DANE PORZĄDKOWE W STATYSTYCZNEJ ANALIZIE WIELO WYMIAROWEJ'

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 318 PRACE KATEDRY EKONOMETRII l STATYSTYKI NR MAREK WALESIAK Akademia Ekonomiczna we W ro cł awiu Wy d ział Gospodarki Regionalnej i Turystyki w Jeleniej Górze Katedra Ekonometrii i Informatyhl DANE PORZĄDKOWE W STATYSTYCZNEJ ANALIZIE WIELO WYMIAROWEJ' l. WPROW ADZENIE Metody klasyfikacji, skalowania wielowymiarowego oraz porządkowania liniowego należą do często wykorzystywanych wśród wielowymiarowych statystycznych metod analizy danych. Wykorzystanie tych metod wymaga sformalizowania pojęcia "podobieństwo obiektów". Stopiel'l podobieństwa obiektów kwantyfikuje się za pomocą miar podobiel'lstwa, wśród których wyróżnia się miary odległości oraz bliskości. Stosowanie konkretnych konstrukcji miar podobiel'lstwa jest uzależnione od skal pomiaru zmiennych. W teorii pomiaru rozróżnia się 4 podstawowe skale pomiaru, wprowadzone przez Stevensa [1959], uporządkowane od najsłabszej do najmocniejszej: nominalna, porządkowa (rangowalna), przedziałowa (interwałowa), ilorazowa (stosunkowa). Z typem skali wiąże się grupa przekształcet1, ze względu na które skala zachowuje swe własności. Dopuszczalnymi przekształceniami są więc te, które nie naruszają zasobu informacji zawartej dla mierzonej zmiennej. Skala U 2 jest mocniejsza od skali U 1 wtedy i tylko wtedy, gdy jej dopuszczalne przekształce- 16 finansowanego przez Ko P racę wykonano w ramach projektu badawczego Nr l f f02b O Ił mitet B a d a ń Naukowych w latac h

2 94 Marek Walesiak nie jest zdegenerowanym przypadkiem dopuszczalnego przekształcenia skal i U 1 (por. Walenta [1971], s. 52). Na wartościach poszczególnych skal, ze względu na dopuszczalne przekształcenie. można wyznaczać relacje równości, różności. większości, mniejszości, równości różnic i przedziałów, równości stosunków między poszczególnymi wartościami skali. Podstawowe własności skal pomiaru zawiera tabela l. Typ skali Nominalna Tabela l p o d stawowe w asnosct.. s k ' a l pomtaru Dozwolone przekształ- Dopuszczalne operacje Dopuszczalne relacje cenia matematyczne arytmetyczne z=f(x), f(x) -do- równości ( x A :::; x B ), zliczanie zdarzeń (liczwolne przekształcenie różności ( x A "# x B), ba relacji równości, wzajemnie jednoznaczróżności) n e z:::; f(x). f(x) -do- powyższe oraz więk- zliczanie zdarzeń (licz- Porządkowa wolna ściśle monoto- szości ( x A > x B ) i ba relacji równości, nicznie rosnąca funkcja mniejszości ( x A < x B) Przedziałowa Ilorazowa różności, większości, mniejszości) z:::; bx +a (b> 0). powyższe oraz równo- powyższe oraz dodaz E R dla wszystkich x ści różnic i przedziałów wanie i odejmowanie zawartych w R. (xa -xa = xc -xo) Wartość zerowa na tej skali jest zwykłe przyjmowana arbitra!- nie łub na podstawie konwencji (por. Ackoff [ 1969), s. 240). z= bx (b> 0)' powyższe oraz równo- powyższe oraz mnożez E R + dla wszystkich ści ilorazów nie i dzielenie x zawartych w R +. XA Xc (-=-) xb xo Naturalnym początkiem skali ilorazowej jest wartość zerowa (zero lewostronnie ogranicza zakres skali). Źródło: opracowano na podstawie prac: Stevens [l 959], s ; Adams, Fagot i Robinson (1965); Walesiak [1995), s

