Porównanie wartości współczynników dyspersji zanieczyszczeń pasywnych wyznaczonych z pomiarów na rzece Wkrze z obliczonymi zależnościami empirycznymi

Transkrypt

1 Marcin KRKOWSKI Katedra Inżynierii Wodnej i Rekultywacji Środowiska epartment of Hydraulic Engineering and Environmental Recultivation WA Porównanie wartości współczynników dyspersji zanieczyszczeń pasywnych wyznaczonych z pomiarów na rzece Wkrze z obliczonymi zależnościami empirycznymi Comparison of coefficients dispersion of the passive pollutants obtained in measurements and calculated from empirical equations Wstęp Rozprzestrzenianie się i transport zanieczyszczeń pasywnych w rzekach i kanałach odbywa się poprzez adwekcję, dyfuzję molekularną i turbulentną. W jednowymiarowym opisie procesu rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń występuje tzw. dyspersja, składająca się z części adwekcji i części dyfuzji. Należy jednak zaznaczyć, że dyspersja nie jest zjawiskiem fizycznym, jak to jest w przypadku adwekcji, czy też dyfuzji. yspersja jest następstwem uśredniania prędkości przepływu wody i koncentracji zanieczyszczeń w przekroju koryta. Stanowi ona składnik powstały w wyniku uśredniania równania transportu masy, przy założeniu, że gęstość strumienia masy jest opisywana przez adwekcję i dyfuzję molekularną oraz nie występują dodatkowe źródła zanieczyszczeń (Krukowski i Kubrak ). la nieustalonego jednowymiarowego przepływu w korytach, równanie adwekcji i dyspersji ma postać: C t C + u = C (1) gdzie: u - uśredniona prędkość wody w przekroju poprzecznym, C - uśredniona koncentracja masy zanieczyszczeń w przekroju poprzecznym, - współczynnik podłużnej dyspersji, t - czas, - długość. Zasadniczym parametrem charakteryzującym dynamikę rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń wzdłuż rzeki jest współczynnik dyspersji. la wyznaczenia współczynników dyspersji podłużnej na podstawie pomierzonych koncentracji znacznika wykorzystuje się analityczne rozwiązanie równania (1) dla warunku

2 brzegowego zastosowanego w postaci nagłego wprowadzenia zanieczyszczenia, określanego za pomocą delty iraca δ() i warunku brzegowego ( +, t) = podawane po opuszczeniu kresek oznaczających uśrednienie w postaci: C dla t (Popławski 1976) ( ) C,t = A M ep 4 πt ( ut ) 4 t () gdzie: A - pole przekroju poprzecznego koryta rzeki, M - całkowita masa znacznika, t czas. Współczynnik dyspersji podłużnej obliczać można w przekroju koryta wykorzystując równanie () i znajomość maksymalnej koncentracji zanieczyszczeń w przekroju. Maksymalne stężenia C ma są proporcjonalne do czasu t -,5. M C ma (t) = (3) A 4 πt Równanie () opisuje jednomodalny dwuwymiarowy (C(, t)) rozkład statystyczny, które dla dostatecznie dużych wartości odległości od źródła i zmienności przebiegu zmian koncentracji badanego zanieczyszczenia w czasie posiada własność (Sukhodolov i in. 1997): σ t = = u σ t (4) gdzie: σ - wariancja przestrzenna koncentracji C() [m ], rozkładu koncentracji w czasie C(t) [min ], σ t = m (m1) - wariancja Z zależności (3) możliwe jest obliczanie współczynnika dyspersji, wykorzystując uzyskane z pomiarów rozkłady koncentracji znacznika w czasie C(t), imitującego zanieczyszczenie pasywne w przekrojach koryta. Jest to możliwe jedynie dla długich przedziałów czasowych, gdyż wtedy można przyjąć, iż wariancja przestrzenna i czasowa mają wzrost liniowy (Rutheford 1994). Znajomości relacji miedzy przestrzenną wariancją σ i wariancją czasową σ t pozwala na wykorzystanie równania (4) do obliczenia wartości współczynnika dyspersji podłużnej: σ t u = t (5) Innym sposobem bezpośredniego obliczania współczynnika dyspersji jest wykorzystanie obliczonej wariancji dla rozkładu koncentracji wskaźnika pomiędzy dwoma badanymi przekrojami poprzecznymi (Holley E., R. 1): i i j 3 V σ σ = (6) j

