7. Modelowanie Symulacja

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "7. Modelowanie Symulacja"

Transkrypt

1 7. Modelowanie Symulacja Kontrakcja i ekspansja czasoprzestrzeni zjawisk - na życzenie, to czyni symulację tak pożądaną! W rozdziale drugim stwierdziliśmy iż w istocie są trzy kluczowe problemy rozwiązywane przez naukę. Przypomnijmy, pierwszy to problem identyfikacji rzeczywistości ze wszystkimi pytaniami; co jest, co jest jakie, itd., jak w punkcie 5.2. Drugi to problem optymalizacyjno decyzyjny; wyboru najlepszego rozwiązania, najlepszej struktury, decyzji, itp.. Trzeci problem nauki, na pograniczu inżynierii, to problem rozwoju i innowacji, czyli wynajdywanie nowych lepszych rozwiązań, wyrobów, sposobów postępowania, zarówno na poziomie hardwaru jak i softwaru. Pierwszy problem identyfikacji rzeczywistości jest w istocie szukaniem najlepszego modelu strukturalnego i funkcjonalnego danego fragmentu rzeczywistości. Pozostałe dwa problemy wymagają również jakiejkolwiek formy modelu. Bez modelu, zarówno pełna identyfikacja, jak optymalizacja i innowacja nie przebiegają optymalnie, bo wtedy jedyna metoda to kolejne próby i błędy (trial and error method), stosowana od zarania cywilizacji. Tak więc problem nr 1 w nauce to znalezienie lub posiadanie modelu zjawiska, obiektu będącego przedmiotem naszego zainteresowania. Weźmy więc w pierwszej kolejności pod uwagę możliwe modele i modelowanie. 7.1 Modele zjawisk i obiektów definicje ogólne Wielu naukowców żywi przekonanie, że jakiekolwiek myślenie o rzeczywistości i problemach jakie należy rozwiązać związane jest z operowaniem modelami. Być może przychylimy się do tego punktu widzenia jeśli poznamy ogólną definicję modelu. Model to uproszczone przedstawienie wybranego fragmentu rzeczywistości celem lepszego jej zrozumienia, [Billinger98]. Jeśli przyjąć tezę iż nasze możliwości poznania czegokolwiek są skończone, a także fakt iż modelowanie jest zawsze intencjonalne, mające preferencje wyróżnienia jednych cech a pominięcie drugich, to rzeczywiście, myślimy prawdopodobnie w kategoriach modeli. Popatrzmy zatem szeroko, jakie modele mogą istnieć w ogóle. Po pierwsze możemy wyróżnić podział pierwotny na modele materialne i symboliczne. Model materialny będzie to reprezentacja uwzględniająca inną skalę (np. kolej do zabawy, kokpit samolotu do treningu, itp.), bądź też materialna reprezentacja sposobu działania (np. model skalowy tamy, model analogowy elektryczny zjawiska hydraulicznego, itd.). Jak widać skala modelu materialnego może powiększać (np. model atomu helu) lub zmniejszać (tama z naporem cieczy), a przy rzeczywistych badaniach naukowych z użyciem takich modeli muszą być spełnione zasady i prawa analizy wymiarowej, łącznie ze znanym prawem Π - pi (bliżej patrz np. [Mueller97]). Modele symboliczne, jak sama nazwa wskazuje, używają reprezentacji symbolicznej do przedstawienia struktury i/lub własności obiektu / procesu. Może to być postać słowna, graficzna lub matematyczna. Generalnie modele symboliczne mogą być jakościowe i ilościowe; deterministyczne, probabilistyczne, rozmyte lingwistyczne, itd. Modele jakościowe z kolei mogą mieć charakter zgrubny czysto opisowy, np.; to jest maszyna tłokowa, co opisuje już klasę obiektów, a przy pierwszym definiowaniu obiektu może to wystarczyć. Drugi typ modelu jakościowego wyjaśniający, jest już bardziej szczegółowy. Posiada nie tylko zgrubny opis ale również zgrubny przepis działania, np. maszyna ta spręża powietrze technologiczne do wysokich ciśnień rzędu xxmpa. Z kolei modele symboliczne ilościowe, dogodnie jest podzielić na dalsze dwie klasy. Wpierw mamy modele strukturalne, które reprezentują budowę obiektu, np. układ belek, ciał sztywnych, układ elementów skończonych (FEM), lub brzegowych (BEM), itd.

2 Następne w kolejności to modele funkcjonalne, przedstawiające w postaci graficznej i / lub matematycznej ( np. równania), co od czego zależy. Model taki przestawia na ogół wynik działania systemu/ obiektu jako zmienna zależną, np. Y w postaci funkcjonalnej zależności od zmiennych zależnych (sterowalnych), np. X i i jednego bądź układu parametrów strukturalnych, (niesterowalnych), np. V j, czyli możemy napisać (może to być również w notacji macierzowej); Y = f ( X i, V j ). (7.1) Zaprezentowany podział modeli jest już na krawędzi złożoności, dlatego pomocna będzie wersja graficzna tego podziału podana na rys. 7.1.

