Analiza dynamiczna uproszczonego modelu walcowej przekładni zębatej z uwzględnieniem prostokątnego przebiegu sztywności zazębienia

Transkrypt

1 MARSZAŁEK Jerzy DREWNIAK Józef Analiza dynamiczna uproszczonego modelu walcowej przekładni zębatej z uwzględnieniem prostokątnego przebiegu sztywności zazębienia WSTĘP Przekładnie zębate należą do mechanizmów o dużej tendencji do generowania drgań. Przyczyną generowania drgań jest przede wszystkim dyskretny sposób przenoszenia obciążenia przez kolejne zęby wchodzące w przypór. Innym czynnikiem wewnętrznym mającym wpływ na powstawanie drgań kół zębatych są odchyłki wykonawcze zębów kół. Okresowo zmieniająca się liczba zębów w przyporze jest przyczyną powstawania okresowych wahań sztywności zazębienia. W wyniku tego zjawiska, nawet przy idealnie wykonanych kołach zębatych i stałym obciążeniu zewnętrznym następuje zmienne w czasie uginanie się zębów współpracujących kół. Ugięcia te są przyczyną nierównomierności obrotów koła napędzanego, co powoduje jego przyśpieszanie i opóźnianie cykliczne. Skutkiem tego błędu kinematycznego zazębienia wywoływane są drgania zębnika i koła, przez co obciążenie międzyzębne zwiększa swoja wartość [4]. W procesie projektowania przekładni zębatych ważne jest zatem badanie wpływu czynników wewnętrznych, tj. współczynników przesunięcia i klasy dokładności wykonania kół zębatych (odchyłek wykonawczych) na przebieg sztywności zazębienia i tym samym na generowane nadwyżki dynamiczne.. WYZNACZENIE PRZEBIEGU I WARTOŚCI SZYWNOŚCI ZAZĘBIENIA.. Parametry analizowanych przekładni Wyznaczenie sztywności zazębienia wymaga przyjęcia odpowiedniego obiektu badań. Przebieg sztywności zależy m.in. od wartości czołowego wskaźnika zazębienia. Dlatego dla celów porównawczych przeprowadzono obliczenia dla pięciu przekładni różniących się m.in. rzeczywistą odległością osi. Parametry analizowanych przekładni są zestawione w tabeli. Tab.. Podstawowe parametry analizowanych przekładni zębatych obliczone wg [3,4] Nazwa / oznaczenie / jednostka Przekładnia / wartość P I P II P III P IV P V Odległość osi kół, a [mm] 79 79, ,5 8 Współczynnik przesunięcia zarysu zębnika, x [-] 0 0,6 0,33 0,506 0,688 Współczynnik przesunięcia zarysu koła, x [-] 0 0,094 0,9 0,94 0,4 Długość odcinka przyporu, g α [mm] 9,995 9,603 9,07 8,794 8,36 Czołowy wskaźnik zazębienia, ε α [-],693,67,559,489,46 Sztywność maksymalna jednej pary zębów na całej szerokości wieńca zębatego, k th [N/m] Liczba zębów zębnika, z [-] 6 Liczba zębów koła, z [-] 53 Przełożenie geometryczne,038 Moduł normalny, m n [mm] Zerowa odległość osi, a d [mm] 79 Promień zasadniczy zębnika, r b [mm] 4,43 Promień zasadniczy koła, r b [mm] 49,804 Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej, Wydział Budowy Maszyn i Informatyki, Bielsko-Biała, ul. Willowa, jmarszalek@ath.bielsko.pl Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej, Wydział Budowy Maszyn i Informatyki, Bielsko-Biała, ul. Willowa, jdrewniak@ath.bielsko.pl 4784

2 .. Przebieg sztywności zazębienia wg wzoru Cai a Funkcja opisująca przebieg sztywności dla pojedynczej pary zębów () została tak określona przez autora [], aby jej wartość chwilowa zależała od położenia punktu przyporu: ' k,8 t th k th 0, 55 () 0,85 t t z z Okres zmian sztywności zazębienia dany jest wzorem: p et podziałka przyporu czołowa [mm], n prędkość obrotowa zębnika [obr/min]. t z 30 pet n rb,8 t () Rys.. Przebieg sztywności pojedynczych par zębów dla przekładni P I V wg wzoru () Sumaryczne sztywności zazębienia przedstawione na rysunku można potraktować jako wypadkowe z równoległego połączenia zmiennych sztywności pojedynczych par zębów z rysunku. Sposób sumowania sztywności został dokładnie przedstawiony w pracach [,5]. Rys.. Wypadkowe przebiegi sztywności zazębienia dla przekładni P I V.3. Maksymalna sztywność jednej pary zębów wg metody B (norma ISO 6336) [] Sztywność teoretyczna jednej pary zębów dla pełnotarczowych kół walcowych o zębach prostych oblicza się ze wzoru: 4785

