniach (-AWJ przyrostowi energii kinetycznej wirnika AW^: gdzie: AW = - AW k n. jest równy skokowemu ( 2 0 ) AWr = i J Ł>2(tk+) - l J k>2(tk-) (21) A W m s 1 T ( Ł k + ) * A K Ł k > ( 2 2 ) W interpretacji fizykalnej oznacza to, że część energii magnetycznej zmagazynowanej w uzwojeniach ulega w chwili tfc przekształceniu w energię kinetyczną mas wirujących. Z relacji (20), (21), (22) uzyskujemy: w2(tk+)-w2(tk-) = - 3 T(tk)*A (tk). (23) Opierając się na opisanych powyżej procedurach a), b) można analizować stan nieustalony maszyny w dowolnie długim przedziale czasowym, analizując na przemian przedziały stałości i punkty nieciągłości wartości współczynników indukcyjności wzajemnych. Moment elektromagnetyczny maszyny jest ciągiem impulsów Diraca. Strumienie magnetyczne skojarzone z uzwojeniami fazowymi są ciągłymi funkcjami czasu z nieciągłymi pierwszymi pochodnymi w chwilach czasowych tk- Prądy fazowe uzwojeń oraz prędkość kątowa maszyny są nieciągłymi funkcjami czasu z nieciągłościami w chwilach czasowych t (nieciągłość 1-go rodzaju).

73 76 K. Kluszczyński, D. Spaiek 5. PODSUMOWANIE W rzeczywistej maszynie elektrycznej współczynniki indukcyjności wzajemnej stojan-wirnik nie są funkcjami sinusoidalnymi (bądź skończonymi sumami funkcji sinusoidalnych), jak to zakłada się w analizie klasycznej, ani też - jak to przyjęto w niniejszej pracy - funkcjami przedziałami stałymi. Można uważać, że oba te modele są pewnymi granicznymi przypadkami, określającymi skrajne możliwości zachowania się maszyny. Przedstawiony model, w którym współczynniki indukcyjności wzajemnych aproksymowano funkcjami przedziałami stałymi, jest modelem, w którym uwydatnieniu ulegają zjawiska związane z dyskretnym rozkładem okładu prądu w żłobkach maszyny. Przedstawiony model może być wykorzystany do określenia nowych jakościowo zjawisk wynikających z użłobkowania powierzchni stojana i wirnika oraz dyskretyzacji okładu prądowego, a ponadto do badania wpływu, jaki ta dyskretyzacja wywiera na różne zjawiska pasożytnicze (asynchroniczne i synchroniczne momenty pasożytnicze, wibracje, drgania, hałas magnetyczny itp.). LITERATURA 1. Drygajło A., Rumatowski K.: Analiza sekwencyjnościowa układów liniowych. PWN, Warszawa Bracewell R. : Przekształcenie Fouriera i jego zastosowania. WNT, Warszawa Lighthill M. J. : Wstęp do teorii analizy Fouriera i teorii dystrybucji. PWN, Warszawa Rausch H.: Ermittlung des Verhaltens von Induktionmaschinen unter analytischer Formulierung des Luftspaltfeldes ohne wellenmaessige Darstellung. Kaiserslautern Recenzent: Prof.dr hab.inż. Tadeusz Sobczyk Wpłynęło do Redakcji dnia 15 grudnia 1991 r.

74 Nieharraoniczna analiza pracy. 77 NEW APPROACH TO ANALYSIS OF ASYNCHRONOUS MACHINES A b s t r a c t Asynchronous machines are usually analysed under the assumption that the distribution of magnetic field along the periphery of the air-gap is sinusoidal what means that time-varying mutal inductances between stator and rotor windings dependent on rotor angle M = f(#>) (where: if - rotor angle) s r can be expressed as sine functions. The more detailed results can be obtained by employing harmonic analysis and by resolving the actual magnetic field pattern into Fourier series. This paper presents the new mathamatical model of asynchronous machine determined under the assumption that the time-varying coefficients of mutal inductances between stator and rotor windings can be approximated by piecewiece - constant functions (the period of function M = f(<f) can be sr divided into arbitrary chosen number of intervals N - (Fig.1)). The state equations of this model must be considered separately in open intervals in which the mutual inductances are constant and at the boundaries of the intervals when sudden changes of their values occur. As regards the intervals, because of fact that mutual inductance coefficients do not change their values, the electromagnetic torque is all the time equal to zero. So, the behaviour of the machine inside intervals is described by electrical state equations with constant coefficients (1 0) and by simple mechanical equation (8). It should be emphasized that in the intervals motion of a rotor depends only on load torque T. (Exp. 12) m As far as the edges of intervals are concerned the conditions of continuity of magnetic flux linked with stator and rotor windings must be considered. (Exp.13) It results from this that currents and magnetic energy stored in windings are discribed by discontinuous functions. The rush of the values of both current Ai and magnetic energy AW at the edges of intervals can be m found from Eqs. (14) and (15).By differentiating function of magnetic energy W one obtains electromagnetic torque which can be expressed with the help m of Dirac impulse in the form (16). This Dirac impulse of electromagnetic torque causes the sudden change of rotor speed at the boundary of the interval. The presented model can be used for studying pheromena connected with discrete distribution of current layer intensity as well as with slotting because in such a model all the effects related to discrete distribution are considerably intensyfied.

75 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1992 Seria: ELEKTRYKA z.126 Nr kol Krzysztof KLUSZCZYŃSKI Dariusz SPAŁEK Instytut Maszyn i Urządzeń Elektrycznych Politechniki Śląskiej SYMULACJA KOMPUTEROWA STANÓW USTALONYCH I NIEUSTALONYCH MASZYNY ASYNCHRONICZNEJ DLA MODELU 0 WSPÓŁCZYNNIKACH INDUKCYJNOŚCI WZAJEMNYCH PRZEDZIAŁAMI STAŁYCH Streszczenie. W artykule przedstawiono wyniki komputerowej symulacji różnych stanów nieustalonych maszyny asynchronicznej opierając się na modelu maszyny ze współczynnikami indukcyjności wzajemnej aproksymowanymi funkcjami przedziałami stałymi. Przeanalizowano przebiegi funkcji różnych wielkości elektrycznych, magnetycznych i mechanicznych przy nieustalonym rozruchu silnika bez obciążenia i przy obciążeniu oraz w stanie nieustalonym przy stałej prędkości obrotowej. COMPUTER SIMULATION OF STEADY TRANSIENT STATES OF ASYNCHRONOUS MACHNINE ACCORDING TO MODEL WITH PIECEWISE CONSTANT MUTUAL INDUCTANCE COEFFICIENTS Summary. The results of computer simulation of different transient states of an asynchronous machine according to model with piecewise constant approximation of mutual inductance coefficients have been presented. Various electrical, magnetic and mechanical variables versus time during no-load start and during start at load as well as transient states at constant speed have been analysed. DIE RECHNER SIMULATION DER ARBEITSZUSTANDEN DER ASYNCHRONISCHEN MASCHINE FÜR DAS MODELL MIT DER ABSCHNITTWEISE - KONSTANTEN APROXIMATION DES KOEFFIZIENTS DER GEGENINDUKTIVITÄT Zusammenfassung. In diesem Beitrag wird die Ergebnisse der Rechner Simulation verschiedenen Arbeitszustanden der asynchronisehen Maschine auf der Grunde des'modells mit der abschnittweise - konstante Aproximation des Koeffizients der Gegeninduktivität. Die Veränderlichkeit der elektrischen, magnetischen und mechanischen Abhängigkeiten in der verschiedenen Zustanden der Arbeit wird gezeigt.

76 K. Kluszczyński, D. SDałek 1. WSTĘP W pracy 15] przedstawiono nowy model maszyny asynchronicznej oparty na aproksymacji współczynników indukcyjności wzajemnej: stojan-wirnik przy pomocy funkcji przedziałami stałych (funkcjami schodkowymi). Model ten wymaga szczególnego sposobu analizy, polegającego na przemiennym analizowaniu przedziałów stałości współczynników indukcyjności wzajemnej oraz punktów nieciągłości, w których wartości współczynników indukcyjności wzajemnych zmieniają się w sposób skokowy. W przedziałach stałości współczynników indukcyjności wzajemnej stan elektryczny maszyny jest opisany układem równań różniczkowych niezależnym od równania różniczkowego, opisującego stan mechaniczny. Innymi słowy - w przedziałach stałości współczynników indukcyjności wzajemnych następuje separacja równań stanu elektrycznego i mechanicznego. W punktach nieciągłości - skokowe zmiany wartości wielkości elektrycznych, magnetycznych i mechanicznych wynikają zaś z warunków ciągłości strumienia magnetycznego skojarzonego z poszczególnymi uzwojeniami. W wyniku takiego sposobu analizy poszczególne wielkości elektryczne, magnetyczne i mechaniczne są opisane: funkcjami Diraca (moment elektromagnetyczny), funkcjami z nieciągłościami I go rodzaju (prędkość obrotowa, prądy stojana i wirnika energia magnetyczna uzwojeń) oraz funkcjami ciągłymi z nieciągłymi I-szymi pochodnymi (strumień skojarzony). 2. OMÓWIENIE PROGRAMU Opracowano program komputerowy symulujący działanie opisanego w pracy [5] modelu maszyny asynchronicznej. Program pozwala na wybór dowolnej liczby przedziałów stałości współczynników indukcyjności wzajemnych stojan-wirnik N, co - innymi słowy - oznacza, że aproksymacja posiada dowolnie zadaną liczbę schodków. Wraz ze wzrostem N wzrasta czas obliczeń. W niniejszej pracy zaprezentowano wyniki uzyskane przy N = 12. Program pozwala na symulację rozruchu maszyny pod różnymi obciążeniami T i przy różnych m warunkach początkowych dla: prędkości obrotowej n(0), prądów stojana I (0) i wirnika 1^(0) oraz początkowego kąta położenia wirnika p (0 ). S

77 Symulacja komputerowa stanów. 81 Specyficzną cechą prezentowanego modelu jest to, że nie jest możliwe dokonanie symulacji elektromechanicznego stanu nieustalonego, począwszy od prędkości zero (n(0)=0). Początkowa prędkość obrotowa n(0) musi być zawsze zadana jako niezerowa. Wynika to z przyjętego sposobu aproksymacji współczynników Indukcyjności wzajemnych stojan-wirnik. Wiadomo, że moment elektromagnetyczny nie powstaje, jeżeli pochodna cząstkowa współczynników indukcyjności wzajemnych stojan - wirnik względem kąta obrotu maszyny jest zerowa. Stąd przy stałoodcinkowej aproksymacji współczynników indukcyjności wzajemnych stojan-wirnik moment elektromagnetyczny w przedziale stałości tych współczynników nie jest wytwarzany, a to oznacza, że moment rozruchowy wewnątrz dowolnego przedziału jest równy zero. Dopiero nadanie maszynie prędkości początkowej pozwala dotrzeć wirnikowi do krańca przedziału stałości współczynników indukcyjności i osiągnąć punkt nieciągłości, w którym moment elektromagnetyczny pojawi się jako impuls Diraca, wymuszający dalszy skokowy przyrost prędkości obrotowej. Z powvższych rozważań wynika, że symulację nieustalonego rozruchu silnika ze stanu postoju należy zastąpić symulacją z warunkiem początkowym dla prędkości obrotowej, z tym że przyjęta prędkość początkowa - niezbędna ze względu na specyfikę modelu - powinna być możliwie (dostatecznie) mała, a więc taka, że poza początkowym przedziałem czasu rozwiązanie nie będzie zależało od jej wartości. W przedstawionych wynikach symulacji nieustalonych stanów rozruchu przyjęto warunek początkowy n(0) = 5 obr/s. Opracowany program umożliwia symulację stanu nieustalonego maszyny asynchronicznej przy zmiennej prędkości obrotowej wirnika (stan nieustalony elektromechaniczny) oraz przy stałej prędkości obrotowej (stan nieustalony elektromagnetyczny). Stan nieustalony maszyny analizuje się zwykle do chwili zaistnienia stanu ustalonego, który - z punktu widzenia techniki obliczeniowej i potrzeb praktycznych - definiuje się zwykle jako nierówność modułową o następującej postaci: gdzie: I T + T I < e (1) 1 m e 1 e - zadany uchyb, charakteryzujący stopień zbliżenia się do rzeczywistego stanu ustalonego, następującego teoretycznie po czasie nieskończenie długim. W rozważanym modelu maszyny asynchronicznej powstający moment elektromagnetyczny jest ciągiem impulsów Diraca i ma następującą postać:

78 82 K. Kluszczyński, D. Spałek 00 T (<P)= - f AW ( ) 6( <p - <f ) e La m k k ( 2 ) gdzie: obrotu wirnika, przy którym następuje skokowa zmiana wartości współczynnika indukcyjności wzajemnej, S (ip - - delta Diraca w punkcie ip, AW ( skokowa zmiana energii magnetycznej uzwojeń maszyny przy kącie <p^. Aby móc skorzystać z kryterium stanu ustalonego (1* konieczne Jest zdefininiowanie średniej wartości momentu elektromagnetycznego. Przyjęto, że za średni moment elektromagnetyczny będzie się uważać moment stały - równoważny pod względem pracy wykonanej w czasie obrotu wirnika o pełny kąt elektryczny - ciągowi impulsów Diraca: (3) gdzie: N - liczba impulsów Diraca występujących w czasie obrotu wirnika o pełny kąt elektryczny (liczba przedziałów stałości współczynników indukcyjności wzajemnych). T Rys.l. Średnia wartość momentu elektromagnetycznego - definicja Fig.1. Mean value of electromagnetic torque - definition

79 Symulacja komputerowa stanów. 83 Graficzną interpretację definicji przedstawia rys.1 (przy założeniu że liczba przedziałów stałości współczynników indukcyjności wzajemnych stojan-wirnik wynosi N = 12). Średni moment elektromagnetyczny pozwala na porównanie momentu elektromagnetycznego rozwijanego przez silnik ze stałym momentem elektromagnetycznym obciążenia T m ustalonego jako: oraz na zdefiniowanie stanu I T + T 1 m e I < e 1 (4) sr W przypadku stanu nieustalonego przy stałej prędkości obrotowej (n=const, j = oo ) za kryterium stanu ustalonego elektromagnetycznego przyjęto warunek: I T - T I < e (5) ' e e 1 sri sr gdzie T T esri,i 1 sri,i 1 - średni moment elektromagnetyczny maszyny, przy dwóch kolejnych obrotach wirnika o pełny kąt elektryczny. 3. STAN NIEUSTALONY MASZYNY ASYNCHRONICZNEJ PRZY ZMIENNEJ PRĘDKOŚCI OBROTOWEJ Dokonano symulacji rozruchu maszyny asynchronicznej przy zerowym momencie obciążenia (T = 0) i przy stałym momencie obciążenia (T = const). m Wyniki symulacji nieustalonego stanu rozruchu przy zerowym momencie obciążenia (T = 0) przedstawione są na rys Rys.2 obrazuje przebieg m prędkości obrotowej podczas całego rozruchu, rys. 3 - w przedziale początkowym, zaś rys. 4 - w stanie ustalonym. W rozważanym modelu przebieg prędkości obrotowej w przedziałach stałości współczynników indukcyjności wzajemnych stojan-wirnik jest opisany autonomicznym równaniem różniczkowym: J ^ = T (6) dt2 " Ze względu na to, że T = 0, w przedziałach stałości współczynników indukcyjności prędkość obrotowa zachowuje wartość stałą. Przebieg momentu elektromagnetycznego przedstawiają rysunki 5, 6, 7. Rys. 5 odnosi się do całego nieustalonego stanu rozruchu, rys. 6 - do przedziału początkowego, zaś rys. 7 - do stanu ustalonego. Jak już wspomniano, moment elektromagnetyczny rozwijany przez maszynę jest ciągiem impulsów Diraca,

80 84 K. Kluszczyński, D. Spałek opisanym przez wyrażenie (2). Każdy z impulsów odpowiada przyrostowi bądź ubytkowi energii magnetycznej skojarzonej z uzwojeniami maszyny lub - inaczej - jest równy odpowiednio ubytkowi bądź przyrostowi energii kinetycznej wirnika, zgodnie z równością: W stanie ustalonym pojawiają się pary impulsów o jednakowych amplitudach i przeciwnych znakach (rys.7). Przebiegi - analogiczne do przebiegów przedstawionych na rys. 2-7, rozruchu pod obciążeniem (moment obciążenia wykresach lecz odnoszące się do nieustalonego stanu Tm = -3 Nm) - przedstawiono na Porównując rys z rys. 2-4 widzimy, że przy obciążeniu przebieg prędkości obrotowej nie jest opisany funkcją przedziałami stałą, funkcją przedziałami liniową. Liniowa zmiana prędkości obrotowej w przedziałach stałości współczynników indukcyjności jest wynikiem hamującego działania momentu obciążenia. Rozwiązanie równania (6) ma przy obciążeniu maszyny stałym momentem T postać: m u(t) - >(tk) + TB(t - tk)/j. (8) lecz 'ią S Rys.2. Przebieg czasowy prędkości obrotowej maszyny przy rozruchu maszyny nieobciążonej Fig.2. Speed vs. time during no-load acceleration

81 Symulacja komputerowa stanów. 85 nll/i1 Rys.3. Przebieg czasowy prędkości obrotowej maszyny przy rozruchu maszyny nieobciążonej - okres początkowy Fig.3. Speed vs. time during no-load acceleration - initial period nll/sl Rys.4. Przebieg czasowy prędkości obrotowej - stan ustalony Fig.4. Speed vs. time during no-load acceleration - at steady state

82 86 K. Kluszczyński, D. Spałek Tlsl tlsl Rys.5. Przebieg czasowy momentu elektromagnetycznego przy rozruchu maszyny,nieobciążonej Fig.5. Torque vs. time during no-load acceleration S,1S0jtN nl I! I h t- O.OOC Li tlsl Ł063 SJ27 Rys.6. Przebieg czasowy momentu elektromagnetycznego p.rzy rozruchu maszyny nieobciążonej - okres początkowy Fig.6. Torque vs. time during no-load acceleration - initial period

83 Symulacja komputerowa stanów. 87 IfNnl K 10' aooc i: :59 tlsj J57 Ł714 Rys. 7. Przebieg czasowy momentu elektromagnetycznego przy rozruchu maszyny nieobclążonej - stan ustalony Fig. 7. Torque vs. time during no-load acceleration - at steady state n[l/sl Rys.8. Przebieg czasowy prędkości obrotowej maszyny przy rozruchu maszyny pod obciążeniem Fig.8. Speed vs. time during load acceleration

84 88 K. Kluszczyński, D. Spałek nil/sl Rys.9. Przebieg czasowy prędkości obrotowej maszyny przy rozruchu maszyny pod obciążeniem - okres początkowy Fig.9. Speed vs. time during load acceleration - initial period ntl/s! > li C * * 4.8 «tfsj Rys.10. Przebieg czasowy prędkości obrotowej maszyny przy rozruchu maszyny pod obciążeniem - stan ustalony rozruchu Fig. 10. Speed vs. time during load acceleration - at steady state

85 Symulacja komputerowa stanów. 89 TINn] Rys.11. Przebieg czasowy momentu elektromagnetycznego przy rozruchu maszyny pod obciążeniem Fig. 11. Torque vs. time during load acceleration T t N n l U K Us] m Rys.12. Przebieg czasowy momentu elektromagnetycznego przy rozruchu maszyny pod obciążeniem - okres początkowy lig.12. Torque vs. time during load acceleration - initial period

86 90 K. Kluszczyński, D. Spałek nti/s] Rys. 13. Przebieg czasowy momentu elektromagnetycznego przy rozruchu maszyny pod obciążeniem - stan ustalony Fig.13. Torque vs. time during load acceleration - at steady state Opierając się na nowym proponowanym modelu maszyny asynchronicznej uzyskano przebiegi czasowe wielkości elektrycznych i mechanicznych odpowiadające przebiegom znanym z klasycznej teorii maszyn elektrycznych, opartej na aproksymacji współczynników indukcyjnoścl wzajemnych stojanwirnlk funkcjami sinusoidalnymi. Istotną różnicą jakościową, wynikającą z zastosowania funkcji odcinkami stałych, jest oscylowanie prędkości obrotowej wirnika w stanie ustalonym wokół prędkości synchronicznej (rys.4, 10). 4. STAN NIEUSTALONY MASZYNY ASYNCHRONICZNEJ PRZY STAŁEJ PRĘDKOŚCI OBROTOWEJ Wyniki symulacji stanu nieustalonego maszyny przy stałej prędkości obrotowej wynoszącej n=25 obr/s przedstawiono na rys Rys. 14 przedstawia przebieg momentu elektromagnetycznego podczas całego stanu nieustalonego, zaś rys w jego przedziale początkowym. Na rys uwidoczniono nieustalone przebiegi prądów stojana i wirnika oraz strumieni magnetycznych skojarzonych ze stojanem i wirnikiem.

