Wyznaczanie charakterystyk cz stotliwoêciowych drgajàcych uk adów mechatronicznych *)

Transkrypt

1 Wyznaczanie charakterystyk cz stotliwoêciowych drgajàcych uk adów mechatronicznych *) ANDRZEJ BUCHACZ Szczególne zainteresowanie przemys u i naukowców podczas projektowania maszyn jest zwrócone na podnoszenie ich sprawnoêci i niezawodnoêci. Wiele ga zi przemys u skupia si tak e na problemie miniaturyzacji istniejàcych uk adów, a tak e na zmniejszeniu ich energoch onnoêci. Konieczne staje si poszukiwanie nowych rozwiàzaƒ, majàcych na celu redukcj elementów ruchomych oraz skomplikowanych i d ugich aƒcuchów kinematycznych. Stàd w ostatnich latach widoczny jest rozwój nowych technologii opartych na zjawisku piezoelektrycznoêci, elektro- i magnetostrykcji [1 8]. W wielu publikacjach mo na znaleêç wyznaczanie charakterystyk uk adów mechatronicznych drgajàcych skr tnie [9, 10] oraz sformu owanie problemu drgajàcych skr tnie i gi tnie uk adów mechatronicznych [4]. Uk ad mechatroniczny drgajàcy gi tnie Rozwa ono jednorodnà belk spr ystà o pe nym przekroju A, sta ym na ca ej d ugoêci l oraz sztywnoêci na zginanie EI (rys. 1). Belk wykonano z tworzywa o module Younga E oraz g stoêci ρ. Do powierzchni belki przytwierdzono w sposób idealny przetwornik piezoelektryczny p ytkowy. Do zacisków aktuatora piezoelektrycznego przy o one jest harmoniczne napi cie wymuszajàce, wywo ujàce drgania harmo- Rys. 1. Uk ad mechatroniczny z wymuszeniem napi ciowym * ) Prac wykonano w ramach projektu badawczego N /3719 finansowanego przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wy szego w latach Prof. dr hab. in. Andrzej Buchacz jest pracownikiem Instytutu Automatyzacji Procesów Technologicznych i Zintegrowanych Systemów Wytwarzania Politechniki Âlàskiej. niczne oddzia ujàce na belk. W uk adzie uwzgl dnia si dodatkowo t umienie natury elektrycznej. Rozpatrywany w niniejszej pracy model uk adu mechatronicznego poddawany jest napr eniom zginajàcym. W zwiàzku z tym przyj to model przetwornika piezoelektrycznego, rozpatrywanego jako aktuator zginajàcy (Bendig Actuator [7]). Równanie kon- ROK WYD. LXVIII ZESZYT 9/

2 stytutywne piezoelektryka, z uwzgl dnieniem zmian jego sztywnoêci pod wp ywem pola elektrycznego, jest nast pujàce [1 3, 5 8]: modu spr ystoêci przetwornika piezoelektrycznego, zmierzony przy ustalonej wartoêci napi cia wymuszajàcego, d 31 sta a piezoelektryczna przetwornika. Moment zginajàcy spowodowany poprzecznym obcià eniem elektrycznym opisano zale noêcià [1, 7]: Moment bezw adnoêci przetwornika piezoelektrycznego po uproszczeniach wynosi: (1) (2) (4) H( ) = [H(x x 2 ) H(x x 1 )] funkcja Heaviside a, δ( ) funkcja Diraca, dδ( ) δ ( ) = = [δ (x x dx 2 ) δ (x x 1 )] pochodna funkcji Diraca. Równanie przetwornika piezoelektrycznego ma form (por. [4]): 1 α = d 2 31 h p Rozpatrywany uk ad mechatroniczny (rys. 1) opisano zatem nast pujàcym uk adem równaƒ: (9) (10) U(t) = U o cosωt. Zgodnie z metodà Galerkina rozwiàzania poszukuje si w postaci sumy funkcji w asnych, odpowiadajàcych zmiennym czasu i po o enia, czyli: Podstawiajàc (1) oraz (4) do (2), otrzymuje si po przekszta ceniach: (5) (11) Wymuszenie momentem zwiàzane z przetwornikiem piezoelektrycznym okreêlone jest w przedziale x (z 1, z 2 ). Wprowadzajàc do równania (5) funkcj Heaviside a, wyeliminowano wp yw momentu poza przedzia em, czyli: W przypadku danego uk adu mechatronicznego (rys. 1), równanie drgaƒ gi tnych belki jest nast pujàce [7]: (6) (7) Rozwiàzanie (11) musi spe niaç warunki brzegowe w postaci: (12) JeÊli wymuszenie ma charakter harmoniczny, to napi cie wygenerowane na zaciskach piezoprzetwornika równie b dzie mia o taki charakter, czyli: U = Bcosωt (13) Po wyznaczeniu odpowiednich pochodnych wzgl dem czasu i wspó rz dnej przestrzennej oraz podstawieniu ich do równaƒ, opisujàcych drgania i stan uk adu mechatronicznego, uk ad równaƒ (10) przybiera form : i po podstawieniu (6) przybiera postaç: (8) luo przekszta ceniach postaç macierzowà: (14) (15) czyli: W A = F (16) Wyznacznik g ówny uk adu równaƒ (16) jest równy: szerokoêç belki, (17) 24 ROK WYD. LXVIII ZESZYT 9/2009

