7. Modelowanie Symulacja
|
|
- Patrycja Kania
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 7. Modelowanie Symulacja Kontrakcja i ekspansja czasoprzestrzeni zjawisk - na życzenie, to czyni symulację tak pożądaną! W rozdziale drugim stwierdziliśmy iż w istocie są trzy kluczowe problemy rozwiązywane przez naukę. Przypomnijmy, pierwszy to problem identyfikacji rzeczywistości ze wszystkimi pytaniami; co jest, co jest jakie, itd., jak w punkcie 5.2. Drugi to problem optymalizacyjno decyzyjny; wyboru najlepszego rozwiązania, najlepszej struktury, decyzji, itp.. Trzeci problem nauki, na pograniczu inżynierii, to problem rozwoju i innowacji, czyli wynajdywanie nowych lepszych rozwiązań, wyrobów, sposobów postępowania, zarówno na poziomie hardwaru jak i softwaru. Pierwszy problem identyfikacji rzeczywistości jest w istocie szukaniem najlepszego modelu strukturalnego i funkcjonalnego danego fragmentu rzeczywistości. Pozostałe dwa problemy wymagają również jakiejkolwiek formy modelu. Bez modelu, zarówno pełna identyfikacja, jak optymalizacja i innowacja nie przebiegają optymalnie, bo wtedy jedyna metoda to kolejne próby i błędy (trial and error method), stosowana od zarania cywilizacji. Tak więc problem nr 1 w nauce to znalezienie lub posiadanie modelu zjawiska, obiektu będącego przedmiotem naszego zainteresowania. Weźmy więc w pierwszej kolejności pod uwagę możliwe modele i modelowanie. 7.1 Modele zjawisk i obiektów definicje ogólne Wielu naukowców żywi przekonanie, że jakiekolwiek myślenie o rzeczywistości i problemach jakie należy rozwiązać związane jest z operowaniem modelami. Być może przychylimy się do tego punktu widzenia jeśli poznamy ogólną definicję modelu. Model to uproszczone przedstawienie wybranego fragmentu rzeczywistości celem lepszego jej zrozumienia, [Billinger98]. Jeśli przyjąć tezę iż nasze możliwości poznania czegokolwiek są skończone, a także fakt iż modelowanie jest zawsze intencjonalne, mające preferencje wyróżnienia jednych cech a pominięcie drugich, to rzeczywiście, myślimy prawdopodobnie w kategoriach modeli. Popatrzmy zatem szeroko, jakie modele mogą istnieć w ogóle. Po pierwsze możemy wyróżnić podział pierwotny na modele materialne i symboliczne. Model materialny będzie to reprezentacja uwzględniająca inną skalę (np. kolej do zabawy, kokpit samolotu do treningu, itp.), bądź też materialna reprezentacja sposobu działania (np. model skalowy tamy, model analogowy elektryczny zjawiska hydraulicznego, itd.). Jak widać skala modelu materialnego może powiększać (np. model atomu helu) lub zmniejszać (tama z naporem cieczy), a przy rzeczywistych badaniach naukowych z użyciem takich modeli muszą być spełnione zasady i prawa analizy wymiarowej, łącznie ze znanym prawem Π - pi (bliżej patrz np. [Mueller97]). Modele symboliczne, jak sama nazwa wskazuje, używają reprezentacji symbolicznej do przedstawienia struktury i/lub własności obiektu / procesu. Może to być postać słowna, graficzna lub matematyczna. Generalnie modele symboliczne mogą być jakościowe i ilościowe; deterministyczne, probabilistyczne, rozmyte lingwistyczne, itd. Modele jakościowe z kolei mogą mieć charakter zgrubny czysto opisowy, np.; to jest maszyna tłokowa, co opisuje już klasę obiektów, a przy pierwszym definiowaniu obiektu może to wystarczyć. Drugi typ modelu jakościowego wyjaśniający, jest już bardziej szczegółowy. Posiada nie tylko zgrubny opis ale również zgrubny przepis działania, np. maszyna ta spręża powietrze technologiczne do wysokich ciśnień rzędu xxmpa. Z kolei modele symboliczne ilościowe, dogodnie jest podzielić na dalsze dwie klasy. Wpierw mamy modele strukturalne, które reprezentują budowę obiektu, np. układ belek, ciał sztywnych, układ elementów skończonych (FEM), lub brzegowych (BEM), itd.
2 Następne w kolejności to modele funkcjonalne, przedstawiające w postaci graficznej i / lub matematycznej ( np. równania), co od czego zależy. Model taki przestawia na ogół wynik działania systemu/ obiektu jako zmienna zależną, np. Y w postaci funkcjonalnej zależności od zmiennych zależnych (sterowalnych), np. X i i jednego bądź układu parametrów strukturalnych, (niesterowalnych), np. V j, czyli możemy napisać (może to być również w notacji macierzowej); Y = f ( X i, V j ). (7.1) Zaprezentowany podział modeli jest już na krawędzi złożoności, dlatego pomocna będzie wersja graficzna tego podziału podana na rys. 7.1.