87 Symulacja komputerowa stanów N Ó W Rys.14. Przebieg czasowy momentu elektromagnetycznego przy stałej prędkości obrotowej Fig.14. Torque vs. time at constant speed r.stmlhl Rys.15. Przebieg czasowy momentu elektromagnetycznego przy stałej prędkości obrotowej - okres początkowy Fig.15. Torque vs. time at constant speed - initial period of time

88 92 K. Kluszczyński. D. Spałek Islń] Rys.16. Przebieg czasowy prądu stojana przy stałej prędkości obrotowej Fig.16. Stator ourrent vs. time at constant speed IwlAJ Rys. 1T. Przebieg czasowy prądu wirnika przy stałej prędkości obrotowej Fig. 17. Rotor currer.t vs. time at constant speed

89 SymulaC.il komputerowa stanów... 9j 'FistWb] ŁHł n; hi II! M i i i! h *' i i h 11 i s sh : i h '! 1!! t M ] 1 1 I ii 1 '( i i; i' i ;i ij i, i ii I ii I li i 'i i ;i i! ;i isii; Jli* 'Ml«, :i P i!i!;i i i jii;i! : i ii: : f i! 1 it i )! i i! «i 1 t III i II 1 i li I! i!!;i i(i i!l! i I* 1!. i j, t. li ii ii i: i :i ii > 5! ; iii! HI!'! l U l IM ip li! i i: ili J lii II! i i i l i l i i :; j ; i;i;;jij i!i I 1 i 1i:,i! i;iiiif3! li. liiii r l i!!!1!!!hipii lilii! ii i!i'i! ii: ilii; i.?!i::mi ' li i;j i ili: I! ;!i i! ili!;i'iil:!j :! *. 1iIi ' ';i1\ l?!i; : 11; ^ H i I! i.ii li;:i!i ' '!!:.! i! ll! liii!! i! ii ii i i' 'i lii (i<j '!?! t; ' i i!ii! ' ; i ;! Ui i! i!;!'!? i! i' ;! I ij Si s ; i!ili!!11 jiii I iiii i ' ij ii I, i; 'i 5 ; i i i i n i i h i Rys. 18 Przebieg czasowy strumienia skojarzonego ze stojanem przy stałej prędkości obrotowej fig. is. Magnetic flux linked with stator winding vs. time at constant speed li I 11 ; ; M il! 1 1! n i i lil * i t : t i I j J I 4-4-.L.L1 > 11! I f M i -uci.' ;j i i. k?, i i ' I l!. li I1. I } jia, jj! ii it i), r i.. i i. t ill i If il I j I i i I i * * i, i' n 1 1 u. 1 h! >i > I\ i 1 i! I I! I i: If Ej i ii fi u i i il 1 ii km ;!ttst!i I II Iii i I! i I 1 1: j i!i! Rys.19. Przebieg czasowy strumienia skojarzonego z wirnikiem przy stałej prędkości obrotowej Fig.19. Magnetic flux linked with rotor winding vs. time at constant speed

90 94 K. Kluszczyński, D. Spałek 5. PODSUMOWANIE Przeprowadzona na podstawie proponowanego modelu symulacja komputerowa różnych stanów nieustalonych maszyny asynchronicznej oraz uzyskane w wyniku symulacji przebiegi poszczególnych wielkości elektrycznych, magnetycznych i mechanicznych potwierdzają możliwość oparcia analizy maszyny na modelu ze współczynnikami indukcyjnoścl wzajemnych aproksymowanymi odcinkami stałymi. Uzyskane wynikł są zgodne z wynikami uzyskanymi za pośrednictwem klasycznej analizy harmonicznej, opartej na rozwinięciu współczynników indukcyjności w szereg Fouriera. W rozwiązaniu uwidaczniają się nowe zjawiska wynikające z nieciągłości współczynników indukcyjności wzajemnych. W kontekście prezentowanych wyników celowe wydaje się kontynuowanie prac nad analizą sekwencyjną maszyn elektrycznych, opartą na rozkładach współczynników indukcyjności wzajemnych w szereg Walsha. LITERATURA 1. Drygajło A., Rumatowski K.: Analiza sekwencyjnościowa układów liniowych. PWNj Warszawa Lighthill M.J.: Wstęp do teorii analizy Fouriera i teorii dystrybucji. PWN Bracewell R.: Przekształcenie Fouriera i jego zastosowania. WNT, Warszawa Rausch H. : Ermittlung des Verhaltens von Induktionmaschinen unter analytischer Formulierung des Luftspaltfeldes ohne wellenmaessige Darstellung. Kaiserslautern Kluszczyński K., Spałek D.: Nowa koncepcja analizy pracy maszyn elektrycznych SPETO XIV Wisła Recenzent: Prof. dr hab. inż. Tadeusz Sobczyk Wpłynęło do Redakcji dnia 15 grudnia 1991 r.

91 Symulacja komputerowa stanów. 95 COMPUTER SIMULATION OF STEADY TRANSIENT STATES OF ASYNCHRONOUS MACHINE ACCORDING TO MODEL WITH PIECEWISE CONSTANT MUTUAL INDUCTANCE COEFFICIENTS A b s t r a c t The results of computer simulation of different transient states of an asynchronous machine according to a new model described in [5] have been presented. A new mathematical model of asynchronous machine is determined under the assumption that time-varying coefficients of mutal inductances between stator and rotor windings can be approximated by piecewise constant functions. The state equations of this model must be considered separately in open intervals in which mutual inductances are constant and at the boundaries of intervals when sudden step changes of their values occur. As a result, mechanical, electrical and magnetic variables are described by Dirac function (electromagnetic torque), by piecewise continous functions (speed, rotor and stator currents, magnetic energy stored in windings) and by continous function with non-continous first derivative (magnetic flux linked with stator and rotor windings). Elaborated computer program allows to simulate various unsteady states at variable or at constant speed. Because of fact that electromagnetic torque has the form of the sum of Dirac impulses (Exp. 2.), the mean value of torque is defined (Exp. 3. ). This enables us to determine a criterion of steady state for transient at variable speed ( Exp.4.) and a criterion of steady state for transient at constant speed (Exp.5.). The results of computer simulation during no-load acceleration of a motor are presented in Fig.2-7, during load acceleration of a motor - in Fig and for transient state at constant speed in - Fig As has been seen, the obtained results agree with results of classical analysis based on developing mutual inductance in Fourier series. It means, that it is possible to apply Walsh functions connected with piecewise constant functions for analysis of electrical machine.

92 /ESZflY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ «r ia: ELEKTRYKA z. 126 Nr kol MaprapK ia.'jąmflhmhpcbha APYBHSH Cepcefi CydóaroBHN EEKTYnSH EpeeaHCKWft nojimtfxhhceckxu HHCTUTy: APMEHHS #OPMYIIA BHE3AIlH0r0 TPE$A3H0r0 KOPOTKOrC' 3AMŁIKAHH3 ACHHXPOHHBHPOBAHHOFO CHHXPOHHOr'O FEHEPATOPA P e 3 K>Me. B e n H H H H a T O K a BHe3arrHoro T p e x t j ; a 3 H o r o K o p o T K o r o s a m i K a u r s! a c n x p o H H 3 H p o B a H K o r o C H H x p o H H o r o I e H e p a T o p a sabhchv o t HauanbHoii <t>asw 3IIC H O T CKOłlb *ehhh. BblBefleHHUe 4>OpMynbl T O K a (6) no3bojlsiict pacchhtatb 4'a s b i 3 J IC m c K o n b * e K H e r i p n K O T o p b ix n o j i y n a e T c n H a H 6 om > W M ft t o k K o p o r x o r o s a M b i K a u m i. EQUATION OF TRANSIENT SHORT-CIRCUIT CURRENT OF THREE-PHASE SYNCHRONOUS GENERATOR WORKING IN ASYNCHRONOUS STATE Summary. The paper presents the mathematical model of a synchronous generator working in asynchronous state. Based on this model equation (6) describing the transient run of three-phase shortcircuit current was derived. The equation shows that the current surge depends on both the voltage phase at the time of short-circuiting and on the slip. We can determine the voltage phase and the slip which yield the greatest value of the current surge. If the slip is equal to zero, equation (6) is simplified into formula (7) describing the transient short-circuit current of three-phase synchronous generator. RÓWNANIE NIEUSTALONEGO PRĄDU ZWARCIA TRÓJFAZOWEGO GENERATORA SYNCHRONICZNEGO ASYNCHRON1ZOWANEGO Streszczenie. W artykule przedstawiono model matematyczny generatora synchronicznego asynchronizowanego. na podstawie którego wyprowadzono równanie (6) opisujące przebieg nieustalony prądu zwarcia 3-fazowego. Z równania tego wynika, że wartość udarowa prądu zależy nie tylko od fazy napięcia w chwili zwarcia, lecz także od poślizgu. Opierając się na równaniu (6) można określić zarówno fazę napięcia, jak i poślizg, przy których uzyskuje sie największą wartość udarową prądu zwarcia. Przy poślizgu równym zero równanie upraszcza się do zależności (7) opisującej nieustalony prąd zwarcia 3-fazowego generatora synchronicznego.

93 98 M. B. ApyioHHH, C. C. B exrynah B TeseHHe pana net Ha xai}>enpe "snextpoiiexahhxa" EpeBaHCKoro nonhtexhhheckoro HHCTHTyTa npobonatca hccnenobatenbckhe h xohctpyxtopcxue pasotm B OÖnaCTH achhxpohh3hpob ahhblx CHHXPOHHWX r eh epat OpOB (ACT), paöotaioehx B abtohomhhx CHCTeMax 3neKTpocHa6*eHHa. r ip O B enehhbie HCcnenoBaHHa no3bonwnh pa3pa6otatb xohctpyxuhio ACr MoiuHocTbß B 50 kbt, KOTopbiß B HacToamee BpeMH HaxoflHTca Ha CTannH H3roTOBneHHa. Una ouehkh TexHHnecxoro ypobha cnpoexrapobahhoro rehepatopa u ytohhehha xapaktepn c t h k h nexonnxh npoekthpob ahha npennonaraetca npoßecth oöuihphbie 3KcnepHMeHTanbHbie HCcnenoBaHHa no cneunanbho cocrabnehhofi rrporpafme. Pa3pa6oTaHHbie no HacToaiuero BpeMeHH achhxpohh3h pob ahhbie rehepatopu npenha3hahanhcb nna napannenbhoń paöotbi b moihhmx SHeprocHCTeMax h nostomy npobenehhbie npwiiehhtenbho k h h m TeopeTHHecxHe HccnenoBaHHa 3anacTyio HCKraoaanH Bonpocu axtyanbhbie nna rehepatopob ManoMoiuHbix abtohomhbix cncteti. PaccMOTpeHHe noka3ano, hto k t3kmm BortpocaM othocatca pe*hmbi Koponcoro 3aMHKaHHa K3 B ACP. B nahhoä ctaxbe nphbonntca BbiBon ^opnynw Toxa axopa BHe3am oro Tpextj>a3Horo K3 achhxpohh3hpobahhoro rehepatopa. IlpoBeneHHbiń ahanh3 noxa3an, h t o nna peiuehha nahhoh sanan«nenecoo6pa3ho Hcnonb30BaTb BeKTopubie ypabhehha ACT (3anncaHHue b BHne nphpaiuehhń ) nna CHHXpOHHOfl CHCTeMbl KOOpnHHaT H B OTHOCHTenbHblX enhhhuax. Taxaa H cx on H aa chctema ypabhehhń HMeeT Bun: -U = R I +» /dt+j(w -S)* p U = R I + dł /dt - js* f f f f J f * = X I + X I (1) lf f ł = X I + X I. f f f If 1 3necb :»11 ^ npnpamehhh HanpameHHa, Toxa h rrotoxocuennehha oömotkh axopa; TO * e o6 m otxh B 03öy*neHHa; R ^,R^-axTHBHbie conpothbnehna <j>a3 o6 m o t o x a x o p a h B y * n e H H a ; X ^,X- - HHnyxTHBHbie c o n p o T H B n e H H a a x o p a h H H n y x T o p a ( c T a T o p a h potopa); X c o n p o T H B n e H n e B3 a H M 0 H H n y x u H H ; u - y r n o B a a i f p nacto Ta BpauieHHa HHnyxTopa; S=(w - u )/u -cx o n b * eh H e, npnaem u -nact O T a p i i i H a n p a m e H H H a x o p a (b OTHOCHTenbHblX e n H H w u a x o) = I).

94 fo p b iy n a BHe3arTHoro Tpe<t>a3Horo. 99 Bmbon 4>opMynbi una TOKa K3 rrpon3boflhtca npw cnejqyioiuhx ycnobhax: 1. KopoTKoe 3aMMKaHH6 HacTynaeT b cnefl 3a pe*hmom xonoctoro xona j 2. Bo b p e t i a n e p e x o f l H o r o r r p o u e c c a B enh H H H M u e n a B y * n é H H a ( H H f l y x T o p a ) H e p e r y n H p y o T c a ; 3. B TeneHHe nepexoflh oro n p o u e cc a aactota BpameHaa HHflyxTopa octaetca HeH3MeHHoñ (w = c o n s t). p OaeBHflHO, nph 3 t h x ycnobhax CHCTetia ypabhehhń (I)-nHHeHHa h e ë peuiehae B03M0*H0 onepatophhm MeTOflOM. YpaBHeHHa X 3 b onepatophoä tjxjpme 3arrHCH nna ACT HtieiOT bhh: Uxx = R I (p) +p (p)+j(u -S)ł(p) P 1 0 = R f I (p)+p*f (p)-jsłf (p) (2) *t(p ) = xli1(p )+ xifif(p) #.(p)= XfIf (p) + X lfij(p) C ob M ect H W M p e u ie H H e M ( 2 ) n o n y a a e t i : Uxx ' IM (p ) = (3) 1 a^.+ (p-js) R +(p+j)x ocf+(p-js) 3«ecb : uxx -Hanpa*eHHe npeumectbyiomero xonoctoro xopa; 6 = 1 - X^f/X X f -K03( xj)huheht pacceahha KOHTypoB; af=l/tf=-r /Xf -flexpetieht 3aTyxaHHa o ö m o t k h B036y*neHHa; a =1/6T = R /6X - n e p e x o f l H b i ä f le x p e M e H T 3 a T y x a H H a o ö m o t k h B y * n e H H a. f f f f Ana o n p e u e n e H M a o p a r H H a n a T o x a I ( p ) H e o 6 x o n n H O o r r p e n e n e H H e x o p H e f t 3 H a n e H a T e n a (3). n o c n e f l H H H m o * h o y n p o c T H T b, n p H H flb R^= 0. Torna x o p H H 3 H a c i e H a T e n a (3) c o c T a B H T : p = - j ; p = - a + js. M H J 2 f H T a x, t o k a x o p a c o n e p * n T Tpn c o c r a B n a c m H e : y c T a H O B M B iu y io c a, n o n y a a e r i y i o n O flc T ah O B X O H B ( 3 ) K O p H a P = 0 H U B e C B O Ö O flh b ie, C O O T B et C T B yio lu H e K O ph am p ^ H p g. H a c T O T a y c T a H O B H B U ie r o c a T o x a p a B H a H y n io b C H H x p o H H o fi c a c r e M e x o o p u H H a T h e flh H H u e - b H e n o f lb n * H b ix K o o p n H H a T a x a, b, c.

95 100 M. B. ApyioHHH, C. C. BeK rynsh Koprno p ^ - j cootbetctbyet anephonnaeckhö tok akopa. BcnencTBHe nphhhtoro nonymehha o5 R^=0 b stom KopHe otcytctbyet BeuiecTBeHHaa aact b, n 3-3 a ae ro anephohhaeckhft tok npenctabjiaetca He3 atyxatoehm. Una yaeta 3aTyxaHHa n o jiyaehhoe BupaxeHHe anepnohmaeckoro TOKa cneayet ymhoxmtb Ha HblX K O O p S H H a T a X H H y J I O B HenOBBM*HOÜ CHCTeMe KoopntiHaT a,b, C. K o p H» P 2 C O O T B e T C T B y e T CB osoflh fcih TO K H H f ly K T O p a. 3 t o T T O K B bl3mb a e T B o ô M O T K e a K o p a 3HC h t o k a a c T O T W C K o n b * e H H a ( b c h h x p o h h h x K o o p A H H a T a x ). B H e n o H B H * H o f t C H C T e M e K o o p jjh H a T a, b, c a a c r o T a T O K a a K o p a p a B H a a a c T O T e B p a j te H H a H H jj y K T o p a. Kaue B H flh O, B c e T p H c o c T a B n a o i n H e T O K a K3 H M e e T p a 3 H n e a a c T O T H. B K O H eah O M c a e T e, B n p a * e H H e a n s o p n r n H a n a T O K a K3 b c h h x p o h h h x o e a x ( b K O M n n e K C H o ń <}>opme 3 a r m c H ) H M e e T b h h : + 1 U (1+S)(a -a )+j[ßl+s)2+a a ] l f f f f )t + T e a (4) X <r i (1+S )z+a'f2 U i t«f-a fh( l+s)s-jaf (l+2s)] l0" a f 2 (1+2S)2+S2 (1+S)2 (-af+js)t e B CHCTeMe KoopflHHaT a,b,c sto *e Bwpa»eHHe HMeeT bhæ: i I_Ct). =* y * (A +JB )cos (t+a ) + K A (T 1 1 O -t/t + (A +1B ) cosa e o (5) -t/t <r +(A +JB ) cos[(l+s)t+a ]e f, 3 3 O rne a o -Haaajn>Haa 4>a3 a 3flC; Aj( Az> A3>B it B^, B3 - neöctbhtenbaa h MHHMaa aacth Bnpa*eHHft B (4):

96 $ o p n y n a B H e3anh oro Tpe<)>a3Horo. 101 A = (a -a )S(l+S)/[a Z(1+2S)Z+SZ(1+S)2]; 3 f f f B3 = -aj.(a^-af)(l+2s)/[a^2(l+2s)2+s2(l+s)2]. fljw onpenenehhsi m t h o b c h h h x 3HaMeHnń t o k o b Bbipa*eHHe (5 ) uenecoo6pa3ho npeflctabhtb b BHfle: U I r K (t) = ix n <T r I cos(t+a +a +T) + SD1 O S -t/t + I costa +a )e am o a * + (6 ) +1 cos[(l+s)+a +a ]e Rm o R -t/t <r r rae: = I (t)+i (t)+ I (t), In 1 an Ran I J A2 +B2 a = sm 1 1 s I J A2 +B2 a = am 2 2 a 2 2 J A 2 +B2 ar=arctg (B3/A3 ) 3 3 I (t), (t) - n e p a o n n a e c x a s h a n e p H o j j H H e c x a a c o c T a a n a c u m e T o x ^ a K 3 a x o p n ; I (t) - a n e p H O f l H H e c K a a coctabnacmaa T O K a H H H y x T o p a. R an n p e f l c r r a s n a e T H H T e p e c p a c c M O T p e H H e b biiu errp H b e fle H H b ix B b ip a * e H H ń a n a c H H x p o H H o r o pejk H M a ( S = 0 ). T a x, n p H M e H H T e n b H O k p o p i t e (4), c o o t b t c t b y w m a a 3 a n a c b ( n o c n e H e x o T o p w x n p e o 6 p a 3 0 B a H H ń h n p e H e 6 p e * e H n a M a n b im i s n e H a M H ) H M e e T b h h : - j en h o 1 U 1 u 1-1 J ---- * + J X 1 X <r 1 U u 1 1 -a t r 0 X <r X 1 J * ) t (7) Kax BHflHO, Bwpa*eHHe (7) cobnapaet c H3BecTHow <J>opMynoń Toxa BHe3anHoro K3 CHHxpoHHoro rehepatopa /2/.

