Druga zasada termodynamiki.

Transkrypt

1 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 79 W Y K Ł A D XIV Druga zasada termodynamiki. Często naszym zadaniem jest zastosowanie zasady zachowania energii. Jednak, zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki, energia jest zawsze zachowana. Co w takim razie znaczy zachować energię, jeżeli całkowita energia wszechświata nie ulega zmianie bez względu jakie czynności wykonujemy. Pierwsza zasada termodynamiki nie mówi nam wszystkiego o energii. Energia jest zawsze zachowana, ale niektóre formy energii są bardziej przydatne od innych. Druga zasada termodynamiki mówi nam o prawdopodobieństwie zastosowania danej formy energii do celów praktycznych. Na przykład, łatwo jest przekształcić energię mechaniczną w ciepło, ale niemożliwe jest zmniejszyć energię wewnętrzną układu i przekształcić ją całkowicie w pracę mechaniczną bez dodatkowych zmian w układzie. Ten fakt doświadczalny jest treścią drugiej zasady termodynamiki. Niemożliwa jest przemiana, której jedynym wynikiem byłaby zamiana na pracę ciepła pobranego ze źródła mającego wszędzie tę samą temperaturę Druga zasada termodynamiki w sformułowaniu Kelvina Zostanie podanych jeszcze kilka innych równoważnych sformułowań drugiej zasady termodynamiki. Typowym przykładem przekształcenia energii mechanicznej w ciepło jest ruch, w którym występują siły tarcia. Na przykład, jeżeli klocek ślizga się po chropowatej powierzchni stołu, to początkowa energia mechaniczna ( kinetyczna ) klocka jest zamieniana na ciepło, a rezultatem tego jest wzrost temperatury ciała i stołu. Odwrotny proces, oczywiście, nigdy nie wystąpi klocek i stół nie ulegną samoistnemu ochłodzeniu, a klocek w wyniku przekazania mu tej energii zacznie się ślizgać! Jednak nawet takie nieprawdopodobne zachowanie nie narusza prawa zachowania energii ( pierwszej zasady termodynamiki ). Takie zachowanie naruszyło by drugą zasadę termodynamiki. Nie ma zatem symetrii w roli jaką odgrywają praca i ciepło, ale nie wynika to z pierwszej zasady. Ten brak symetrii wynika z faktu, że niektóre procesy są nieodwracalne. Procesy nieodwracalne mogą mieć różną postać, ale wszystkie mają związek z drugą zasadą termodynamiki. Na przykład przewodzenie ciepła jest procesem nieodwracalnym.

2 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 80 Jeżeli zetkniemy ciepłe ciało z zimnym, to ciepło będzie przepływać z ciała cieplejszego do chłodnego, aż do momentu wyrównania się temperatur obu ciał. Odwrotny proces nigdy nie wystąpi. Dwa ciała znajdujące się w kontakcie w tej samej temperaturze pozostaną w tej samej temperaturze; ciepło nie będzie przepływać w żadnym kierunku. Ta eksperymentalna obserwacja umożliwia nam inne sformułowanie drugiej zasady termodynamiki: Nie może istnieć proces, którego jedynym końcowym wynikiem byłoby przeniesienie ciepła z ciała zimniejszego do cieplejszego. Druga zasada termodynamiki w sformułowaniu Clasjusza. W następnej części pokażemy, że oba sformułowania Kelvina i Clasjusza są równoważne. 4- Maszyny cieplne, a druga zasada termodynamiki. Para Woda Silnik Chłodnica Ciepło Rysunek 5-