3 Rys Klasyfikacja modeli fragmentów świata materialnego.

4 Wybór układu zmiennych zależnych i niezależnych dla nowo powstałych modeli jest niezwykle istotny i powinien powstać jak efekt procedury definiowania, czy to pojęciowego czy też operacyjnego funkcjonalnego (patrz np. [Ackoff69]). Dla większości modeli nauk technicznych jest to na ogół definiowanie funkcjonalne. W wielu przypadkach są to zmienne obserwowalne, które jeśli zmieniają się w czasie mamy prawo nazwać zmiennymi stanu danego problemu. W wielu jednak przypadkach nie możemy zdefiniować obserwowalnej zmiennej i musimy zadowolić się wielkościami współzmienniczymi, tzw. symptomami, np. symptomem procesu zapalnego w organizmie jest temperatura, a symptomem stanu technicznego łożyska tocznego jego poziom drgań [Cempel82]. Jeszcze bardziej zagmatwana sytuacja jest w empirycznych naukach społecznych, np. w psychologii, gdzie zarówno efekt (zmienna zależna), jak i przyczyna (zmienna niezależna) definiowane są na poziomie symptomów zwanych wskaźnikami. Mamy tam np. neurotyzm jako zmienną nieobserwowalną, a wskaźnikiem jest tu suma punktów uzyskana wg specjalnego kwestionariusza (więcej patrz np. [Brzeziński84]). 7.2 Konstruowanie modeli - modelowanie Przystępując do konstruowania modelu obiektu / procesu, musimy wpierw rozstrzygnąć problem granicy naszego fragmentu rzeczywistości. Zilustrujemy problem na przykładzie modelu obiektu technicznego pracującego w swym otoczeniu, co rodzi pytanie; co modelować, czy otoczenie uwzględnić też? Tak, ten fragment otoczenia wpływający na zachowanie się naszego obiektu też musi być ujęty w modelu. Zgodnie z propozycja Natke [Natke00,s9], obiekt razem ze współ oddziaływującym fragmentem rzeczywistości nazwiemy systemem, co nie przeczy naszej poprzedniej definicji systemu. Tak więc przedmiotem naszych zabiegów modelujących będzie tak określony system lub też proces w nim zachodzący. Jest przy tym oczywiste że nasz model będzie zależny od ilości i szczegółowości wiedzy jaką zdobyliśmy o systemie. Zacznijmy zatem modelowanie systemu od minimalnej wiedzy o systemie jaką udało nam się uzyskać. Potrafimy zatem obserwować tylko jedną wielkość (jedna obserwabla), do tego widzimy zmiany w czasie t. Zatem system jest dynamiczny, ale nie wiemy czy to co obserwujemy to zmienna zależna w sensie równania (7.1), czyli - y, czy też zmienna niezależna x. Możemy jedynie powiedzieć, że obserwujemy pewien symptom działania systemu, nazwijmy go s(t). W rzeczywistości empirycznej nie mamy jednak pełnej informacji o symptomie bowiem obserwujemy go w dyskretnych momentach co t. Jeśli więc mamy k odczytów to możemy napisać t = k t, k = 1, 2,...,. Możemy również przyjąć dla jasności, że odstęp między obserwacjami jest jednostkowy; czyli t = 1, np. jeden dzień, miesiąc, itp., tak że nasz symptom będzie dyskretnym ciągiem odczytów (obserwacji); s(k). Czy to już jest model, czy w myśl definicji modelu możemy uzyskać z tego dodatkową wiedzę? Nie, ale może to być z model do przewidywania następnej obserwacji, np. giełdy, temperatury powietrza, amplitudy drgań elementu w trakcie eksploatacji systemu, itd. Świetnie, ale jak to zrobić? Otóż należy potraktować posiadane obserwacje jako kolejne realizacje pewnego innego modelowego procesu w(k), podobnego do s(k), z założonym przez nas błędem maksymalnym; b=max b(k). Możemy w ten sposób napisać; w(k) = s(k) + b(k); max b(k) = b. (7.2) Innymi słowy z zadaną dokładnością zastępujemy rzeczywisty ciąg obserwacji s(k), znanym modelem obserwacji w(k) i za jego pomocą możemy się dowiedzieć jak będzie wyglądała następna obserwacja, bowiem do modelu w(k) wystarczy podstawić czas k+1 i będziemy mieli prognozę w(k+1). Proste nieprawdaż. Mamy już model prognostyczny obserwowanego symptomu działania systemu. Istnieje wiele programów na dopasowywanie krzywych (curve fitting); modelowej do rzeczywistej. Odsyłam więc zainteresowanych do

5 opisów programów matematycznych, np. Maple, Mathematica, Statgraphics, itp., a po głębszą wiedzę do poradników matematyki Modele ze znaną strukturą Poprzednio był to model symptomowy, o najmniejszym ładunku wiedzy o obserwowanym systemie. Obserwowaliśmy jedną zmienną czarnej skrzynki nie wiedząc czy to jest zmienna niezależna, czy też zależna. Załóżmy teraz że mamy większą wiedzę o obserwowanym systemie i procesie i mamy zagadnienie wzrostu z nasyceniem obserwowanym w wielu dziedzinach życia. Po początkowym okresie wzrostu wiele cech różnych systemów wchodzi w okres stopniowego nasycenia, mając asymptotę w osi równoległej do czasu (oś x). Tak się dzieje np. z popytem na większość towarów i usług, a także z liczbą populacji danego gatunku w obliczu ograniczoności zasobów (np. na wyspie). Warto więc zbadać to zagadnienie nieco głębiej. Równanie różniczkowe, które może opisywać taki samo hamowany popyt w czasie życia Θ ma postać dq ---- dθ = g q --- L (1 - q --- ), L q > 0. (7.3) Widać tu, że popyt jest proporcjonalny do początkowego 'q/l' ale jednocześnie nieliniowo do pozostałego (resztkowego) popytu: '(1-q)/L'. Rozwiązanie, możliwe do uzyskanie przez rozdzielenie zmiennych (q, Θ), ma postać krzywej logistycznej q( Θ) = L [ 1 + ( gdzie q o = q(0), L = q max. L ---- q o - 1 ) exp (-gθ) ] -1 (7.4) Powyższą krzywą logistyczną można również przekształcić, przez logarytmowanie i zamianę zmiennych, do postaci liniowego wzrostu jak niżej, q (Θ) q o ln L q(θ) = ln g Θ, czyli ogólnie do postaci: X = A +g Θ, L - q o lub liniowej regresji - co może być istotne w prognozowaniu. Graficzne zobrazowanie postaci krzywej logistycznej przedstawia rysunek 7.1, gdzie również zaznaczono jej wartości charakterystyczne czyli; amplitudowe nasycenie i czasowe załamanie popytu dla Θ kr.