3 Rys Klasyfikacja modeli fragmentów świata materialnego.
4 Wybór układu zmiennych zależnych i niezależnych dla nowo powstałych modeli jest niezwykle istotny i powinien powstać jak efekt procedury definiowania, czy to pojęciowego czy też operacyjnego funkcjonalnego (patrz np. [Ackoff69]). Dla większości modeli nauk technicznych jest to na ogół definiowanie funkcjonalne. W wielu przypadkach są to zmienne obserwowalne, które jeśli zmieniają się w czasie mamy prawo nazwać zmiennymi stanu danego problemu. W wielu jednak przypadkach nie możemy zdefiniować obserwowalnej zmiennej i musimy zadowolić się wielkościami współzmienniczymi, tzw. symptomami, np. symptomem procesu zapalnego w organizmie jest temperatura, a symptomem stanu technicznego łożyska tocznego jego poziom drgań [Cempel82]. Jeszcze bardziej zagmatwana sytuacja jest w empirycznych naukach społecznych, np. w psychologii, gdzie zarówno efekt (zmienna zależna), jak i przyczyna (zmienna niezależna) definiowane są na poziomie symptomów zwanych wskaźnikami. Mamy tam np. neurotyzm jako zmienną nieobserwowalną, a wskaźnikiem jest tu suma punktów uzyskana wg specjalnego kwestionariusza (więcej patrz np. [Brzeziński84]). 7.2 Konstruowanie modeli - modelowanie Przystępując do konstruowania modelu obiektu / procesu, musimy wpierw rozstrzygnąć problem granicy naszego fragmentu rzeczywistości. Zilustrujemy problem na przykładzie modelu obiektu technicznego pracującego w swym otoczeniu, co rodzi pytanie; co modelować, czy otoczenie uwzględnić też? Tak, ten fragment otoczenia wpływający na zachowanie się naszego obiektu też musi być ujęty w modelu. Zgodnie z propozycja Natke [Natke00,s9], obiekt razem ze współ oddziaływującym fragmentem rzeczywistości nazwiemy systemem, co nie przeczy naszej poprzedniej definicji systemu. Tak więc przedmiotem naszych zabiegów modelujących będzie tak określony system lub też proces w nim zachodzący. Jest przy tym oczywiste że nasz model będzie zależny od ilości i szczegółowości wiedzy jaką zdobyliśmy o systemie. Zacznijmy zatem modelowanie systemu od minimalnej wiedzy o systemie jaką udało nam się uzyskać. Potrafimy zatem obserwować tylko jedną wielkość (jedna obserwabla), do tego widzimy zmiany w czasie t. Zatem system jest dynamiczny, ale nie wiemy czy to co obserwujemy to zmienna zależna w sensie równania (7.1), czyli - y, czy też zmienna niezależna x. Możemy jedynie powiedzieć, że obserwujemy pewien symptom działania systemu, nazwijmy go s(t). W rzeczywistości empirycznej nie mamy jednak pełnej informacji o symptomie bowiem obserwujemy go w dyskretnych momentach co t. Jeśli więc mamy k odczytów to możemy napisać t = k t, k = 1, 2,...,. Możemy również przyjąć dla jasności, że odstęp między obserwacjami jest jednostkowy; czyli t = 1, np. jeden dzień, miesiąc, itp., tak że nasz symptom będzie dyskretnym ciągiem odczytów (obserwacji); s(k). Czy to już jest model, czy w myśl definicji modelu możemy uzyskać z tego dodatkową wiedzę? Nie, ale może to być z model do przewidywania następnej obserwacji, np. giełdy, temperatury powietrza, amplitudy drgań elementu w trakcie eksploatacji systemu, itd. Świetnie, ale jak to zrobić? Otóż należy potraktować posiadane obserwacje jako kolejne realizacje pewnego innego modelowego procesu w(k), podobnego do s(k), z założonym przez nas błędem maksymalnym; b=max b(k). Możemy w ten sposób napisać; w(k) = s(k) + b(k); max b(k) = b. (7.2) Innymi słowy z zadaną dokładnością zastępujemy rzeczywisty ciąg obserwacji s(k), znanym modelem obserwacji w(k) i za jego pomocą możemy się dowiedzieć jak będzie wyglądała następna obserwacja, bowiem do modelu w(k) wystarczy podstawić czas k+1 i będziemy mieli prognozę w(k+1). Proste nieprawdaż. Mamy już model prognostyczny obserwowanego symptomu działania systemu. Istnieje wiele programów na dopasowywanie krzywych (curve fitting); modelowej do rzeczywistej. Odsyłam więc zainteresowanych do
5 opisów programów matematycznych, np. Maple, Mathematica, Statgraphics, itp., a po głębszą wiedzę do poradników matematyki Modele ze znaną strukturą Poprzednio był to model symptomowy, o najmniejszym ładunku wiedzy o obserwowanym systemie. Obserwowaliśmy jedną zmienną czarnej skrzynki nie wiedząc czy to jest zmienna niezależna, czy też zależna. Załóżmy teraz że mamy większą wiedzę o obserwowanym systemie i procesie i mamy zagadnienie wzrostu z nasyceniem obserwowanym w wielu dziedzinach życia. Po początkowym okresie wzrostu wiele cech różnych systemów wchodzi w okres stopniowego nasycenia, mając asymptotę w osi równoległej do czasu (oś x). Tak się dzieje np. z popytem na większość towarów i usług, a także z liczbą populacji danego gatunku w obliczu ograniczoności zasobów (np. na wyspie). Warto więc zbadać to zagadnienie nieco głębiej. Równanie różniczkowe, które może opisywać taki samo hamowany popyt w czasie życia Θ ma postać dq ---- dθ = g q --- L (1 - q --- ), L q > 0. (7.3) Widać tu, że popyt jest proporcjonalny do początkowego 'q/l' ale jednocześnie nieliniowo do pozostałego (resztkowego) popytu: '(1-q)/L'. Rozwiązanie, możliwe do uzyskanie przez rozdzielenie zmiennych (q, Θ), ma postać krzywej logistycznej q( Θ) = L [ 1 + ( gdzie q o = q(0), L = q max. L ---- q o - 1 ) exp (-gθ) ] -1 (7.4) Powyższą krzywą logistyczną można również przekształcić, przez logarytmowanie i zamianę zmiennych, do postaci liniowego wzrostu jak niżej, q (Θ) q o ln L q(θ) = ln g Θ, czyli ogólnie do postaci: X = A +g Θ, L - q o lub liniowej regresji - co może być istotne w prognozowaniu. Graficzne zobrazowanie postaci krzywej logistycznej przedstawia rysunek 7.1, gdzie również zaznaczono jej wartości charakterystyczne czyli; amplitudowe nasycenie i czasowe załamanie popytu dla Θ kr.