3 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 8 Badania sprawności cieplnej maszyn cieplnych przyczyniły się do sformułowania w sposób jasny drugiej zasady termodynamiki. Maszyna cieplna jest urządzeniem pracującym cyklicznie, którego zadaniem jest zamiana jak największej ilości ciepła na pracę. Maszyny cieplne zawierają substancję roboczą ( wodę w maszynie parowej, powietrze i pary benzyny w silniku benzynowym ), która pobiera ciepło, wykonuje pracę W i oddaje ciepło i w rezultacie powraca do stanu wyjściowego. Pierwszymi maszynami cieplnymi były silniki parowe, wynalezione w dziewiętnastym wieku i używane początkowo do wypompowywania wody z kopalni węgla. Obecnie silniki parowe są używane jako generatory elektryczności. W typowym silniku parowym woda jest podgrzewana przy ciśnieniu kilkuset atmosfer aż do Tłok porusza się ponownie do góry usuwając spalony gaz Zawór wydechowy otwarty Do rury wydechowej Mieszanka powietrza i benzyny Zawór ssania otwarty Zawór ssania Zawór wydech u Mieszanka par benzyny i powietrza dostaje się do komory spalania podczas gdy tłok porusza się do dołu Etap wydechu (5) Oba zawory zamknięte Etap ssania () Świeca zapłonowa Oba zawory zamknięte Cylinder Tłok Następnie tłok porusza się do góry sprężając tłok aż do zapłonu Rozprężający się gaz przesuwa tłok do dołu, etap zwany uderzeniem mocy Oba zawory zamknięte Przegub łączący Etap sprężania () Wał korbowy Etap pracy (4) Kiedy gaz ulega zapłonowi, rozpręża się Rysunek 5- Silnik spalinowy Zapłon (3) Zgodnie z przyjętą konwencją w pierwszej zasadzie, ciepło oddawane ma znak minus. Ponieważ jednak jesteśmy zainteresowani, w tym przypadku, wartością ciepła pobieranego i oddawanego, to jeżeli będzie zachodzić potrzeba, będziemy stosować znak wartości bezwzględnej.

4 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 8 przejścia w parę przy około C ( Rysunek 5- ). Para rozszerza się naciska na tłok i wykonuje pracę, następnie istnieje w znacznie niższej temperaturze i w końcu ochładza się aż ulegnie skropleniu. Woda jest następnie pompowana do zbiornika i ulega ponownemu podgrzaniu. Rysunek 5- przedstawia schemat działania silnika spalinowego używanego w większości silników samochodowych (silnik benzynowy). Jeżeli zawór wydechowy jest zamknięty, to mieszanina par benzyny i powietrza dostaje się do komory spalania podczas gdy tłok porusza się do dołu w etapie zasysania. Następnie mieszanka jest sprężana, po czym następuje jej zapłon dzięki iskrze ze świecy zapłonowej. W rezultacie tego, gorący gaz rozpręża się przesuwając tłok do dołu w etapie zwanym etapem pracy i wykonuje pracę. Następnie gaz jest usuwany poprzez zawór odprowadzający i cykl się powtarza. Idealny model takiego cyklu w silniku spalinowym jest zwany cyklem Otto i przestawiony na rysunku 5-3. Grzejnica o temperaturze T S I L N I K Rysunek 5-3 Chodnica o temperaturze T Rysunek 5-4 Rysunek 5-4 ilustruje schematycznie zasadę działania silnika cieplnego. Dostarczane ciepło wpływa do układu ze zbiornika ciepła grzejnicy posiadającej temperaturę T i wypływa do chłodnicy o temperaturze T. Zbiornikami te są doskonałymi ciałami lub układami, które posiadają bardzo duża pojemność cieplną pozwalającą na pobieranie lub oddawanie ciepła bez istotnych zmian temperatury. W praktyce takim cieplnym zbiornikiem może być otaczająca atmosfera lub np. jezioro. Ponieważ stan początkowy i końcowy takiej maszyny i substancji roboczej jest taki sam, to początkowa i końcowa energia wewnętrzna są takie same, czyli U 0. Wtedy, zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki, wykonana praca jest równa wypadkowemu ciepłu dostarczonemu do układu:

5 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 83 U W W lub W 5- Współczynnikiem sprawności silnika cieplnego nazywamy stosunek pracy wykonanej do ciepła dostarczonego z grzejnicy: W 5- Współczynnik sprawności Ponieważ ciepło jest zwykle wytwarzane poprzez spalanie jakiegoś paliwa, na przykład węgla lub oleju, za które trzeba zwykle zapłacić, to projektuje się maszyny cieplne tak aby współczynnik sprawności był jak największy. Najlepszy silnik parowy ma sprawność rzędu 40%, a silnik spalinowy 50%. Przy 00% sprawności (η = ) cała energia cieplna pobierana z grzejnicy byłaby zamieniana na pracę i nie odprowadzałoby się ciepła do chłodnicy. Jednak niemożliwe jest zbudowanie silnika cieplnego o 00% sprawności. Ten doświadczalny wynik wyraża drugą zasadę termodynamiki dla silnika cieplnego, która jest równoważna sformułowaniu Kelvina przytoczonemu wyżej: Niemożliwe jest zbudowanie silnika cieplnego pracującego cyklicznie, który pobierał by ciepło z grzejnicy i zamieniał je całkowicie na pracę. Druga zasada termodynamiki: Sformułowanie dotyczące silnika cieplnego. Słowo cyklicznie jest ważne, ponieważ można przekształcić całkowicie ciepło w pracę, ale w przemianie niecyklicznej. Wszystkie gazy doskonałe rozprężając się izotermicznie właśnie to robią. Ale po rozprężaniu gaz nie znajduje się w swoim stanie początkowym. Jeżeli chcemy przywrócić gaz do stanu początkowego, to musi zostać wykonana praca nad gazem i trochę ciepła musi być oddane. Grzejnica o temperaturze T Lodówka Chłodnica o temperaturze T To drugie prawo mówi nam, że jeżeli chcemy otrzymać Rysunek 4-5

6 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 84 pracę ze zbiornika z ciepłem (grzejnicy), to musimy posiadać zbiornik chłodniejszy ( chłodnicę), który przyjmie część ciepła niewykorzystanego. Gdyby to nie była prawda, to moglibyśmy zbudować statek, który posiadałby silnik pobierający ciepło wprost z oceanu. Niestety brak chłodniejszego zbiornika ciepła odbierającego ciepło powoduje, że ten ogromny rezerwuar ciepła jakim jest ocean nie można wykorzystać. Problem polega na tym, że jeżeli chcemy całkowicie nieuporządkowaną energię cieplną zamienić w stałej temperaturze na całkowicie uporządkowaną energię ciała znajdującego się w ruchu ( bez żadnych zmian w źródle ciepła, czy silniku ), to musimy użyć oddzielnego, zimnego zbiornika. 4- Lodówki, a druga zasada termodynamiki. Rysunek 4-5 przedstawia schematycznie zasadę działania lodówki, która jest w zasadzie silnikiem cieplnym pracującym w odwrotnym kierunku. Praca jest dostarczana do silnika w celu odebrania ciepła z lodówki ( chłodnicy ) i przeniesieniu go do otoczenia ( grzejnicy ). doświadczenie pokazuje, że takie przenoszenie ciepła zawsze wymaga wykonania pewnej pracy co prowadzi do sformułowania w innej postaci drugiej zasady termodynamiki : Niemożliwe jest, aby lodówka pracowała cyklicznie bez innych efektów oprócz przekazywania ciepła z ciała chłodniejszego do cieplejszego. Druga zasada termodynamiki. Sformułowanie dotyczące lodówki Gdyby powyższe sformułowanie nie było prawdziwe, to moglibyśmy chłodzić nasze domy latem używając lodówki, która pompowałaby ciepło na zewnątrz nie zużywając energii elektrycznej lub innej energii. Miarą wydajności lodówki jest stosunek / W, gdzie jest ciepłem usuniętym z chłodnego zbiornika przez lodówkę wykonującą pracę W zwany współczynnikiem wydajności chłodniczej WWC: WWC W 5-3 Im większy jest ten współczynnik tym lepsza jest lodówka. Typowa lodówka posiada WWC około 5 lub 6. Drugą zasadę termodynamiki możemy sformułować również, twierdząc, że WWC nie może być równy nieskończoności. 4-3 Równoważność sformułowań drugiej zasady termodynamiki.

