nr 39 Czasopismo dla nauczycieli szkó³ œrednich cena 7,20 z³ ISSN Z wzorami i bez wzorów O liczbach pierwszych Historia jednej kartkówki

Transkrypt

1 nr 39 wrzesieñ/ paÿdziernik/2009 Czasopismo dla nauczycieli szkó³ œrednich cena 7,20 z³ ISSN Z wzorami i bez wzorów O liczbach pierwszych Historia jednej kartkówki

2 2 ZAPRASZAM DO LEKTURY! Prościej, czyli trudniej Rachunek prawdopodobieństwa dla zakresu podstawowego ma być prostszy, bo nie wymaga się już znajomości wzorów kombinatorycznych. Spodziewaliśmy się, że na maturze pojawiać się będą zadania, które można rozwiązać, używając zdrowego rozsądku i zasady mnożenia. Tymczasem zadania są często takie same jak wcześniej, tylko uczniowie mają je teraz rozwiązać, prowadząc pewne rozumowanie, a nie bezmyślnie stosując wzory. I tu powstaje problem: czy naprawdę mniej wymagamy od uczniów, gdy zabieramy im pewne narzędzia, ale zadania, które mają wykonać są takie same? O tym jest artykuł Alicji Juneckiej zamieszczony na stronach 16 18, a w innych artykułach z Tematu numeru (tym razem jest nim prawdopodobieństwo) znajdą Państwo pomysły na lekcje z rachunku prawdopodobieństwa. W tym numerze Matematyki w Szkole znajdą Państwo także artykuł Magdaleny Korczak opisujący jedną z metod radzenia sobie z agresją uczniów (s ), artykuł Piotra Zarzyckiego o wzorach na liczby pierwsze (s ) i wiele innych tekstów, które mogą przydać się do przygotowania szkolnych lekcji. Artykułów w wydanych do tej pory kilkudziesięciu numerach Matematyki w Szkole sporo się już nagromadziło i Czytelnicy zwracali nam uwagę, że ciężko jest odszukać potrzebny materiał, przerzucając kolejne numery naszego czasopisma. Dlatego przygotowaliśmy wygodną internetową wyszukiwarkę (a nawet dwie), która pomoże znaleźć wszystkie artykuły na temat właśnie przygotowywanej przez Państwa lekcji. Więcej informacji o tych wyszukiwarkach znajduje się na stronach Życzę powodzenia i wytrwałości w nowym roku szkolnym, a przede wszystkim, aby uczniowie osiągnęli dobry wynik na tym razem naprawdę nowej maturze.

3 Matematyka wszkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich Adres redakcji: Gdańsk al. Grunwaldzka 413 tel Dział sprzedaży: tel fax Adres do korespondencji: Matematyka w Szkole Czasopismo dla nauczycieli szkół średnich skr. poczt Gdańsk 52 gazetamws@gwo.pl Wydawca: Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Sp. z o.o Gdańsk, al. Grunwaldzka 413 KRS przy Sądzie Rejonowym w Gdańsku Redaktor naczelny: Marcin Karpiński Redaguje kolegium: Marcin Braun Małgorzata Domian Agnieszka Frączyk Aleksandra Golecka-Mazur Jacek Lech Agnieszka Szulc Projekt graficzny: Rafał Szczawiński / Pracownia Ilustracje: Sławomir Kilian SPIS TREŚCI EDUKACJA 4 Marcin Karpiński Jak zniechęcić do matematyki 6 Jacek Lech Listy z Antwerpii TEMAT NUMERU PRAWDOPODOBIEŃSTWO 8 Adrian Pająk Sprawdzanie totolotka 11 Elżbieta Drewczynska, Nikodem Mrożek Kostki Borsuka 13 Marcin Braun Profesor Borsuk i jego zwierzątka 16 Alicja Junecka Z wzorami i bez wzorów 19 Małgorzata Rucińska-Wrzesińska Zadania z kartami NAUCZANIE MATEMATYKI 21 Piotr Zarzycki O liczbach pierwszych (cz. 1) 23 Konkurs PWN 24 Dorota Jeziorska Historia jednej kartkówki 25 Książki nadesłane 26 Dominika Szpic-Siwińska Strach przed dowodami 28 Agnieszka Piecewska-Łoś Trzynaście ksiąg. Wokół sumy kątów 31 Dwie wyszukiwarki 33 Magdalena Korczak Antidotum na przemoc 36 Marzena Filipowicz-Chomko, Edward Zych Śladami Euklidesa. Zadania na dowodzenie (cz. 2) MATERIAŁY 38 Jolanta Wojtoń Karty pracy dla słabych uczniów, cz.1 43 Adam Wojaczek Zestawy maturalne arkusz 1 ZOSTATNIEJŁAWKI 46 Dziennikarz jak lekarz Skład: Maria Chojnicka Agnieszka Frączyk Zdjęcie na okładce: Leszek Jakubowski Druk i oprawa: Normex, Gdańsk Nakład: 1200 egz.