3 gdzie: σ - wariancja czasowa, odległość do przekroju pomiarowego, i, j - kolejne przekroje poprzeczne, V - średnia prędkość chmury wskaźnika. Bezpośrednie metody stosowane do obliczeń wartości współczynników dyspersji podłużnej wymagają przeprowadzenia badań terenowych, polegających na rejestracji rozkładu stężeń znacznika w czasie wprowadzonego do rzeki i imitującego zanieczyszczenia w niżej położonych przekrojach. Z tego względu dużym zainteresowaniem cieszą się wzory empiryczne wykorzystywane do obliczeń współczynników dyspersji. Empiryczne wzory do wyznaczania współczynników dyspersji Taylor przeprowadził badania wskaźnikowe w przewodach zamkniętych w wyniku, których uzależnił wielkość współczynnika dyspersji od prędkości dynamicznej. Wykazał, że stosunek /h * jest stały i wynosi.1 (Beltaos 198), skąd: =.1 * (7) h - promień przekroju poprzecznego. Prędkość dynamiczną obliczał Taylor z zależności: u = g (8) c gdzie: prędkość dynamiczna, g - przyspieszenie ziemskie, u średnia prędkość przepływu wody, c - współczynnik prędkości Chezy. Jedną z pierwszych zależności empirycznych do obliczania współczynnika dyspersji podał Elder (1959). Według Eldera prędkość w szerokim kanale ma rozkład logarytmiczny, a współczynniki mieszania pędu i masowego transferu w kierunku pionowym są takie same: = 5,93 (9) h - głębokość, - prędkość dynamiczna. Ze względu na prostotę, zależność Eldera była powszechnie stosowana do obliczania współczynników dyspersji. Fischer (1967) stwierdził, iż wartości współczynników dyspersji obliczane z zależności (9) mogą być zaniżone, ponieważ zależność ta nie uwzględnia poprzecznych zmian prędkości w przekroju. Tezę tę udowodnił w swych badaniach i wyprowadził zależność uwzględniającą we współczynniku dyspersji zmienność prędkości wraz z głębokością : B y y 1 1 = hu hu dydydy () A h T

4 h średnia głębokość, u' - odchylenia od średniej prędkości, B - szerokość rzeki, y - kierunek poprzeczny do kierunku przepływu (w układzie kartezjańskim), T - współczynnik turbulentnej dyfuzji. Stosowanie równania () w praktyce jest ograniczone ze względu na nieznajomość podłużnej i poprzecznej składowej prędkości w przekroju i złożoną geometrię przekroju poprzecznego rzeki. Fischer opublikował w 1975 prostą zależność do obliczania współczynników dyspersji, na podstawie parametrów hydraulicznych przepływu, tj. głębokości, szerokości, średniej prędkości i prędkości dynamicznej wody (Marivoet J. L., Van Craenenbroeck W. 1986): u B =,11 (11) McQuivey i Keefer (1974) podali do obliczania współczynników dyspersji zależność regresyjną, w postaci (Seyed M. Kashefipour i Roger A. Falconer ): hu =,58 (1) J gdzie J jest spadkiem podłużnym zwierciadła cieczy. W literaturze podawana jest zależność dla współczynników dyspersji oparta na równaniu Fischera () i uwzględniająca poprzeczne gradienty prędkości w naturalnych przekrojach koryt Liu (1977), (Marivoet J., L, Van Craenenbroeck W. 1986) w postaci: u B = β (13) gdzie: β =,18 u 1,5 (14) Parametr β charakteryzuje układ rzeki w planie (meandry), zmianę koncentracji i występowanie martwych stref. Magazin i inni (1998) podali na podstawie przeprowadzonych badań na wielkoskalowym modelu koryta zależność empiryczną uwzględniającą wpływ szorstkości ścian i dna koryta oraz liczby Reynoldsa: Ru 1,63 = 75,86P (15) gdzie:r promień hydrauliczny, P - uogólniony parametr szorstkości obliczany z zależności: u P =,4 (16)