3 c' th (3) q' Minimalna wartość podatności jednej pary zębów na mm szerokości wieńca zębatego wynosi: q' C C3 C5 x C7 x C C4 x C6 x C8 x C9 x zn zn zn zn (4) z n zastępcza liczba zębów dla zębnika, z n zastępcza liczba zębów dla koła, C...C stałe zestawione w tabeli. Tab.. Stałe C C [, 4] C C C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 C 9 0,0473 0,555 0,579-0, ,654-0,0093-0,488 0,0059 0,008 Sztywność teoretyczna (maksymalna) k th [N/m] dla jednej pary zębów na całej szerokości wieńca zębatego wyznacza się wg zależności: k' th c' thb (5) b szerokość wieńca zębatego koła [m]..4. Prostokątny (uproszczony) przebieg sztywności zazębienia Wypadkowe przebiegi sztywności zazębienia przedstawione na rysunku zostały wyznaczone na podstawie wzoru Cai a () i metody sumowania sztywności pojedynczych par zębów. Uzyskany charakter zmian sztywności można uznać za zbliżony do rzeczywistego, ponieważ w pracy [] przeprowadzono analizę dynamiczną modelu uwzględniającego sztywność wyznaczoną wg tych metod. Dodatkowo w celu sprawdzenia wyników przeprowadzono badania doświadczalne. Sztywność zazębienia może być opisana również w przybliżony sposób np. z wykorzystaniem przebiegu o charakterze prostokątnym. W tym celu należy wyznaczyć średnie wartości sztywności dla zazębienia jednoparowego (6) i dwuparowego (7). Wartość sztywności w przebiegu prostokątnym dla zazębienia jednoparowego: ks ks min ks max (6) Wartość sztywności w przebiegu prostokątnym dla zazębienia dwuparowego: kd kd min kd max (7) k s min minimalna wartość sztywności w zazębieniu jednoparowym [N/m], k s max maksymalna wartość sztywności w zazębieniu jednoparowym [N/m], k d min minimalna wartość sztywności w zazębieniu dwuparowym [N/m], k d max maksymalna wartość sztywności w zazębieniu dwuparowym [N/m]. Przykładowy przebieg sztywności o charakterze prostokątnym jest przedstawiony na rysunku

4 Rys. 3. Prostokątny przebieg sztywności zazębienia dla przekładni o rzeczywistej odległości osi a=80mm. IZOLOWANY MODEL DYNAMICZNY PRZEKŁADNI Przedstawiony na rysunku 4 uproszczony model dynamiczny przekładni walcowej składa się z dwóch kół zębatych o znanych masowych momentach bezwładności J i J oraz promieniach zasadniczych r b i r b, a współpracujące zęby są zamodelowane w postaci równolegle połączonych elementów, które odzwierciedlają zmienną w czasie sztywność zazębienia k m (t) i stałe tłumienie w zazębieniu c m. Model jest obciążony stałymi momentami - wejściowym T i wyjściowym T. Rys. 4. Izolowany model dynamiczny jednostopniowej przekładni walcowej Dynamiczne równania ruchu dla przyjętego modelu są sformułowane następująco [5]: J k ( t) r r r c r r r T (8) b b b m b b b rb rb rb cm rb rb rb m J km( t) T (9) Współczynnik dynamiczny oblicza się wg zależności: Kv Fc max Fbn (0) F bn nominalna wartość siły międzyzębnej wg [4] [N], F c max maksymalna siła międzyzębna wynikająca z drgań przekładni [N]. Siła międzyzębna obliczana jest ze wzoru: Fc km( t) x () Przemieszczenie względne wzdłuż linii przyporu dla przyjętego modelu wyznacza się ze wzoru: x x x () x r (3) b r b x (4) 4787

5 3. WYNIKI ANALIZY NUMERYCZNEJ Rozwiązaniem dynamicznych równań ruchu (8, 9) są przebiegi drgań x [m] wzdłuż linii przyporu w funkcji czasu [s] dla każdej z przekładni, co zostało przedstawione na rysunkach 5, 6, 7, 8 i 9. Następnie na podstawie wzoru (0) obliczono współczynniki dynamiczne K v dla dwóch rodzajów sztywności zazębienia rzeczywistego i prostokątnego. Rys. 5. Przemieszczenie x [m] wzdłuż linii przyporu dla przekładni o odległości osi a=79mm: a) w przypadku rzeczywistego przebiegu sztywności, b) w przypadku sztywności o przebiegu prostokątnym Rys. 6. Przemieszczenie x [m] wzdłuż linii przyporu dla przekładni o odległości osi a=79,5mm: a) w przypadku rzeczywistego przebiegu sztywności, b) w przypadku sztywności o przebiegu prostokątnym. Rys. 7. Przemieszczenie x [m] wzdłuż linii przyporu dla przekładni o odległości osi a=80mm: a) w przypadku rzeczywistego przebiegu sztywności, b) w przypadku sztywności o przebiegu prostokątnym 4788