4 26 NAUCZANIE MATEMATYKI Dominika Szpic-Siwińska STRACH PRZED DOWODAMI Przyjrzyjmy się dwóm zadaniom: 1. Liczby x 2, 3, x + 6 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x. 2. Udowodnij, że jeśli liczby x 2, 3, x +6 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego, to x =1. Pierwsze zadanie pochodzi z informatora maturalnego na rok 2010 i należy raczej do zadań łatwych. Drugie jest na dobrą sprawę jeszcze łatwiejsze do zrobienia jest to samo, tylko została podana odpowiedź, więc na koniec łatwo można sprawdzić wynik. Niestety, są uczniowie, którzy bez większych problemów rozwiążą zadanie 1., a zadania 2. nawet nie zaczną. Dlaczego? Bo zaczyna się od groźnego słowa udowodnij. A to słowo wiąże się w głowie ucznia z trudnościami nie do przezwyciężenia. Warto byłoby więc zachęcić wszystkich uczniów do rozwiązywania prostych zadań na dowodzenie, np. zwracając uwagę, że podobne zadania mogą się pojawić na maturze. Straszenie w informatorze Niestety, w informatorze na rok 2010 praktycznie wszystkie zadania z poleceniem udowodnij są trudne. Jaki wniosek wyciągnie z tego faktu przeciętny uczeń? Taki, jak dotychczas dowodów i tak nie zrobię, lepiej więc się zająć pozostałymi zadaniami. Jakby na potwierdzenie większość zadań z dowodami znajduje się na samym końcu informatora: Jeśli wszystko inne już umiesz, możesz się zająć dowodzeniem. Nie kwestionuję faktu, że matura powinna obejmować także zadania trudne. Inaczej nie będzie różnicować uczniów. Nie powinno być jednak tak, że zbiory zadania trudne i zadania na dowodzenie się pokrywają.

5 NAUCZANIE MATEMATYKI 27 Łatwy dowód algebraiczny W informatorze znajduje się też przykład łatwego dowodu algebraicznego (zadanie 106 a, s. 92): Udowodnij, że jeśli x, y są liczbami rzeczywistymi, to x 2 + y 2 2xy. Uczeń powinien przenieść wszystko na jedną stronę nierówności, skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia i wreszcie zauważyć, że kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny. Ale musi zrobić coś jeszcze: albo pomiędzy dotychczasowe przekształcenia wpisać znaki równoważności, albo przepisać je z brudnopisu w odwrotnej kolejności. W przeciwnym wypadku jego rozumowanie będzie przejściem od tezy do założenia, a to nie jest jeszcze dowód. Jednym słowem mało rachunków, trochę logicznego rozumowania. Szkoda tylko, że to zadanie jest tylko rozgrzewką do podpunktu b), znacznie trudniejszego, dla przeciętnego ucznia zupełnie poza zasięgiem. temat (choć i tu przydałyby się przykłady prostsze niż w informatorze). Tego typu proste dowody warto wykorzystywać na lekcjach, aby ośmielić uczniów do dowodzenia. Być może na maturze trafią na prosty przykład podobny do zadania 106 a). Byłoby szkoda, gdyby z obawy przed dowodzeniem nawet nie zaczęli go rozwiązywać. Polecenie do wszystkich przykładów brzmi, oczywiście, udowodnij, że. ab 1. Jeśli a 2 + b = 1,to a = b Dla dowolnych dodatnich liczb a i b liczba a 3 + b 3 jest podzielna przez liczbę a + b. 3. Liczba jest podzielna przez Liczba jest podzielna przez Jeśli 2x y =0,toliczbyx + y, 2x, x tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny. 6. Jeśli liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego i w tej samej kolejności są wyrazami pewnego ciągu geometrycznego, to a = b = c. 7. Jeśli liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, a liczby a 2, b 2, c 2 także są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to a = b = c. 8. Jeśli liczby a, b, c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to log a, log b, log c tworzą w tej samej kolejności ciąg arytmetyczny. Kilka przykładów Oto kilka przykładów prostych zadań na dowodzenie. Celowo ograniczyłam się tutaj do algebry dowody geometryczne to osobny A na koniec coś ciekawszego dla Państwa. Czy gdybyśmy w zadaniu 7. dopuszczali możliwość, że liczby a 2, b 2, c 2 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, ale niekoniecznie w podanej kolejności, to teza nadal byłaby prawdziwa?

