Symulacja oddziaływania ciężkich jonów z materiałem komórkowym.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Symulacja oddziaływania ciężkich jonów z materiałem komórkowym."

Transkrypt

1 Uniwersytet Warszawski Wydział Fizyki Grzegorz Knor Nr albumu: Symulacja oddziaływania ciężkich jonów z materiałem komórkowym. Praca magisterska na kierunku Fizyka w zakresie Fizyki Medycznej Praca wykonana pod kierunkiem Zygmunta Szeflińskiego Zakład Fizyki Jądra Atomowego IFD UW Warszawa, wrzesień 2009

2

3 Oświadczenie kierującego pracą Oświadczam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i stwierdzam, że spełnia ona warunki do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną Data Podpis autora pracy

4 Streszczenie Model efektu lokanego LEM jest jednym z kilku proponowanych w literaturze sposobów opisu oddziaływania promieniowania jonowego o wysokiej energii z tkankami zwierzęcymi. Ze względu na rosnące zainteresowanie hadronoterapią należy wypracować model, który z powodzeniem będzie mógł być stosowany w systemach planowania leczenia. W niniejszej pracy stworzyłem własną wersję modelu LEM wraz z jego dwiema poprawkami i porównałem otrzymane wyniki z danymi w literaturze. W wyniku konfrontacji okazało się, że monoenergetyczna wersja modelu nie jest wystarczająco dokładna i pozwala tylko na jakościowe wyciąganie wniosków na temat oddziaływania jonów z materiałem komórkowym. Niemniej jest to bardzo dobry punkt wyjściowy do dalszego rozwoju modelu. Słowa kluczowe hadronoterapia, terapia protonowa, krzywa Bragga, Model Efektu Lokalnego, LEM Dziedzina pracy - kod wg programu Socrates-Erasmus 13.2 Tytuł pracy w języku angielskim Simulation of the impact of heavy ions with a cellular material.

5 Nauka leży u podstaw każdego postępu, który ułatwia życie ludzkie i zmniejsza cierpienie. Maria Skłodowska Curie...

6 Spis treści 1 Wstęp 1 2 Podstawy teoretyczne Ciężkie jony Model efektu lokalnego Poprawki do modelu System planowania leczenia Symulacja Program do symulacji Charakterystyka linii komórkowych Opis algorytmu Wyznaczanie RBE Wyniki Symulacji LEM LEM II LEM III Porównanie trzech wersji modelu Wnioski 83 Dodatek 87 Spis rysunków 91 Spis tabel 93 Bibliografia 94 I

7 Rozdział 1 Wstęp Rak jest poważnym problemem społecznym, ponieważ jest główną przyczyną śmierci ludzi w wieku lat. Do leczenia pacjentów ze zdiagnozowaną chorobą nowotworową stosuje się głównie chemioterapię, radioterapię, leczenie chirurgiczne, immunoterapię czy też hipertermię miejscową. Prawdopodobieństwo wyleczenia nowotworu zależy głównie od jego rodzaju i stopnia zaawansowania w momencie wykrycia. Niestety pewien odsetek osób nie może być poddany terapii ze względu na położenie guza w obszarze narządów krytycznych (m.in. rdzeń kręgowy, serce, nerw wzrokowy), ponieważ zastosowana terapia mogłaby prowadzić do poważnych komplikacji zdrowotnych. Nadzieją dla tych pacjentów może być radioterapia protonami lub ciężkimi jonami, która dzięki specyficznej własności tych cząstek pozwala na naświetlanie obszarów niedostępnych z punktu widzenia radioterapii konwencjonalnej. Według badań przeprowadzonych w Austrii, Francji, Niemczech i Włoszech w ramach projektu ENLIGHT 1 na każde 10 milionów mieszkańców do terapii hadronowej kwalifikuje się 3000 pacjentów rocznie co stanowi 13% wszystkich pacjentów leczonych za pomocą radioterapii. Wykorzystywanie promieniowania jonizującego w terapii nowotworów rozpoczęło się wraz z odkryciem przez Williama Röntgena promieniowania X(tabela 1.1). I mimo że hadronoterapia została zaproponowana już w 1946 roku przez amerykańskiego fizyka Roberta Wilsona([Wilson1946]), to zasadniczy jej rozwój rozpoczął się dopiero w latach dziewięćdziesiątych ubiegłego wieku i do dziś nie jest metodą w pełni poznaną. Dlatego ze względu na zalety tej formy terapii należy rozwijać narzędzia zarówno do budowy ośrodków gdzie będzie ona wykonywana jak i do planowania leczenia. Jednym z prekursorów w tej dziedzinie jest niemiecki ośrodek GSI (Gesellschaft für Schwerionenforschung - Instytut Badań Ciężkich Jonów) w Darmstad gdzie od 1992 roku rozwijany 1 European Network for Research in Light-Ion - index.php/kb_1/io_3104/io.html (sierpień 2009) 1

8 ROZDZIAŁ 1. WSTĘP Tabela 1.1. Historia wykorzystywania cząstek w terapii nowotworów. rodzaj cząstek pierwsze wykorzystanie promienie X tuż po odkryciu przez W.C. Röntgena promienie γ j.w. elektrony lata 50-te XX wieku neutrony Berkeley próby; 1965 Hammersmith Hospital (London) jony/protony protony; jądra helu; cięższe jony mezony π Los Alamos jest model efektu lokalnego - LEM(ang. Local Effect Model), będący częścią systemu planowania leczenia jonami ([Scholz1994]). Badanie biologicznego oddziaływania promieniowania o wysokim liniowym przekazie energii (ang. Linear Energy Tranfer - LET) jest bardzo ważne również z punktu widzenia ochrony radiologicznej podczas misji kosmicznych oraz lotów pasażerskich samolotami([kraft2001]). Narażenie personelu lotniczego i załóg misji kosmicznych jest relatywnie duże, ze względu na fakt iż promieniowanie kosmiczne składa się w przybliżeniu w 90% z protonów, w 10% z jonów helu, zaś na pozostałą część składają się cięższe jony (węgla, żelaza, krzemu czy neonu) oraz elektrony, o energiach z zakresu 100M ev ev ([NRC2008]). Przykładem jak istotnym zagrożeniem jest promieniowanie kosmiczne może być rozpoczęta przez NASA 24 kwietnia 2009 roku misja LRO (Lunar Reconnaissance Orbiter) podczas której amerykański orbiter zmierzy poziom promieniowania kosmicznego na orbicie wokółksiężycowej by ustalić poziom ryzyka dla przyszłych selenonautów 2. Celem poniższej pracy jest próba stworzenia własnej wersji modelu oddziaływania ciężkich jonów z materiałem komórkowym i porównanie otrzymanych wyników z danymi doświadczalnymi dostępnymi w literaturze. Oczywiście model wraz z upływem czasu był ulepszany i obecnie w literaturze można odnaleźć kilka propozycji poprawek zwiększających jego dokładność dopasowania do wyników pomiarów in vivo. Dlatego też w mojej pracy oprócz symulacji podstawowej wersji modelu (tzw. LEM I), podjąłem próbę implementacji modelu wraz z poprawką na efekt klastrowy (tzw. LEM II), oraz z 2 - strona internetowa poświęcona misji Lunar Reconnaissance Orbiter (sierpień 2009) 2

9 ROZDZIAŁ 1. WSTĘP korektą na promień minimalny (tzw. LEM III). Szczegóły dotyczące modelu wraz z jego poprawkami są przedstawione w rozdziale Podstawy teoretyczne. W kolejnym rozdziale - Symulacja, pokrótce prezentuje szczegóły dotyczące realizacji poszczególnych algorytmów oraz krótki opis aplikacji, którą napisałem w środowisku Matlab w celu zautomatyzowania całego procesu obliczeń. W rozdziale tym umieściłem również dane odnalezione w literaturze dotycząe linii komórkowych używanych do weryfikacji mojego modelu. W rozdziale Wyniki symulacji - przedstawiam otrzymane przeze mnie wyniki wraz z ich dyskusją. Ostania część pracy - Wnioski to podsumowanie i propozycje dalszego rozwoju modelu. Zaś w Dodatku zamieściłem paragraf poświęcony generowaniu liczb pseudolosowych ze względu na ich fundamentalną rolę w wykonywanych obliczeniach. Na koniec chciałbym podziękować wszystkim osobom, które dzięki dyskusjom i cennym radom przyczyniły się do powstania tej pracy. 3

10 4 ROZDZIAŁ 1. WSTĘP

11 Rozdział 2 Podstawy teoretyczne 2.1 Ciężkie jony Główną motywacją do użycia w radioterapii początkowo protonów, a w późniejszym czasie także cięższych cząstek naładowanych, był specyficzny charakter strat energii tych cząstek w oddziaływaniu z materią. Jony jako cząstki o niezerowym ładunku elektrycznym przechodząc przez materię oddziaływają z nią przede wszystkim za pośrednictwem sił kulombowskich. Każdy akt jonizacji wywołany przez taką cząstkę w materii powoduje stratę jej energii. Znając zatem początkową energię cząstki można oszacować liczbę jonów jaką dana cząstka jest w stanie wytworzyć. Jednakże sama liczba jonów nie jest odpowiednią miarą oddziaływania, ponieważ rozkład wytworzonych w absorbencie jonów nie jest jednorodny i zależy od aktualnej energii cząstki. Wielkością opisującą rozkład liniowy liczby jonów jest średnia gęstość jonizacji J: ( gdzie E x J = ( ) E /I (2.1) x ) to strata energii cząstki przy przejściu przez warstwę o grubości x, I - średnia energia jonizacji. W literaturze bardzo często zamiast średniej gęstości jonizacji rozważa się liniowy przekaz energii LET, który definiuje się jako stratę energii cząstki E po przebyciu drogi x: ( ) E LET = (2.2) x Typowe wartości LET dla różnego rodzaju cząstek zostały przedstawione w tabeli

12 2.1. CIĘŻKIE JONY ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Tabela 2.1. Typowe wartości LET dla różnego rodzaju cząstek ([Scharf1997]) Rodzaj promieniowania LET [kev/µm] promieniowanie X (250 kev) < 1 promieniowanie γ < 1 protony 1-50 neutrony 1-50 cząstki α ciężkie jony > 100 Ujęcie w postać analityczną wyrażenia E można odnaleźć np. w pracy x Bethe go([bethe1930]). Zaproponowana przez niego formuła, wyprowadzona na gruncie relatywistycznej mechaniki kwantowej obecnie jest zapisywana następująco: de dx = 4πN ( ) AZρ e 2 2 z 2 [ ( 1 Am e c 2 4πε 0 β 2 2 ln 2me c 2 β 2 ) T max β 2 δ ] (1 β 2 ) I 2 2 (2.3) gdzie: N A -liczba Avogadro, Z - liczba atomowa absorbentu, A - liczba masowa atomów ośrodka, ρ - gęstość ośrodka, m e - masa elektronu, e - ładunek elektryczny elektronu, z - ładunek cząstki w jednostkach e, β = v - prędkość cząstki w jednostkach prędkości światła, c ε 0 - przenikalność elektryczna próżni, T max - maksymalna energia kinetyczna, jaka może być przekazana elektronowi w pojedynczym zderzeniu, I - średnia energia jonizacji(wyrażona w elektronowoltach) 1, δ/2 - poprawka na gęstość pola, istotna przy wyższych energiach. Przy czym maksymalna energia kinetyczna jest dana wzorem: T max = 2m e c 2 β 2 γ γm e /M + (m e /M) 2 (2.4) 1 Wyrażenie na średnią energię jonizacji zaproponowane oryginalnie przez Felixa Blocha miało postać: I = 10 Z[eV ], obecnie w literaturze można spotkać się z kilkoma lepszymi przybliżeniami. Najczęściej używana pół empiryczna formuła to I = 9.1 Z ( ) Z 2/3 ([Segre1977]) 6