97 102 M. B. ApywHSH, C. C. EeKrynaH 3aKJU0MeHHe 1. nokasaho,hto BerwsHHa TOKa BHe3anHoro K3 B ACT 3aBHCHT He Tora>KO ot HananbHoń <)>a3ti 3flC a, KaK 3TO HMeeT MecTO b c h h x p o h h o m rehepatope, h o h O OT B ejihhhhbl CKOJTbJKeHHH; 2. KaHecTBeHHHH ahanh3 nonysehhux Biipa*eHHń n o x a3an hx nphmehhmoctb nna B c e ro jqhana30ha CKonb*eHnń, b tom HHcne h nna CHHxpoHHoro pe*hma, Korna tf>opmyna Bbipo*naeTca b H3BecTHoe Btipa*eHHe K3 cnhxpohhoro re h e p a T o p a (6e3 neirn<t>ephb[x obmotok); 3. #opmynw no3bona»t pacchhtbmatb 3HaaeHHa TOKa K3 b ACF nna pa3hbix ypobheń HananbHoń <J>a3H 3flC a h ckonb*ehhs, HańTH nph stom HaH6onbuiHH (ynaphbiń) O t o k K3 h T e M cam bim y T O H H H T b y c n o B H s npobenehhh ontrra B H e 3 a n H o r o K3. nhtepatypa 1. UlaKapaH 10. T. : AcHHxpoHH3HpoBaHHue cnhxponhhbie MauiHHU. 3HeproaTOMH3naT, r., c. 2. CnnańnoB T. A.,Ko h o h c h k o E. B.,XopbKOB K. A. : 3neKTpMHecKHe MauiHHU. Cneu. Kypc. Bbicuiaa uikona, 1987r.,287c. Wpłynęło do Redakcji dnia 23 marca 1992 r. Recenzent: Prof.dr hab.inż. Tadeusz Glinka

98 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1992 Seria: ELEKTRYKA Nr ko Bogusław GRZESIK Zbigniew KACZMARCZYK Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Przemysłowej Politechniki Śląskiej PROGRAM KOMPUTEROWEJ ANALIZY PRZEKSZTAŁTNIKÓW DIODOWYCH Z UOGÓLNIONYM BADANIEM STRUKTURY KOMUTACJI Streszczenie. Opisuje się nowy typ programu komputerowego przeznaczonego do analizy przekształtników energoelektronicznych z diodami doskonałymi. Model nierównościowy diody i przekształtnika stanowi podstawę konstrukcji programu. Program umożliwia najogólniejsze z możliwych badanie struktury komutacji; strukturę komutacji stanowią zbiory schematów zastępczych: istotnych / i osiągalnych oraz warunki komutacji określone dla każdego schematu istotnego. Struktura komutacji wykorzystana jest do określania przebiegów czasowych napięć i prądów przekształtnika. Program umożliwia analizę przekształtników typu RLCDT ej. Program ma cechy programu symbolicznego. PROGRAM FOR GENERALIZED ANALYSIS OF COMMUTATION STRUCTURE OF DIODE POWER ELECTRONIC CONVERTERS Summary. A novel program for analysis of diode power electronic converters is described in the paper. The inequality model of the perfect diode and such a model of the converter are a basis for the program. The developed program determines commutation structure: the set of decisive equivalent circuits, the set of attainable equivalent circuits and the conditions of all commutations. This is the most general analysis. The structure of commutation is used in calculation of the voltages and the currents of the converter. The program enables analysis of the converters of RLCDT ej-type. The program is of symbolic type. FlPOrPAMMA KOMTlblOTEPHOrO AHATIH3A CHilOBblX npe06pa 30BATEnEH HA COBEPUlEHHblX HHOflAX C MCOlEflOBAHHEM CTPYKTYPN KOMMYTAUHH P e 3» «e. r i p e n c T a B n e H a h o b a s n p o r p a m i a K O M n b i o T e p H o r o a H a n w s a c h h o b h x n p e o 6 p a 3 0 B a T e n e ń H a c o B e p u i e H H H X n H O f l a x. I I p o r p a M M a 6 n n a n o c T p o e H a H a 6 a 3 e H e p a B e H C T B e H H O H M o q e n H U H o q a h t o k o h * e M o q e n H n p e o 6 p a 3 0 B a T e 'j i s. [ I p o r p a M M a q a e T B 0 3 M o * H o c T b n p o B e c T H c a M u ń o ó u ih h a H a n n 3 c T p y K T y p i i K O M M y T a u H H n p e o 6 p a 3 0 B a T e n s. P e 3 y n b T a T O M 3 T o r o a H a J im 3 a s B n s e T c s H a 6 o p c y m e c T B e H H b i x h a o c t h i k h m h x s k b h b a n e H T H b i x c x e c i n p e o 6 p a 3 0 B a T e n a ; K p o M e 3 T o r o p e 3 y n b T a T 0 M a H a n H 3 a s b h s i o t c s y c n o B H S K O M M y T a u H H. C 'r p y K T y p a K O M M y T a u H H H c n o n b 3 y e T c s q n s o n p e u c n e H H M B p e M e H H b ix q n a r p a M M H t i n p H ^ C H H H h t o k o b n p e o 6 p a 3 0 B a T e n s. I I p o r p a M M a r r p e n H a 3 H O H O H a u n s a H a n H 3 a RLCD e j n p e o 6 p a 3 0 B a T e n e ń. I I p o r p a M M a H M e e T H e K O T o p u e c b o ń c t b a c h m b o n H s e c K H X n p o r p a M M.

99 104 B. Grzesik, Z. Kaczmarczyk 1. WSTĘP Przeważająca większość programów komputerowych czy to uniwersalnych (np.spice, PCNAP), czy też ukierunkowanych na energoelektronikę (np. TCAD, JPES) umożliwia analizę przekształtników energoelektronicznych na podstawie ciągu analiz numerycznych wykonanych dla pewnego określonego obszaru parametrów przekształtnika. W analizie takiej na ogół nie jest możliwe uwzględnienie wszystkich możliwych przypadków, nawet gdy modelami diod są diody doskonałe. Opracowany program komputerowy nowego typu umożliwia systematyczne badanie wszystkich możliwych przypadków procesu, jaki zachodzi w przekształtniku energoelektronicznym z diodami doskonałymi. Jest to możliwe dzięki modelowi nierównościowemu przekształtnika. W modelu tym badaniu podlegają układy nierówności opisujące odpowiednie schematy zastępcze. Wynikiem badania każdego układu nierówności jest stwierdzenie, czy odpowiedni schemat zastępczy jest schematem istotnym, czy też nieistotnym. W dalszym ciągu badnia procesu komutacyjnego ustala się, które ze schematów istotnych są schematami osiągalnymi. Moduł programu STOŻEK został skonstruowany na podstawie modelu nlerównościowego przekształtnika. Model nierównościowy i moduł STOŻEK odróżniają opisywany program od innych znanych programów analizy przekształtników energoelektronicznych. Zastosowanie modelu nlerównościowego sprowadza zadanie analizy przekształtnika do ciągu analiz liniowych. W budowie modelu nlerównościowego i do Jego analizy wykorzystuje się teorię nierówności liniowych jednorodnych. Praca zawiera podstawy teoretyczne modelu nlerównościowego przekształtnika, jego interpretację geometryczną oraz opis programu komputerowego; w pracy zamieszczono przykłady ilustrujące funkcjonowanie programu. Główną część niniejszego opracowania stanowią wyniki pracy [31; opracowanie zawiera ponadto rezultaty dwóch wcześniejszych prac [1], [2] poświęconych modelowi nierównościowemu przekształtnika energoelektronicznego z diodami doskonałymi.

100 Program komputerowej analizy MODEL PRZEKSZTAŁTNIKA ENERGOELEKTKRONICZNEGO, STRUKTURA KOMUTACJI Przekształtnik energoelektroniczny przedstawia się jako obwód elektryczny złożony z diod doskonałych, liniowych elementów R, L, C oraz źródeł e, j. Model diody - dioda doskonała jest dwójnikiem rezystancyjnym, przedziałami liniowym o rezystancji zaworowej skończonej Rr» 0 w stanie zaworowym (-u Ł0) i rezystancji przewodzenia R «Rn w stanie przewodzenia (i Ł0); dla D - F R Lł u = i = 0 dioda znajduje się w stanie neutralnym. D D Model diody - dioda doskonała - nazywa się również modelem nierównościo- wym diody, ponieważ opisywany jest nierównościami: -u ł 0 d w stanie zaworowym R = R d r m w stanie przewodzenia Rd = R^ w stanie neutralnym Rd - nieokreślona Model przekształtnika ze względu na przyjęcie modelu nierównościowego diody nazywa się modelem nierówność i owym przekształtnika. Oprócz równań różniczkowych i algebraicznych model ten zawiera pewien zbiór układów nierówności - każdy układ nierówności opisuje określony schemat zastępczy. Zbiór schematów zastępczych możliwych stanowią wszystkie schematy, jakie można uzyskać przyjmując wszystkie możliwe kombinacje stanu nd diod. Liczba schematów zastępczych możliwych wynosi: NDD = 2 nd ( 2 ) Na przykład w prostowniku mostkowym m=2 liczba ta wynosi NDD=16. Analiza przekształtników i ich badania laboratoryjne wykazują, że w czasie pracy przekształtnika realizują się niektóre spośród schematów możliwych. Wśród zbioru 2nD schematów możliwych istnieje podzbiór schematów zastępczych istotnych. Schemat.zastępczy istotny jest to taki schemat możliwy, który realizuje się podczas pracy przekształtnika, gdy odpowiednio dobrane jest wymuszenie i parametry dynamiczne L,C. Na przykład dla prostownika mostkowego m=2 liczba schematów istotnych wynosi NDDI=4 i są to schematy: 0000, 1001, 1111, Zbiór schematów zastępczych istotnych przekształtnika jest określony, gdy zadane są: graf, typy gałęzi (R,L,C,e,j) oraz rezystancje gałęzi rezystancyjnych i rezystancje diod; nie definiują go parametry wymuszeń i parametry dynamiczne L,C.

101 106 B. Grzesik, Z. Kaczmarczyk Dopełnieniem do zbioru schematów zastępczych istotnych jest zbiór schematów zastępczych nieistotnych. Schemat zastępczy nieistotny jest schematem, w którym niektóre diody znajdują się w stanie neutralnym. Na przykład w prostowniku mostkowym m=2 są to schematy 0111, Wśród schematów zastępczych istotnych istnieją schematy zastępcze 'aiągalne. Schematem osiągalnym jest taki schmat istotny, który powstaje podczas pracy przekształtnika, gdy skonkretyzowane jest wymuszenie i parametry dynamiczne L, C. Na przykład w przypadku prostownika mostkowego m=2, gdy e=sin<jt, i=const, liczba schematów osiągalnych wynosi NDU0=3 i są to schematy: 1001, 1111, Zmieniając wymuszenie i parametry L, C zmienia się zbiór schematów zastępczych osiągalnych. Zbiory schematów możliwych, istotnych, nieistotnych, osiągalnych oraz warunki komutacji schematów stanowią strukturę komutacji przekształtnika. Przedstawione powyżej pojęcia: schemat zastępczy możliwy, istotny, nieistotny oraz osiągalny mają odpowiednią interpretację geometryczną - przedstawiono ją poniżej w opisie modułu komputerowego ST0HEK. Opracowany program określa strukturę komutacji przekształtnika (moduł STOŻEK) oraz umożliwia obliczenie przebiegó# czasowych odpowiednich napięć i prądów. Pierwszym etapem.określenia struktury komutacji jest zastąpienie wszystkich pojemności źródłami napięcia, a indukcyjności źródłami prądu. Drugim etapem jest skonstruowanie dla każdego z możliwych schematów zastępczych układu nierówności liniowych jednorodnych. Współczynniki tych nierówności określa się metodą liczb strukturalnych Bellerta [5], Trzecim etapem.jest poszukiwanie rozwiązania podstawowego układu nierówności każdego schematu zastępczego możliwego. Określenie rozwiązania podstawowego danego układu nierówności jest narzędziem pozwalającym na stwierdzenie, czy dany schemat zastępczy jest istotny. Jeżeli dany schemat zastępczy jest istotny, to wynikiem osiągnięcia rozwiązania podstawowego jest wydzielenie z układu nd nierówności (dla danego schematu zastępczego) zbioru nierówności istotnych. Pojęcie schematu zastępczego istotnego oraz nieistotnego zostało zinterpretowane geometrycznie w przykładzie 1. Przykład 1 a) Dany jest schemat zastępczy opisany przet układ nierówności :

102 Program komputerowej analizy. 107 e + j > 0 -e + j > 0 (pl.1) J > 0 Rozwiązanie układu (pl.l) - stożek istotny - przedstawione zostało na rys.l. i odpowiada schematowi zastępczemu istotnemu. Rys.l. Stożek istotny - ilustracja geometryczna do przykładu 1 Fig.1. Decisive cone - geometrical illustration to example 1 b) Dany jest schemat zastępczy opisany przez układ nierówności: ' e - J > 0 -ę + j > 0 j > 0 (pl.2) Rozwiązanie układu (pl.2) - stożek nieistotny - przedstawione zostało na rys.2 i odpowiada ono schematowi zastępczemu nieistotnemu. Rys.2. Stożek nieistotny - ilustracja geometryczna do przykładu 1 Fig.2. Neglected cone - geometrical illustration to example 1

103 108 B. Grzesik, Z. Kaczmarczyk 3. KONSTRUKCJA PROGRAMU KOMPUTEROWEGO Uproszczony schemat blokowy programu ma postać pokazano na rys.3. ( START ) Y i / w c z y t a j dane t o p o l o g i c z n e p r z e k s z ta łt n ik/, T I O B L IC Z HDD ; f

104 Program komputerowej analizy. 109 TAK lemonstracja PRZEBIEGÓW CZASOWYCH FUNKCJI BIBLIOTECZNYCH / PODAJ PARAMETRY Z RODEŁ NAPIECIA/PRADu/ ł OBLICZ PRĄDY M O D ELI ELEMENTÓW BIERNYCH! WYKRES /podaj WARUNKI POCZĄTKOWĄ,/ f- DOKONAJ ANALIZY W D Z IE D Z IN IE CZASU Z WYZNACZENIEM! WARTOŚCI CHWILOWYCH ZMIENNYCH STANU / WYPROWADŹ W Y N IK I ANALIZY CZASOWEJ- MODELU-NLJ NA EKRAN MONITORA / C ZY KONTYNUOWAĆ" A N A L IZ Ę W D Z I E D Z IN IE C ZASU TAK ( KONIEC ) Rys.3. Schemat blokowy programu Fig.3. Folwchart of the program Program został napisany w języku TURBO PASCAL 5.0. Składa się on z kilku modułów połączonych w jeden blok za pomocą programu głównego, którego zadaniem jest przekazywanie wykonywania programu do odpowiedniego modułu.

105 110 B. Grzesik, Z. Kaczmarczyk W module GRAF są wyznaczane współczynniki nierówności na podstawie metody Bellerta [5J. Moduł STOŻEK został skonstruowany na podstawie przygotowanego algorytmu uzyskania rozwiązania podstawowego dla opisu nierównościowego schematu zastępczego przekształtnika [2]. Rozwiązanie podstawowe układu nierówności, sporządzonego dla danego schematu zastępczego przekształtnika na podstawie modelu nierównościowego diody doskonałej, uzyskuje się przy wykorzystaniu teorii nierówności liniowych jednorodnych 12], [6], Każdy ze schematów zastępczych przekształtnika posiada swą interpretację geometryczną w przestrzeni konfiuguracyjnej utworzonej przez wymuszenia oraz zmienne stanu. Poszczególnym schematom odpowiadają obszary tej przestrzeni będące rozwiązaniami układów nierówności określane stożkami. Wszystkie NDD stożki pokrywają cala przestrzeń konfiguracyjną, a pewne z nich - stożki nieistotne - zawierają się w brzegach sąsiednich stożków. Eliminując ze zbioru wszystkich NDD stożków, stożki nieistotne, otrzymuje się NDDI stożków istotnych. Stożkom istotnym odpowiadają schematy zastępcze istotne, natomiast stożkom nieistotnym - schematy nieistotne. W schemacie zastępczym nieistotnym, niektóre diody doskonałe znajdują się w stanie neutralnym, D=0 oraz 1D=0; rezystancja diody R^ w tym stanie jest nieokreślona i dioda odpowiada nulatorowi. Schematy zastępcze istotne tworzą więc wystarczający opis przekształtnika, gdyż zawierają w sobie również warunki odpowiadające schematom nieistotnym pozostawania diod w stanie neutralnym. Istotność każdego ze schematów zastępczych określona jest w opisanym poniżej module STOŻEK, na drodze analizy numerycznej rozwiązania podstawowego układu nierówności. Szerszy opis przedstawionego algorytmu znajduje się w pracy [2] oraz [7]. Analiza przekształtnika w dziedzinie czasu odbywa się w module o nazwie WYKRES. Wartości zmiennych stanu są wyznaczane przy wykorzystaniu dyskretnych modeli pojemności i Indukcyjności stowarzyszonych z algorytmem Geara rzędu II. Prezentowany program daje możliwość wszechstronnej analizy przekształtników z diodami doskonałymi. Raz wyznaczona struktura komutacji przekształtnika umożliwia wykonanie wielokrotnej analizy w dziedzinie czasu, przy dowolnie zadawanych wymuszeniach oraz parametrach dynamicznych.