6 Rysunek 7.1: Logistyczna krzywa popytu jako rozwiązanie modelu systemu z hamowaniem [Hall68,r6.10]. Jak widać z rysunku poziom asymptotycznego nasycenia produktem (usługą) wynosi L, a czas przełomu wzrostu popytu 1 L Θ kr = ln( - 1). g q o Zatem, znając popyt początkowy q o i szacując maksymalny L oraz prędkość wzrostu popytu g, można wyznaczyć niezbędne parametry do optymalizacji strategii produkcji; sprzedaży, usług, podobnie jak wydolność środowiska do utrzymania gatunku, np. ludzkiego. Jak już wspominaliśmy w latach 70 tych pojawiła się możliwość użycia komputerów do badań zachowania się systemów złożonych. Wpierw w dużych ośrodkach badawczych typu MIT w USA, a potem w przemyśle. Pojawiły się pierwsze modele problemów świata, tak jak je postrzegano na ówczesnym poziomie wiedzy; demografia, wyżywienie ludzkości, zanieczyszczenie środowiska. Pionierem w tych badaniach był Jay FORRESTER z MIT, autor słynnej książki World Dynamics [Forrester72], również członek Klubu Rzymskiego. W chwili obecnej modele te są znacznie bardziej rozbudowane i wieloprzekrojowe. Dla zapoznania się z takim modelowaniem popatrzmy na uproszczony model ujmujący populację świata -x, konsumpcję z, i zanieczyszczenie środowiska y. Trzy najprostsze równania różniczkowe ujmujące ten model, w ślad za skryptem [Jischa77], przedstawiono niżej; xz x& = b dxy, z& = cyz(1 kyz), y& = exz a, jeśli y > 1, oraz y& = exz ay poza y przedziałem, (7.5) ze współczynnikami wzrostu: a odnowy środowiska, b- urodzeń, c konsumpcji, d śmiertelności, e zanieczyszczenie środowiska, k ograniczenie konsumpcji. Rysunek 7.2 pokazuje tu efekty symulacji wykonane za pomocą programu; miniwelt.m w systemie MATLAB, ze współczynnikami pokazanymi na rysunku. Jak widać, pogorszenie opieki zdrowotnej (czynnik d, np. nieudana reforma służby zdrowia, daje od razu spadek populacji -x, podobnie jak pogorszenie ochrony środowiska -a.
7 Rys. 7.2 Populacja, zanieczyszczenie środowiska i konsumpcja świata ujęte w jednym modelu, i wstępne efekty symulacji1. Rosnące rozpowszechnienie komputerów osobistych i użytkowanie ich do symulacji naukowych i gospodarczych sprawiły, że pojawiło się wiele firm oferujących gotowe programy symulacyjne wielu złożonych problemów projektowania, eksploatacji, a na koniec i programy edukacyjne (zachęcam). Wystarczy tu wymienić niektóre: Stella, Ithink, Vensim, Microworlds [HPS], możliwe do uchwycenia w Internecie z darmowymi (free of charge) 1 Efekt symulacji programem miniwelt.m dostępnym u autora.
8 programami typu Demo, które potrafią uczyć i rozwiązać podstawowe problemy, ze słynną grą piwną na czele. Gra piwna to problem logistyki w układzie: sprzedawca hurtownik browar, gdzie jasno widać iż opóźnienia w dostawach i brak informacji prowadzi nieuchronnie do znacznych zakłóceń w całym systemie, niezależnie od dobrej woli uczestników. Rozwiązaniem jest tu jedynie znane już podejście systemowe; myśl globalnie działaj lokalnie. Zaprezentowany model ujmował jak widać trzy zmienne stanu we wzajemnych nieseparowalnych sprzężeniach zwrotnych. Jest on dość prosty, a jednocześnie przekonywujący. Natomiast w wielu przypadkach systemów złożonych, zwłaszcza społecznych, dużo wysiłku trzeba włożyć w definiowanie; co od czego zależy i jakie zmienne opisujące uwzględnić w modelu. Dla zilustrowania tego problemu weźmiemy dwa modele, które pokazują wzajemne wpływy podsystemów. Pierwszy ujmuje system makroekonomiczny państwa [Gutenbaum00] i pokazuje wzajemny wpływ najważniejszych podsystemów; produkcji, budżetu, gospodarstwa domowe, wymiana zagraniczna, tak jak na rysunku 7.3. Natomiast kreująca rola systemu bankowego dla gospodarki jest tu prawie pominięta. Ten rodzaj modelu nazwaliśmy już modelem funkcjonalnym, gdyż pokazuje, co od czego zależy i jak widać ujmuje tylko wpływy pierwszego rzędu, najważniejsze ze względu na cel modelowania. Rys. 7.3 Ogólny schemat funkcjonalny modelu makroekonomicznego państwa, [Gutenbaum00]. To, co od czego zależy, nie zawsze jest tak oczywiste, jak to wynika z kolejnego rysunku 7.4, ujmującego schemat funkcjonalny Wydziału uczelni wyższej. Jak widać jest to system wielowejściowy i wielowyjściowy, nie do końca zdefiniowany, choćby z dwu powodów. Po pierwsze nie wszystkie związki są zdefiniowane, po drugie i najważniejsze nie są jeszcze zdefiniowane zmienne stanu systemu. Porównując tę sytuację z poprzednim modelem można powiedzieć iż tam były zdefiniowane strumienie pieniądza, jako ekwiwalentnej energii. Tutaj
9 natomiast (rys. 7.4) definiowanie strumieni energii równoważnej jest jeszcze przed nami i wymaga jeszcze dodatkowych rozważań. Rys. 7.4 Schemat funkcjonalny Wydziału w szkole wyższej. Koncepcja energii równoważnej (np. pieniądz) ma dużą siłę wyjaśniającą, zwłaszcza jeśli rozważyć ją wspólnie z koncepcją procesora takiej energii. Procesor taki (patrz rysunek 7.5) posiada jedno wejście i dwa wyjścia. Pierwsze z nich daje na zewnątrz przekształconą energię wyższego rzędu, będącą celem działania systemu, np. produkcję, wykształcenie i inne dobra (równoważny strumień pieniędzy), będące celem działania różnych typów systemów. Drugie wyjście to energia skonsumowana podczas działania systemu, w silniku jest to wydalone ciepło, a w modelu ekonomicznym to strumień skonsumowanego pieniądza. Każdorazowo można tę energię uznać jak zdyssypowana z punktu widzenia celu działania systemu. Mała część energii dyssypowana jest również wewnętrznie w procesorze. Jest to degradacja systemu, prowadząca w efekcie do utraty jego efektywności i śmierci. Więcej o tym modelu i jego zastosowaniach można znaleźć w szeregu pracach autora, np. [CempelPAN97].