3 Dane porządkowe w sratystyc=nej anali=ie wielowymiarowej 95 Typ skali, ze względu na dopuszczalne przekształcenia, determinuje stosowalność rozmaitych technik statystyczno-ekonometrycznych. Technikami statystycznymi dopuszczalnymi dla danego typu skali są takie techniki, które dostarczają wyników (w sensie relacji) niezmiennych względem dopuszczalnych przekształce!l (por. np. Walenta [1971], s. 61). W artykule Handa [1996] dyskutowany jest problem relacji między skalami pomiaru a dopuszczalnymi dla nich technikami statystycznymi. Pokazano w nim przykłady, które są źródłem kontrowersji w przypadku ścisłego stosowania reguł pomiaru. Problem stosowania różnych miar podobieństwa w zasadzie nie występuje wtedy, gdy wszystkie zmienne opisujące badane obiekty są mierzone na skali jednego typu. W literaturze wypracowano wiele propozycji miar podobiellstwa znajdujących przedziałowej Bardzo dobry przegląd zastosowanie do zmiennych mierzonych na skali ilorazowej, i (lub) ilorazowej, nominalnej (w tym dla zmiennych binarnych). różnych typów miar podobieństwa przedstawiono m.in. w pracach: Cormack [1971]; Anderberg [1973]; Everitt [1974]; Kaufman i Rousseeuw [1990]; Cox i Cox [1994], s ; Wedel i Kamakura [1998], s. 47. Podstawową miarą podobier1stwa obiektów, opisanych za pomocą zmiennych mierzonych na skali przedziałowej i (lub) ilorazowej jest odległość Minkowsklego (Anderberg [I 973]). W literaturze dotyczącej analizy statystycznej wypracowano bardzo dużo opisanych wyłącznie wielowymiarowej miar podobiellstwa obiektów za pomocą zmiennych nominalnych binarnych (dwustanowych). Najbardziej znany jest współczynnik Sokala i Michenera (por. Kaufman i Rousseeuw [ 1990], s. 24). Miarę podobiellstwa obiektów wykorzystywaną w sytuacji, gdy są one opisane za pomocą zmiennych nominalnych wielostanowych, zaproponowali Sokal i Michener (por. Kaufman i Rousseeuw [1990], s. 28). Propozycję miary podobier1stwa obiektów, którą można stosować w sytuacji, gdy zmienne mierzone są tylko na skali porządkowej przedstawiono w pracy Walesiaka [ 1993]. W konstrukcji miary odległości zmiennymi porządkowymi wykorzystano ideę obiektów opisanych współczynnika korelacji zmiennych porządkowych! Kendalla (por. Kendall [ 1955], s. 19). Dany jest niepusty zbiór obiektów A opisanych za pomocą m zmiennych porządkowych. Ze względu na to, że na skali porządkowej dopuszczalną operacją empirycznąjest tylko zliczanie zdarzer1 (tzn. wyznaczanie liczby relacji większości, mniejszości i równości), proponuje się (por. Walesiak [1993], s ) konstrukcję miary odległości o postaci:

4 96 Marek Walesiak m m n Laiki bkij +L Lailjbkli j=l j =l 1=1 l;<i,k (l) gdzie: 1, aipj (bkrj )= O, -1, 1 p= k, l; r =i, l; i, k, l =l,..., n- numer obiektu, j =l,..., m- numer zmiennej porządkowej, X; i (xk j, x 1 i ) -i-ta (k-ta, l-ta) obserwacjanaj-tej zmiennej porządkowej, m m n La~ki +L La~i -liczba relacji większości i mniejszości określona dla obiektu i, j=l j =l 1=1 l;<i,k m m n L b ~ii +L L b~u -liczba relacji większości i mniejszości określona dla obiektu k. j=l j =l 1=1 l>' i.k PRZYKŁAD l. ZASTOSOWANIE MIAR Y ODLEGŁOŚCI O POST AC! (l) DO OBUCZENIA ODLEGŁOŚCI OBIEKTÓW OD OBIEKTU WZORCA Nr Notebook Dane Tabela 2 Wydaj- Wyposa- Ergo no- Dokumen- Jakość IlOŚĆ żeni e mi a tac ja l California Access California Access Clevo Mitsu P-96-3R Clevo Mitsu P-98R lo 5 Compaq Armada 1590DT Dell Latitude CP 166ST Digital HiNote VP Digital HiNote Ultra Eurocom ( l~

5 Dane porządkowe w statystycznej analizie wielowymiarowej 97 lo Fujitsu LifeBook 675xCDT Ił Fujitsu LifeBook 765xTCDT Fujitsu LifeBook 985xCDT Ger!Com Overdose Empire T 14 Hyundai HN IDM ThinkPad TP380ED Pablo Toshiba Satellite Pro CDT 18 Toshiba Tecra 750DVD Tulip Motion Line db 5/ Twinhead Aristo FT DSC Twinhead Aristo FT TFT Twinhead Aristo FT -9300T HS LeBook Advance DSC 24 HS LeBook Advance TFf Wzorzec (najkorzystniejsze lo wartości) Źródło: CHIP 1998 nr 4. Wagi l l l l l Odl egłosct ł '. b a d anyc h o b" te k tow ' o d o b" te k tu wzorca Pozycja Notebook Odległość (l) Pozycja Notebook Odległość (l) l 18 0, , , , , , , , , , , , , , Tabela 3