106 Program komputerowej analizy. 111 Moduł STOŻEK można opisać schematem blokowym pokazanym na rys.4. lii. START MODLU STOŻEK u k ł a d nierówności dla danego s c h e m a t u zastępczego \ / TAK S c * ' / IS T N I E J ą\ ^NIEROWNOSClN 'ZA LE2 N E LINIOWON SKIEROWANE y \ y PRZ ECI WNIE,' 7 nierówności różniące sie co do znaku (kierunku); Jeśli TAK, to schemat zastępczy Jest niesistotny NIE TAK ELIMINACJA ZBĘDNYCH NIEROWNOSC I! / A \ /Śk i e r o w a n e'', \ ZGODNIE / ~! \ / I \./' NIE nierówności Identyczne (posiadające identyczne rozwiązanie) eliminacja r.ierownosci z wyjątkiem jednej identycmv rh T WYZNACZENIE ROZ WI AZ ANT A PODSTAWOWEGO DLA FIERWSZEJ MIER OMNOSCI tworzy Je zbiór wektorów, których nieujemna kombinacja (współczynniki kombinacji są nieujemne) opisuje cały obszar rozwiązania nierówności W YZNACZENIE ROZWIAZANIa D LA KOLEJ N E J_ NIEROWNOSC Ił e Lj_M I NACJA Z BĘDNYCH WEKTOROw * tworzy Je zbiór wektorów, których nieujemna kombinacja opisuje brzeg rozwiązania nierówności : eliminacja wektorów zerowych, zależnych liniowo oraz nadmiaru wektorów (wg specjalnie opracowanego kryterium), / CZY \. y ' o S I AGNIETd\ < NIEROWNOSC > \ o S T A T N IA / \v / y O K R E Ś L E N IE ISTOTNOSClf S C H E MATU ZASTĘPCZEGO \ ( KON I EC MODLU STOŻEK ) : na podstawie liczby wektorów rozwiązania podstawowegi: ns-lączna liczba źródeł i zmiennych stanu, nd-liczba diod, nw-liczba wektorów; nd<ns i nw>s+l <=* ) nd>ns i nw>ns «J schc"at lstotny Rys.4. Schemat blokowy modułu STOŻEK Fig. 4. Folwchart of the module STOŻEK

107 112 B. Grzesik, Z. Kaczmarczyk Program zawiera wszystkie informacje ujmujące strukturę komutacji w postaci graficznej i numerycznej; są to: - warunki nierównośćiowe istnienia schematów zastępczych narzucone na wartości napięć/prądów źródeł i zmiennych stanu, - warunki komutacji, - zbiór schematów zastępczych istotnych przekształtnika, ustalony bez znajomości przebiegów czasowych napięć/prądów źródeł i zmiennych stanu, - zbiór schematów zastępczych osiągalnych dla złożonego wektora wymuszenia. Rezultatem końcowym każdej analizy przekształtnika diodowego jest: - lista schematów zastępczych możliwych, - lista schematów zastępczych istotnych, - przebiegi czasowe wymuszeń oraz zmiennych stanu, - sekwencja schematów zastępczych osiągalnych. Dotychczas konstruowane programy komputerowe nie posiadały wymienionych własności. 4. PRZYKŁAD ANALIZY KOMPUTEROWEJ JEDNOFAZOWEGO MOSTKA PROSTOWNICZEGO Z DIODAMI DOSKONAŁYMI I OBCIĄŻENIEM TYPU RL Schemat przekształtnika pokazano na rys.5. Przykład stanowi ilustrację działania opisywanego programu. DANE i(ol=-ja Rr =10Q, Rp.=in, - wartości przyjęte dla uzyskania l.=40mh czytelnej interpretacji geome t rycznej. V- e = E-sin(wt), E = 100V u - Zn/1 oraz T = 0.02s. Rys.5. Prostownik mostkowy, m=2 Fig. 5. Rectifier bridge, m=2 Wyniki analizy w dziedzinie czasu, wraz z sekwencją obowiązujących schematów zastępczych, zostały przedstawione na rys.6. Inne ujęcie wyników analizy przekształtnika z rys.5. pokazano na rys.7. Tak przedstawiona trajektoria punktu pracy umożliwia interpretację geometryczną funkcjonowania przekształtnika.

108 Program komputerowej analizy. 113 Obszary wyróżnione odpowiadają rozwiązaniom podstawowym układów nierówności dla schematów zastępczych istotnych. Schematy zastępcze są identyfikowane przez stany diod, zapisane w następującej konwencji: dioda w stanie przewodzenia 1001 dioda D3 w stanie zaworowym Rys.6. Wydruk komputerowej analizy przekształtnika z rys. 5 Fig.6. Displayed data of analyzed example rectifier from fig.5 Rys.7. Interpretacja geometryczna wyników analizy prostownika z rys. 5 Fig. 7. Geometrical interpretation of analysis results for the example from fig. 5

109 114 B. Grzesik, Z. Kaczmarczyk Rozwiązania graficzne, odpowiadające schematom zastępczym nieistotnym są identyczne z brzegami zaznaczonych schematów istotnych; w części wspólnej stożków 1111, 1001, leżą np. stożki 1011, 1101; a w części wspólnej wszystkich czterech stożków istotnych leżą np. stożki 0011, Przejście trajektorii punktu pracy, która Jest wyznaczona przez wymuszenie napięciowe oraz zmienną stanu, przez brzeg stożka istotnego (zmiana obowiązującego zestwu nierówności), odpowiada komutacji pewnych diod układu. 5. DANE TECHNICZNE PROGRAMU KOMPUTEROWEGO Program może być uruchamiany na komputerach klasy IBM PC/AT lub XT z kartą graficzną CGA lub HERCULES. Jest zapewnione wykorzystanie koprocesora arytmetycznego. Program wynikowy jest zawarty w dwóch zbiorach dyskowych: MODEL. EXE bytes oraz MODEL. OWR bytes. Wyniki obliczeń pośrednich są zapisywane w plikach dyskowych. Wprowadzone zostały następujące wartości graniczne: - dopuszczalna liczba gałęzi/węzłów równa 15, - dopuszczalna łączna liczba źródeł napięcia, źródeł prądu, indukcyjności i pojemności równa 5, - dopuszczalna liczba diod równa UWAGI I WNIOSKI KOŃCOWE 1. Wynikiem pracy jest program komputerowy nowego typu, przeznaczony do badania procesów zachodzących w przekształtnikach z diodami doskonałymi. 2. Program jest zbudowany na podstawie modelu nierównościowego przekształtnika. 3. Novum programu stanowi struktura komutacji - jest ona ustalona w czasie badania przekształtnika. 4. Struktura komutacji to zbiory schematów zastępczych możliwych, istotnych, nieistotnych, osiągalnych oraz warunki komutacji pomiędzy schematami zastępczymi. 5. Struktura komutacji jest niezmienna przy: ustalonym grafie, typach gałęzi (RLCDej) oraz wartościach rezystancji gałęzi rezystancyjnych i diodowych. Nie zmieniają jej przebiegi czasowe wymuszeń i zmiennych stanu. 6. Struktura komutacji jest w programie wyprowadzana w postaci list schematów możliwych, istotnych oraz osiągalnych.

110 Program komputerowej analizy Oprócz struktury komutacji program realizuje obliczanie przebiegów czasowych napięć i prądów wymuszenia oraz zmiennych stanu; wyprowadzany jest w programie przebieg czasowy sekwencji schematów osiągalnych. 8. Wyniki uzyskiwane za pomocą programu umożliwiają interpretację geometryczną procesu zachodzącego w przekształtniku. 9. Ważnym wnioskiem jest to, że podobną interpretację geometryczną można wprowadzić w ramach programów standardowych (np. PSPICE, PCNAP). 10. Wyniki uzyskane przy konstrukcji programu mogą być po odpowiedniej adaptacji zastosowane do budowy programów analizy przekształtników z diodami idealnymi oraz przekształtników z zaworami sterowalnymi. 11. Wykonano szereg przykładów obliczeniowych, testujących powstały program komputerowy. Wszystkie dotyczyły układów o znanym działaniu i potwierdziły poprawność jego funkcjonowania. 12. Zmiana rezystancji diody w kierunku przewodzenia (jej zmniejszenie) oraz w kierunku zaworowym (jej zwiększenie) powoduje, że model diody doskonałej zbliża się do modelu diody idealnej - idealny klucz (odpowiednio zerowa i nieskończona rezystancja). Daje to możliwość przybliżonego badania procesów zachodzących w przedkształtnikach z diodami idealnymi. LITERATURA [1] Grzesik B. : Liczba schematów zastępczych i liczba komutacji energoelektronicznego przekształtnika diodowego. XIII Seminarium z Podstaw Elektrotechniki i Teorii Obwodów, Gliwice - Wisła maj 1990, materiały seminarium s [2] Grzesik B.: Model komutacji przekształtników energoelektronicznych diodowych - rozwiązanie układu nierówności. XIV Seminarium z Podstaw Elektrotechniki i Teorii Obwodów Gliwice - Wisła maj 1991, materiały seminarium s [3] Kaczmarczyk Z. : Badanie stałotopologicznej metody analizy przekształtników energoelektronicznych z diodami doskonałymi, Praca Dyplomowa Politechniki Śląskiej, Gliwice [4] Siewniak P.: Konstrukcja i analiza nierównościowego modelu matematycznego przekształtnika energoelektronicznego z diodami doskonałymi, Praca Dyplomowa Politechniki Śląskiej, Gliwice 1990.

111 116 B. Grzesik, Z. Kaczmarczyk [5] Bellert S.,Woźniacki H. : Analiza i synteza układów elektrycznych metodą liczb strukturalnych, WNT, Warszawa [6] Jefremow N.W., Rozendorn E.R.: Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymiarową, PWN Warszawa [7] Grzesik B.: Algorytm obliczeń rozwiązania podstawowego układu nierówności Istotnych modelu komutacji przekształtnika energoelektronicznego, Zeszyty Naukowe Poltechniki Śląskiej ELEKTRYKA nr 124. Wpłynęło do Redakcji dnia 18 listopada 1991 r. Recenzent: Prof.dr hab.inż. Kazimierz Mikołajuk PROGRAM FOR GENERALIZED ANALYSIS OF COMMUTATION STRUCTURE OF DIODE POWER ELECTRONIC CONVERTERS A b s t r a c t A novel program for analysis of diode power electronic converters is described in the paper. It allows for generalized analysis of commutation structure and this is the novum of the program; there are no existing programs which allow for such investigation of commutation structure. The structure of commutation consists of the sets of hypothetical decisive and attainable equivalent circuits, besides, this structure encloses also the conditions of all commutations of each equivalent circuit. The program displays the structure of commutation in the form of the list of equivalent circuits. Together with waveforms of voltages and currents the program displays the waveforms which show numbers of attainable equivalent circuits being realized in the course of the program execution. An inequality model of perfect diode and inequality model of the converter make basis of the program; linear algebra and theory of linear inequalities have been used to construct the model of the converter. It is possible to use the program to approximate analysis of the converters with ideal diodes. The program is described by means of flocharts; there is a module STOHEK presented in the work; the module runs the analysis of commutation structure. The theory and principle of operation of the program are illustrated with fhe help of numerical examples.

112 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1992 Seria: ELEKTRYKA z. 126 Nr kol Zofia CICHOWSKA Instytut Elektrotechniki Teoretycznej 1 Przemysłowej Politechniki Śląskiej HODELE ZE ŹRÓDŁAMI STEROWANYMI CEWEK SPRZĘŻONYCH MAGNETYCZNIE Streszczenie. Dla układu dwóch cewek sprzężonych magnetycznie dla dwu przypadków położenia jednoimlennych zacisków wyprowadzono po cztery schematy bezpośrednie zawierające po dwa źródła sterowane. Rozważania można uogólnić na większą liczbę cewek sprzężonych. MODELS WITH CONTROL SOURCES FOR MAGNETICALLY COUPLED COILS Summary. Four substitutional schemes each of them containing two control sources have been derived for each of two cases of systems with two magnetically coupled coils. The two cases differ in the location of the homopolar terminals. The results could be generalized for the greater number of coupled coils. MOflEIIM MATHMTHO CCXIPSllEHHhK KATYUEK C YnPABJlSEMblMH HCTOHHHKAMH Pe3K>ne. Era cxemi neyx MarHHTHO conpsmehhiix xatymex h nns n s y x cnynaei nono*ehhs onhohnehhiix 3 a*hmob, bmb enehbi no netbipe HenocpenCTB ehhbie cxemi, conep*anihe no HBa HCTOMHHxa ynpabnehhs. Paccy*neHHS mokho o6 o6 mhtb Ha 6 om>me KonwHecTBO conpaaehhiix KaTyuiex. Opis układu dwóch cewek sprzężonych magnetycznie zależy od sposobu ostrzałkowania prądów względem jednoimiennych zacisków. Jeżeli prądy są ostrzałkowane jednakowo względem tych zacisków, a napięcie całkowite każdej cewki jest ostrzałkowane zgodnie z silą elektromotoryczną indukcji własnej

113 118 Z. Cichowska (czyli przeciwko własnemu prądowi), uzyskuje się opis przez sprzężenie dodatnie (siły elektromotoryczne indukcji własnej i wzajemnej w każdej cewce * dodają się ). Jeżeli prądy są ost.rzałkowane niejednakowo względem zacisków jednoiraiennych, uzyskuje się opis przez sprzężenie ujemne (siła elektromotoryczna indukcji wzajemnej odejmuje się od siły elektromotorycznej indukcji własnej). Rys. 1 Na rys.1 przedstawiono dwie cewki sprzężone magnetycznie przy wymuszeniach sinusoidalnych przy dwóch położeniach zacisków jedno imiennych. Przy traktowaniu tych układów jako czwórniki są one ostrzałkowane symetrycznie. Napięcia cewek wyrażone przez prądy są następujące U = Z I ± Z I, 1 11 M 2 ( 1 ) gdzie: j L U = +Z I + Z I 2 Ml 2 2 Z2 = > L2 jwm ( 2 ) W równaniach (1) 1 dalszych, w których występują podwójne znaki, znaki górne odnoszą się do układu z rys.la, znaki dolne do układu z rys.ib. Si la elektromotoryczna indukcji wzajemnej w każdej cewce Jest ostrzałkowana tak samo względem zacisku jednoimiennego jak siła elektromotoryczna indukcji własnej pochodząca od tego samego prądu. Jest to wynik stosowania lewoskrętnego systemu strzałkowanla sił elektromotorycznych względem strumieni magnetycznych.

114 Modele ze źródłami sterowanymi. 119 W ujęciu czwórnikowym wyrażenia (1) są równaniami impedancyjnymi (Zj =Zj, zi2=z21=±zm z22=z2 ^ czwórnika odwracalnego, jakim jest układ cewek sprzężonych. Łatwo wykazać, że układ jest ponadto czwórnikiem pasywnym bezstratnym (Re<U I + U I*} = 0) Równaniom (1) można przyporządkować czwórnikowe schematy bezpośrednie z dwoma napięciowymi źródłami sterowanymi pokazane na rys.2b i rys.3b różniące się zwrotami napięć źródłowych źródeł sterowanych. Rozwiązując równania (1) ze względu na prądy, przy spełnieniu warunku LjL^M2 otrźymuje się wyrażenia: N IV) I = Y U + Y U, (3) I = + Y U + Y U, 2 M l 2 2 gdzie: L L M2 Y = i = i, L (X = V 5. (4) L z z -z2 j(ol M oc I z 1 1 Yz = =, L 1 = s L 1 L 2 -M2 V - -, (5) z z -z2 ß L i 1 2 M > L0 Z L L - M 1 Y = ---- = i, L 1 2 -M2 = ---. (6) M * ~ z z -z2 r M 1 2 M > Lr W ujęciu czwórnikowym wyrażenia (3) są równaniami admitancyjnymi i można im przyporządkować schematy bezpośrednie z dwoma prądowymi źródłami sterowanymi. Schematy te pokazane są na rys.2c i rys.3c. Równania impedancyjne (1) lub admitancyjne (3) można również przekształcić do postaci czwórnikowych równań hybrydowych (postać H i G):

115 120 Z. Cichowska gdzie: Z = hl Z z -z M Z2 > L 2 (9) ( 10) Y = gi z, - di) z = 92 Z Z -Z 2, 1 2 M _ 1,. zx " y 2 J e ( 1 2 ) M Z3F 1 ^ ^ * I2 U, a)

116 Modele ze źródłami sterowanymi. 121 Rys. 3 Równaniom (7) i (8) można również przyporządkować schematy bezpośrednie zawierające po dwa źródła sterowane: jedno prądowe i jedno napięciowe *) Schematy te są przedstawione na rys.2d,e i rys.3d,e. Każdą z postaci równań czwórnlkowych (Z, Y, H, G) układu cewek sprzężonych można przekształcić do postaci równań łańcuchowych lub łańcuchowych odwrotnych (A lub B). Dla tych postaci równań nie istnieją jednak schematy bezpośrednie. Równania te można jednak wykorzystać do znalezienia parametrów czwórników zastępczych kształtu T lub II (schematy bez sprzężeń).

117 122 Z. Cichowska We wszystkich uzyskanych schematach zastępczych bezpośrednich występują albo parametry pierwotne L, L2> M układu cewek sprzężonych, albo parametry wtórne L L opisane wzorami (4), (5), (6), albo kombinacja trzech P Tf wybrana spośród tych sześciu parametrów. Na uwagę zasługuje przejrzystość uzyskanych rezultatów przy strzałkowaniu symetrycznym. We wszystkich schematach związanych z ostrzałkowaniem prądów jednakowo względem jednoimiennych zacisków wszystkie źródła sterowane są zorientowane do góry, natomiast w schematach wywodzących się z niejednakowego ostrzałkowania prądów względem tych zacisków są zorientowane w dół Ł 21 2 U 2 Oczywiście rozważania można prowadzić również przy strzałkowaniu przelotowym. Zarówno równania, jak i otrzymane schematy są wtedy inne (mniej przejrzyste). Przykładowo, równania impedancyjne układów z ryfe.4a (znaki górne) i rys.4b (znaki dolne) mają postać: U = Z I i Z I, 1 11 M 2 U = ±Z I - Z I 2 Ml 2 2 Schematy bezpośrednie wynikające z równań (13) przedstawiono na rys.4c,d. Analogicznie jak dla układu dwóch cewek sprzężonych magnetycznie rozważania można przeprbwadzić dla układu o większej liczbie cewek sprzężonych. Na przykład dla przypadku trzech cewek sprzężonych można się ograniczyć do rozpatrzenia dwóch reprezentatywnych przypadków, konfiguracji zacisków jednoimiennych pokazanych na rys.5. W przypadku a) zaciski jednoimienne są położone po dwa przy jednym zacisku każdej cewki, przypadku b) w dwóch cewkach jak poprzednio, a w trzeciej po jednym zacisku jednoimiennym przy każdym zacisku tej cewki. (13) w

118 Modele ze źródłami sterowanymi. 123 Dla każdego z tych przypadków można przyjmować rożne kombinacje strzałkowania prądów poszczególnych cewek względem jedno Imiennych zacisków, a ponadto występuje więcej kombinacji zmiennych w równaniach hybrydowych. W efekcie liczba schematów zastępczych bezpośrednich ze źródłami sterowanymi (sześć źródeł sterowanych w każdym trójwrotnikowym schemacie) jest dla układu trzech cewek sprzężonych nieporównanie większa niż poprzednio. LITERATURA 1. Cichowska Z. : Cewki sprzężone magnetycznie w topologicznej metodzie analizy obwodów SLS. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej serii Elektryka z.122, Gliwice Rajski Cz. : Teoria obwodów, t.i. WNT, Warszawa Wolski W., Uruski M. : Teoria obwodów cz I i II. Skrypty Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1982, Wpłynęło do Redakcji dnia 29 lutego 1992 r. Recenzent: Prof.dr hab.inż. Jan Chojcan MODELS WITH CONTROL SOURCES FOR MAGNETICALLY COUPLED COILS A b s t r a c t A system of two magnetically coupled coils may be treated as a four terminal network. That leads to the basic equations (1) describing the coil voltages in the form f impedance equations. Equations (1) could be attached to a direct scheme containing two voltage control sources (fig.2b, fig.3b). Transforming equations (1) one obtains admittance (3), hybrid (7) and inverse hybrid equations (8). Each of two cases of homopolar coil terminal location is endowed with four direct schemes each of them containing two control sources. Symmetric marking of four terminal networks is assumed to enable the use of transparent substitutional schemes. The schemes contain only primary L, L, M parameter or only secondary parameters L, L-, L * 2 oc p y (formulae (4), (5), (6) or at last combination of three among those six parameters.