10 Rys. 7.5 Uogólniony model procesora energii równoważnej ze wzrostem, produkcją i starzeniem [CempelPAN97]. Jak widać z tego krótkiego przeglądu zagadnień modelowania, proste modele potrafimy zrobić bez większych trudności. Natomiast systemy złożone; społeczne, ekosystemy, czekają jeszcze na swego odkrywcę w sensie najbardziej efektywnej metody. Więcej o modelowaniu można znaleźć w specjalistycznych monografiach, np. Gutenbauma [Gutenbaum92] i Morrison a [Morrison96]. Zwłaszcza w tej drugiej monografii wprowadzono pojęcie matematyki konstruktywnej, tj. takiej która umożliwia policzenie czegoś, warto to poczytać. 7.3 Identyfikacja struktury i parametrów modeli Jak powiedział Feynman, wiele praw fizyki i innych nauk jest ekstrapolowanych i odgadniętych, a więc na podstawie danych eksperymentalnych zakładamy istnienie zmiennych stanu i ich ewentualne powiązanie. Jako przykład weźmy znany już środowiskowy model demograficzny (7.5); ze zmiennymi x, y, z. Patrząc na pierwsze równanie, mamy dwa współczynniki sprzężeń; b i d. Dla każdego z nich mamy problem jego niezerowej wartości, czyli sprzężenie miedzy zmiennymi jest albo nie ma go. Jest pytanie o strukturę modelu, oraz jakie jest to sprzężenie; zatem to jest pytanie o wagę wzajemnych sprzężeń, czyli wartość parametrów modelu. Istnieje wiele badań na ten temat w inżynierii mechanicznej, elektrycznej i budowlanej, proponującej specyficzne metody i programy, również inteligentne, zarządzające procesem identyfikacji. Dobry przegląd
11 zagadnień w odniesieniu do automatycznej regulacji daje książka Mańczaka i Nahorskiego [ Mańczak83], oraz znacznie szersza Ljung a [Ljung87] sięgająca skutecznie do zagadnień układów dynamicznych inżynierii elektrycznej i mechanicznej. Jak również monografia Natke [Natke 97] ujmująca problemy inżynierii budowlanej, mechanicznej i diagnostyki takich systemów. W wielu przypadkach problemów badawczych świata uzyskanie dokładnego modelu, czasami modelu w ogóle, jest bardzo trudne, patrz np. rysunki 7.4 i 7.5 z inżynierii systemów społecznych. Patrząc zaś na całe spektrum problemów badawczych świata można je zbiorczo przedstawić na pokazywanej już uprzednio płaszczyźnie ignorancji, tak jak na rysunku 7.6. Widać stąd jasno, że precyzyjne modele matematyczne, (przyczynowo skutkowe) możemy uzyskać jedynie dla systemów prostych. Dla bardziej złożonych systemów musimy się zadowolić bazą danych, w której możemy uprawiać różne typy wnioskowania statystycznego i poszukiwania wiedzy za pomocą nowych technologii informatycznych. Idąc dalej w kierunku złożoności systemów opuszczamy nawet dokładne dane obserwacyjne. Mamy bowiem dane rozmyte, gdzie musimy uprawiać logikę i wnioskowane rozmyte, więcej o tych zagadnieniach będzie w rozdziale 10 tym. Rys. 7.6 Typy modeli i rozwiązań problemów świata rzeczywistego. Ale to jeszcze nie koniec spraw identyfikacji modeli, wg. znawców przedmiotu bowiem (np. [Natke00]), model musi być zdolny do użytkowania (usable), tzn. dawać wyniki z akceptowalnym poziomem błędów. Aby właśnie taki był, musi być zweryfikowany na niezależnym zbiorze danych, a dalej musi być poddany próbie walidacji (validation), tzn.
12 zbadaniu czy istnieje homomorfizm 2 między modelem a systemem. I jeśli próba ewentualnej falsyfikacji zawiedzie, to model będzie godny użytkowania i polecenia. 7.4 Badania w Świecie Modeli Symulacja Jak pamiętamy z rozdziału piątego, model jest istotnym czynnikiem poznania rzeczywistości. Na początku diady; teoria (model)!eksperyment, a od lat 70 tych zamkniętej triady;! teoria (model)!eksperyment!symulacja (model)!. Triada poznania rzeczywistości [Kleiber99] może wyglądać teraz tak jak na rysunku 7.7, gdzie wyartykułowano również zasadnicze funkcje spełniane przez różne oprogramowania symulacyjne. Rys. 7.7 Trzy filary poznawcze współczesnej nauki, [Kleiber99]. Patrząc syntetycznie na całość możliwości symulacji można to podsumować jednym zdaniem; symulacja to kontrakcja lub ekspansja czasoprzestrzeni modelu celem lepszego poznania rzeczywistości. Ten proces poznania na ogół zachodzi w sposób iteracyjny, czy to w pętli symulacja! teoria, czy symulacja! eksperyment, czy też w całej triadzie poznania tak jak na rysunku 7.7. W poznawaniu systemów złożonych (złożoność szczegółów i złożoność dynamiczna), symulacja przez swa zdolność manipulacji czasoprzestrzenią jest jedynym narzędziem pozwalającym ująć i zrozumieć przyczynowo skutkowe powiązania odległe w czasie i w przestrzeni i powiązane wieloma sprzężeniami zwrotnymi (złożoność dynamiczna). Symulacja systemów stała się już faktem w każdej dziedzinie nauki i technologii i nie sposób tu wymieniać programów dziedzinowo specyficznych; od logistyki do np. chemii strukturalnej. W zamian za to przytoczmy tu syntetyczne zdania panelistów angielskiego Foresight 3 o roli symulacji w nauce i gospodarce. Można to podsumować jak niżej [Drivers98]. 2 Homomorfizm = przekształcenie dwu zbiorów (tutaj systemu i modelu) dające te same rezultaty. 3 Foresight = rządowo naukowo - gospodarcze gremia w krajach zachodnich dające przesłanki do polityki naukowej i innowacyjnej.