6 98 Marek ll'alesiak l , , , l ZMODYFIKOWANA MIARA ODLEGLOŚCI d,k Miara odległości o postaci (l) wszystkie badane zmienne traktuje jednakowo. Obecnie wprowadzona zostanie miara odległości będąca uogólnieniem miary (l) dla sytuacji w której zmienne otrzymują zróżnicowane wagi. Załóżmy, że wagi w j U = l,..., m) spełniają następujące postulaty: m w J E (0; m), L w j =m. (2) ;=l W literaturze można spotkać trzy sposoby ustalania wag zmiennych. Wagi ustala się albo metodą ekspertów (metoda a priori), albo z użyciem algorytmów obliczeniowych opierających się na informacjach zawartych w danych pierwotnych (surowych). Można też wykorzystać metodę opartą na obu tych ujęciach. Szerzej o zagadnieniu ważenia zmiennych napisano w pracach: Borysa [1984]; Abrahamowicza i Zająca [ 1986]; Milligana [ 1989]; Grabi1'1skiego [ 1992]. Problem "ważenia" zmiennych nie został dotychczas zadowalająco rozwiązany. Williams stwierdza nawet, że ważenie zmiennych jest manipułowaniem wartościami zmiennych (por. Aldenderfer i Blashfield [1984], s. 21). Z tego względu często w badaniach empirycznych zakłada się, że zmienne sąjednakowo ważne z punktu widzenia badanego problemu (takie stanowisko przyjmują m.in. Sneath i S oka! [ 1973]). W sytuacji, gdy uwzględnia się zróżnicowane wagi zmiennych proponowana formuła odległości przyjmuje postać (3). (3) gdzie:

7 Dane por:ądko11 e '" starystyc:nei ana/i;ie H'tl'lull:nniaroH e; 99 w J - wagaj-tej zmiennej porządko,,e.i spełniająca \\arunek (2). W przypadku. gdy wszystkie zmienne otrzymują wagi jednako\\c. formula (3) przyjmuje postać miary odległości o postaci (l). PRZYKŁAD 2. ZASTOSOWANIE MIARY ODLEGLOŚCI O POSTACI (3) DO OBLICZENIA ODLEGLOŚCI OBIEKTÓW OD OBIEKTU WZORCA Tabela 4 w ag1 przyparzą dk owane z1111ennym przez e k spertow czasop1sma CHIP Zmienna Wydajność Wyposażenie Jakość Ergonomia Dokumenlacja Wagi 1.S ,385 l.s Żródło : CHIP 1998, nr 4. Od! e,głosci ł.. b a d anyc h o b' 1e k tow. o d o b' 1e k tu wzorca Pozycja Notebook Odległość (3) Pozycja Notebook l , , s 6 0, s , II 0, , , lo 17 0, li 24 0, , l Tabela 5 Odległość (3) , , , , o.snno 0, , , , , ,8623S7 3. SILNE l SŁABE STRONY MIARY ODLEGŁOŚCI d;l Miara odległości d, 4 : - może być stosowana w sytuacji, gdy obiekty opisane są zmiennymi mierzonymi na skali porządkowej,

8 100 Marek Walesiak wykorzystuje w konstrukcji ideę współczynnika korelacji zmiennych porządkowych 'l Kendalla (por. Kendall [ 1955], s. 19), przybiera wartości z przedziału [O; l]. Wartość O oznacza, że dla po równywanych obiektów i, k między odpowiadającymi sobie obserwa. cjami na zmiennych porządkowych zachodzą tylko relacje równości. kolei wartość l oznacza, że gdy dla porównywanych obiektów i, k mię dzy odpowiadającymi sobie obserwacjami na zmiennych porządkowych zachodzą tylko relacje większości (mniejszości) lub relacje większości. (mniejszości) oraz relacje równości jeżeli relacje te są zachowane w stosunku do pozostałych obiektów (a więc obiektów o numerach l = l,...,n; gdzie I 7' i, k); spełnia warunki: nieujemności dik ~O, zwrotności dii =O, symetryczności d ik = d ki (dla wszystkich i, k = l,..., n), nie zawsze spełnia warunek nierówności trójkąta (potwierdziły ten wniosek przeprowadzone analizy symulacyjne), nie zmienia wartości w wyniku transformacji wartości zmiennych porządkowych za pomocą dowolnej ściśle monotonicznie rosnącej funkcji. z 4. WNIOSKI KOŃCOWE W literaturze nie ma zbyt wielu prac wykorzystujących w badaniach empirycznych zmienne mierzone na skali porządkowej. Wynika to z faktu, że do ich analizy niezbędne są specjalne narzędzia analityczne. Proponowane miary odległości o postaci (l) i (3) pozwalają na stosowanie zmiennych porządkowych. W artykule zaproponowano uogólnienie miary odległości (l). W przypadku, gdy wszystkie zmienne otrzymują wagi jednakowe formuła (3) przyjmuje postać miary odległości o postaci (l). Dodatkowym rezultatem opracowania jest program komputerowy (zob. suplement) ułatwiający stosowanie miary odległości o postaci (3). SUPLEMENT Program pozwalający obliczać odległość za pomocą formuły (3) jest dostępny w Katedrze Ekonometrii i Informatyki Wydziału Gospodarki Regionalnej i Turystyki Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu. Umożliwia on obliczanie odległości między obiektami (rezultatem jest symetryczna macierz odległo ści) oraz obliczanie odległości obiektów od wzorca (rezultatem jest wektor odległości). Macierz odległości można wykorzystać w hierarchicznych aglome-