7 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 85 Sformułowania drugiej zasady termodynamiki w oparciu o silnik cieplny i lodówkę na pozór brzmią różnie, ale w zasadzie są równoważne. Możemy to udowodnić pokazując, że jeżeli jedno sformułowanie przyjąć jako nieprawdziwe, to i drugie sformułowanie musi być fałszywe. Zastosujemy przykład liczbowy pokazujący, że jeżeli sformułowanie o silniku cieplnym jest fałszywe, to i sformułowanie dotyczące lodówki jest nieprawdziwe. Rysunek 5-6a przedstawia zwykłą lodówkę, która zużywa 50J pracy, aby usunąć 00J energii z chłodnego zbiornika i przekazać 50J energii do zbiornika ciepła. Gdyby twierdzenie o silniku cieplnym nie było prawdziwe, to idealny silnik cieplny pobierałby z grzejnicy ciepło i całkowicie przekształcał je w pracę ze 00% sprawnością. Moglibyśmy użyć idealnego silnika cieplnego do usunięcia 50J ciepła z grzejnicy i zamianę go na 50J pracy (Rysunek 5-6b). Następnie używając doskonałego silnika cieplnego w połączeniu ze zwykłą lodówką, moglibyśmy zbudować idealną lodówkę, która przekazywałaby 00J ciepła z chłodnicy do grzejnicy, bez wykonania pracy (Rysunek 5-6c). To narusza jednak sformułowanie drugie zasady termodynamiki w oparciu o zasadę działania lodówki. W rezultacie, jeżeli sformułowanie dotyczące maszyny cieplnej jest fałszywe, to również sformułowanie dotyczące lodówki też jest nieprawdziwe. Podobnie, jeżeli by istniała doskonała lodówka, to mogła by w połączeniu ze zwykłym silnikiem cieplnym posłużyć do konstrukcji idealnego silnika cieplnego. A zatem, jeżeli sformułowanie o lodówce jest fałszywe, to również fałszywe jest sformułowanie o silniku cieplnym. Z tego wynika, że jeżeli jedno z tych sformułowań jest prawdziwe, to drugie również musi być prawdziwe. Dlatego oba sformułowania są ekwiwalentne. Grzejnica o temperaturze T Zwykła lodówka Idealna lodówka Silnik idealny Chłodnica o temperaturze T Rysunek Silnik Carnota. Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki niemożliwe jest, aby silnik cieplny pracujący między dwoma zbiornikami ciepła miał 00% wydajności. Jaka, w takim razie, sprawność jest

8 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 86 największa do osiągnięcia dla takiego silnika? Odpowiedź na to pytanie dał w 84 roku młody francuski inżynier Sadi Carnot. Miało to miejsce jeszcze przed sformułowaniem pierwszej i drugiej zasady termodynamiki. Carnot pokazał, że silnik odwracalny jest silnikiem najbardziej efektywnym z spośród tych, które mogą działać między dwoma dowolnymi zbiornikami ciepła. Żaden silnik działająca między dwoma danymi zbiornikami ciepła nie może być bardziej wydajny niż silnik odwracalny pracujący między tymi dwoma zbiornikami. Twierdzenie Carnota Silnikiem odwracalnym jest, zatem, silnik doskonały, pracujący z największą wydajnością. Odwracalny silnik pracujący cyklicznie między dwoma zbiornikami ciepła nazywa się silnikiem Carnota, a jego cykl nazywa się cyklem Carnota. Silnik Carnota jest Grzejnica o temperaturze T Rysunek 5-7 Chłodnica o temperaturze T Odwracalny silnik cieplny o współczynniku sprawności 40% usuwa 00J z grzejnicy, wykonuje 40J pracy i oddaje 60J do chłodnicy. Jeżeli ten sam silnik pracuje w kierunku odwrotnym jako lodówka, wtedy zostaje wykonana praca 40J, w celu odprowadzenia 60J z chłodnicy i dostarczenia 00J do grzejnicy. Załóżmy, że silnik cieplny pracuje ze sprawnością 45% - tzn. większą niż silnik odwracalny (a) Wypadkowy efekt pracy takiego silnika (c ) w połączeniu z lodówką (b) jest taki sam jak idealnego silnika cieplnego, który odprowadza 5J z chłodnicy i przekształca je w 5J całkowicie w pracę bez jakichkolwiek innych efektów, co narusza drugą zasadę termodynamiki. Tak, więc, silnik odwracalny (a) jest silnikiem, który musi mieć największy współczynnik sprawności ze wszystkich silników pracujących między tymi dwoma zbiornikami ciepła. silnikiem doskonałym, w którym współczynnik sprawności nie może być już polepszony. Rysunek 5-7 ilustruje twierdzenie Carnota z zastosowaniem przykładu liczbowego. Jeżeli żaden silnik nie może mieć większego współczynnika sprawności niż silnik Carnota, to wynika z tego, że silniki Carnota pracujące między dwoma takimi samymi zbiornikami