13 1. Nowe wyrafinowane techniki modelowania i symulacji dadzą redukcję kosztów i czasu w projektowaniu nowych procesów i wyrobów. W pewnych działach rozwoju i projektowania nowych technologii o dużym stopniu zagrożenia środowiska pozwoli to ominąć pewne zbędne kroki. 2. Modele mogą przewidywać własności nowych i używanych już materiałów, co w efekcie da lepsze wykorzystanie nośności w nowym projekcie, oraz lepsze przewidywanie czasu do koniecznej naprawy w eksploatacji. 3. Coraz szersze będzie zastosowanie wirtualnej rzeczywistości (VR), w projektowaniu, użytkowaniu (treningi jazdy, pilotażu, itd.), w przemyśle, wojnie jak i w spędzaniu czasu wolnego. 4. Modele symulacyjne połączone będą coraz częściej ze swymi odpowiednikami w rzeczywistości (systemami), co pozwoli na uczenie się modelu i bieżącą adaptację do zmian w systemie (diagnostyka), a także pozwoli reagować na bieżąco, na zmienną sytuację logistyczną. 5. Modele makro i mikroekonomiczne będą posiadały wyższy szczebel hierarchizacji i integracji, co pozwoli włączyć w symulację gospodarki firmy trendy makro ekonomiczne, a także zachowanie się głównych aktorów rynku, giełdy, konkurencji, itp. Myślę, iż zarysowane korzyści modelowania i symulacji są tu jednoznaczne, zarówno bliskosiężne jak i dalekosiężne, i dlatego też w każdym myślącym o przyszłości przedsiębiorstwie, od uniwersytetu do firm consultingowych, znajduje się dział Analiz i Prognoz, operujący modelami i symulacją dla ulepszenia działania obecnego i przyszłego. 7.5 Podsumowanie Z rozdziału tego wiemy już w zarysie co to są modele, jakie są i do czego nam są potrzebne. W opisie rzeczywistości startujemy bowiem z modeli opisowych zgrubnych, a kończymy na modelu strukturalno funkcjonalnym ze znanymi parametrami, uzyskanymi z dokładnych procedur identyfikacji modeli. Modele takie są dalej podstawą do symulacji, czyli wirtualnego badania i przekształcania rzeczywistości. Zaś dzięki symulacji, a w przyszłości inżynierii wirtualnej, możemy zaoszczędzić wszystkie czynniki produkcji i zwiększyć bezpieczeństwo użytkowania systemów. 7.6 Problemy 1. Większość naukowców twierdzi iż świat jest nieliniowy, czy zatem modele liniowe są złe? 2. Przedstaw problemy modelowania w naukach ścisłych, społecznych, inżynierii, ekonomii i inżynierii społecznej. Jak daleko od symulacji do inżynierii wirtualnej?
INŻYNIERIA SYSTEMÓW wykład 4 MODELE SYSTEMÓW MODELOWANIE I SYMULACJA. Autor: dr inż. ROMAN DOMAŃSKI
1 INŻYNIERIA SYSTEMÓW wykład 4 MODELE SYSTEMÓW MODELOWANIE I SYMULACJA Autor: dr inż. ROMAN DOMAŃSKI Literatura 2 CEMPEL Czesław Teoria i inżynieria systemów zasady i zastosowania myślenia systemowego
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoMODELE I MODELOWANIE
MODELE I MODELOWANIE Model układ materialny (np. makieta) lub układ abstrakcyjny (np..rysunki, opisy słowne, równania matematyczne). Model fizyczny (nominalny) opis procesów w obiekcie (fizycznych, również
Bardziej szczegółowoModelowanie jako sposób opisu rzeczywistości. Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka
Modelowanie jako sposób opisu rzeczywistości Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka 2015 Wprowadzenie: Modelowanie i symulacja PROBLEM: Podstawowy problem z opisem otaczającej
Bardziej szczegółowoJacek Skorupski pok. 251 tel konsultacje: poniedziałek , sobota zjazdowa
Jacek Skorupski pok. 251 tel. 234-7339 jsk@wt.pw.edu.pl http://skorupski.waw.pl/mmt prezentacje ogłoszenia konsultacje: poniedziałek 16 15-18, sobota zjazdowa 9 40-10 25 Udział w zajęciach Kontrola wyników
Bardziej szczegółowoMetody symulacji komputerowych Modelowanie systemów technicznych
Metody symulacji komputerowych Modelowanie systemów technicznych dr inż. Ryszard Myhan Katedra Inżynierii Procesów Rolniczych Program przedmiotu Lp. Temat Zakres 1. Wprowadzenie do teorii systemów Definicje
Bardziej szczegółowoNajprostszy schemat blokowy
Definicje Modelowanie i symulacja Modelowanie zastosowanie określonej metodologii do stworzenia i weryfikacji modelu dla danego układu rzeczywistego Symulacja zastosowanie symulatora, w którym zaimplementowano
Bardziej szczegółowoProces badawczy schemat i zasady realizacji
Proces badawczy schemat i zasady realizacji Agata Górny Zaoczne Studia Doktoranckie z Ekonomii Warszawa, 23 października 2016 Metodologia i metoda naukowa 1 Metodologia Metodologia nauka o metodach nauki
Bardziej szczegółowoDefinicje. Najprostszy schemat blokowy. Schemat dokładniejszy
Definicje owanie i symulacja owanie zastosowanie określonej metodologii do stworzenia i weryfikacji modelu dla danego rzeczywistego Symulacja zastosowanie symulatora, w którym zaimplementowano model, do
Bardziej szczegółowoProces badawczy schemat i zasady realizacji
Proces badawczy schemat i zasady realizacji Agata Górny Zaoczne Studia Doktoranckie z Ekonomii Warszawa, 14 grudnia 2014 Metodologia i metoda badawcza Metodologia Zadania metodologii Metodologia nauka
Bardziej szczegółowoODWZOROWANIE RZECZYWISTOŚCI
ODWZOROWANIE RZECZYWISTOŚCI RZECZYWISTOŚĆ RZECZYWISTOŚĆ OBIEKTYWNA Ocena subiektywna OPIS RZECZYWISTOŚCI Odwzorowanie rzeczywistości zależy w dużej mierze od możliwości i nastawienia człowieka do otoczenia
Bardziej szczegółowoBadania eksploracyjne Badania opisowe Badania wyjaśniające (przyczynowe)
Proces badawczy schemat i zasady realizacji Agata Górny Demografia Wydział Nauk Ekonomicznych UW Warszawa, 4 listopada 2008 Najważniejsze rodzaje badań Typy badań Podział wg celu badawczego Badania eksploracyjne
Bardziej szczegółowoTeoria treningu. Projektowanie. systemów treningowych. jako ciąg zadań optymalizacyjnych. Jan Kosendiak. Istota projektowania. systemów treningowych
Teoria treningu 77 Projektowanie procesu treningowego jest jednym z podstawowych zadań trenera, a umiejętność ta należy do podstawowych wyznaczników jego wykształcenia. Projektowanie systemów treningowych
Bardziej szczegółowoProces badawczy schemat i zasady realizacji
Proces badawczy schemat i zasady realizacji Agata Górny Wydział Nauk Ekonomicznych UW Warszawa, 28 października 2014 Najważniejsze rodzaje badań Typy badań Podział wg celu badawczego Kryteria przyczynowości
Bardziej szczegółowoPo co w ogóle prognozujemy?
