Transkrypt

1 Spis rzeczy 1 Wst p Zagadnienia teoretyczne dotycz ce wyceny opcji 3.1 Wprowadzenie Opcje Rozk ady stosowane przy wycenie opcji Rozk ad gaussowski (normalny) Rozk ady ;stabilne Rozk ad uog lniony odwrotny gaussowski (GIG) Rozk ady uog lnione hiperboliczne (GHyp) Modele wyceny opcji Model Blacka-Scholesa Modykacje modelu Blacka-Scholesa Model Coa-Rossa-Rubinsteina (CRR) Modele alternatywne Wycena opcji na indeksy gie dowe, waluty ikontrakty futures Zmienno implikowana i u miech zmienno ci Analiza danych Zbiory danych i wyb r modeli Por wnanie modeli opartych na rozk adzie NIG Dane pochodz ce z gie dy w Singapurze Wyb r odcinka czasowego Estymacja parametr w Por wnanie cen opcji Optymalizacja parametr w modeli Dane pochodz ce z gie dy we Frankfurcie Wyb r odcinka czasowego Estymacja parametr w Por wnanie cen opcji Optymalizacja parametr w modeli Analiza u miech w zmienno ci Podsumowanie 9

2 Rozdzia 1 Wst p Celem niniejszej pracy jest por wnanie r nych modeli wyceny opcji ze szczeg lnym zwr ceniem uwagi na otrzymywane z nich u miechy zmienno ci. W rozdziale przedstawili my podstawy teoretyczne. Zaprezentowali my powody powstania i rozwoju rynk w instrument w pochodnych. Zaprezentowali my rozk ady stosowane przy wycenie opcji. Zwr cili my szczeg ln uwag na rozk ady ci koogonowe lepiej nadaj ce si do opisu zwrot w gie dowych ni rozk ad normalny. Nast pnie dokonali my przegl du metod wyceny opcji, poczynaj c od zaproponowanej przez Blacka ischolesa w 1973 r., poprzez metody wywodz ce si z modeli dyskretnych (Coa-Rossa-Rubinsteina i Racheva-R schendorfa), metod Gerbera-Shiu, ako cz c na pochodz cych z ostatnich lat modykacjach metody Hursta-Platena-Racheva. Rozdzia 3 po wi cili mypor wnaniu wybranych metod przy wykorzystaniu danych gie dowych. Poniewa w dost pnych pracach autorzy nie pokusili si o werykacj proponowanych modeli postanowili my skonfrontowa teori z praktyk. Zestawili my cen rynkow (z gie d w Singapurze i we Frankfurcie) z cenami teoretycznymi uzyskanymi z modeli, dla parametr w otrzymanych za pomoc estymacji. Chcieli my r wnie odpowiedzie na pytanie, czy s to najlepsze ceny mo liwe do uzyskania z ka dego z modeli. Starali my si, pos uguj c metodami optymalizacji, znale parametry, dla kt rych poszczeg lne modele maj najmniejszy b d. Nast pnie chcieli my stwierdzi, czy istnieje uniwersalny model odpowiedni dla wszystkich rynk w. Podj li my r wnie pr b wyestymowania zmienno ci rynkowej z poszczeg lnych modeli i stworzenia tzw. u miech w zmienno ci. Starali my si znale model, w kt rym niezale nie od ceny wykonania mogliby my stosowa t sam warto parametru zmienno ci. W rozdziale 4 wyci gn li my wnioski z przeprowadzonych analiz. Stwierdzili my, e cho w r nych pracach istniej tendencje do wskazywania najlepszego modelu nie byli my w stanie zaproponowa takowego dla analizowanych przez nas rynk w. Ka dy rynek rz dzi si swoimi prawami i dlatego model dobry dla gie dy w Singapurze nie musi by dobry dla gie dy we Frankfurcie. Doszli my r wnie do wniosku, e tradycyjne modele estymacji parametr w nie s optymalne iwarto ci otrzymane z modeli opartych na tych parametrach mo na poprawi.

3 Rozdzia Zagadnienia teoretyczne dotycz ce wyceny opcji.1 Wprowadzenie Intensywny rozw j rynku pochodnych instrument w nansowych jaki notuje si w gospodarce wiatowej od pocz tku lat siedemdziesi tych obecnego stulecia jest niew tpliwie skutkiem pojawienia si takich zjawisk jak rosn ca niestabilno st p procentowych i kurs w walutowych (efekt za amania si systemu z Bretton Woods) oraz kryzysy naftowe. Funkcjonuj ce w tej sytuacji podmioty gospodarcze szybko dostrzeg y, e tradycyjne sposoby zabezpieczania si przed ryzykiem poniesienia niekontrolowanych strat przesta y wystarcza. Zrodzi o si zapotrzebowanie na nowe instrumenty os onowe. Korporacje nansowe u ywaj ich do: zabezpieczenia transakcji mi dzynarodowych, zabezpieczenia strategicznego w celu ochrony przep ywu got wki lub towaru, redukcji koszt w poprzez tworzenie tzw. syntetycznego zad u enia, handlu dla zysku. Umiej tno pos ugiwania si instrumentami pochodnymi sprowadza si do w a ciwej ich wyceny oraz konstruowania strategii zabezpieczaj cych.. Opcje Jednymi z najwa niejszych instrument w pochodnych s opcje (options) nansowe instrumenty pochodne daj ce w a cicielowi prawo (ale nie obowi zek) wykonania ci le okre lonych transakcji (np. zakupu lub sprzeda y innego instrumentu nansowego). Mo emy je podzieli na opcje: kupna (call) jest to kontrakt daj cy nabywcy prawo do kupna ustalonej ilo ci instrumentu podstawowego po okre lonej cenie wykonania (realizacji) K (strike, eercise price) i w ustalonym terminie,