5 Iwasa i Aya w 1991 ustalili zależność dla współczynników dyspersji na podstawie własnych wyników otrzymanych z badań terenowych i publikowanych w literaturze oraz laboratoryjnych (Seo W. I., Cheong S. T., 1998): B =, h 1,5 Wymienione i inne podawane w współczynnika dyspersji podłużnej zestawiono w tabeli 1. (17) literaturze zależności empiryczne do obliczania Tabela 1 Zależności empiryczne do obliczania współczynników dyspersji podłużnej Table 1 Empirical formulas for calculation of longitudinal dispersion coefficients lp Autorzy (author s) 1 Taylor (1956) Elder (1959) 3 Parker (1961) (18) 4 Mc Quivey i Keefer (1974) 5 Fischer (1975) Zależności wagi (formulas) (specifications) =.1 * Prędkość dynamiczna obliczona z zależności (8) = 5,93 Zależność wyprowadzona w założeniu logarytmicznego rozkładu prędkości (9) =,R Zależność wyprowadzona zgodnie z równaniem Taylora =,58 J B =,11 6 Jain (1976) B (Rutheford 1994) = α, (19) y 7 Liu (1977) B = β 8 Magazin i in. (1988) gh y = Mc, β =,18 1,63 = 75,86P, P =,4 R 9 Iwasa i Aya (1991) 1,5 B =, h Sukhodolov i in. α = βb, (1997) () 11 Seo i Cheong (1998) (1) α ( u) 1 N 1 k = = = a N i 1 j 1 j j Au B = 5,915 h,6 1,48 1,5 Wartość współczynnika wyznaczono metodą najmniejszych kwadratów Zależność wykorzystuje parametry hydrauliczne: głębokość, szerokość, średnią prędkość i prędkość dynamiczną α,1,16, M = 1,7 dla c 6, M = 48 dla c > 6 Zależność wyznaczona na bazie równania (11) Wykorzystano wyniki badania na wielkoskalowym modelu, uwzględniając wpływ szorstkości ścianek koryta i wartość liczby Re Zależność wyprowadzono na podstawie wyników badań laboratoryjnych i terenowych α = (,17,33), β = (9 ) j lokalna prędkość, a j jednostkowa powierzchnia przekroju Zależność wyznaczono na podstawie analizy wymiarowej i analizy regresji

6 1 Koussis i Rodriguez-Mirasol (1998) () 13 Thackston (Sawicki 1993) (3) 14 Pattersona i Glony (Sawicki 1993) (4) B Zależność wyprowadzona na = φ podstawie równania Fischera oraz h prawa Karmana,5 7,5 = =,8ep(,34 A ) Zależność uzyskana na drodze empirycznej Porównanie współczynników dyspersji wyznaczonych z pomiarów i obliczonych ze wzorów empirycznych Na podstawie przeprowadzonych pomiarów koncentracji wskaźnika na 5 kilometrowym odcinku rzeki Wkry obliczono z zależności (6)współczynniki dyspersji podłużnej (Krukowski 1), które porównano z wartościami obliczonymi z zależności empirycznych (tab. ). o porównań wybrano zależności empiryczne podane przez Fischera (11), Magazine a (15), Jaina (19), Liu (13), Iwasa i Aya (17), a także McQuivey a i Keefera (1). Tabela Współczynniki dyspersji podłużnej obliczone z pomiarów koncentracji znacznika Table Estimated of coefficients longitudinal dispersion with measured data Nr pomiaru No. of measure POMIAR 1 Measurement 1 POMIAR Measurement POMIAR 3 Measurement 3 Nr profile No. of section Wariancja (variance) [min ] Wsp. dyspersji (coefficient of dispersion) Zależność (formula) (4) [m /s] P P P P P P P P P P P P P P P