6 Rys. 8. Przemieszczenie x [m] wzdłuż linii przyporu dla przekładni o odległości osi a=80,5mm: a) w przypadku rzeczywistego przebiegu sztywności, b) w przypadku sztywności o przebiegu prostokątnym. Rys. 9. Przemieszczenie x [m] wzdłuż linii przyporu dla przekładni o odległości osi a=8mm: a) w przypadku rzeczywistego przebiegu sztywności, b) w przypadku sztywności o przebiegu prostokątnym Korzystając z wzorów (0) i () obliczono wartości współczynników dynamicznych K v dla poszczególnych przypadków, czyli dla pięciu przekładni zębatych z dwoma rodzajami przebiegów sztywności zazębienia. Wyniki są przedstawione na rysunku 0. Rys. 0. Współczynnik dynamiczny K v dla analizowanych przekładni 4789

7 WNIOSKI Wraz ze zmianą odległości osi kół zębatych w przekładni walcowej spowodowaną zmianą współczynników przesunięcia zarysu zmienia się długość odcinka przyporu, czyli także czołowy wskaźnik zazębienia. Od wartości współczynników przesunięcia zarysu zależy także kształt zębów. Zmienia się więc także przebieg sztywności zazębienia, gdyż zależy od kształtu zębów współpracujących kół oraz czołowego wskaźnika przyporu. Z porównania przebiegów sztywności zazębienia tj. rzeczywistego i prostokątnego (Rys. 3) wynika, że różnice w wartościach sztywności są niewielkie. Także te niewielkie różnice w przebiegach sztywności nie mają istotnego wpływu na rozwiązanie zagadnienia dynamiki, co przedstawia wykres z rysunku 0, oprócz przekładni o odległości osi a=79,5mm. Większa rozbieżność w wartościach współczynnika dynamicznego K v dla tej przekładni wynikać może z tego, że prostokątny przebieg sztywności jest zbyt wrażliwy na stany podrezonansowe. Zalecana uproszczona postać przebiegu sztywności powinna być więc stosowana z dużą ostrożnością. W celu udowodnienia tego stwierdzenia należałoby przeprowadzić dokładniejsze symulacje, stosując np. modele dynamiczne o większej liczbie stopni swobody, badać stany rezonansowe itp. Należy tutaj podkreślić, że wartości współczynników K v dla ostatniej przekładni o odległości osi a=8mm) są sobie równe. Streszczenie W niniejszym artykule przedstawiono metodę wyznaczania współczynnika dynamicznego K v dla pięciu walcowych przekładni zębatych o zębach prostych. W każdym przypadku przełożenie par kół zębatych jest jednakowe, ale różnice występują m.in. w rzeczywistej odległości osi i kształtach zębów. Przedstawiono prosty model dynamiki walcowej przekładni zębatej, jako pary współpracujących kół zębatych. Jest to tzw. model izolowany. Obliczenia przeprowadzono z wykorzystaniem sztywności zazębienia o przebiegu zbliżonym do rzeczywistego oraz uproszczonego przebiegu prostokątnego. Zagadnienie dynamiki zostało rozwiązane metodą numeryczną z wykorzystaniem programu MATLAB. Z równań dynamiki wyznaczono przebieg drgań zębnika i koła w zależności od parametrów przekładni i przyjętego przebiegu sztywności zazębienia. Wykazano większą rozbieżność w wartościach współczynnika dynamicznego K v tylko dla jednej przekładni. Słowa kluczowe: dynamika przekładni, prostokątny przebieg sztywności, współczynnik dynamiczny K v Dynamic analysis of a simplified model of a cylindrical gear including the rectangular course of teeth mesh stiffness Abstract The present paper presents the way of determining the K v dynamic factor for five cylindrical gears with straight teeth. In all cases, ratio gear pairs is the same, but the differences occur in the distance between the two axis. A simple model of gear dynamics is presented in the paper. The gear is considered for simplicity as a pair of gear wheels. In general, it is so called isolated physical system. Calculations were performed using the similar to the real mesh stiffness and square diagram of mesh stiffness function. The problem of dynamic has been solved using program MATLAB. Based on the dynamical equations, the vibrations of the pinion and the wheel were calculated (depending on the gears parameters and the time-varying mesh stiffness). It is shown a higher variance in the values of dynamic factor K v only for one gear. Keywords: cylindrical gear dynamic, rectangular course of teeth mesh stiffness, dynamic factor K v BIBLIOGRAFIA. Norma ISO 6336-:006 Przekładnie zębate walcowe. Obliczanie nośności kół. Podstawowe zasady i ogólne czynniki wpływające.. Cai Y., Hayashi T.: The Linear Approximated Equation of Vibration of a Pair of Spur Gears (Theory and Experiment). Journal of Mechanical Design, Drewniak J.: Projektowanie kół zębatych walcowych, stożkowych i ślimakowych wg norm ISO. Wydawnictwo ATH, Bielsko Biała 009. ISBN Jaśkiewicz Z., Wąsiewski A.: Przekładnie walcowe. Geometria wytrzymałość dokładność wykonania. Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa 99. ISBN

8 5. Marszałek J.: Analiza dynamiki walcowej przekładni zębatej. Praca dyplomowa magisterska. Akademia Techniczno Humanistyczna. Bielsko Biała