4 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 4 sprzeda y (put) analogicznie daje prawo do sprzeda y, ale r wnie (ze wzgl du na termin wykonania): europejskie (European), dla kt rych termin wykonania (eercise date), w kt rym nabywca mo e wykorzysta swoje prawo i wykona opcj, pokrywa si z terminem wyga ni cia (maturity, epiration date), po kt rym opcja traci swoj wa no, bermudzkie (Bermudan), dla kt rych jest z g ry wyznaczone kilka termin w, w kt rych mog by wykonane, ameryka skie (American), kt re mog by wykorzystane w dowolnym dniu od momentu nabycia do terminu wyga ni cia oraz (ze wzgl du na funkcj wyp aty): waniliowe (vanilla), dla kt rych wyp ata zale y od ceny instrumentu podstawowego, jedynie w dniu wykonania, egzotyczne (eotic)ofunkcji wyp aty zale nej od zachowania ceny instrumentu podstawowego w przedziale czasu trwania opcji, np. azjatyckie (Asian), dla kt rych wyp ata zale y od redniej ceny instrumentu podstawowego..3 Rozk ady stosowane przy wycenie opcji.3.1 Rozk ad gaussowski (normalny) Je li jaka zmienna losowa powstaje w wyniku sumowania niezale nych zmiennych o tym samym rozk adzie i sko czonej wariancji to rozk ad tej zmiennej d y do rozk adu normalnego wraz ze wzrostem liczby sk adnik w (twierdzenie Lindenberga-Levy'ego). Jest to przypadek rozk adu ;stabilnego (opisanego w.3.) dla =. Jest jednym z trzech rozk ad w stabilnych posiadaj cych jawn posta g sto ci: f () = 1 p ep ; ( ; ) gdzie: - odpowiada za przesuni cie, jest r wne warto ci oczekiwanej, -odchylenie standardowe (stanowi miar rozrzutu wok redniej) ponadto je li zmiennym normalnym X i Y odpowiadaj parametry i 1 to zmienne X i Y maj takie same rozk ady (X d = Y )..3. Rozk ady ;stabilne S to rozk ady, dla kt rych suma niezale nych zmiennych losowych o tym samym indeksie stabilno ci jest r wnie zmienn o indeksie stabilno ci. S to wi c zmienne stabilne ze wzgl du na operacj sumowania. Rozk ad stabilny mo na zdeniowa r wnowa nie przez funkcj charakterystyczn. M wimy, e zmienna losowa ma rozk ad ;stabilny S ( ),

5 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 5 je eli istniej parametry <, ;1 1, > i R, takie, e jej funkcja charakterystyczna ma posta ep[; jtj (1 ; isgn(t) tan (t) = )+it] 6= 1 ep[;jtj(1 + sgn(t)lnjtj) +it] =1 gdzie: - indeks stabilno ci (zwi zany jest on z nast puj c w asno ci : je eli X ma rozk ad ;stabilny, to EjXj p < 1 dla <p<oraz EjXj p = 1 dla p<), - parametr sko no ci (je eli >, to rozk ad jest sko ny w prawo, tzn. ma grubszy prawy ogon gdy <, to rozk ad jest sko ny w lewo), - parametr skali pe ni cy podobn rol jak odchylenie standardowe w przypadku gaussowskim, - odpowiada za przesuni cie i dla > 1 jest r wny warto ci oczekiwanej (tak jak w przypadku gaussowskim). W przypadku =i =mamy do czynienia z symetrycznym rozk adem ;stabilnym..3.3 Rozk ad uog lniony odwrotny gaussowski (GIG) G sto rozk adu GIG( ) wyra a si wzorem: f GIG () = ( =)= K ( p ) ;1 ep ; 1 (;1 + ) > gdzie: K () - zmodykowana funkcja Bessela trzeciego rodzaju z indeksem, kt ra mo e by przedstawiona jako K (!) = 1 1R ;1 e ; 1!(+ ;1 ) d:.3.4 Rozk ady uog lnione hiperboliczne (GHyp) Mo na je przedstawi w postaci mieszaniny wariancji i redniej rozk adu gaussowskiego z rozk adem mieszaj cym GIG. Zmienna Z GHyp( ), je eli (Z Y) N(+ Y Y ), awi cmo eby przedstawiona w formie Z = +Y + p Y N( 1),gdzieY GIG( ). Dla = 1 otrzymujemy rozk ad hiperboliczny, wprowadzony przez Barndora-Nielsena [1] ofunkcji g sto ci: f Hyp () = ( =)1= K 1 ( p ) ( + ) ; 1 ep p ; ( + )( +( ; ) )+( ; ) natomiast dla = ; 1 tzw. rozk ad normalny odwrotny gaussowski (NIG), wprowadzony r wnie przez Barndora-Nielsena [3], opisany g sto ci : s f NIG () = 1 p p e + p ( ; ) + K 1( (( ; ) + )( + ))e (;)

6 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 6 gdzie: > i R s parametrami kszta tu, > jest parametrem skali, R odpowiada za po o enie f() Rysunek.1: G sto ci rozk ad w stabilnego (linia purpurowa), NIG (linia zielona), normalnego (linia czerwona) aproksymuj cych empiryczny rozk ad zwrot w indeksu DJIA (linia niebieska) (por wnaj [35]) log f() Rysunek.: Te same g sto ci tylko w skali podw jnie logarytmicznej: empiryczna (linia niebieska) oraz dopasowane do niej g sto ci rozk ad w stabilnego (linia purpurowa), NIG (linia zielona), normalnego (linia czerwona)

7 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 7.4 Modele wyceny opcji.4.1 Model Blacka-Scholesa W 1973 roku Fischer Black i Myron Scholes [4] zaproponowali model wyceny opcji opieraj cy si na za o eniach: brak arbitra u na rynku, rozk ad zwrot w cen akcji jest normalny, rynek dzia a w spos b ci g y, a cena akcji S t jest opisana ci g ym procesem dyfuzyjnym, tzw. geometrycznym ruchem Browna wprowadzonym przez Samuelsona [33] i Osborne'a [9] postaci: S t = S ep(t + B t ) gdzie S jest cen papieru warto ciowego w chwili t =, jest wsp czynnikiem wzrostu, jest wsp czynnikiem zmienno ci, a B t jest procesem ruchu Browna, kr tkoterminowa, wolna od ryzyka stopa procentowa r nie zmienia si w okresie wa no ci opcji, akcje s podzielne, akcje nie przynosz dywidend w okresie wa no ci opcji, nie uwzgl dnia si koszt w transakcji ani podatk w, nie ma kary za zajmowanie tzw. kr tkiej pozycji (np. sprzeda akcji, kt rych si nie posiada). Otrzymali w wczas rynek zupe ny, na kt rym cena opcji kupna by a r wna: gdzie: C = S(d + ) ; Ke ;rt (d ; ) d = ln S +(r K S -cenaakcji, na kt r jest wystawiana opcja, K - cena wykonania opcji, t - czas do wyga ni cia opcji, r - stopa procentowa, - zmienno cen akcji. p t )t