9 Dane porządkowe w statystycznej analizie wielowymiarowej 101 racyjnych metodach klasyfikacji do podziału zbioru obiektów na klasy, np. w programie SPSS for Windows. W programie komputerowym wykorzystywane są pliki formatu DBF, które służą zarówno do dostarczania danych do obliczeń, jak i do przechowywania otrzymanych wyników. Literatura l. Abrahamowicz M., Zając K.: Metoda ważenia zmiennych w taksonomii numerycznej i procedurach porządkowania liniowego, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu nr 328, Ackoff R.L. : Decyzje optymalne w badaniach stosowanych, PWN, Warszawa Adaros E.W., Fagot R.F., Robinson R.E. : A Theory oj Appropriate Statistics, "Psychometrika", 1965, Vol Aldenderfer M.S., Blashfield R.K.: Cłuster Analysis, Sage, Beverly Hills, S. Anderberg M. R.: Cłuster Analysis for Applications, Academic Press, New York, San Francisco, London Borys T.: Kategoria jakości w statystycznej analizie porównawczej, Wrocław : AE 1984, Prace Naukowe AE we Wrocławiu nr 284, Seria: Monografie i opracowania nr Cormack R. M.: A Revżew oj Classification (with Discussion), "Journal of the Royal Statistical Society", Ser. A, (3 ), Cox T.F., Cox M.A.A.: Multidimensional Scaling, Chapmao and Hall, London Everitt B. S.: Cłuster Analysis, Heinemann, London Grabiński T. : Metody!aksonometrii, Kraków, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, II. Hand D.J.: Statistics and the Theory oj Measurement, "Journal of the Royal Statistical Society", Ser. A, (3), Kaufman L., Rousseeuw P. J.: Finding Groups in Data: an lntroduction to Cłus t e r Analysis, Wiley, New York Kendall M.G.: Rank Correlation Methods, Griffin, London Milligan G.W.: A Validation Srudy oj a Variable Weighting Algorit hm for Cluster Analysis, "Journal of Classification", No.!, 1989.

10 102 Marek Walesiak 15. Sneath P.H.A., Sokal R.R. : Numerical Taxonomy, W.H. Freeman and Co., San Francisco Stevens S.S. : Measurement, Psychophysics and Utility, C.W. CHURCH MAN, P. RATOOSH (eds.), Measurement; Definitions and Theories, Wiley, New York Walenta K.: Podstawowe pojęcia teorii pomiaru. W: J. Kozielecki. Problemy psychologii matematycznej, PWN, Warszawa Walesiak M.: Statystyczna analiza wielowymiarowa w badaniach marketingowych, Prace Naukowe Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu nr 654, Wrocław, Seria: Monografie i Opracowania nr 101, Walesiak M.: T he Analysis o f F actors Influencing t he Choice o f t he M ethods in the Statistical Analysis of Marketing Data, "Statistics in Transition", June, Vol. 2, No. 2, Walesiak M.: Metody analizy danych marketingowych, PWN, Warszawa Walesiak M., Dziechciarz J., Bąk A.: Ordinal Variabies in the Segmentarion of Advertisement Receivers, In: Rizzj, A., Vichi, N., Bock, H.H., Advances in Data Science and Classification, Proc. 6th Conf. International Federatżon of Classification Societies in Rome, Springer, Heidelberg, Wedel M., Kamakura W.A.: Market Segmentation. Conceptual and Methodological Foundations, Kluwer, Boston, Dordrecht, London 1998.

11 Dane porządkowe w statystycznej analizie wielowymiarowej 103 ORDERING DATA IN MULTIVARIATE STATISTICAL ANALYSIS Summary The use of variabies measured on ordinal scaleis relatively rare in the literature. Specific analytical tools are needed for such information. Walesiak [1993], p , gives the propasał of a new measure of objects similarity, which can be applied in the situation when variabies describing objects are measured on the ordinal scal e (see also Walesiak, Dziechciarz and Bąk [ 1998], p ). The distance measure takes care of variabies with equal weights. We shall describe a slight generalisation of this measure, also covering different weights of variables. Translated by Marek Walesiak