6 Rysunek 7.1: Logistyczna krzywa popytu jako rozwiązanie modelu systemu z hamowaniem [Hall68,r6.10]. Jak widać z rysunku poziom asymptotycznego nasycenia produktem (usługą) wynosi L, a czas przełomu wzrostu popytu 1 L Θ kr = ln( - 1). g q o Zatem, znając popyt początkowy q o i szacując maksymalny L oraz prędkość wzrostu popytu g, można wyznaczyć niezbędne parametry do optymalizacji strategii produkcji; sprzedaży, usług, podobnie jak wydolność środowiska do utrzymania gatunku, np. ludzkiego. Jak już wspominaliśmy w latach 70 tych pojawiła się możliwość użycia komputerów do badań zachowania się systemów złożonych. Wpierw w dużych ośrodkach badawczych typu MIT w USA, a potem w przemyśle. Pojawiły się pierwsze modele problemów świata, tak jak je postrzegano na ówczesnym poziomie wiedzy; demografia, wyżywienie ludzkości, zanieczyszczenie środowiska. Pionierem w tych badaniach był Jay FORRESTER z MIT, autor słynnej książki World Dynamics [Forrester72], również członek Klubu Rzymskiego. W chwili obecnej modele te są znacznie bardziej rozbudowane i wieloprzekrojowe. Dla zapoznania się z takim modelowaniem popatrzmy na uproszczony model ujmujący populację świata -x, konsumpcję z, i zanieczyszczenie środowiska y. Trzy najprostsze równania różniczkowe ujmujące ten model, w ślad za skryptem [Jischa77], przedstawiono niżej; xz x& = b dxy, z& = cyz(1 kyz), y& = exz a, jeśli y > 1, oraz y& = exz ay poza y przedziałem, (7.5) ze współczynnikami wzrostu: a odnowy środowiska, b- urodzeń, c konsumpcji, d śmiertelności, e zanieczyszczenie środowiska, k ograniczenie konsumpcji. Rysunek 7.2 pokazuje tu efekty symulacji wykonane za pomocą programu; miniwelt.m w systemie MATLAB, ze współczynnikami pokazanymi na rysunku. Jak widać, pogorszenie opieki zdrowotnej (czynnik d, np. nieudana reforma służby zdrowia, daje od razu spadek populacji -x, podobnie jak pogorszenie ochrony środowiska -a.

7 Rys. 7.2 Populacja, zanieczyszczenie środowiska i konsumpcja świata ujęte w jednym modelu, i wstępne efekty symulacji1. Rosnące rozpowszechnienie komputerów osobistych i użytkowanie ich do symulacji naukowych i gospodarczych sprawiły, że pojawiło się wiele firm oferujących gotowe programy symulacyjne wielu złożonych problemów projektowania, eksploatacji, a na koniec i programy edukacyjne (zachęcam). Wystarczy tu wymienić niektóre: Stella, Ithink, Vensim, Microworlds [HPS], możliwe do uchwycenia w Internecie z darmowymi (free of charge) 1 Efekt symulacji programem miniwelt.m dostępnym u autora.

8 programami typu Demo, które potrafią uczyć i rozwiązać podstawowe problemy, ze słynną grą piwną na czele. Gra piwna to problem logistyki w układzie: sprzedawca hurtownik browar, gdzie jasno widać iż opóźnienia w dostawach i brak informacji prowadzi nieuchronnie do znacznych zakłóceń w całym systemie, niezależnie od dobrej woli uczestników. Rozwiązaniem jest tu jedynie znane już podejście systemowe; myśl globalnie działaj lokalnie. Zaprezentowany model ujmował jak widać trzy zmienne stanu we wzajemnych nieseparowalnych sprzężeniach zwrotnych. Jest on dość prosty, a jednocześnie przekonywujący. Natomiast w wielu przypadkach systemów złożonych, zwłaszcza społecznych, dużo wysiłku trzeba włożyć w definiowanie; co od czego zależy i jakie zmienne opisujące uwzględnić w modelu. Dla zilustrowania tego problemu weźmiemy dwa modele, które pokazują wzajemne wpływy podsystemów. Pierwszy ujmuje system makroekonomiczny państwa [Gutenbaum00] i pokazuje wzajemny wpływ najważniejszych podsystemów; produkcji, budżetu, gospodarstwa domowe, wymiana zagraniczna, tak jak na rysunku 7.3. Natomiast kreująca rola systemu bankowego dla gospodarki jest tu prawie pominięta. Ten rodzaj modelu nazwaliśmy już modelem funkcjonalnym, gdyż pokazuje, co od czego zależy i jak widać ujmuje tylko wpływy pierwszego rzędu, najważniejsze ze względu na cel modelowania. Rys. 7.3 Ogólny schemat funkcjonalny modelu makroekonomicznego państwa, [Gutenbaum00]. To, co od czego zależy, nie zawsze jest tak oczywiste, jak to wynika z kolejnego rysunku 7.4, ujmującego schemat funkcjonalny Wydziału uczelni wyższej. Jak widać jest to system wielowejściowy i wielowyjściowy, nie do końca zdefiniowany, choćby z dwu powodów. Po pierwsze nie wszystkie związki są zdefiniowane, po drugie i najważniejsze nie są jeszcze zdefiniowane zmienne stanu systemu. Porównując tę sytuację z poprzednim modelem można powiedzieć iż tam były zdefiniowane strumienie pieniądza, jako ekwiwalentnej energii. Tutaj

9 natomiast (rys. 7.4) definiowanie strumieni energii równoważnej jest jeszcze przed nami i wymaga jeszcze dodatkowych rozważań. Rys. 7.4 Schemat funkcjonalny Wydziału w szkole wyższej. Koncepcja energii równoważnej (np. pieniądz) ma dużą siłę wyjaśniającą, zwłaszcza jeśli rozważyć ją wspólnie z koncepcją procesora takiej energii. Procesor taki (patrz rysunek 7.5) posiada jedno wejście i dwa wyjścia. Pierwsze z nich daje na zewnątrz przekształconą energię wyższego rzędu, będącą celem działania systemu, np. produkcję, wykształcenie i inne dobra (równoważny strumień pieniędzy), będące celem działania różnych typów systemów. Drugie wyjście to energia skonsumowana podczas działania systemu, w silniku jest to wydalone ciepło, a w modelu ekonomicznym to strumień skonsumowanego pieniądza. Każdorazowo można tę energię uznać jak zdyssypowana z punktu widzenia celu działania systemu. Mała część energii dyssypowana jest również wewnętrznie w procesorze. Jest to degradacja systemu, prowadząca w efekcie do utraty jego efektywności i śmierci. Więcej o tym modelu i jego zastosowaniach można znaleźć w szeregu pracach autora, np. [CempelPAN97].