119 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1992 Seria: ELEKTRYKA z.126 Nr kol Lesław TOPÓR-KAMIŃSKI Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Przemysłowej Politechniki Śląskiej ROZSZERZENIE POJĘCIA DWÓJNIKA REZYSTANCYJNEGO NA UOGÓLNIONE DWÓJNIKI OSOBLIWE Streszczenie: Przedstawiono zagadnienie, istnienia dwójników rezystancyjnych o charakterystykach innych niż linie na płaszczyźnie prądowo-napięciowej. Zdefiniowano uogólnione elementy osobliwe oraz ich podział na trzy grupy o różnych własnościach topologicznych. Podano kryterium realizowalności fizycznej sieci zawierających uogólnione dwójniki osobliwe. ENLARGEMENT OF NOTION OF RESISTIVE ONE-PORT UPON GENERALIZED PECULIAR ONE-PORTS Summary: The problem of existence of resistive one-ports with their characteristics other than lines on u-i plane, gas been presented. Generalized peculiar elements as well as their division into three groups with various topological properties, have been defined. Criterion of physical realizability of the networks comprising generalized peculiar one-ports, has been given. PACUMPEHME nohsthsi COTIPOTHBHTEIlb HOTO flbyxnojlbchhka HA OESOEIUEHHUE OCOBEHHNE HBYXnOIHOCHHKH Pe3pne: npenctaaneha npo6netia cymectbobshhs conpothbhtenbhhx DByxnonpcHHKOB c xapaxtephcthkamh OTnHsajomHMca ot jthhhh Ha nnockocth tok - Hanps*eHHe. OnpeneneHM o6o6uiehiie oco6ehhue anemehtw, a Tax*e hx KnaccH$HKauHa Ha npn rpynnw c pa3humh TononorHHecKHMH cboftctb atih. HaH KpHTepnń <(>H3HHecKOń peaum3yemocth ueneń coąep*aumx o6o6iuehue ocosehhue flbyxnoncchhkh.

120 126 L. Topór-KamIński 1. WSTĘP Wraz z rozszerzaniem się' badań skupionych układów aktywnych zauważono, że konsekwencją wprowadzenia dwójników rezystancyjnych idealnych, takich jak przerwa, zwarcie, idealne źródła autonomiczne, a w szczególności idealne źródła sterowane, jest pojawienie się układów, których charakterystyki nie są takie, jak rozumie się to w sensie klasycznym, czyli ciągiem punktów układającym się w linię krzywą na płaszczyźnie u-i, lecz mogą to być zbiory punktów tworzących obszary, pojedyncze izolowane punkty tej płaszczyzny lub brak jakiegokolwiek punktu, czyli zbiór pusty. Układy takie nazwano w literaturze patologicznymi, zdegenerowanymi, singularnymi lub osobliwymi. Okazało się, że nie są one tylko efektem przyjęcia wyidealizowanego teoretycznego modelu układów aktywnych, lecz stanowią uzupełnienie zbioru klasycznych dwójników rezystancyjnych, a cały tak uzupełniony zbiór uogólnionych dwójników rezystancyjnych staje się kompletny i wewnętrznie niesprzeczny, co oznacza, że jakiekolwiek połączenie jego dowolnych elementów nie powoduje otrzymania układu o własnościach spoza tego zbioru. 2. UOGÓLNIONY REZYSTANCYJNY DWÓJNIK OSOBLIWY Dany jest dwuzaciskowy bezinercyjny układ rezystancyjny "D" (rys. 1) zawierający rezystancje liniowe i nieliniowe, źródła autonomiczne i sterowane. Rys. 1.

121 Rozszerzenie pojęcia dwójnika. 127 Między zaciskami ab tego układu występują wartości chwilowe prądu i oraz napięcia u, przy czym i,u e R, gdzie R jest zbiorem liczb rzeczywistych. Niech w każdej chwili układ "D" opisuje para liczb (i,u), której wartości przebiegają zbiór D będący podzbiorem przestrzeni R2, czyli: /\ ( i, u ) D c R2 (1) t Definicją 1 Uogólnionym elementem (dwójnikiem) osobliwym nazywany będzie układ opisany relacją (1), przy czym zbiór D nazywany będzie obszarem jego pracy, czyli zbiorem wszystkich możliwych punktów pracy. Zbiór D może być przedstawiony jako obszar na płaszczyźnie prądowo napięciowej i-u, a jego kształt całkowicie określa opisywany dwójnik osobliwy. Charakterystyki wszystkich rezystancyjnych dwójników bezinercyjnych można podzielić ze względu na ich kształt topologiczny, a tym samym i podstawowe własności na trzy grupy: linie, obszary oraz izolowane punkty, co przedstawia tablica 1. Tablica 1 N r 9ruPH N azw a K s z t a ł t Najbliższe otoczenie dowolnego punktu, i. L i n ie 2. O b szary f/ A Y777A 3. P u n k ty o O o za wiera. ; co najw yżej' 2 punkty te )' s a m e j cha. rak te ry s tyki, co n a jm n ie j 2 p u n k ty, aż. clo nieskoń czen e w ie Lu, z e ro p u n k tó w taj s a m e j c h a ra k te ry sty k i

122 128 L. Topór-Kamiński Grapa pierwsza zawiera klasyczne dwójniki rezystancyjne liniowe i nie*- llniowe w tym także aktywne. Grupa druga zawiera dwójniki o charakterystykach będących pewnym ciągłym obszarem na płaszczyźnie u-i. Przykładem takiego dwójnika Jest powszechnie znany norator, którego charakterystyką jest cała płaszczyzna u-i. Grupa trzecia zawiera dwójniki o charakterystykach będących izolowanymi punktami na płaszczyźnie u-i. Przykładem może być nullator, którego charakterystyką jest punkt (0,0) będący środkiem układu współrzędnych u-1. Bardziej złożony przykład dwójnika grupy drugiej, zawierający źródła sterowane 1 rezystancje nieliniowe, przedstawiony jest na rys. 2, natomiast na rys. 3 pokazane są charakterystyki jego elementów składowych i charakterystyka wypadkowa widziana na zaciskach ab. P -fi a P V b Rys. 2 + Rys. 3 u,

123 Rozszerzenie pojęcia dwójnika. 129 Na rys. 4 przedstawiony jest z kolei przykład złożonego dwójnika z grupy trzeciej. W układzie tym dla węzła W1 i oczka 03 zachodzą równania: u i = I + o _, u_ = i R_ 3 O Ł RI oraz dla całości: u_ = u. 3 o Stąd otrzymuje się: E + IR = u = + E (2), (3) (4) (5), (6) Ri ' r e Jak widać z relacji (5) i (6), wartości prądu i napięcia na zaciskach wejściowych ab tego dwójnika są stałe i niezależne od układu dołączonego, zatem charakterystyką jego jest punkt o współrzędnych (uq> iq) - rys. 5. Rys. 5

124 130 L. Topór-Kamiński 3. DWÓJNIKI ZASTĘPCZE W ZBIORZE UOGÓLNIONYCH REZYSTANCYJNYCH ELEMENTÓW OSOBLIWYCH Kształt charakterystyki na płaszczyźnie u-i będącej przedstawieniem zbioru D na tej płaszczyźnie całkowicie określa opisywany dwójnik osobliwy. Dla dwójnika osobliwego opisanego obszarem spójnym D pokazanym na rys. 6 można napisać określające go relacje: uzależnioną prądowo (7) oraz napięciowo (8): / I. s i s I d g lub i e A \ / \/,/ u.(i) 3 u 3 u (i) d g ( i, u ) e D (7) U, s u 3 U d g lub u 6 B i.(u) 3 i 3 i (u) d g ( i, u ) e D (8 ) gdzie: A - prądowy zakres pracy określony granicznymi wartościami prądu: górną I i dolną I d B - napięciowy zakres pracy określony granicznymi wartościami napięcia: górną U i dolną U., g d'

125 Rozszerzenie pojęcia dwójnika. 131 uji), u (i) - dolna i górna napięciowa granica obszaru pracy D, d 8 i,(u), i (u) - dolna i górna prądowa granica obszaru pracy D, d g przy czym A(u), B (i) - rys. 6 - są podzbiorami obszaru pracy D dla określonych wartości prądu i napięcia. Przez łączenie pewnej liczby uogólnionych dwójników osobliwych rozumiane jest poszukiwanie dwójnika osobliwego równoważnego im, gdy połączone są w określony sposób, co odpowiada znalezieniu obszaru jego pracy na podstawie obszarów dwójników osobliwych składowych. Można to osiągnąć przez wykonanie określonych tych dwójników. działań na zbiorach A^ i Bfc oraz granicach obszarów pracy Przykładowo, dla połączenia szeregowego dwójników osobliwych o obszarach pracy i D2, dwójnik zastępczy określony jest przez obszar pracy Dq opisany relacją: / / \ \ / (. i, u ) c Do (9) i e A = A, n A0 u B (i) 1 2 o t przy czym BQ(i) = Bjii) + B2(i), co pokazano na rys. 7. Rys. 7. ' jalogicznie można opisać szukanie dwójnika zastępczego dla połączenia równoległego, zamieniając miejscami zmienne zaciskowe (i,u) i odpowiadające im zbiory. *

126 132 L. Topór-Kamiński Przedstawiony sposób opisu dwójników osobliwych z grupy drugiej (tablica 1) łatwo uogólnia się na pozostałe grupy. Przykładowo, w grupie 1 dla rezystancji liniowej zachodzi: A: i e (-oo: +oo) = i g R.. B: u e (-oo: +oo) = u e R gdzie R jest zbiorem liczb rzeczywistych. Rys. 8. Granice obszaru pracy wynoszą: id (u) = tg 0 = ig (u) = i(u) ud (i) = tg ot = ug (i) = u(i) (i d Stąd relacje (7) i (8) mają postać: / \ \ / ^ ( i, u ) e D (12) i R U. (i)susu(i) d g lub u(i) = i tg a / \ N' / ( i, u ) e D (13) u e R i,(u) id s * i s i (u) d g lub i(u) = u tg /3 Natomiast dla nullatora z grupy trzeciej zachodzi: A: i = 0, B: u = 0, stąd: ij (u ) = i (u) = 0, u (i) = u (i) = 0. (14) O u O

127 Rozszerzenie pojęcia dwójnika PODZBIORY ZBIORU UOGÓLNIONYCH BEZINERCYJNYCH DWÓJNIKÓW OSOBLIWYCH Oprócz podziału uogólnionych dwójników osobliwych na grupy topologiczne przedstawione w tabeli 1, można wyróżnić w tej klasie dwójników podzbiory o pewnych wspólnych cechach przydatnych do rozważań teoretycznych i praktycznych. Definicja 2 2 Obszary płaszczyzny R, których granicami są linie proste równoległe do osi współrzędnych lub pewne ich odcinki, przy czym proste te mogą być położone także w nieskończoności, a odcinki mogą mieć długości nieskończenie małe (punkty), będą nazywane obszarami ortogonalnymi. Definicja 3 Dwójniki osobliwe o ortogonalnych obszarach pracy na płaszczyźnie u-i nazywane będą dwójnikami osobliwymi ortogonalnymi. Rys. 9 Dla dwójników tych zgodnie z rysunkiem 9 zachodzi: U ud (i) = Ud Ug (i) g (16) v u) = y yg u) = k g Oznacza to, że obszar pnący D można opisać za pomocą zbiorów A i B określonych przez ich granice [I,: I ] oraz [U_,: U ]. Pozwala to znacznie d g d g uprościć poszukiwanie obszarów pracy dwójników zastępczych (12). W szczególności, dla każdego^ dowolnego dwójnika osobliwego Dq (15) można dobrać dwa dwójniki osobliwe ortogonalne Dq1 i Dq2 (rys. 10) takie, że granice obszaru Dq położone będą w pasie opisanym relacją: 12 D01 " D02 która określa zakreskowany obszar na rys. 10. (17)

128 134 L. Topór-Kamiński t D o i Rys. 10. Można wykazać, że: Twierdzenie 1. Obszar D 12 = D oi D 02 Powstały na skutek przekształceń obszarów i do obszarów D gj i D q2 a związanych z poszukiwaniem np. dwójników zastępczych, będzie zawierał w sobie granicę obszaru D q. który powstałby na skutek dokonania na nim tych samych przekształceń. Dowód powyższego twierdzenia wynika z własności działań na zbiorach. Twierdzenie to pozwala poszukiwać przybliżonych obszarów pracy prostszymi metodami dla dwójników osobliwych o dowolnie skomplikowanych kształtach obszarów pracy. Ortogonalne dwójniki. osobliwe L opisują także własności dwójników, których charakterystyki składają się ż podzbiorów ortogonalnych. Zachodzi to przykładowo dla idealnego elementu I diodowego (rys. 11), którego obszar pracy jest sumą dwu podzbiorów ortogonalnych D^d i D2d (półprostych) o granicach [0; 0], [0; <o] oraz [oo; 0], [0; 0], czyli: u

129 Rozszerzenie pojęcia dwójnika. 135 Podobnie jak dla twierdzenia 1 można wykazać na podstawie własności działań na zbiorach, że poszukiwany obszar zastępczy D ^ dla układu, w którym pracuje idealna dioda, równy jest sumie podzbiorów D,. i D id a poszukiwanych każdy oddzielnie. Kolejnym podzbiorem zbioru uogólnionych rezystancyjnych dwójników osobliwych, a zarazem podzbiorem dwójników osobliwych ortogonalnych są dwójniki ortogonalne o granicach tylko zerowych lub nieskończonych (0, oo). Podzbiór ten zawiera takie elementy jak o charakterystykach będących półpłaszcz^znami, ćwierćpłaszczyznami, półprostymi lub z nich złożone (bez źródeł autonomicznych), co pokazano na rys. 12. Rys. 12. Analizę i syntezę sieci osobliwych złożonych z dwójników ortogonalnych (0, oo) można sformalizować przez wprowadzenie algebry Boole a w 2 przestrzeni binarnej (0, 1) [13], W celu uproszczenia wielu rozważań i ze względów praktycznych wyróżnia się trzeci podzbiór elementów osobliwych ortogonalnych- zawierający się we wszystkich poprzednich, a składający się tylko z czterech elementów: przerwy, zwarcia, nullatora i noratora. Jakkolwiek wydaje się on najbardziej uproszczony, posiada jednak największe znaczenie praktyczne. Opis jego można sformalizować algebrą Boole a w jednowymiarowej przestrzeni binarnej [10, UJ. Elementy osobliwe ortogonalne pozwalają dokonywać operacji typu suma, tożsamość, zmiana znaku, wybór obszaru wartości, niezależnie na każdej zmiennej zaciskowej łączonych dwójników i generować w ten sposób wiele niekonwencjonalnych połączeń niemożliwych do zrealizowania za pomocą dwójników rezystancyjnych klasycznych. Elementy osobliwe ortogonalne mają podstawowe znaczenie w tworzeniu wszelkich obwodów o parametrach skupionych, gdyż potrzebne są do tego przerwa i zwarcie oraz idealne źródła, które do nich należą.

130 136 L. Topór-Kamiński Zbiór elementów osobliwych ortogonalnych (0,») posiada dwie odróżniające je od pozostałych dwójników rezystancyjnych własności, a mianowicie: - rozdzielność połączenia szeregowego względem równoległego, - rozdzielność połączenia równoległego względem szeregowego. Powszechnie znane są one dla zwarć, przerw i idealnych diod, a wykazać ich istnienie można na podstawie formalnego opisu algebrą Boole a [10, 11, 13]. Własności te, znane w postaci twierdzenia o przesuwaniu źródeł idealnych, posiadają też częściowo źródła idealne, co przedstawiono na rys. 13 a) i b). Wynika to stąd, że dwie granice ich obszarów pracy są nieskończone. Q > < = > Di D 2 Df i 5. REALIZOWALNOŚĆ FIZYCZNA UOGÓLNIONYCH SIECI OSOBLIWYCH Aby określić możliwość fizycznej realizacji sieci zawierającej k uogólnionych dwójników osobliwych, należy rozpatrzyć zachowanie się zmiennych zaciskowych każdego dwójnika tej sieci w obwodzie (rys.14) utworzonym przez połączenie go z dwójnikiem zastępczym pozostałej części sieci Dgk.

131 Rozszerzenie pojęcia dwójnika. 137 I ' k U u uk d l Rys.14. Problem sprowadza się do k-krotnego przeanalizowania prostego obwodu złożonego w ogólnym przypadku z dwu uogólnionych dwójników osobliwych Dg^i o określonych charakterystykach względem wyróżnionych ich zacisków przy ostrzałkowaniu odbiornikowym. W obwodzie tym jeden z tych dwójników (np. Dsfc) musi pełnić rolę dwójnika źródłowego, zatem należy zmienić na jego zaciskach dodatni kierunek prądu lub napięcia, aby przejść do ostrzałkowania źródłowego, co jest równoznaczne z obrotem jego charakterystyki symetrycznie wokół osi napięcia lub prądu. Tak przekształcone obszary pracy po nałożeniu na siebie wyznaczają wspólny obszar pracy D. obu dwójników (rys. 15), a tym pk samym obszar współpracy dwójnika z pozostałą częścią sieci jako iloczyn zbiorowy, czyli: D. = D. n D.. (19) pk k sk

132 138 L. Topór-Kamlński Jeżeli charakterystyki dwójników Dsfc i będą przebiegać wszystkie możliwe kształty obszarów pracy z trzech grup dwójników osobliwych (tabela 1), to otrzymane wspólne obszary pracy będą także miały kształty linii, obszarów lub izolowanych punktów. Aby obwód taki mógł być fizycznie realizowalny, musi spełniać następujące warunki konieczne: Warunek 1. Aby obwód był realizowalny fizycznie, para zmiennych zaciskowych (u, i) w tym obwodzie musi posiadać jednoznaczne wartości, a co za tym idzie wspólny obszar pracy tego obwodu musi być pojedynczym punktem. Punkt ten musi spełniać dodatkowo węższy warunek dotyczący jego stabilności, a mianowicie: Warunek 2. Nieskończenie małe zmiany charakterystyki obu dwójników mogą zmienić jednoznaczności wartości pary zmiennych zaciskowych (u, i). Na rys. 16a) przedstawione są przykłady wspólnych obszarów pracy dwójników Dskn>k> które nie spełniają warunków 112, spełniają tylko warunek 1 (rys. 16b) oraz spełniają oba warunki (rys. 16c). a) c) Rys. 16. Obszar może być także zbiorem pustym co oznacza, że charakterystyki ^sk* ^*k n*e mają punktów wspólnych. Przykłady z rysunku 16c) wyczerpują wszystkie przypadki spełniające oba podane warunki, zatem można sformułować twierdzenie:

133 Rozszerzenie pojęcia dwójnika. 139 Twierdzenie 2. Aby obwód złożony z dwu uogólnionych dwójników osobliwych mógł być realizowalny fizycznie, musi zawierać albo dwa dwójniki z grupy 1 (tablica 1), albo jeden z grupy 2, a drugi z grupy 3 i tylko takie zestawy. 6. UWAGI KOŃCOWE Jakkolwiek pewne pojedyncze uogólnione dwójniki osobliwe, jak i całe ich sieci mogą same nie być realizowalne fizycznie (w sensie podanym poprzednio), to jednak ich połączenia z odpowiednio dobranymi innymi uogólnionymi dwójnikami osobliwymi są realizowalne i mogą być stosowane praktycznie, co uzasadnia budowanie teoretycznych modeli ich analizy i syntezy.» Załącznik Dana jest przykładowo sieć złożona z trzech uogólnionych dwójników osobliwych połączonych równolegle (rys. 17): idealnego źródła prądowego (grupa 1) o wydajności I, dwójnika o charakterystyce punktowej o współrzędnych (E, 0) (grupa 3) oraz dwójnika o prostokątnym obszarze pracy ograniczonym wartościami napięcia U^, i prądu 1^, 1^ (rys. 18). I 8 D 3 i U ^ 2 Rys.17.