6 NAUCZANIE MATEMATYKI 33 Magdalena Korczak ANTIDOTUM NA PRZEMOC W pracy dydaktyczno-wychowawczej z agresją spotykamy się na co dzień. Najczęściej ganimy, tłumimy, karzemy za przemoc, jakiej dopuszczają się nasi uczniowie. Ale czy sama kara wystarczy? Czy to powstrzyma młodego człowieka przed kolejnym czynem agresywnym? Zamiast ganić, zaproponujmy jakąś alternatywę, nauczmy młodzież zachowań społecznie pożądanych i takich, które konstruktywnie pomogą nam rozwiązywać sytuacje problemowe. Dawania takiej alternatywy można się nauczyć podczas Treningu Zastępowania Agresji ART, w którym uczestniczyłam. Pomaga zredukować agresję i przemoc u uczniów w każdym wieku. Wymaga poświęcenia czasu i wysiłku, ale warto, ponieważ rezultaty są widoczne. Wdrażanie programu Cały kurs trenerski ART składa się z pięciu części. Szczegółowe informacje można znaleźć na stronie Tutaj opiszę część czwartą: Praktykę trenera ART. Program ten jest zazwyczaj prowadzony przez dwóch trenerów i trwa dziesięć tygodni, a spotkania odbywają się w szkole trzy razy w tygodniu i trwają nie dłużej niż jedną godzinę zegarową. Najlepiej kiedy grupa uczniów nie przekracza ośmiu osób, ponieważ wówczas warunki do prowadzenia treningu są optymalne. W każdej szkole jest wielu uczniów agresywnych, ale może być problem z utworzeniem grupy treningowej, dlatego polecam, aby wziąć do programu osoby, które są w szkole warunkowo lub mają podpisany kontrakt. Uczeń również może uczestniczyć w programie na polecenie dyrekcji lub pedagoga szkolnego. Przez uczestnictwo w ART uczniowie będą mogli odkupić swoje przewinienia i winy. Kiedy zbierzemy już grupę docelową, ustalamy miejsce, dni i godziny spotkań oraz negocjujemy z młodzieżą reguły, które będą obowiązywały na treningu, oraz informujemy, czym będziemy się zajmować. Trzy komponenty Młodzi ludzie reagują agresywnie, ponieważ brak im umiejętności interpersonalnych, nie potrafią kontrolować złości oraz niewłaściwie uzasadniają moralny aspekt swoich czynów. Trening Zastępowania Agresji ART bierze pod uwagę powyższe trzy deficyty i dlatego składa się z trzech komponentów: treningu umiejętności społecznych, kontroli złości, wnioskowania moralnego. Prowadząc trening trzy razy w tygodniu, w każdym dniu pracujemy nad innym komponentem. W pierwszym kształtujemy umiejętności społeczne, w drugim pracujemy nad złością, a podczas trzeciego dnia

7 34 NAUCZANIE MATEMATYKI zajmujemy się wnioskowaniem moralnym. I tak kolejno przez dziesięć tygodni. Pokrótce omówię każdy z komponentów. Trening umiejętności prospołecznych (komponent behawioralny) W tym komponencie przygotowujemy uczniów do tego, aby potrafili w konstruktywny sposób radzić sobie z destrukcyjnymi zachowaniami. Modelujemy zachowania społecznie pożądane. Uczymy tu takich umiejętności, jak proszenie o pomoc, radzenie sobie z czyimś gniewem, unikanie bójek, radzenie sobie z presją grupy. Omówię kroki treningu umiejętności społecznych na przykładzie proszenia o pomoc. 1. Definiujemy umiejętność pytamy, czym jest dla uczniów proszenie o pomoc, czy trudno im było prosić o pomoc, czy byli ostatnio w sytuacji, gdy musieli prosić kogoś o pomoc. 2. Modelujemy umiejętność trener według konkretnych kroków przedstawia sytuację, w której prosił kiedyś kogoś o pomoc. 3. Motywujemy do treningu zachęcamy uczniów do modelowania swoich sytuacji. 4. Wybieramy pierwszego trenującego, czyli wybieramy ucznia, który jako pierwszy będzie modelował. 5. Przygotujemy odegranie roli trener ćwiczyzuczniempozasaląodegraniescenki. 6. Uczeń prezentuje swoją scenkę grupie. 7. Pozostali uczniowie mówią, co było dobre, jakie korzyści uzyskała osoba odgrywająca scenkę. 8. Zadajemy ćwiczenie domowe. 9. Wybieramy następnego trenującego. Ważne jest to, że każda scenka kończy się nadaniem odważnego komunikatu, czyli takiego, który nie narusza niczyich praw i jest wypowiadany w sposób kulturalny. Komunikat ten nadajemy według określonych zasad. Powołujemy się w nim na fakty (to, czego dotyczy komunikat), uczucia (co czujemy), konsekwencje faktów, oczekiwania (czego oczekujemy) oraz zaplecze (dlaczego mamy prawo oczekiwać od danej osoby tego, ocojąproszę). Młodzież chętnie uczy się umiejętności społecznych, jest to dla nich ciekawe doświadczenie, ponieważ większość z nich nigdy dotąd nie zastanawiała się nad tym, w jaki sposób proszą kogoś o pomoc lub jak okazują przyjaźń. Dotąd robili to automatycznie i najczęściej niewłaściwie, dlatego też nie osiągali takich rezultatów, jakich by oczekiwali. Trening kontroli złości (komponent emocjonalny) Komponent ten ma na celu lepsze radzenie sobie z czynnikami wywołującymi złość, a także dostarcza uczniom środków samokontroli w razie wybuchu złości. Ponadto wskazuje, czego uczeń nie powinien robić, jakich zachowań nie powinien przejawiać. Tutaj, tak jak poprzednio, mamy kroki, według których pracujemy: 1. wyzwalacze (co spowodowało, że się zezłościliśmy):