8 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 8.4. Modykacje modelu Blacka-Scholesa W nast pnych latach za o enia modelu stopniowo redukowano. W roku 1973 Merton [6] pokaza, jak mo na uwzgl dni dywidendy w wycenie opcji oraz przedstwi model wyceny, gdy stopa procentowa spe nia pewne r wnanie stochastyczne. W tym samym roku Thorpe [34] przedstawi pewne rozszerzenia, m.in. opu ci ostatnie za o enie. W roku 1976 Ingersoll [17] uwzgl dni koszty transakcji, natomiast Merton [7] dopu ci kombinacje dyfuzji i procesu skokowego do opisu ceny akcji. W kolejnych pracach autorzy proponowali nowe, lepiej dopasowane do rynku sposoby opisu zwrot w: przy pomocy rozk ad w stabilnych (Mandelbrot [], Mittnik i Rachev [8]), przy pomocy rozk ad w hiperbolicznych (K chler et al. [] Eberlein i Keller [1]), przy pomocy rozk adu normalnego odwrotnego gaussowskiego (Barndor-Nielsen [3]), przy pomocy proces w podporz dkowanych (Clark [8], Hurst, Platen irachev [16]). Hipotez, e rozk ady ci koogonowe lepiej pasuj do danych z rynk w nansowych potwierdza analiza przeprowadzona w [35]. Dla st p zwrotu indeksu DJIA z okresu.i v.1996 r. podj to pr b dopasowania rozk adu. Por wnuj c g sto ci rozk ad w stabilnych i uog lnionych hiperbolicznych z histogramem g sto ci rozk adu zwrot w indeksu zauwa ono, e najlepsze przybli enie daje rozk ad NIG. Natomiast por wnuj c ten sam wykres tyle, e w skali logarytmicznej wida, e najlepiej opisuje zwroty rozk ad stabilny. Przeprowadzaj c analiz statystyczn zgodno ci rozk ad w z danymi empirycznymi za pomoc statystyk Ko mogorowa i Andersona-Darlinga otrzymujemy analogiczne wyniki (wg pierwszej najlepiej dopasowany jest rozk ad NIG, wg drugiej rozk ad stabilny). Nale y podkre li, e rozk ad gaussowski w ka dym z por wna wypada zdecydowanie najgorzej..4.3 Model Coa-Rossa-Rubinsteina (CRR) Jest to prosty dyskretny analogon modelu Blacka-Scholesa. Je li przez S oznaczymy cen akcji w chwili t=, to w chwili t=1 S u z prawdopodobie stwem p S 1 = S d z prawdopodobie stwem 1 ; p gdzie u>1 >d> s pewnymi sta ymi rzeczywistymi. Wtedy cena po n skokach wyra a si wzorem lub r wnowa nie ln S n S = nx k=1 S n = S n Y k=1 u n k d(1; n k) (U n k + D(1 ; n k )) = nx k=1 X n k gdzie U=ln u, D=lnd, za n k dla k =1:::ns niezale nymi zmiennymi losowymi przyjmuj cymi warto ci i1odpowiednio z prawdopodobie stwem p i1;p.

9 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 9 Po przej ciu z n do niesko czono ci otrzymujemy cen CRR [9]: C = S (a n q ) ; K ;n (a n q): Wpowy szym wzorze: q ; d = u ; d u q = q a =1+ ln K S d =lnu (a n n q) =Q( d nx i=1 n i a) = k+1 k k jest cen obligacji w chwili k oraz n i jest ci giem niezale nych zmiennych losowychotym samym rozk adzie wzgl dem miary arbitra owej (martynga owej), tzn. Q( n i =1)=q oraz Q( n i = ) = 1 ; q. Model ten jest zupe ny (complete), co gwarantuje, e jego cena jest wyznaczona jednoznacznie. Przy pewnych za o eniach ([35]) jako graniczny przypadek tego modelu otrzymujemy model Blacka-Scholesa..4.4 Modele alternatywne Model Racheva-R schendorfa (RR) Naturalnym uog lnieniem modelu dyskretnego z deterministycznymi skokami w g r i w d jest randomizacja jednego z jego parametr w [31]: losowa ilo deterministycznych skok w Deniuje si proces ceny, kt ry wykonuje losow liczb skok w na przedziale [, t]. ln S t S = XN n W wczas przedzia [, t] podzielony jest na losow liczb podprzedzia w o r wnej d ugo ci h=t/n n. Otrzymujemy w wczas wz r: C = k=1 X n k 1X ; S (a k k q ) ; K ;k (a k k q) P(N n = k) = k=1 = S E (a Nn N n q ) ; KE ;Nn (a Nn N n q): Taka metoda wyceny opcjiniegwarantuje jednoznaczno ci ceny opcji, poniewa model ten nie jest zupe ny. Dopiero por wnanie cen rynkowych z cen RR mo e da odpowied na pytanie, czy ten model jest adekwatny do rzeczywisto ci. losowa d ugo skok w Zak ada si, e proces st p zwrotu (ln S k ) S k jest b dzeniem losowym ze zrandomizowan d ugo ci skoku. Z 1 C = C CRR 1fy : y> nln g df Y (y)