10 Rys. 7.5 Uogólniony model procesora energii równoważnej ze wzrostem, produkcją i starzeniem [CempelPAN97]. Jak widać z tego krótkiego przeglądu zagadnień modelowania, proste modele potrafimy zrobić bez większych trudności. Natomiast systemy złożone; społeczne, ekosystemy, czekają jeszcze na swego odkrywcę w sensie najbardziej efektywnej metody. Więcej o modelowaniu można znaleźć w specjalistycznych monografiach, np. Gutenbauma [Gutenbaum92] i Morrison a [Morrison96]. Zwłaszcza w tej drugiej monografii wprowadzono pojęcie matematyki konstruktywnej, tj. takiej która umożliwia policzenie czegoś, warto to poczytać. 7.3 Identyfikacja struktury i parametrów modeli Jak powiedział Feynman, wiele praw fizyki i innych nauk jest ekstrapolowanych i odgadniętych, a więc na podstawie danych eksperymentalnych zakładamy istnienie zmiennych stanu i ich ewentualne powiązanie. Jako przykład weźmy znany już środowiskowy model demograficzny (7.5); ze zmiennymi x, y, z. Patrząc na pierwsze równanie, mamy dwa współczynniki sprzężeń; b i d. Dla każdego z nich mamy problem jego niezerowej wartości, czyli sprzężenie miedzy zmiennymi jest albo nie ma go. Jest pytanie o strukturę modelu, oraz jakie jest to sprzężenie; zatem to jest pytanie o wagę wzajemnych sprzężeń, czyli wartość parametrów modelu. Istnieje wiele badań na ten temat w inżynierii mechanicznej, elektrycznej i budowlanej, proponującej specyficzne metody i programy, również inteligentne, zarządzające procesem identyfikacji. Dobry przegląd

11 zagadnień w odniesieniu do automatycznej regulacji daje książka Mańczaka i Nahorskiego [ Mańczak83], oraz znacznie szersza Ljung a [Ljung87] sięgająca skutecznie do zagadnień układów dynamicznych inżynierii elektrycznej i mechanicznej. Jak również monografia Natke [Natke 97] ujmująca problemy inżynierii budowlanej, mechanicznej i diagnostyki takich systemów. W wielu przypadkach problemów badawczych świata uzyskanie dokładnego modelu, czasami modelu w ogóle, jest bardzo trudne, patrz np. rysunki 7.4 i 7.5 z inżynierii systemów społecznych. Patrząc zaś na całe spektrum problemów badawczych świata można je zbiorczo przedstawić na pokazywanej już uprzednio płaszczyźnie ignorancji, tak jak na rysunku 7.6. Widać stąd jasno, że precyzyjne modele matematyczne, (przyczynowo skutkowe) możemy uzyskać jedynie dla systemów prostych. Dla bardziej złożonych systemów musimy się zadowolić bazą danych, w której możemy uprawiać różne typy wnioskowania statystycznego i poszukiwania wiedzy za pomocą nowych technologii informatycznych. Idąc dalej w kierunku złożoności systemów opuszczamy nawet dokładne dane obserwacyjne. Mamy bowiem dane rozmyte, gdzie musimy uprawiać logikę i wnioskowane rozmyte, więcej o tych zagadnieniach będzie w rozdziale 10 tym. Rys. 7.6 Typy modeli i rozwiązań problemów świata rzeczywistego. Ale to jeszcze nie koniec spraw identyfikacji modeli, wg. znawców przedmiotu bowiem (np. [Natke00]), model musi być zdolny do użytkowania (usable), tzn. dawać wyniki z akceptowalnym poziomem błędów. Aby właśnie taki był, musi być zweryfikowany na niezależnym zbiorze danych, a dalej musi być poddany próbie walidacji (validation), tzn.

12 zbadaniu czy istnieje homomorfizm 2 między modelem a systemem. I jeśli próba ewentualnej falsyfikacji zawiedzie, to model będzie godny użytkowania i polecenia. 7.4 Badania w Świecie Modeli Symulacja Jak pamiętamy z rozdziału piątego, model jest istotnym czynnikiem poznania rzeczywistości. Na początku diady; teoria (model)!eksperyment, a od lat 70 tych zamkniętej triady;! teoria (model)!eksperyment!symulacja (model)!. Triada poznania rzeczywistości [Kleiber99] może wyglądać teraz tak jak na rysunku 7.7, gdzie wyartykułowano również zasadnicze funkcje spełniane przez różne oprogramowania symulacyjne. Rys. 7.7 Trzy filary poznawcze współczesnej nauki, [Kleiber99]. Patrząc syntetycznie na całość możliwości symulacji można to podsumować jednym zdaniem; symulacja to kontrakcja lub ekspansja czasoprzestrzeni modelu celem lepszego poznania rzeczywistości. Ten proces poznania na ogół zachodzi w sposób iteracyjny, czy to w pętli symulacja! teoria, czy symulacja! eksperyment, czy też w całej triadzie poznania tak jak na rysunku 7.7. W poznawaniu systemów złożonych (złożoność szczegółów i złożoność dynamiczna), symulacja przez swa zdolność manipulacji czasoprzestrzenią jest jedynym narzędziem pozwalającym ująć i zrozumieć przyczynowo skutkowe powiązania odległe w czasie i w przestrzeni i powiązane wieloma sprzężeniami zwrotnymi (złożoność dynamiczna). Symulacja systemów stała się już faktem w każdej dziedzinie nauki i technologii i nie sposób tu wymieniać programów dziedzinowo specyficznych; od logistyki do np. chemii strukturalnej. W zamian za to przytoczmy tu syntetyczne zdania panelistów angielskiego Foresight 3 o roli symulacji w nauce i gospodarce. Można to podsumować jak niżej [Drivers98]. 2 Homomorfizm = przekształcenie dwu zbiorów (tutaj systemu i modelu) dające te same rezultaty. 3 Foresight = rządowo naukowo - gospodarcze gremia w krajach zachodnich dające przesłanki do polityki naukowej i innowacyjnej.