13 2.1. CIĘŻKIE JONY ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Tabela 2.2. Oznaczenia używane we wzorach od 2.3 do 2.5 Oznaczenie Opis Jednostka/Wartość M masa cząstki padającej MeV/c 2 E energia cząstki padającej MeV T energia kinetyczna MeV m e masa elektronu (44)MeV/c 2 N A liczba Avogadro (10) mol 1 Z liczba atomowa absorbentu A masa atomowa absorbera g mol 1 / I średnia energia jonizacji ev δ(βγ) poprawka na gęstość pola hω p energia plazmowa ev ρ gęstość absorbentu kg/m 3 e ładunek elementarny (40) C β v/c - prędkość cząstki wyrażona w prędkości światła 1 γ czynnik Lorentza γ = (1 v/c) ɛ 0 przenikalność dielektryczna próżni e V m gdzie: / γ to czynnik Lorentza: γ = 1 (1 β 2 ), M - masa spoczynkowa cząstki. Zaś występująca we wzorze 2.3 poprawka δ najczęściej jest zapisywana w 2 postaci: δ 2 ln hω p + ln βγ 1 (2.5) I 2 gdzie: ω p - częstość plazmowa ośrodka. Dla większej przejrzystości w tabeli 2.1 zebrałem wszystkie oznaczenia używane we wzorach od 2.3 do 2.5. Z równania 2.3 wynika, że ciężkie cząstki mają dobrze zdefiniowany zasięg i tracą główną część swojej energii w obszarze znajdującym się przy jego końcu(tzw. pik Bragga). W literaturze często określa się to zjawisko jako odwrotny profil dawki aby podkreślić różnice pomiędzy promieniowaniem jonowym a fotonowym czy elektronowym (rys. 2.1). Rysunek 2.2 pokazuje poglądowo dla jakich energii cząstki na nukleon straty energetyczne są powodowane głównie przez jonizację atomów (obszar Bethe-Blocha). Dzięki tej własności jonów możliwe jest takie skonstruowanie planu leczenia w terapii nowotworowej, w której zdrowe tkanki leżące pomiędzy powierzchnią ciała pacjenta a zmianą nowotworową otrzymają możliwie niską dawkę, przy jednoczesnym naświetleniu wysoką dawką zmian chorobowych(czyli zgodnie z tzw.złotą zasadą radioterapii). Kolejną ważną zaletą tego rodzaju terapii jest fakt, iż w obszarze piku Bragga zwiększa się skuteczność biologiczna tych cząstek, co pozwala na skuteczniejsze leczenie na- 7

14 2.1. CIĘŻKIE JONY ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Rysunek 2.1. Porównanie dawki zdeponowanej w funkcji głębokości dla jonów węgla (krzywa Bragga) i fotonów w ośrodku wodnym. Dawka pozostawiona przez fotony zmniejsza się z głębokością w ośrodku. Dawka deponowana przez cząstki naładowane osiąga maksimum na głębokości odpowiadającej maksymalnemu zasięgowi w danym ośrodku (tzw. odwrotny profil dawki). W przypadku ciężkich jonów w odległościach znajdujących się poza pikiem Bragga dawka nie jest zerowa, co jest efektem fragmentacji pocisków(źródło: [Kraft2005]). 8

15 2.1. CIĘŻKIE JONY ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Rysunek 2.2. Liniowa strata energii (oś Y) w funkcji energii cząstki na jeden nukleon (MeV/u) (oś X). W zakresie E > 10MeV/u straty energii zdominowane są przez jonizację atomów (opisaną przez równanie 2.3). wet radioodpornych guzów położonych w głębokich partiach ciała, ponieważ efektywna dawka zaabsorbowana w obszarze zmiany chorobowej jest iloczynem dawki fizycznej i jej skuteczności biologicznej. Kolejnymi korzyściami płynącymi z hadronoterapii jest fakt, że pozwala ona zredukować wpływ natlenienia komórek nowotworowych na ich radiooporność ([Furusawa2000]). Na podstawie przeprowadzonych doświadczeń można zaobserwować, że promieniowanie o niskich wartościach LET powoduje większe szkody biologiczne w przypadku obecności tlenu. Spowodowane jest to faktem, że promieniowanie o niskim LET uszkadza organelle komórkowe głównie w sposób pośredni wytwarzając wolne rodniki, które następnie reagują z tlenem, zaś promieniowanie o wysokim LET w głównej mierze uszkadza komórki w sposób bezpośredni (rysunek 2.3). Stosunek dawek prowadzących do tego samego efektu w przypadku dotlenionych i niedotlenionych komórek lub tkanek jest nazywany OER (ang. Oxygen Enhancement Ratio) i dla niektórych linii komórkowych naświetlanych fotonami jego wartość może wynosić 3 ([Krämer2003],[Hall1994]). Zaletą jest również fakt, iż podczas naświetlania ciała pacjenta ciężkimi cząsteczkami w organizmie na skutek zderzeń jonów z atomami ośrodka powstają radioaktywne izotopy węgla ( 10 C, 11 C) i tlenu ( 15 O), które mogą być wykorzystywane do badania PET podczas seansu terapeutycznego 9

16 2.2. MODEL EFEKTU LOKALNEGO ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Rysunek 2.3. Pośrednie i bezpośrednie uszkodzenia helisy DNA. Uszkodzenia w sposób bezpośredni są powodowane najczęściej przez elektrony δ wybite przez pociski o wysokim LET. W przypadku fotonów (niskie LET) wybite elektrony sprzyjają powstawaniu wolnych rodników, dlatego tkanki z dużą ilością tlenu są bardziej czułe na tego rodzaju promieniowanie. (na podst. [Hall1994]) ([Enghardt2004]). Pozwala to (w analogii do zdjęć portalowych w konwencjonalnej radioterapii) na ocenę położenia pacjenta na stole i ewentualną korektę jego pozycji przed dalszym napromieniowaniem oraz dokładną ocenę podanej dawki. 2.2 Model efektu lokalnego Model efektu lokalnego LEM (ang. Local Effect Model) zaproponowany w pracy Scholza i Kramera ([Scholz1994]) pozwala nam na podstawie znanej krzywej przeżywalności dla fotonów oszacować krzywą przeżywalności dla ciężkich jonów. Różnica w krzywych odpowiedzi dla promieniowania fotonowego i hadronowego (takiego jak protony, czy ciężkie jony) wynika z różnej skuteczności biologicznej poszczególnych cząstek - RBE 2. 2 RBE - Relative Biological Efectivness; w polskiej literaturze czasami używa się skrótu WSB - Współczynnik Skuteczności Biologicznej, niemniej w tej pracy będę konsekwentnie używał skrótu angielskiego. 10

17 2.2. MODEL EFEKTU LOKALNEGO ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Zgodnie z zaleceniami ICRU ([ICRU1979]) RBE definiuje się jako stosunek dawki promieniowania referencyjnego (najczęściej jest to promieniowanie X o energii keV ) i dawki promieniowania jonowego która wywołuje ten sam efekt biologiczny w tkance (patrz rysunek 3.9): D jon RBE = D X izoefekt (2.6) Oczywiście najdokładniejszym sposobem na wyliczenie RBE byłby pomiar krzywej przeżywalności dla różnego rodzaju tkanek naświetlanych cząstkami o różnej energii, ale jest to zadanie dość trudne w realizacji. Niemniej w kilku ośrodkach na świecie (m.in. w HIMAC w prefekturze Tokio - Chiba) takie podejście jest realizowane. Procedura polega na precyzyjnym pomiarze RBE in vitro, a następnie wartość ta jest przeliczana za pomocą znanych zależności dla promieniowania neutronowego, które wykazuje podobną charakterystykę radiobiologiczną do jonów znajdujących się w końcowej swej drodze penetracji tkanki ([Kanai1999]). Drugą możliwością otrzymania RBE dla dużego spektrum tkanek, jak i rodzaju różnoenergetycznych cząstek jest modelowanie oddziaływania promieniowania jonowego z komórkami. Jednak aby model mógł się sprawdzać w praktyce klinicznej musi on być możliwie jak najmniej skomplikowany (zatem tzw. modele mechanistyczne polegające na symulacji każdej cząstki z osobna nie spełniają tego warunku), jednocześnie powinien bardzo dobrze odzwierciedlać wyniki eksperymentu, które są jedyną możliwością jego weryfikacji - warunki te spełnia LEM. Pierwszym krokiem przy konstrukcji naszego modelu jest spostrzeżenie, że bezpośrednio z komórkami oddziałują nie pociski w postaci ciężkich jonów bombardujące tkankę, lecz elektrony wtórne (tzw. elektrony δ). Ich energia propaguje się zgodnie z prawem 1/r 2, które jest konsekwencją eksperymentów ([Metting1988]) i symulacji Monte Carlo ([Krämer1994]). Grafika 2.4 przedstawia przykładowe trajektorie elektronów wtórnych w wodzie przy naświetlaniu protonowym i jonami węgla. W związku z tą własnością wyrażenie opisujące dostarczoną dawkę w odległości r od śladu pocisku zapisujemy w następujący sposób ([Scholz1995]): D(r) = λ LET r 2 min λ LET r 2 dla r < r min dla r min r < r max 0 dla r r max (2.7) W powyższym wzorze λ jest stałą normalizującą, LET to liniowy przekaz 11

18 2.2. MODEL EFEKTU LOKALNEGO ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE energii, który określa prędkość, z jaką jon traci energię w substancji i odpowiednio: r - odległość elektronu od toru pocisku, r min - minimalna wartość którą może przyjmować r, żeby dawka w naszym modelu zawsze osiągała wartości skończone, zaś r max to maksymalny zasięg elektronu wtórnego, który dany jest wzorem ([Kiefer1986]): r max = κe δ (2.8) E to energia przypadająca na jeden nukleon padającego pocisku wyrażona w MeV/u a κ oraz δ, to stałe parametry oszacowane na podstawie doświadczeń: κ = 0.05[MeV 1.7 µm], δ = 1.7 (jednostki stałych dobrane są w taki sposób żeby r max był wyrażone w µm). Maksymalną energię wybitego elektronu δ można oszacować na podstawie zasady zachowania energii i pędu w zderzeniu centralnym. Zakładając że M to masa spoczynkowa pocisku, m masa elektronu, zaś odpowiednio V 0, V 1, v1 - prędkość pocisku przed zderzeniem, prędkość pocisku po zderzeniu i prędkość wybitego elektronu, możemy zapisać następujący układ równań: 1/2MV 2 0 = 1/2MV /2mv 2 1 MV 0 = MV 1 + mv 1 (2.9) Wyznaczając z tych równań V 1 otrzymujemy maksymalną energię elektronu: Q max = 4E 0Mm (2.10) (M + m) 2 W tabeli 2.3 przedstawiłem wartości maksymalnej energii wybitych elektronów w funkcji energii pocisków(dla wysokich energii pocisku zostały uwzględnione efekty relatywistyczne). Stałą normalizacyjną λ z wyrażenia opisującego radialny rozkład dawki wyznaczamy na podstawie całki we współrzędnych biegunowych: LET = 2π rmax Dla ośrodka o gęstości ρ wynosi ona: ( rmax 0 ρd(r)rdrdφ = 2πρ rmin 0 ( 1 = 2πρλLET r 2 r min ) r max + ln(r)) 2rmin 2 0 LET = 2π 0 1 = πλρ ( 1 + 2ln ( )) r max r min λ = 0 0 r min D(r)rdrdφ (2.11) λlet r 2 min 1 πρ(1 + 2ln(r max /r min )) dr + r max r min ) λlet dr = r = 2πλLET ( 1 + ln ( )) r max 2 r min (2.12) 12

19 2.2. MODEL EFEKTU LOKALNEGO ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Rysunek 2.4. Rysunek przedstawia trajektorie elektronów wtórnych w wodzie. W pierwszym przypadku (lewa strona) pociskiem wybijającym elektrony δ są protony, w drugim (strona prawa) - jony węgla (źródło: GSI - pictures.html). Znając zależności określające dystrybucję energii w funkcji odległości od trajektorii jonu, w kolejnym etapie modelu możemy przejść do wyznaczenia krzywej przeżywalności. Jeśli przez N l,x oznaczymy oczekiwaną liczbę zdarzeń letalnych (śmiertelnych) wywołanych przez podanie określonej dawki promieniowania X, to z zgodnie z rozkładem Poissona prawdopodobieństwo wystąpienia k takich uszkodzeń możemy zapisać jako: P (k, N l,x ) = N k l,x e N l,x (2.13) k! 13