10 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 1 Zauwa my, e modele te cho maj identyczne rozk ady graniczne, to trajektorie proces w r ni si znacznie. Mog wi c zosta u yte do opisu dw ch rodzaj w rynk w nansowych. Wydaje si, e model ze zrandomizowan d ugo ci skok w b dzie lepiej opisywa zachowanie si cen instrument w na rynkach z okresowymi notowaniami, tak jak na powszechnym rynku akcji i obligacji Gie dy Papier wwarto ciowychwwarszawie, gdzie notowania odbywaj si wed ug zasad jednolitego kursu dnia. Natomiast model z losow liczb skok w prawdopodobnie lepiej b dzie odzwierciedla procesy nansowe na rynkach z ci g ymi notowaniami, gdzie zmiany cenodbywaj si w chwilach losowych (por wnaj [35]). Poniewa wz r na cen opcji, jak i jego graniczne przypadki ([3]) s skomplikowane z punktu widzenia estymacji parametr w, wi c nie b dziemy si nimi dalej zajmowa. Model Gerbera-Shiu (GS) Jest to metoda, w kt rej w wyprowadzeniu analogicznym do martynga owej metody dla modelu Blacka-Scholesa wykorzystuje si w miejsce przekszta cenia Girsanowa tzw. transformat Esschera. Dzi ki niej mo na skonstruowa miar martynga ow Q R najbli sz danej mierze P pod wzgl dem informacji, mierzonej przez entropi wzgl dn ( ln dq dp dp). Niech L t niezale ne i stacjonarne przyrosty procesu Levy'ego o g sto ci f t () i funkcji tworz cej M(z t) = E P e zlt. Transformata Esschera g sto ci f t () ma posta f t ( ) = e = R f 1 t(),wzwi zku z czym jej funkcja tworz ca jest r wna M ;1 e f t() d t(z ) = M (z+ t). M ( t) Cena Gerbera-Shiu wynosi [14]: C = S Z 1 ln(k=s ) f t ( +1)d ; e ;rt K gdzie otrzymujemy z r wnania: e r = M 1 (1 ). Gdy zwroty cen Z t NIG( ) to: C = S Z 1 ln(k=s ) ;Ke ;rt Z 1 Z 1 ln(k=s ) f t ( ) d f NIG (z t + ; ( + +1) +( +1) ) dz ; ln(k=s ) gdzie: = rp (4 +4 ;1);r p ; ; 1. (r +) f NIG (z t + ; ( + ) + ) dz Otrzymany w ten spos b model rynku nie jest zupe ny. Model Hursta-Platena-Racheva (HPR) Niech fb t t g b dzie ruchem Browna i niech ft t t g b dzie nieujemnym procesem stochastycznym. W wczas nowy proces fb Tt t g nazywamy procesem podporz dkowanym ruchowi Browna. Idea ta pochodzi od Bochnera [7].

11 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 11 Powsta o wiele prac proponuj cych r ne warianty procesu modeluj cego czas: Mandelbrot [3, 4, 5] Fama [11, 1] T (t + s) ; T (t) S (cs 1 ) Barndor-Nielsen [] T (t + s) ; T (t) IG( s) Praetz [3] Blattberg i Gonedes [6], tzw. The Log Students tmodel T (t +1); T (t) Clark [8] T (t +1); T (t) ln N( ' ) Mittnik i Rachev [8], tzw. The Log Laplace Model T (t +1); T (t) ep() Madan i Seneta [1], tzw. The Variance Gamma Model T (t + s) ; T (t) ;( 1 s): Cena HPR wynosi [15]: gdzie: natomiast F Y C = S F + ln S K= t ; K t F ; ln S K= t Z 1 F () = 1 p y y df Y (y) jest dystrybuant zmiennej losowej Y = R t ^ (s)dt s oraz t = R t r(s)ds. W przypadku ruchu NIG-podporz dkowanego cena ta wynosi: C = S Z 1 ln(k=s ) ;Ke ;rt Z 1 f NIG (z t 1 rt) dz ; ln(k=s ) f NIG (z t ;1 rt) dz: Przyjrzyjmy si bli ej r wnie modelowi, kt ry Hurst, Platen i Rachev uznali za najlepszy ([15]). Jest to tzw. The Logstable Model zaproponowany ju w pracach Mandelbrota i Famy. Gdy T (t + s) ; T (t) S = (cs = 1 ) przyrosty procesu podporz dkowanego s stacjonarne i niezale ne o rozk adzie Z(t + s) ; Z(t) S (&s 1= ), gdzie: W wczas 1 F () = gdzie: V S = (1 1 ), =& cos ; 4 & = Z 1 q 1 c cos ; 4 1 : 1 v p v f V (v)dv (.1) (T ; t) = c(t ; t). 1 Nie ma jawnego wzoru na g sto rozk adu stabilnego, dlatego skorzystali my zprocedury wykorzystuj cej FFT szybk transformat Fouriera, wyznaczaj cej t g sto punktowo natomiast do policzenia ca ki z g sto ci rozk adu stabilnego u yli my wzoru Simpsona.

12 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 1.5 Wycena opcji na indeksy gie dowe, waluty i kontrakty futures W przypadku wyceny instrument w wyp acaj cych w spos b ci g y dywidend wg sta ej stopy mo emy zastosowa regu podan w [36]. Polega ona na zast pieniu S przez S e ;t (dla kontraktu futures = r). Uwzgl dniaj c j w modelu Blacka-Scholesa otrzymamy wz r wyprowadzony przez Mertona [6]: C = S e ;t (h + ) ; Ke ;rt (h ; ) gdzie: h = ln S +(r ; )t K p t kt rego szczeg lnym przypadkiem jest wz r Blacka [5]: gdzie: C =e ;rt (U(d + ) ; K(d ; )) (.) d = ln U K 1 t p t U cena kontraktu futures. W analogiczny spos b mo emy j zastosowa wmodelach GS i HPR uzyskuj c nast puj ce ceny opcji na kontrakty futures: GS-NIG : C = e ;rt U ;K Z 1 ln(k=u)+rt Z 1 ln(k=u)+rt f NIG (z t + ; ( + +1) +( +1) ) dz ; f NIG (z t + ; ( + ) + ) dz (.3) HPR: C = 1 UF + (lnu=k) ; KF ; (lnu=k) (.4) t przy czym w przypadku HPR-NIG: C = e ;rt U ;K Z 1 ln(k=u)+rt Z 1 ln(k=u)+rt f NIG (z t 1 rt) dz ; f NIG (z t ;1 rt) dz : (.5) Do ca kowania g sto ci rozk adu NIG skorzystali my z zaimplementowanej w Matlabie procedury Quad8 (adaptacyjna metoda Newtona-Cotesa).

13 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 13.6 Zmienno implikowana i u miech zmienno ci Przyjmuj c okre lony model rynku otrzymujemy wz r na cen opcji w postaci: C=C(S,K,t,r,,...), gdzie: C - cena opcji, S-cena instrumentu podstawowego, K - cena wykonania opcji, t - ilo dni do terminu wykonania, - zmienno rynku (parametr skali w modelu), r - stopa procentowa (dzienna), ::: - inne parametry rozk adu zwrot w. Odczytuj c z rynku C, S i maj c dane K, t i r mo emy obliczy. Otrzyman wielko nazywamy zmienno ci implikowan. Gdyby ceny opcji by y zgodne z modelem Blacka- Scholesa to w danej chwili implikowana zmienno by aby taka sama dla cen opcji z r nymi terminami i cenami wykonania. Jednak e w praktyce opcje z cenami wykonania du o odbiegaj cymi od ceny instrumentu podstawowego w danej chwili (deep in-the-money, deep out-of-the-money) maj znacznie wy sz implikowan zmienno ni opcje o cenie wykonania zbli onej do ceny instrumentu podstawowego (at-the-money). Je li wi c wykre limy implikowane zmienno ci wzgl dem cen wykonania to ujrzymy krzyw przypominaj c u miech (volatility smile). Dla wielu opcji mo na zaobserwowa asymetri, krzywa przypomina wtedy bardziej grymas (grimace, smirk) ni u miech. Jednym z cel w niniejszej pracy jest sprawdzenie, czy modele alternatywne lepiej pasuj do danych rynkowych iwrezultacie nie tworz u miechu zmienno ci.