Po co w ogóle prognozujemy? Pojęcie prognozy: racjonalne, naukowe przewidywanie przyszłych zdarzeń stwierdzenie odnoszącym się do określonej przyszłości formułowanym z wykorzystaniem metod naukowym, weryfikowalnym
Bardziej szczegółowoPYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA. CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe
PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe 1. Cele i przydatność ujęcia modelowego w ekonomii 2.
Bardziej szczegółowoTERMINOLOGIA. Język dyscypliny zbiór terminów wraz z objaśnieniami
Dyscyplina gałąź nauki lub wiedzy TERMINOLOGIA Język dyscypliny zbiór terminów wraz z objaśnieniami Termin wyraz lub połączenie wyrazowe o specjalnym, konwencjonalnie ustalonym znaczeniu naukowym lub technicznym
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowoistocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy
MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze
Bardziej szczegółowoAproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoKIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA
Zał. nr 1 do Programu kształcenia KIERUNKOWE EFEKTY KSZTAŁCENIA WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA Kierunek studiów: INŻYNIERIA SYSTEMÓW Stopień studiów: STUDIA II STOPNIA Obszar Wiedzy/Kształcenia: OBSZAR
Bardziej szczegółowoDiagnostyka Wibroakustyczna Maszyn
Diagnostyka Wibroakustyczna Maszyn od sztuki pomiaru wspartej intuicją do nauki i technologii wspartej agentami diagnostycznymi Czesław CEMPEL 1.Diagnostyka cele, metody, narzędzia 2. Początki diagnostyki
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka - adres mailowy: scichocki@o2.pl - strona internetowa: www.wne.uw.edu.pl/scichocki - dyżur: po zajęciach lub po umówieniu mailowo - 80% oceny: egzaminy - 20% oceny:
Bardziej szczegółowo6.4 Podstawowe metody statystyczne
156 Wstęp do statystyki matematycznej 6.4 Podstawowe metody statystyczne Spóbujemy teraz w dopuszczalnym uproszczeniu przedstawić istotę analizy statystycznej. W szczególności udzielimy odpowiedzi na postawione
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. dr inż. Paweł Pełczyński
Modelowanie i obliczenia techniczne dr inż. Paweł Pełczyński ppelczynski@swspiz.pl Literatura Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski: Metody numeryczne, WNT Warszawa, 2005. J. Awrejcewicz: Matematyczne modelowanie
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoTabela 3.2 Składowe widmowe drgań związane z występowaniem defektów w elementach maszyn w porównaniu z częstotliwością obrotów [7],
3.5.4. Analiza widmowa i kinematyczna w diagnostyce WA Drugi poziom badań diagnostycznych, podejmowany wtedy, kiedy maszyna wchodzi w okres przyspieszonego zużywania, dotyczy lokalizacji i określenia stopnia
Bardziej szczegółowoMETODY I TECHNIKI BADAŃ SPOŁECZNYCH
METODY I TECHNIKI BADAŃ SPOŁECZNYCH Schemat poznania naukowego TEORIE dedukcja PRZEWIDYWANIA Świat konstrukcji teoret Świat faktów empirycznych Budowanie teorii Sprawdzanie FAKTY FAKTY ETAPY PROCESU BADAWCZEGO
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka - adres mailowy: nnehrebecka@wne.uw.edu.pl - strona internetowa: www.wne.uw.edu.pl/nnehrebecka - dyżur: wtorek 18.30-19.30 sala 302 lub 303 - 80% oceny: egzaminy -
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoKomputerowe Systemy Przemysłowe: Modelowanie - UML. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl
Komputerowe Systemy Przemysłowe: Modelowanie - UML Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Plan prezentacji Wprowadzenie UML Diagram przypadków użycia Diagram klas Podsumowanie Wprowadzenie Języki
Bardziej szczegółowoMetrologia: organizacja eksperymentu pomiarowego
Metrologia: organizacja eksperymentu pomiarowego (na podstawie: Żółtowski B. Podstawy diagnostyki maszyn, 1996) dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Teoria eksperymentu: Teoria eksperymentu
Bardziej szczegółowoPYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA. CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe
PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe 1. Cele i przydatność ujęcia modelowego w ekonomii 2.