20 2.2. MODEL EFEKTU LOKALNEGO ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Tabela 2.3. Maksymalna energia elektronów δ w zależności od energii kinetycznej pocisku. Energia kinetyczna protonu Maksymalna energia [MeV] uwolnionego elektronu [MeV] Podstawiając w powyższym wzorze k = 0 (czyli interesuje nas z jakim prawdopodobieństwem wszystkie komórki przeżyją) otrzymamy następujące wyrażenie opisujące krzywą przeżywalności: S X = e N l,x (2.14) Zależność pomiędzy ilością uszkodzeń letalnych a podaną dawką jest opisywana zaproponowanym 1976 roku przez Douglas a i Fowler a ([Douglas1976]) modelem liniowo kwadratowym LQ (Linear Quadratic) 3 : N l,x = α D X + β D 2 X (2.15) Do dalszych obliczeń jest stosowany zmodyfikowany model LQ, który daje lepsze dopasowanie do danych doświadczalnych w obszarach wyższych dawek (rysunek 2.5). Modyfikacja polega na tym, iż część krzywej powyżej określonej dawki D t jest zastępowana poprzez styczną. Można go zapisać w postaci następującego równania 4 : N l,x = { α DX + β D 2 X jeżeli D < D t α D t + β D 2 t + s max (D D t ) jeżeli D D t (2.16) gdzie maksymalne ramię s max jest definiowane jako: s max = α X + 2β X D t (2.17) 3 Wzór 2.15 jest poprawny w przypadku gdy całkowita dawka D jest podana w jednorazowo, w przypadku terapii frakcjonowanej prawidłowy wzór wygląda następująco N l,x = α D X + β D X d X, gdzie d X to dawka podawana podczas jednej frakcji. 4 Równanie stycznej g(x) do funkcji f(x) w punkcie x 0 zapisujemy jako: g(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) 14

21 2.2. MODEL EFEKTU LOKALNEGO ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Rysunek 2.5. Dopasowanie modelu LQ do danych doświadczalnych. Ciągła linia została dopasowana na podstawie wzoru 2.15, zaś przerywana do zmodyfikowanego wzoru Dla dawek powyżej wartości D t punkty doświadczalne układają się wzdłuż stycznej. Zaś D t oznacza wartość dawki, dla której krzywa przeżycia przechodzi w kształt wykładniczy. Niestety najczęściej nie jesteśmy w stanie wyznaczyć tego parametru na podstawie wyników pomiarów, ponieważ bardzo często wartość D t jest znacznie większa od 10 Gy. Przy takich wielkościach przeżywalność estymowana na podstawie wzoru wzoru 2.15 spada poniżej 10 3 i nie jesteśmy jej wstanie zmierzyć w warunkach laboratoryjnych. Dlatego też parametr D t najczęściej wyznacza się za pomocą symulacji Monte Carlo. Model LQ opisuje wartość oczekiwaną zdarzeń letalnych na poziomie komórkowym. Typowa komórka zwierzęca składa się dużej liczby organelli (rysunek 2.6), jednak najważniejszą jej częścią jest jądro komórkowe, które zawiera materiał genetyczny w postaci DNA upakowanego w chromosomach (rysunek 2.7). Pozostałe organelle po ewentualnym uszkodzeniu w większości mogą zostać odtworzone poprzez transkrypcję odpowiedniej części DNA jądrowego. I ze względu na to jak bardzo ważną rolę odgrywa jądro komórkowe 15

22 2.2. MODEL EFEKTU LOKALNEGO ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Rysunek 2.6. Budowa komórki zwierzęcej: 1 - jąderko; 2 - jądro komórkowe; 3 - rybosom; 4 - pęcherzyk; 5 - szorstkie retikulum endoplazmatyczne; 6 - aparat Golgiego; 7 - mikrotubule; 8 - gładkie retikulum endoplazmatyczne; 9 - mitochondrium; 10 - wakuole; 11 - cytoplazma; 12 - lizosom; 13 -centriola. w życiu komórki model LEM koncentruje się właśnie na tej jej części 5. Dlatego też kolejnym potrzebnym parametrem do konstrukcji modelu jest ρ X (D) - gęstość uszkodzeń letalnych w zależności od zdeponowanej dawki w małym obszarze jądra: ρ X (D) = N l,x V jadra (2.18) Wzór 2.18 opisuje gęstość niereperowalnych uszkodzeń dla promieniowania X, która jest niemalże jednorodna w małych obszarach. W przypadku ciężkich jonów rozkład dawki jest wysoce niejednorodny, co symbolicznie zapisujemy: ρ jon = ρ jon (d jon (x, y, z)) (2.19) Jednakże przy dalszej konstrukcji modelu stosuje się uproszczoną zależność: ρ jon = ρ jon (d jon (x, y)) (2.20) będącą konsekwencją założenia, że pociski wchodzą w obszar jądra w kierunku osi 0z, zatem dawka wzdłuż tego kierunku jest stała. Rysunek 2.8 przedstawia opisane wyżej różnice dla dwóch rodzajów promieniowania. 5 Niektórzy autorzy (n.p. [Beuve2009]) sugerują aby mówić o efektywnym obszarze komórki czułym na napromieniowanie abstrahując od obszaru jądra komórkowego. 16

23 2.3. POPRAWKI DO MODELU ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Rysunek 2.7. Materiał genetyczny w postaci DNA jest upakowany w chromosomach zawartych w jądrze komórki zwierzęcej. Zgodnie z głównym założeniem LEM uszkodzenia w obszarze jądra komórkowego są niezależne od rodzaju promieniowania, a jedynie od całkowitej dawki zdeponowanej w danej objętości, zatem możemy zapisać: ρ X (d) = ρ jon (d) (2.21) Korzystając teraz z tej równości wzór określający oczekiwaną liczbę uszkodzeń letalnych dla wiązki ciężkich jonów będzie wyglądał następująco: αx d jon + β X d 2 jon N l,jon = ρ jon (d jon (x, y))dv = dv (2.22) V Znając liczbę uszkodzeń letalnych możemy analogicznie do wzoru 2.14 napisać wyrażenie opisujące krzywą odpowiedzi na promieniowanie dla jonów: S jon = e N l,jon (2.23) Ostatecznie znając krzywe S X (D) oraz S jon (D) możemy skorzystać bezpośrednio z wyrażenia 2.6 w celu wyznaczenia wartości RBE dla zadanych warunków. 2.3 Poprawki do modelu - LEM II i LEM III Porównując wyniki symulacji za pomocą modelu efektu lokalnego obserwuje się czasami duże odstępstwa od danych doświadczalnych, dlatego też w literaturze proponowane są dwie poprawki do modelu podstawowego: 17

24 2.3. POPRAWKI DO MODELU ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Rysunek 2.8. Przykładowy rozkład dawki dla wiązki jonowej i fotonowej. W obu przypadkach całkowita dawka zdeponowana w tym samym obszarze jest identyczna i wynosi 2Gy. Jednakże w przypadku promieniowania X rozkład dawki jest płaski (nieznacznie fluktuuje w okolicach 2Gy), zaś w przypadku promieniowania jonowego mamy do czynienia z rozkładem wysoce niejednorodnym. LEM II - uwzględniający tzw. efekt klastrowy przy dużych dawkach ([Elsässer2007]) LEM III - wprowadzający poprawkę na wartość r min w wyrażeniu na radialny rozkład dawki(wzór 2.7) ([Elsässer2008]) LEM II Podstawowy model LEM zakłada, że letalne uszkodzenia komórki mają miejsce tylko wtedy gdy następuje podwójne zerwanie nici DNA. Założenie to opiera się na obserwacjach DNA, z których wynika, że spontanicznych, pojedynczych zerwań łańcucha w ciągu godziny jest więcej niż w trakcie naświetlania dawkami stosowanymi na co dzień w radioterapii. Systemy naprawcze komórek potrafią sobie w wysokim stopniu radzić z takimi uszkodzeniami, dopiero podwójne uszkodzenie helisy jest nieodwracalne. Jednakże tzw. poprawka klastrowa opiera się na spostrzeżeniu, iż podczas naświetlania promieniami X dochodzi do pojedynczych zerwań DNA w niedużych odstępach przestrzennych. Na podstawie wnikliwych obserwacji dostrzeżono, że jeśli odległość ta wynosi mniej niż 25bp (par zasad od ang. base pair) to 18

25 2.3. POPRAWKI DO MODELU ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE takie zdarzenia powinno się traktować jako podwójne zerwanie nici kwasu deoksyrybonukleinowego([elsässer2007]), co schematycznie przedstawia rysunek 2.9. Rysunek 2.9. Efekt klastrowy zerwania nici DNA. Gdy dwa niezależne, pojedyncze uszkodzenia helisy mają miejsce w odległości mniejszej niż 25bp, to takie zdarzenie traktujemy jako podwójne przerwanie. Jest to główne założenie poprawki LEM II. Jeśli przez N(DSB) oznaczymy liczbę podwójnych zerwań, a przez N(SSB + SSB) 6 - liczbę przerwań pojedynczych w odległości mniejszej niż 25bp, to współczynnik zniszczenia (ang. damage enhancement) η wyraża się wzorem: η = N(DSB) + N(SSB + SSB) N(DSB) (2.24) Dzięki znajomości współczynnika η możemy zmodyfikować krzywą przeżywalności dla fotonów, na podstawie której jest wykonywana symulacja LEM: N l,x = { α D + β D 2 jeżeli D < D t α D t + β D 2 t + s max (η(d)d D t ) jeżeli D D t (2.25) Z rysunku 2.10 wynika, że poprawka ma duże znaczenie dla modelu, ponieważ w obszarze wysokich dawek (konfrontując to z rysunkiem 2.8 lub 3.4 widzimy, że w przypadku jonów mamy do czynienia z lokalnymi dawkami o dużej wartości) współczynnik η osiąga wartości w granicach 15. Druga poprawka wprowadzona do modelu LEM II odnosi się do radialnego rozkładu dawki (wzór 2.7). Zakłada ona, że parametr r min jest znacznie 6 Używane oznaczenia są skrótami od angielskich wyrażeń: DSB - double strand break - podwójne przerwanie helisy SSB - single strand break - pojedyncze przerwanie helisy 19

26 2.3. POPRAWKI DO MODELU ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE mniejszy niż proponowane 10nm w modelu podstawowym i wynosi 0.3nm ([Elsässer2007]). Rysunek Współczynnik zniszczenia η w funkcji dawki zdeponowanej lokalnie, będący poprawką do krzywej przeżycia w modelu LEM II (wykres na podstawie [Elsässer2007]) LEM III Radialny rozkład dawki w podstawowym modelu efektu lokalnego zakłada stałą wartość parametru r min = 10nm. Oznacza to, że obszar plateau dla odległości mniejszych niż r min ma stałą szerokość bez względu na energię elektronu δ. Obserwacje radialnego rozkładu dawki w ośrodkach gazowych wskazują jednak, że minimalny promień powinien zwiększać się wraz ze wzrostem energii kinetycznej cząstki. Autorzy pracy [Elsässer2008] proponują poprawkę postaci: r min (β) = βr c (2.26) gdzie β = v/c oznacza prędkość cząstki w jednostkach prędkości światła, a parametr r c dopasowany do danych doświadczalnych wynosi 7 40nm. W 7 Wartość 40nm jest proponowana przez autorów pracy ([Elsässer2008]). W starszych artykułach nie dotyczących bezpośrednio zagadnienia hadronoterapii wartości te znacząco 20

27 2.4. SYSTEM PLANOWANIA LECZENIA ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE przypadku modelu monoenergetycznego wyrażenie na promień minimalny dla cząstki o energii E i masie spoczynkowej m 0 będzie wyglądało następująco: ( ) m0 c r min = r c (2.27) m 0 c 2 + E 2.4 System planowania leczenia Docelowym wykorzystaniem modelu LEM może być zaimplementowanie go w kompleksowym systemie planowania leczenia (ang. TPS -Treatment Planning System), takim jak np. stworzony w ośrodku GSI TRiP98([Krämer2009]). Główna idea jego wykorzystania jako części takiego systemu jest pokazana na rysunku Onkolog po zdiagnozowaniu obszaru guza (GTV - Gross Tumor Volume) określa jaka dawka kliniczna powinna być dostarczona w ten region powiększony o odpowiednie marginesy(ctv - Clinical Tumor Volume). Opierając się na zależności pomiędzy dawką kliniczną a biologiczną jesteśmy w stanie wyznaczyć tą drugą. Znając teraz RBE wyznaczone za pomocą LEM fizyk planujący naświetlanie jest w stanie obliczyć dawkę fizyczną jaka ma być dostarczona do organizmu pacjenta. Tak przygotowane dane trafiają do komputera sterującego aparatem terapeutycznym. Jednym z podejść do precyzyjnego naświetlania wiązką jonów a tym samym do dostarczenia określonej dawki fizycznej jest tzw. skanowanie rastrowe ([Badura2000]). Rysunek 2.12 pokazuje zasadę tego rodzaju naświetlania. Wiązka jonów o określonej energii i zasięgu jest sterowana przez dwa magnesy, dzięki czemu obszar guza może być przeskanowany voxel 8 po voxelu, tak aby otrzymać jednorodne napromienienie zmiany nowotworowej. się różnią, np. A. Mozumder ([Mozumder1974]) proponuje r c = 9.3nm. 8 voxel - ang. volumetric element; trójwymiarowy odpowiednik piksela. 21

28 2.4. SYSTEM PLANOWANIA LECZENIA ROZDZIAŁ 2. PODSTAWY TEORETYCZNE Rysunek Znając początkowo dawkę fizyczną oraz LET dla cząstek naświetlających możemy po oszacowaniu RBE obliczyć dawkę kliniczną podawaną podczas naświetlania. Rysunek Figura przedstawia zasadę rastrowego skanowania wiązką obszaru guza (źródło: [Badura2000]). 22

29 Rozdział 3 Symulacja 3.1 Program do symulacji W celu ułatwienia wykonywania symulacji napisałem program SML (rysunek 3.1) w środowisku Matlab 7.5 (R2007b), za pomocą którego w prosty sposób można wybrać parametry linii komórkowej oraz rodzaj symulacji. Ze względu na dużą złożoność obliczeniową część programu odpowiedzialna bezpośrednio za symulację została napisana w języku c++ (kompilator - GNU Compiler Collection wersja 4.4.1) w celu przyśpieszenia obliczeń. Wartości wykorzystywanych w programach stałych fizycznych zaczerpnąłem z aktualnej wersji Review of Particle Physics ([PDG2008]). 3.2 Charakterystyka linii komórkowych Do weryfikacji modelu użyłem szesnastu linii komórkowych opisanych w pracy [Suzuki2000]. Są to ludzkie komórki naświetlane w japońskim ośrodku HIMAC w Chibie. Ich parametry i krótka charakterystyka zostały przedstawione w tabelach od 3.1 do 3.5. Ponadto rysunek 3.3 prezentuje graficznie przeżywalność poszczególnych linii naświetlanych trzema rodzajami promieniowania wyznaczoną na podstawie eksperymentu: referencyjne promieniowanie Röntgena o energii 200keV wiązka węgla o liniowym przekazie energii 13keV/µm, co odpowiada energii 288MeV/u na wejściu do komórki wiązka węgla o liniowym przekazie energii wynoszącym w przybliżeniu 77keV/µm(dokładne wartości dla każdej linii zostały podane w tabeli 3.5), co odpowiada energi około 26MeV/u na wejściu do komórki 23

30 3.2. CHARAKTERYSTYKA LINII KOMÓRKOWYCH ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA Rysunek 3.1. Interfejs graficzny programu SML, za pomocą którego można przeprowadzić symulację oddziaływania ciężkich jonów z materiałem komórkowym. Wykresy przedstawiają przykładowy wyniki działania programu dla komórek CHO-K1. 24

31 3.2. CHARAKTERYSTYKA LINII KOMÓRKOWYCH ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA Tabela 3.1. Krótka charakterystyka użytych linii komórkowych. Dane zaczerpnięte z pracy M. Suzuki et al.([suzuki2000]) nazwa linii komórkowej krotki opis NB1RGB fibroblasty normalnych komórek ludzkiej skóry HFL-III fibroblasty normalnych komórek zarodkowych płuc LC-1 sq komórki płuc, rak kolczystokomórkowy A-549 komórki płuc, gruczolakorak C32TG amelanotic melanoma - rak skóry Marcus komórki mózgu, nowotwór pochodzenia glejowego U-251MG (KO) komórki mózgu, nowotwór pochodzenia glejowego SK-MG-1 komórki mózgu, nowotwór pochodzenia glejowego KNS-89 komórki mózgu, nowotwór pochodzenia glejowego KS-1 komórki mózgu, nowotwór pochodzenia glejowego A-172 komórki mózgu, nowotwór pochodzenia glejowego ONS-76 komórki mózgu, nowotwór pochodzenia glejowego KNS-60 komórki mózgu, nowotwór pochodzenia glejowego Becker komórki mózgu, nowotwór pochodzenia glejowego T98G komórki mózgu, nowotwór pochodzenia glejowego SF126 komórki mózgu, nowotwór pochodzenia glejowego Na rysunku 3.2 zostało umieszczone zdjęcie mikroskopowe jednej z użytych linii komórkowych C32TG. Dodatkowo do weryfikacji modelu wraz z jego poprawkami użyłem danych dla komórek jajnikowych chomika chińskiego (Cricetulus griseus) CHO- K1. Komórki CHO(Chinese Hamster Ovary) są jedną z najczęściej używanych linii komórkowych ssaków w eksperymentach naukowych i komercyjnych ([Jayapal2007]). Również bardzo duża część badań poświęcona oddziaływaniom wysokoenergetycznych jonów na materiał komórkowy została wykonana na tejże linii (np.[weyrather1999], [Czub2008]). Tabela 3.6 przedstawia podstawowe parametry tej linii dopasowane do wyników doświadczenia przeprowadzonego w Środowiskowym Laboratorium Ciężkich Jonów w Warszawie ([Czub2008]). W tym przypadku jako referencyjne promieniowanie fotonowe użyto źródła kobaltowego 60 Co (pomiar dokonany w Świętokrzyskim Centrum Onkologii). Promień jądra komórkowego został wyznaczony przy założeniu, że jego obszar jest kołem o powierzchni A = 127µm 2 ( dane z pracy [Konishi2005]): r = (A/π) 6.36µm 25

32 3.2. CHARAKTERYSTYKA LINII KOMÓRKOWYCH ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA Rysunek 3.2. Komórki raka skóry C32TG - amelanotic melanoma (Źródło: - Institute of Development, Aging and Cancer, Tohoku University(IDAC)). Tabela 3.2. Parametry modelu LQ dla wybranych linii komórkowych użytych do weryfikacji modelu naświetlanych promieniowaniem X o energii 200keV. Dane zaczerpnięte z pracy M. Suzuki et al.([suzuki2000]) Linia α[gy 1 ] β[gy 2 ] α/β[gy] komórkowa NB1RGB HFL-III LC-1sq A C32TG Marcus U-251MG(KO) SK-MG KNS KS A ONS KNS Becker T98G SF

33 3.2. CHARAKTERYSTYKA LINII KOMÓRKOWYCH ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA Tabela 3.3. Parametry modelu LQ dla wybranych linii komórkowych użytych do weryfikacji wyników naświetlanych promieniowaniem jonowym o LET 13keV/µm. Dane zaczerpnięte z pracy M. Suzuki et al.([suzuki2000]) Linia α[gy 1 ] β[gy 2 ] α/β[gy] komórkowa NB1RGB HFL-III LC-1sq A C32TG Marcus U-251MG(KO) SK-MG KNS KS A ONS KNS Becker T98G SF

34 3.2. CHARAKTERYSTYKA LINII KOMÓRKOWYCH ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA Tabela 3.4. Parametry modelu LQ dla wybranych linii komórkowych użytych do weryfikacji wyników naświetlanych promieniowaniem jonowym o LET 77keV/µm. Dane zaczerpnięte z pracy M. Suzuki et al.([suzuki2000]) Linia α[gy 1 ] β[gy 2 ] α/β[gy] komórkowa NB1RGB inf HFL-III inf LC-1sq A C32TG Marcus U-251MG(KO) SK-MG KNS KS inf A inf ONS KNS Becker T98G SF

35 3.2. CHARAKTERYSTYKA LINII KOMÓRKOWYCH ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA Tabela 3.5. Parametry modelu LEM dla wybranych linii komórkowych użytych do weryfikacji wyników. Ostatnia kolumna zawiera dokładne wartości LET zbliżonego do wartości 77keV/µm, ponieważ dla każdej linii komórkowej wartość ta była nieco inna. Dane zaczerpnięte z pracy M. Suzuki et al.([suzuki2000]) Linia D t D t D t rozmiar LET 77 komórkowa LEMI LEMII LEMIII jądra [µm] [kev /µm] NB1RGB HFL-III LC-1sq A C32TG Marcus U-251MG(KO) SK-MG KNS KS A ONS KNS Becker T98G SF Tabela 3.6. Wyniki naświetlania komórek CHO-K1 jonami węgla oraz promieniowaniem fotonowym ([Czub2008]). Rodzaj Energia LET α[gy 1 ] β[gy 2 ] promieniowania [M ev ] [kev /µm] 12 C ± ± C ± ± C ± Co 0.17 ± ±

36 3.2. CHARAKTERYSTYKA LINII KOMÓRKOWYCH ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA Rysunek 3.3. Linie komórkowe z pracy Suzuki et al. ([Suzuki2000]). Niebieskim kolorem narysowano krzywą przeżywalności dla promieniowania X o energii 200keV, zielonym dla jonów węgla o wartości LET = 13keV/µm oraz czerwonym dla jonów węgla o przybliżonej wartości LET = 77keV/µm. Parametry linii komórkowych zostały zamieszczone w tabelach 3.2, 3.3, 3.4 oraz 3.5, a ich krótki opis w tabeli

37 3.3. OPIS ALGORYTMU ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA 3.3 Opis algorytmu Rysunek 3.4 przedstawia przykładowy radialny rozkład dawki dla pojedynczego jonu (wzór 2.7) dla energii 10.5MeV/u, był to punkt wyjściowy dla dalszej symulacji modelu, która przebiegała w następujących krokach: 1. wylosowanie miejsca trafienia komórki przez jon o określonej energii (rysunek 3.6) 2. ilość losowań określonych w punkcie 1 była zależna od dawki w danym kroku symulacji 3. każda iteracja programu odpowiadała zwiększonej dawce w obszarze jądra (rysunek 3.8) 4. efektem końcowym była krzywa przeżywalności dla promieniowania jonowego (rysunek (3.9)) na podstawie której można wyznaczyć RBE Rysunek 3.4. Radialny rozkład dawki dla energii 3M ev/u. Zgodnie ze wzorem 2.7 ciągły fragment krzywej (plateau) odpowiada warunkowi r r max, przerywany r min r < r max, zaś dla r < r min wartość dawki jest zerowa. 31