14 Rozdzia 3 Analiza danych 3.1 Zbiory danych i wyb r modeli Do analizy wybrali my wzory wynikaj ce z modeli: Blacka (wz r.), Gerbera-Shiu (wz r.3) oznaczany w tek cie GS-NIG, Hursta-Platena-Racheva z czasem modelowanym rozk adem stabilnym (wz r.4 z F danym wzorem.1) oznaczany w tek cie HPR-stab i odwrotnym gaussowskim (wz r.5) oznaczany w tek cie HPR-NIG. Korzystali my z dw ch zbior w danych. Pierwszy pochodz cy z gie dy SIMEX w Singapurze zawiera notowania kontraktu futures na indeks Nikkei 5 1 (jako instrumentu podstawowego) oraz opcji kupna na ten kontrakt (z okresu ). Drugi z gie dy DTB (obecnie Eure) we Frankfurcie dotyczy notowa kontraktu futures na indeks DAX (jako instrumentu podstawowego) oraz opcji kupna na indeks DAX 3 (z okresu ) Por wnanie modeli opartych na rozk adzie NIG Por wnali my modele GS i HPR oparte na rozk adzie NIG. R nica pomi dzy cenami opcji uzyskanymi z nich jest znikoma. Dla przyk adu przedstawimy wyniki analizy na dla opcji na indeks Nikkei 5 i na.3.98 dla opcji na DAX. rednie r nice pomi dzy cenami opcji wynios y w pierwszym przypadku ok..15 (przy redniej cenie opcji ok. ), natomiast w drugim ok..4 (przy redniej cenie opcji ok. 6). Dlatego te dalsze analizy przeprowadzili my tylko dla jednego z tych modeli - modelu GS. 1 Nikkei 5 Average (Nikkei) jest najbardziej znanym indeksem japo skiego rynku papier w warto ciowych, obejmuje on 5 najlepszych japo skich sp ek, m.in. Honda, NEC, Sony, Toyota, Yamaha. Deutsche Aktieninde (DAX) jest najwa niejszym wska nikiem rynku papier w warto ciowych w Niemczech, jego wysoko zale y od kursu 3 najwi kszych sp ek gie dowych, m.in. BASF, Bayer, Lufthansa, Siemens. 3 Ze wzgl du na niemieckie prawo podatkowe, kt re praktycznie uniemo liwia obliczenie stopy dywidendy indeksu DAX, opcje na DAX nie s wyceniane ze wzor w na opcje indeksowe, ale ze wzor w na opcje na kontrakt futures. Mo na to uzasadni tym, e cena kontraktu futures na DAX ju uwzgl dnia oczekiwania inwestor w co do przysz ych wyp at dywidend (por wnaj [13]).

15 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci C GS C HPR Rysunek 3.1: R nice pomi dzy cen z modelu GS a cen z modelu HPR opartych na rozk adzie NIG dla opcji na indeks Nikkei dla dnia (37 dni do wykonania) rednia cena opcji ok..1. C GS C HPR Rysunek 3.: R nice pomi dzy cen z modelu GS a cen z modelu HPR opartych na rozk adzie NIG dla opcji na indeks DAX dla dnia.3.98 (91 dni do wykonania) rednia cena opcji ok. 6

16 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci Dane pochodz ce z gie dy w Singapurze 3..1 Wyb r odcinka czasowego Do analizy wybrali my kontrakt futures na Nikkei 5 oraz opcje na niego wygasaj ce Wybrali my nast puj ce dni: (93 dni do wyga ni cia), (63 dni), (37 dni),.9.97 (1 dni) Nikkei i ceny futures na Nikkei logarytmiczne zwroty dni (a) dni Rysunek 3.3: Cena zamkni cia (a) oraz zwroty logarytmiczne (b) dla kontraktu futures na indeks Nikkei (linia niebieska) oraz indeksu Nikkei (linia czerwona) w okresie (b) 3.. Estymacja parametr w Aby ustali parametry rozk ad w policzyli my dzienne logarytmiczne zwroty jako Z(t) = = ln U (t+1) : Wyestymowali my parametry dla ka dego dnia korzystaj c ze 1 poprzednich U (t) notowa : dla z dni od do , dla z dni od do , dla z dni od do , dla.9.97 z dni od do Dla rozk adu normalnego i dla rozk adu NIG zosta y one wyznaczone metod najwi kszej wiarygodno ci, natomiast dla rozk adu stabilnego metod regresji ([18, 19]).

17 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 17 Parametry otrzymane z estymacji przedstawione s w tabeli poni ej: Parametry dla: rozk adu.13 6: ;4 9:456 1 ;4 1: ;4 normalnego rozk adu stabilnego :54 1 ;4.1 : ;4.13 8:774 1 ;4 5:459 1 ;4 5:177 1 ;4 rozk adu NIG :35 1 ;6 1:34 1 ;6 1:33 1 ;6 ;4: ; f() 15 F() (a) (b) f() F() (c) Rysunek 3.4: Dopasowanie g sto ci i dystrybuant do zwrot w kontraktu futures na indeks Nikkei w okresie: (a), (b) (c), (d) rozk ad NIG (linia zielona), normalny (czerwona), stabilny (purpurowa), empiryczny (ciemnoniebieska) (d)