13 1. Nowe wyrafinowane techniki modelowania i symulacji dadzą redukcję kosztów i czasu w projektowaniu nowych procesów i wyrobów. W pewnych działach rozwoju i projektowania nowych technologii o dużym stopniu zagrożenia środowiska pozwoli to ominąć pewne zbędne kroki. 2. Modele mogą przewidywać własności nowych i używanych już materiałów, co w efekcie da lepsze wykorzystanie nośności w nowym projekcie, oraz lepsze przewidywanie czasu do koniecznej naprawy w eksploatacji. 3. Coraz szersze będzie zastosowanie wirtualnej rzeczywistości (VR), w projektowaniu, użytkowaniu (treningi jazdy, pilotażu, itd.), w przemyśle, wojnie jak i w spędzaniu czasu wolnego. 4. Modele symulacyjne połączone będą coraz częściej ze swymi odpowiednikami w rzeczywistości (systemami), co pozwoli na uczenie się modelu i bieżącą adaptację do zmian w systemie (diagnostyka), a także pozwoli reagować na bieżąco, na zmienną sytuację logistyczną. 5. Modele makro i mikroekonomiczne będą posiadały wyższy szczebel hierarchizacji i integracji, co pozwoli włączyć w symulację gospodarki firmy trendy makro ekonomiczne, a także zachowanie się głównych aktorów rynku, giełdy, konkurencji, itp. Myślę, iż zarysowane korzyści modelowania i symulacji są tu jednoznaczne, zarówno bliskosiężne jak i dalekosiężne, i dlatego też w każdym myślącym o przyszłości przedsiębiorstwie, od uniwersytetu do firm consultingowych, znajduje się dział Analiz i Prognoz, operujący modelami i symulacją dla ulepszenia działania obecnego i przyszłego. 7.5 Podsumowanie Z rozdziału tego wiemy już w zarysie co to są modele, jakie są i do czego nam są potrzebne. W opisie rzeczywistości startujemy bowiem z modeli opisowych zgrubnych, a kończymy na modelu strukturalno funkcjonalnym ze znanymi parametrami, uzyskanymi z dokładnych procedur identyfikacji modeli. Modele takie są dalej podstawą do symulacji, czyli wirtualnego badania i przekształcania rzeczywistości. Zaś dzięki symulacji, a w przyszłości inżynierii wirtualnej, możemy zaoszczędzić wszystkie czynniki produkcji i zwiększyć bezpieczeństwo użytkowania systemów. 7.6 Problemy 1. Większość naukowców twierdzi iż świat jest nieliniowy, czy zatem modele liniowe są złe? 2. Przedstaw problemy modelowania w naukach ścisłych, społecznych, inżynierii, ekonomii i inżynierii społecznej. Jak daleko od symulacji do inżynierii wirtualnej?

Proces badawczy schemat i zasady realizacji

Proces badawczy schemat i zasady realizacji Proces badawczy schemat i zasady realizacji Agata Górny Zaoczne Studia Doktoranckie z Ekonomii Warszawa, 23 października 2016 Metodologia i metoda naukowa 1 Metodologia Metodologia nauka o metodach nauki

Bardziej szczegółowo

Proces badawczy schemat i zasady realizacji

Proces badawczy schemat i zasady realizacji Proces badawczy schemat i zasady realizacji Agata Górny Zaoczne Studia Doktoranckie z Ekonomii Warszawa, 14 grudnia 2014 Metodologia i metoda badawcza Metodologia Zadania metodologii Metodologia nauka

Bardziej szczegółowo

Teoria treningu. Projektowanie. systemów treningowych. jako ciąg zadań optymalizacyjnych. Jan Kosendiak. Istota projektowania. systemów treningowych

Teoria treningu. Projektowanie. systemów treningowych. jako ciąg zadań optymalizacyjnych. Jan Kosendiak. Istota projektowania. systemów treningowych Teoria treningu 77 Projektowanie procesu treningowego jest jednym z podstawowych zadań trenera, a umiejętność ta należy do podstawowych wyznaczników jego wykształcenia. Projektowanie systemów treningowych

Bardziej szczegółowo

Definicje. Najprostszy schemat blokowy. Schemat dokładniejszy

Definicje. Najprostszy schemat blokowy. Schemat dokładniejszy Definicje owanie i symulacja owanie zastosowanie określonej metodologii do stworzenia i weryfikacji modelu dla danego rzeczywistego Symulacja zastosowanie symulatora, w którym zaimplementowano model, do

Bardziej szczegółowo

PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA. CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe

PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA. CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe 1. Cele i przydatność ujęcia modelowego w ekonomii 2.

Bardziej szczegółowo

Badania eksploracyjne Badania opisowe Badania wyjaśniające (przyczynowe)

Badania eksploracyjne Badania opisowe Badania wyjaśniające (przyczynowe) Proces badawczy schemat i zasady realizacji Agata Górny Demografia Wydział Nauk Ekonomicznych UW Warszawa, 4 listopada 2008 Najważniejsze rodzaje badań Typy badań Podział wg celu badawczego Badania eksploracyjne

Bardziej szczegółowo

Po co w ogóle prognozujemy?

Po co w ogóle prognozujemy? Po co w ogóle prognozujemy? Pojęcie prognozy: racjonalne, naukowe przewidywanie przyszłych zdarzeń stwierdzenie odnoszącym się do określonej przyszłości formułowanym z wykorzystaniem metod naukowym, weryfikowalnym

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka - adres mailowy: scichocki@o2.pl - strona internetowa: www.wne.uw.edu.pl/scichocki - dyżur: po zajęciach lub po umówieniu mailowo - 80% oceny: egzaminy - 20% oceny:

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka Wibroakustyczna Maszyn

Diagnostyka Wibroakustyczna Maszyn Diagnostyka Wibroakustyczna Maszyn od sztuki pomiaru wspartej intuicją do nauki i technologii wspartej agentami diagnostycznymi Czesław CEMPEL 1.Diagnostyka cele, metody, narzędzia 2. Początki diagnostyki

Bardziej szczegółowo

Metrologia: organizacja eksperymentu pomiarowego

Metrologia: organizacja eksperymentu pomiarowego Metrologia: organizacja eksperymentu pomiarowego (na podstawie: Żółtowski B. Podstawy diagnostyki maszyn, 1996) dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Teoria eksperymentu: Teoria eksperymentu

Bardziej szczegółowo

Spis treści Przedmowa

Spis treści Przedmowa Spis treści Przedmowa 1. Wprowadzenie do problematyki konstruowania - Marek Dietrich (p. 1.1, 1.2), Włodzimierz Ozimowski (p. 1.3 -i-1.7), Jacek Stupnicki (p. l.8) 1.1. Proces konstruowania 1.2. Kryteria

Bardziej szczegółowo

Etapy modelowania ekonometrycznego

Etapy modelowania ekonometrycznego Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,

Bardziej szczegółowo

Komputerowe Systemy Przemysłowe: Modelowanie - UML. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl

Komputerowe Systemy Przemysłowe: Modelowanie - UML. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Komputerowe Systemy Przemysłowe: Modelowanie - UML Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Plan prezentacji Wprowadzenie UML Diagram przypadków użycia Diagram klas Podsumowanie Wprowadzenie Języki

Bardziej szczegółowo

Podstawy diagnostyki środków transportu

Podstawy diagnostyki środków transportu Podstawy diagnostyki środków transportu Diagnostyka techniczna Termin "diagnostyka" pochodzi z języka greckiego, gdzie diagnosis rozróżnianie, osądzanie. Ukształtowana już w obrębie nauk eksploatacyjnych

Bardziej szczegółowo

Algorytm. Krótka historia algorytmów

Algorytm. Krótka historia algorytmów Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Prowadzący. Doc. dr inż. Jakub Szymon SZPON. Projekt jest współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.