38 3.3. OPIS ALGORYTMU ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA Rysunek 3.5. Schemat blokowy programu SML. Jako obszar losowania współrzędnych trafienia jonu przyjąłem okrąg o promieniu: R = r jadra + r max (3.1) Wybór ten bierze się z faktu, że na mocy równania 3.4 tylko jony z tego obszaru dają przyczynek do całkowitej dawki zdeponowanej w jądrze komórkowym. Współrzędne trafienia pocisku x i y wyznaczone zostały za pomocą wylosowanych parametrów ϕ oraz r: x = r cos(ϕ) y = r sin(ϕ) (3.2) gdzie kąt ϕ był wylosowany z rozkładu jednorodnego z zakresu [0, 2π] 1 : ϕ = 2πrand() (3.3) zaś odległość od środka jądra była wylosowana jako: r = R rand() (3.4) Postać powyższego wzoru wynika z założenia, że prawdopodobieństwo trafienia cząstki w dowolne miejsce powinno być stałe, co jest jednoznaczne z 1 W dalszej części tekstu przyjąłem oznaczenie rand() dla liczb z zakresu [0, 1] wylosowanych z rozkładu płaskiego. 32

39 3.3. OPIS ALGORYTMU ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA faktem, iż stosunek pola okręgu zakreślanego przez promień będący losową odległością od środka do pola okręgu o maksymalnym możliwym promieniu R powinien być liczbą z przedziału [0, 1] z rozkładu płaskiego: rand() = πr2 πr 2 (3.5) Odwracając powyższą zależność otrzymujemy wzór 3.4. Średnia liczba jonów trafiających w obszar o promieniu R została wyznaczona na podstawie teoretycznej fluencji Φ cząstek. Jej wartość zależy od żądanej dawki, gęstości ośrodka oraz od liniowego przekazu energii w następujący sposób: Φ = D ρ (3.6) LET Dokładna ilość jonów trafiająca w interesujący obszar w konkretnej iteracji algorytmu była losowana z rozkładu Poissona o średniej wartości: Λ = Φ πr 2 (3.7) Ze względu na symetrię rozważanego problemu wzdłuż osi z całkę z równania 2.22, można zapisać jako całkę po przekroju jądra, ponieważ d(x, y, z) = d(x, y). Przy numerycznym wykonywaniu tej całki obszar jądra komórkowego należy podzielić na kwadraty o małym polu aby uzyskać jak największą dokładność. W moim programie za bok takiego kwadratu przyjąłem wartość 0.01µm. Niestety tak gęste pokrycie siatki jądra komórkowego prowadzi do ogromnej liczby operacji w ramach jednej iteracji. Przykładowo dla promienia jądra r jadra = 7µm liczba punktów siatki wynosi w przybliżeniu 1.5mln co w połączeniu z liczbą pocisków rzędu daje zbyt dużą ilość iteracji aby algorytm mógł być używany. Dlatego też w moim programie zastosowałem trój poziomową strukturę siatki. Jej idea jest przedstawiona na rysunku 3.7. Polega ona na tym, że w dużej odległości od miejsca trafienia przez jon (powyżej 10µm) możemy wkład do całkowitej dawki przyjąć jako stały i w tych obszarach dzielę jądro komórkowe na kwadraty o boku 1µm. W miarę zbliżania się do miejsca trafienia siatka pokrywająca ulega zagęszczeniu do kwadratów o boku 0.1 i 0.01µm odpowiednio dla odległości większych i mniejszych od 1µm. Powyższy zabieg pozwala zdecydowanie przyśpieszyć realizację algorytmu bez zauważalnego wpływu na jego dokładność. Parametry modelu takie jak energia pocisku, promień jądra, dawka, itp. dla wygody użytkowania podawane są w przyjętych na co dzień jednostkach (odpowiednio w MeV/u, µm, Gy). Dlatego też, dlatego też szereg wzorów uży- 33

40 3.3. OPIS ALGORYTMU ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA Rysunek 3.6. Okrąg narysowany czarną, grubą linią symbolizuje obszar jądra komórkowego, przerywany okrąg oznacza szerokość wiązki jonów, zaś symetryczne okręgi oznaczają miejsce trafienia i rozkład energii elektronów δ. wanych w symulacji (np. 2.12) uzupełnianych jest o stałą konwersji C: np.: C = J/MeV dm 3 /µm 3 = 160 Jµm3 MeV dm 3 (3.8) λ = C πρ(1 + 2ln(r max /r min )) (3.9) Przy implementacji modelu LEM II i LEM III kod źródłowy musiał być uzupełniony o wspomniane w rozdziale 2 poprawki. Zmiany dotyczące wartości minimalnego promienia polegały na bezpośrednim wprowadzeniu do kodu wartości (w przypadku LEM II) lub wzoru go określającego (LEM III). Jeśli zaś chodzi o poprawkę na efekt klastrowy, to do krzywej ją opisującej 34

41 3.3. OPIS ALGORYTMU ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA Rysunek 3.7. Dyskretyzacja obszaru jądra komórkowego. Zagęszczenie punktów siatki zależało od zmienności rozkładu dawki w danym obszarze. Rysunek 3.8. Przykładowe rozkłady dawek o różnej wartości w obszarze jądra komórkowego. 35

42 3.4. WYZNACZANIE RBE ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA (rysunek 2.10) została dopasowana funkcja postaci: η(d) = a e b D + c e d D (3.10) z następującymi parametrami: a = 17.73; b = 3.361e 07; c = 16.71; d = 7.586e 06; 3.4 Wyznaczanie RBE W dalszej części na podstawie symulowanych wartości liczby przeżywających napromienianie komórek zwierzęcych wyznaczałem względną skuteczność biologiczną na dwa sposoby: 1. za pomocą skryptu matlabowego realizującego bezpośrednio wzór na podstawie wzorów będących konsekwencją modelu LQ Pierwsza metoda polegała na interpolacji otrzymanych wyników i wejściowej krzywej przeżywalności dla promieniowania X i następnie podzieleniu dwóch wartości odpowiadających izoefektowi (rysunek 3.9). Wyznaczanie RBE w drugi sposób zostało zaproponowane przez M.C. Joiner a i B. Marples a w pracy [IAEA2008]. Jeśli przez d i oznaczymy dawkę deponowaną od promieniowania jonowego, a przez d X dawkę promieniowania X dającą ten sam efekt biologiczny, możemy wtedy zgodnie z modelem LQ zapisać: α i d i + β i d 2 i = α X d X + β X d 2 X (3.11) Korzystając teraz z definicji RBE (wzór 2.6) możemy w powyższym wzorze podstawić d i = d X /RBE: α i d X RBE + β i ( ) 2 dx = α X d X + β X d 2 X (3.12) RBE Po rozwiązaniu tego równania kwadratowego otrzymamy następujące wyrażenie na RBE jako funkcji dawki promieniowania referencyjnego: 36

43 3.4. WYZNACZANIE RBE ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA Rysunek 3.9. Przykładowy wynik symulacji dla jonów węgla o energii 50M ev/u. RBE dla danej dawki otrzymujemy dzieląc dawki odpowiające izoefektowi np. D2/D1, D4/D3. RBE = K + K 2 + 4Kd X (1 + d X /V )/C 2(1 + d X /V ) (3.13) gdzie K = α i /α X, V = α X /β X i C = α i /β i. I w analogiczny sposób podstawiając do równania 3.11 d X = d i /RBE otrzymamy RBE w funkcji dawki promieniowania jonowego: RBE = V + V 2 + 4V Kd i (1 + d i /C) 2d i (3.14) Dla wyników przedstawionych na wykresie 3.9 wyznaczono RBE za pomocą wzoru 3.13 oraz korzystając bezpośrednio z definicji poprzez podzielenie dawek dających ten sam efekt biologiczny(na wykresie 3.9 są to np. ilorazy D2/D1 i D4/D3). Wynik prezentują wykresy 3.10 oraz

44 3.4. WYZNACZANIE RBE ROZDZIAŁ 3. SYMULACJA Rysunek Wartości RBE dla symulowanych danych przedstawionych na rysunku 3.9 w funkcji dawki fotonowej. Ciągłą linią przedstawiono wartość RBE wyznaczoną na podstawie wzoru 3.13, zaś punkty wyznaczono bezpośrednio z krzywych przeżycia. Rysunek Wartości RBE z symulowanych danych przedstawionych na rysunku 3.9 w funkcji frakcji komórek przeżywających. 38

45 Rozdział 4 Wyniki Symulacji W ramach przeprowadzonych symulacji sprawdziłem poprawność mojego modelu na przykładzie 17 linii komórkowych (16 linii komórek ludzkich i jedna linia komórek chomika chińskiego). Zakres dawki używany standardowo przeze mnie to 0 6Gy. Aby zniwelować efekt fluktuacji statystycznych dla każdej wartości dawki przeprowadzałem dużą ilość iteracji. Rysunek 4.1 przedstawia wynik 300 losowań dla zdeklarowanej dawki całkowitej 2Gy. Na podstawie przedstawionej średniej wartości kumulowanej widać, że rozkład dawki w obszarze jądra jest losowany poprawnie i odpowiada zakładanej wartości, a występujące fluktuacje są konsekwencją stochastycznej natury procesu. 4.1 LEM Ilustracje od 4.2 do 4.33 przedstawiają wyniki symulacji dla podstawowego wariantu modelu dla komórek pochodzenia ludzkiego. Na wykresach przedstawiających przeżywalność w funkcji dawki (rysunki od 4.2 do 4.17) ciągłą linią narysowałem krzywą przeżywalności dla fotonów, zaś wyniki symulacji oznaczyłem kółkami dla LET = 13keV/µm i kwadratami dla LET 77keV/µm. Dodatkowo liniami przerywanymi naniosłem wyniki otrzymane w pracy Suzuki ([Suzuki2000]). Na wykresach pokazujących wartość RBE w funkcji dostarczonej dawki (rysunki od 4.18 do 4.33) linia ciągła oznacza wyniki dla jonów węgla o liniowym przekazie energii 77keV/µm, zaś przerywana wyniki dla LET = 13keV/µm. Do danych przedstawiających przeżywalność dopasowałem funkcję postaci: S(D) = e αd βd2 (4.1) za pomocą algorytmu trust region ([Celis1994]) zaimplementowanego w środowisku Matlab. Wyniki dopasowania wraz z 95% przedziałem ufności dla 39

46 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek 4.1. Fluktuacje wartości zdeponowanej dawki w obszarze jądra komórkowego. Punkty oznaczają wartość dawki dla konkretnej iteracji. Linia oznacza średnią wartość kumulowaną w zależności kolejnych iteracji. Widać, że od około 100 powtórzenia wartość dawki stabilizuje się. Po prawej stronie histogram z wszystkich próbek. 40

47 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI współczynników α i β przedstawiłem w tabelach 4.4 i 4.3. Konfrontując otrzymane przeze mnie wyniki z danymi dostępnymi w literaturze widać, że nie są one na tyle zadowalające, aby model w takiej postaci mógł się sprawdzić w praktyce klinicznej. Niemniej wnioski, które można wyciągnąć są zgodne z obserwacjami doświadczalnymi. Po pierwsze jony węgla o większym linowym przekazie energii (77keV/µm) powodują większą śmiertelność komórek niż promieniowanie o LET = 13keV/µm, a co za tym idzie posiadają także wyższy współczynnik RBE. Drugim bardzo ważnym aspektem jest zjawisko polegające na większej radiooporności komórek na promieniowanie jonowe w stosunku do promieni X. Efekt taki udało mi się odtworzyć dla dwóch linii: KNS89 i KS1. Jest to bardzo ważne spostrzeżenie z punktu widzenia terapii, ponieważ względna skuteczność biologiczna dla tego rodzaju komórek naświetlanych jonami węgla spada poniżej jedności, zatem stosowanie w tym przypadku hadronoterapii może okazać się nie tak skuteczne jak można by zakładać. Wyznaczone wartości RBE oscylują w okolicach 2, ale są bardzo zależne od całkowitej dostarczonej dawki. Dla każdej linii komórkowej powtarza się zależność zmniejszania się RBE wraz z zwiększaniem dawki. Początkowo dla małych dawek spadek ten jest gwałtowny, aby ustabilizować się w obszarze nieco wyższych dawek. Należy również zwrócić uwagę, że pojawiające się skrajnie duże wartości RBE (np. dla U-251MG(KO) > 20) są raczej artefaktem metody niż rzeczywistym zyskiem takiego rodzaju naświetlania. Występują one wyłącznie dla bardzo niskich dawek, które nie są brane pod uwagę z punktu widzenia naświetlania terapeutycznego, ponieważ są to wartości zdecydowanie niższe niż dawki dostarczane w pojedynczych frakcjach naświetlania. Maksymalne RBE (RBE M ) wyliczyłem zgodnie z równaniem([czub2008]): RBE M = α jon α X (4.2) Wartości liczbowe tego współczynnika znajdują się w tabelach 4.4 i 4.3. Dla komórek U-251MG(KO) wartość ta jest nieskończona (Inf), ze względu na parametryzację krzywej przeżywalności dla fotonów, dla której α = 0Gy 1. Istotnym wnioskiem z otrzymanych wyników jest fakt, że ze względu na monotoniczną zależność RBE od dostarczonej dawki podczas naświetlania zyskuje terapia frakcjonowana. Tabela 4.1 przedstawia problem na przykładzie linii komórkowej A-549 naświetlanej jonami węgla o wartości LET = 77keV/µm. Przy założeniu, że dostarczona dawka fizyczna w obszarze naświetlania ma wynieść 6Gy możemy ją podać na kilka sposobów: jednorazowo lub w kilku frakcjach. Przy jednorazowym podaniu takiej dawki fizycznej otrzymujemy dawkę biologiczną D biol = D fiz RBE = 10.29Gy, jeśli zaś zdecydujemy się podać dawkę w 6 frakcjach po 1Gy każda, wtedy 41