134 140 L. Topór-Kamiński Rys.18. Każda wybrana para z podanych trzech dwójnlków połączona W obwód nie posiada wspólnego obszaru pracy (zbiór pusty), zatem nie może być zrealizowana fizycznie. Połączone razem w sposób pokazany na rys. 17 należy rozpatrzeć w trzech przekrojach.» W przekroju PI zachodzi: (DS1 = D2//D3 } + (DK1 = * Dpl(i=I, u=e) co pokazano na rys. 19. Rys.19 W przekroju P2 zachodzi: (DS2 = Dl//D3) + (DK2 = D2(_i)) co pokazano na rys. 20. DP2(i=0 U=E)

135 Rozszerzenie pojęcia dwójnika. 141 W przekroju P3 zachodzi: (DS3 = D^/Dg) + (DK3 = D3(-D) * Dp3(i=-I, u=e) co pokazano na rys. 21. We wszystkich trzech możliwych przekrojach wspólny obszar pracy Jest punktem spełniającym warunki 1 1 2, zatem przykładowy obwód jest realizowalny fizycznie w sensie podanym poprzednio. LITERATURA 1. Carlin H.J., Youla D.C.: Network synthesis with negative resistors. Proc. IRE, May Davies A.C.: The significance of nullators, norators and nullors in active - network theory. The Radio and Electr. Engi. Nov

136 142 L. Topór-Kamiński 3. Cbua L.O.: Analysis and synthesis of multivalued memoryless nonlinear networks. IEEE Trans. CT, June Topór-Kamiński L. : Elementy osobliwe i rozszerzenie pojęcia komutacji w obwodach elektrycznych. V SPETO Ustroń 1981, ZN Pol. Śląskiej, Elektryka, z.79, Topór-Kamiński L. : Wprpwadzenie idealnych źródeł autonomicznych i źródlatora do zbioru elementów osobliwych. ZN Pol. Śląskiej Automatyka, z.71, Topór-Kamiński L. : Diodowe elementy osobliwe. VI SPETO Ustroń 1983, ZN Pol. Śląskiej, Elektryka z.88, Topór-Kamiński L.: Analiza obwodów osobliwych metodą macierzowych formuł boolowskich. ZN Pol. Śląskiej, Automatyka z.73, Topór-Kamiński L. : Połączenia elementów osobliwych z dwójnikami klasycznymi. ZN Pol. Śląskiej, Elektryka z.95, Topór-Kamiński L. : Pojawianie się elementów osobliwych w idealnych układach aktywnych. ZN Pol. Śląskiej, Elektryka z.113, Topór-Kamiński L.: Analiza bezinercyjnych sieci osobliwych metodą formuł boolowskich. ZN Pol. Śląskiej, Elektryka z.115, Topór-Kamiński L. : Synteza bezinercyjnych sieci osobliwych metodą formuł boolowskich. ZN Pol. Śląskiej, Elektryka z.115, Topór-Kamiński L.i Układy osobliwe ortogonalne. Rękopis. i 13. Topór-Kamiński L. : Zastosowanie dwuwymiarowej algebry Boole a w analizie sieci osobliwych ortogonalnych (0,oo). Rękopis. Wpłynęło do Redakcji dnia 15 listopada 1991 r. Recenzent: Prof, dr hab. inż. Maciej Siwczyński ENLARGEMENT OF NOTION OF RESISTIVE ONE-PORT UPON GENERALIZED PECULIAR ONE-PORTS A b s t r a c t The problem of existence of resistive one-ports with their characteristics other than lines on n-i plane, has been presented. Generalized peculiar elements as well as their division into three groups with various topological properties, have been defined.

137 Rozszerzenie pojęcia dwójnika. 143 First group comprises classical resistive one-ports: linear and nonlinear. Second group comprises one-ports with their characteristics being continuous domains on n-i plane. Third group comprises one-ports with their characteristics being isolated points on n-i plane. Examples of active systems having properties of peculiar one-ports belonging to each of above mentioned groups as well as methods of searching of substitute one port-equivalents for in series / parallel networks, are presented. Subsets of peculiar orthogonal one-ports characterized by simple formal description using Boole algebra in two-dimensional binary space, having practical meaning in analysis and synthesis of active systems, have been defined. Criterion of physical realizability of the networks comprising generalized peculiar one-ports as well as two necessary conditions and one theorem revering to that realizability, have been given. In the appendix on example of peculiar network realizable physically in defined meaning, has been presented. That^ network comprises three peculiar one-ports connected in parallel and, in the same time, each pair being formed from then has no common working domain. When they are connected together, they fulfill above mentioned realizability conditions. i

138 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1992 Seria: ELEKTRYKA z.126 Nr kol Marian PASKO Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Przemysłowej Politechniki Śląskiej DOBÓR KOMPENSATORÓW OPTYMALIZUJĄCYCH PRACĘ RZECZYWISTEGO ŹRÓDŁA NAPIĘĆ ODKSZTAŁCONYCH I LINII PRZESYŁOWEJ Streszczenie. W artykule przeprowadzono minimalizację funkcjonału kwadratowego obejmującego wartość skuteczną prądu i wartość skuteczną napięcia w danym przekroju. Minimalizację przeprowadzono dla różnych wariantów dotyczących strumienia mocy czynnej P, wykorzystując metodę mnożnika Lagrange a. SELECTION OF COMPENSATORS OPTIMIZING THE WORK OF REAL SOURCE OF DEFORMED VOLTAGES AND TRANSMISSION LINE Summary. In the paper a minimization of the quadratic functional including RMS current and RMS voltage in a given section has been carried out for various variants on the stream of active power P applying the method of Lagrange multipliers. nohbop KOMTHIEKCATOPOB OTW 0nTHMH3AUHM PAEO TN PEAflHOTO HECHHYCOHHAnbHOrO HCTOHHHKA HATIPHIEHMS M IlEPEIIATOHHOfl J1HHHH Pe3»Me. B CTaTbe npoahanh3hpobaha m hh h mh 33UHS KBarpaTHoro 4>yHKUHOHana conep*amero aijxjjekthbhoe 3HaneHne TOKa h 3<j4>eKTH8Hoe 3HaneHHe Hanpa*eHHS B nahon pa3pe3e. MHHHMH3auss npobeneha ana pa3nhhhbix B aphbhtob no OTHOUieHH» K notoky akthbhoñ MOIUHOCTH c h cnoxib3obahmem netona JlarpaH*a.

139 146 M. Pasko 1. WSTĘP Rozważania dotyczące minimalizacji wartości skutecznej prądu lub zadanego kompromisu pomiędzy minimum wartości skutecznej prądu a jego zniekształceniami dla rzeczywistych źródeł napięć odkształconych przedstawiono w pracach [7], [8], [9], [10]. W pracach tych podano również warunki konieczne i wystarczające na minimum zaproponowanych funkcjonałów kwadratowych przy zadanych warunkach równościowych na moc czynną P. Problemowi kompensacji niepożądanej reszty prądu (różnicy pomiędzy prądem źródła a prądem optymalnym) dla kryterium minimum strat mocy czynnej P na impedancji wewnętrznej źródła oraz linii przesyłowej, które były reprezentowane przez impedancję wzdłużną, był poświęcony artykuł [2], Głównym celem niniejszego artykułu jest dobór kompensatorów, które minimalizują całkowite straty mocy czynnej na impedancji wewnętrznej źródła i linii przesyłowej. Linię reprezentuje czwórnik opisany macierzą impedancyjną he<l,2,..,n}. W tym celu zaproponowano funkcjonał kwadratowy obejmujący wartość skuteczną prądu i wartość skuteczną napięcia w danym przekroju z odpowiednimi wagami a i 3. Minimalizację funkcjonału przeprowadza się przy zachowaniu następujących wariantów dotyczących mocy czynnej P: a) stałości mocy czynnej w danym przekroju przed i po kompensacji, b) stałości mocy czynnej odbiornika przed i po kompensacji, c) stałości mocy czynnej przed kompensatorem i za kompensatorem (kompensator reaktancyjny). Dla wszystkich rozważanych wariantów przedstawiono wartości admitancji kompensatorów, które spełniają powyższe warunki. W pracy zasygnalizowano możliwości doboru kompensatorów w przykładowych klasach realizacji. 2. MODEL UKŁADU Do rozważań przyjęto układ liniowy (rys.1), w którym napięcie źródłowe dane jest w postaci: e(t) = Re ) E expjhidt i / _ lh h=l a jego impedancja wewnętrzna wynosi: n ( 1 ) (2)

140 Dobór kompensatorów optymalizujących. 147 Rys. 1. Linię przesyłową reprezentuje czwórnik opisany macierzą impedancyjną dla każdej rozpatrywanej harmonicznej: Z 1 h 22 (3) Odbiornik opisany jest dla każdej harmonicznej admitancją: Włączony na zaciski a -b Y = G + j B, h e O, 2 n>. (4) O h O h O h kompensator służący do minimalizacji zadanego funkcjonału posiada admitancję dla każdej rozpatrywanej harmonicznej i dla każdego wariantu l (a,b,c): Y u > = G (1>+ j B (1) k h k h k h, he{l,2 n>, le(a,b,c). (5) Przed przystąpieniem do sformułowania zagadnień optymalizujących układ przedstawiony na lewo od zacisków a "-b (rys.l) można dla każdej rozpatrywanej harmonicznej zastąpić równoważnym, dwójnlkiem Thćvenina. Otrzymujemy wówczas zmodyfikowany układ przedstawiony na rys.2, gdzie: E = h 12h z + Z llh 1 h A ( 6 ) Z = R +jx = z (7) h h J h 22h z + Z llh 1 h Dla układu przedstawionego na rys.2 zaproponowano następujące zagadnienia optymalizujące: n n m i n (a Y j * ^ + 3 & u 3 (8 ) h=l h=l dla wariantów a, b, c dotyczących strumienia mocy czynnej P.

141 148 M. Pasko Wariant a: n n p R e ( & ; - & «i ) h=l h=l (9) Wariant b: P = Re f u Y* U* / h 0 h h h=l ( 1 0 ) Wariant c: n n Ref V " e I* - Y 'z I I* ) = Re f u Y* U*, l Z, h h L, h h h J h O h h h=l h=ł h=l ( 1 1 ) gdzie Eh, CIh) ~ wartości skuteczne zespolone (sprzężone) napięcia, prądu dla h-tej harmonicznej U = E «Z I. h h h h ( 1 2 ) Funkcjonał Lagrange'a utworzony na podstawie równania (8) i wariantu a (9) ma postać: II *(A,{Ih>) = a ^ I h I* + 0 ^ ( E h-zh IJ I*) h=l h=l n n +f - Ref Eh V & Ih i) (13) h=i h=i

142 Dobór kompensatorów optymalizujących. 149 Korzystając z dowodów matematycznych na istnienie minimum dla tego typu funkcjonałów zawartych w pracach [1], [6], [7],[8], [9], [10], wyznaczono prądy optymalne Iopt. h Przyrost funkcjonału Lagrange a: n **(*.«}) = R e ^ [ 2 (a+p Zh 2+XRh)lh - (x+2f}z*)efcjal* + h ^ ( «ct+0 Z +0 Zh 2+ARh) l +AR IIAl I. (14) Warunkiem koniecznym istnienia minimum lokalnego wyrażenia (14) przy warunku (9) jest znikanie gradientu [7] [2 (a+p Zh 2)+XRh]lh - (a+2pz*)eh = 0. (15) Warunek wystarczający jest spełniony, gdy: a+0 Zh 2+XRh > 0. (16) Z warunku (15) otrzymuje się: a+20z l = ^ i \ k E,hel 1,2 n>. (17) 2 (a+8 Zh 2+ARh) Podstawiając wyrażenie (17) do bilansu mocy (9), otrzymuje się równanie do wyznaczenia mnożnika Lagrange a (który winien być rzeczywisty i dodatni): a+2pz' (2 R +A)Z+(2 X ), r ii E I2 (18) h=l h M2 J h gdzie M=2 (a+^zn 2+XRh). (19) Po rozwiązaniu równania (18) ze względu na A otrzymujemy parę prądu optymalnego i napięcia optymalnego w danym przekroju a -b, dla wariantu a: A +2 3Z* IopUa) = h i 5 \ E, 'he{l,2 h n>, (20) 2 [a+3 Zh!2+A.Rh)

143 150 M. Pasko,,, 2A+Z A uhp a = W l = r Eh h6< n} 2(a+P ZJ 2+A.Rh) (2 1 ) Ze wzorów (20) i (21) oraz znajomości Y można wyznaczyć 0 h potrzebnego kompensatora dla poszczególnych harmonicznych: admitancję jopt(a) h = * +. ^opt(a) k h O h h ( 2 2 ) Po podstawieniu otrzymuje się:,, (A +20R ) ( 2 a + A R ) +20A X2 G h * h * h k h (2a+A R )2 + (A X )2 0 h * h * h (23) B A X (A.+20R) - 20X (2a+A R ) < f4 fk ; ; " nbk he{l,2,...,n>. (2a+A R )2 + (A X )2 0 h * h *" h (24) Postępując analogicznie dla pozostałych wariantów, otrzymujemy: Wariant b: (0+ G A )Z jopt 0» = ---- E, he(1,2 n), «ł ( W. > l ZJ (25) yopł(b) o e zh 2+A.Rh _ (26) gdzie A# wyznaczone z warunku bilansu mocy dla wariantu b. a E I \2 P = y o i ^ r r h i a + (0+AoGh ) Zh 2 j (27) ropt(b) A Yopt(b) _ h 0 h» z * h ^jopt(b) a h (28)

144 Dobór kompensatorów optymalizujących. 151 Stąd (3+ G A _<b> O h * _,. G - R - G, hel 1,2,...,n) k h ot h o h (29) ß+ G A _(b> O h * _, B = X - B, he{l,2 n>, k h a h O h (30) Wariant c: 2(ß+ G A )Z*+A jopt(c) _ 0 h * h 2Ia+R A + (ß+ G A ) ZJ2] E, he{l,2,...,n>, (31) 2a+Z A UopUc) = E, hel 1,2,...,n). (32) 2[a+RhA. + O +0GhA.) Zh 2) h Stąd [2(0+ G A )R +Al[2a+R A 1+2(0+ G A )X2 G = h- -!*- 0 h * h - G, (33) k h 2(a+R A )Z+(A X )2 0 h h * * h A2X -4o X 0 + G A.) B = h - - B. (34) k h 2(a+R A )2+(A X )Z 0 h h * * h Współczynnik Lagrangea Ag wyznaczamy z bilansu mocy (11) dla wariantu C, wstawiając za prąd I wyrażenie (31), a za napięcie U wyrażenie (32). h *, h Wyznaczanie A# we wszystkich wariantach odbywa się za pomocą metody iteracyjnej Newtona. 3. PROBLEM SYNTEZY Zapewnienie prądu optymalnego i napięcia optymalnego dla skończonej liczby harmonicznych wymaga włączenia na zaciski a -b* (rys.l) kompensatorów, których konduktancje i susceptancje dla rozpatrywanych harmonicznych winny spełniać zależności określone wzorami (23) i (24) dla wariantu a, (29) i (30) dla wariantu b, i wzorami (33) i (34) dla wariantu c. Analizując

145 152 M. Pasko powyższe wzory można zauważyć, że może być zarówno dodatnie, jak i ujemne, stąd do realizacji należy użyć np. dwójników aktywnych zawierających - R lub przekształtnik energoelektroniczny DC/AC, a' Rys. 3. W rozpatrywanym astykule zaproponowano klasę ft (RLC-R(1)) lub podklasy (RC-Ra l ), (RL-R*1*) o strukturze Fostera przedstawionej na rys.3, dla której: Y( j<*>) = k i=l k w( s 2V ) ł)4+2u 2 s, 2+ s I4, u 4+2<j2 s 2+ h=l gdzie: kq = - -J- ; k = -{- 20- R = ~ l k I2 (35) Sj = <r1+j "ł s, = u*,-j^j - bieguny gałęzi RLC. Ogólnie dla rozpatrywanego wariantu musi być spełniony warunek kompensacji 2(r u k i h i = G (1>- k ą h L-- E k h 0 U) u>2+2u)2 Is I2+1 s i= 1 h h 1 ił 1 lę(a, b,c), (36) gdzie u =wh. h Należy wyznaczyć współczynniki k ^ ie{l,2,..,n>, gdy zadane są bieguny s(. Wyznaczenie współczynników k ( liniowych względem wektora k o postaci: gdzie: sprowadza się do rozwiązania układu równań Vk = q. (37) V - uogólniona macierz Vandermonde a o elementach, VU = 2u2a'J(Wi+ iisj Z+lSj 4)"1 i, je{l,2,--- n), fc=[k, k... k ]1, q=[g g...g ], g = G n -k. 1 2 n 1 2 n n k h O

146 Dobór kompensatorów optymalizujących. 153 Warunkiem koniecznym i wystarczającym poprawnego rozwiązania jest modyfikacja współrzędnych g wektora g poprzez dobór k tak, aby A g > 0, n 0 ' ' h h a ponadto aby wektor k będący rozwiązaniem równania: k = V 'g (38) miał współrzędne ściśle dodatnie. Wyznaczony w ten sposób dwójnik (PLC-R(1)) wprowadza część urojoną zgodnie ze wzorem (35). realizujący założone Po uwzględnieniu tego faktu wartość susceptancji dwójnika kompensacyjnego ulegnie zmodyfikowaniu do wartości: B (1) = B U) - Im {Y (jid )} kl h k h we h he{l,2,...,n), (39) le(a,b,c) Problem syntezy należy sformułować następująco: Wyznaczyć funkcję reaktancyjną o postaci: n», 2»2, A n (u -w. ) l= t -21±1 B (id) = (40) r n f2 *2. u n (w -0) ) i= l 2i gdzie A R, n N u> i dla i = 2k±l, k N - zera funkcji reaktancyjnej, dla i = 2k, k N - bieguny funkcji reaktancyjnej, a ponadto * * * 0<a><w<c*><... <w n, (41) przy założeniu że dane są wartości tej funkcji B (id) = B (u ) = b ", (42) r r h kl h <d=lt> h w skończonej liczbie punktów o>, h e {1,2... n>, 1 6 {a, b, c>. ' h Syntezę dwójników reaktancyjnych LC spełniających warunek (39) dla każdego wariantu l(a,b,c) przeprowadzamy według metody szczegółowo opisanej w pracach [3], [4], (5). Ostateczna postać kompensatora składać się będzie z dwóch dwójników połączonych równolegle należących do klas LC (reaktancyjny) i (RLC-R(1)).