Prowadzący. Doc. dr inż. Jakub Szymon SZPON. Projekt jest współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. EDUKACJA DLA BEZPIECZEŃSTWA studia podyplomowe dla czynnych zawodowo nauczycieli szkół gimnazjalnych i ponadgimnazjalnych Projekt jest współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

1. Tabela odniesień efektów kierunkowych do efektów obszarowych z komentarzami

1. Tabela odniesień efektów kierunkowych do efektów obszarowych z komentarzami EFEKTY KSZTAŁCENIA (ELEKTROTECHNIKA II ST) 1. Tabela odniesień efektów kierunkowych do efektów obszarowych z komentarzami Kierunkowy efekt kształcenia - symbol K_W01 K_W02 K_W03 K_W04 K_W05 K_W06 K_W07

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA Kierunek studiów: INFORMATYKA Stopień studiów: STUDIA II STOPNIA Obszar Wiedzy/Kształcenia: OBSZAR NAUK TECHNICZNYCH Obszar nauki: DZIEDZINA NAUK TECHNICZNYCH Dyscyplina

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

RODZAJE I TYPY INŻYNIERII SYSTEMÓW

RODZAJE I TYPY INŻYNIERII SYSTEMÓW techniczne RODZAJE I TYPY INŻYNIERII SYSTEMÓW Rodzaje systemów: polityczne, społeczne, ekonomiczne, ekologiczne, przyrodnicze, techniczne, Typy systemów: projektowania, produkcji, eksploatacji, diagnostyki,

Bardziej szczegółowo

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA AMFETAMINY Waldemar S. Krawczyk Centralne Laboratorium Kryminalistyczne Komendy Głównej Policji, Warszawa (praca obroniona na Wydziale Chemii Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

MATEMATYCZNE METODY WSPOMAGANIA PROCESÓW DECYZYJNYCH

MATEMATYCZNE METODY WSPOMAGANIA PROCESÓW DECYZYJNYCH MATEMATYCZNE METODY WSPOMAGANIA PROCESÓW DECYZYJNYCH 1. Przedmiot nie wymaga przedmiotów poprzedzających 2. Treść przedmiotu Proces i cykl decyzyjny. Rola modelowania matematycznego w procesach decyzyjnych.

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Szkolenie Regresja liniowa

Szkolenie Regresja liniowa Szkolenie Regresja liniowa program i cennik Łukasz Deryło Analizy statystyczne, szkolenia www.statystyka.c0.pl Szkolenie Regresja liniowa Co to jest regresja liniowa? Regresja liniowa jest podstawową metodą

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Odniesienie do obszarowych efektów kształcenia 1 2 3. Kierunkowe efekty kształcenia WIEDZA (W)

Odniesienie do obszarowych efektów kształcenia 1 2 3. Kierunkowe efekty kształcenia WIEDZA (W) EFEKTY KSZTAŁCENIA NA KIERUNKU "MECHATRONIKA" nazwa kierunku studiów: Mechatronika poziom kształcenia: studia pierwszego stopnia profil kształcenia: ogólnoakademicki symbol kierunkowych efektów kształcenia

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

Opis zakładanych efektów kształcenia dla kierunków studiów

Opis zakładanych efektów kształcenia dla kierunków studiów Opis zakładanych efektów kształcenia dla kierunków studiów Kierunek studiów: LOGISTYKA Obszar kształcenia: obszar nauk technicznych i społecznych Dziedzina kształcenia: nauk technicznych i ekonomicznych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie

1.7. Eksploracja danych: pogłębianie, przeszukiwanie i wyławianie Wykaz tabel Wykaz rysunków Przedmowa 1. Wprowadzenie 1.1. Wprowadzenie do eksploracji danych 1.2. Natura zbiorów danych 1.3. Rodzaje struktur: modele i wzorce 1.4. Zadania eksploracji danych 1.5. Komponenty

Bardziej szczegółowo

Diagramy ERD. Model struktury danych jest najczęściej tworzony z wykorzystaniem diagramów pojęciowych (konceptualnych). Najpopularniejszym

Diagramy ERD. Model struktury danych jest najczęściej tworzony z wykorzystaniem diagramów pojęciowych (konceptualnych). Najpopularniejszym Diagramy ERD. Model struktury danych jest najczęściej tworzony z wykorzystaniem diagramów pojęciowych (konceptualnych). Najpopularniejszym konceptualnym modelem danych jest tzw. model związków encji (ERM

Bardziej szczegółowo

Załącznik Z1 Uzupełnienie do metodologii z części 1.2 Raportu Do przygotowania analiz mikrosymulacyjnych wartości podatku VAT płaconego przez gospodarstwa domowe wykorzystano dane dotyczące wydatków konsumpcyjnych

Bardziej szczegółowo

Jeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów:

Jeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów: Logika rozmyta 2 Zbiór rozmyty może być formalnie zapisany na dwa sposoby w zależności od tego z jakim typem przestrzeni elementów mamy do czynienia: Jeśli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI

ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI STUDIA PIERWSZEGO STOPNIA PROFIL OGÓLNOAKADEMICKI Załącznik nr 2 Odniesienie efektów kierunkowych do efektów obszarowych i odwrotnie Załącznik nr 2a - Tabela odniesienia

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Zapisywanie algorytmów w języku programowania

Zapisywanie algorytmów w języku programowania Temat C5 Zapisywanie algorytmów w języku programowania Cele edukacyjne Zrozumienie, na czym polega programowanie. Poznanie sposobu zapisu algorytmu w postaci programu komputerowego. Zrozumienie, na czym

Bardziej szczegółowo

KARTAKURSU. Efekty kształcenia dla kursu Student: W01wykazuje się znajomością podstawowych koncepcji, zasad, praw i teorii obowiązujących w fizyce

KARTAKURSU. Efekty kształcenia dla kursu Student: W01wykazuje się znajomością podstawowych koncepcji, zasad, praw i teorii obowiązujących w fizyce KARTAKURSU Nazwa Modelowanie zjawisk i procesów w przyrodzie Nazwa w j. ang. Kod Modelling of natural phenomena and processes Punktacja ECTS* 1 Koordynator Dr Dorota Sitko ZESPÓŁDYDAKTYCZNY: Dr Dorota

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRONIKI MIKROSYSTEMÓW I FOTONIKI