Bardziej szczegółowoEtapy modelowania ekonometrycznego
Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,
Bardziej szczegółowoInformacja w perspektywie obliczeniowej. Informacje, liczby i obliczenia
Informacja w perspektywie obliczeniowej Informacje, liczby i obliczenia Cztery punkty odniesienia (dla pojęcia informacji) ŚWIAT ontologia fizyka UMYSŁ psychologia epistemologia JĘZYK lingwistyka nauki
Bardziej szczegółowoSpis treści Przedmowa
Spis treści Przedmowa 1. Wprowadzenie do problematyki konstruowania - Marek Dietrich (p. 1.1, 1.2), Włodzimierz Ozimowski (p. 1.3 -i-1.7), Jacek Stupnicki (p. l.8) 1.1. Proces konstruowania 1.2. Kryteria
Bardziej szczegółowoStanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka Katarzyna Rosiak-Lada 1. Sprawy organizacyjne Zasady zaliczenia 2. Czym zajmuje się ekonometria? 3. Formy danych statystycznych 4. Model ekonometryczny 2 1. Sprawy
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowo166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoEfekty uczenia się na kierunku. Logistyka (studia pierwszego stopnia o profilu praktycznym)
Efekty uczenia się na kierunku Załącznik nr 2 do uchwały nr 412 Senatu Uniwersytetu Zielonogórskiego z dnia 29 maja 2019 r. Logistyka (studia pierwszego stopnia o profilu praktycznym) Tabela 1. Kierunkowe
Bardziej szczegółowoProwadzący. Doc. dr inż. Jakub Szymon SZPON. Projekt jest współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
EDUKACJA DLA BEZPIECZEŃSTWA studia podyplomowe dla czynnych zawodowo nauczycieli szkół gimnazjalnych i ponadgimnazjalnych Projekt jest współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoPodstawy diagnostyki środków transportu
Podstawy diagnostyki środków transportu Diagnostyka techniczna Termin "diagnostyka" pochodzi z języka greckiego, gdzie diagnosis rozróżnianie, osądzanie. Ukształtowana już w obrębie nauk eksploatacyjnych
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoElektrotechnika I stopień Ogólno akademicki. Przedmiot kierunkowy. Obowiązkowy Polski VI semestr zimowy
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoE-E-A-1008-s5 Komputerowa Symulacja Układów Nazwa modułu. Dynamicznych. Elektrotechnika I stopień Ogólno akademicki. Przedmiot kierunkowy
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu E-E-A-1008-s5 Komputerowa Symulacja Układów Nazwa modułu Dynamicznych Nazwa modułu w języku
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna i ekonometria
Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 9 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Ekonometria (Gładysz B., Mercik J., Modelowanie ekonometryczne. Studium przypadku, Wydawnictwo PWr., Wrocław 2004.) 2
Bardziej szczegółowoAlgorytm. Krótka historia algorytmów
Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa 11
Podstawy konstrukcji maszyn. T. 1 / autorzy: Marek Dietrich, Stanisław Kocańda, Bohdan Korytkowski, Włodzimierz Ozimowski, Jacek Stupnicki, Tadeusz Szopa ; pod redakcją Marka Dietricha. wyd. 3, 2 dodr.
Bardziej szczegółowoMechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych
Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych 1 Sterowanie procesem oparte na jego modelu u 1 (t) System rzeczywisty x(t) y(t) Tworzenie
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoOpis efektów kształcenia dla programu kształcenia (kierunkowe efekty kształcenia) WIEDZA. rozumie cywilizacyjne znaczenie matematyki i jej zastosowań
TABELA ODNIESIEŃ EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA PROGRAMU KSZTAŁCENIA DO EFEKTÓW KSZTAŁCENIA OKREŚLONYCH DLA OBSZARU KSZTAŁCENIA I PROFILU STUDIÓW PROGRAM KSZTAŁCENIA: POZIOM KSZTAŁCENIA: PROFIL KSZTAŁCENIA:
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoZa pierwszy niebanalny algorytm uważa się algorytm Euklidesa wyszukiwanie NWD dwóch liczb (400 a 300 rok przed narodzeniem Chrystusa).
Algorytmy definicja, cechy, złożoność. Algorytmy napotykamy wszędzie, gdziekolwiek się zwrócimy. Rządzą one wieloma codziennymi czynnościami, jak np. wymiana przedziurawionej dętki, montowanie szafy z
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoMETODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA
METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA AMFETAMINY Waldemar S. Krawczyk Centralne Laboratorium Kryminalistyczne Komendy Głównej Policji, Warszawa (praca obroniona na Wydziale Chemii Uniwersytetu
Bardziej szczegółowow analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ TRANSPORTU I INFORMATYKI TRANSPORT I STOPIEŃ PRAKTYCZNY
Nazwa kierunku Poziom kształcenia Profil kształcenia Symbole efektów kształcenia na kierunku K_W01 K _W 02 K _W03 WYDZIAŁ TRANSPORTU I INFORMATYKI TRANSPORT I STOPIEŃ PRAKTYCZNY Efekty kształcenia - opis
Bardziej szczegółowoProcedura modelowania matematycznego
Procedura modelowania matematycznego System fizyczny Model fizyczny Założenia Uproszczenia Model matematyczny Analiza matematyczna Symulacja komputerowa Rozwiązanie w postaci modelu odpowiedzi Poszerzenie
Bardziej szczegółowoEfekt motyla i dziwne atraktory
O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny
Bardziej szczegółowoWykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.