48 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Tabela 4.1. Wpływ RBE na frakcjonowanie dawki na przykładzie komórek A-549. Dawka [Gy] RBE(D) D biol dla D fiz = 6Gy Gy Gy Gy Gy dawka biologiczna wyniesie ponad 24Gy. Korzystając z zależności funkcyjnej RBE(D) dla rozważanej linii komórkowej można obliczyć, iż aby dostarczyć w dwóch frakcjach dawkę biologiczną równoważną dawce 10.29Gy generowaną przez jednorazowe naświetlanie dawką fizyczną 6Gy wystarczy dawka 1.48Gy. 42

49 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Tabela 4.2. Tabela prezentuje wyniki symulacji LEM I. Parametry α i β zostały dopasowane do wynikowych danych za pomocą algorytmu trust region ([Celis1994]). W nawiasach podano 95% przedział ufności dla współczynników α i β. Tabela zawiera również wartości RBEM oraz wyniki naświetleń przedstawione w pracy Suzuki et al. ([Suzuki2000]) (αexp, βexp, αx, βx) dla łatwiejszej weryfikacji otrzymanych rezultatów. Część 1. linia LET α[gy 1 ] β[gy 2 ] RBEM αexp[gy 1 ] βexp[gy 2 ] αx[gy 1 ] βx[gy 2 ] komórkowa [MeV /µm] A (1.20, 1.25) (0.063, 0.11) A (1.38, 1.58) 0.10 (0.0057, 0.20) A (0.37, 0.39) (0.038, 0.043) A (0.46, 0.50) (0.026, 0.041) Becker (0.19, 0.19) (0.015, 0.015) Becker (0.21, 0.22) (0.012, 0.014) C32TG (0.55, 0.57) (0.040, 0.048) C32TG (0.61, 0.65) (0.029, 0.053) HFL-III (1.047, 1.11) 0.13 (0.10, 0.16) HFL-III (1.28, 1.42) (0.015, 0.14) KNS (0.35, 0.37) (0.041, 0.047) KNS (0.46, 0.49) (0.027, 0.041) KNS (0.30, 0.31) (0.050, 0.053) KNS (0.33, 0.35) (0.044, 0.050) KS (1.28, 1.33) 0.12 (0.094, 0.15) KS (1.44, 1.62) 0.16 (0.069, 0.26)

50 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Tabela 4.3. Tabela prezentuje wyniki symulacji LEM I. Parametry α i β zostały dopasowane do wynikowych danych za pomocą algorytmu trust region ([Celis1994]). W nawiasach podano 95% przedział ufności dla współczynników α i β.tabela zawiera również wartości RBEM oraz wyniki naświetleń przedstawione w pracy Suzuki et al. ([Suzuki2000]) (αexp, βexp, αx, βx) dla łatwiejszej weryfikacji otrzymanych rezultatów. Część 2. linia LET α[gy 1 ] β[gy 2 ] RBEM αexp[gy 1 ] βexp[gy 2 ] αx[gy 1 ] βx[gy 2 ] komórkowa [MeV /µm] LC-1 sq (0.72, 0.75) (0.091, 0.11) LC-1 sq (0.84, 0.93) (0.053, 0.11) Marcus (0.45, 0.47) (0.036, 0.042) Marcus (0.49, 0.52) (0.030, 0.043) NB1RGB (0.96, 1.00) (0.053, 0.080) NB1RGB (0.99, 1.078) 0.12 (0.082, 0.16) ONS (0.33, 0.34) (0.048, 0.052) ONS (0.36, 0.38) (0.040, 0.049) SF (0.57, 0.59) (0.056, 0.067) SF (0.61, 0.66) (0.050, 0.077) SK-MG (0.34, 0.36) (0.039, 0.043) SK-MG (0.39, 0.42) (0.032, 0.042) T98G (0.21, 0.22) (0.029, 0.031) T98G (0.25, 0.26) (0.023, 0.026) U-251MG(KO) (0.53, 0.56) (0.084, 0.10) Inf U-251MG(KO) (0.64, 0.72) (0.063, 0.11) Inf

51 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek 4.2. Wyniki modelu LEMI dla komórek A-172. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 45

52 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek 4.3. Wyniki modelu LEMI dla komórek A-549. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 46

53 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek 4.4. Wyniki modelu LEMI dla komórek Becker. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 47

54 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek 4.5. Wyniki modelu LEMI dla komórek C32TG. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 48

55 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek 4.6. Wyniki modelu LEMI dla komórek HFL-III. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 49

56 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek 4.7. Wyniki modelu LEMI dla komórek KNS60. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 50

57 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek 4.8. Wyniki modelu LEMI dla komórek KNS89. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 51

58 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek 4.9. Wyniki modelu LEMI dla komórek KS-1. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 52

59 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wyniki modelu LEMI dla komórek LC-1 sq. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 53

60 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wyniki modelu LEMI dla komórek Marcus. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 54

61 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wyniki modelu LEMI dla komórek NB1RGB. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 55

62 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wyniki modelu LEMI dla komórek ONS-76. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 56

63 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wyniki modelu LEMI dla komórek SF126. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 57

64 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wyniki modelu LEMI dla komórek SK-MG-1. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 58

65 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wyniki modelu LEMI dla komórek T98G. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 59

66 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wyniki modelu LEMI dla komórek U251MG. Ciągłą linią narysowano krzywą przeżywalności dla fotonów, wyniki symulacji oznaczono kółkami(let = 13keV/µm) i kwadratami(let 77keV/µm). Przerywane linie reprezentują wyniki z pracy Suzuki et al.([suzuki2000]). Odpowiednio górna krzywa dla LET = 13keV/µm i dolna dla LET 77keV/µm. 60

67 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek A172 dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 61

68 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek A549 dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 62

69 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek Becker dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 63

70 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek C32TG dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 64

71 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek HFLIII dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 65

72 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek KNS60 dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 66

73 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek KNS89 dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 67

74 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek KS1 dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 68

75 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek LC-1 sq dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 69

76 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek Marcus dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 70

77 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek NB1RGB dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 71

78 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek ONS-76 dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 72

79 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek SF126 dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 73

80 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek SK-MG-1 dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 74

81 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek T98G dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 75

82 4.1. LEM ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wartości względnej skuteczności biologicznej (RBE) dla komórek U-251MG(KO) dla jonów węgla o LET 77keV/µm(linia ciągła) i 13keV/µm(linia przerywana). Wyniki narysowano w funkcji dawki promieniowania fotonowego. 76

83 4.2. LEM II ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Tabela 4.4. Tabela prezentuje wyniki symulacji LEM I dla komórek CHO- K1. Parametry α i β zostały dopasowane do wynikowych danych za pomocą algorytmu trust region ([Celis1994]). W nawiasach podano 95% przedział ufności dla współczynnika α. Dodatkowo tabela zawiera wartości RBE M oraz parametry α exp oraz β exp dopasowane do danych doświadczalnych. LET α[gy 1 ] β[gy 2 ] RBE M α exp β exp [M ev/µm] (0.53, 0.53) ± (0.69, 0.69) ± ± (0.88, 0.89) ± ± 0.04 Poprzednie wykresy przedstawiały wyniki dla ludzkich linii komórkowych, w dalszej części prezentuje wyniki modelu dla linii CHO-K1 w jego podstawowej postaci (LEMI) oraz dla modelu wraz z poprawkami (LEMII i LEM III). W przypadku linii komórkowych z pracy [Suzuki2000] wartość parametru D t, którą użyłem w modelu była zaczerpnięta z artykułu Elsässer a ([Elsässer2008]). Dla komórek chomika chińskiego niestety nie odnalazłem takich danych w literaturze, dlatego też wykonałem szereg symulacji w celu doboru parametru D t, tak aby model odzwierciedlał najlepiej wyniki doświadczeń (rysunek 4.34). Oczywiście takie podejście w praktyce klinicznej nie jest możliwe, dlatego też zespoły rozwijające LEM korzystają z symulacji Monte Carlo ze specjalistycznego oprogramowania. Oceniana na podstawie wyników symulacji względna skuteczność biologiczna cząstek węgla, którymi były naświetlane komórki CHO-K1, maleje wraz ze wzrostem LET (rysunek 4.35). Jest to efekt odwrotny niż w przypadku komórek ludzkich dla których przeprowadzałem symulacje. Jednakowoż wynik taki zgadza się z obserwacjami doświadczalnymi ([Czub2008]). 4.2 LEM II Poprawka na efekt klastrowy w przypadku wykorzystanych przeze mnie linii komórkowych nie zmienia jakości dopasowania do danych doświadczalnych. Rysunek 4.36, przedstawia wynik jednej z symulacji dla komórek CHO- K1 dla jonów 12 C o energii 33.2MeV. Wartości α i β dopasowanej funkcji określonej wzorem 4.1 wynoszą odpowiednio: α = 0.89Gy 1 oraz β = Gy 1 i są takie same jak wyniki podstawowej wersji modelu (tabela 4.4) 77

84 4.2. LEM II ROZDZIAŁ 4. WYNIKI SYMULACJI Rysunek Wynik symulacji LEM I dla komórek CHO-K1. Punkty oznaczają wyniki symulacji, zaś linie reprezentują dane doświadczalne (narysowane na podstawie dopasowanych parametrów do wyników naświetlania w pracy [Czub2008]). Gwiazdki oznaczają wyniki dla energii 9.1M ev (LET = 832keV/µm), kwadraty 20.3M ev (LET = 576keV/µm), kółka 33.2M ev (LET = 438keV/µm). Szarym kolorem naniesiono niepewności dopasowania do danych doświadczalnych. W przypadku danych dla energii 20.3M ev/u (najjaśniejszy obszar), niepewność w dół jest zasłonięta przez obszar dla energii 33.2M ev/u 78

TERAPIA PROTONOWA. Proseminarium magisterskie 18 X 2005 1/36. Marta Giżyńska

TERAPIA PROTONOWA. Proseminarium magisterskie 18 X 2005 1/36. Marta Giżyńska TERAPIA PROTONOWA Proseminarium magisterskie 18 X 2005 1/36 W skrócie... Cele terapii Słownictwo Własności wiązki protonowej Cele strategiczne Technika wielopolowa Technika rozpraszania Porównanie z techniką

Bardziej szczegółowo

Techniki Jądrowe w Diagnostyce i Terapii Medycznej

Techniki Jądrowe w Diagnostyce i Terapii Medycznej Techniki Jądrowe w Diagnostyce i Terapii Medycznej Wykład 11, 19 maja 2015 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ Terapia nowotworów z

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia i prawa chemiczne, Obliczenia na podstawie wzorów chemicznych

