= Odpowiedź: Pole wielokąta ECD jest równe 37,5, a pole wielokąta BEDA jest równe 58,5. Kryteria oceniania

Transkrypt

1 Finał Wojewódzkiego Konkursu Matematycznego dla uczniów gimnazjów rok szkolny 014/015 W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania zadania uczeo otrzymuje maksymalną liczbę punktów. Tytuł finalisty:6 pkt Tytuł laureata: 16 pkt Zadanie 1 [4 pkt.] Dany jest trójkąt ABC taki, że AB = 1; BC = 16; CA = 0. Oblicz pola wielokątów, na które symetralna boku AC podzieliła trójkąt ABC. A I sposób D B E C Trójkąt ABC jest prostokątny. ABC~ EDC (kk) ED DC = AB BC 1 ED 10 = 1 16 ED = 1 10 = 7, = = 400 = 0 EC = P ABC = 1 AB BC = = 96 AC EC = BC DC AC DC BC P ECD = 1 DC DE = ,5 = 7,5 P BEDA = P ABC P EDC = 96 7,5 = 58,5 Odpowiedź: Pole wielokąta ECD jest równe 7,5, a pole wielokąta BEDA jest równe 58,5. = = 1 1 ED = EC DC = = 5 4 ED = 7,5 Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy Obliczy długośd odcinka EClub pole trójkąta ABC Uczeo otrzymuje punkty, gdy Obliczy długośd odcinka ED Obliczy pole trójkąta EDC Uczeo otrzymuje 4 punktów, gdy Obliczy pole wielokąta BEDA Uwaga! Jeżeli uczeo zauważy, że trójkąt ABC jest prostokątny ale nie przedstawi poprawnej metody rozwiązania zadania, to otrzymuje 0 punktów.

2 II sposób A D B E C Trójkąt ABC jest prostokątny = = 400 = 0 ABC~ EDC (kk) k skala podobieostwa k = = 5 8 k = 5 64 P ABC = 1 AB BC = = 96 P ECD = k P ABC = 7,5 P BEDA = P ABC P EDC = 96 7,5 = 58,5 Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy Obliczy skalę podobieostwa lub obliczy pole trójkąta ABC Uczeo otrzymuje punkty, gdy Obliczy skalę podobieostwa i obliczy pole trójkąta ABC Obliczy pole trójkąta EDC Uczeo otrzymuje 4 punktów, gdy Obliczy pole wielokąta BEDA Uwaga! Jeżeli uczeo zauważy, że trójkąt ABC jest prostokątny ale nie przedstawi poprawnej metody rozwiązania zadania, to otrzymuje 0 punktów.

3 Zadanie [4pkt.] W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokośd ma długośd 8, a stosunek wysokości ściany bocznej do krawędzi bocznej jest równy S. Oblicz objętośd ostrosłupa. b D k C P R A a B I sposób a długośd krawędzi podstawy k długośd wysokości ściany bocznej b długośd krawędzi bocznej h długośd wysokości ostrosłupa Z zależności k = wynika, że ściana boczna jest trójkątem równobocznym i b=a. b Stosujemy Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta CPS Podstawiamy b=a h + a h + a = b = a a = a V = 1 P p h = 1 Odpowiedź: Objętośd ostrosłupa jest równa = 1 a P p = a = = 104 = 41 1 Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy: uzasadni, że ściana boczna jest trójkątem równobocznym. Uczeo otrzymuje punkty, gdy zastosuje twierdzenie Pitagorasa wybranego trójkąta (SPR lub CPS) obliczy długośd krawędzi podstawy ostrosłupa Uczeo otrzymuje 4 punkty, gdy obliczy objętośd ostrosłupa Uwaga! Jeżeli uczeo rozpatruje inną bryłę niż ostrosłup prawidłowy czworokątny, to otrzymuje 0 punktów.