9 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 87 ciepła mają te same współczynniki. Ten współczynnik sprawności, zwany współczynnikiem sprawności Carnota, musi być niezależny od substancji wykonującej pracę w silniku i, w związku z tym, musi zależeć tylko od temperatur grzejnicy i chłodnicy. Przyjrzyjmy się co powoduje, że proces jest odwracalny lub nie. Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki, zamiana energii mechaniczną na energię cieplną w wyniku tarcia jest procesem nieodwracalnym, tak jak nie jest procesem odwracalnym proces przepływ ciepła z ciała cieplejszego do chłodniejszego. Trzeci typ nieodwracalności występuje, jeżeli układ przechodzi przez stany nierównowagowe, na przykład, gdy gaz podlega turbulencjom lub kiedy gaz wybucha. Aby proces był odwracalny musimy być wstanie przeprowadzić układ z powrotem poprzez takie same stany równowagowe, ale w odwrotnej kolejności. Z powyższych rozważań i przedstawionych sformułowań drugiej zasady termodynamiki możemy podać listę warunków, które muszą być spełnione aby proces był odwracalny:. Żadna praca nie może być wykonana przez siły tarcia, lepkości, lub inne siły dyssypatywne wytwarzające ciepło.. Przewodzenie ciepła może odbywać się tylko izotermicznie. 3. Proces musi zachodzić tylko kwasi statycznie tzn. tak, aby układ był zawsze w stanie równowagi termodynamicznej ( lub nieskończenie blisko stanu równowagi) Warunki odwracalności. Dowolna przemiana, która narusza którykolwiek z powyższych warunków jest procesem nieodwracalnym. Większość procesów jest z swojej natury nieodwracalnych. Aby otrzymać proces odwracalny, musimy przyłożyć dużą wagę, aby wyeliminować tarcie i inne siły dyssypatywne i przeprowadzić go w sposób kwasi statyczny. Ponieważ nigdy nie może być to wykonane w sposób idealny, to proces odwracalny jest tylko pewną idealizacją, podobnie jak idealizacją jest ruch bez tarcia w mechanice. Tym niemniej, odwracalność w praktyce może być zrealizowane z dużym przybliżeniem. Możemy teraz zrozumieć cechy charakterystyczne cyklu Carnota, który jest cyklem odwracalnym między dwoma zbiornikami ciepła. Ponieważ całe przekazanie ciepła musi być izotermiczne, aby proces był odwracalny, to ciepło pobierane z ciepłego zbiornika musi być w całości absorbowane izotermicznie. Następnym etapem musi być kwasi statyczne adiabatyczne rozprężanie do niższej temperatury chłodnego zbiornika. Następnie ciepło jest

10 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 88 oddawane izotermicznie do chłodnicy. W końcu mamy kwasi statyczne adiabatyczne sprężanie do wyższej temperatury grzejnicy. W ten sposób cykl Carnota składa się z czterech odwracalnych etapów:. Kwasi styczne izotermiczne pobieranie ciepła z grzejnicy.. Kwasi styczne adiabatyczne rozprężanie się do niższej temperatury. 3. Kwasi styczne izotermiczne oddawanie ciepła do chłodnicy. 4. Kwasi styczne adiabatyczne sprężanie z powrotem do stanu początkowego. Etapy cyklu Carnota. Aby obliczyć współczynnik sprawności silnika Carnota musimy wybrać substancję o której posiadamy pewną wiedzę gaz doskonały i obliczyć pracę wykonaną przez ten gaz w cyklu Carnota ( Rysunek 5-8 ). Ponieważ wszystkie cykle Carnota mają te same współczynniki sprawności niezależne od substancji roboczej, to nasz wynik będzie miał charakter ogólny. Współczynnik sprawności dla tego cyklu można zapisać w postaci: Ciepło jest pobierane w procesie izotermicznego rozprężania od stanu do stanu. Ponieważ U 0 w procesie izotermicznego rozprężania gazu doskonałego, to dla izotermicznego rozprężania gazu doskonałego będzie równe pracy wykonanej przez gaz. Sprężanie adiabatyczne wch Sprężanie izotermiczne w T Rysunek 5-8 o Rozprężanie izotermiczne w T wych Rozprężanie adiabatyczne W pdv nrt V V dv nrt ln V Podobnie ciepło oddawane do chłodnicy jest równe pracy wykonanej nad gazem podczas jego izotermicznego sprężania w temperaturze T podczas przejścia od stanu 3 do 4. Praca ta ma tę samą wartość jak gdyby gaz rozprężał się od stanu 4 do 3. W rezultacie ciepło usunięte jest równe:

11 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 89 V 3 nrt ln 5-4 V4 Stosunek tych ilości ciepła wynosi: T ln V T ln V 3 / V / V Możemy powiązać V,V,V3, V4 stosując równanie 4-3 TV const Przy rozprężaniu od stanu do 3 mamy: TV 3 T V 4 Podobnie podczas adiabatycznego sprężania od stanu 4 do stanu : TV 4 T V Dzieląc te dwa równania przez siebie: V V V V / V V / V a stąd V i dlatego V / V lnv / upraszcza się i otrzymujemy: ln. W rezultacie równanie V4 T 5-5 T Ostatecznie współczynnik sprawności Carnota jest równy: T 5-6 T Współczynnik sprawności silnika Carnota. Równanie 5-6 pokazuje to co zauważyliśmy wcześniej: Współczynnik sprawności Carnota zależy tylko od temperatury grzejnicy i chłodnicy. P R Z K Ł A D Silnik parowy pracuje między zbiornikiem ciepłym o temperaturze 00 0 C = 373K i chłodnicą o temperaturze 0 0 C = 73K. (a) Ile wynosi maksymalny współczynnik sprawności dla tego

12 Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz 90 silnika? (b) Jeżeli silnik pracuje w cyklu odwrotnym jako lodówka, to ile wynosi maksymalny współczynnik wydajności chłodniczej? Analiza. Maksymalny współczynnik sprawności to współczynnik Carnota dany równaniem 5-6. Jeżeli chcemy znaleźć WWC, to najłatwiej jest wybrać pewne wielkości ciepła pobranego i oddanego. Jeżeli silnik pobiera 00J z grzejnicy, to wykonuje pracę W = η( 00J ) i oddaje ciepło 00 00J. W rezultacie WWC = c /W. (a) Maksymalny współczynnik sprawności T C T dla cyklu Carnota: 73K 373K 0,68 6,8% (b). Znajdź pracę wykonaną przez silnik W C jeżeli pobiera 00J: 0,68 00J 6,8 J. Znajdź ciepło oddane: W 00J 6,8J 73, J 3. Zastosuj wynik aby obliczyć WWC Uwaga. 73,J WWC W 6,8J, 73 kiedy silnik pracuje w kierunku odwrotnym: Nawet jeżeli ten współczynnik wydaje się dość mały, to jest największym współczynnikiem sprawności dla silnika pracującego między tymi temperaturami. Prawdziwy silnik będzie miał mniejszy współczynnik sprawności z powodu tarcia, przewodnictwa cieplnego i innych nieodwracalnych procesów. Podobnie prawdziwa lodówka będzie miała niższy współczynnik wydajności chłodniczej. W następnym rozdziale pokażemy, że WWC jest równy T / T (Równanie 5-9). Dla tych zbiorników T 00K WWC 73K / 00K, 73 i Współczynnik sprawności, dlatego jest tak ważny, że określa nam górną granicę dopuszczalnej sprawności. Jeżeli, na przykład, silnik pracujący między dwoma zbiornikami o temperaturach 373K i 73K ma współczynnik sprawności 5%, to jest dobrym silnikiem. Jednak gdyby wyeliminować tarcie i inne nieodwracalne straty, to najwyższy współczynnik sprawności wyniósłby 6,8%, jak to wynika z przytoczonego powyżej przykładu.