Podstawowe pojęcia i prawa chemiczne, Obliczenia na podstawie wzorów chemicznych Podstawowe pojęcia i prawa chemiczne, Obliczenia na podstawie wzorów chemicznych 1. Wielkości i jednostki stosowane do wyrażania ilości materii 1.1 Masa atomowa, cząsteczkowa, mol Masa atomowa Atomy mają

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ SZKOLENIOWY SZKOLENIE WSTĘPNE PRACOWNIKA ZATRUDNIONEGO W NARAŻENIU NA PROMIENIOWANIE JONIZUJĄCE. Ochrona Radiologiczna - szkolenie wstępne 1

MATERIAŁ SZKOLENIOWY SZKOLENIE WSTĘPNE PRACOWNIKA ZATRUDNIONEGO W NARAŻENIU NA PROMIENIOWANIE JONIZUJĄCE. Ochrona Radiologiczna - szkolenie wstępne 1 MATERIAŁ SZKOLENIOWY SZKOLENIE WSTĘPNE PRACOWNIKA ZATRUDNIONEGO W NARAŻENIU NA PROMIENIOWANIE JONIZUJĄCE Ochrona Radiologiczna - szkolenie wstępne 1 Cel szkolenia wstępnego: Zgodnie z Ustawą Prawo Atomowe

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RADIOBIOLOGICZNE RADIOTERAPII HADRONOWEJ

MODELOWANIE RADIOBIOLOGICZNE RADIOTERAPII HADRONOWEJ Seminarium Instytutu Fizyki Jądrowej PAN,19.01.2006 MODELOWANIE RADIOBIOLOGICZNE RADIOTERAPII HADRONOWEJ Michał Waligórski Centrum Onkologii Oddział w Krakowie i Instytut Fizyki Jądrowej J PAN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

FIZYCZNE PODSTAWY RADIOTERAPII ZASADY RADIOTERAPII ŹRÓDŁA PROMIENIOWANIA TERAPEUTYCZNEGO ENERGIA PROMIENIOWANIA RODZAJE PROMIENIOWANIA

FIZYCZNE PODSTAWY RADIOTERAPII ZASADY RADIOTERAPII ŹRÓDŁA PROMIENIOWANIA TERAPEUTYCZNEGO ENERGIA PROMIENIOWANIA RODZAJE PROMIENIOWANIA FIZYCZNE PODSTAWY RADIOTERAPII ZASADY RADIOTERAPII WILHELM CONRAD ROENTGEN PROMIENIE X 1895 ROK PROMIENIOWANIE JEST ENERGIĄ OBEJMUJE WYSYŁANIE, PRZENOSZENIE I ABSORPCJĘ ENERGII POPRZEZ ŚRODOWISKO MATERIALNE

Bardziej szczegółowo

Narodowe Centrum Radioterapii Hadronowej. Centrum Cyklotronowe Bronowice

Narodowe Centrum Radioterapii Hadronowej. Centrum Cyklotronowe Bronowice 1 Narodowe Centrum Radioterapii Hadronowej Centrum Cyklotronowe Bronowice Instytut Fizyki Jądrowej im. Henryka Niewodniczańskiego Polskiej Akademii Nauk ul. Radzikowskiego 152, 31-342 Kraków www.ifj.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Radioterapia Hadronowa

Radioterapia Hadronowa Radioterapia Hadronowa Opracował: mgr. inż. Krzysztof Woźniak Warszawa styczeń 2009 Wstęp Medycyna od około stu lat korzysta z promieniowania jonizującego do zwalczania chorób nowotworowych. Pierwsze eksperymenty

Bardziej szczegółowo

Elektrostatyka, część pierwsza

Elektrostatyka, część pierwsza Elektrostatyka, część pierwsza ZADANIA DO PRZEROBIENIA NA LEKJI 1. Dwie kulki naładowano ładunkiem q 1 = 1 i q 2 = 3 i umieszczono w odległości r = 1m od siebie. Oblicz siłę ich wzajemnego oddziaływania.

Bardziej szczegółowo

Podstawy OpenCL część 2

Podstawy OpenCL część 2 Podstawy OpenCL część 2 1. Napisz program dokonujący mnożenia dwóch macierzy w wersji sekwencyjnej oraz OpenCL. Porównaj czasy działania obu wersji dla różnych wielkości macierzy, np. 16 16, 128 128, 1024

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Wpływ promieniowania jonizującego na organizmy

Wpływ promieniowania jonizującego na organizmy Wpływ promieniowania jonizującego na organizmy Napromienienie Oznacza pochłonięcie energii promieniowania i co za tym idzieotrzymanie dawki promieniowania Natomiast przy pracy ze źródłami promieniotwórczymi

Bardziej szczegółowo

RADIOTERAPIA NOWOTWORÓW UKŁADU MOCZOWO PŁCIOWEGO U MĘŻCZYZN DOSTĘPNOŚĆ W POLSCE

RADIOTERAPIA NOWOTWORÓW UKŁADU MOCZOWO PŁCIOWEGO U MĘŻCZYZN DOSTĘPNOŚĆ W POLSCE RADIOTERAPIA NOWOTWORÓW UKŁADU MOCZOWO PŁCIOWEGO U MĘŻCZYZN DOSTĘPNOŚĆ W POLSCE Marcin Hetnał Centrum Onkologii Instytut im. MSC; Kraków Ośrodek Radioterapii Amethyst RTCP w Krakowie Radioterapia Radioterapia

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

S T R E S Z C Z E N I E

S T R E S Z C Z E N I E STRESZCZENIE Cel pracy: Celem pracy jest ocena wyników leczenia napromienianiem chorych z rozpoznaniem raka szyjki macicy w Świętokrzyskim Centrum Onkologii, porównanie wyników leczenia chorych napromienianych

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE 1 W S E i Z W WARSZAWIE WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 3 Temat: WYZNACZNIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA Warszawa 2009 2 1. Podstawy fizyczne Zarówno przy przepływach płynów (ciecze

Bardziej szczegółowo

Akceleratory do terapii niekonwencjonalnych. Sławomir Wronka

Akceleratory do terapii niekonwencjonalnych. Sławomir Wronka Akceleratory do terapii niekonwencjonalnych Szkoła Fizyki Akceleratorów Medycznych, Świerk 2007 Plan Niekonwencjonalne terapie wiązką e-/x Protony Ciężkie jony Neutrony 2 Tomotherapy 3 CyberKnife 4 Igła

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie stałej słonecznej i mocy promieniowania Słońca

Wyznaczanie stałej słonecznej i mocy promieniowania Słońca Wyznaczanie stałej słonecznej i mocy promieniowania Słońca Jak poznać Wszechświat, jeśli nie mamy bezpośredniego dostępu do każdej jego części? Ta trudność jest codziennością dla astronomii. Obiekty astronomiczne

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie symulacji Monte Carlo do zarządzania ryzykiem przedsięwzięcia z wykorzystaniem metod sieciowych PERT i CPM

Zastosowanie symulacji Monte Carlo do zarządzania ryzykiem przedsięwzięcia z wykorzystaniem metod sieciowych PERT i CPM SZKOŁA GŁÓWNA HANDLOWA w Warszawie STUDIUM MAGISTERSKIE Kierunek: Metody ilościowe w ekonomii i systemy informacyjne Karol Walędzik Nr albumu: 26353 Zastosowanie symulacji Monte Carlo do zarządzania ryzykiem

Bardziej szczegółowo

RADIO TERA PIA. informacje dla lekarzy. Opracowanie: dr hab. n. med. Iwona Gisterek prof. nadzw.

RADIO TERA PIA. informacje dla lekarzy. Opracowanie: dr hab. n. med. Iwona Gisterek prof. nadzw. RADIO TERA PIA RT informacje dla lekarzy Opracowanie: dr hab. n. med. Iwona Gisterek prof. nadzw. Spis treści 4 Radioterapia zasada działania 5 Rodzaje radioterapii 6 Wskazania do radioterapii 7 Przygotowanie

Bardziej szczegółowo

KOMUNIKAT DOTYCZĄCY BEZPIECZEŃSTWA STOSOWANIA PRODUKTU / POWIADOMIENIE DOTYCZĄCE PRODUKTU

KOMUNIKAT DOTYCZĄCY BEZPIECZEŃSTWA STOSOWANIA PRODUKTU / POWIADOMIENIE DOTYCZĄCE PRODUKTU KOMUNIKAT DOTYCZĄCY BEZPIECZEŃSTWA STOSOWANIA PRODUKTU / POWIADOMIENIE DOTYCZĄCE PRODUKTU Temat: Ograniczenia dokładności oprogramowania w przypadku bardzo małych rozmiarów pola kolimatora wielolistkowego

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Reakcje jądrowe dr inż. Romuald Kędzierski

Reakcje jądrowe dr inż. Romuald Kędzierski Reakcje jądrowe dr inż. Romuald Kędzierski Wybuch bomby Ivy Mike (fot. National Nuclear Security Administration/Nevada Site Office, domena publiczna) Przemiany jądrowe 1. Spontaniczne (niewymuszone) związane

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem

Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem Ćwiczenie E7 Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem E7.1. Cel ćwiczenia Prąd elektryczny płynący przez przewodnik wytwarza wokół niego pole magnetyczne. Ćwiczenie polega na pomiarze

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizyka się liczy Eliminacje TEST 27 lutego 2013r.

V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizyka się liczy Eliminacje TEST 27 lutego 2013r. V OGÓLNOPOLSKI KONKURS Z FIZYKI Fizyka się liczy Eliminacje TEST 27 lutego 2013r. 1. Po wirującej płycie gramofonowej idzie wzdłuż promienia mrówka ze stałą prędkością względem płyty. Torem ruchu mrówki

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym

Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym Ćwiczenie E6 Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym E6.1. Cel ćwiczenia Na zamkniętą pętlę przewodnika z prądem, umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym, działa skręcający moment

Bardziej szczegółowo

Fizyka cząstek elementarnych warsztaty popularnonaukowe

Fizyka cząstek elementarnych warsztaty popularnonaukowe Fizyka cząstek elementarnych warsztaty popularnonaukowe Spotkanie 3 Porównanie modeli rozpraszania do pomiarów na Wielkim Zderzaczu Hadronów LHC i przyszłość fizyki cząstek Rafał Staszewski Maciej Trzebiński

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl 3OF_III_D KOOF Szczecin: www.of.szc.pl XXXII OLIMPIADA FIZYCZNA (198/1983). Stopień III, zadanie doświadczalne D Źródło: Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Waldemar

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change Raport 4/2015 Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie kosmiczne: astrobiologów

Promieniowanie kosmiczne: astrobiologów Promieniowanie kosmiczne: astrobiologów zagadka dla Franco Ferrari Instytut Fizyki oraz CASA* University of Szczecin, Szczecin Wrocław, 10 stycznia 2011 Spis treści Promieniowanie kosmiczne (CR) w skrócie

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcji opartej na programie Program nauczania informatyki w gimnazjum DKW-4014-87/99

Scenariusz lekcji opartej na programie Program nauczania informatyki w gimnazjum DKW-4014-87/99 Scenariusz lekcji opartej na programie Program nauczania informatyki w gimnazjum DKW-4014-87/99 Techniki algorytmiczne realizowane przy pomocy grafiki żółwia w programie ELI 2,0. Przedmiot: Informatyka

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła

Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła Michał Łasica klasa IIId nr 13 22 grudnia 2006 1 1 Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki 1.1

Bardziej szczegółowo

O egzotycznych nuklidach i ich promieniotwórczości

O egzotycznych nuklidach i ich promieniotwórczości O egzotycznych nuklidach i ich promieniotwórczości Marek Pfützner Instytut Fizyki Doświadczalnej Uniwersytet Warszawski Tydzień Kultury w VIII LO im. Władysława IV, 13 XII 2005 Instytut Radowy w Paryżu

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKA, KRYTETRIA I WARUNKI WYKONYWANIA PROCEDUR WYSOKOSPECJALISTYCZNYCH RADIOTERAPII