18 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci f() F() (a) (b) f() F() (c) Rysunek 3.5: Dopasowanie g sto ci i dystrybuant do zwrot w kontraktu futures na indeks Nikkei w okresie: (a), (b) (c), (d) rozk ad NIG (linia zielona), normalny (czerwona), stabilny (purpurowa), empiryczny (ciemnoniebieska) Miar dopasowania rozk ad w do rozk adu empirycznego mog stanowi statystyki Ko mogorowa K = ma jf e () ; F ()j oraz Andersona-Darlinga AD = ma e();f ()j jf p F ()(1;F ()) gdzie F e () jest dystrybuant empiryczn, natomiast F () dystrybuant dopasowywanego rozk adu. StatystykaKo mogorowa daje najlepsze rezultaty przy badaniu zgodno ci rozk ad w w okolicy mediany, natomiast Andersona-Darlinga przy dopasowaniu ogon w. DATA WARTO CI STATYSTYK K/AD DLA ROZK ADU: NIG stabilnego normalnego / /.19.89/ / / / / / / / / /.1154 Z otrzymanych wynik w mo emy s dzi, e rozk ady zosta y dobrze dopasowane do danych zar wno w okolicy mediany, jak i w ogonach (warto krytyczna na poziomie.95 wynosi dla statystyki K.134, natomiast dla AD.49). (d)

19 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci Por wnanie cen opcji czny b d modelu mo emy obliczy jako P K jc rz(k) ; C mod (K)j: DATA B DY DLA: GS-NIG HPR-stab Blacka Por wnajmy teraz ceny uzyskane z poszczeg lnych modeli oraz r nice pomi dzy cen rynkow a nimi cena opcji C 3 C rz C mod (a) (b) cena opcji C 5 15 C rz C mod (c) Rysunek 3.6: Por wnanie cen oraz r nic pomi dzy cen rynkow a pochodz c z modelu dla dnia: (a), (b) (c), (d) GS-NIG (linia zielona), HPR-stab (ciemnoniebieska), Blacka (czerwona), cena rynkowa (jasnoniebieska) (d)

20 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci cena opcji C 5 15 C rz C mod (a) (b) cena opcji C 15 C rz C mod (c) 1 4 Rysunek 3.7: Por wnanie cen oraz r nic pomi dzy cen rynkow a pochodz c z modelu dla dnia: (a), (b).9.97 (c), (d) GS-NIG (linia zielona), HPR-stab (ciemnoniebieska), Blacka (czerwona), cena rynkowa (jasnoniebieska) (d) Zauwa my, e model Blacka w niczym nie ust puje modelowi GS-NIG. Cena wyznaczona przez te modele niewiele odbiega od ceny rynkowej. Dla dat odleg ych od terminu wykonania modele te maj tendencj do niewielkiego zawy ania ceny opcji. Natomiast ceny z modelu HPR-stab dla opcji w cenie s zdecydowanie zbyt niskie. Dla opcji, kt re nie s w cenie cena opcji wynikaj ca z tego modelu nie odbiega wiele od cen z pozosta ych modeli (a wi c r wnie od ceny rynkowej). Og lnie jednak model ten wypada najgorzej Optymalizacja parametr w modeli Zastanawiali my si, czy parametry wyznaczone przez estymacj s tymi, dla kt rych modele najdok adniej opisuj rynek. Empirycznie stwierdzili my, e istotny wp yw na jako modelu ma dob r: i dla GS-NIG oraz i c dla HPR-stab. Stosuj c metody optymalizacji starali my si wyznaczy warto ci tych parametr w, dla kt rych ceny uzyskane z modeli GS ihprs najbli sze cenie rynkowej.

21 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 1 Parametry uzyskane na drodze optymalizacji r ni si znacznie od tych uzyskanych w estymacji (zw aszcza dla rozk adu stabilnego). DATA PARAMETRY DLA METODY: GS-NIG HPR-stab c :9 1 ; :4 1 ; :9 1 ; :7 1 ; cena opcji C 3 C rz C mod (a) (b) cena opcji C 5 C rz C mod (c) Rysunek 3.8: Por wnanie cen oraz r nic pomi dzy cen rynkow a pochodz c z modelu dla dnia: (a), (b) (c), (d) po optymalizacji GS-NIG (linia zielona), HPR-stab (ciemnoniebieska), Blacka (czerwona), cena rynkowa (jasnoniebieska) (d)

22 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci cena opcji C 5 C rz C mod (a) (b) cena opcji C 15 C rz C mod (c) Rysunek 3.9: Por wnanie cen oraz r nic pomi dzy cen rynkow a pochodz c z modelu dla dnia: (a), (b).9.97 (c), (d) po optymalizacji GS-NIG (linia zielona), HPR-stab (ciemnoniebieska), Blacka (czerwona), cena rynkowa (jasnoniebieska) (d) DATA B DY DLA: GS-NIG HPR-stab Mo na zauwa y znaczne zmniejszenie warto ci b d w. Pooptymalizacji model GS-NIG jest zdecydowanie lepszy ni model Blacka. Jednak model HPR-stab mimo zmniejszenia b d w sumarycznych nadal pozostaje niedok adny.

23 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci Dane pochodz ce z gie dy we Frankfurcie Wyb r odcinka czasowego Analiz przeprowadzili my dla opcji i kontraktu futures wygasaj cych Do por wna wybrali my dwa dni i.3.98 (1 i 91 dni do wyga ni cia) DAX i ceny futuresa na DAX zwroty logarytmiczne nr obs. (g) nr obs. Rysunek 3.1: Cena zamkni cia (a) oraz zwroty logarytmiczne (b) dla kontraktu futures na indeks DAX (linia niebieska) oraz indeksu DAX (linia czerwona) w okresie (h) 3.3. Estymacja parametr w Wyestymowali my parametry korzystaj c ze 1 poprzednich notowa (dla z okresu do , dla.3.98 z okresu do ). Parametry otrzymane z estymacji s przedstawione w tabeli poni ej: Parametry dla: rozk adu.1.3 normalnego rozk adu.17.9 stabilnego ;:861 ;:6617 5: ;4 ;:1 :559 1 ;4 :36 1 ;4 rozk adu NIG

24 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 4 W podobny spos b jak poprzednio ocenili my dopasowanie rozk ad w do zwrot w empirycznych. DATA WARTO CI STATYSTYK K/AD DLA ROZK ADU: NIG stabilnego normalnego / / / / / /1.46 Wtym przypadku wyra nie wida lepsze dopasowanie rozk ad wci koogonowych od rozk adu normalnego (cho og lnie dopasowanie jest gorsze ni w poprzednim przypadku) f() 15 F() (a) (b) f() F() (c) Rysunek 3.11: Dopasowanie g sto ci i dystrybuant do zwrot w kontraktu futures na indeks DAX w okresie: (a), (b) (c), (d) rozk ad NIG (linia zielona), normalny (czerwona), stabilny (purpurowa), empiryczny (ciemnoniebieska) (d)