3 Rys. 2. Wykres charakterystyk przy pierwszej postaci drgaƒ w asnych Zast pujàc w (15) pierwszà kolumn kolumnà wyrazów wolnych, wyznacznik pomocniczy przybiera postaç: Amplitud A wyznacza si jako: a wi c: (18) (19) (20) i ostatecznie charakterystyka, czyli zale noêç przemieszczenia od napi cia, przyjmuje form : (21) Stosujàc twierdzenie Eulera, po przekszta ceniach, charakterystyk mo na zapisaç jako: (22) WartoÊç bezwzgl dna charakterystyki α y = Y wynosi zatem: (23) Nast pnie pokazano wp yw rodzaju piezoelektryka na charakterystyki uk adu mechatronicznego, przedstawionego na rys. 1. Wp yw ten wyznacza si przez dokonanie analizy porównawczej, przy zmienionych wartoêciach sta ej dielektrycznej d 31 i sztywnoêci, zale nych od rodzaju zastosowanego w modelu piezoelektryka. Aby zatem wyznaczyç wykresy charakterystyk (rys. 2 4), okreêlonych zale noêcià (23), przyj to wartoêci wielkoêci fizycznych elementów uk adu mechatronicznego, podane w tab. I, oraz wartoêci sta ej dielektrycznej i sta ej sztywnoêci piezoelektryków [5 7], wymienione w tab. II. TABELA I. Dane uk adu mechatronicznego Dane geometryczne belki b b = 0, 01 m h b = 0,005 m l = 0,1 m Dane materia owe belki E = 2, N/m 2 I = 4, m 4 ρ = 7, kg/m 3 Dane geometryczne piezoelektryka l p Dane lokalizacyjne piezoelektryka z 1 TABELA II. Dane piezoelektryków, N/m 2 d 31, C/ N PZT-2 13, , PZT-4 13, , PZT-5A 12, , PZT-5H 12, , PZT-6B 16, , PZT-7A 14, , PZT-8 13, , BaTiO (tytanian baru) 3 15, , α-lijo (niobian litu) 3 83, , ZNO (tlenek cynku) 21, , Pb 2 KNb 5 O 15 (niobian o owiowo-potasowy) 16, , LiTaO 3 (tantalan litu) 23, , Po przeprowadzeniu analizy porównawczej charakterystyk uk adu mechatronicznego oraz uk adu mechanicznego, stwierdza si, e bieguny tych charakterystyk ulegajà przesuni ciu w stosunku do ROK WYD. LXVIII ZESZYT 9/

4 Rys. 3. Wykres charakterystyk przy drugiej postaci drgaƒ w asnych Rys. 4. Wykres charakterystyk przy trzeciej postaci drgaƒ w asnych uk adu mechanicznego; gdy sta a sztywnoêci piezoelektryka jest rz du 20, N/m 2, wówczas bieguny charakterystyk uk adu mechatronicznego nie ulegajà przesuni ciu w stosunku do biegunów uk adu mechanicznego. Istniejàce ró nice pomi dzy wartoêciami cz stoêci rezonansowych sà efektem zastosowania w modelu obliczeniowym przetworników piezoelektrycznych o wy szych wartoêciach ich sztywnoêci. W zwiàzku z tym na rysunkach 2, 3 i 4 przedstawiono przyk adowo wp yw sztywnoêci piezoelektryka na charakterystyki dynamiczne przy postaciach drgaƒ w asnych, odpowiadajàcych trzem poczàtkowym cz stoêciom drgaƒ w asnych. Podsumowanie Przedstawione uj cie pozwala globalnie spojrzeç na zachowanie si uk adu mechatronicznego. Wp yw zmian wartoêci wielkoêci materia owych, które zale à bezpoêrednio od rodzaju piezoelementu i jego wymiarów geometrycznych, na przebiegi charakterystyk, rodzaj drgaƒ uk adu mechatronicznego, a przede wszystkim uaktywnienie oprócz przetwornika piezoelektrycznego równie poduk adu mechanicznego, stanowià asumpt do dalszych badaƒ w rozpatrywanej problematyce. LITERATURA 1. Chen L.-W., Lin C.-Y., Wang C.-C.: Dynamic stability analysis and control of a composite beam with piezoelectric layers. Composite Structures, 56, 1, 2002, pp Ha S. K.: Analysis of a piezoelectric multimorph in extensional and flexular motions. Journal of Sound and Vibration, 253, 3, 2002, pp Heimann B., Gerth W., Popp K.: Mechatronika komponenty, metody, przyk ady. PWN, Warszawa Kurnik W.: Damping of mechanical vibrations utilizing shunted piezoelements. Machines Dynamics Problems, 28, 4, 2004, pp Singh S.P., Singh H.P., Agarwal V.P.: Efficient modal control strategies for active control of vibrations. Journal of Sound and Vibration, 262, 3, 2002, pp Soluch W.( red.): Wst p do piezoelektroniki. Warszawa WKi, Warszawa Wang Q., Wang C. M.: A controllability index for optima design of piezoelectric actuators in vibration control of beam structures. Journal of Sound and Vibration, 242, 3, 2001, pp Young C. S., Park Y. E., Chang S. H., Sung K. H.: Five-port equivalent electric circuit of piezoelectric bimorph beam. Sensors and Actuators, 84, pp ROK WYD. LXVIII ZESZYT 9/2009

5 Dokoƒczenie z 26 str. 9. Buchacz A.: Influence of a piezoelectric on characteristics of vibrating mechatronical system. Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering. Vol. 17, Issue 1-2, International OCOSCO World Press, July-August 2006, pp Buchacz A.: Calculation of characteristics of torsionally vibrating mechatronic system. Journal of Achievements in Materials and Manufacturing Engineering. Vol. 20, Issue 1-2, International OCOSCO World Press, January-February 2007, pp ROK WYD. LXVIII ZESZYT 9/