147 154 M. Pasko 4. ZAKOŃCZENIE Zaproponowany w pracy funkcjonał kwadratowy minimalizowany dla różnych zadanych strumieni mocy czynnej P w danym przekroju łącznie z podanymi funkcjonałami w pracach [7], [8], [9] nie wyczerpuje wszystkich możliwości optymalizacyjnych. Pokazuje, że w zależności od przyjętego funkcjonału uzyskuje się różne efekty energetyczne, a do ich spełnienia należy użyć podobnej klasy układów kompensujących. W pracy zaproponowano przykładowo klasę układów pasywnych bezstratnych LC oraz klasę Ke(RLC-R(1> ). LITERATURA [1] Findeisen W., Szymanowski J., Wierzbicki A.: Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji. PWN, Warszawa [2] Pasko M. : Dobór kompensatorów optymalizujących warunki energetyczne rzeczywistego źródła napięć odkształconych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, "Elektryka" z.122, Gliwice [31 Pasko M., Dybek M. : Komputerowe wyznaczanie struktur dwójników kompensujących składową reaktancyjną prądu źródła napięcia odkształconego zasilającego odbiornik liniowy. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, "Elektryka" z.122, Gliwice [4] Pasko M.-: Dobór dwójników kompensujących składową reaktancyjną prądu źródła napięcia odkształconego zasilającego odbiornik liniowy. Archiwum Elektrotechniki z. 4, 1990, Warszawa (w druku). [51 Pasko M., Walczak J. : A synthesis of compensation Systems of current reactance component of two terminal receiver with deformed voltage J supply. Math. Opt. Theory and Appl. Eisenach Dec [6] Seidler J., Badach A., Molisz W.: Metody rozwiązania zadań optymalizacji. WNT, Warszawa [7] Siwczyński M. : Optymalizacja warunków energetycznych rzeczywistego źródła napięcia metodami analizy funkcjonalnej. Materiały XIII SPETO, Gliwice [8] Siwczyński M., Kłosiński R. : Algorytm minimalizacji warunkowej kwadratowych funkcjonałów strat energii w rzeczywistym źródle napięcia. Materiały XIV SPETO, Gliwice 1991.

148 Dobór kompensatorów optymalizujących. 155 [9] Walczak J. : Rozkład prądu odbiornika dwuzaciskowego zasilanego napięciem odkształconym z rzeczywistego źródła napięcia. Materiały XIII SPETO, Gliwice [10] Walczak J.: 0 dekompozycji prądu rzeczywistego źródła napięcia odkształconego i możliwości jego ortogonalizacji. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Elektryka" z.122, Gliwice Wpłynęło do Redakcji dnia 15 listopada 1991 r. Recenzent: Prof.dr hab.inż. Jan Chojcan SELECTION OF COMPENSATORS OPTIMIZING THE WORK OF REAL SOURCE OF DEFORMED VOLTAGES AND TRANSMISSION LINE A b s t r a c t In the paper a minimization of the quadratic functional including RMS current and RMS voltage in a given section has been carried out for various variants on the stream of active power P applying the method of Lagrange multipliers. The receiver is supplied by the real source of periodic deformed voltages by means of a transmission line. The line is represented by a four-terminal network (fig.l) described by proper impedance matrices for the harmonics being considered. A pair "current-voltage" optimal in a given section has been received from these considerations. The pair is a basis for a synthesis of compensators connected in parallel to the receiver terminals (fig.2). The problem of synthesis of active two-terminal circuits (RLC,-R ) and the problem of synthesis of two terminal reactive LC circuit enabling compensation of undesirable source current are described in the paper.

149 ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1992 Seria: ELEKTRYKA z.126 Nr kol Janusz WALCZAK Marian PASKO Instytut Elektrotechniki Teoretycznej i Przemysłowej Politechniki Śląskiej GENERATOR OKRESOWYCH PRZEBIEGÓW ODKSZTAŁCONYCH Streszczenie. W pracy opisano konstrukcję analogowo-cyfrowego generatora przebiegów odkształconych o napięciu będącym sumą do dziesięciu harmonicznych, o dowolnie nastawialnych amplitudach i przesunięciach fazowych, względem podstawowej harmonicznej tego generatora o częstotliwości 50 Hz. Przedstawiono weryfikację parametrów i możliwości techniczne tego generatora. GENERATOR OF NONSINUSOIDAL WAVEFORM Summary. The paper describes a structure of an analog-digital generator of nonsinusoidal waveform. A voltage of the generator being a sum up to ten harmonics with optional adjustable amplitudes and phase waveform towards the basic harmonics at frequency 50 Hz. Verification of some parameters and technical possibilités of this generator has been presented too. TEHEPATOP I1EPH0HHHECKOrO IIE#0PMHP0BAHH0r0 CHTHAJIA Pe3PMe. B paôote onhcaha KOHCTpyxuHfl ahanoro-uh<(>poboro rehepatopa He4>opMHpoBaHHbix cnrhanob c Hanps*enneM, KOTopoe SBnaeTca cytmofi no flecsth rapmohhk o npoh3bonbho yctahabnhbaembimh amnnhtynamh h < >a30bmmh nepememehhsmh othochtenb h o o c h o b h o è rapmohhkh SToro rehepatopa c HacTOTOft 50 Tu. npenctabjiehbi attectauhs HeKOTopbix napametpob u MexaHKsecKHe xapaktepuc t h k h rehepatopa.

150 158 J. Walczak, M. Pasko 1. WPROWADZEŃIE Dynamiczny rozwój energoelektroniki i jej zastosowań w procesach przemysłowych, występowanie odbiorników niestacjonarnych i nieliniowych w sieciach elektroenergetycznych powodują, że przesył energii w obwodach jedno- i wielofazowych następuje w obecności zniekształconych napięć i prądów. Większość współczesnych teorii mocy opartych na koncepcji S.Fryzego dekompozycji prądu źródła [2], [3] wykorzystuje elementarny model obwodu (rys.l), zawierający jedno- lub wielofazowe źródło napięcia okresowego i odkształconego. W praktyce [4] elektroenergetyczne źródło napięcia jest źródłem napięcia odkształconego, gdy zawiera ono idealną SEM o częstotliwości 50Hz oraz: - elementy pasywne ograniczające moc zwarciową źródła i będące przyczyną niesinusoidalnego napięcia na jego zaciskach w sytuacji, gdy źródło to wydaje prądy niesinusoidalne, - elementy niestacjonarne i nieliniowe. Zagadnieniu konstrukcji jednofazowego źródła przebiegów odkształconych (rys.l), o maksymalnej wydawanej mocy czynnej równej około 100 W, poświęcona jest dalsza część artykułu. Źródło to stanowi pierwszy etap konstrukcji stanowiska modelowego, które w przyszłości zostanie uzupełnione: - zbiorem odbiorników (liniowych, parametrycznych, nieliniowych) o programowalnych charakterystykach napięciowo-prądowych, - zbiorem kompensatorów o różnych strukturach, realizowalnych w wielu klasach elementów (pasywne, aktywne, parametryczne, nieliniowe), - mikroprocesorowym systemem pomiarowym umożliwiającym identyfikację parali*. metrów modelowanych obwodów, optymalizację ich warunków pracy oraz syntezę układów kompensacyjnych. Wymienione elementy stanowiska modelowego znajdują się obecnie w stadium realizacji. ODBIORNIK V Rys.l. Model sieci: źródło zasilania-odbiornik Fig.l. Network model: supply source-receiver

151 Generator okresowych przebiegów PRZEGLĄD KONSTRUKCJI GENERATORÓW Produkowane i stosowane układy generatorów przebiegów odkształconych [1], [5], [8], [9) podzielić można na dwie klasy:.* - układów, w których kształtowanie przebiegu odkształconego przeprowadzane jest na drodze syntezy cyfrowej, - układów, w których kształtowanie przebiegu odkształconego przeprowadza się analogowo. Układy generatorów należących do pierwszej z wymienionych grup charakteryzują się wysoką dokładnością (ok. 0,01%) i są stosowane od niedawna. Zasadę działania takich generatorów (będących w istocie szybkimi układami mikroprocesorowymi) przedstawiono na rys. 2. pamięć o SWOBODNYM DOSTĘPIE PRZETWORNIK c/a 1 WZMAC. MOCY Wy NASTAWNIK CYFROWY PRZEBIEGU SYSTEM mikroprocesorowi! FALOWNIK Wyjście U gen. OBCIĄŻENE r~ REGULATOR CYFROWY -... ' A t - P I < k GENERATOR 1 Rys.2. Schemat blokowy cyfrowego generatora przebiegów odkształconych Fig.2. Block diagram of a digital generator of nonsinusoidal waveform W układzie z rys.2.1, pracującym z otwartą pętlą sprzężenia zwrotnego, przebieg napięcia odkształconego jest nastawiony cyfrowym sterownikiem i zapamiętywany w pamięci o swobodnym dostępie. Następnie, układy precyzyjnych i szybkich przetworników cyfrowo-analogowych przekształcają cyfrową postać sygnału odkształconego w postać analogową, a uzyskany sygnał analogowy ulega wzmocnieniu najczęściej w klasycznym, lecz o wysokich parametrach jakościowych, wzmacniaczu mocy.

152 160 J. Walczak, M. Pasko Systemy takie od niedawna [9] są realizowane w postaci pojedynczych chipów (bez wzmacniaczy mocy), współpracujących z komputerami serii IBM jako nastawnikami przebiegów odkształconych. W układzie przedstawionym na rys.2.2 napięcie lub prąd falownika (wykonanego z wykorzystaniem bardzo szybkich elementów półprzewodnikowych) są mierzone analogowo, przetwarzane na sygnał cyfrowy, który jest porównywany z zadanym z nastawnika cyfrowym sygnałem wzorcowym przebiegu odkształconego. Różnica tych sygnałów wysterowuje regulator cyfrowy falownika wymuszającego zadany przebieg na wyjściu generatora. Cyfrowe realizacje generatorów przebiegów odkształconych charakteryzują się złożoną budową i wymagają kosztownych, bardzo szybkich i dokładnych układów półprzewodnikowych. Układy należące do drugiej z wymienionych grup charakteryzują się względnie prostą budową, mniejszą dokładnością (~1%) oraz stosunkowo niską ceną. Ideę działania tych układów przedstawiono na rys.3. GENERATOR PRZEBIEGU OKRESÓWE- GO UKŁAD FILTRÓW AKTYWNYCH s WZMACNIA i CZE HARMONICZ NYCH ^RZESUWN. ' FAZY GENERATORY HARMONICZNYCH I ^WZMACNIA -j_, iharmoniiczh i - J NYCH _1_ I PRZESUWNI-!. : -+ Kl -i -* I FAZY II J GENERATOR 1 KSZTAŁTO WANIE 1 WZMACNIACZE 1 CYFROWY 2 PRZEBiEGDU 2 HARMONICZ NYCH HARMONICZNYCH SINUSOIDALh 2 NYCH h PRZESUWNI Kl - -* FAZY h Rys.3. Schemat blokowy analogowego generatora przebiegów odkształconych Fig.3. Block diagram of an analogue generator of nonsinusoidal waveforms

153 Generator okresowych przebiegów 161 Układ przedstawiony na rys.3.1 zawiera analogowy generator przebiegu odkształconego zawierającego wszystkie pożądane harmoniczne. Napięcie wyjściowe tego generatora poddawane jest selektywnej filtracji w układzie filtrów aktywnych o wysokich parametrach jakościowych z uwagi na fakt, że poszczególne harmoniczne napięcia generatora maleją Jak, a>l, h=l,2... h Wyodrębnione harmoniczne zostają następnie wzmocnione i ustalone jest ich przesunięcie fazowe względem harmonicznej podstawowej napięcia generatora. Suma tych harmonicznych stanowi realizację pożądanego przebiegu odkształconego. Układ przedstawiony na rys.3.2 różni się od poprzednio omawianego tym, że harmoniczne przebiegu odkształconego uzyskuje się z niezależnych wysokostabilnych generatorów napięcia sinusoidalnego. Dalsze przetwarzanie sygnałów przeprowadza się identycznie jak w układzie z rys W układzie z rys.3.3 harmoniczne przebiegu odkształconego wytwarzane są na drodze cyfrowej z wykorzystaniem generatora kwarcowego i bloku dzielników częstotliwości. Uzyskane sygnały cyfrowe są następnie przetwarzane na sygnały analogowe o przebiegach sinusoidalnych, poprzez: - selektywną filtrację z wykorzystaniem filtrów aktywnych, - kształtowanie scałkowanych sygnałów cyfrowych z wykorzystaniem diodowych układów kształtujących. Uzyskane sygnały są w dalszym ciągu przetwarzane w sposób identyczny jak w układach z rys. 3.1, 3.2. Przy wyborze koncepcji układu generatora zrezygnowano z góry z jego wykonania w wersji cyfrowej ze względu na wysokie koszty szybkich układów cyfrowych i przełączalnych oraz precyzyjnych przetworników C/A, Jak też ze względu na istniejące do niedawna trudności uzyskania takich elementów. Analiza doświadczalna modeli generatora działającego zgodnie z rys.3.1. doprowadziła do wniosku, takiego generatora wymaga: że uzyskanie wystarczającej dokładności (M%) - stosowania wysokostabilnych i precyzyjnych elementów aktywnych i biernych, - termostatyzowania bloków generatora. Podstawowym problemem, który'wystąpił przy badaniu modelu generatora działającego zgodnie z rys.3.2 były trudności utrzymania stabilnego i równego kolejnym liczbom naturalnym stosunku częstotliwości harmonicznych generatora. Pomimo stosowania dostępnych, stabilnych elementów i prób termostatyzowania układów problem ten nie został w sposób zadowalający rozwiązany, co powodowało niedopuszczalne fluktuacje przebiegu napięcia generatora.

154 162 J. Walczak, M. Pasko Wymienione wady nie wystąpiły przy badaniu modelu generatora zbudowanego zgodnie z rys.3.3, co było przyczyną wyboru tej koncepcji realizacji generatora. 3. OPIS GENERATORA Opracowany generator [10] składa się z następujących bloków funkcjonalnych (rys.4): - części cyfrowej, - części analogowej, - wzmacniacza mocy, - modułu pomiarowego, - zasilacza. Rys.4. Schemat funkcjonalny generatora Fig.4. Functional diagram of a generator of nonsinusoidal waveform Zadaniem części cyfrowej generatora jest wytworzenie dziesięciu zsynchronizowanych ze sobą przebiegów (w standardzie TTL) o częstotliwościach 50 Hz, 100 Hz, 150 Hz,.., 500 Hz. W części analogowej przebiegi te są przetwarzane na przebiegi sinusoidalne o regulowanej amplitudzie i fazie w stosunku do przebiegu o częstotliwości 50 Hz. Uzyskane przebiegi są następnie sumowane i wzmacniane we wzmacniaczu mocy. Moduł pomiarowy tworzą układy służące do pomiaru amplitud i faz harmonicznych przebiegu odkształconego.

155 Generator okresowych przebiegów Część cyfrowa Generator kwarcowy, zbudowany w klasycznym układzie [7], [12] dwóch zlinearyzowanych inwerterów TTL, wytwarza syghał prostokątny o częstotliwości 1008 khz. Sygnał ten Jest dzielony we wstępnym dzielniku częstotliwości przez osiem, a następnie w głównym dzielniku częstotliwości tak, że na wyjściu tego dzielnika uzyskuje się sygnały o częstotliwościach: 50 Hz, 100 Hz,.., 500 Hz. Dodatkowo w bloku dzielników uzyskuje się sygnał o częstotliwości 18 Hz wykorzystywany w module pomiarowym fazy. Wymienione dzielniki częstotliwości wykonano w postaci bloków złożonych z liczników i bramek modulo 2 pracujących w pętlach sprzężenia zwrotnego tych liczników, przez co niezależnie od tego, czy stosunki podziału częstotliwości są liczbami parzystymi czy też nie, przebiegi sygnałów na wyjściach dzielników są zawsze symetryczne. Uzyskane sygnały cyfrowe zostają następnie przetworzone na sygnały o kształcie trapezowym (± 15 Vss) (co znacznie polepsza efektywność filtracji filtrów aktywnych) za pomocą komparatorów z dodatkowymi pojemnościowymi pętlami sprzężenia zwrotnego. Sygnały o kształcie trapezowym są wprowadzane do części analogowej generatora Część analogowa Sygnały o kształcie trapezowym zostają doprowadzone na wejścia środkowoprzepustowych filtrów aktywnych pierwszego rzędu z podwójną pętlą sprzężenia zwrotnego [6], [8]. Częstotliwości środkowe tych filtrów wynoszą odpowiednio 50, 100,.., 500 Hz. Sinusoidalne sygnały wyjściowe z filtrów aktywnych są doprowadzane do bloku przesuwnlków fazy umożliwiających zmiany przesunięcia fazowego w granicach 0+240, sygnały z przesuwnlków fazy są podawane do bloku nastawników amplitudy, zrealizowanych/ w układzie wzmacniaczy o zmiennym wzmocnieniu, nastawialnym w obwodach ich sprzężenia zwrotnego. Sygnały wyjściowe tych wzmacniaczy zostają doprowadzone do sumatora wykonanego z wykorzystaniem precyzyjnego wzmacniacza operacyjnego, którego sygnał wyjściowy stanowi syntetyzowany przebieg odkształcony generatora. Dodatkowo, sumator wyposażony jest we wskaźnik' wysterowania sygnalizujący przekroczenie maksymalnej dopuszczalnej amplitudy (±15 Vss) napięcia na wyjściu sumatora. '

156 164 J Walczak, M. Pasko 3.3. Wzmacniacz mocy Wytworzony w części analogowej generatora zadany przebieg odkształcony napięcia jest doprowadzany do wzmacniacza mocy w układzie mostkowym [8], [10], [li] złożonego z: - przedwzmacniaczy, - stopni końcowych mocy pracujących w układach quasi-komplementarnych, - transformatora wyjściowego. Wzmacniacz wyposażony jest w układy zabezpieczeń przeciwzwarciowych i przeciążeni owych Blok pomiarowy W skład bloku pomiarowego wchodzą moduły do pomiaru wartości maksymalnych i faz harmonicznych przebiegu odkształconego. Pomiar wartości maksymalnych napięć harmonicznych na wyjściu wzmacniacza mocy zrealizowano w układzie klasycznego woltomierza z prostownikiem dwupołówkowym. Układ do pomiaru fazy zrealizowano w wersji cyfrowej. Idea działania tego układu polega na zamianie przesunięcia fazowego napięcia zadanej harmonicznej na wyjściu wzmacniacza mocy względem napięcia pierwszej harmonicznej pobieranego z części analogowej generatora (sygnał wyjściowy przesuwnika fazy pierwszej harmonicznej) na sygnał prostokątny o szerokości proporcjonalnej do wymienionego przesunięcia fazowego. Uzyskany sygnał prostokątny zostaje następnie zamieniony na ciąg impulsów, których liczba w zadanym cyklu pomiarowym (reprezentująca przesunięcie fazy w stopniach) zostaje wyświetlona na cyfrowym polu odczytowym. 4. CHARAKTERYSTYKA GENERATORA I PRZYKŁADOWE POMIARY Zaprojektowany i wykonany generator napięcia odkształconego (rys.5) posiada następującą charakterystykę: 1. Przebieg napięcia generatora jest nastawialną sumą do 10 harmonicznych o częstotliwościach (50, 100,...500) Hz z dowolną regulacją fazy i amplitudy. 2. Procentowy udział każdej harmonicznej w stosunku do harmonicznej podstawowej jest ustawialny w zakresie 0*100% napięcia harmonicznej podstawowej.