4 II sposób k b = b = k b = 4k Stosujemy twierdzenie pitagorasa do trójkątów SPR i SPC k = 64 + a k = 4k a V = 1 Odpowiedź: Objętośd ostrosłupa jest równa a k = k k = 64 k = 4 6 = = a = = = 41 1 Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy: Zastosuje twierdzenie Pitagorasa do jednego z trójkątów (SPR lub CPS) Uczeo otrzymuje punkty, gdy Zastosuje twierdzenie Pitagorasa do dwóch trójkątów (SPR i CPS) obliczy długośd wysokości ściany bocznej lub krawędzi bocznej i długośd krawędzi podstawy ostrosłupa Uczeo otrzymuje 4 punkty, gdy obliczy objętośd ostrosłupa Uwaga! Jeżeli uczeo rozpatruje inną bryłę niż ostrosłup prawidłowy czworokątny, to otrzymuje 0 punktów. 4

5 Zadanie [ pkt.] W pewnej grupie są dziewczęta i chłopcy. Gdyby każdy chłopiec był starszy o 5 lat, a każda dziewczyna była młodsza o lata, to średnia wieku całej grupy zwiększyłaby się o lata. Oblicz, jaką częśd tej grupy stanowią dziewczęta. c - liczba chłopców d - liczba dziewcząt 5c d = (d + c) c = 5d c =,5d d,5d + d = d,5 d = 7 Odpowiedź: Dziewczęta stanowią 7 grupy. Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy: ułoży równanie na podstawie warunków zadania Uczeo otrzymuje punkty, gdy: uzależni liczbę dziewcząt od liczby chłopców lub odwrotnie : poda prawidłową odpowiedź. 5

6 Zadanie 4 [ pkt.] Jaś i Małgosia sprawdzając listę laureatów konkursu matematycznego zauważyli, że za Małgosią uplasowało się dwa razy więcej laureatów niż przed Jasiem. Ponadto za Jasiem uplasowało się 1,5 razy więcej laureatów niż przed Małgosią. Małgosia znalazła się na 1 pozycji. Ilu laureatów zawierała lista? x- liczba laureatów przed Jasiem x liczba laureatów za Małgosią Przed Małgosią jest 0 laureatów, zatem za Jasiem jest 1,5*0 = 0 laureatów 19 - x liczba laureatów między Małgosią i Jasiem x x = 0 x = = 41 Odpowiedź: Na liście znajduje się 41 laureatów. Rozwiązanie graficzne x Jaś 0 1,5*0=0 Małgosia x 0 = 0 1 x + x + 1 x = = 41 Odpowiedź: Na liście znajduje się 41 laureatów. Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy obliczy liczbę laureatów znajdujących się na liście za Jasiem - 0 Uczeo otrzymuje punkty, gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą prowadzące do obliczenia liczby laureatów znajdujących się na liście przed Jasiem poda prawidłową liczbę laureatów (41) 6

7 Zadanie 5 [ pkt.] Liczby a, b i c są naturalne. Liczba a jestliczbą czterocyfrową. Liczba b jest liczbą sześciocyfrową i powstała przez dopisanie do liczby a na koocu dwóch cyfr: 1 oraz (1 jako cyfra dziesiątek, jako cyfra jedności). Liczba c jest liczbą sześciocyfrową i powstała przez dopisanie do liczby a dwóch cyfr na początku. Liczba b jest trzykrotnością liczby c. Znajdź liczbę a. a naturalna liczba czterocyfrowa b = 100a + 1 c = a spr = 6804* Szukana liczba, to a = 100a a = a = 6804 Odpowiedź: Liczba a, to Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy: zapisze liczbę b i c w zależności od a (b = 100a + 1; c = a) Uczeo otrzymuje punkty, gdy: zapisze równanie wynikające z treści zadania : poda prawidłową odpowiedź. 7

8 Zadanie 6 [ pkt.] Udowodnij, że suma jest podzielna przez = ( ) = ( )( ) = = ( ) C Odpowiedź: Sumę można przedstawid w postaci iloczynu liczby 16 i liczby całkowitej, zatem jest podzielna przez 16. Uczeo otrzymuje 1 punkt, gdy Przedstawi sumę w postaci Uczeo otrzymuje punkty, gdy Przedstawi liczbę w postaci ( )( ) Przedstawi sumę w postaci iloczynu liczby 16 i liczby całkowitej. 8