8 NAUCZANIE MATEMATYKI 35 zewnętrzne (zaczepki, krzyki, popychanie, obmawianie, kłamstwo), wewnętrzne (to, co myślimy o zaistniałej sytuacji); 2. sygnały (informują nas o tym, że się złościmy, np. czerwone policzki, plamy na szyi, zaciśnięte pięści, trzęsące się dłonie, ścisk gardła, kołatanie serca); 3. reduktory (to, co robimy, aby obniżyć poziom swojej złości, np. głębokie oddechy, liczenie wstecz, przyjemne wyobrażenia); 4. monity złości (jak inaczej możemy pomyśleć o zaistniałej sytuacji, np. poradzę sobie z tym, niczego nie muszę udowadniać, nie warto się tym przejmować); 5. samoocena (jak nagradzamy się za opanowanie złości, np. mówię sobie, że jestem świetna, słucham ulubionej piosenki, jestem z siebie dumna). W tym komponencie również modelujemy zachowanie, uczniowie odgrywają scenki, omawiają sytuacje, w których się zezłościli, biorąc pod uwagę kroki kontroli złości. Tutaj uczeń ma możliwość spojrzenia na sytuację, w której się zezłościł z zupełnie innej perspektywy. Ma też możliwość przeprowadzenia symulacji zaistniałej sytuacji i jest to na pewno dla niego terapeutyczne i pomocne. Na przyszłość będzie wiedział, jakie zachowanie przynosi najlepsze rezultaty. Wnioskowanie moralne (komponent poznawczy) Tutaj dyskutujemy z młodzieżą, która jest na różnym poziomie wnioskowania moralnego, nad dylematami moralnymi. Dyskutujemy o takim dylemacie, który nie ma jednego właściwego rozwiązania, ponieważzawszektośbędziepokrzywdzonylub każde rozwiązanie będzie naruszało czyjeś wartości. Dobrym dylematem na początek jest problem ściągania w szkole. Czy dać koleżance lub koledze ściągnąć? Jakie wartości naruszam, dając odpisywać? Co tracę, jeśli nie dam ściągnąć? Dlaczego nie możemy przyjąć, że wszyscy możemy ściągać? Wnioskowanie moralne również ma swoje etapy, które w skrócie nazywamy ANIMA, czyli alternatywy (jak inaczej można się zachować w tej sytuacji), następstwa (konsekwencje zachowania), interesariusze (jakie osoby są zainteresowane moją decyzją), motywy (jakie są motywy mojej decyzji), afekt (co ja czuję w danej sytuacji i co inni mogą czuć). Uczniowie bardzo chętnie uczestniczą w tego rodzaju dyskusjach i często dochodzą do wniosków, do których nigdy wcześniej by nie doszli. Jeszcze długo po zakończeniu dyskusji zastanawiają się nad poruszanym problemem. Naprawdę warto To, o czym napisałam, nie wystarczy, aby prowadzić trening. Więcej rzetelnych informacji możemy zdobyć na kursie trenerskim, a także zaczerpnąć z książki pt. ART. Program Zastępowania Agresji 1 (uczestnicy kursu otrzymują książkę razem z materiałami szkoleniowymi). Zachęcam do tego, aby zainteresować się tą metodą, ponieważ jest to skuteczna forma pomocy uczniom. Można z niej korzystać także podczas lekcji wychowawczych. Nie ma większej nagrody dla pedagoga, jak zadowolenie i uśmiech ucznia oraz to, że widać efekty naszej pracy. Doświadczyłam radości uczniów po zakończeniu treningu. Dziękowali za to, że mogli uczestniczyć w takim przedsięwzięciu, mimo że nie byli ochotnikami. 1 A. Goldstein, B. Glick, J. Gibbs, ART. Program Zastępowania Agresji, Warszawa 2004.

9