25 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci Por wnanie cen opcji Otrzymali my w wczas nast puj ce b dy: DATA B DY DLA: GS-NIG HPR-stab Blacka Otrzymali my znacznie wi ksze b dy ni w przypadku opcji na futures na indeks Nikkei, co gorsze aden z modeli nie da ceny cho by zbli onej do rynkowej cena opcji C C rz C mod (a) (b) cena opcji C 15 1 C rz C mod (c) Rysunek 3.1: Por wnanie cen oraz r nic pomi dzy cen rynkow a pochodz c z modelu dla dnia: (a), (b) (c), (d).3.98 GS-NIG (linia zielona), HPR-stab (ciemnoniebieska), Blacka (czerwona), cena rynkowa (jasnoniebieska) (d)

26 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci Optymalizacja parametr w modeli Staraj c si poprawi dopasowanie modeli, w podobny spos b jak poprzednio dokonali my wyboru parametr w maj c na uwadze minimalizacj b du sumarycznego. Po optymalizacji otrzymujemy nast puj ce parametry: DATA PARAMETRY DLA METODY: GS-NIG HPR-stab c :1 1 ; :7 1 ;4 1: Uzyskane przez optymalizacj parametry dla rozk adu NIG odbiegaj od tych uzyskanych przez estymacj, natomiast dla rozk adu stabilnego s zbli one cena opcji C C rz C mod (a) (b) cena opcji C 15 1 C rz C mod (c) Rysunek 3.13: Por wnanie cen oraz r nic pomi dzy cen rynkow a pochodz c z modelu dla dnia: (a), (b) (c), (d).3.98 po optymalizacji GS-NIG (linia zielona), HPR-stab (ciemnoniebieska), Blacka (czerwona), cena rynkowa (jasnoniebieska) (d)

27 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 7 Otrzymujemy w wczas nast puj ce b dy: DATA B DY DLA: GS-NIG HPR-stab Po optymalizacji b dy dla modelu GS-NIG znacz co zmala y i mo na m wi o dobrym dopasowaniu modelu do rynku. Natomiast model HPR-stab pozosta s abo dopasowany jego g wna wada polega na tym, e zani a cen opcji, kt ra jest w cenie. 3.4 Analiza u miech w zmienno ci 1. Wyznaczenie odcinka czasowego, na kt rym zar wno futures, jak i opcja s notowane wystarczaj co cz sto do uzyskania wiarygodnych wynik w.. Aby uzyska reprezentatywn cen opcji dla danego dnia z wyznaczonego odcinka mo na obliczy redni cen dla ofert kupna, redni cen dla ofert sprzeda y a nast pnie redni z tych dw ch dla ka dej z warto ci wykonania. 3. Znalezienie opcji o cenie najbardziej zbli onej do ceny redniej oraz ceny kontraktu futures o czasie transakcji najbardziej zbli onym do chwili transakcji opcji. Przyjmuje si, e modelem najlepiej dopasowanym do rynku jest ten, kt rego u miech zmienno ci jest najbardziej zbli ony do funkcji sta ej. Dla danych z Singapuru uzyskali my zaskakuj cy wynik. Najbardziej sta y jest u miech zmienno ci pochodz cy z modelu Blacka. Ciekawy jest kszta t u miechu zmienno ci z modelu HPR-stab. Dla opcji o wysokiej cenie wykonania przypomina funkcj sta, natomiast dla niskich estymowana zmienno gwa townie wzrasta. U miech zmienno ci z modelu GS-NIG najbardziej odpowiada swoim kszta tem nazwie. Dla danych z gie dy we Frankfurcie wykresy s zbli one do prostych, przy czym najbardziej r wnoleg do osi poziomej jest prosta z modelu Blacka, najmniej z modelu GS-NIG. W przypadku przeprowadzonej przeze mnie analizy trudno uzna u miechy zmienno ci za kryterium jako ci modelu. Model GS-NIG, kt ry (po optymalizacji) okaza si zdecydowanie najlepszy ma najmniej sta estymowan zmienno. Mo na to t umaczy w ten spos b, e model ten jest ma o wra liwy na zmiany parametru skali. Ciekawe okaza y si wyniki w przypadku modelu Blacka. Ten prosty model by por wnywalny z modelem GS-NIG (przed optymalizacj ), a przewy sza model HPR-stab. Dobre dopasowanie tego modelu potwierdza kszta t jego u miech w zmienno ci. Z e zachowanie modelu HPR-stab dla opcji, kt re s w cenie potwierdza zachowanie niekt rych u miech w zmienno ci (dla tych cen zmienno estymowana gwa townie ro nie). Zmienno dla pozosta ych cen jest w miar sta a.

28 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci estymowana zmiennosc estymowana zmiennosc (a) (b) estymowana zmiennosc..15 estymowana zmiennosc (c) (d) estymowana zmiennosc.5. estymowana zmiennosc (e) Rysunek 3.14: Estymowana zmienno z modelu: GS-NIG (linia czerwona), HPR-stab (jasnoniebieska), Blacka (r owa) dla opcji na kontrakt futures na indeks Nikkei w dniu (a) , (b) , (c) , (d).9.97 oraz kontrakt futures na indeks DAX w dniu (e) , (f).3.98 (f)