CHARAKTERYSTYKA, KRYTETRIA I WARUNKI WYKONYWANIA PROCEDUR WYSOKOSPECJALISTYCZNYCH RADIOTERAPII CHARAKTERYSTYKA, KRYTETRIA I WARUNKI WYKONYWANIA PROCEDUR WYSOKOSPECJALISTYCZNYCH RADIOTERAPII 12.1 Radioterapia z zastosowaniem techniki konformalnej, niekoplanarnej, stereotaktycznej lub śródoperacyjnej

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8. Wszechświat cząstek elementarnych dla przyrodników. Maria Krawczyk, Wydział Fizyki UW 25.11.2011

WYKŁAD 8. Wszechświat cząstek elementarnych dla przyrodników. Maria Krawczyk, Wydział Fizyki UW 25.11.2011 Wszechświat cząstek elementarnych dla przyrodników WYKŁAD 8 Maria Krawczyk, Wydział Fizyki UW 25.11.2011 Współczesne eksperymenty Wprowadzenie Akceleratory Zderzacze Detektory LHC Mapa drogowa Współczesne

Bardziej szczegółowo

Fizyczne podstawy radioterapii

Fizyczne podstawy radioterapii Fizyczne podstawy radioterapii odkrycie promieniu X, promieniotwórczości i swobodnego elektronu stworzyły podstawy nowych działów medycyny: diagnostyki rentgenowskiej i radioterapii pierwsze próby zastosowania

Bardziej szczegółowo

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania Pole elektryczne Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunek punktowy Ładunek punktowy (q) jest to wyidealizowany model, który zastępuje rzeczywiste naelektryzowane

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Rozmycie pasma spektralnego

Rozmycie pasma spektralnego Rozmycie pasma spektralnego Rozmycie pasma spektralnego Z doświadczenia wiemy, że absorpcja lub emisja promieniowania przez badaną substancję występuje nie tylko przy częstości rezonansowej, tj. częstości

Bardziej szczegółowo

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 3 Generacja realizacji zmiennych losowych Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia: Generowanie

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Fizyka Poziom rozszerzony. Listopad 2015

KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Fizyka Poziom rozszerzony. Listopad 2015 kod wewnątrz Zadanie 1. (0 1) KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Fizyka Poziom rozszerzony Listopad 2015 Vademecum Fizyka fizyka ZAKRES ROZSZERZONY VADEMECUM MATURA 2016 Zacznij przygotowania

Bardziej szczegółowo

Interpolacja krzywymi sklejanymi stopnia drugiego (SPLINE-2)

Interpolacja krzywymi sklejanymi stopnia drugiego (SPLINE-2) Jacek Złydach (JW) Wstęp Interpolacja krzywymi sklejanymi stopnia drugiego (SPLINE-) Implementacja praktyczna Poniższa praktyczna implementacja stanowi uzupełnienie teoretycznych rozważań na temat interpolacji

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do rysowania w 3D. Praca w środowisku 3D

Wprowadzenie do rysowania w 3D. Praca w środowisku 3D Wprowadzenie do rysowania w 3D 13 Praca w środowisku 3D Pierwszym krokiem niezbędnym do rozpoczęcia pracy w środowisku 3D programu AutoCad 2010 jest wybór odpowiedniego obszaru roboczego. Można tego dokonać

Bardziej szczegółowo

1. Co to jest promieniowanie jonizujące 2. Źródła promieniowania jonizującego 3. Najczęściej spotykane rodzaje promieniowania jonizującego 4.

1. Co to jest promieniowanie jonizujące 2. Źródła promieniowania jonizującego 3. Najczęściej spotykane rodzaje promieniowania jonizującego 4. 1. Co to jest promieniowanie jonizujące 2. Źródła promieniowania jonizującego 3. Najczęściej spotykane rodzaje promieniowania jonizującego 4. Przenikanie promieniowania α, β, γ, X i neutrony 5. Krótka

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

PILNA KOREKTA URZĄDZENIA MEDYCZNEGO PILNE ZAWIADOMIENIE DOTYCZĄCE BEZPIECZEŃSTWA

PILNA KOREKTA URZĄDZENIA MEDYCZNEGO PILNE ZAWIADOMIENIE DOTYCZĄCE BEZPIECZEŃSTWA Temat: Prawdopodobieństwo uzyskania niepoprawnych wyników w przypadku skonfigurowania wiązki emc (electron Monte Carlo) z wykorzystaniem nierównoodległych punktów danych w profilach w systemie Eclipse

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Newton vs. Lagrange - kto lepszy?

Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Matematyki i Informatyki Katedra Analizy Matematycznej Agnieszka Rydzyńska nr albumu: 254231 Praca Zaliczeniowa z Seminarium Newton vs. Lagrange - kto lepszy? Opiekun

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Katarzyna Jesionek Zastosowanie symulacji dynamiki cieczy oraz ośrodków sprężystych w symulatorach operacji chirurgicznych.

Katarzyna Jesionek Zastosowanie symulacji dynamiki cieczy oraz ośrodków sprężystych w symulatorach operacji chirurgicznych. Katarzyna Jesionek Zastosowanie symulacji dynamiki cieczy oraz ośrodków sprężystych w symulatorach operacji chirurgicznych. Jedną z metod symulacji dynamiki cieczy jest zastosowanie metody siatkowej Boltzmanna.

Bardziej szczegółowo

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A.

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A. Prąd elektryczny Dotychczas zajmowaliśmy się zjawiskami związanymi z ładunkami spoczywającymi. Obecnie zajmiemy się zjawiskami zachodzącymi podczas uporządkowanego ruchu ładunków, który często nazywamy

Bardziej szczegółowo

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu:

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu: 5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Procentowa zawartość sodu (w molu tej soli są dwa mole sodu) wynosi:

Procentowa zawartość sodu (w molu tej soli są dwa mole sodu) wynosi: Stechiometria Każdą reakcję chemiczną można zapisać równaniem, które jest jakościową i ilościową charakterystyką tej reakcji. Określa ono bowiem, jakie pierwiastki lub związki biorą udział w danej reakcji

Bardziej szczegółowo

Sieci obliczeniowe poprawny dobór i modelowanie

Sieci obliczeniowe poprawny dobór i modelowanie Sieci obliczeniowe poprawny dobór i modelowanie 1. Wstęp. Jednym z pierwszych, a zarazem najważniejszym krokiem podczas tworzenia symulacji CFD jest poprawne określenie rozdzielczości, wymiarów oraz ilości

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Dane mikromacierzowe. Mateusz Markowicz Marta Stańska

Dane mikromacierzowe. Mateusz Markowicz Marta Stańska Dane mikromacierzowe Mateusz Markowicz Marta Stańska Mikromacierz Mikromacierz DNA (ang. DNA microarray) to szklana lub plastikowa płytka (o maksymalnych wymiarach 2,5 cm x 7,5 cm) z naniesionymi w regularnych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy zakres szkolenia wymagany dla osób ubiegających się o nadanie uprawnień inspektora ochrony radiologicznej

Szczegółowy zakres szkolenia wymagany dla osób ubiegających się o nadanie uprawnień inspektora ochrony radiologicznej Załącznik nr 1 Szczegółowy zakres szkolenia wymagany dla osób ubiegających się o nadanie uprawnień inspektora ochrony radiologicznej Lp. Zakres tematyczny (forma zajęć: wykład W / ćwiczenia obliczeniowe

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

Projekt FPP "O" Kosma Jędrzejewski 13-12-2013

Projekt FPP O Kosma Jędrzejewski 13-12-2013 Projekt FPP "O" Kosma Jędrzejewski --0 Projekt polega na wyznaczeniu charakterystyk gęstości stanów nośników ładunku elektrycznego w obszarze aktywnym lasera półprzewodnikowego GaAs. Wyprowadzenie wzoru

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ DIAGNOSTYCZNY Z FIZYKI I ASTRONOMII

MATERIAŁ DIAGNOSTYCZNY Z FIZYKI I ASTRONOMII Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MATERIAŁ DIAGNOSTYCZNY Z FIZYKI I ASTRONOMII POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 13

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów.

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Graficzna analiza zależności liniowej Założenie: każdy z pomiarów obarczony jest taką samą niepewnością pomiarową (takiej samej wielkości prostokąty niepewności).

Bardziej szczegółowo

Badanie zależności zmiennych kolumnowej i wierszowej:

Badanie zależności zmiennych kolumnowej i wierszowej: Wykład : Tablice wielodzielcze Zródło:http://pl.wikipedia.org/wiki/Plik:Drosophila_melanogaster.jpg Drosophila melanogaster Krzyżówka wsteczna (CcNn i ccnn) Kolor oczu czerwone fioletowe Rozmiar skrzydła

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

4.2 Rozgrzewka, czyli Centralne Twierdzenie Graniczne

4.2 Rozgrzewka, czyli Centralne Twierdzenie Graniczne 4.1 Wprowadzenie do modelowania Uwaga!!! Rzut monetą nie jest eksperymentem losowym. Znając warunki początkowe oraz wiedząc wszystko o otoczeniu, wyposażeni w znajomość zasad dynamiki jesteśmy w stanie

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie promieniowania radonu

Wyznaczanie promieniowania radonu Wyznaczanie promieniowania radonu Urszula Kaźmierczak 1. Cele ćwiczenia Zapoznanie się z prawem rozpadu promieniotwórczego, Pomiar aktywności radonu i produktów jego rozpadu w powietrzu.. Źródła promieniowania

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie absorpcji promieniowania radioaktywnego.

Wyznaczenie absorpcji promieniowania radioaktywnego. Prof. Henryk Szydłowski BADANIE ROZPADU PROMIENIOTWÓRCZEGO Cel doświadczenia: Wyznaczenie promieniotwórczości tła. Wyznaczenie absorpcji promieniowania radioaktywnego. Przyrządy: Zestaw komputerowy z interfejsem,

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA AMFETAMINY Waldemar S. Krawczyk Centralne Laboratorium Kryminalistyczne Komendy Głównej Policji, Warszawa (praca obroniona na Wydziale Chemii Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

Opis postępowania przy eksportowaniu geometrii z systemu Unigraphics NX do pakietu PANUKL (ver. A)

Opis postępowania przy eksportowaniu geometrii z systemu Unigraphics NX do pakietu PANUKL (ver. A) 1 Opis postępowania przy eksportowaniu geometrii z systemu Unigraphics NX do pakietu PANUKL (ver. A) Przedstawiony poniżej schemat przygotowania geometrii w systemie Unigraphics NX na potrzeby programu

Bardziej szczegółowo

DAWKA SKUTECZNA I EKWIWALENTNA A RYZYKO RADIACYJNE. EFEKTY STOCHASTYCZNE I DETERMINISTYCZNE. Magdalena Łukowiak

DAWKA SKUTECZNA I EKWIWALENTNA A RYZYKO RADIACYJNE. EFEKTY STOCHASTYCZNE I DETERMINISTYCZNE. Magdalena Łukowiak DAWKA SKUTECZNA I EKWIWALENTNA A RYZYKO RADIACYJNE. EFEKTY STOCHASTYCZNE I DETERMINISTYCZNE. Magdalena Łukowiak Równoważnik dawki. Równoważnik dawki pochłoniętej, biologiczny równoważnik dawki, dawka równoważna

Bardziej szczegółowo

IR II. 12. Oznaczanie chloroformu w tetrachloroetylenie metodą spektrofotometrii w podczerwieni

IR II. 12. Oznaczanie chloroformu w tetrachloroetylenie metodą spektrofotometrii w podczerwieni IR II 12. Oznaczanie chloroformu w tetrachloroetylenie metodą spektrofotometrii w podczerwieni Promieniowanie podczerwone ma naturę elektromagnetyczną i jego absorpcja przez materię podlega tym samym prawom,

Bardziej szczegółowo

DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1

DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1 DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1 I. ZAGADNIENIA TEORETYCZNE Niepewności pomiaru standardowa niepewność wyniku pomiaru wielkości mierzonej bezpośrednio i złożona niepewność standardowa. Przedstawianie wyników

Bardziej szczegółowo