157 Generator okresowych przebiegów Rys.5. Model zaprojektowanego i wykonanego generatora przebiegów odkształconych Fig. 5. Model of designed and ready made generator of nonsinusoidal waveior>ii 3. Przesunięcie fazowe każdej harmonicznej w stosunku do harmonicznej podstawowej jest ustawialne w granicach 0* Moc wyjściowa generatora w stanie dopasowania energetycznego wynos1 ok.100 W, a jego maksymalne napięcie wyjściowe wynosi ok.120 V. 5. Zniekształcenia każdej harmonicznej przebiegu są mniejsze od Dokładność ustawiania amplitud i faz harmonicznych przebiegu odkształconego jest ok.1%. 7. Na podstawie przeprowadzonych pomiarów dla skonstruowanego generatora, przedstawionego na rys.5. stwierdzono, że charakterystyka częstotliwościowa wzmacniacza mocy jest maksymalnie płaska zarówno co do modułu, jak i fazy. 8. Charakterystyka zewnętrzna generatora -f(u,i) = 0 przy obciążeniu rezys- tancyjnym jest liniowa dla wszystkich rozpatrywanych harmonicznych i oni sana równaniem U = l (0;1) A, zatem w tym zakresie pracy generator zachowuje się jak rzeczywiste żródto rezystancyjne o R «4 2. w 9. Generator wyposażony Jest w uktad zabezpieczeń umożliwiający jego pracę w warunkach zwarcia w czasie ok. 1 min; po wymienionym czasie następuje automatyczne wyłączenie generatora. Za pomocą tak zaprojektowanego i o przedstawionych parametrach generatora przeprowadzono przykładowo syntezę i analizę przebiegów odkształconych okresowych.

158 166 I J. Walczak, M. Pasko 4.1. Synteza przebiegów odkształconych okresowych Dla przebiegu prostokątnego przedstawionego na rys.6, którego rozwinięcie w szereg Fouriera opisuje wzór:? u(t) = --liii (sinut + isin3(jt + isin5i<>t + sln7ut+...), 11 J J / zestawiono przebieg opisany powyższym wzorem za pomocą generatora do 10-tej harmonicznej. Uzyskany w ten sposób przebieg zdjęto za pomocą oscyloskopu i przedstawiono na rys.7. Rys.6. Przebieg prostokątny Fig.6. Square wave Rys.7. Uzyskany przebieg po przeprowadzonej syntezie (oscylogram) Fig.7. Received wave after the synthesis Podobną syntezę przeprowadzono dla przebiegu przedstawionego na rys.8, którego szereg Fouriera ma postać: u(t) = ^ 1^ 1 (sinut + i sin2(<)t + i sin3wt + i sin4ut+...). IT Z J 4

159 Generator okresowych przebiegów 167 Rys.8. Przebieg piłowy Fig.8. Sawtooth wave A r v! ^ V / V 1 1 ^ ; V A \ A \ * \ N Rys.9. Uzyskane przebiegi po przeprowadzonej syntezie (oscyiogramy) Fig.9. Received waves after the synthesis \

160 168 J. Walczak, M. Pasko Otrzymane wyniki zdjęte za pomocą oscyloskopu przedstawiono na rys.9. Na rys.9.a przedstawiono przebieg złożony z 5 harmonicznych, natomiast na rys.9.b zawierający dziesięć pierwszych harmonicznych. W obydwu przedstawionych przykładach amplitudy i fazy dobrano zgodnie z rozwinięciami w szereg Fouriera badanych przebiegów Analiza przebiegów odkształconych okresowych Za pomocą omawianego generatora można również przeprowadzić przybliżoną analizę harmoniczną zadanego przebiegu niesinusoidalnego okresowego. Przybliżoną analizę harmoniczną zadanego przebiegu okresowego można przeprowadzić według zasady przedstawionej na rys.10. Jeżeli na jedno wejście układu różnicowego będziemy podawać sygnał badany, a na drugie wejście poszczególne harmoniczne o regulowanej amplitudzie i. fazie, to poprzez każdorazową kompensację można odtworzyć w przybliżeniu badany przebieg okresowy f(t). f(t) Rys.10. Schemat blokowy do analizy przebiegów odkształconych Fig.10. Block diagram for nonsinusoidal waveform Przykładowo niech fct) będzie przebiegiem prostokątnym przedstawionym na rys.2, a g^(t) jest pierwszą harmoniczną o postaci: g (t) = sinut, 1 TT a otrzymany dla tego przypadku przebieg i//(t)=f (t )-g](t} przedstawiony jest na rys.11. Wprowadzając następne funkcje (tj i każdorazowo minimalizując funkcję 0(t) za pomocą amplitudy i fazy otrzymujemy kolejne przybliżenie badanej funkcji fct). Na podstawie otrzymanych amplitud i faz przebiegu ^ ' gk(t) odtwarzamy przebieg f(t). k=l

161 Generator okresowych przebiegów... ) 6 9 Rys.11. Kształt odtwarzanego przebiegu po pierwszym przybliżeniu (oscylogram) Fig.11. Curve of reproduced wave after nonsinusoidal waveform analysis Na rys.12 przedstawiono przeprowadzoną przybliżoną analizę harmoniczną dla przebiegu prostokątnego do 7 harmonicznej włącznie. Rys.12. Różnicowy przebieg 0(t) - otrzymany w wyniku analizy Fig.12. Differential wave 0(t)-received from the analysis 5. ZAKOŃCZENIE Przedstawione pomiary nie wyczerpują wszystkich możliwości analizy i syntezy przebiegów okresowych odkształconych.

162 170 J. Walczak, M. Pasko Skonstruowany generator przebiegów odkształconych uzupełniany o: - zbiór odbiorników liniowych, Jak 1 nieliniowych o programowalnych charakterystykach napięć Iowo-prądowych, - zbiór kompensatorów, zarówno pasywnych, jak 1 aktywnych, może być bardzo pomocny w badaniu zjawisk z przebiegami odkształconymi i służyć do weryfikacji różnych teorii mocy dla tych przebiegów. LITERATURA [1] Bruel and Kjaer - Katalog, [2] Czarnecki L.S.: Interpretacja, identyfikacja i modyfikacja właściwości energetycznych obwodów jednofazowych z przebiegami odkształconymi, Monografia, ZN Pol.Śl. Elektryka, Z.91, [3J Cholewlcki T. : Rodzaje mocy przy przebiegach odkształconych. Obecny stan badań, Przegląd Elektrotechniczny, No 3^ 1980, pp [4] Gohen T.: Electric Power Transmission System Enegineering. Analysis and Design, J.Wile^, New York [5] Hewlet Packard Cataloque, [6] Kulka Z., Nadachowski M.: Liniowe układy sęalone i ich zastosowania, WKiL, Warszawa [7] Łakomy M., Zabrodzki J.: Cyfrowe układy scalone, PWN, Warszawa [8] Markus J.: Guidebook of Electronics Circuits, Mc Graw Hill, New York [9] Schaherberger M., Awad S.S.: The Implementation of a Digital Sine Wave Oscillator Using the TM320C25: Distortion Reduction and Application. IEEE Trans on IM, Vol.39, No 6, pp , Dec [10] Ocheńkowski L.* Stasiów S.: Generator przebiegów odkształconych. Praca dyplomowa inżynierska wykonana w IETiP, Pol.Śl., [11] Pasko M., Topór-Kamlńskl L. : Laboratorium z wybranych zagadnień elektrotechniki teoretycznej, cz.i. Skrypt Pol.Śl. Nr 1398, Gliwice [12] Tietze U., Schenk C.: Układy półprzewodnikowe, WNT, Warszawa Jpłynęło do Redakcji dnia 11 grudnia 1991 r. Recenzent: Prof.dr hab.inż. Jan Chojcan raca wykonana w ramach BK 3.26/RE-3/1991

163 Generator okresowych przebiegów... GENERATOR OF NONSINUSOIDAL WAVEFORM A b s t r a c t Simulation of phenomena occurring in electroenergetic systems with periodical and deformed wave is often carried out applying analog models of these systems. Such models should contain the deformed wave generator whose voltage can be deformable towards sinusoidal voltage in a given and programm able way. The paper describes a structure of an analog-digital generator of nonsinusoidal waveform with a voltage being a sum up to ten harmonics with optional adjustable amplitudes and phase waveforms towards the basic harmonics of this generator with 50 Hz frequency. The described generator, relatively simple in structure and very accurate, can be used not only for research work but also for teaching purposes as a part of a laboratory stand for testing and demonstrating energetic phenomena in circuits with nonsinusoidal waveform. Verification of some parameters has been carried out and presented, as well as technical possibilities of the designed generat.

164 Bronisław ŚLIWA lutego 1992 r. zmarł nagle dr inż. Bronisław Śliwa, emerytowany nauczyciel akademicki, były starszy wykładowca Instytutu Maszyn i Urządzeń Elektrycznych Politechniki Śląskiej w Gliwicach. Śp. Bronisław Śliwa urodził się 24 lipca 1920 roku w Przeworsku. Do wybuchu wojny zdążył ukończyć 1 rok studiów na Politechnice Lwowskiej. Okupację spędził w domu pracując jako ślusarz w warsztatach mechanicznych Ordynacji Lubomirskich. Równocześnie od 1942 do 1945 r. pracował na terenie Przeworska w tajnym nauczaniu, prowadząc zajęcia z różnych przedmiotów, głównie z matematyki i fizyki, ale także i z łaciny. Po wojnie w 1945 r. zapisał się na drugi rok studiów na Wydziale Elektrycznym Politechniki Śląskiej w Krakowie, a od czwartego semestru wraz z Politechniką Śląską przeniósł się do Gliwic. Dyplom mgra inż. elektryka uzyskał w 1949 roku. Po ukończeniu studiów podjął pracę równocześnie na Politechnice Śląskiej jako asystent i w Centralnym Biurze Konstrukcyjnym Maszyn Elektrycznych w Katowicach (obecnie Branżowy OBR ME KOMEL). Jako nauczyciel akademicki na Politechnice Śląskiej pracował 36 lat do chwili przejścia na emeryturę w 1985 r. W Biurze Konstrukcyjnym Maszyn Elektrycznych pracował do roku W Biurze tym był kierownikiem Działu Maszyn Prądu Zmiennego i konstruktorem wiodącym przy opracowaniu kilku serii silników indukcyjnych i maszyn synchronicznych. Z Biurem Konstrukcyjnym, a później z Branżowym OBR ME i jego pracownikami dr inż. B. Śliwa współpracował do ostatnich dni, swojego życia. Dla CBKME, a później BOBR ME opracowywał weryfikacje wielu projektów, ekspertyzy, algorytmy obliczeń maszyn specjalnych. Swoje bogate doświadczenie konstruktorskie wykorzystywał w pracy dydaktycznej. Jako nauczyciel akademicki wychowywał liczną grupę projektantów i konstruktorów maszyn elektrycznych, wielu z nich może poszczycić się znacznymi osiągnięciami kontrukcyjnymi w kraju i za granicą.

165 174 Dr inż. Bronisław Śliwa jako nauczyciel akademicki już od pierwszych zajęć zyskiwał dużą sympatię studentów, głównie poprzez swoją bezpośredniość, bardzo przejrzystą formę i czytelną treść wykładu i innych prowadzonych zajęć. Jego osobowość oddziaływała na studentów, miał na nich duży wpływ, przede wszystkim wychowawczy. Był Inżynierem humanistą i poliglotą. Te cechy i umiejętności' nie są dzisiaj zbyt powszechne wśród nauczycieli akademickich wyższych szkół technicznych. Dr inż. Bronisław Śliwa jako kolega był bardzo łubiany przez swoich współpracowników, umiał wytworzyć klimat przyjaźni i współpracy. Juko konstruktor maszyn elektrycznych był twórczy, opracował sam lub w zespole: - metodykę projektowania maszyn prądu zmiennego małej i średniej mocy, silników indukcyjnych liniowych, dławików nasycanych oraz dławików do filtrów wyższych harmonicznych współpracujących z układami tyrystorowymi, - nową kontrukcję silników indukcyjnych klatkowych o wydłużonym dopuszczalnym czasie rozruchu, tzw. silników z prętem biernym. Ten ostatni temat był między innymi przedmiotem jego rozprawy doktorskiej, a także dwóch wdrożonych patentów. Dorobek naukowyc i konstruktorski Bronisława Śliwy obejmuje kilkadziesiąt prac opublikowanych oraz opracowań nie publikowanych. Był także współautorem wielu referatów na międzynarodowych konferencjach, jak np. International Conference on Elektrical Machines (ICEM). Emerytura nie zmniejszyła jego aktywności zawodowej. Organizatorzy Konferencji ICEM 92 w Manchester UK zakwalifikowali Jego kolejny współautorski referat do programu Konferencji. Nagła śmierć przerwała Mu prace nad tym referatem. Jako konstruktor maszyn elektrycznych był jednym z największych autorytetów w Polsce. Do Niego zwracały się najednokrotnie Zakłady Remontowe Maszyn Elektrycznych z prośbą o konsultacje i ekspertyzy, a także BOBR ME zlecając Mu opracowanie trudniejszych algorytmów obliczeń (między innymi silników liniowych i silników z prętem biernym) oraz opracowanie koreferatów do swoich projektów. Dr inż. B.Śliwa był aktywnym członkiem i rzeczoznawcą SEP. Sp. Bronisław Śliwa był zaangażowanym patriotą. W czasie okupacji pracował w tajnym nauczaniu. W latach 1980 i 1989 był współorganizatorem Solidarności na Politechnice Śląskiej i jej aktywnym działaczem. W stanie wojennym po 13 grudnia 1981 organizował pomoc dla internowanych i ich rodzin, osobiście zbierając na ten cel środki. Uspokajał młodszych kolegów i studentów, co niewątpliwie łagodziło każdemu, kto z nim miał kontakt, przeżycia stanu wojennego. W ostatnim czasie mocno przeżywał rozpad Solidarności i odejście znacznej grupy jej działaczy od ideałów Solidarności.

166 Marian KOLMER grudnia 1990 r. zmarł mgr inż. Marian Kolmer, emerytowany nauczyciel akademicki, były starszy wykładowaca Instytutu Maszyn i Urządzeń Elektrycznych Politechniki Śląskiej w Gliwicach. Śp. Marian Kolmer urodził się 23 czerwca 1912 r. we Lwowie. Po ukończeniu Politechniki Lwowskiej w 1941 r. podejmuje pracę w Państwowej Szkole Rzemieślniczej we Lwowie. Od sierpnia 1944 r. do maja 1945 r. był st.astystent.em w Katedrze Maszyn Elektrycznych Politechniki Lwowskiej, a od czerwca 1948 r. st.asystentem w Katedrze Maszyn Elektrycznych Politechniki Śląskiej. W roku 1952 zostaje awansowany na adiunkta, a t961 r. na st. wykładowcę. Na stanowisku st. wykładowcy pracuje do czasu przejścia na emeryturę, to jest do roku x977. Ponadto w latach był wykładowcą w Technikum Górniczo-Merhanicznym w Bytomiu, a w latach w Punkcie Konsultacyjnym Politechniki Śląskiej w Opolu, a następnie w Wyższej Szkole Inżynierskiej w Opolu. Mgr inż. Marian Kolmer był współorganizatorem Katedry Maszyn Elektrycznych Politechniki Śląskiej, współ budowniczym laboratorium maszyn elektrycznych, cenionym dydaktykiem, wykładowcą elektrotechniki i maszyn elektrycznych i współautorem skryptów z laboratorium maszyn elektrycznych. Przez wiele lat był Kierownikiem Studiów Zaocznych na Wydziale Elektrycznym. W pracy był bardzo solidny i obowiązkowy, o dużym poczuciu sprawijdliwości i pogodzie ducha. Te cechy charakteru zjednywały Mu dużą sympatię studentów i współpr wników. Był powszechnie łubianym nauczycielem akademickim. W pracy naukowo-badawczej mgr inż. M.Kolmer zajmował się problematyką maszyn elektrycznych kriogenicznych, był także współautorem szeregu prac i ekspertyz dla przemysłu. Był członkiem i rzeczoznawcą SEP oraz aktywnym turysto górskim. Mgr inż. M.Kolmer za swoją pracę został uhonorowany: Złotym Krzyżem Z a sługi, Krzyżem Kawalerskim Orderu Odrodzenia Polski, Złotą Odznaką Zasłużonemu w Rozwoju Woj.Katowickiego i Medalem 40-lecia Politechniki Śląskiej.

167 Zbigniew Tadeusz RYCZKO października 1988 r. zmarł dr inż. Zbigniew Ryczko, nauczyciel akademicki, zatrudniony jako adiunkt w Instytucie Maszyn i Urządzeń Elektrycznych Politechniki Śląskiej. Dr inż. Zbigniew Ryczko urodził się 16 stycznia 1945 r. w Bielsku-Białej. W roku 1962 rozpoczął studia na Wydziale Elektrycznym Politechniki Śląskiej, które ukończył w 1968 r., podejmując pracę na uczelni w charakterze asystenta. W pracy naukowo-badawczej zajmował się zagadnieniami konstrukcji, badań i eksploatacji maszyn prądu stałego, a w szczególności badaniami modelowymi i analogowymi maszyn prądu stałego zasilanych z przekształtników tyrystorowych. Zagadnienia te były przedmiotem Jego pracy doktorskiej ukończonej w 1977 r. W latach prowadził badania w dziedzinie opracowania nowych krajowych materiałów elektrografitowych na szczotki do pierścieni ślizgowych turbogeneratorów 200 MW pozwalających zastąpić importowane materiały e1ektrografitowe. Dr inż. Zbigniew Ryczko był cenionym dydaktykiem, prowadził zajęcia projektowe i laboratoryjne na wszystkich rodzajach studiów z zakresu teorii maszyn elektrycznych oraz wykłady z zakresu działów wybranych maszyn elektrycznych dla studentów studiów dziennych. W pracy był człowiekiem koleżeńskim, obowiązkowych, życzliwym. Te cechy charakteru zjednały mu sympatię studentów i współpracowników. Był członkiem SEP i PTETiS. Dr inż. Zbigniew Ryczko za swoją działalność naukowo-badawczą był wielokrotnie wyróżniony nagrodami Rektora Politechniki Śląskiej. Za swoje zasługi i osiągnięcia w pracy dydaktyczno-naukowej został odznaczony Złotym Krzyżem Zasługi.