Wykład Przebieg zmienności funkcji. Celem badania przebiegu zmienności funkcji y = f() jest poznanie ważnych własności tej funkcji na podstawie jej wzoru. Efekty badania pozwalają naszkicować wykres badanej
Bardziej szczegółowoSzkolenie Regresja liniowa
Szkolenie Regresja liniowa program i cennik Łukasz Deryło Analizy statystyczne, szkolenia www.statystyka.c0.pl Szkolenie Regresja liniowa Co to jest regresja liniowa? Regresja liniowa jest podstawową metodą
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA SYSTEMY ROZMYTE Adrian Horzyk Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Katedra Automatyki i Inżynierii Biomedycznej Laboratorium
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowoOGŁOSZENIE O ZAMÓWIENIU nr 1/2013 (POWYŻEJ 14 tys. EURO)
Łódź, dn. 23.12.2013r. OGŁOSZENIE O ZAMÓWIENIU nr 1/2013 (POWYŻEJ 14 tys. EURO) 1. Zamawiający Firma i adres: PL Europa S.A. NIP: 725-195-02-28 Regon: 100381252 2. Tryb udzielenia zamówienia Zgodnie z
Bardziej szczegółowoStabilność II Metody Lapunowa badania stabilności
Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli
Bardziej szczegółowoDZIENNIK STAŻU. Imię i nazwisko Stażysty. Przyjmujący na Staż. Imię i nazwisko Opiekuna Stażu
Załącznik nr 4 do Regulaminu Projektu DZIENNIK STAŻU Imię i nazwisko Stażysty Przyjmujący na Staż Imię i nazwisko Opiekuna Stażu. Termin odbywania Stażu (dd/mm/rr dd/mm/rr) Podpis Opiekuna Stażysty Podpis
Bardziej szczegółowoDZIENNIK STAŻU. Imię i nazwisko Stażysty. Przyjmujący na Staż. Imię i nazwisko Opiekuna Stażu
Załącznik nr 4 do Regulaminu Projektu DZIENNIK STAŻU Przyjmujący na Staż Imię i nazwisko Opiekuna Stażu. Termin odbywania Stażu (dd/mm/rr dd/mm/rr) Podpis Opiekuna Stażysty Podpis Kierownika Projektu DZIENNIK
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoTeoria sterowania - studia niestacjonarne AiR 2 stopień
Teoria sterowania - studia niestacjonarne AiR stopień Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynerii Systemów Sterowania Wykład 4-06/07 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe
Bardziej szczegółowoJak analiza regresji może zwiększyć efektywność normowania czasu pracy?
Jak analiza regresji może zwiększyć efektywność normowania czasu pracy? Jedną z najbardziej rozpowszechnionych metod ustalania norm czasu pracy jest chronometraż. Norma zostaje określona po przeprowadzeniu
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne stopnie z fizyki dla klasy VII:
Wymagania edukacyjne na poszczególne stopnie z fizyki dla klasy VII: I. Ocenę celującą otrzymuje uczeń, który: posiada wiedzę i umiejętności znacznie wykraczającą poza zakres materiału programowego, która
Bardziej szczegółowoMetody badań w naukach ekonomicznych
Metody badań w naukach ekonomicznych Tomasz Poskrobko Metodyka badań naukowych Metody badań ilościowe jakościowe eksperymentalne Metody badań ilościowe jakościowe eksperymentalne Metody ilościowe metody
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI
Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowoTemat: Co to jest modelowanie? Modelowanie przebiegu procesu zapominania za pomocą arkusza kalkulacyjnego.
Konspekt lekcji Przedmiot: Informatyka Typ szkoły: Gimnazjum Klasa: II Nr programu nauczania: DKW-4014-87/99 Czas trwania zajęć: 90min Temat: Co to jest modelowanie? Modelowanie przebiegu procesu zapominania
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 7 - obiekty regulacji. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 7 - obiekty regulacji Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2018 Obiekty regulacji Obiekt regulacji Obiektem regulacji nazywamy proces technologiczny podlegający oddziaływaniu zakłóceń, zachodzący
Bardziej szczegółowoJAKIEGO RODZAJU NAUKĄ JEST
JAKIEGO RODZAJU NAUKĄ JEST INFORMATYKA? Computer Science czy Informatyka? Computer Science czy Informatyka? RACZEJ COMPUTER SCIENCE bo: dziedzina ta zaistniała na dobre wraz z wynalezieniem komputerów
Bardziej szczegółowoInstytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów
Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 6 Model matematyczny elementu naprawialnego Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoElektrotechnika. II stopień. Ogólnoakademicki. Stacjonarne/Niestacjonarne. Kierunkowy efekt kształcenia - opis WIEDZA
Załącznik nr 5 do uchwały nr 509 Senatu Uniwersytetu Zielonogórskiego z dnia 25 kwietnia 2012 r. w sprawie określenia efektów dla kierunków studiów pierwszego i drugiego stopnia prowadzonych na Wydziale
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne stopnie z fizyki dla klasy I:
Wymagania edukacyjne na poszczególne stopnie z fizyki dla klasy I: I. Ocenę celującą otrzymuje uczeń, który: posiada wiedzę i umiejętności znacznie wykraczającą poza zakres materiału programowego, która
Bardziej szczegółowokomputery? Andrzej Skowron, Hung Son Nguyen Instytut Matematyki, Wydział MIM, UW
Czego moga się nauczyć komputery? Andrzej Skowron, Hung Son Nguyen son@mimuw.edu.pl; skowron@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Wydział MIM, UW colt.tex Czego mogą się nauczyć komputery? Andrzej Skowron,
Bardziej szczegółowo1. Tabela odniesień efektów kierunkowych do efektów obszarowych z komentarzami
EFEKTY KSZTAŁCENIA (ELEKTROTECHNIKA II ST) 1. Tabela odniesień efektów kierunkowych do efektów obszarowych z komentarzami Kierunkowy efekt kształcenia - symbol K_W01 K_W02 K_W03 K_W04 K_W05 K_W06 K_W07
Bardziej szczegółowoStatystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl
Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 13. Elementy statystki matematycznej I Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 17.01.2019 1 / 30 Zagadnienia statystki Przeprowadzamy
Bardziej szczegółowoUkład RLC z diodą. Zadanie: Nazwisko i imię: Nr. albumu: Grzegorz Graczyk. Nazwisko i imię: Nr. albumu:
Politechnika Łódzka TIMS Kierunek: Informatyka rok akademicki: 2009/2010 sem. 3. grupa II Zadanie: Układ z diodą Termin: 5 I 2010 Nr. albumu: 150875 Nazwisko i imię: Grzegorz Graczyk Nr. albumu: 151021
Bardziej szczegółowoWyszukiwanie binarne
Wyszukiwanie binarne Wyszukiwanie binarne to technika pozwalająca na przeszukanie jakiegoś posortowanego zbioru danych w czasie logarytmicznie zależnym od jego wielkości (co to dokładnie znaczy dowiecie
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wykład 9. Magdalena Alama-Bućko. 24 kwietnia Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia / 34
Statystyka Wykład 9 Magdalena Alama-Bućko 24 kwietnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka 24 kwietnia 2017 1 / 34 Tematyka zajęć: Wprowadzenie do statystyki. Analiza struktury zbiorowości miary położenia
Bardziej szczegółowo