WYDZIAŁ ELEKTRONIKI MIKROSYSTEMÓW I FOTONIKI Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ELEKTRONIKI MIKROSYSTEMÓW I FOTONIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Matematyka (Zao EA EiT stopień) Nazwa w języku angielskim: Mathematics Kierunek studiów (jeśli dotyczy):

Bardziej szczegółowo

Tematy prac dyplomowych w Katedrze Awioniki i Sterowania Studia II stopnia (magisterskie)

Tematy prac dyplomowych w Katedrze Awioniki i Sterowania Studia II stopnia (magisterskie) Tematy prac dyplomowych w Katedrze Awioniki i Sterowania Studia II stopnia (magisterskie) Temat: Analiza właściwości pilotażowych samolotu Specjalność: Pilotaż lub Awionika 1. Analiza stosowanych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

Model Davida Ricardo

Model Davida Ricardo Model Davida Ricardo mgr eszek incenciak 15 lutego 2005 r. 1 Założenia modelu Analiza w modelu Ricardo opiera się na następujących założeniach: istnieje doskonała konkurencja na rynku dóbr i rynku pracy;

Bardziej szczegółowo

MT 2 N _0 Rok: 1 Semestr: 1 Forma studiów:

MT 2 N _0 Rok: 1 Semestr: 1 Forma studiów: Mechatronika Studia drugiego stopnia Przedmiot: Diagnostyka maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Kod przedmiotu: MT N 0 1 1-0_0 Rok: 1 Semestr: 1 Forma studiów: Studia niestacjonarne Rodzaj zajęć i liczba

Bardziej szczegółowo

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów.

12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. matematyka /.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. I. Przypomnij sobie:. Co to jest równanie /nierówność? Rodzaje nierówności. Ogólnie: Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne

Bardziej szczegółowo

Streszczenie pracy doktorskiej Autor: mgr Wojciech Wojaczek Tytuł: Czynniki poznawcze a kryteria oceny przedsiębiorczych szans Wstęp W ciągu

Streszczenie pracy doktorskiej Autor: mgr Wojciech Wojaczek Tytuł: Czynniki poznawcze a kryteria oceny przedsiębiorczych szans Wstęp W ciągu Streszczenie pracy doktorskiej Autor: mgr Wojciech Wojaczek Tytuł: Czynniki poznawcze a kryteria oceny przedsiębiorczych szans Wstęp W ciągu ostatnich kilku dekad diametralnie zmienił się charakter prowadzonej

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Zapoznanie studentów z własnościami

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Badania Marketingowe. Zajęcia 2 Proces badao marketingowych Struktura logiczna projektu badawczego

Badania Marketingowe. Zajęcia 2 Proces badao marketingowych Struktura logiczna projektu badawczego Badania Marketingowe Zajęcia 2 Proces badao marketingowych Struktura logiczna projektu badawczego 1 Proces badao marketingowych Sporządzenie raportu i prezentacja danych Decydent Określenie problemu decyzyjnego

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności liniowych

Analiza zależności liniowych Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Egzamin / zaliczenie na ocenę*

Egzamin / zaliczenie na ocenę* Zał. nr do ZW /01 WYDZIAŁ / STUDIUM KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Identyfikacja systemów Nazwa w języku angielskim System identification Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Inżynieria Systemów

Bardziej szczegółowo

Transformacja wiedzy w budowie i eksploatacji maszyn

Transformacja wiedzy w budowie i eksploatacji maszyn Uniwersytet Technologiczno Przyrodniczy im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy Wydział Mechaniczny Transformacja wiedzy w budowie i eksploatacji maszyn Bogdan ŻÓŁTOWSKI W pracy przedstawiono proces

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

K.Pieńkosz Badania Operacyjne Wprowadzenie 1. Badania Operacyjne. dr inż. Krzysztof Pieńkosz

K.Pieńkosz Badania Operacyjne Wprowadzenie 1. Badania Operacyjne. dr inż. Krzysztof Pieńkosz K.Pieńkosz Wprowadzenie 1 dr inż. Krzysztof Pieńkosz Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej pok. 560 A tel.: 234-78-64 e-mail: K.Pienkosz@ia.pw.edu.pl K.Pieńkosz Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja konstrukcji

Optymalizacja konstrukcji Optymalizacja konstrukcji Kształtowanie konstrukcyjne: nadanie właściwych cech konstrukcyjnych przeszłej maszynie określenie z jakiego punktu widzenia (wg jakiego kryterium oceny) będą oceniane alternatywne

Bardziej szczegółowo

Efekty kształcenia dla kierunku Mechanika i budowa maszyn

Efekty kształcenia dla kierunku Mechanika i budowa maszyn Załącznik nr 17 do Uchwały Nr 673 Senatu UWM w Olsztynie z dnia 6 marca 2015 roku w sprawie zmiany Uchwały Nr 187 Senatu UWM w Olsztynie z dnia 26 marca 2013 roku zmieniającej Uchwałę Nr 916 Senatu UWM

Bardziej szczegółowo

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,

W celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0, Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Automatyka Automatics Forma studiów: studia stacjonarne Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba

Bardziej szczegółowo

Usługi środowiska w świetle bezpieczeństwa ekologicznego

Usługi środowiska w świetle bezpieczeństwa ekologicznego Artur Michałowski ZMN przy Komitecie Prognoz Polska 2000 Plus PAN Konferencja naukowa Zrównoważony rozwój w polityce spójności w latach 2014-2020. Istota, znaczenie oraz zakres monitorowania Augustów 3-4

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe.

Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe. Zagadnienia optymalizacji i aproksymacji. Sieci neuronowe. zajecia.jakubw.pl/nai Literatura: S. Osowski, Sieci neuronowe w ujęciu algorytmicznym. WNT, Warszawa 997. PODSTAWOWE ZAGADNIENIA TECHNICZNE AI

Bardziej szczegółowo

Efekty kształcenia dla kierunku studiów Zarządzanie i Inżynieria Produkcji po ukończeniu studiów pierwszego stopnia

Efekty kształcenia dla kierunku studiów Zarządzanie i Inżynieria Produkcji po ukończeniu studiów pierwszego stopnia Szczegółowe efekty kształcenia na kierunku Zarządzanie i Inżynieria Produkcji i ich odniesienie do efektów obszarowych nauk rolniczych, leśnych i weterynaryjnych, nauk technicznych oraz nauk społecznych.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Paweł Pełczyński ppelczynski@swspiz.pl

Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Paweł Pełczyński ppelczynski@swspiz.pl Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Paweł Pełczyński ppelczynski@swspiz.pl 1 Program przedmiotu Wprowadzenie definicja, cel i zastosowania mechatroniki Urządzenie mechatroniczne - przykłady