7 Obliczone wartości współczynników dyspersji podłużnej z wymienionych zależności obl odniesiono na rys. 1 do wartości z pomiarów pom.. Obliczone ze wzorów empirycznych wartości współczynników dyspersji różnią się od wartości uzyskanych z pomiarów. Największe różnice w wartościach obliczonych ze wzorów empirycznych współczynników dyspersji w stosunku do wyznaczonych z pomiarów otrzymano dla wzoru Iwasa & Aya (17), a najmniejsze dla wzoru Mc Quivey a i Keefera (1). o oszacowania różnicy pomiędzy wartościami współczynników dyspersji wyznaczonymi z pomiarów, a uzyskanymi z zależności empirycznych zastosowano współczynnik rozbieżności (Seo W. I., Cheong S. T., 1998): obl. R = log (5) pom. Współczynnik rozbieżności umożliwia łatwą interpretację uzyskanych wyników. Gdy wartość współczynnika dyspersji obliczona ze wzorów empirycznych jest równa wartości uzyskanej z pomiarów, to R =. Jeśli R >, to wartości współczynników dyspersji obliczane ze wzorów są wyższe niż wyznaczone z pomiarów. Natomiast, gdy obliczone ze wzorów empirycznych wartości współczynników dyspersji są niższe niż uzyskane z pomiarów, to R <. Zgodność uzyskanych z pomiarów współczynników dyspersji z obliczonymi ze wzorów empirycznych została oceniona na podstawie częstości wystepowania wartości współczynnika rozbieżności zawartego w przedziałach liczbowych pokazanych na rysunku. Przedziały te wybrano ze względu na maksymalny dopuszczalny błąd określenia współczynnika dyspersji ze wzorów empirycznych w stosunku do wartości wyznaczonych z pomiarów. la wartości współczynnika rozbieżności R zawartego w przedziale (-,1;,1), stosunek obl / pom zawiera się w przedziale (,79;1,5). 8 obl. 8 obl. Fischer Mc Quivey & Keefer pom. pom

8 obl. Magazine'a obl. Jain pom pom. 8 obl. Iwasa & Aya 8 obl. Liu pom. pom Rys. 1 Porównanie obliczonych współczynników dyspersji podłużnej na podstawie pomiarów i ze wzorów empirycznych Fig. 1 Comparison of estimated dispersion coefficients with measured data Największą zgodność wartości współczynników dyspersji uzyskano w ponad 61 % stosując wzór Mc Quivey a i Keefera. Mc Quiveya & Keefera Fischer , ,3 częstość (frequency) [%] 4 3 6,7 33,3 6,7 częstość (frequency) [%] , 6,7 6,7 13,3, % <= -,1 (-,1;] (;,1] (,1;,] >, R [-] % (-,5;-,4] (-,3;-,] (-,1;] (-,4;-,3] (-,;-,1] (;,1] R [-]

9 Magazine'a Jain , 3 6,7 6,7 częstość (frequency) [%] ,3, 6,7 (-,5;-,4] (-,4;-,3] (-,3;-,] (-,;-,1] (-,1;] (;,1] R [-] częstość (frequency) [%] %, 6,7 6,6 R [-] 13,3 (-,6;-,5] (-,4;-,3] (-,;-,1] (-,5;-,4] (-,3;-,] (-,1;] Liu Iwasa & Aya ,3 5 46,7 częstość (frequency) [%] ,7 6,7 13,3 częstość (frequency) [%] 4 3 6,7 13,3, 13,3 % (-,4;-,3] (-,;-,1] (-,3;-,] (-,1;] R [-] (;,1] % (-,4;-,3] (-,;-,1] (-,5;-,4] (-,3;-,] (-,1;] R [-] Rys Porównanie częstości występowania wartości współczynnika rozbieżności obliczonego dla współczynników dyspersji obliczonych z badań empirycznych z zależności empirycznych Fig Comparison of discrepancy coefficient ratios selected empirical of equations alej w kolejności największe zgodności uzyskano stosując wzór Fischera 53,3 %, Magazine a 4%, Jaina blisko 7 %, Liu 13,4 % i Iwasa & Aya 13,3 %. Obliczone wartości współczynników rozbieżności zestawiono w tab. 3. odatkowo w tabeli 3 umieszczono wartości błędu średniego ES (6) i średniego błędu kwadratowego ESK (7): 1 ES = N N i= 1 R i (6) ESK = 1 N N i= 1 ( R i ) (7) Wartości błędów bliskie zeru wskazują na dużą zgodność wartości współczynników dyspersji obliczonych ze wzorów i z pomiarów.

10 Tabela 3 okładność zastosowanych formuł empirycznych przy wyznaczaniu współczynników dyspersji podłużnej Tablet 3 Accuracy of selected dispersion coefficient equations Empiryczne formuły (empirical formulas) Zgodność (accuracy) (%) Średni błąd ES (mean of the absolute error) Średni błąd kwadratowy ESK (root mean square) Mc Quifey & Keefer 61,1,,6 Fischer 53,3,16, Magazine a 4,19,13 Jain 6,7,,15 Liu 13,4,6,17 Iwasa & Aya 13,3,7,18 Podsumowanie Z przeprowadzonych porównań wynika, że najmniejsze różnice wartości współczynników dyspersji wyznaczonych na podstawie pomiarów i ze wzorów empirycznych otrzymano stosując wzór McQuivey a i Keefer a. Największe różnice wartości otrzymano dla wzorów podanych przez Liu oraz Iwasa i Aya. Wartości obliczone z pozostałych zależności istotnie różniły się od wartości obliczonych na podstawie pomiarów. Wyniki przeprowadzonych analiz porównawczych potwierdzają, że obliczone ze wzorów empirycznych współczynniki dyspersji są niestety mało zbliżone do wartości ustalonych w pomiarach. Wymienione wzory empiryczne mogą być stosowane tylko jedynie do wstępnego rozpoznania dynamiki rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń. o celów praktycznych powinno stosować się wartości współczynników dyspersji obliczane metodami bezpośrednimi z pomiarów.

11 Literatura BELTAOS S., 198: Longitudinal dispersion in rivers. Journal of Hydraulic ivision, Vol. 6, No. HY1, p CZERNSZENKO W., : Transport zanieczyszczeń w rzekach i kanałach. Przegląd Geofizyczny, Zeszyt nr, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa-Łódź, s ELER J. W., 1959: The dispersion of a marked fluid in turbulent shear flow. J. Fluid Mech., Cambridge,. K. 5(4), HOLLEY E. R., 1: Fidel tests for evaluating hydraulic transport processes In rivers. Publications of the Institute of Geophysics Polish Academy of Sciences. Monographic Volume E- (35). Warszawa, s KOSSIS A.., RORIGEZ-MIRASOL J., 1998: Hydraulic estimation of dispersion coefficient for streams. Journal of Hydraulic Engineering, Vol. 14, No. 3, s KRKOWSKI M. 1: Analiza rozprzestrzeniania się zanieczyszczeń pasywnych na odcinku rzeki Wkry. XXI Ogólnopolska Szkoła Hydrauliki Współczesne problemy hydrauliki wód śródlądowych, Gdańsk, s KRKOWSKI M., KBRAK J., : Przegląd Naukowy Wydziału Inżynierii i Kształtowania Środowiska, Warszawa, z. 4, s MAGAZINE M. K., PATHAK S. K., PANE P. K. 1998: Effect of bed and side roughness on dispersion in open channels. Journal of Hydraulic Engineering ASCE, 114, No. 7, s MARIVOET J. L., VAN CRAENENBROECK W., 1986: Longitudinal dispersion in shipcanals. Journal of Hydraulic Research, Vol. 4, No., s POPŁAWSKI W., 1976: Wpływ procesu mieszania się wód podgrzanych na rozkłady temperatury w rzekach swobodnie płynących. Prace Instytutu Meteorologii i Gospodarki Wodnej, 8, s RTHEFOR J. C., 1994: River Miing, Niwa Ecosystems National Institute of Water and Atmospheric Research Hamilton - New Zeland, John Wiley & Sons Ltd. Chichester, p , -3. SAWICKI J., 1993: Przenoszenie masy i energii. Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej, s. -3.

12 SEYE M. KASHEFIPOR, ROGER A. FALCONER : Longitudinal dispersion coefficients in natural channels. Water Research 36, s SKHOOLOV A. N., NIKORA I. V., ROWIŃSKI P., CZERNSZENKO W., 1997: A case study of longitudinal dispersion in small lowland rivers. Water Environment Research, Washington, Vol. 69 No.7, s SEO W. I., CHEONG S. T., 1998: Predicting longitudinal dispersion coefficient in natural streams. Journal of Hydralic Engineering, Vol. 14, No. 1, p Summary The prediction of water quality in natural rivers requires the solution of the mass-transport equation. The accuracy of the numerical solution is highly dependent upon the accuracy of longitudinal dispersion coefficient. The values of dispersion coefficients calculated for measured concentrations in Wkra River have been compared with values calculated using eisting empirical equations for the dispersion coefficient. sing statistical methods for analysis, has shown that the accuracy of calculated values is good for McQuivey and Keefer formulation. Author address: M. Krukowski, Warsaw Agricultural niversity - SGGW -787 Warszawa, ul. Nowoursynowska 166 Poland