29 Rozdzia 4 Podsumowanie Od pocz tku stulecia starano si znale metod wyceny opcji oddaj c wiernie ceny rynkowe. Jednak odkrycie matematycznego sposobu opisu zachowa graczy wyceniaj cych w rzeczywisto ci opcje wydaje si niemo liwe. W celu coraz dok adniejszego wyznaczenia ceny opcji konstruuje si coraz bardziej z o one modele. Model Blacka-Scholesa wymaga wyestymowania z rynku jednego tylko parametru zmienno ci. Kolejne modele potrzebuj coraz wi kszej liczby parametr w charakteryzuj cych rozk ad zwrot w czynawet rozk ad odst p w pomi dzy poszczeg lnymi transakcjami. Pojawia si wi c problem ich w a ciwego wyznaczenia. Jak wa ny jest to problem mog za wiadczy wyniki niniejszej pracy. Dla parametr w wyznaczonych metodami statystycznymi model GS-NIG daje wyniki zbli one do modelu Blacka. Po zastosowaniu metod optymalizacji okazuje si, e istniej parametry, dla kt rych ten model daje wyniki zdecydowanie lepsze. Kolejnym wa nym zagadnieniem jest fakt, e wiele mo e zale e od przyj tych za o e. Model HPR-stab okaza si by najgorszym z modeli analizowanych przez nas, natomiast w pracy Hursta, Platena i Racheva ([15]) dawa on najlepsze wyniki. By mo e za o enie co do rozk adu odst p w czasu pomi dzy notowaniami, kt re by o s uszne w cytowanej pracy (autorzy przyj li, e rozk ad odst p w czasu jest ;stabilny) nie by o spe nione w naszych przypadkach. I dlatego warto zastanowi si czy proste modele nie s bardziej op acalne do zastosowania. Zauwa my, e dla danych z gie dy w Singapurze (gdzie rozk ad normalny da si dobrze dopasowa do zwrot w) model Blacka w niczym nie ust powa bardziej z o onym modelom. Mo e r wnie istnie zjawisko tzw. samospe niaj cej si przepowiedni, polegaj ce na tym, e inwestorzy najcz ciej wyceniaj opcje najbardziej znanym modelem typu Blacka-Scholesa i dlatego analizuj c ceny rynkowe okazuje si, e w a nie ten model jest do nich najbardziej adekwatny. Dodaje mu to dalszej popularno ci i jeszcze wi cej os b zaczyna go stosowa, itd. W ten spos b naj atwiej wyt umaczy zaobserwowan zbie no cen modelu i cen rynkowych. Uwa am, e zasadniczym wnioskiem p yn cym z tej pracy jest taki, e nie istnieje uniwersalny model sprawdzaj cy si na wszystkich rynkach. Jednak dobrym rozwi zaniem wydaje si by znalezienie modelu daj cego na danym rynku najbli sze ceny dladanych historycznych i dobieranie parametr w w procesie minimalizacji b du dla wcze niejszych notowa opcji.

30 Literatura [1] O.E. Barndor-Nielsen (1977): Eponentially Decreasing Distribution for the Logarithm of Particle Size, Proc. Royal Soc. London 353, [] O.E. Barndor-Nielsen (1994): Gaussian Inverse Gaussian Processes and the Modelling of Stock Returns, Technical report, Aarhus University. [3] O.E. Barndor-Nielsen (1995): Normal Inverse Gaussian Processes and the Modelling of Stock Returns, Research Report, Aarhus Univ. [4] F. Black, M. Scholes (1973): The Pricing of Options and Corporate Liabilities, J. Political Economy 81, [5] F. Black (1976): The Pricing of Commodity Contracts, J. Financial Economics 3, [6] R.C. Blattberg, N. Gonedes (1974): A Comparion of the Stable and Student Distributions as Statistical Models for Stock Prices, 47, [7] S. Bochner (1955): Harmonic Analysis and the Theory of Probability, University of California Press, Berkeley. [8] P.K. Clark (1973): A Subordinated Stochastic Process Model with Finite Variance for Speculative Prices, Econometrica 41, [9] J.C. Co, S.A. Ross, M. Rubinstein (1979): Option Pricing: A Simplied Approach, J. Financial Economics 7, [1] E. Eberlein, U. Keller (1995): Hyperbolic Distributions in Finance, Bernoulli 1, [11] E.F. Fama (1963): Mandelbrot and the Stable Paretian Hypothesis, J. Business 36, [1] E.F. Fama (1965): The Behaviour of Stock-Market Prices, J. Business 38, [13] T. Garli ski, R. Weron (1999): Kr tka historia VOLAX-u, Rynek Terminowy 4, 5-56 [14] H.U. Gerber, E.S.W. Shiu (1994): Option Pricing by Esscher Transform, Trans. Soc. Actuaries 46, [15] S.R. Hurst, E. Platen, S.T. Rachev (1995): Option Pricing for Asset Returns Driven by Subordinated Processes,Technical Report 81, Dep. of Statistics and Applied Probability, University of California, Santa Barbara, CA.

31 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 31 [16] S.R. Hurst, E. Platen, S.T. Rachev (1995): Subordinated Market Inde Models: A Comparison, Research Report, Australian National Univ. [17] J.E. Ingersoll JR. (1976): A Theoretical and Empirical Investigation of the Dual Purpose Funds: An Application of Contingent-Claims Analysis, J. Financial Economics 3, [18] I.A. Koutrouvelis (198): Regression-Type Estimation of the Parameters of Stable Laws, J. American Statistical Association 75, [19] I.A. Koutrouvelis (1981): An Iterative Procedure for the Estimation of the Parameters of the Stable Law, Commun. Statist. Simula. 1, [] U. K chler, K. Neumann, M. S rensen, A.Streller (1994): Stock Returns and Hyperbolic Distributions, Preprint, Humbolt University, Berlin. [1] D.B. Madan, E. Seneta (199): The Variance Gamma Model for Share Market Returns, J. Business 63, [] B. Mandelbrot (1963): New Methods in Statistical Economics, J. Political Economy 71, [3] B. Mandelbrot (1963): The Variation of Certain Speculative Prices, J. Business 36, [4] B. Mandelbrot (1967): The variation of Some Other Speculative Prices, J. Business 4, [5] B. Mandelbrot, H.M. Taylor (1967): On the Distribution of Stock Price Dierences, Operation Research [6] R. Merton (1973): Theory of Rational Option Pricing, Bell J. Economics and Management Science 4, [7] R. Merton (1976): Option Pricing when Underlying Stock Returns Are Discontinued, J. Financial Economics 3, [8] S. Mittnik, S.T. Rachev (1993): Modelling Asset Returns with Alternative Stable Distributions, Econometric Reviews 1, [9] M.F.M. Osborne (1959): Brownian Motion in the Stock Market, Operations Research 7, [3] P.D. Praetz (197): The Distribution of Share Price Changes, J. Business 45, [31] S.T. Rachev, L. R schendorf (1994): Models for Option Prices, Theory Probab. Appl. 39, [3] A. Rejman, A. Weron, R. Weron (1996): Option Pricing Proposals Under the Generalized Hyperbolic Model, Communications in Statistics Stochastic Models 4(13),

32 Alternatywne modele wyceny opcji a u miech zmienno ci 3 [33] P.A. Samuelson (1965): Rational Theory of Warrant Pricing, Industrial Management Rev. 6, [34] E.O. Thorpe (1973): Etensions of the Black-Scholes Option Model, Bulletin of the ISI, Proceedings of the 39th Session, [35] A. Weron, R. Weron (1998): In ynieria nansowa, WNT Warszawa. [36] R. Weron (1998): Modelowanie zmienno ci nansowych szereg w czasowych, rozprawa doktorska, PWr.