Bardziej szczegółowo

Monitoring procesów z wykorzystaniem systemu ADONIS

Monitoring procesów z wykorzystaniem systemu ADONIS Monitoring procesów z wykorzystaniem systemu ADONIS BOC Information Technologies Consulting Sp. z o.o. e-mail: boc@boc-pl.com Tel.: (+48 22) 628 00 15, 696 69 26 Fax: (+48 22) 621 66 88 BOC Management

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

5. Wiedza, Nauka, Umiejętność, Inżynieria

5. Wiedza, Nauka, Umiejętność, Inżynieria 5. Wiedza, Nauka, Umiejętność, Inżynieria Wiem, że nic nie wiem. Sokrates Wiedza (knowledge) jest pojęciem rozumianym przez prawie każdego i stąd też ma bardzo wiele znaczeń. Zajmiemy się tym bliżej jako

Bardziej szczegółowo

M10. Własności funkcji liniowej

M10. Własności funkcji liniowej M10. Własności funkcji liniowej dr Artur Gola e-mail: a.gola@ajd.czest.pl pokój 3010 Definicja Funkcję określoną wzorem y = ax + b, dla x R, gdzie a i b są stałymi nazywamy funkcją liniową. Wykresem funkcji

Bardziej szczegółowo

pilotażowe staże dla nauczycieli i instruktorów kształcenia zawodowego w przedsiębiorstwach

pilotażowe staże dla nauczycieli i instruktorów kształcenia zawodowego w przedsiębiorstwach pilotażowe staże dla nauczycieli i instruktorów kształcenia zawodowego w przedsiębiorstwach TYTUŁ PREZENTACJI Podejście systemowe w zarządzaniu logistyką Zarządzanie łańcuchem dostaw w pionowo zintegrowanych

Bardziej szczegółowo

01, 02, 03 i kolejne numer efektu kształcenia. Załącznik 1 i 2

01, 02, 03 i kolejne numer efektu kształcenia. Załącznik 1 i 2 Efekty kształcenia dla kierunku studiów Studia Przyrodnicze i Technologiczne (z językiem wykładowym angielskim) - studia I stopnia, stacjonarne, profil ogólnoakademicki - i ich odniesienia do efektów kształcenia

Bardziej szczegółowo

Waterfall model. (iteracyjny model kaskadowy) Marcin Wilk

Waterfall model. (iteracyjny model kaskadowy) Marcin Wilk Waterfall model (iteracyjny model kaskadowy) Marcin Wilk Iteracyjny model kaskadowy jeden z kilku rodzajów procesów tworzenia oprogramowania zdefiniowany w inżynierii oprogramowania. Jego nazwa wprowadzona

Bardziej szczegółowo

Rys. 1 Otwarty układ regulacji

Rys. 1 Otwarty układ regulacji Automatyka zajmuje się sterowaniem, czyli celowym oddziaływaniem na obiekt, w taki sposób, aby uzyskać jego pożądane właściwości. Sterowanie często nazywa się regulacją. y zd wartość zadana u sygnał sterujący

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Wydział: INŻYNIERIA ŚRODOWISKA Kierunek: INŻYNIERIA ŚRODOWISKA (IS) Stopień studiów: I Efekty na I stopniu dla kierunku IS K1IS_W01 K1IS_W02 K1IS_W03 OPIS KIERUNKOWYCH EFEKTÓW

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KSZTAŁCENIA NA STUDIACH III STOPNIA Informatyka (nazwa kierunku)

PROGRAM KSZTAŁCENIA NA STUDIACH III STOPNIA Informatyka (nazwa kierunku) PROGRAM KSZTAŁCENIA NA STUDIACH III STOPNIA Informatyka (nazwa kierunku) 1. OPIS ZAKŁADANYCH EFEKTÓW KSZTAŁCENIA: 1) Tabela odniesień kierunkowych efektów kształcenia (EKK) do obszarowych efektów kształcenia

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie.

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie. SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Wstęp Konstrukcja modelu matematycznego... 1

Spis treści. Wstęp Konstrukcja modelu matematycznego... 1 Spis treści Wstęp........................................................ XI 1. Konstrukcja modelu matematycznego............................. 1 2. Relacje. Teoria preferencji konsumenta...........................

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu...pedagogika... (Nazwa kierunku studiów)

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu...pedagogika... (Nazwa kierunku studiów) Karta (sylabus) modułu/przedmiotu...pedagogika... (Nazwa kierunku studiów) Studia pierwszego stopnia/profil ogólnoakademicki Przedmiot: Wprowadzenie do metodologii badań Kod przedmiotu: Przedmiot w języku

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia

Bardziej szczegółowo

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA

KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA Wydział: INŻYNIERIA ŚRODOWISKA Kierunek: OCHRONA ŚRODOWISKA (OS) Stopień studiów: I Efekty kształcenia na I stopniu dla kierunku OS K1OS_W01 K1OS_W02 K1OS_W03 OPIS KIERUNKOWYCH

Bardziej szczegółowo

EFEKTY KSZTAŁCENIA DLA KIERUNKU STUDIÓW TRANSPORT STUDIA PIERWSZEGO STOPNIA PROFIL OGÓLNOAKADEMICKI

EFEKTY KSZTAŁCENIA DLA KIERUNKU STUDIÓW TRANSPORT STUDIA PIERWSZEGO STOPNIA PROFIL OGÓLNOAKADEMICKI EFEKTY KSZTAŁCENIA DLA KIERUNKU STUDIÓW TRANSPORT STUDIA PIERWSZEGO STOPNIA PROFIL OGÓLNOAKADEMICKI Umiejscowienie kierunku w obszarze kształcenia Kierunek studiów Transport należy do obszaru kształcenia

Bardziej szczegółowo

Uchwała Nr 000-2/6/2013 Senatu Uniwersytetu Technologiczno-Humanistycznego im. Kazimierza Pułaskiego w Radomiu z dnia 21 marca 2013 r.

Uchwała Nr 000-2/6/2013 Senatu Uniwersytetu Technologiczno-Humanistycznego im. Kazimierza Pułaskiego w Radomiu z dnia 21 marca 2013 r. Uchwała Nr 000-2/6/2013 Senatu Uniwersytetu Technologiczno-Humanistycznego im. Kazimierza Pułaskiego w Radomiu z dnia 21 marca 2013 r. w sprawie: 1) określenia przez Senat efektów kształcenia dla programu

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo